Proeftentamen Introductie Natuurkunde 24 september 2004

3NC20 Gecondenseerde materie 2012
Tentamen, 20 april 2012
Algemeen: Beargumenteer je antwoorden. Vermeld zowel de gebruikte basisformules
als de tussenstappen in de afleiding.
Mogelijk te gebruiken formules:
1
.
exp[(ε − µ ) / k BT ] + 1
1
De Bose-Einstein verdelingsfunctie: n( E ) =
.
exp[ε / k BT ] − 1
Beoordeling:
Maximaal 75 punten = P. Eindcijfer = P / 7.5.
_____________________________________________________________________
De Fermi-Dirac verdelingssfunctie: f ( E ) =
Opgave 1 – Een rechthoekig kristal (totaal 25 punten)
Figuur 1a
Figuur 1b
Een 2-dimensionaal (2D) kristal bestaat atomen A en B, gerangschikt volgens het
patroon in bovenstaande figuur 1a (atomen A en B zijn weergegeven door open en
gevulde cirkels).
a) Maak een schets met daarin duidelijk aangegeven de roostervectoren van het
primitieve rooster en de bijbehorende eenheidscel. Geef een vectoruitdrukking
voor de roostervectoren en geef het aantal A- en B-atomen in de eenheidscel.
[3 punten]
b) Construeer het reciproke rooster. Geef een vectoruitdrukking voor de


reciproke roostervectoren b1 en b2 , en teken ze in een schets van het reciproke
rooster. [4 punten]
c) Construeer en schets de eerste Brillouinzone. [3 punten]
Vervolgens beschouwen we een vereenvoudigd kristal, waarin alle B-atomen
weggelaten worden. Dit kristal bestaat dus alleen uit A-atomen (figuur 1b).
We gaan nu de elektronische bandenstructuur voor dit kristal berekenen met behulp
van de tight-binding benadering. Daartoe wordt één s-orbitaal per atoom meegenomen
in de berekening. In de berekening beschouwen we daarbij niet alleen de overlap
tussen golffuncties op naaste buurposities, maar ook op een-na-naaste buurposities
 
(figuur 1b). De atomaire golffunctie wordt genoteerd als s j ≡ ϕ (r − r j ) voor atoom j
1

op positie r j . De Hamiltoniaan H wordt beschreven door de matrixelementen
T
waarbij j en j’ indices van naaste
4
buuratomen, en j en j” indices van een-na-naaste buuratomen zijn. Het kristal bevat N
atomen. Let op, het matrixelement T is negatief.
d) Leidt een uitdrukking af voor de bandenstructuur, dat wil zeggen de energie



E k voor de elektronische toestand bij k = k x e x + k y e y , binnen de tight-binding
benadering. Laat voldoende tussenstappen zien in je afleiding. [8 punten]

Voor de berekende bandenstructuur is de effectieve massa rond k = 0 afhankelijk van
de richting. We definiëren de effectieve massa’s m x en m y voor een elektron met

