Universiteit Antwerpen Departement fysica 2e kandidatuur

Universiteit Antwerpen
Departement fysica
2e kandidatuur fysica
academiejaar 2004-2005
Prof. dr. F. Peeters
dr. B. Baelus
Contactinformatie:
• Prof. dr. François Peeters
Universiteit Antwerpen (Campus Middelheim)
lokaal: U2.13
tel: 03/265.3664
email: [email protected]
• dr. Ben Baelus
Universiteit Antwerpen (Campus Middelheim)
lokaal: U2.19
tel: 03/265.3661
email: [email protected]
Inhoudsopgave
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
1.1 Zwarte straler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 De distributie van Planck en de kwantisatie van energie
1.2 Het foto-elektrisch effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Deeltjes-golf dualiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Het Compton-effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Gelokaliseerde golfpakketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Voortplanting van een golfpakket . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Van golfpakketten tot de Schrödingervergelijking . . . . . . . .
1.7 Interpretatie van de golffunctie . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Interferentie-experimenten . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Continuı̈teitsvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Verwachtingswaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Positie en impuls in de kwantummechanica . . . . . . . . . . .
1.8.1 Verwachtingswaarden in de kwantummechanica . . . .
1.8.2 Onzekerheidsrelatie van Heisenberg . . . . . . . . . . .
1.8.3 De commutator [b
x, pb] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
2.1 De stationaire Schrödingervergelijking . . . . .
2.2 Het vrij deeltje . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 De oneindig diepe potentiaalput . . . . . . . .
2.3.1 Golffuncties en eigenenergieën . . . . .
2.3.2 De Hilbertruimte H van de golffuncties
2.4 Eindig diepe potentiaalput . . . . . . . . . . .
2.4.1 Even oplossingen . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Oneven oplossingen . . . . . . . . . . .
2.4.3 Transcendente vergelijkingen . . . . . .
2.5 Potentiaalberg . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Energie E < V0 . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Energie E > V0 . . . . . . . . . . . . .
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
6
8
11
11
12
15
17
19
21
21
21
23
23
23
25
26
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
28
29
30
30
32
33
35
36
36
40
41
42
Inhoudsopgave
2.5.3 Normalisatie van vlakke golven . . . . . . . . . . . . . . .
Transfermatrixmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potentiaalbarrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
2.7
3. De structuur van de kwantummechanica
3.1 Postulaten en de Hilbertruimte . . . . . . . . . . . .
3.1.1 De postulaten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 De Hilbertruimte . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Eerste postulaat: toestanden als vectoren van
ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Operatoren en metingen in de kwantummechanica . .
3.2.1 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Lineaire operatoren . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Eigenwaarden en meting . . . . . . . . . . . .
3.3 Potentiaalputprobleem . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. De
4.1
4.2
4.3
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
de Hilbert. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
harmonische oscillator
Het model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oplossing van de differentiaalvergelijking . . . . . . . . . . . . . .
De Hilbertruimte van de harmonische oscillator . . . . . . . . . .
5. Het
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
waterstofatoom
Het twee-deeltjesprobleem . . . . . . . . . . . . . . .
De Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom .
De vergelijking voor de hoeken . . . . . . . . . . . . .
De radiale golfvergelijking . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 De limietsituatie ρ → ∞ . . . . . . . . . . . .
5.4.2 De limietsituatie ρ → 0 . . . . . . . . . . . . .
Bohrse banen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Het spectrum en de ontaarding . . . . . . . . . . . .
De golffuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Waarschijnlijkheidsdichtheden . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Radiale gedeelte . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2 Hoekafhankelijk gedeelte . . . . . . . . . . . .
Fysische interpretatie van de kwantumgetallen l en m
Berekening van L2 in bolcoördinaten . . . . . . . . .
5.10.1 Berekening van Lx in bolcoördinaten . . . . .
5.10.2 Berekening van L2 in bolcoördinaten . . . . .
A. Oefeningen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
44
48
52
52
52
53
54
55
55
55
56
58
63
63
64
67
69
69
71
72
74
75
76
78
79
80
81
81
81
83
86
87
88
89
iii
Inhoudsopgave
B. Extra informatie
B.1 Belangrijke eenheden . . . . . . .
B.2 Belangrijke intergralen . . . . . .
B.3 Belangrijke geometrische relaties .
B.4 Belangrijke meetkundige reeksen .
B.5 Belangrijke fysische constanten .
B.6 Coördinatensystemen . . . . . . .
B.7 Nuttige formules . . . . . . . . .
