Complexe functietheorie deel 2 aanvullend materiaal

Complexe functietheorie deel 2
aanvullend materiaal
J. Hulshof
October 31, 2011
1
Inleiding deel twee
We zijn in deel gekomen tot midden in Hoofdstuk 7 van Churchill & Brown.
Opgaven uit Hoofdstuk 7 die in het werkcollege nog gedaan moeten worden zijn:
81.
84.
85.
89.
1-12 (met het lemma van Jordan)
Example formula (1), 1-6.
1-7
1-3
De rest van het werkcollege wordt tijdens de cursus vastgesteld, afhankelijk
van de keuze van onderwerpen. Belangrijke onderwerpen die in het boek maar
deels aan de orde komen schets ik hieronder. We kunnen niet alles doen. Extra
materiaal hieronder na het overzicht, de boeken van Conway (Functions of one
complex variable) en Marsden (Basic complex analysis) gebruik ik als naslagwerk. Kwa sommen zoveel mogelijk Churchill & Brown. Chapter 7 betreft integralen die we tegenkomen bij Fourier en Laplace transformaties. Fourierreeksen
en Fourierintegralen vormen Daaronder integralen over krommen die valk langs
een eerste orde pool lopen, of vlak langs vertakkingspunten van meerwaardige
functies.
De eerste twee weken behandel ik de formule van Stirling en Fouriertransformaties. Op het werkcollege gaan we eerst verder met Hoofdstuk 7 van Churchill
& Brown.
Een gedeelte van de tekst hieronder is in het Engels.
1.1
Fourierreeksen
Zie Secties 2 en 3 hieronder. Op zich geen onderwerp voor dit vak, maar vanwege
de complexe schrijfwijze van de reeksen wel nauw ermee verbonden. Betreft
het inzicht dat 2π-periodieke (reele of complexe) functies f (x) met x ∈ IR te
schrijven zijn als sommen van de standaard 2π-periodieke functies. Complex
geschreven:
∞
X
f (x) =
cn einx
n=−∞
1
(op het eerste gezicht een Laurentreeks in ζ = eix ), met, zo zal blijken,
Z π
1
f (x)e−inx dx.
cn =
2π −π
Het begrip uniforme convergentie en de maximumnorm
||f ||∞ = max |f (x)|
x∈IR
komen hierbij langs, maar ook de 2-norm
sZ
π
||f ||2 =
|f (x)|2 dx
−π
en convergentie in die norm. De Fouriercoefficienten zijn in feite de coordinaten
van f ten opzichte van een orthonormale basis in een oneindig dimensionale
complexe vectorruimte met een inwendig produkt. We werken dit eerst in een
reele setting uit.
Deze Fourierrepresentatie van een 2π-periodieke f kunnen we ook schrijven als
∞
1 X ˆ
f (x) =
f (n)einx ,
2π n=−∞
met
fˆ(n) =
Z
π
f (x)e−inx dx.
−π
Op deze manier zien we de Fouriercoefficienten cn (modulo de factor 2π) als een
nieuwe functie fˆ : ZI → C
1 . Het verband tussen cn en fˆ(n) is dat 2πcn = fˆ(n).
ˆ
De functie heet f de Fouriergetransformeerde van f : [−π, π] → C
1 , waarbij we
f stilzwijgend 2π-periodiek uitbreiden tot f : IR → C
1.
1.2
Fourierintegralen
Zie Sectie 4. Wat voor 2π-periodieke functies kan ook voor 2R-periodieke functies, en in de limiet R → ∞ worden Fourierreeksen (gezien als Riemannsommen)
Fourierintegralen. Deze overgang maken we precies voor zogenaamde testfuncties: functies die oneindig vaak differentieerbaar zijn en identiek aan nul in de
buurt van oneindig zodat bij partieel integreren de stoktermen altijd wegvallen.
Voor zo’n testfunctie φ(x) krijgen we zo in plaats van een Fourierreeks een
Fourierintegraal
Z ∞
1
φ(x) =
φ̂(λ) eiλx dλ,
2π −∞
waarin de rol van fˆ(n) is overgenomen door deze Fouriergetransformeerde
Z ∞
φ̂(λ) =
φ(x)e−iλx dx,
−∞
2
een functie van een continue parameter λ ∈ IR. Interessant om veel redenen,
bijvoorbeeld omdat, via partieel integreren,
φˆ00 (λ) = −λ2 φ̂(λ), . . .
φ̂0 (λ) = iλφ̂(λ),
Differentiëren wordt zo een algebraische operatie!
Fourierintegralen van dit type kunnen we met de residustelling vaak uitrekenen. Zie Secties 80 en 81 van Churchill & Brown. In dit verband speelt ook de
dichtheidsfunctie van de normale verdeling een opvallende rol.
1.3
Laplace transformaties
Zie Sectie 5, Sectie 88 in Churchill & Brown, Chapter 8 in Marsden. De transformatie van f : [0, ∞) → C
1 naar
Z ∞
e−zt f (t)dt.
F (z) =
0
Variant op Fouriertransformaties voor functies f : [0, ∞) → C
1 , meestal f (t)
met t tijd, beginnend op t = 0. De Bromwich integralen in Churchill & Brown
zijn de inversen hiervan.
1.4
Differentieerbaarheid met lineaire benaderingen,
Cauchy-Riemann vergelijkingen,
comforme afbeeldingen en kettingregel
Zie Secties 6 en 7. Een functie f : G → C
1 met G ⊂ C
1 is automatisch ook een
functie f : G → IR2 met G ⊂ IR2 als we C
1 en IR2 als hetzelfde zien. Dus met
z = x + iy associëren we zonder er verder bij stil te staan het punt (x, y) en met
een beeldpunt w = f (z) = u + iv ∈ C
1 ook (u, v) ∈ IR2 . Bij Wiskunde Analyse
2 wordt de reele differentiaalrekening voor functies f : G → IRm met G ∈ IRn
behandeld, uitgaande van een definitie met lineaire benaderingen. Dit leggen
we uit in Sectie 6. De lineaire benadering wordt vastgelegd door een matrix. In
het geval van functies f : G → IR2 = C
1 met G ⊂ IR2 = C
1 is dit een 2x2 matrix.
Het enige dat je extra moet eisen voor het complex differentieerbaar in z = z0
is dat de bijbehorende matrix een draaivermenigvuldiging om de oorsprong is
over een hoek φ met factor r ≥ 0. In dat geval is f 0 (z0 ) = reiφ . Dit betekent
dat als r > 0 is (i.e. f 0 (z0 ) 6= 0) dat de afbeelding f in z0 hoekbewarend1 is. We
zeggen dan dat f een conforme afbeelding is (in z0 ). Het bewijs van de kettingregel voor complex differentieerbare functies volgt uit de gewone kettingregel
die zegt dat de matrix die de lineaire benadering van een samengestelde functie beschrijft het matrixproduct is van de matrices die de lineaire benaderingen
beschrijven van de functies die samengesteld worden. Met de triviale observatie dat de samenstelling van twee zulke draaivermenigvuldigingen weer zo’n
draaivermenigvuldiging is, is het bewijs dan klaar.
1 Verzin
zelf de definitie
3
Het bewijs van de gewone kettingregel voor de samenstelling g◦f : IRn → IRp
van f : IRn → IRm en g : IRm → IRp is vrijwel een kopie van het bewijs voor
n = m = p = 1 als dat met lineaire benaderingen en resttermen wordt gedaan.
Zie het vak Wiskundige Analyse 2.
1.5
Topologie en uniforme convergentie
Zie Sectie 9. Metrische ruimten en toepassingen daarvan. Standaardvoorbeelden. Merendeel heeft weinig met het specifieke geval C
1 te maken. Behalve
de bepaald niet standaard metriek op de verzameling van analytische functies op
een open samenhangende deelverzameling van C
1 en het gebruik daarvan in het
bewijs van de Riemannafbeeldingstelling. Belangrijk is ook de maximumnorm
voor continue functies en het verband met uniforme convergentie. Bijvoorbeeld
om te concluderen dat (1.1) hieronder juist is. Ook het feit dat bij uniforme
convergentie gewone Riemann integralen en limieten mogen worden verwisseld
is belangrijk, omdat het analytisch zijn van een continue functie gelijkwaardig
is met het nul zijn van integralen over gesloten krommen. Zo is de limiet van
een rij uniform convergente analytische functies weer analytisch en zijn eigenlijk
alle eigenschappen die met integralen beschreven worden door de limiet heen te
halen.
1.6
Machtreeksen en analytische functies (voortzetten)
Zie Sectie 8. We hebben met behulp van de Cauchy integraalformule gezien dat
een functie f : G → C
1 die gedefinieerd en complex differentieerbaar is op een
open verzameling G ⊂ C
1 rond elke punt a ∈ G als machtreeks
f (z) =
∞
X
an (z − a)n
n=0
te schrijven is, geldig op de grootste open cirkelschijf D(a, r) = {z ∈ C
1 :
|z − a| < r} in G. Vanaf nu noemen we zulke functies analytische functies.
Als G = C
1 dan is r = ∞. Omgekeerd heeft elke machtreeks van deze
vorm een convergentiestraal R. In het algemeen is 0 ≤ R ≤ ∞ maar voor deze
machtreeks van f rond a ∈ G geldt R ≥ r. Als R > r dan is het definitiegebied
misschien uit te breiden tot G ∪ D(a, ρ) met ρ (iets) groter dan r, of niet2 .
Dit proces noemen we het analytisch voorzetten van f . Analytisch omdat de
machtreeks complex differentieerbaar is op G ∩ D(a, ρ), gelijk aan f (z) omdat
dat op D(a, R) al het geval was. Essentieel voor deze conclusie is de stelling dat
machtreeksen binnen hun convergentie cirkel C(a, r) = {z ∈ C
1 : |z − a| < R}
oneindig vaak complex differentieerbaar zijn en dat
an =
2 Denk
f (n) (a)
.
n!
aan G = C\(−∞,
1
0] en f (z) = log z.
4
De machtreeks is dus de Taylorreeks. Deze stelling bewijzen we in detail.
Dankzij deze stelling en de product- en kettingregels voor complexe afgeleiden
weten we hoe we met machtreeksen mogen rekenen, dus hoe we machtreeksen
voor f (z)g(z) en f (g(z)) kunnen bepalen. Als we weten dat productfunctie en
de samengestelde functie analytisch zijn dan weten we dat hun Taylorreeksen
bestaan en hoe we ze moeten uitrekenen, zie ook Sectie 67 van Churchill &
Brown.
We geven ook de (limsup) formule voor de convergentiestraal in termen van
het grootste limietpunt van de rij |an |. Die staat niet in Churchill & Brown.
Ook niet in Churchill & Brown: het gedrag op de convergentiecirkel zelf. Voor
|z| < 1 geldt bijvoorbeeld
log(1 + z) = z −
z2
z3
z4
z5
z2
+
−
+
−
+ ···
2
2
3
4
5
Hoe concluderen we nu dat
log 2 = 1 −
1 1 1 1 1
+ − + − + · · ·?
2 2 3 4 5
(1.1)
Zie
http://www.proofwiki.org/wiki/Dirichlet’s_Test_for_Uniform_Convergence
Als gevolg van deze stelling is een machtreeks van de vorm
∞
X
an z n
n=0
die convergent is in z0 uniform convergent op het lijnstuk
{z = tz0 : 0 ≤ t ≤ 1}
met een somfunctie die continu is op dit lijnstuk. Op grond hiervan is de reeksformule voor log 2 correct.
1.7
Poincaré sfeer, Möbius transformaties,
Riemann afbeelding stelling
Zie Sectie 10. Via inverse stereografische projectie naar de Poincaré sfeer is C
1,
neergelegd als het vlak door de evenaar met 0 in het centrum van de globe, te
zien als de globe minus de noordpool die correspondeert met ∞. De zuidpool
correspondeert met 0. De afbeelding z → z1 correspondeert zo met het wentelen
van de poolas met globe en al om de reele as, waarbij de polen verwisseld worden.
De afbeelding z → z1 keert C
1 binnenstebuiten en voert cirkels in cirkels over,
waarbij we een lijn zien als een cirkel door oneindig. Alle afbeeldingen van het
type
az + b
,
z→
cz + d
5
met a, b, c, d ∈ C
1 en determinant3 ad − bc 6= 0 hebben deze eigenschap. Een
bijectieve analytische afbeelding van een open begrensde cirkelschijf naar een
andere open begrensde cirkelschijf is altijd van deze vorm! De Riemannafbeeldingstelling formuleert een veel algemenere uitspraak over het op elkaar afbeelden
van enkelvoudig samenhangende open verzamelingen met behulp van inverteerbare analytische functies.
1.8
Harmonische functies en toepassingen
Potentiaaltheorie, vloeistofstromingen en meer. Alleen in 2D. Komt met een
speciale tak van sport, het vinden van conforme afbeeldingen4 f van gebieden
op andere gebieden. Echte toepassingen (vliegtuigvleugels).
1.9
Krommen en lijnintegralen op een nette manier
Zie Sectie 11. Rechtstreeks vanuit benaderende sommen. Krommen als equivalentieklassen van continue afbeeldingen van een gesloten begrensd interval
naar C
1 met eindige (beeld)lengte. Uit Conway, met behulp van RiemannStieltjesintegralen.
1.10
Windingsgetallen, echte stellingen over contouren
en integralen daarover, nulpunten/polen tellen
Zie Sectie 12 waar we Conway’s aanpak schetsen. Correcte formuleringen van
alle stellingen zonder ”linksom doorlopen” in de aannamen. Slim gebruik van
integralen als
Z 0
f (z)
dz
f (z)
om nulpunten en polen te tellen, en de open afbeeldingstelling te bewijzen: analytische functies beelden open verzamelingen af op open verzamelingen, tenzij
ze constant zijn. Meervoudige nulpunten splitsen op in eerste orde nulpunten
bij verstoring, net zoveel als je zou verwachten.
In Churchill & Brown Secties 86 en 87 (wiskundig niet helemaal correct). In
Conway wordt dit met grote precisie uitgelegd, zie Sectie 12.
1.11
Analytische voortzetting, oneindige producten,
Gammafunctie, Asymptotische methoden
Zie Marsden Chapters 7 and 8.
Volgens de hoofdstelling van de algebra is elk polynoom te schrijven als
A(z − a1 ) · · · (z − an ),
3 Inderdaad,
er is een verband met 2x2 matrices.
en dat betekent f analytisch met afgeleide niet nul.