k ≈ 0 dat beweegt parallel aan resp. x- en y-as.
e) Bereken het quotiënt m x / m y . [3 punten]
De bandenstructuur wordt nu bezet met een gering aantal elektronen, dusdanig dat de
Fermi-golfvector k F veel kleiner is dan de diameter van de Brillouinzone.
f) Schets de Fermicontour in de Brillouinzone. Geef duidelijk aan wat de vorm is
(bijv. cirekel- of ellipsvormig, en in het laatste geval in welke richting ligt de
langste as). [2 punten].
Tenslotte wordt er een elektrische spanning aangelegd over het kristal. Ten gevolge
van het homogene elektrische veld gericht in de positieve x-richting stelt zich een
constante stroomdichtheid in.
g) Maak in een schets duidelijk welke toestanden bezet zijn in aanwezigheid en
afwezigheid van dit elektrische veld. [2 punten]
ε 0 = s j H s j , s j H s j ' = T en s j H s j " =
Opgave 2 – Varia (totaal 20 punten)
Niet-vrij elektron: We beschouwen een elektron in een 1D bandenstructuur
beschreven door E k = E0 (1 − cos(ka)) , waarin k het golfgetal, en E0 en a positieve
3π
constanten. Het elektron bevindt zich in een toestand met k =
. Er wordt een
4a
kracht F uitgeoefend in de positieve x-richting.
a) Bereken de versnelling van het elektron. Geef duidelijk het teken van de
versnelling aan. [3 punten]
Fononen in een di-atomair kristal: We beschouwen een één-dimensionaal (1D) diatomair kristal, bestaande uit atomen A en B met massa resp. MA en MB, waarbij
M A < M B . De afstand tussen buuratomen is a. De fonon-bandenstructuur is
weergegeven in figuur 2 (links). Rechts in de figuur zijn snapshots van de atomaire
posities weergegeven voor 3 verschillende fonon-modes (i, ii en iii). De
evenwichtsposities van de atomen zijn weergegeven door de verticale stippellijnen.
2
Figuur 2
b) Geef voor alle drie fonon-modes (i, ii en iii) de positie in de bandenstructuur
aan (d.w.z. wat is de waarde van k, en betreft het een mode in de onderste of
bovenste band?). Verklaar je antwoorden kort. [5 punten]
Magnetisme: We beschouwen magnetische eigenschappen van het edelgas Xenon
(Xe) en een Cu2+ bevattend zout (Cu2+ heeft een 3d9 configuratie). Voor beide
materialen wordt de magnetisatie M gemeten als functie van aangelegd veld H. De
resultaten staan in onderstaande figuur 3a en 3b.
Figuur 3a
Figuur 3b
Figuur 3c
2+
c) Geef aan welke meting aan Xe en welke aan het Cu
gedaan. Verklaar kort je antwoord. [3 punten]
bevattend zout is
Vervolgens wordt een derde materiaal beschouwd dat paramagnetisch is bij
kamertemperatuur, en waarvoor M als functie van H staat weergegeven in figuur 3c
(dikke lijn). Ten gevolge van interactie tussen de elektronenspins blijkt er een
ferromagnetische ordening op te treden bij lagere temperaturen. Drie mogelijkheden
voor het M(H) gedrag staan aangegeven in figuur door middel van de lijnen i, ii en iii.
d) Geef aan welke van de drie lijnen (i, ii of iii) hoort bij dit materiaal. Verklaar
kort je antwoord. [3 punten]
Warmtecapaciteit in metaal en halfgeleider: Figuur 4 geeft de warmtecapaciteit als
functie van temperatuur voor materialen A en B. Alle microscopische parameters
(zoals roosterparameter en veerconstante van de chemische binding) van A en B zijn
identiek, behalve de massa van de atomen.
3
Figuur 4
e) Geef aan of de atomaire massa van A groter of kleiner is dan die van B.
Verklaar je antwoord. [3 punten]
Tenslotte vergelijken we het gedrag van B met dat van materiaal C. Gegeven is dat
één van beiden een halfgeleider is, en de ander een metaal.
f) Beredeneer of B dan wel C een metaal is. [3 punten]
Opgave 3 – Bijna-vrije elektronen en warmtecapaciteit
(totaal 30 punten)
Beschouw een één-dimensionaal (1D) materiaal met lengte L, een eenvoudig rooster
met een atoom per eenheidscel en roosterconstante a. Het gedrag van elektronen in dit
materiaal kan binnen benadering worden beschreven door het vrije-elektronenmodel.
In deze opgave is m de vrije elektronenmassa, k B de constante van Boltzmann en 
de constante van Planck.
a) Schets de vrije-elektronen bandenstructuur in het gereduceerde zoneschema
(binnen de eerste Brillouinzone). Beschouw tenminste de twee banden met
laagste energie bij elke k-waarde. Geef in de tekening aan wat de waarde van k
en E k is in het centrum en op de rand van de Brillouinzone. [5 punten]
Vervolgens beschouwen we dit materiaal in de ‘bijna-vrije’ elektronenbenadering,
waarbij een zwakke atomaire potentiaal in rekening wordt gebracht. Voor de eerste2
orde Fouriercoëfficiënt van de atomaire potentiaal geldt U 1 <<
.
ma 2
b) Schets de invloed van de zwakke atomaire potentiaal op de bandenstructuur.
[2 punten]
Het materiaal heeft 3 elektronen per atoom in de hier beschouwde bandenstructuur.
c) Bereken de Fermi-energie en geef aan of het materiaal een metaal of een
halfgeleider is. [3 punten]
Vervolgens berekenen we de elektronische bijdrage aan de warmtecapaciteit van dit
2
systeem, C el , bij een temperatuur T <<
.
k B ma 2
4
d) Beredeneer waarom elektronen in de laagste band nauwelijks bijdragen aan de
warmtecapaciteit en waarom het maken van de vrije-elektronen benadering
(dus verwaarloosbare U 1 ) nauwelijks invloed heeft op de uitkomst. [3 punten]
Vanaf nu kun je dus gebruik maken van de vrije-elektronenbenadering.
e) Bereken de toestandsdichtheid van elektronische toestanden in de reciproke
ruimte, g(k). [3 punten]
f) Bereken de toestandsdichtheid als functie van energie, D(E). [4 punten]
∞
df
dE , waarin je verondersteld wordt
0
dT
de voorkomende grootheden te herkennen. [5 punten]
g) Toon aan dat C el ≅ D( E F ) ∫ ( E − E F )
h) Bereken C el binnen genoemde benaderingen. Je kunt gebruik maken van de
standaardintegraal
x 2e x
π2
. [5 punten]
dx
=
∫−∞ (1 + e x ) 2
3
∞
EINDE TENTAMEN
5