Matrix algebra Lineaire stelsels

Matrix algebra & Lineaire stelsels
Definitie van een matrix
Een mxn-matrix is een rechthoekig schema met m horizontale rijen en n
verticale colommen van ℝ- of ℂ-getallen.


a11 a12
a
a22
A= 21
...
...
am1 am2
... a1 n
... a2 n
=aij 1im
... ...
1 jn
... amn
(mxn) is de orde van A
Speciale matrices
–
–
–
rij matrix
kolom matrix
vierkante matrix

1 2 −1 0
2 j 0 1
j 0 1 1
2 1 0 0

-> hoofddiagonaal
-> nevendiagonaal
– diagonaal matrix
 
 
 
 
5
0
0
0
–
0
0
0
7
0
3
0
0
0
0
3
0
0
0
0
3
eenheidsmatrix
1
0
0
0
–
0
0
4
0
scalaire matrix
3
0
0
0
–
0
3
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
bovendriehoeksmatrix
1 1 −1 2
0 −1 0
1
0 0
2 −1
0 0
0
1
Wiskunde Algebra Hoofdstuk 2
respectievelijk benedendriehoeksmatrix
(1/9)
Bewerkingen met matrices
Transponeren
A=aij 1im =>
Definitie:
1 jn
OPM:
1 jn
- (At)t = A
- A = At -> aij = aji
-> symmetrische matrix
- At = -A -> aji = -aij
-> anti-symmetrische matrix
-> elementen van de hoofddiagonaal zijn 0
Toegevoegde
A=aij 1im
Definitie:
OPM:
A t =a ji 1im
1 jn
=>

A=a
ij 1im
1 jn
 : -> A is reële matrix
A= A
t
 t =A ✹ : hermitisch toegevoegde
A =A
- A=A ✹ : -> A hermitische matrix
-
Optelling
Definitie:
Beschouw A en B ∈ Mmxn
=> A + B = (aij) + (bij) = (cij)
met cij = aij+bij
Eigenschappen:
-  ABt =A t Bt
 B

-  AB= A
- A+B = B+A
- (A+B)+C = A+(B+C)
Tegengestelde van A
Definitie:
Stel – A = (-aij)
A+(-A) = (aij)+(-aij)=(0) = 0
Scalaire vermenigvuldiging
Definitie:
A ∈ ℂmxn
 ∈ ℂ
=> .A = .(aij) = (.aij)
Eigenschappen:
– .(A+B) = .A + .B
– (+).A = .A + .A
– .(.A) = (.).A
– (.A)t = .At
–

.A
. A=
Vermenigvuldigen van Matrices
Definitie:
A ∈ ℂmxp
B ∈ ℂpxn
Wiskunde Algebra Hoofdstuk 2
(2/9)
Dan is: A.B ∈ ℂmxn
cij 1im
A.B = (aij).(bij) =
1 jn
p
cij = ∑ aik . bkj
met
k=1

a11 a12
a21 a22
...
A.B= ...
ai1 ai2
...
...
am1 am2
OPM:
... a1 j
... a2 j
... ...
... aij
... ...
... amj

... a1 p b11 b12
... a2 p b21 b22
... ... . ... ...
... aip
bi1 bi2
... ...
... ...
... amp bp1 bp2
... b1 j
... b2 j
... ...
... bij
... ...
... bpj
...
...
...
...
...
...
b1 n
b2 n
...
bi n
...
bpn

A.B ≠ B.A
Eenheidsmatrix is neutraal element:
A.I = I.A = A
– A ≠ 0; B ≠ 0 -> A en B nuldelers van elkaar
A.B = A.C
A.B – A.C = 0
=> B ≠ C
A.(B-C) = 0
=> B-C = 0 of B=C
–
Eigenschappen:
– A.(B.C) = (A.B).C
– (A.B)t = Bt.At
–
 .B

A.B= A
A is een nxn-matrix
A² = A.A
Ap = 0
-> matrix nilpotent
-> p: nilpotentieindex
nxn-eenheidsmatrix I = (ij)
ij = 0 als i ≠ j
= 1 als i = j