4 Hoekbewarend,
6
met A, a1 , . . . , an ∈ C
1 , n ≥ 1, A ∈ C
1 . Is elke complex differentieerbare functie te schrijven als het product van lineaire factoren? Denk bijvoorbeeld aan
sin πz die nulpunten heeft in de gehele getallen. De vraag hangt nauw samen
met twee belangrijke voorbeelden van complex differentieerbare functie, nl de
gammafunctie en de Riemann zetafunctie. Hier speelt het begrip analytische
voortzetting een grote rol. Zeg dat je een complex differentieerbare functie
definieert met behulp van een formule die maar beperkte geldigheid heeft, zeg
als som van een machtreeks, of als integraal, bijvoorbeeld
Z ∞
Γ(z) =
tz−1 e−t dt,
0
goed gedefinieerd voor z = x + iy met x > 0, leeft de zo gedefinieerde functie
verder buiten zijn definitiegebied? Bijvoorbeeld
1 + z + z2 + z3 + · · · =
1
1−z
is alleen goed voor |z| < 1, maar de somfunctie leidt daarbuiten zijn leven. Of
ζ(z) = 1 +
1
1
1
1
1
+ z + z + z + z + ···
z
2
3
4
5
6
goed gedefinieerd voor z = x + iy met x > 1.
The Weierstrass factorisation theorem in which the functions Ep defined by
Ep0 (z) = −z p exp(z + · · · +
and factorisations
Π+∞
n=1 Epn (
zp
),
p
Ep (1) = 0,
z
)
an
are important, answers the factorisation question, if an are the nonzero zeropoints of a given analytic f . For instance it holds that
sin(πz) = πz Π+∞
n=1 (1 −
z2
)
n2
and
exp(−γz) +∞
z
z
Πn=1 (1 + ) exp( ).
z
n
n
Nauw verwant ook aan de Riemann Zetafunctie, en de Riemann hypothese, zie
Conway Chapter VII Sectie 8.
Tenslotte, hoe groot is n! vraagteken. Met partieel integreren zie je makkelijk
dat
Z ∞
n! = Γ(n + 1) =
tn e−t dt,
Γ(z) =
0
de integraal van een functie die een maximum heeft in dat groter wordt en
opschuift als n groter wordt. Door de grafiek terug te schuiven naar links en
7
verticaal te schalen kunnen we de grafiek zijn maximum op de verticale as en
gelijk aan 1 laten hebben. Als we nu door horizontaal schalen de grafiek op de
normal verdeling laten lijken vinden we dat n! zich gedraagt als
n n √
n! ∼
2πn,
e
een belangrijke asymptotische formule in de kansrekening, natuurkunde en informatica, voor het begrip entropie bijvoorbeeld5 . Let op het ∼ teken. Geen
gelijkheid. Het quotient van beide grootheden gaat naar 1, tamelijk langzaam,
maar omdat in toepassingen in natuurkunde (getal van Avagadro) en informatica (terrabyte en meer) de getallen groot zijn goed genoeg om mee te rekenen.
Belangrijk in dit argument (van Laplace) is het inzoomen op de plek waar
de integrand afgeleide nul heeft. Wat nu als de afgeleide van de integrand alleen
complexe nulpunten heeft? Deze vraag leidt tot de zadelpuntmethode.
2
Fourierreeksen
De functie
f7 (x) = sin x −
sin 2x sin 3x sin 4x sin 5x sin 6x sin 7x
+
−
+
−
+
2
3
4
5
6
7
is periodiek met periode 2π. Op het interval (−π, π) ligt de grafiek van f7
vlakbij de grafiek van de oneven functie f (x) = 21 x. Kennelijk is
∞
x X
sin kx
=
(−1)k+1
,
2
k
(2.2)
k=1
maar alleen voor −π < x < π.
Exercise 1 Er is een verband met machtreeksen: het rechterlid in (2.2) is het
imaginaire deel van
∞
X
(−1)k+1 k
ζ , ζ = eix .
k
k=1
Bepaal de som van deze machtreeks voor |ζ| < 1. Hint: differentieer naar ζ,
sommeer en primitiveer.
Exercise 2 Volgens de complexe versie van het criterium van Leibniz convergeert de machtreeks in in Opgave 1 voor alle ζ met |ζ| = 1 behalve ζ = −1.
Aangenomen dat de somfunctie die je in Opgave 1 hebt gevonden ook geldig is
voor alle ζ met |ζ| = 1 waar de reeks convergeert, verifieer (2.2). Op de complexe versie van het criterium van Leibniz en de aanname komen we nog terug
in Sectie 8.
5 Google
tip: Shannon entropie.
8
De reeks in (2.2) heet een Fouriersinusreeks. Maken we van de “minnen” plussen
dan vinden we dat de grafiek van de functie
h7 (x) = sin x +
sin 2x sin 3x sin 4x sin 5x sin 6x sin 7x
+
+
+
+
+
2
3
4
5
6
7
op het interval (0, 2π) vlakbij de grafiek van de functie f (x) =
π−x
2
ligt.
De functie
cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x cos 6x cos 7x
+
−
+
−
+
4
9
16
25
36
49
g7 (x) = cos x −
heeft een grafiek op het interval (−π, π) vlakbij de grafiek van de even functie
g(x) =
ligt. Kennelijk is
π2
x2
−
12
4
∞
x2
π2 X
cos kx
=
+
(−1)k
.
4
12
k2
k=1
Het rechterlid, inclusief de constante term, heet een Fouriercosinusreeks. Invullen van x = 0 geeft
π2
1 1
1
1
=1− + −
+
− ···.
12
4 9 16 25
We zullen zien dat bij even 2π-periodieke functies Fouriercosinusreeksen horen,
en bij oneven 2π-periodieke functies Fouriersinusreeksen. Omdat elke functie te
splitsen is in een even en een oneven functie,
f (x) =
f (x) + f (−x) f (x) − f (−x)
+
,
2
2
hoort zo bij een algemene 2π-periodieke functie de som van een Fouriercosinusreeks en een Fouriersinusreeks. Zo’n som heet een Fourierreeks. Schrijven we
de cosinussen en sinussen uit in complexe e-machten,
cos x =
eix + eix
,
2
sin x =
eix − eix
,
2i
dan wordt een algemene Fourierreeks een reeks van de vorm
∞
X
k=−∞
∞
ck eikx =
a0 X
+
(ak cos kx + bk sin kx)
2
(2.3)
k=1
Uiteindelijk zullen we er voor kiezen om met de complexe vorm te werken, het
linkerlid in (2.3) dus, een Laurentreeks in ζ = eix .
9
Uit de Cauchy integraal formules hebben we Laurentreeksen van de vorm
∞
X
ck ζ k
(2.4)
k=−∞
zien verschijnen voor complex differentieerbare functies f (ζ) op een annulus
{ζ ∈ C
1 : R1 < |ζ| < R2 },
waarbij het plusstuk
∞
X
ck ζ k
k=0
convergent is voor |ζ| < R2 en het minstuk
∞
X
c−k ζ −k
k=1
convergent is voor |ζ| > R1 . Als R1 = 0 dan heeft f (ζ) in ζ = 0 een al dan niet
ophefbare singulariteit. Omgekeerd, als we met een willekeurige Laurentreeks
van de vorm (2.4) beginnen dan zijn er bijbehorende R1 en R2 zodat het plusstuk
convergeert naar een complex differentieerbare functie op {ζ ∈ C
1 : |ζ| < R2 } en
het minstuk naar een complex differentieerbare functie op {ζ ∈ C
1 : |ζ| > R1 }.
A priori kunnen zowel R1 als R2 ook 0 of ∞ zijn, en in het algemeen kan R1
groter of kleiner zijn dan R2 . Laurentreeksen die verschijnen als Fourierreeksen
van 2π-periodieke functies f (x) via ζ = eix hebben meestal R1 = R2 = 1. In het
vervolg zullen we zulke 2π-periodieke functies zien als functies f : (−π, π) → C
1.
Fourierreeksen gaan terug tot Daniel Bernouilli, die de golfvergelijking
∂2u
∂2u
=
2
∂t
∂x2
voor bijvoorbeeld 0 < x < π en met randvoorwaarde u = 0 voor x = 0 en x = π,
met Fouriersinusreeksen probeerde op te lossen. Later was Fourier de eerste die
voor een gegeven functie f de coefficienten in integralen wist uit de drukken,
toen hij Fouriersinusreeksen gebruikte om de warmtevergelijking
∂u
∂2u
=
∂t
∂x2
op te lossen.
Tegenwoordig zien we de functies
1
, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . ,
2
en
. . . , e−3ix , e−2ix , e−ix , e0ix = 1, eix , ei2x , e3ix , . . .
10
als orthonormale bases in een (Hilbert)ruimte van functies, en de Fouriercoefficienten als coordinaten ten opzichte van deze basis. Voor een grote klasse van
functies f : (−π, π) → IR zijn de Fouriercoefficienten ak , bk en ck als coordinaten van f ten opzichte van deze bases gedefinieerd. De N -de partiële som van
de Fourierreeks van f is
SN f (x) =
N
X
k=−N
N
ck eikx =
a0 X
+
(ak cos kx + bk sin kx),
2
(2.5)
k=1
met Fouriercoefficienten
Z
Z
1 π
1 π
f (x) cos nx dx, bn =
f (x) sin nx dx,
an =
π −π
π −π
Z π
1
cn =
f (x)e−inx dx.
2π −π
(2.6)
(2.7)
Het volgende programma is bedoeld om vertrouwd te raken met Fourierreeksen.
Gebruik Maple/Mathematica voor de plotjes. De integralen kun je beter met
de hand doen.
Rπ
Rπ
Exercise 3 Bereken −π cos nx cos mx dx en −π cos nx sin mx dx voor gehele
m en n.
Exercise 4 Laat f : (0, π) → IR gegeven zijn door f (x) = 1 en kies een 2πperiodieke uitbreiding f : IR → IR die even is (i.e. f (x) = f (−x)). Bereken alle
Fouriercoefficienten an en bn .
Exercise 5 Laat f : (0, π) → IR gegeven zijn door f (x) = 1 en kies een 2πperiodieke uitbreiding f : IR → IR die oneven is (i.e. f (x) = −f (−x)).
1. Bereken alle Fouriercoefficienten an en bn .
2. Plot f en SN f (voor een aantal waarden van N ) in een grafiek.
3. Onderzoek numeriek wat er gebeurt met de grootte en plaats van het
maximum van SN f als N → ∞.
4. Vereenvoudig SN f in x = π2 . Vergelijk dit met f ( π2 ). Van welke gewone
reeks is, aangenomen dat SN f ( π2 ) naar f ( π2 ) convergeert, nu de som te
bepalen?
5. Idem voor x =
π
4.
Exercise 6 Laat f : (0, π) → IR gegeven zijn door f (x) = sin x. Kies een even
2π-periodieke uitbreiding f : IR → IR. Bereken alle Fouriercoefficienten an en
bn .
1. Bereken alle Fouriercoefficienten an en bn .
11
2. Plot f en SN f (voor een aantal waarden van N ) in een grafiek.
3. Vereenvoudig SN f in x = 0. Vergelijk dit met f (0). Van welke gewone
reeks is, aangenomen dat SN f (0) naar f (0) convergeert, nu de som te
bepalen?
4. Idem voor x =
π
2.
5. Idem voor x =
π
4.
Exercise 7 Laat f : (0, π) → IR gegeven zijn door f (x) = cos x en kies een
oneven 2π-periodieke uitbreiding f : IR → IR.
1. Bereken alle Fouriercoefficienten an en bn en plot f en SN f (voor een
aantal waarden van N ) in een grafiek.
2. Vergelijk het gedrag bij x = 0 voor N groot met dat in som 5.
3. Neem nu de oneven 2π-periodieke uitbreiding f (x) = 1−cos x (het verschil
van de functie in som 5 en de functie in deze som). Onderzoek numeriek
het gedrag van SN f bij x = 0 voor N .
Exercise 8 Laat f : (0, π) → IR gegeven zijn door f (x) = π − x en kies een
oneven 2π-periodieke uitbreiding f : IR → IR.
1. Bereken alle Fouriercoefficienten an en bn en plot f en SN f (voor een
aantal waarden van N ) in een grafiek.
2. Differentieer SN f (x) naar x en noem de afgeleide dN (x). Zijn er waarden
van x waarvoor dN (x) convergeert als N → ∞?
Exercise 9 Laat f : (0, π) → IR gegeven zijn door f (x) = x(π − x) en kies een
oneven 2π-periodieke uitbreiding f : IR → IR.
1. Bereken alle Fouriercoefficienten an en bn en plot f en SN f (voor een
aantal waarden van N ) in een grafiek.
2. Vereenvoudig SN f in x = π2 . Vergelijk dit met f ( π2 ). Van welke gewone
reeks is, aangenomen dat SN f (x) naar f (x) convergeert, nu de som te
bepalen?
3. Differentieer SN f (x) naar x en noem de afgeleide gN (x). Laat zien dat
gN (x) op IR uniform convergeert naar een limietfunctie.
4. Bepaal die limietfunctie numeriek.
5. Vergelijk gN (0) met zijn limietwaarde. Welke som van welke gewone reeks
vinden we nu?
12
3
Convergentie van Fourierreeksen
Bij de vraag of, en in welke zin, de Fourierreeks convergeert, en ook als limiet
f heeft, m.a.w. of
f (x) =
∞
X
∞
ck eikx =
a0 X
+
(ak cos kx + bk sin kx),
2
k=1
k=−∞
speelt het begrip convolutie een belangrijke rol.
Exercise 10 Laat zien dat
1
SN f (x) =
2π
Z
π
DN (y)f (x − y)dy,
−π
de convolutie van de functies Dn en f op (−π, π), waarbij
DN (x) =
N
X
sin(N + 21 )x
=
eikx .
sin 12 x
k=−N
(3.8)
Maak plotjes van DN voor een aantal waarden van N .
De functie DN heet de Dirichlet kern. Voor grote N concentreert deze functie
zich bij 0 met een steeds smallere piek waarvan de oppervlakte naar 2π gaat.
Dat is de reden dat SN f (x) naar f (x) convergeert als f voldoende netjes is.
Omdat DN voor grotere N steeds meer tekenwisselingen heeft is dit lastig om
te bewijzen. Het gemiddelde van D0 ,..,DN ,
FN (x) =
(N +1)x
2
x
2
1 sin2
1
(D0 (x) + · · · + DN (x)) =
N +1
N + 1 sin2
,
(3.9)
is een veel mooiere functie. Geen tekenwisselingen, integraal 2π, en gepiekt in
0.
Exercise 11 Leidt de laatste gelijkheid in (3.9) door
sin
x
(N + 1)x
+ · · · + sin
2
2
als imaginair deel van een eindige meetkundige reeks te schrijven. Verifieer ook
dat
Z π
FN (x)dx = 2π,
−π
en dat FN (x) → 0 als N → ∞ behalve in veelvouden van 2π. Preciezer:
0 < δ ≤ x ≤ π ⇒ 0 ≤ FN (x) ≤
1
1
.
N + 1 sin2 2δ
Voor vaste δ is de bovengrens klein te maken door N groot te maken. Merk
op dat FN (x) even en 2π periodiek is. Maak plotjes van FN voor een aantal
waarden van N .
