Hoofdstuk 5 : De driehoek
advertisement
Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 89 – Klas: ......... Hoofdstuk 5 : De driehoek 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als we deze driehoeken op elkaar passen dan stellen we vast dat : hoekpunt M ............................................................... met hoekpunt A. Daarom noemen we M en A overeenkomstige hoekpunten. Ook ........... en ................ zijn overeenkomstige hoekpunten. Ook .......... en ................ zijn overeenkomstige hoekpunten. Overeenkomstige hoekpunten bepalen overeenkomstige hoeken en overeenkomstige zijden. Vermits de driehoek ABC en de driehoek MNP elkaar volkomen kunnen bedekken, zijn de overeenkomstige zijden .................................................. en de overeenkomstige hoeken ......................................................... Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek - 90 – Naam: ……………………………………….… Klas: ......... Aˆ = ........................... en AB = .......................... Bˆ = ........................... en BC = .......................... Cˆ = ........................... en AC = .......................... Dus: Opgave: Welke driehoek is congruent met ∆ABC ? ……………………………………. Merk op: Dit geldt uiteraard voor alle andere veelhoeken. Bij congruente veelhoeken zijn de overeenkomstige zijden ...................................... en de overeenkomstige hoeken ............................................ Opgave: Welke rechthoek is congruent met de rechthoek ABCD ……………………………………. Welk parallellogram is congruent met het parallellogram ABCD ……………………………………. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… 2. Congruente driehoeken: - 91 – Klas: ......... Om na te gaan of twee driehoeken congruent zijn, moet je eigenlijk telkens zes grootheden controleren. We onderzoeken of het niet kan volstaan aan te tonen dat drie grootheden van twee driehoeken gelijk zijn om te besluiten dat beide driehoeken zouden congruent zijn. Er zijn zes mogelijkheden: 1. 2. 3. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 92 – Klas: ......... 4. 5. 6. Besluit: Enkel bij voorbeeld ..........., .............. en .............. zijn de driehoeken congreuent Uit de voorbeelden blijkt dat het niet om het even welke drie voorwaarden volstaan om zeker te zijn dat de driehoeken congruent zijn. Elke drie voorwaarden die wel voldoende zijn om te mogen besluiten dat twee driehoeken congruent zijn, vormen een congruentiekenmerk. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… 3. Congruentiekenmerken van een driehoek - 93 – Klas: ......... Eerste congruentiekenmerk: ZZZ Als de drie zijden van een driehoek gelijk zijn aan de drie zijden van een andere driehoek, dan zijn die twee driehoeken congruent. Voor ∆ ABC en ∆ A’B’C’ geldt: AB = A' B' BC = B' C ' AC = A' C ' ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ A' B' C ' Tweede congruentiekenmerk : ZHZ Als twee driehoeken twee zijden en de ingesloten hoek gelijk hebben, dan zijn ze congruent. Voor ∆ ABC en ∆ A’B’C’ geldt: AB = A' B ' ) ) B = B' AC = A' C ' ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ A' B ' C ' Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 94 – Klas: ......... Derde congruentiekenmerk : HZH Als twee driehoeken één zijde en de aanliggende hoeken gelijk hebben, dan zijn ze congruent. Voor ∆ ABC en ∆ A’B’C’ geldt: ) A = A' AB = A' B ' ) ) B = B' ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ A' B ' C ' Gevolg: congruentiekenmerk 4 Twee driehoeken zijn congruent als paargewijs één zijde even lang is en één aanliggende hoek en de overstaande hoek even groot zijn. Voor ∆ ABC en ∆ A’B’C’ geldt: ) A = A' AB = A' B ' ) ) C = C' ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ A' B ' C ' Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek - 95 – Naam: ……………………………………….