1 0 ... 0
0 1 ... ...
I=
... ... ... ...
0 ... 0 1
Wiskunde Algebra Hoofdstuk 2

(3/9)
Determinant van een vierkante matrix
Definitie:
A  ℂmxn
n = 1 => A = (a11)
n = 2 =>

A=
a11 a12
a21 a22
=> det A = a11

=> det A = |A| = a11.a22 – a21.a12
n > 2 => det A = ai1.Ai1 + ai2.Ai2 + ... + ain.Ain
p
∑ aik . A ik
=
k=1
met
A ik =−1ik .Mij
cofactor van aik
Minor van aik
Minor: determinant die men uit A bekomt door i-de rij en
j-de kolom te schrappen.
Eigenschappen:
-
∣
∣
a11 a12 ... a1 n
0 a22 ... a2 n
=a11 .a22 .a33 .....amn
... ... ... ...
0 ... 0 amn
- det(At) = det A
- det(A.B) = det A . det B
- det(A.B) = det(B.A)
A.B ≠ B.A
- wissel 2 rijen of 2 kolommen
-> determinant -> tegengestelde
- .det A -> slechts 1 rij of kolom met 
vermeningvuldigen
- 2 gelijke of evenredige rijen of kolommen
-> det A = 0
Regel van Sarrus
1
4 3 1
4
A= −1 2 1 −1 2
1 −1 0 1 −1
∣
∣
det A = 0 + 4 + 3 – 6 + 1 – 0 = 2
Inverse van een matrix
A  ℂmxn
Bestaat er een matrix X  ℂmxn zodat
A.X = X.A = I
=> A is inverteerbaar
=> X = A-1
Stelling:
A is inverteerbaar <=> det A ≠ 0
(1) => A is inverteerbaar => A.A-1 = A-1.A = In
Bewijs:
A.A-1 = A-1.A = In
Wiskunde Algebra Hoofdstuk 2
(4/9)
det(A.A-1) = det(A).det(A-1) = det In = 1
det A ≠ 0
(2) det A ≠ 0
A−1=
=>
1
.adj A
det A
adj A
-> adjunctmatrix van A
= (Aij)t = (Aji)
-> cofactor van aij
Eigenschappen:
- (A.B)-1 = B-1.A-1
- (At)-1 = (A-1)t
- (A-1)-1 = A
Rang van een matrix
A  ℂmxn
Definitie:
deelmatrix van A
-> matrix bekomen uit A door het scrappen van p rijen en q kolommen
(0 ≤ p < m), (0 ≤ q < n)
Beschouw:
Definitie:
(1)
deelverzameling van alle vierkante deelmatrices Akxk
(2)
det Akxk, ∀ Akxk ∈ (1)
rang A = r = max{k | ∃ Akxk zodat det Akxk ≠ 0}
-> eerste matrix met det A ≠ 0 -> hoofddeterminant
r = max{k | ∃ Akxk zodat det Akxk ≠ 0}
Elementaire rij-operaties
- Tij: i de rij en j de rij omwisselen. Tij(A)
- T()i: i de rij met  ≠ 0 vermenigvuldigen
- Ti,(j): i de rij + (j de rij)
Elementaire matrices ET
Tij(In), T()i(In), Ti,(j)(In)
Nu is: det In ≠ 0
det Tij(In) ≠ 0, ...
Er geldt nu: T(A) = ET.A
T(A) = ET.A =
vb:



1 0 0
2 1 3 0
2
1 3 0
0 1 −1 . 1 −4 2 1 = −1 −4 2 0
0 0 0
2 0 0 1
2
0 0 1

T = T2,(-1)3
Wiskunde Algebra Hoofdstuk 2
(5/9)
=> ET =

1 0 0
0 1 −1
0 0 0
= T2,(-1)3(In)