13
Als een rij getallen an convergeert naar een limiet A, dan convergeren ook de
gemiddelden
a1 + a2 + · · · + an
n
naar A. De laatste limiet kan ook bestaan als de rij an zelf niet convergeert. Als
we de rij an gebruiken om een A te benaderen dan kunnen we dus net zo goed
eerst naar de gemiddelden kijken. Dat is het idee achter de Cesarosommen:
Exercise 12 Definieer
σN f =
1
(S0 f + S1 f + · · · + SN f ),
N +1
de Cesarosommen van f . Laat zien dat
Z π
1
σN f (x) =
FN (y)f (x − y)dy.
2π −π
Exercise 13 Laat f een integreerbare (lees: begrensde stuksgewijs continue)
2π-periodieke functie zijn. Laat zien dat dan
Z π
1
σN f (x) − f (x) =
FN (y) (f (x − y) − f (x)) dy
2π −π
Exercise 14 Laat f een integreerbare 2π-periodieke functie zijn, met |f (x)| ≤
M voor alle x, waarbij M ≥ 0 vast is. Neem aan dat voor x vast en |y| ≤ δ
geldt dat |f (x − y) − f (x)| ≤ . Laat zien dat dan
Z π
1
1
2M
|σN f (x) − f (x)| =
FN (y)|f (x − y) − f (x)|dy ≤ +
.
2π −π
N + 1 sin2 2δ
Hint: splits de integraal in 3 integralen.
Exercise 15 Laat f een 2π-periodieke continue functie zijn. Dan is f uniform
continu en begrensd. Waarom? Bewijs dat σN f uniform naar f convergeert als
N → ∞.
Exercise 16 Laat f een 2π-periodieke begrensde stuksgewijs continue functie
zijn met de eigenschap dat in elk punt de linker en de rechterlimiet bestaan.
Bewijs dat voor elke x de rij σN f (x) convergeert als N → ∞. Wat is de limiet?
Hint: splits de integraal in 4 integralen.
Exercise 17 Laat f : [−π, π] → IR 2 keer continu differentieerbaar zijn met
f (±π) = f 0 (±π) = f 00 (±π) = 0. Bewijs dat f in elk punt de som van zijn
(uniform convergente) Fourierreeks is. Hint: laat met partieel integreren en
schatten zien dat de Fouriercoefficienten an en bn sommeerbare rijen vormen.
14
Opgave 15 laat zien dat in de ruimte van continue functies 2π-periodieke functies
voorzien van de maximumnorm
||f ||∞ = max |f (x)|
x∈IR
geldt dat de Cesarosommen van f naar f convergeren: ||σN f − f ||∞ → 0
als N → ∞. Maar hoe zit het met SN f zelf? Daartoe is een andere norm
veel geschikter. Bij lineaire algebra
of topologie zijn ongetwijfeld verschillende
normen van 2-vectoren x = xx12 behandeld, bijvoorbeeld
||x||∞ = max(x1 , x2 ),
||x||1 = |x1 | + |x2 |,
1
||x||2 = (|x1 |2 + |x2 |2 ) 2 .
Als we in de laatste norm elke 2 door p vervangen (niet de subscript!) dan
krijgen we de p-norm. De p-norm is een norm als p ≥ 1. Je kunt er mee rederen
zoals je dat gewend bent bij de absolute waarde. De normaxioma’s zijn, voor
vectoren x en y, en scalairen λ:
||x|| ≥ 0;
||x|| = 0 ⇔ x = 0;
||λx|| = |λ| ||x||;
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Alleen de 2-norm is een inprodukt norm. Met x · y = x1 y1 + x2 y2 geldt
||x||22 = x · x.
Om ook voor functies de 2-norm in te voeren maken we eerst een inprodukt.
Hieronder zijn f en g steeds 2π-periodieke stuksgewijs continue functies f, g :
IR → IR. We doen dus alles eerst nog reeel. Met stuksgewijs continu bedoelen we
dat op elk begrensd interval er slechts eindig veel punten zijn waar de functie niet
continu is en dat in die punten linker- en rechterlimieten bestaan. De integraal
Z π
f ·g =
f (x)g(x)dx
(3.10)
−π
heet het inprodukt van de functies f en g. We zien f en g als vectoren. Voor
elke x zou je dan f (x) en g(x) als coordinaten van f en g kunnen zien. Daar
heb er dan wel heel veel van, voor elke x één van f en één van g. Overeenkomstige coordinaten vermenigvuldigen en sommeren gaat niet, maar integreren wel.
Vandaar de inproduktnotatie. Omdat we alles nog reeel doen kunnen we nu gebruik maken van onze intuitie voor gewone reele vectorruimten en inprodukten
daarop.
Als f · g = 0 dan zeggen we dat f en g loodrecht op elkaar staan. De 2-norm
van f wordt gedefinieerd door
p
(3.11)
kf k2 = f · f ,
15
zeg maar de lengte van f gezien als vector. Er geldt de volgende implicatie
(Pythagoras)
f · g = 0 ⇒ kf + gk22 = kf k22 + kgk22 .
(3.12)
Hieronder schrijven we
N
c0 X
SN g(x) =
+
(ck cos kx + dk sin kx),
2
(3.13)
k=1
dus f heeft reele Fouriercoefficienten ak en bk , en g heeft reele Fouriercoefficienten ck en dk . Je kunt nu het volgende programma afwerken.
Exercise 18 De Cauchy-Schwartz ongelijkheid zegt dat |f · g| ≤ kf k2 kgk2 .
1. Bewijs
R π deze ongelijkheid voor functies f en g met kf k2 = kgk2 = 1 door
0 ≤ −π (f (x) − g(x))2 dx = . . . uit te werken.
2. Bewijs de Cauchy-Schwartz ongelijkheid. Hint: pas onderdeel 1 toe op
f (x)/kf k2 en g(x)/kgk2 .
3. Bewijs de driehoeksongelijkheid voor de 2-norm
kf + gk2 ≤ kf k2 + kgk2 .
(3.14)
Exercise 19 Laat zien dat
N
1 2 X 2
a +
(ak + b2k )
2 0
2
kSN f k2 = π
!
k=1
Exercise 20 Laat zien dat
SN f · SN g = π
!
N
X
1
a0 c0 +
(ak ck + bk dk )
2
k=1
Exercise 21 Definieer RN f = f − SN f en, met
σN f =
1
(S0 f + S1 f + · · · SN f ),
N +1
ook ρN f = f − σN f .
1. Laat zien dat RN f · SN f = 0.
2. Laat zien dat RN f · σN f = 0.
3. Laat zien dat
kSN f k22 + kRN f k22 = kf k22 ,
zodat kSN f k2 ≤ kf k2 , en dat (Bessel’s ongelijkheid)
N
1 2 X 2
1
a +
(ak + b2k ) ≤
2 0
π
k=1
16
Z
π
−π
f (x)2 dx.
(3.15)
4. Laat zien dat
kRN f k22 + kσN f − SN f k22 = kρN f k22 .
5. In Opgave 15 is bewezen dat als f continu en 2π-periodiek is dat dan
σN f → f uniform op IR als N → ∞. Bewijs dat in dat geval ook
kRN f k2 → 0 en dat dus (gelijkheid van Parceval)
Z
∞
1 π
1 2 X 2
f (x)2 dx.
(3.16)
a0 +
(ak + b2k ) =
2
π −π
k=1
Hint: gebruik onderdeel 4.
6. Laat zien dat
f · g = (SN f + RN f ) · (SN g + RN g)
= SN f · SN g + RN f · RN g.
7. Bewijs dat als f en g continu en 2π-periodiek zijn, dat
Z
∞
X
1
1 π
1
a0 c0 +
(ak ck + bk dk ) =
f (x)g(x)dx = f · g.
2
π −π
π
(3.17)
k=1
Hint: gebruik onderdeel 6, som 20 en pas de Cauchy-Schwartz ongelijkheid
toe op RN f · RN g.
Exercise 22 In deze som laten we zien dat de gelijkheid van Parceval (3.16)
ook geldt voor 2π-periodieke stuksgewijs continue functies. Laat f : IR → IR
zo’n functie zijn. Hint: laat zien dat er een rij 2π-periodieke continue functies
fk : IR → IR bestaat met
Z π
kfk − f k22 =
(fk (x) − f (x))2 dx → 0
−π
als k → ∞. Als f discontinu is in x0 , vervang f (x) dan op het interval (x0 −
1
1
k , x0 + k ) door een lineaire functie, zó dat de nieuwe functie fk continu is en
lineair op (x0 − k1 , x0 + k1 ).
Exercise 23 Bewijs de gelijkheid van Parceval (3.16) voor f . Hint: de gelijkheid van Parceval is equivalent met kRN f k2 → 0. Schrijf
RN f = f − fk + fk − SN fk + SN fk − SN f = (f − fk ) + RN fk + SN (fk − f )
en gebruik de driehoeksongelijkheid (3.14) en som 3 voor SN (fk −f ) om kRN f k2
klein te krijgen. Kies hiertoe, gegeven een > 0, eerst een vaste k groot genoeg,
en redeneer dan verder.
Exercise 24 (Het Gibbs verschijnsel) De Fouriersinusreeks van f (x) = π − x
heeft bn = n2 . De oneven 2π-periodieke uitbreiding van f heeft f (0+ ) = π en
f (0− ) = −π. De N -de Fouriersinussom is
N
X
2
SN f (x) =
sin nx.
n
n=1
17
1. Laat zien dat
Z
x
x + SN f (x) =
DN (s)ds.
0
2. De integraal in het rechterlid heeft extrema in de nulpunten van DN . Het
eerste maximum MN rechts van x = 0 is dus in
x = xN =
π
.
N + 21
Laat zien dat
Z
MN =
π
N+ 1
2
0
sin((N + 12 )s
ds =
sin 12 s
Z
=2
0
3. Laat zien dat
π
Z
π
0
sin t
1
dt
1 t
sin( 2 N + 1 ) N + 12
2
t
sin t 2N +1
dt.
t sin( 2Nt+1 )
t
2N +1
sin( 2Nt+1 )
→ 1,
uniform op t ∈ [0, π].
4. Laat zien dat
Z
MN → 2
0
π
sin t
dt
t
als N → ∞.
5. De functie SN f (x) heeft in x = xN een negatieve afgeleide. Leg uit
waarom ook het eerste maximum van SN f (x) rechts van x = 0 naar
Z π
sin t
2
dt
t
0
convergeert als N → ∞. Dat is groter dan π = f (0+ ) met een factor
1.178979744.
R∞
Exercise 25 De integraal 0 sint t dt is en wel uit te rekenen, met behulp van
iz
de complexe functie ez , zie Sectie 81 en 82 van Churchill & Brown.
Exercise 26 (De Fourierreeks van de afgeleide en van de primitieve) Lees eerst
dit zorgvuldig. Alle uitspraken die we doen gaan over Fourierreeksen van periodieke functies. Vaak is dat een functie die eerst alleen op een interval is
gedefinieerd en daarna wordt uitgebreid tot een periodieke functie op heel IR.
Zo’n uitbreiding kan sprongen introduceren, vandaar ook onze standaardaanname dat de (eventueel uitgebreide) f een 2π-periodieke stuksgewijscontinue
functie is. De door term voor term differentiatie van een Fourierreeks van een
discontinue 2π-periodieke f verkregen reeks is nooit de Fourierreeks van een
functie!
18
1. Laat met voorbeelden zien wat er mis gaat als f sprongen heeft.
2. Neem aan dat f een 2π-periodieke continue functie is met f 0 stuksgewijs
continu. Druk de Fouriercoeffienten van f 0 uit in die van f .
3. Ga in de situatie van onderdeel 2 na dat de Fourierreeks van f 0 uit die
van f verkregen kan worden door term voor term te differentiëren.
4. In de situatie van onderdeel 2 convergeert de Fourierreeks van Rf uniform
x
naar f : SN f (x) → f (x) uniform in x als N → ∞. Laat F (x) = 0 f (s)ds.
Is F (x) de som van een Fourierreeks? Wanneer wel en wanneer niet?
5. Neem nu alleen Raan dat f een 2π-periodieke stuksgewijs continue functie is
x
en laat F (x) = 0 f (s)ds. Is F (x) de som van een Fourierreeks? Wanneer
wel en wanneer niet? Zoja, wat is het verband tussen de Fourierreeks van
F en die van f ?
4
Van Fourierreeksen naar Fourierintegralen
Voor f : [−π, π] → IR stuksgewijs continu schrijven we dus
∞
X
π
Z
1
f (x) ∼
2π
n=−∞ |
−π
f (x)e−inx dx einx
{z
}
(4.18)
cn
waarin de x in de integraal een dummy-variabele is.
Exercise 27 Laat zien dat (3.16) in deze vorm leidt tot
∞
X
|cn |2 =
n=−∞
1
2π
Z
π
|f (x)|2 dx.
(4.19)
−π
Afgezien van de factor met 2π zijn de 2-norm van de functie f en de bijbehorende
rij c = (. . . , c−2 , c−1 , c0 , c1 , c2 , . . .) van Fouriercoefficienten hetzelfde.
We transformeren (4.18) en (4.19) naar formules op [−R, R] door
Rx = πy,
f (x) = g(y),
λn =
nπ
,
R
δλ = λn+1 − λn =
π
.
R
Dit geeft voor (4.18)
g(y) ∼
∞ Z R
π
1 X
g(y)e−iλn y dy eiλn y
,
2π n=−∞ −R
R
|{z}
|
{z
}
→ ĝ(λn ) as R→∞
met
Z
∞
g(y)e−iλy dy,
ĝ(λ) =
−∞
19
δλ
(4.20)
de Fourier getransformeerde van g, die goed gedefinieerd is als g : IR → IR
continu is en een compacte drager heeft6 . In dat geval is dus voor R groot
genoeg
Z ∞
∞
1 X
1
ĝ(λ) eiλy dλ,
g(y) ∼
ĝ(λn ) eiλn y δλ →
(4.21)
2π n=−∞
2π −∞
|
{z
}
|
{z
}
integraal
Riemann som
als R → ∞, mits de aftelbare Riemann som hierboven inderdaad de integraal
Z ∞
ĝ(λ) eiλy dλ
−∞
als limiet heeft. Er moet dus een stelling te formuleren zijn die deze overgang
rechtvaardigt en die van de ∼ een = maakt. De uitspraak van de stelling moet
zijn dat
Z ∞
Z ∞
1
g(y)e−iλy dy.
(4.22)
g(y) =
ĝ(λ) eiλy dλ, ĝ(λ) =
2π −∞
−∞
Let op de symmetrie in de formules. Afgezien van de ”min” en de voorfactor
zijn ze hetzelfde. Van g maar ĝ is dus vrijwel hetzelfde als van ĝ (terug) naar
g! De minimale aannamen op g zijn vrij technisch en lastig te onthouden.