… Klas: ......... a. Bijzonder congruentiekenmerk voor een rechthoekige driehoek Rechthoekige driehoeken hebben een stapje voor: ze hebben allemaal minstens één hoek gelijk, namelijk de rechte hoek. Zo kan je afleiden dat een rechthoekige driehoek slechts aan twee voorwaarden moet voldoen om congruent te zijn. Als twee rechthoekige driehoeken de schuine zijde en één rechthoekszijde gelijk hebben dan zijn ze congruent. Voor ∆ ABC en ∆ A’B’C’ geldt: ∆ ABC is rechthoekig in A ∆ A' B' C ' is rechthoekig in A' a = a ' en b = b' ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ A' B' C ' Bewijs : zie boek pag 119 Opgave : boek pag 120 nr. 1 Wegens welk congruentiekenmerk zijn volgende figuren congruent? a. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… b. c. d. e. - 96 – Klas: ......... Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek - 97 – Naam: ……………………………………….… Klas: ......... Opgave zie boek pag 121 nr.2 : Waarom zijn de gekleurde driehoeken congruent? a. b. c. d. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 98 – Klas: ......... e. Opgave : boek pag 122 nr.7 In een parallellogram ABCD trekken we de loodlijnen uit B en D op de overstaande zijden. De voetpunten noemen we E en F. Bewijs: ∆ ABE ≅ ∆ CDF Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek - 99 – Naam: ……………………………………….… Opgave: boek pag 122 nr.8 : Voor een parallellogram ABCD construeren we: a. Het punt E zó dat A het midden is van [ BE b. Het punt F zó dat C het midden is van [ DF Bewijs : ∆ EAD ≅ ∆ FCB Klas: ......... ] ] Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 100 – Klas: ......... Opgave: boek pag 122 nr. 9 In een ruit ABCD trekken we met A als middelpunt een cirkel die [ BC ] en [ CD ] snijdt in E en F. Bewijs: ∆ ABE ≅ ∆ ADF Samenvatting: Congruente figuren zijn figuren die ……………………………………… Congruentiekenmerken voor driehoeken : Eerste congruentiekenmerk : ZZZ Tweede congruentiekenmerk : ZHZ Derde congruentiekenmerk : HZH Gevolg: 4e congruentiekenmerk ZHH Congruentiekenmerk voor een rechthoekige driehoek de ...................................... zijde en één ........................................................... moeten gelijk zijn. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 101 – Klas: ......... 4. Hoogtelijnen van een driehoek (boek pag 126) : De ………………………………… uit een hoekpunt op de …………………………… zijde noemen we een hoogtelijn van die driehoek. Besluit: de rechte AD is een ............................................... het lijnstuk [ AD] is het .......................................... de lengte AD is een .......................................... Eigenschap: De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in ………………… punt : het …………………… 5. Middelloodlijnen van een driehoek ( boek pag 127) Een middelloodlijn van een driehoek is een …………………………………………….. van die ................................. Een driehoek heeft ................. middelloodlijnen. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 102 – Klas: ......... Eigenschap: De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in ………………punt. Dus: OA .......... OB ................. OC Bijgevolg is dit punt het middelpunt van een cirkel die door de drie ................................. gaat: de ................................ 6. Bissectrices (deellijn) van een driehoek ( boek pag 127) Een bissectrice (deellijn) van een driehoek is een bissectrice van een ............................. van die driehoek. Een driehoek heeft ......................... bissectrices. Eigenschap: De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in …………………… punt. Dit punt ligt op gelijke afstand van de dragers van de zijden. ID .............. IE ............... IF Bijgevolg is dit punt het middelpunt van een .................... die de drie zijden ......................... : de .............................. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… Taak: Maak de volgende constructies ( zie ook CABRI) - 103 – Klas: ......... a. De drie hoogtelijnen: d. De drie hoogtelijnen b. De drie bissectrices en incirkel: e. De drie bissectrices en incirkel: c. De drie middelloodlijnen en de omcirkel: f. De drie middelloodlijnen en de omcirkel: Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 104 – Klas: ......... Opgave : boek pag 128 nr. 36 Een driehoek ABC heeft H als hoogtepunt. Bepaal de hoogtepunten van de driehoeken ABH,AHC en HBC Hoogtepunt ∆ABH : .......................................... Hoogtepunt ∆AHC : .......................................... Hoogtepunt ∆HBC : .......................................... Wat merk je? ........................................................................................................................ .............................................................................................................................................. Opgave: boek pag 128 nr. 38 ) Voor een driehoek ABC geldt: A = 80 o , Bˆ = 60 o en Cˆ = 40 o De drie bissectrices snijden elkaar in het punt I. Bereken BIˆC , CIˆA en AIˆB ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek - 105 – Naam: ……………………………………….… 7. Bissectricestelling ( boek pag 129) Klas: ......... De rechte AD is een bissectrice van ∆ ABC. Meet de volgende lijnstukken in cm [AB ], [ AC ], [ BD ]en [ DC ] AB = .............................. AC = .............................. BD = .............................. DC = .............................. Bereken : BD AB AC Besluit: = ............................. DC BD DC = ............................. ............. AB AC We noemen dit de bissectricestelling: Een bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de overstaande zijde in stukken waarvan de lengten evenredig zijn met de lengten van de aanliggende zijden. of met symbolen: ∆ ABC x is bis sec trice van Aˆ D snijpunt van x en BC ⇒ BD DC = AB AC Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 106 – Klas: ......... Bewijs: ( boek pag 129) • Laat uit D een loodlijn neer op AB en noem het voetpunt E Laat uit D een loodlijn neer op AC en noem het voetpunt F We weten DE .......... DF • Construeer het hoogtelijnstuk [ AG ] • AG is de hoogte van ∆ ABC is ook de hoogte van ∆ …… is ook de hoogte van ∆ …… Opp ∆ABD = Opp ∆ABD = Opp ∆ADC = Opp ∆ADC = Opp ∆ ABD = Opp ∆ ADC Opp ∆ ABD = Opp ∆ ADC Besluit: Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… Opgave: boek pag 130 nr 42 - 107 – Klas: ......... De bissectrices door het hoekpunt A van ∆ ABC snijdt de zijde [ BC ] in een punt D. Gegeven is : AC = 8 cm , BD = 4,5 cm, DC = 3 cm Bereken : AB Opgave: boek pag 130 nr. 44 Voor een ∆ABC geldt: BC = 18 en AB = AC = 41 De bissectrice van B̂ snijdt het hoogtelijnstuk [ AD ] in E. Bereken : AE , ED Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… 7. Zwaartelijnen van een driehoek (boek pag 130) - 108 – Klas: ......... Een rechte die door het ……………………… gaat en door het ……………………….. van de ........................................ zijde noemen we een ....................................... van die driehoek. Een zwaartelijn is dus een ............................... Het lijnstuk begrensd door het hoekpunt en het midden van de overstaande zijde noemen we het ....................................................... Een driehoek heeft ...................... zwaartelijnen. Besluit: de rechte AM is een ............................................... het lijnstuk [ AM ] is ................................................ Eigenschap: De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in …………………punt : het …………………… 8. Merkwaardige rechten van een gelijkbenige driehoek (boek pag 131) De symmetrieas van een gelijkbenige driehoek is tevens …………………………….van de basis en ………………………………., ........................................ en ............................................... door de top. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… Eigenschap: - 109 – Klas: ......... Construeer de zwaartelijnstukken : [ AM ] , [ BN ] en [ CP ] Geef het zwaartepunt de naam z. Meet nu en noteer de lengte van volgende lijnstukken: AZ = .................................... en ZM = .................................. BZ = .................................... en ZN = .................................. CZ = .................................... en ZP = .................................. Welke verhouding kan je vinden tussen de eerste meting en de tweede meting : .................................. AZ en ZM BZ en ZN : .................................. CZ en ZP : .................................. Besluit: Het zwaartepunt verdeelt elk zwaartelijnstuk in twee lijnstukken waarvan het ene dubbel zo lang is als het andere. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek - 110 – Naam: ……………………………………….… Klas: ......... Voor nevenstaande figuur wil dit zeggen : AZ = ....... ZM BZ = ....... ZN CZ = ....... ZP Stelling met symbolen: ∆ ABC met zwaartelijnstukken [ BN ], [ CP ] Z snijpunt BN en CP ⇒ M snijpunt van AZ en BZ Bewijs: AZ zwaartelijn van ∆ ABC AZ = 2 ⋅ ZM BZ = 2 ⋅ ZN , CZ = 2 ⋅ ZP We verlengen [ AZ ] met een leven lang lijnstuk : [ ZD ] In de ∆ ADC is [ ZN ] een ....................................... Dus DC ............ ZN en DB = ........ ZN (1) Dus geldt ook : DC ......... BZ (2) In de ∆ ABD is [ ZP ] een ....................................... Dus BD ............ PZ en DB = ........ PZ Dus geldt ook : BD ......... CZ (3) (4) □ Uit (2) en (4) volgt: BZCD is een ................................... Dus CD .................. BZ (5) En BD .................. CZ (6) In een …………………… delen de ………………………. elkaar middendoor. BM ........... MC (7 ) en ZM ......... MD (8) Uit (7) volgt: AZ is een ……………………………… van de ∆ ABC Uit (8) volgt: ⇒ AZ = 2 ⋅ ZM maar : ZD = AZ (volgens constructie) ZD = 2 ⋅ ZM Analoog: uit (1) en (5) => BZ ........ 2 ⋅ ZN en uit (4) en (6) => CZ ........ 2 ⋅ ZP Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… Opgave: boek pag 135 nr. 65 - 111 – Klas: ......... Een ∆ABC heeft zwaartelijnstukken [ AM ], [ BN ], [ CP ] met : AM = 9 cm BN = 12 cm CP = 15 cm Hoe ver ligt het zwaartepunt van A, B en C? ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ Opgave: boek pag 136 nr. 67 Verleng de diagonaal [ DB ] van een parallellogram ABCD met een even lang lijnstuk [ BE ] . Wat is het punt B voor ∆ACE? Bewijs je vermoeden. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 112 – Klas: ......... ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. 9. Zwaartelijnstuk in een rechthoekige driehoek (boek pag 136): Meet de lengten van de volgende lijnstukken : AM = .............. (zwaartelijnstuk) BC = .............. Welke verhouding kan je vinden? AM = ............ BC Besluit: De lengte van een zwaartelijnstuk naar de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is de helft van de lengte van die schuine zijde. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… Stelling met symbolen: ∆ ABC met Aˆ = 90 o M is het midden van [ BC ] - 113 – Klas: ......... 1 ⇒ AM = ⋅ BC 2 Bewijs: (zie boek pag 137) We verlengen [ AM Dan is ] met een even lang lijnstuk [MD ] □ ABCD een parallellogram omdat ............................ We kunnen zelfs zeggen dat □ ABCD een rechthoek is omdat .................................................... In een rechthoek zijn de ..................................... even lang Dus: AD ........ BC We delen beide leden door 2: 1 1 AD ........ BC 2 2 maar volgens constructie geldt: AD = 2 ⋅ AM dus : AM = 1 2 BC Gevolg: Voor het punt M geldt : MA ........... MB ............. MC Maw: Het midden van een schuine zijde van een rechthoekige driehoek het middelpunt is van de omcirkel van die driehoek. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… Opgave: boek pag 137 nr. 74 - 114 – Klas: ......... Voor een ∆ABC verbinden we het midden M van [ AB ] met de voetpunten D en E van de hoogtelijnen uit A en B. Bewijs : MD = ME Opgave: boek pag 137 nr. 75 In de vierhoek ABCD zijn de hoeken  en Ĉ recht. Bewijs dat het midden M van de diagonaal [ BD ] even ver van A en C ligt. Bewijs dat er een cirkel door de vier punten A, B, C, D gaat. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… Opgave: boek pag 137 nr. 76 - 115 – Klas: ......... Een driehoek ABC is rechthoekig in A. We geven a=20 en b = 16. Bereken de maatgetallen van de lengten van de drie zwaartelijnstukken. Opgave : boek pag 138 nr. 77 In een rechthoekige driehoek met een scherpe hoek van 60o verdeelt de zwaartelijn naar de schuine zijde de driehoek in twee driehoeken waarvan de ene gelijkzijdig en de andere gelijkbenig is. Bewijs dit. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. ................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek - 116 – Naam: ……………………………………….… Bewijs aan de hand van de vorige tekening nu ook dat de sin 30o = Klas: ......... 1 2 ................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… Samenvatting: Soorten lijnen in een driehoek - 117 – Klas: ......... Een hoogtelijn van een driehoek is de ………………………….. uit een hoekpunt van de driehoek op de ............................................ zijde. De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in ………………… punt : het ……………………........ Een middelloodlijn van een driehoek is een …………………………………………….. van die ................................. De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in …………………………… Een bissectrice (deellijn) van een driehoek is een bissectrice van een ............................. van die driehoek De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in …………………… punt. Een zwaartelijn is een rechte die door een ……………………… gaat en door het ……………………….. van de ........................................ zijde van die driehoek. De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in …………………punt : het ……................... Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek - 118 – Naam: ……………………………………….… Klas: ......... Samenvatting: Eigenschappen van de lijnen in een driehoek Bissectricestelling : Een bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de ................................. zijde in stukken waarvan de lengten ...................... zijn met de lengten van ................................... zijden. ∆ ABC x is bis sec trice van Aˆ D snijpunt van x en BC ⇒ BD DC = AB AC Stelling van het zwaartelijnstuk: Het zwaartepunt verdeelt elk .............................. in twee ....................................... waarvan het ene ....................................zo lang is als het andere AZ zwaartelijn van ∆ ABC ∆ ABC met zwaartelijnstukken [ BN ], [ CP ] Z snijpunt BN en CP ⇒ AZ = 2 ⋅ ZM M snijpunt van AZ en BZ BZ = 2 ⋅ ZN , CZ = 2 ⋅ ZP Zwaartelijnstuk in een rechthoekige driehoek De ........................ van een zwaartelijnstuk naar de ......................... zijde van een rechthoekige driehoek is de .............................. van de lengte van die schuine zijde. ∆ ABC met Aˆ = 90 o M is het midden van [ BC ] 1 ⇒ AM = ⋅ BC 2 Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… Opgave: boek pag 132 nr. 52 - 119 – Klas: ......... In een parallellogram ABCD trekken we een rechte door A en het midden M van [ BC ] . Deze rechte snijdt de diagonaal [BD ] in een punt E. Welk bijzonder punt is is E voor de ∆ABC? Bewijs je vermoeden. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Opgave: boek pag 132 nr. 53 De ruiten ABCD, ADEF, AFGB hebben alle A als hoekpunt en elke twee ruiten hebben een zijde gemeenschappelijk. a) Welk bijzonder punt is A voor ∆ BDF? ...................................... Bewijs je vermoeden. b) Welk bijzonder punt is A voor ∆ CEG? ..................................... Bewijs je vermoeden. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 120 – Klas: ......... ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… Opgave: boek pag 133 nr. 62 - 121 – Klas: ......... Deel a: Een piramide TABCD heeft een rechthoek ABCD als grondvlak en gelijkbenige driehoeken als opstaande zijvlakken. We noemen S het snijpunt van de diagonalen van het grondvlak. Bewijs dat TS loodrecht staat op SA, SB, SC,SD. GEG : TABCD : priamide ٱABCD is een rechthoek ∆TAD ∆TDC gelijkbenig ∆TBC ∆TAB S snijpunt van de diagonalen van het grondvlak TB : TS ┴ SA , TS ┴ SA TS ┴ SA, TS ┴ SA Bewijs 1 ∆TAD is ............................................... => ........................................... (1) ∆TDC is ...............................................=> ............................................(2) Uit (1) en (2) volgt : ............................................................................ Dus : ............................................................................. 