ET'. A = AT'
ET'-1 . (ET'. A) = ET'-1 . AT'
(ET'-1 . ET') . A = ET'-1 . AT'
A = ET'-1 . AT'
B~A -> rij-equivalent
R
<=> ∃ C = ET1 . ET2 . ... ETn
zodat B = C.A
=> rang B = rang C
Echlon matrix (mxn-matrix)
de eerste r (r≤m) rijen bevatten minstens 1 element ≠ 0 &
de laatste m-r rijen zijn nulrijen.
– het eerste van 0 ≠ element in een niet)nulrijis een leider, leiders
komen trapsgewijs voor van links boven naar rechts onder.
– de elementen onder elke leider = 0.
–
vb.
–
–
Rij gereduceerde-echlon matrix
alle leiders = 1
alle elementen boven leider = 0
vb.
OPM: rang van een rij-gereduceerde echlonmatrix = aantal leiders
Stelsels lineaire vergelijkingen
Stelsel (S):
a11 . x 1a12 . x 2...a1 n . x n =b1
a21 . x 1a22 . x 2...a2 n . x n =b2
...
am1 . x 1am2 . x 2...amn . x n =bm
-> m lineaire vergelijkingen met n onbekende x1,x2,...,xn
OPM:
Een oplossing van (S):
n-tal (r1,r2,...,rn)  F zodat elke vgl van (S) overgaat in een
gelijkheid.
De verzameling van alle oplossingen = oplossingsverzameling
Wiskunde Algebra Hoofdstuk 2
(6/9)
OPM:
(S)
<=> A.X = B <-> (A|B)
met
A=aij 1im
met
x1
x
X= 2
...
xn
-> matrix van de onbekenden
met
b1
b
B= 2
...
bm
-> matrix met bekenden

a11 a12
a21 a22
...
...
am1 am2


1 jn
-> coëfficiëntenmatrix
... a1 n b1
... a2 n b2
... ... ...
... amn bm

->
 B
 <-> (S)
 A∣
elementaire rij-transformaties
rij-gereduceerde echlonmatrix
(S) <-> (A|B)
↕ rij-transformatie

a11 a12
0 a22
0 ...
0
0

S
... a1 n b1
... a2 n b2
... ... br1
... 0
bm

<->

S
a11 . x 1a12 . x 2...a1 n . x n =b1
a22 . x 2...a2 n . x n =b2
...
0=br1
0=bn
is oplosbaar <=> rang A = rang(A|B)
Aantal oplossingen
(1) rang A = n -> aantal onbekenden
(S)
<->
(A|B)
Wiskunde Algebra Hoofdstuk 2
(7/9)
a11 . x 1a12 . x 2...a1 n . x n =b1
a22 . x 2...a2 n . x n =b2
...
ann . x n =bn
↕
 ) <->
( S
 B

 A∣
Als r = n -> juist één oplossingen
(2) rang A = rang (A|B) = r < n
 )
( S
a11 . x 1a12 . x 2...a1 n . x n =b1
a22 . x 2...a2 n . x n =b2
...
0
0
=> n-r onbekenden vrij te kiezen
-> Stelsel met n-r vrijheidsgraden.
Stelsel van Cramer
-> vierkant stelsels
-> # vergelijkingen = # onbekende
Stelsel (S):
a11 . x 1a12 . x 2...a1 n . x n =b1
a21 . x 1a22 . x 2...a2 n . x n =b2
...
an1 . x 1an2 . x 2...ann . x n =bn
<=> A.X = B
-> nxn-matrix
Een stelsel van Cramer is oplosbaar <=> rang A = rang(A|B)
Stel rang A = n => det A ≠ 0 =>
Nu is: (S) <=> A.X = B
A-1.(A.X) = A-1.B
(A-1.A).X = A-1.B
Wiskunde Algebra Hoofdstuk 2
A −1 =
1
.adj A
det A
(8/9)
In.X = A-1.B
X = A-1.B
=>
X=
1
.adj A .B
det A
xi=
1
. A 1 i . b1A 2 i . b2...A n i . bn 
det A
xi=
det A i
det A
∀ i∈1,2,. .. , n
Ai is de matrix A waarin de i-de kolom vervangen wordt door B.
Homogeen lineair (n,n)-stelsel
-> dit stelsel bezit steeds de 0 oplossingen
-> enige oplossing als det A ≠ 0
-> nog andere oplossingen als det A = 0
Wiskunde Algebra Hoofdstuk 2
(9/9)