Een manier om de stelling te bewijzen is eerst hele sterke aannamen te doen,
en daarvoor de stelling te bewijzen. De grenzen van de geldigheid van (4.22)
kunnen dan daarna met limietprocedures worden verkend. Dat laatste laten
we hier achterwege, maar is volledig vergelijkbaar met de manier waarop de
rekenkundige operaties in de rationale getallen worden uitgebreid tot de reele
getallen.
Exercise 28 Laat zien dat als g continu is op IR en nul buiten [−R, R], dat
Z
∞
|g(y)|2 =
−∞
∞
1 X
|ĝ(λn )|2 δλ.
2π n=−∞
In de afleiding hierboven hebben we al aangenomen dat g compact gedragen
is. Daarmee bedoelen we dat buiten een zeker begrensd interval g(y) gelijk
aan nul is. We zullen nu ook aannemen dat g oneindig vaak differentieerbaar
is. Zulke oneindig vaak differentieerbare en compact gedragen functies worden
testfuncties genoemd en meestal met een φ of ψ aangegeven. Voor testfuncties
φ geldt op grond van Opgave 17 zeker dat φ(y) gelijk is aan een oneindige
Riemannsom waarin φ̂ voorkomt:
∞
1 X
φ(y) =
φ̂(λn ) eiλn y δλ
2π n=−∞
6 i.e.
λ0 = 0,
λn+1 − λn = δλ =
er is een R zo dat g(y) = 0 voor alle y met |y| > R.
20
π
, (4.23)
R
goed voor elke R groot genoeg. De som is een aftelbare Riemannsom voor
Z ∞
φ̂(λ) eiλy dλ.
−∞
Voor vaste y is dit een oneigenlijke integraal van een continue functie, vanwege:
Exercise 29 Laat zien dat
Z
∞
φ(y)e−iλy dy
φ̂(λ) =
−∞
continu is als φ(y) begrensd is en compact gedragen.
We weten dat gewone integralen over begrensde intervallen de limiet zijn van
benaderende Riemannsommen. Onder wat voorwaarden geldt dit ook voor
oneigenlijke integralen?
Exercise 30 Als f : IR → C
1 continu is en voldoet aan een schatting van de
vorm
M
|f (x)| ≤ 2
x
dan is
!
Z ∞
∞
X
f (nh) .
f (x)dx = lim h
−∞
h↓0
n=−∞
Bewijs dit.
Geldt zo’n schatting ook voor φ̂(λ)? Met andere woorden, is er voor een gegeven
φ een M zo dat φ̂ voldoet aan
|φ̂(λ)| ≤
M
?
λ2
Exercise 31 Laat zien dat voor testfuncties geldt dat
φ̂0 (λ) = iλφ̂(λ),
φˆ00 (λ) = −λ2 φ̂(λ).
Hint: partieel integreren.
Exercise 32 Verzamel alle informatie hierboven en leg uit waarom voor testfuncties geldt dat
Z ∞
Z ∞
1
iλy
φ̂(λ) e dλ, φ̂(λ) =
φ(y)e−iλy dy,
(4.24)
φ(y) =
2π −∞
−∞
en ook
Z
∞
−∞
|φ(y)|2 dy =
1
2π
21
Z
∞
−∞
|φ̂(λ)|2 dλ.
(4.25)
De factor met 2π verstoort de symmetrie in de formules een beetje. Met de
definitie
Z ∞
1
φ(y)e−iλy dy,
φ̂(λ) = √
2π −∞
volgt
1
φ(y) = √
2π
Z
∞
φ(λ) e
iλy
Z
∞
Z
2
∞
|φ(y)| dy =
dλ,
−∞
−∞
|φ̂(λ)|2 dλ.
−∞
voor testfuncties. De afbeelding
φ → φ̂
breidt op een natuurlijke manier uit tot een isometrie van de ruimte H van
kwadratisch integreerbare complexe meetbare functies naar zich zelf. De norm
op H is de 2-norm
sZ
∞
|f (x)|2 dx,
||f ||2 =
−∞
en de algemenere definitie van fˆ is
1
fˆ(λ) = √
lim
2π R→∞
Z
R
φ(y)e−iλy dy,
−R
waarin de integraal over [−R, R] eigenlijk de Lebesgue integraal is, die bij het
vak maattheorie wordt behandeld. Limieten van integralen van dit type worden
in Churchill & Brown uitgerekend met de residustelling en het Lemma van
Jordan.
5
Laplace transformaties
6
Differentiation = linear approximation,
real vs complex
Let X, Y be normed vector spaces, f : X → Y , e.g. X = IRn , Y = IRm and p
denote some point in X.
Definition. f is called differentiable in p if there exists A : X → Y linear and
continuous such that R : X → Y defined implicitly by
f (x) = f (p) + A(x − p) + R(x), satisfies lim
x→p
|R(x)|
= 0.
|x − p|
Here the vertical bars | | denote the norm or length of the quantity in between.
22
Simplest case. X = IR, Y = IR. In this case A(x − p) = f 0 (p)(x − p) and it
seems we are nitpicking. Why not use the (equivalent) definition
f (x) − f (p)
df
(p) = f 0 (p) = lim
if the limit exists,
x→p
dx
x−p
and call f differentiable in p ∈ IR if this happens to be the case?
Answer. Because this only works for X = IR and does not take us very far.
Second simplest case. X = IRn , Y = IRm . In this (Calculus 2) case A may
be seen as a matrix. The first row of the matrix has the partial derivatives of
the first component of f as entries, the second row the partial derivatives of the
second component of f , etc, so
Aij =
∂fi
(p),
∂xj
the matrix of all partial derivatives (Jacobian matrix) in p. In other words, the
first row is the gradient of f1 , the second of f2 , etc. We write ∂ instead of d.
Warning. The existence of all these partial derivatives means nothing without:
Main theorem for second simplest case. If all the partial derivatives are
continuous in p (what does this, implicitly, mean?) then f is differentiable in
p ∈ X and A is given by the Jacobian matrix as above.
Special second simplest case. X = IR2 , Y = IR2 . Here we usually write
(x, y) instead of (x1 , x2 ), (p, q) instead of (p1 , p2 ), and (u, v) instead of (f1 , f2 ),
to allow for reinterpretation of f : C
1 → C
1 below. In this case
!
∂u
∂u
∂x (p, q)
∂y (p, q)
A=
∂v
∂v
∂x (p, q)
∂y (p, q)
Also of interest
In between simplest and second simplest case. X = IRn , Y = IR. Now, provided
f is differentiable in p, A = 0 corresponds to necessary (not sufficient) conditions
for f to have an extremum in p.
A physical example, classical mechanics. f is difference between kinetic and
potential energy, A = 0 is equivalent to the equations of motion.
Complex functions f : C
1 → C
1 , s denotes a point in C
1.
Definition. f is called differentiable in s ∈ C
1 if there exists α ∈ C
1 such that
R: C
1 → C
1 defined implicitly by
f (z) = f (s) + α(z − s) + R(z), satisfies lim
z→s
23
|R(z)|
=0
|z − s|
Now the vertical bars | | denote the absolute value, which is the length of the
corresponding vector in IR2 . We have, as for f : IR → IR, that
f (z) − f (s)
= α,
z→s
z−s
f 0 (s) = lim
which works fine for polynomials like f (z) = z 3 − z + 1, giving what we (should)
expect, but what if we only know u and v, for instance f (z) = exp(z)?
Writing α = a + ib, z = x + iy, s = p + iq, f = u + iv, to compare to
f = (u, v) : IR2 → IR2 , we find that the 2x2 matrix A must have a special
form, namely
a −b
A=
,
b a
simply because
α(z − s) ∈ C
1
rewrites as
a
b
−b
a
x−p
y−q
∈ IR2 .
Combining the main theorem above for f : IR2 → IR2 , with the special form of
A, a sufficient condition for complex differentiability of f = u + iv in
s = p + iq is the continuity of all four partial derivatives in (p, q), plus
the Cauchy-Riemann equations in s = p + iq which characterise the special
form of A, i.e.
∂v
∂u
(p, q) =
(p, q),
∂x
∂y
∂u
∂v
(p, q) = − (p, q).
∂y
∂x
You can verify directly that complex differentiability implies the Cauchy Riemann equations.
Remark. f = u + iv : C
1 → C
1 differentiable in s = p + iq is equivalent
to f = (u, v) : IR2 → IR2 differentiable in (p, q) combined with the CauchyRiemann equations in (p, q).
N.B. f = (u, v) : IR2 → IR2 differentiable in (p, q) is often best verifiable using
the main theorem above.
Exercises
1. Verify, both by means of the limit definition, as well as by using the CauchyRiemann equations, that f (z) = z 2 is differentiable in every z ∈ C
1 . Determine
f 0 (z).
2. Verify, both by means of the limit definition, as well as by using the CauchyRiemann equations, that f (z) = z1 is differentiable in every 0 6= z ∈ C
1 . Determine f 0 (z).
2. Verify, using the Cauchy-Riemann equations, that f (z) = exp(z) is differentiable in every z ∈ C
1 . Determine f 0 (z).
24
7
Complex differentiability, summing up
• Differentiability. Let ∅ 6= G ⊂ C
1 be open, f : G → C
1 . Then f is called
(complex) differentiable in a ∈ G if
lim
z→a
f (a + h) − f (a)
f (z) − f (a)
= lim
h→0
z−a
h
exists. The limit is called f 0 (a), the (complex) derivative of f in a.
– Using the identity (fill in the dots)
z n − wn = (z − w) (z n−1 + · · · + wn−1 ),
|
{z
}
n − 1 terms
the functions z → z n are differentiable in every a ∈ C
1 for every
positive integer n, with the derivative you expect:
(z n )0 = nz n−1 ( and likewise
((z − α)n )0 = n(z − α)n−1 ).
– For z 6= 0 (respectively z 6= α) this is also true.
– f is (complex) differentiable in a ∈ G ⇒ f is continuous in a ∈ G.
– If also g : G → C
1 is differentiable in a ∈ G then f g : G → C
1 is
differentiable in a and Leibniz’ product rule holds:
(f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a).
– For the chain rule assume f (G) ⊂ Ω, Ω ⊂ C
1 open and g : Ω → C
1
differentiable in b = f (a), a ∈ G. If f is differentiable in a then
g◦f : G→ C
1 is differentiable in a with
(g ◦ f )0 (a) = g 0 (b)f 0 (a) = g 0 (f (a))f 0 (a).
– If G is also connected, and f : G → C
1 is differentiable with f 0 (z) = 0
for all z ∈ G, then f (z) is equal to a constant on G.
We note that considering G ⊂ IR2 and writing
f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y),
Φ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)),
complex differentiability in α = a + ib ∈ G is more than differentiability
of the map Φ : G → IR2 in (a, b) as defined in terms of the linearization
of Φ(x, y) around (a, b). This involves a 2x2 matrix A, which is then
necessarily equal to
!
A=
∂u
∂x
∂v
∂x
∂u
∂y
∂v
∂y
(evaluated in (a, b)).
25
If Φ is differentiable in (a, b) with linearization given by A, then f is
complex differentiable in α = a + ib if in addition the Cauchy-Riemann
equations hold in (a, b), that is
∂u ∂v
∂u ∂v
−
=0=
+
∂x ∂y
∂y
∂x
in (a, b).
This is equivalent to A defining a linear map which is a rotation followed
by a point multiplication.
• Writing
f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y),
f is analytic on an open set G if u and v have continuous first order partial
derivatives on G which satisfy
∂u ∂v
∂u ∂v
−
=0=
+
∂x ∂y
∂y
∂x
in all of G.
• If in this case u and v have continuous second order partial derivatives7 on
G, then both u and v are harmonic. They are called harmonic conjugates.
Every harmonic function on a open disk or on C
1 has a harmonic conjugate,
but log(x2 + y 2 ) does not have one on C
1 \{0}. This will be clear from the
discussion of the complex logarithm below.
• The complex exponential function is defined as
exp(z) = ez =
+∞ n
X
z
n!
n=0
for all z ∈ C
1 , and it satisfies exp0 (z) = exp(z) and exp(z+w) = exp(z) exp(w).
It is not hard to derive that
exp(x + iy) = ex (cos y + i sin y).
The exponential function is 2πi-periodic and never zero. The functions
cos and sin may be defined by
cos z =
exp(iz) + exp(−iz)
,
2
sin z =
exp(iz) − exp(−iz)
.
2i
• Writing w = exp(z), its inverse on C
1 \{0} is computed as
log w = log |w| + i arg w,
which is a multi-valued function because arg w is defined modulo 2π only.
Thus log w is really the solution set
{z ∈ C
1 : exp(z) = w}.
7 We
will see that this in fact automatic.
26
Interchanging the role of z and w, a continuous function f : G → C
1
on an open connected set G ⊂ C
1 is a called branch of the logarithm if
exp(f (z)) = z for all z ∈ G. If such a branch exists, all the other branches
of the logarithm are of the form g(z) = f (z) + 2kπi with k an integer. All
these g are branches of the logarithm and analytic, with derivative
f 0 (z) = g 0 (z) =
1
.
z
The standard choice with arg z ∈ (−π, π) and z 6∈ (−∞, 0] is an example
of a branch of the logarithm with G = C
1 \(−∞, 0].
• Analytic functions as conformal mappings unless the derivative vanishes.
This is explained looking at smooth curves and their images, and examining their tangent vectors.
8
Convergentie van machtreeksen
P∞
• Series. Let an ∈ C
1 , n = 0,P
1, 2, . . .. The series n=0 an is convergent in
n
C
1 if the partial sums sn = k=0 ak converge in C
1 to a limit S ∈ C
1 , i.e.
∀ > 0 ∃N ∀n ≥ N : |sn − S| = |
n
X
ak − S| < .
k=0
P∞
Notation:
S = n=0 an .
P∞
P∞
n=0 an is called absolutely convergent if
n=0 |an | is convergent in IR.
P∞
P∞
–
1.
n=0 an is absolutely convergent ⇒
n=0 an is convergent in C
The proof consists of showing that sn is a Cauchy sequence.
P∞
P∞
– Multiplication
convergent series n=0 an and n=0 bn .
Pn of two absolutely
P∞
Let cn = k=0 ak bn−k , then n=0 cn is absolutely convergent, and
(
∞
X
n=0
an )(
∞
X
bn ) =
n=0
∞
X
cn =
n=0
n
∞ X
X
ak bn−k .
n=0 k=0
We don’t really need this here in view the fact that for powerseries
we will get this for free from the powerseries representation theorem
for analytic functions and the differentiability of the sum by means
of term by term differentiation, see below.
• Power series. These are series of the form
f (z) =
+∞
X
an (z − a)n ,
n=0
with a ∈ C
1 , an ∈ C
1 , n = 0, 1, 2, . . . and z ∈ C
1.