2. TS snijdt [AC] in het midden S dus is TS de ......................................... (3) ∆TAC is ............................................................ (4) Uit (3) en (4) volgt dat TS ook de ................................................... is van de ∆TAC dus TS .......... AC => TS ............... SA en Analoog bewijzen voor TS ┴ SB en TS ┴ SD TS ...........SC Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek - 122 – Naam: ……………………………………….… Klas: ......... deel b: De piramide van Cheops is een dergelijke piramide Met als grondvlak een vierkant ABCD met zijden van 236 m. De top T ligt precies 137 m boven het symmetriemiddelpunt S van het vierkant ABCD. We noemen M het midden van [CD ] . Sonja beklimt de piramide langs [ AT ] , Ingrid langs [MT ] . a) Bereken voor ieder de af te leggen afstand. b) Bereken de hoekgrootten α en β. GEG : TABCD : priamide ٱABCD is een vierkant |AB| = 216 m |TS| = 137 m M is het midden van [DC] Gevr: : |TA| = ? |TM| = ? α=? β.= ? a. De lengte van de zijde die Sonja beklimt : |TA| en de hoek α Bepalen van de lengte van |AS| In het grondvlak ABCD is ∆ACD is een rechthoekige driehoek dus : ...................................................................................... ...................................................................................... ........................................................................................... Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 123 – Klas: ......... Bepalen van de lengte van |AT| ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... Bepalen van de hoek α ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... b. De lengte van de zijde die Ingrid beklimt : |TM| en de hoek β Bepalen van de lengte van |SM| [SM ] is ...................................................................... van ∆ACD dus : .............................................................................................. ....................................................................................................... ....................................................................................................... Bepalen van de lengte van |TM| ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... Bepalen van de hoek β ....................................................................................................... ...................................................................................................... ....................................................................................................... Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek - 124 – Naam: ……………………………………….… opgave: boek pag 133 nr. 63 Klas: ......... Voor een balk ABCDA’B’C’D’ geldt: AD = 5 cm DC = 5 cm DD ' = 10 cm In het zijvlak AA’D’D trekken we door D een rechte die een hoek 60o maakt met AD en AA’ in een punt M snijdt. Zo trekken we ook in het zijvlak DD’C’C door D een rechte die de hoek van 60o maakt met DC en CC’ snijdt in een punt N.. Bereken de oppervlakte van ∆ DMN. ∆ AMD ……. ∆ CND Want Aˆ = ................... AD = ................... ADˆ M = ................... Dus : In de AM = ..................... □ AA’CC’ vinden we AM …. CN Dus mogen we zeggen dat: Dus MN = .................... en AM = ............... □ AMCN is een ............................ Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek - 125 – Naam: ……………………………………….… Klas: ......... ........... cos Dˆ = ⇒ MD = ............................... .......... = ............................... = ................................ = ................................. Uit ∆ AMD ……….∆CND volgt : MD = .................. = ........... cm Dus ∆ DMN is een ……………………………… driehoek In ∆ DMN nemen we het midden van de basis [MN ] . Dan geldt DP ........ MN In ∆ DMN geldt: DP = ........................................... = ........................................... Opp ∆ DMN = ……………………………………………………… = ………………………………………………………. = ………………………………………………………. = ………………………………………………………. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5: De Driehoek Naam: ……………………………………….… - 126 – Klas: .........