27
NB. From here on we shall destinguish between −∞, +∞ and ∞. The
symbol ∞ is reserved exclusively for the point at infinity in the extended
complex plane C
1 ∞ . Thus ∞ corresponds to the North Pole on the
Poincaré sphere via stereographic projection.
• We laten zien dat machtreeksen differentieerbaar zijn door eerste heel
precies de differentieerbaarheid van z n te behandelen.
1. Laat zien dat de identiteit
n−1
X
z n − wn
− nwn−1 = (z − w)
kz n−1−k wk−1
z−w
k=1
= (z − w)(z n−2 + 2z n−3 w + 3z n−4 w2 + · · · + (n − 1)wn−2 )
geldt voor z, w ∈ C
1 met z 6= w.
2. Bewijs dat
|
n(n − 1) n−2
z n − wn
− nwn−1 | ≤
r
|z − w|
z−w
2
voor z, w ∈ C
1 , n ∈ IN en r > 0 met z 6= w, |z| ≤ r en |w| ≤ r.
• Nu de complexe differentieerbaarheid van de machtreeks. Laat
f (z) =
∞
X
an z n
en g(z) =
n=0
∞
X
nan z n−1 .
n=0
Neem aan dat de machtreeks voor f (z) convergent is in z0 ∈ C
1 en dat
0 < R < |z0 |.
1. Laat zien dat
∞
X
n2 |an |Rn
n=0
convergent is.
2. Gebruikt mag en moet nu worden dat voor A0 , A1 , A2 , . . . ∈ C
1 geldt
dat
∞
X
|An | < ∞
⇒
n=0
∞
X
An
is convergent
en
|
n=0
∞
X
n=0
An | ≤
∞
X
|An |.
n=0
Neem aan dat de machtreeks voor g(z) convergent is voor elke z ∈ C
1
met |z| ≤ R. Bewijs met behulp van het bovenstaande dat er een
M > 0 is zo dat
|
f (z) − f (w)
− g(z)| ≤ M |z − w|
z−w
voor alle z, w ∈ C
1 met |z| ≤ R, |w| ≤ R en z 6= w.
28
3. Leg uit waarom aan de convergentie aanname voor g(z) voldaan is.
4. Leg uit waarom f en g differentieerbaar zijn in elke z ∈ C
1 met
|z| < |z0 |.
It principle it depends on z whether the series is convergent in C
1 . If it is,
then the z-dependent sum of the series is denoted by f (z). It may happen
that only f (a) is defined, and it may happen that f (z) is defined for all
z ∈ C
1 . These two extreme cases correspond to R = 0 and R = +∞ in
the statements below.
– Every power series has a unique R ∈ [0, +∞] such that
∗ The power series is absolutely convergent if |z − a| < R,
uniformly on every disk {z ∈ C
1 : |z − a| ≤ r} with 0 < r < R.
∗ The terms in the power series are unbounded if |z − a| > R.
This R is called the radius of convergence. It can be defined in terms
of the coefficients by
1
1
1
= lim sup |an | n = inf sup |an | n .
N ≥0 n≥N
R
Note that lim sup is defined for real nonnegative An by
lim sup An =
–
–
–
–
lim
sup An = inf sup An ,
N →+∞ n≥N
N ≥0 n≥N
if the sequence An is bounded (making the sups a nonincreasing sequence with a nonnegative limit). If the sequence of real nonnegative
An is unbounded then all the sups and the limsup are understood to
1
be +∞. If this happens in the formula for R with An = |an | n , then
R = 0. If the limsup in the formula for R is zero, then R = +∞.
If
an
R = lim |
|
n→+∞ an+1
exists (including the divergent limit case +∞), then it is the radius
of convergence. It is instructive to prove directly that with this R
the convergence properties above hold.
The power series is uniformly convergent on Dr (a) if 0 < r < R.
Consequently f is continuous on DR (a).
Two power series
f (z) =
+∞
X
an (z − a)n
n=0
and g(z) =
+∞
X
bn (z − a)n
n=0
convergent on Dr (a) may be multiplied term by term to produce a
new power series
h(z) =
+∞
X
cn (z − a)n
n=0
with cn =
n
X
k=0
29
ak bn−k ,
convergent on Dr (a), with h(z) = f (z)g(z). The radius of h is at
least equal to the minimum of the radii of f and g.
– Examples:
+∞
X
+∞ n
X
z
has R = +∞;
n!
n=0
z n has R = 1;
n=0
+∞
X
n!z n has R = 0.
n=0
– By the direct proof in dutch above, f : DR (a) → C
1 is differentiable
with (term by term differentiation)
f 0 (z) =
+∞
X
nan (z − a)n−1 =
n=0
+∞
X
(n + 1)an+1 (z − a)n ,
n=0
with the same R for the differentiated power series.
– This last statement applies again to f 0 : DR (a) → C
1 , etc.
– Thus
an =
f (n) (a)
n!
n = 0, 1, 2 . . .
• l’Hôspital’s rule. With f (z) and g(z) defined as power series above,
lim
z→a
f (z)
a0
f (0)
=
=
g(z)
b0
g(0)
f (z)
a1
f 0 (0)
=
= 0
z→a g(z)
b1
g (0)
lim
a2
f 00 (0)
f (z)
=
= 00
z→a g(z)
b2
g (0)
lim
if
if g(0) = b0 6= 0,
if f (0) = g(0) = 0 6= g 0 (0),
f (0) = f 0 (0) = g(0) = g 0 (0) = 0 6= g 00 (0),
etc. This is l’Hôspital’s (repeated) rule for 00 limits.
If l’Hôspital’s (repeated) rule fails for lim fg it works for lim fg .
9
Topology
• Topology is extremely useful in (mathematical and other) applications.
It provides a general framework for many concepts:
– continuity of functions;
– connectedness and compactness properties of sets;
– combining these concepts to prove existence of solutions
(of equations we/you should want to solve).
Topology comes in two forms, with or without a metric (distance).
• Metric topology on a nonempty set X requires a metric d on X. A metric
on X assigns to every x, y ∈ X a real number d(x, y) in such a way that
30
– d(x, y) ≥ 0;
– d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
– d(x, y) = d(y, x);
– d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, x),
for all x, y, z ∈ X. If d is a metric on X, the pair (X, d) is called a metric
space. To say that X is metric space sloppily means that the choice of the
metric d is considered to be obvious.
• Convergence in (complete) metric spaces.
– A Cauchy sequence in a metric space X is a sequence (xn )∞
n=1
in X with d(xm , xn ) → 0 when m, n → ∞.
– A sequence (xn )∞
n=1 in a metric space X is called convergent in X
if d(xn , L) → 0 when n → ∞ for some limit L ∈ X.
The limit is then unique.
– A metric space X is complete if all Cauchy sequences
in X are convergent in X.
– K ⊂ X is sequentially compact if every sequence in K
has a subsequence which is convergent in K.
• C
1 = IR2 is a complete metric space. Moreover:
– Heine-Borel Theorem:
K⊂ C
1 is sequentially compact ⇔ K is closed and bounded.
• Another important example of a metric topological (vector) space:
the space H(G) of all complex differentiable functions f : G → C
1
(defined on some open connected8 ∅ =
6 G⊂ C
1 ).
It is not so easy to define the metric on H(G) because it is not a metric
that comes from a norm. It is in fact a bounded metric.
• Let X be a set and Ω a metric space with metric ρ. A sequence of functions
(maps) fn : X → Ω (where n = 1, 2, 3, . . .) converges uniformly to a limit
function f : X → Ω if
∀ > 0 ∃N ∀n ≥ N ∀x ∈ X : ρ(fn (x), f (x)) < .
• If so, and X is a metric space and all fn : X → Ω are continuous, then
f : X → Ω is also continuous.
• Special case X = K ⊂ C
1 compact, Y = C
1 . The metric
d(f, g) = sup{|f (z) − g(z)| : z ∈ K}
8 Every
two points in G can be connected by a polygonal curve in G
31
makes
C(K) = {f : K → C
1 : f is continuous}
a complete metric space. Note that ||f || = d(f, 0) defines a norm on the
vector space C(K), which is a (complete) normed space. If ||fn −fm || → 0
as m, n → +∞, then fn converges to a limit in C(K).
• This metric (norm) does not make
C(G) = {f : G → C
1 : f is continuous}
a metric (normed) space if G ⊂ C
1 is open, because it is not well defined
on C(G), nor is it well defined on H(G).
• Uniform convergence of series of complex valued functions.
– Let X be a set and un : X → C
1 (where n = 1, 2, 3, . . .). The series
∞
X
un
n=1
is called uniformly convergent if the partial sums converge uniformly
to a limit function. The limit is (also) denoted by the sum above and
is called the sum of the series.
– Weierstrass M -test. Suppose there are (nonnegative) real numbers
Mn such that |un (x)| ≤ Mn for all x ∈ X and all n. Then the series
is uniformly convergent if
∞
X
Mn < ∞.
n=1
10
Möbius transformations
Analytic functions are conformal mappings unless the derivative vanishes. This
is explained looking at smooth curves and their images, and examining their
tangent vectors.
• Möbius transformations. These are variants of the map z → z1 and are
best considered on the extended complex plane C
1 ∞ . Considering lines
as circles (through ∞) they take circles to circles. For given distinct
z1 , z2 , z3 , z4 ∈ C
1 ∞ the cross ratio is defined by
(z1 , z2 , z3 , z4 ) =
z1 − z3 z2 − z4
,
z1 − z4 z2 − z3
with obvious extensions for limit cases in which one of the points is ∞.
This cross ratio is real if and only if z1 , z2 , z3 , z4 lie on a circle or line. The
relation
(z ∗ , z2 , z3 , z4 ) = (z, z2 , z3 , z4 )
32
defines a symmetry relation between z and z ∗ : they are each others mirror
images under reflection in the circle/line through z2 , z3 , z4 . The map
z → (z, z2 , z3 , z4 )
takes the points z2 , z3 , z4 to 1, 0, ∞. The cross ratio is invariant under the
Möbius transformations
az + b
,
z→
cz + d
which are required to have ad − bc 6= 0. Note that z → (z, z2 , z3 , z4 ) is
itself a Möbius transformation. The Möbius transformations form a group,
related to the group of 2 × 2 matrices with complex entries a, b, c, d and
nonzero determinant.
What are the bijective analytic maps from a nonempty bounded open disk to
another nonempty bounded open disk?
• If both disks are the open unit disk D = {z ∈ C
1 : |z| < 1} then you can
choose a ∈ D and demand f (a) = 0. It is a nice exercise to show that the
Möbius map
z−a
φa (z) =
1 − āz
is such a bijection. It also takes the boundary bijectively to the boundary,
1
2
0
(both derivatives
its inverse is φ−a , and φ0a (a) = 1−|a|
2 , φa (0) = 1 − |a|
are positive).
• It is a nice theorem that, upto a factor c ∈ C
1 with |c| = 1, it is the
unique analytic bijection between D and itself which takes a to 0. That
is, f = cφa with a ∈ D and |c| = 1. This theorem is easily adapted to
answer the original question. It is in fact a special case of the Riemann
mapping theorem discussed in the next section.
– The proof is based on Schwarz’ lemma. If f is analytic on the open
unit disk D, with f (0) = 0 and |f (z)| ≤ 1 for all z ∈ D, then
|f 0 (0)| ≤ 1 and |f (z)| ≤ |z| for all z ∈ D. Equality in the first
inequality or, in some z 6= 0, equality in the second inequality is only
possible if f (z) = cz with |c| = 1.
– The proof of Schwarz’s lemma requires the maximum modulus theorem for the analytic function g(z) = f (z)
which has a removable
z
singularity in z = 0. Use the open mapping theorem to show that
it is impossible that the modulus |g(z)| has an interior maximum on
any smaller disk Dr = {z ∈ C
1 : |z| < r} (unless g(z) is constant,
whence f (z) = cz with |c| ≤ 1, in which case the proof is done).
Since |g(z)| ≤ 1r on the boundary of Dr it follows that |g(z)| ≤ 1r on
Dr for any 0 < r < 1, whence |g(z)| ≤ 1 on D. Equality is again
impossible unless g(z) is constant c, now with |c| = 1. That leaves
|g(z)| < 1 on D and completes the proof of Schwarz’ lemma.
33
– If f is analytic on the open unit disk D with |f (z)| ≤ 1 for all z ∈ D,
take a ∈ D and α = f (a). Then the composition g = φα ◦ f ◦ φ−a ,
φα
→
g: D
D
f
→ D
φ−a
→
D,
takes 0 to 0. By Schwarz’ lemma and the chain rule
1 ≥ |g 0 (0)| =
1 − |α|2 0
|f (a)| so that
1 − |a|2
|f 0 (a)| ≤
1 − |a|2
.
1 − |α|2
Equality only if g(z) = cz with |c| = 1.
– If f D → D is an analytic bijection, with f (a) = 0, then this estimate
applies to f 0 (a) and (f −1 )0 (0), while their product is equal to 1, as
well as the product of the right hand sides in the estimates. Hence
equality holds above for g and the proof follows.
11
Line integrals the hard way
This is taken from Conway’s book.
• Riemann-Stieltjes integrals and line integrals.
– Line integrals will be defined for curves described by γ : [a, b] → C
1.
If γ : [a, b] → C
1 is continuous, it is called a path. For integration
paths should have finite length.
∗ To define this concept, introduce
V (γ, P ) =
m
X
|γ(tk ) − γ(tk−1 )|
k=1
for P = {a = t0 ≤ t1 < · · · ≤ tm = b} and γ : [a, b] → C
1.
Such a P is called a partition of [a, b]. The maximal length of a
subinterval of P is
||P || =
max (tk − tk−1 )
k=1,...,m
∗ If for a given γ : [a, b] → C
1 the set of all numbers V (γ, P ) is
bounded, then γ : [a, b] → C
1 is said to be of bounded variation.
∗ The supremum
V (γ; [a, b]) = V (γ) = sup V (γ, P )
P
is called the total variation of γ on [a, b].
∗ We shall write
|γ|(t) = V (γ; [a, t]),
which may be discontinuous (not if γ(t) is continuous).
34
∗ If γ : [a, b] → C
1 is also continuous,
then γ is called a rectifiable path (with finite length V (γ)).
∗ If γ : [a, b] → C
1 is continuously differentiable,
then γ is called a smooth9 path.
∗ If γ : [a, b] → C
1 is a smooth path,
then γ is a rectifiable path, with finite length
Z
V (γ) =
b
|γ 0 (t)|dt.
a
– We next need to define Riemann-Stieltjes integrals
Z
b
f dγ,
a
for f : [a, b] → C
1 continuous and γ : [a, b] → C
1 of bounded variation, defined as limits of Riemann-Stieltjes sums
m
X
f (τk ) (γ(tk ) − γ(tk−1 )) ,
k=1
with tk−1 ≤ τk ≤ tk . We may define
Z
m
X
b
f dγ = lim
||P ||→0
a
f (τk ) (γ(tk ) − γ(tk−1 )) ,
k=1
meaning that for any > 0 there is δ > 0 such that the absolute
value of the difference between right and left hand side is smaller
than > 0, provided ||P || < δ. It is a theorem (IV, Thm 1.4) that
in this sense the integral exists if f : [a, b] → C
1 is continuous and
γ : [a, b] → C
1 is of bounded variation.
∗ Riemann-Stieltjes integrals can be defined/computed as
b
Z
b
Z
f dγ =
a
Z
f (t) dγ(t) =
a
b
f (t)γ 0 (t) dt,
a
if f : [a, b] → C
1 is continuous and γ : [a, b] → C
1 is smooth.
∗ The obvious linearity properties in f and γ hold.
∗ The obvious concatenation properties hold
(important for integration over continuous piecewise smooth paths).
∗ This triangle inequality and maximum estimate holds:
Z
|
Z
b
f dγ| ≤
a
9 Many
b
|f | d|γ| ≤ max |f (t)| V (γ).
a
authors require in addition that γ 0 (t) 6= 0, why?
35
a≤t≤b
– Line integrals will be defined as
Z
Z
Z
f=
γ
γ
b
f ◦ γ dγ,
f (z) dz =
a
if γ : [a, b] → C
1 is continuous10 and of bounded variation (in other
words, γ : [a, b] → C
1 is a rectifiable path) and f is defined and
continuous on the trace
{γ} = {z = γ(t) : a ≤ t ≤ b}
of γ.
– If γ : [a, b] → C
1 is continuously differentiable, then
Z
Z
f=
γ
b
f (γ(t))γ 0 (t) dt,
a
for f : [a, b] → C
1 continuous.
This generalises the substitution formula from calculus.
∗ The obvious linearity properties in f hold.
∗ The obvious concatenation properties hold.
∗ Continuous piecewise smooth paths can be evaluated
using the generalised substitution formula.
∗ It is convenient to also define
Z
Z b
Z b
Z b
f |dz| =
f ◦γ d|γ| =
f (γ(t)) d|γ|(t) =
f (γ(t)) |γ 0 |(t) dt,
γ
a
a
a
the latter expression being valid if γ is smooth.
∗ The triangle inequality and this maximum estimate hold:
Z
|
Z
f| ≤
γ
Z
b
|f (z)|d|z| =
γ
|f ◦ γ| d|γ| ≤ max |f (z)| V (γ).
z∈{γ}
a
– Reparametrization. Assuming γ : [a, b] → C
1 rectifiable and f defined and continuous on {γ}, let φ : [c, d] → [a, b] be continuous,
non-decreasing and surjective. Then γ ◦ φ is rectifiable and
Z
Z
f=
f.
γ
γ◦φ
If φ : [c, d] → [a, b] is non-increasing instead of non-decreasing, then
Z
Z
f =−
f.
γ
10 Continuity
is required to make f ◦ γ continuous.
36
γ◦φ
– Equivalence classes of rectifiable paths. If
γ : [a, b] → C
1
and σ : [c, d] → C
1
are rectifiable, and
φ : [c, d] → [a, b] is continuous, strictly increasing and surjective,
such that
σ = φ ◦ γ,
then γ and σ are called equivalent, and φ is called a change of parameter. A curve is by definition an equivalence class [γ] of rectifiable
paths. Of course we always write γ instead of [γ]. Note that the
begin- and endpoint of a curve are well defined.
– If a curve γ with beginpoint α and endpoint β lies in an open set
G⊂ C
1 , and F : G → C
1 is analytic, then
Z
F 0 = F (β) − F (α).
γ
This is proved by approximating a line integral with line integrals
over
H 0 polygonial curves. If the curve is closed (i.e. β = α) then
F = 0. There are many contininuous complex valued functions f
γ
which give nonzero integrals over closed curves, so most continuous
f : G→ C
1 do not have a (complex) primitive!
12
Conway’s approach
Conway gebruikt een andere definitie van analytisch, namelijk f : G → C
1 heet
analytisch als f complex differentieerbaar is en de afgeleide f 0 : G → C
1 continu
is. Hij gebruikt dat integralen met een parameter mogen worden gedifferentieerd
door de afgeleide naar binnen te halen als de gedifferentieerde maar continu is.
Vandaar zijn extra eis. De Stelling van Green wordt niet gebruikt. Hij doet
eerst de Cauchy integraalformule voor cirkels, doet daarmee vervolgens alles
wat wij in deel 1 gedaan hebben tot de residustelling. Vervolgens introduceert
hij windingsgetallen voor algemenere krommen en formuleert voor die krommen
de Cauchy integraal formule en de residuestelling met windingsgetallen. Daarna
komen het principe van het argument en het tellen van nulpunten en polen en
alle gevolgen daarvan. Helemaal aan het eind laat hij pas zien dat de voorwaarde
op f 0 overbodig was. Met het bewijs van Coursat en de stelling van Morera, die
ook in Sectie 52 van Churchill & Brown wordt bewezen.
• If G ⊂ C
1 is open, f : G → C
1 analytic and a ∈ B(a, R) ⊂ G. Then f (z)
has a power series expansion
f (z) =
+∞ (n)
X
f (a)
(z − a)n ,
n!
n=0
37
convergent for |z − a| < R.
This is proved using Cauchy’s integral formula on circles and suitable
geometric series expansions only.
– For |z| < 1
Z
0
2π
eis
ds = 2π.
eis − z
In other words:
I
1
dw = 2πi for γ : [0, 2π] → C
1 given by γ(s) = eis .
w
−
z
γ
Proof. Replacing z by tz the statement is
Z 2π
eis
ds = 2π,
is
e − tz
0
which is clear for t = 0. Differentiate with respect to t and use Leibniz’ rule for differentiating an integral with respect to a parameter:
d
inside the intergral and carry out the differentation.This probring dt
duces an expression which has a 2π-periodic primitive with respect
to s. Thus the integral with z replaced by tz is independent of t and
with t = 1 the result follows.
– Cauchy’s integral formula with circles.
If a ∈ B(a, r) ⊂ B(a, r) ⊂ G ⊂ C
1, f : G → C
1 analytic, then
I
1
f (w)
f (z) =
dw (CIF )
2πi γ w − z
for z ∈ B(a, r) and γ : [0, 2π] → C
1 given by γ(s) = a + reis . This is
Cauchy’s integral formula for a Hcircle. Formulated and proved before
Cauchy’s theorem about when γ f = 0 holds.
Proof. Assume a = 0 and r = 1. Then the statement is equivalent to
Z 2π
f (eis )eis
ds = 2πf (z).
eis − z
0
Replacing f (eis ) by f (z) equality holds in view of the equality proved
above. Replace f (eis ) by f (teis + (1 − t)z) instead and argue as in
the proof above.
– Maximum modulus theorem. If |f (a)| ≥ |f (z)| for all z ∈ B(a, r) then
|f (a)| = |f (z)| for all z ∈ B(a, r), and this implies that f 0 (z) = 0
for all z ∈ B(a, r), f is constant in B(a, r). Conclude somewhere
below that a nonconstant analytic function on an open connected set
G cannot have a point in G where its modulus is maximal.
– Power series expansions.
Substitute
n
+∞ 1
1
1
1 X z−a
1
=
=
z−a =
w−z
w−a+a−z
w − a 1 − w−a
w − a n=0 w − a
38
in (CIF) and interchange
H
and
P
. This gives
I
+∞ X
f (w)
1
dw (z − a)n ,
f (z) =
n+1
2πi
(w
−
a)
γ
n=0 |
{z
}
an
H
P
for all z ∈ B(a, r). To justify interchanging and
note that
n
n
N +∞ X
1
1
1 X z−a
z−a
+
,
=
w−z
w − a n=0 w − a
w−a
w−a
n=N +1
|
{z
}
RN
and that the contribution of
RN = RN (w; z, a) =
z−a
w−a
1
w−a 1−
N +1
z−a
w−a
=
z−a
w−a
N +1
w−z
(which goes to zero uniformly in w ∈ γ as N → +∞), in the CIF
integral is estimated away as N → +∞.
– The above argument is an example of how uniform convergence allows
limit arguments in integrals. A variant shows, now that f is a power
series in every B(a, r) ⊂ G, that for every closed rectifiable curve in
B(a, r)
I
f = 0.
γ
This is Cauchy’ theorem for analytic functions in balls11 .
– Let f and g be analytic in B(a, r). If f (a) = g(a) = 0 then
f 0 (z)
f (z)
= lim 0
z→a g (z)
z→a g(z)
lim
if this second limit exists.
If the (repeated) rule fails for lim fg it works for lim fg .
– And, since we already know that we may differentiate power series,
I
1
f (w)
f (n) (a)
an =
dw =
.
n+1
2πi γ (w − a)
n!
– Thus if |f (z)| ≤ M on B(a, r) then |f (n) (a)| ≤
n!M
rn .
– This excludes the existence of nonconstant bounded analytic functions on C
1 (Liouville’s theorem), a surprising statement. In fact it
can be shown that an analytic function on C
1 which misses two values
of C
1 in its range, is a constant (the little Picard theorem).
11 Proved
without Green’s theorem!
39
– Note that analytic functions on C
1 have power series expansion with
radius of convergence R = +∞ around every point a ∈ C
1 . Analytic
functions defined on the whole of C
1 are called entire functions.
– Every power series expansion of an analytic function f : G → C
1
around a ∈ G has a first coefficient which is nonzero, except when
the power series expansion is identically equal to zero. The set of
points a for which the latter happens is open and closed.
– Unless f is zero in a disk around a, f (z) = (z − a)m g(z) with m a
nonnegative integer, g : G → C
1 analytic, and g(a) 6= 0. If m > 0
then a is called a zero of mulitplicity m. It is always finite!
– If G is connected, then zero’s of f cannot have accumulation points,
unless f is identically equal to zero. Thus the zero’s of a nonconstant
analytic function on an open connected set G are isolated.
– Every polynomial p(z) = an z n + · · · + a0 (with n ≥ 0 and an 6= 0)
has a complex root and factorises completely:
p(z) = an z n + · · · + a0 = an Πnk=1 (z − αk ).
Is a similar statement true for any a nonconstant analytic function on
an open connected set G? The answer will be given by Weierstrass’
factorisation theorem.
• The Cauchy’s integral formula can be formulated for general closed rectifiable curves in an open set G. These will be used to derive the theorems
about integration of analytic functions over such curves. Winding numbers
are needed to be mathematically precise.
– For every a ∈ C
1 , and for every closed rectifiable curve γ with a 6∈ {γ},
I
I
1
1
1
1
dz =
dw
n(γ, a) =
2πi γ z − a
2πi γ w − a
is called the winding number of γ around a. Another name is the
index of γ with respect to a.
– n(γ, a) is an integer.
– a → n(γ, a) is a continuous function on C
1 \{γ}.
– n(γ, a) is constant on every component of C
1 \{γ}.
– n(γ, a) = 0 if a is in the unbounded component of C
1 \{γ}.
– There is no need to show that a → n(γ, a) is differentiable. But we
will need
Z
φ(w)
0
dw ⇒ Fm
(z) = mFm+1 (z),
Fm (z) =
m
γ (w − z)
if γ is a rectifiable curve, m a positive integer, φ : {γ} → C
1 continuous and z 6∈ {γ}.
40
– Cauchy’s integral formula (first version). Suppose G ⊂ C
1 open and
γ is a closed rectifiable curve in G with12 n(γ, a) = 0 for all a ∈ C
1 \G.
Then for a ∈ G\{γ} this Cauchy integral formula
I
1
f (z)
n(γ, a)f (a) =
dz
2πi γ z − a
holds if f : G → C
1 analytic.
For the proof let H = {a ∈ C
1 : n(γ, a) = 0} and observe that 2πi
times the difference of right and left hand side equals
I
I
I
I
f (z)
f (a)
f (z) − f (a)
g(a) =
dz −
dz =
dz =
φ(z, a)dz,
z−a
γ z−a
γ z−a
γ
γ
| {z }
= 0 in H
in which a is now a complex variable. Is g(a) = 0 for a ∈ G\{γ}?
Yes, by the clever observation that g(a) is also defined for a ∈ {γ}, as
well as, using the first expression of g(a) above, for a ∈ H, when only
the integral with f (z) in the numerator remains, allowing a quick
estimate implying
g(∞) =
lim
|a|→+∞
g(a) = 0.
H
After a discussion of φ(z, a) and γ φ(z, a)dz, g turns out to be analytic. Liouville’s theorem then concludes the proof!
– Cauchy’s integral formula (second version) for a finite number of
closed rectifiable curves γ1 , . . . , γm in G. Suppose G ⊂ C
1 open and
n(γ1 , a) + · · · + n(γm , a) = 0
for all a ∈ C
1 \G. Then for a ∈ G\({γ1 } ∪ · · · ∪ {γm }) this Cauchy
integral formula
m I
f (z)
1 X
(n(γ1 , a) + · · · + n(γm , a))f (a) =
dz
2πi
z
−a
γk
k=1
holds if f : G → C
1 analytic.
– Differentiating Cauchy’s integral formula for a finite number of closed
rectifiable curves γ1 , . . . , γm in G with respect to a, it follows that
for a ∈ G\({γ1 } ∪ · · · ∪ {γm })
m I
f (z)
n! X
(n(γ1 , a) + · · · + n(γm , a))f (n) (a) =
dz
2πi
(z
−
a)n+1
γk
k=1
holds if f : G → C
1 analytic. Special case: m = 1.
12 This
replaces the stronger but inprecise condition that there are no holes in G.
41
• Cauchy’s theorem. Replacing f (z) by (z − a)f (z) in Cauchy’s integral
formula for a finite number of closed rectifiable curves γ1 , . . . , γm in G,
Conway gets his first version of Cauchy’s theorem: suppose G ⊂ C
1 open
and
n(γ1 , a) + · · · + n(γm , a) = 0
for all a ∈ C
1 \G. Then
m I
X
k=1
f (z)dz = 0
γk
holds if f : G → C
1 analytic. Special case: m = 1.
– Thus analytic functions f : G → C
1 have
I
f (z)dz = 0
γ
if n(γ, a) = 0 for all a ∈ C
1 \G.
– Are there other continuous functions f : G → C
1 with this property?
No! Already if the integrals over (small) triangles are zero, you can
locally construct a primitive F , which must be analytic, and so must
be its derivative f . This is Morera’s theorem. It implies for instance
that a continuous function on G which is analytic in G except for a
segment in G, is analytic in G.
– Cauchy’s theorem is also proved for closed rectifiable curves which are
homotopic to a point in G. This is a stronger13 and more geometric
condition than n(γ, a) = 0 for all a ∈ C
1 \G. Homotopy theory has
many applications. The concepts in this proof should be discussed
in every first topology course.
• Counting zero’s and the open mapping theorem.
– Notation: If γ is a closed rectifiable curve in an open set G ⊂ C
1,
then γ ≈ 0 in G means that n(γ, a) = 0 for all a ∈ C
1 \G.
– Recall that G ⊂ C
1 is a region if G is open and connected.
– If ∅ 6= G ⊂ C
1 is a region and f : G → C
1 is analytic, then the zero
set
Zf = {z ∈ G : f (z) = 0}
is an isolated set, unless f (z) = 0 for all z ∈ G, which we exclude
by assumption. Note that a subset of isolated points in G is either
finite (possibly empty) or countably infinite. We count the zero’s
with multiplicity. In the case of a finite but nonempty zero set, there
are then a1 , . . . , am such that
f (z) = (z − a1 ) · · · (z − am )g(z)
13 A
curve can nontrivially wind around 2 points with zero individual winding numbers.
42
with g : G → C
1 analytic and non zero. This gives
f 0 (z)
1
1
g 0 (z)
=
+ ··· +
+
.
f (z)
z − a1
z − am
g(z)
For γ closed rectifiable in G ⊂ C
1 with γ ≈ 0 in G and
I 0
g (z)
dz = 0.
γ g(z)
Thus, if {γ} ∪ Zf = ∅,
I 0
1
f (z)
dz = n(γ, a1 ) + · · · + n(γ, am ).
2πi γ f (z)
This statement is formulated in a more general form next.
– Let ∅ 6= G ⊂ C
1 be a region, f : G → C
1 is analytic, α ∈ C
1 , γ closed
rectifiable in G, γ ≈ 0 in G, f (z) 6= α for all z ∈ {γ}. Denote the
multiplicity of a zero z = a of f (z) − α by mα (a). Then
I
X
1
f 0 (z)
dz =
mα (a)n(γ, a).
2πi γ f (z) − α
a∈G,f (a)=α
The sum is taken over all nonzero contributions and is in fact a
finite sum, even if there are infinitely many zeros of f (z) − α. The
exceptional case of f (z) being identically equal to α is excluded by
the assumptions.
– Equivalently, for the closed rectifiable curve σ = f ◦ γ,
X
n(σ, α) = n(f ◦ γ, α) =
mα (z)n(γ, z),
z∈G,f (z)=α
if γ is closed and rectifiable in G, γ ≈ 0 in G, f (z) 6= α for all z ∈ {γ}.
– Application. Suppose f (z) − α has a zero of order m ≥ 1 in z = a.
Then f (z) − α = (z − a)m g(z) with g(a) 6= 0. This implies that for
some small both f (z) − α and f 0 (z) are nonzero for 0 < |z − a| < 2,
so for the closed rectifiable curve γ(t) = a + exp(it) we may apply
the formula above, not only with α, but also with ζ 6= α, provided
f (z) 6= ζ for all z ∈ {γ}. By continuity this must be true for all ζ in
some small ball B(α, δ). Since n(γ, z) = 0 for z 6∈ B(a, ) it follows
that
X
n(f ◦ γ, ζ) =
mζ (z)n(γ, z).
z∈B(a,),f (z)=ζ
The left hand side equals n(f ◦ γ, α) = m, the right hand side is
by construction a sum in which every mζ (z) = 1. Thus there are
z1 , . . . , zm ∈ B(a, ) with f (zk ) = ζ and f 0 (zk ) 6= 0 for k = 1, . . . , m.
The conlusion is that changing α a little bit, all zeros of f (z) − α
have multiplicity 1, and that you get the right number of them: the
zero of multiplicity m splits up in m zeros of multiplicity 1.
43
– If G ⊂ C
1 is a region and f : G → C
1 is analytic and nonconstant,
then f (U ) is open if U ⊂ G is open. This follows from the above
reasoning, why? If f is one to one, then f −1 is analytic on f (G).
Why?
• Finally Goursat: if f : G → C
1 is complex differentiable then f is analytic.
The proof is based on Morera’s theorem. It suffices to show that integrals
over small triangles of f are zero, and this is proved using only the complex
differentiability of f .
12.1
Singularities
• Non-essential (isolated) singularities
– We say that z = a is an isolated singularity of f if
f : B(a, r)\{a} → C
1
is analytic for some r > 0.
– z = a is called removable if there is a g : B(a, r) → C
1 analytic with
f (z) = g(z)
for all
z ∈ B(a, r)\{a}.
– If
L = lim f (z)
z→a
exists, take g(a) = L,
g(z) = f (z)
(z 6= a).
Morera’s theorem implies z = a removable.
– In fact an isolated singularity z = a of f is removable if and only if
lim (z − a)f (z) = 0.
z→a
Proof: let g(z) = (z − a)f (z), g(a) = 0, show directly that integrals
over small triangles (consider a outside, on, or inside) of g are zero,
apply Morera’s theorem, and conclude what this means for f in view
of g(a) = 0.
– z = a is called a pole if
lim
z→a
1
= 0.
f (z)
If so, then there are analytic g, h : B(a, r) → C
1 with h(a)g(a) = 1,
such that
1
= (z − a)m h(z)
f (z)
44
and f (z) =
g(z)
.
(z − a)m
The second statement follows from the first, in which h(a) 6= 0. Not
by inverting, but by observing (z − a)m f (z) has a removable singularity in z = a. The order of the pole is by definition m. It follows
that
f (z) =
A1
Am
+ ··· +
+a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + · · · ,
(z − a)m
z−a
|
{z
}
singular part of f at a
a Laurent series with only finitely many singular terms.
– If G ⊂ C
1 is a region and f : G → C
1 is analytic, except for finitely
many poles, then subtracting all singular parts from f an analytic
function on G remains. Reflect on the case that f (z) is the quotient
of two polynomials P (z) and Q(z), defined on C
1 except for the zeros
of Q. What can you say about the remaining analytic function if the
degree of Q is higher than the degree of P ? Relate this to partial
fractions.
– After removing the singularities, poles and zeros of f become zeros
and poles of f1 and vice versa (with the same order).
• A general Laurent series around a is of the form
+∞
X
an (z − a)n .
n=−∞
General Laurent series arise as expansions of analytic functions on
A(a, R1 , R2 ) = {z ∈ C
1 : R1 < |z − a| < R2 },
with 0 ≤ R1 < R2 ≤ +∞. This set will be called an open annulus.
– Cauchy integral formula on an annulus. Let
γR (t) = a + R exp(it)
for
0 ≤ t ≤ 2π,
with 0 ≤ R1 < R < R2 ≤ +∞. Then
f (z) =
+∞
X
an (z − a)n =
n=−∞
I
+∞ X
1
f (w)
dw
(z − a)n ,
n+1
2πi
(w
−
a)
γR
n=−∞ |
{z
}
independent of R
for any analytic f : A(a, R1 , R2 ) → C
1.
– For the proof use Cauchy’s integral formula (second version) with
m = 2,
γ1 = −γr1 ,
γ2 = γr2 ,
45
R1 < r1 < |z − a| < r2 < R2 .
Since n(γ1 , z) + n(γ2 , z) = 0 + 1 = 1, n(γ1 , w) + n(γ2 , w) = −1 + 1 = 0
for |w − a| ≤ r1 , and n(γ1 , w) + n(γ2 , w) = 0 + 0 = 0 for |w − a| ≥ r2 ,
it follows that
I
I
1
1
f (w)
f (w)
f (z) = −
dw +
dw .
2πi γr1 w − z
2πi γr2 w − z
|
{z
} |
{z
}
f1 (z)
f2 (z)
For f2 (z) argue as in the proof of power series expansions for analytic
functions on a disk. For f1 (z) modify this argument using
−n
+∞ 1
1 X z−a
1
1
1
=
=
.
=
w−z
a−z+w−a
a − z 1 − w−a
a − z n=0 w − a
z−a
Combine and conclude.
– Every general Laurent series around a is convergent on a maximal
open annulus A(a, R1 , R2 ) with R1 ≥ 0 and R2 ≤ +∞ (why?). The
annulus is empty if R1 ≥ R2 . If R1 < R2 then the sum of the Laurent
series defines an analytic function f on the open annulus. The above
calculation of a Laurent series representation for this f (z) should of
course reproduce the Laurent series which defined f in the first place.
Why is this so?
– The Laurent series expansion
+∞
X
f (z) =
an (z − a)n
n=−∞
is valid on the largest annulus A(a, R1 , R2 ) on which f is analytic.
Term by term differentiation is allowed. If a−1 = 0 term by term
primitivation is allowed to give the Laurent series of a primitive. If
a−1 6= 0 the primitive will also contain the multivalued a−1 log(z −a).
– a−1 is a called the residue of f at z = a, notation a−1 = Res(f ; a).
– If γ is a closed rectifiable curve in A(a, R1 , R2 ), then
I
I
a−1
dz = 2πi n(γ, a) a−1 = 2πi n(γ, a) Res(f ; a).
f (z)dz =
γ
γ z−a
• Essential (isolated) singularities.
– Recall that isolated singularities z = a of f for which
lim f (z)
z→a
or
lim
z→a
1
f (z)
exists,
always have a nice Laurent series
f (z) =
+∞
X
an (z − a)n ,
convergent on {z ∈ C
1 : 0 < |z − a| < R},
k=N
the largest punctured disk on which f is analytic.
46
– Laurent series with infinitely many singular terms, such as
1
1
1
1
1
z2 z3 z4
exp(z)+exp( ) = · · ·+ 4 + 3 + 2 + +2+z+ + + +· · · ,
z
4!z
3!z
2!z
z
2! 3! 4!
do not fit in this framework.
– In case of f having an isolated singularity at z = a it always follows
that R1 = 0 in the discussion above. It may then happen that
f (z) =
+∞
X
an (z − a)n ,
k=N
in which case z = a is a pole of order −N if N < 0, removable if
N ≥ 0 and a zero of order N if N > 1.
– If not, z = a is called an essential singularity. The Laurent series
then has a singular part
f1 (z) =
n=−1
X
an (z − a)n =
−∞
+∞
X
An
,
(z
−
a)n
n=1
which does not terminate. Neither of the limits
lim f (z)
z→a
and
lim
z→a
1
f (z)
exists,
because otherwise the singular part would be a finite sum.
– Wild behaviour near an essential singularity (Casorati-Weierstrass).
The closure of f (A(a, 0, δ) in C
1 is the whole of C
1 (and then the
closure of f (A(a, 0, δ) in C
1 ∞ is the whole of C
1 ∞ ), no matter how
small δ > 0 is taken. Otherwise there would be c ∈ C
1 , > 0 and
δ > 0 such that
|f (z) − c| > for all
which makes
z→
z ∈ A(a, 0, δ),
z−a
f (z) − c
a function with a removable singularity in z = a (which is zero in
z = a) . But then (why?) z = a is removable for f as well, a
contradiction.
– Let z = a be an isolated essential singularity of f . Explain why every
c∈ C
1 ∞ appears as a limit of f (zn ) with zn → a as n → +∞.
– A much stronger statement holds for an isolated essential singularity
z = a of f . In every punctured open disk around a all complex
numbers, except possibly one, are attained infinitely many times by
f (the great Picard theorem).
47
• Nonisolated singularities will not be discussed. If f has a nonisolated
singularity in z = a then it may happen that f1 has an isolated singularity.
Also z = a may be a branch point.
• The residue theorem. Let G ∈ C
1 be a region, a1 , . . . , am ∈ G disjoint
points,
f : G\{a1 , . . . , an } → C
1
analytic, γ a closed and rectifiable curve in G with
{γ} ∩ {a1 , . . . , an } = ∅
and n(γ, z) = 0
Then
for all z ∈ C
1 \G.
n
I
f (z)dz =
γ
1 X
n(γ, ak ) Res(f ; ak )
2πi
k=1
– The proof is based on Cauchy’s theorem for a finite number of closed
rectifiable curves in the region G\{a1 , . . . , an } on which f is analytic.
For every k = 1, . . . , n let mk = n(γ, ak ) and
γk (t) = ak + rk exp(−imk t)
(0 ≤ t ≤ 2π),
with rk so small that B(a, rk ) ⊂ G are mutually disjoint. Then
γ1 , . . . , γm don’t intersect and
n(γ, a1 ) + n(γ1 , a1 ) + · · · + n(γn , a1 ) = m1 − m1 + 0 + · · · + 0 = 0,
by construction. Likewise
n(γ, aj ) + n(γ1 , aj ) + · · · + n(γn , aj ) = 0,
for every j = 1, . . . , m, while for z ∈ C
1 \G
n(γ, z) + n(γ1 , z) + · · · + n(γn , z) = 0 + 0 + · · · + 0 = 0,
because |z − ak | > rk . It follows that
I
I
I
f (z)dz +
f (z)dz
+··· +
f (z)dz
= 0,
γ
γ
γ
| 1 {z }
| n {z }
= −2πi m1 Res(f ; a1 )
= −2πi mn Res(f ; an )
from which the statement follows.
– The residue theorem als holds if G ∈ C
1 is a region, a1 , a2 , . . . ∈ G
is sequence of disjoint points in G without limit points in G (so that
G\{a1 , a2 , . . .} is open),
f : G\{a1 , a2 , . . .} → C
1
48
analytic, γ a closed and rectifiable curve in G with
{γ} ∩ {a1 , a2 , . . .} = ∅
and n(γ, z) = 0
Then
+∞
I
f (z)dz =
γ
for all z ∈ C
1 \G.
1 X
n(γ, ak ) Res(f ; ak ),
2πi
k=1
in which only finitely many terms are nonzero.
– If z = a is a pole of finite order m ≥ 1, then
g(z)
(z − a)m
f (z) =
with g analytic in a open disk containing a and g(a) 6= 0. Hence
Res(f ; a) =
g (m−1) (a)
.
(m − 1)!
Usually g(z) is computed as
g(z) = (z − a)m f (z),
which has a removable singularity at z = a, in which case
g (m−1) (a) = lim g (m−1) (z),
z→a
is always computable, often using l’Hôspital’s rule. It may be quicker
to remove the singularity before differentiating though.
• Meromorphic functions and the argument principle.
– If G ∈ C
1 is open, a1 , a2 , . . . ∈ G a finite (or infinite) sequence of disjoint points (without limit points) in G, then G\{a1 , a2 , . . .} is open.
An analytic function f : G\{a1 , a2 , . . .} → C
1 is called meromorphic
on G if every ak is finite order pole. Thus f extends to f : G → C
1∞
by setting
∞ = f (a1 ) = f (a2 ) = · · ·
– So by definition a meromorphic function f on G is function which is
analytic on G except for an atmost countably infinite set of isolated
non-essential singularities. Explain why for an open connected set
G, the set of zeros of a meromorphic f on G is also atmost countably
infinite, unless f is constant on G. Explain why then also
z→
1
f (z)
is meromorphic on G, and that f has an atmost countable set of
disjoint zeros and poles.
49
– Each zero and each pole of f has finite multiplicity. When we counted
zeros zk we already did this with multiplicity, and now we do the same
with poles pk . The formula for a closed rectifiable curve γ in G which
avoids both the zeros and the poles, and with γ ≈ 0 in G, becomes
(with an almost identical proof)
I 0
X
X
f (z)
1
dz =
n(γ, zk ) −
n(γ, pj ),
2πi γ f (z)
j
k
and is called the argument principle. Conway explains how this number counts the multiple of 2π which is added to arg f (z) as the parameter t in γ : [a, b] → G runs from t = a to t = b, as well as what
this statement really means.
– If also g : G → C
1 analytic is given, then, changing the dummy
variable from z to w,
I
X
X
g(w)f 0 (w)
1
dw =
g(zk )n(γ, zk ) −
g(pj )n(γ, pj ).
2πi γ
f (w)
j
k
– If B(a, R) ⊂ G let Ω = f (B(a, R)). Then Ω is open unless f is
constant. If f is one to one on B(a, R), then, for z ∈ B(a, R) and
ξ = f (z) ∈ Ω,
I
1
g(w)f 0 (w)
dw = g(z),
2πi γR f (w) − ξ
for γR (t) = a + R exp(it), 0 ≤ t ≤ 2π. In particular
I
g(w)f 0 (w)
1
−1
f (ξ) =
dw.
2πi γR f (w) − ξ
– Rouché’s theorem. If both f and g are meromorphic on G and
B(a, R) ⊂ G, with no poles or zero’s on {γR } = {z ∈ C
1 : |z − a| =
R}, and if the strict triangle inequality
|f (z) + g(z)| < |f (z)| + |g(z)|
holds for z ∈ {γR }, then Zf − Pf = Zg − Pg , where Zf , Zg and
Pf = Pg denote the (finite) numbers of zeros and poles of f and g in
B(a, R), counted with multiplicity.
The proof is based on the observation that the asumption implies
that the inequality implies that
f (z)
6∈ [0, ∞),
g(z)
so that
log(
f (z)
)
g(z)
can be defined on and near γR . Thus
I ( f )0
I 0
f
g0
g
0=
= 2πi
−
= 2π (Zf − Pf − Zg + Pg ) .
f
f
g
γR
γR
g
50
What can you conclude if you apply this with f (z) = z n +an−1 z n−1 +
· · · + a0 and g(z) = z n ?
13
More topology
• Convergence and sequential compactness in (complete) metric spaces.
– A Cauchy sequence in a metric space X is a sequence (xn )∞
n=1
in X with d(xm , xn ) → 0 when m, n → ∞.
– A sequence (xn )∞
n=1 in a metric space X is called convergent in X
if d(xn , L) → 0 when n → ∞ for some limit L ∈ X.
The limit is then unique.
– A metric space X is complete if all Cauchy sequences
in X are convergent in X.
– Equivalent: the intersection of a decreasing sequence of closed
nonempty subsets with diameter14 going to zero is a singleton
(Cantor’s Theorem).
– K ⊂ X is closed if every sequence in K which is convergent in X
(has a limit in X) is also convergent in K (the limit lies in K).
– In complete metric spaces X:
K ⊂ X is complete ⇔ K ⊂ X is closed.
– K ⊂ X is sequentially compact if every sequence in K
has a subsequence which is convergent in K.
– In complete metric spaces X:
K ⊂ X is sequentially compact ⇒ K ⊂ X is closed and bounded.
• C
1 = IR2 is a complete metric space. Moreover:
– Heine-Borel Theorem:
K⊂ C
1 is sequentially compact ⇔ K is closed and bounded.
• Pointwise continuity for complex functions f : G → C
1 with ∅ =
6 G⊂ C
1
or f : X → C
1 with X a metric space.
– The -δ formulation is used to define what L = limz→z0 f (z) means:
∀ > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ G : 0 < |z − z0 | < δ ⇒ |f (z) − L| < .
Here L ∈ C
1 . Note that z0 does not have to be in G, but it should at
least be in the closure15 of G, otherwise the definition is meaningless.
– Continuity of f in z0 means f (z0 ) = limz→z0 f (z).
14 Observe
15 The
you use the metric to define the diameter of a set.
smallest closed set containing G.
51
– Pointwise continuity of f : G → C
1 means:
f is continuous in every z0 ∈ G.
– A real valued pointwise continous function on a sequentially compact
set K achieves a global maximum and minimum on K.
– A pointwise continous function on a sequentially compact set K is
uniformly continuous. In other words, the -δ relation can be chosen
imdependent of z0 .
• Metric topology is based on the concept of (small) open balls.
– For x ∈ X and r > 0 the open ball with center x and radius r is
B(x, r) = {y ∈ X : d(x, r) < r}.
– With open balls (disks) you can define what an open set is.
∗
∗
∗
∗
A ⊂ X open if every x ∈ A is in some B(x, r) contained in A.
Such x are called interior points of A.
A is open if every α ∈ A is an interior point of A.
B ⊂ X is closed ⇔ the complement A = X\B is open.
– The collection of open sets has three important properties:
∗ ∅ and X are open;
∗ unions of open sets are open;
∗ finite intersections of open sets are open.
– The collection of closed sets has the properties:
∗ ∅ and X are closed;
∗ finite unions of closed sets are closed;
∗ intersections of closed sets are closed.
• This collection of open sets is called the metric topology on X. The three
properties of the collection of open sets in a metric space are the axioms
for a topology on X. Much of the analysis of metric spaces can be done
without metric topology. However, there are important examples of nonmetric topologies. The more general topological approach starts from a
collection of subsets of X, called the open sets in X. These are required to
have the same three properties as the open sets in a metric space. Different
metrics may give the same (metric) topology.
• Metric topology works well for subsets of C
1 = IR2 with the standard
metric d(z, w) = |z − w|, the distance between z and w. The open ball
B(α, r) = {z ∈ C
1 : |z − α| < r} is really the open disk B(α, r) = Dr (α).
• The topological formulation of continuity:
– For G ⊂ C
1 and f : G → C
1 , pointwise continuity of f is equivalent
to all inverse images of open sets in C
1 being open (relatively open if
G is not assumed to be open).
52
– If X is a topological space then f : X → C
1 is called continuous if all
inverse images of open sets in C
1 are open in X.
• In analysis we only consider topological spaces X in which the elements
can be separated by open sets: if a, b ∈ X and a 6= b, then there are open
subsets A 3 a and B 3 b with A ∩ B = ∅. Such spaces are called Hausdorff
topological spaces.
• Relative topologies.
– If X is a topological space and ∅ =
6 A ⊂ X, then the relative topology
on A (to be precise, the topology on X relative to A), consists of all
intersections of open sets in X with A.
– If X is metric space and ∅ =
6 A ⊂ X, then A is also a metric space.
There are thus two ways to define (the same) topology on A: show
that the metric topology relative to A coincides with the topology on
A defined by the metric restricted to A.
– If X is a topological space and ∅ =
6 A ⊂ X is open, then the relative
topology on A consists of the open subsets of X contained in A.
• Open connected subsets G ⊂ C
1 appear as natural domains for complex
differentiable functions f : G → C
1 . What are connected open sets and
what are connected sets?
– A topological space X is called connected if it is not
the disjoint union of two nonempty open subsets of X.
– If X is a topological space and ∅ =
6 A ⊂ X, then A is connected if
it is connected with respect to the relative topology.
– In IR the connected (open) sets are the (open) intervals.
– An open set G ⊂ C
1 is connected if it is not
the disjoint union of two nonempty open sets.
Such a set is called a region.
– An equivalent statement for open sets G ⊂ C
1 is:
every two points in G can be connected by a polygonal curve in G
(with only horizontal and vertical segments in fact).
– Every open set G ⊂ C
1 is a countable union of
mutually disjoint open subsets of C
1
(many of which may be the empty set),
the nonempty sets in the union are the components of G.
• Simply connected subsets of a metric space X are defined using homotopy
theory. In words this amounts to all closed continuous maps from the circle
to the subset A ⊂ X being continuously deformable in A to a constant
map. For open connected subsets G ⊂ C
1 this is equivalent to every
nonzero complex differentiable function f : G → C
1 having a complex
53
√
differentiable square root f : G → C
1 . The latter characterisation is
usefull when proving theorems about simply connected open subsets G of
C
1.
• Compactness and sequential compactness.
– If X is a topological space then K ⊂ X is called compact if every
open covering of K has a finite subcovering of K.
– In metric spaces:
K ⊂ X is sequentially compact ⇔ K ⊂ X is compact.
The non-trivial proof of (⇒) requires Lebesgue’s covering Lemma:
given an open covering of a sequentially compact K there is > 0
such that for all z ∈ K there is a set G in de covering such that
B(z, ) ⊂ G.
– If X is a metric space then:
K ⊂ X is compact ⇔ K is closed and totally bounded.
– K is totally bounded if, for every > 0, K is contained in a finite
union of open balls with radius . Think of the centers as policemen
controlling all of K, arbitrarily close surveillance is always possible
if there are enough policemen.
– Alternative formulation of compactness with intersections:
any family of closed subsets of K with the property
that every finite intersection of these sets is nonempty,
has nonempty intersection.
– Heine-Borel Theorem:
K⊂ C
1 is compact ⇔ K is closed and bounded.
– In general metric spaces it only holds that:
K is compact ⇒ K is closed and bounded.
The converse does not hold in general, in particular it does not hold
in H(G), but we will see that there is an alternative definition which
allows a criterium for compactness.
– K ⊂ X is called precompact in X if its closure in X is compact.
• Continuity, compactness en connectedness in general topology
Let X, Y be topological spaces, f : X → Y .
– f is continuous means: B ⊂ Y open ⇒ f −1 (B) open in X.
– Equivalent: B ⊂ Y closed ⇒ f −1 (B) closed in X.
– Continuous images of compact sets are compact.
– Continuous images of connected sets are connected.
54
14
Analysis in H(G)
An important reason for introducing the metric structure on H(G) is that it
allows a nice proof of the Riemann Mapping Theorem, which builds on our
knowledge of Möbius transfrmations.
• The Riemann mapping theorem says that every region G which is not the
whole plane and on which every nonzero analytic function has an analytic
square root, allows an analytic function f : G → D to the open unit disk
which is bijective. The function f can be chosen to have f (a) = 0 and
f 0 (a) > 0, for a given a ∈ G.
• The special case G = D was encountered above. It implies uniqueness of
f given the conditions f (a) = 0 and f 0 (a) > 0.
• The proof shows how useful the metric structure on H(G) will be. It
considers, for fixed a ∈ G the class F of injective analytic functions f :
G → D, shows that the closure of this class is compact in H(G, and equal
to F ∪ {0}. The map f → f 0 (a) is continuous on F ∪ {0} and thus has a
positive maximum. To finish the proof, it must be shown to be surjective.
If it is not, Schwarz’ lemma, Möbius transformations and the square root
assumption are combined to force a contradiction.
This should be enough motivation for some of the technicalities involved in
the description of H(G) as a metric space. We introduce a metric on H(G) to
define the metric topology on H(G). The metric is in fact defined for continuous
functions.
• Ω is always a complete metric space with metric d.
• Important: Ω = C
1 or Ω = C
1 ∞.
• G⊂ C
1 is open and not empty.
• C(G, Ω) is the space of all continuous functions f : G → Ω.
• To measure f : G → Ω introduce compact (nested sets) Kn , n = 1, 2, . . .,
such that Kn is contained in the interior of Kn+1 , G is the union of all
Kn , and every component of C∞ \Kn contains a component of C∞ \G.
• Define
ρn (f, g) = sup d(f (z), g(z)).
z∈Kn
This is not a metric on C(G, Ω).
• Define
ρ(f, g) =
∞ n
X
1
n=1
2
ρn (f, g)
1 + ρn (f, g)
This is a metric on C(G, Ω) with ρ(f, g) < 1.
Note that ρn (f, g) is allowed to be come large with n.
55
• The metric topology does not depend on the specific choice of the sets Kn .
• Convergence of a sequence fn in C(G, Ω) is equivalent to uniform convergence on every compact subset of G.
• A likewise statement holds for Cauchy sequences in C(G, Ω).
• A set F in C(G, Ω) is (sequentially) precompact if every sequence in F
has a subsequence which is convergent in C(G, Ω).
• A set F in C(G, Ω) is normal if it is (sequentially) precompact.
• F in C(G, Ω) is normal ⇔ F has compact closure in C(G, Ω)
• Arzela-Ascoli theorem: F in C(G, Ω) is normal ⇔ F in C(G, Ω) is equicontinuous and {f (z) : f ∈ F} is precompact in Ω.
• Equicontinuity of F in a point z0 ∈ G: in the − δ definition the choice
of δ > 0 is possible in terms of > 0 and z0 , independent of f ∈ F.
H(G) is contained in C(G, C
1 ). Cauchy’s integral formula’s lead to
• The map f → f 0 is continuous from H(G) to itself.
• H(G) is closed in C(G, C
1 ).
• H(G) is a complete metric space.
• Suppose G is a region, fn → f in H(G) and f 6≡ 0. Then if a ∈ B(a, R) ⊂
G with f 6= 0 on the boundary of B(a, R), the numbers of zeros (counted
with multiplicity) of fn and f in B(a, R) coincide for n large.
• F ⊂ H(G) is called locally bounded if it is bounded on every B(a, R) ⊂ G.
• Montel’s theorem: F ⊂ H(G) is locally bounded ⇔ F ⊂ H(G) is normal.
• F ⊂ H(G) is compact ⇔ F is closed and locally bounded.
The proof of the Riemann mapping theorem can now be given, see dicussion
above, meromorphic functions, discussed first, are not needed in the proof.
For a region G ⊂ C
1 let M (G) be the space of meromorphic functions, the
analytic functions with only isolated non-essential singularities in G. If f ∈
M (G) then also f1 ∈ M (G), unless f ≡ 0. The reciprocal of the latter function
would be the function identical to ∞, also denoted by ∞. M (G) is contained in
C(G, C
1 ) and M (G) ∩ {∞} is closed in C(G, C
1 ), with the above defined metric
topology, in which the distance function
d(Z, W ) = p
2|z − w|
(1 + |z|2 )(1 + |w|2 )
56
is used on C
1 ∞ . Thus M (G) ∩ {∞} is complete. For every f ∈ M (G) and a ∈ G
define the quantity
2|f 0 (z)|
µ(f )(a) = lim
z→a 1 + |f (z)|2
A family F in M (G) is normal (precompact) in C(G, C
1 ) if µ(F) is locally
bounded. The limit of a sequence for which this is the case may be ∞, e.g.
fn (z) = nz.
57