C. Aanbevolen Literatuur
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
96
96
96
96
97
98
99
100
101
iv
1. Het ontstaan van de
kwantumtheorie
Op het einde van de 19e eeuw en in het begin van de 20e eeuw was de natuurkunde in een diepe crisis verzeild geraakt. Nieuwe experimenten konden niet meer
verklaard worden met de gebruikelijke klassieke fysica en nieuwe inzichten waren
vereist. Uit een fascinerend samenspel van radicale veronderstellingen en briljante
experimenten ontstond uiteindelijk de kwantumtheorie. Het doel van dit hoofdstuk is om de achtergrond van deze crisis en de evolutie naar de kwantumtheorie
te beschrijven. Nieuwe inzichten zoals de deeltjeseigenschappen van straling, de
golfeigenschappen van materie en de kwantisatie van fysische grootheden komen
tot leven in de onderstaande discussie.
1.1
1.1.1
Zwarte straler
Inleiding
Het is algemeen bekend dat het oppervlak van een lichaam energie uitstraalt in
de vorm van elektromagnetische straling, en dit voor alle temperaturen groter
dan het absolute nulpunt (T = -273.15◦ C of 0K). Deze uitgestraalde straling
is continu verdeeld over alle golflengtes. De spectrale verdeling of de verdeling
over de golflengtes hangt af van de temperatuur. Ook het totale uitgestraalde
vermogen (uitgestraalde energie per eenheid van tijd) verhoogt als het lichaam
warmer wordt.
Straling, die op een oppervlak van een lichaam terechtkomt, wordt gedeeltelijk
weerkaatst en gedeeltelijk geabsorbeerd. Als het lichaam in thermisch evenwicht
is met zijn omgeving, en dus op constante temperatuur is, moet het evenveel
energie uitstralen als absorberen per eenheid van tijd. Anders zou het immers
opwarmen of afkoelen. In dit geval spreekt men van thermische straling.
Theoretisch werd het concept van een zwart lichaam of zwarte straler ingevoerd. Dit is een lichaam dat alle invallende straling absorbeert, ongeacht de
golflengte. Het spectraal emissievermogen E(λ, T ) is de totale energie die wordt
uitgezonden per tijdseenheid en per oppervlakte-eenheid in het golflengte-interval
[λ, λ + dλ] door een vlak lichaam op temperatuur T. Op basis van thermody-
1
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Figuur 1.1: Schematische voorstelling van een zwart lichaam.
namische overwegingen kon Kirchhoff in 1859 echter aantonen dat het spectraal
emissievermogen van alle zwarte lichamen identiek is, onafhankelijk van het materiaal. Bij een bepaalde golflengte λ wordt het spectraal emissievermogen E(λ, T )
voor een zwart lichaam enkel bepaald door T. Dit staat bekend als de wet van
Kirchhoff. Omdat een zwarte straler alle invallende straling absorbeert, volgt dus
ook dat een zwarte straler, niet alleen de meeste efficiënte absorbeerder is, maar
ook de meest efficiënte straler van elektromagnetische energie is. Verder volgt uit
de wet van Kirchhoff dat het spectrale emissievermogen van een zwarte straler
niet afhangt van de aard van het lichaam.
Een perfect zwart lichaam bestaat natuurlijk niet, maar het kan dicht benaderd
worden als volgt: beschouw een hol voorwerp, binnenin voorzien van zwarte wanden, waarin men een kleine opening gemaakt heeft (zie figuur 1.1). De zwarte
straler is dan deze kleine opening. De reden is dat alle straling die van buitenuit
invalt op de opening, het holle voorwerp zal binnendringen en volledig geabsorbeerd zal worden door de talrijke reflecties binnenin het holle voorwerp. Omdat het voorwerp in thermisch evenwicht is, is de straling die door deze opening
naar buiten komt, dezelfde als de straling in de holte (voor een voldoende kleine
opening).
Het totale emissievermogen E(T ) van een zwart lichaam is het totale vermogen
dat per eenheid van oppervlakte uitgestraald wordt:
Z ∞
E(T ) =
E(λ, T )dλ.
(1.1)
0
J. Stefan vond volgende empirische relatie tussen het totale emissievermogen
E(T ) en de absolute temperatuur T voor een zwart lichaam:
E(T ) = σT 4 ,
(1.2)
waar σ = 5.67 × 10− 8W m−2 K −4 bekend is als de constante van Stefan. Deze
relatie werd later ook door Boltzmann afgeleid vanuit de thermodynamica en is
nu bekend als de wet van Stefan-Boltzmann.
2
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Figuur 1.2: Het spectraal emissievermogen van een zwart lichaam als een functie
van de golflengte λ voor verschillende waarden van de temperatuur.
De eerste nauwkeurige metingen van E(λ, T ) werden uitgevoerd door Lummer
en Pringsheim in 1899. Het geobserveerde spectrale emissievermogen E(λ, T ) als
functie van λ voor verschillende waarden van de temperatuur is gegeven in figuur
1.2. Voor een gegeven λ neemt E(λ, T ) toe, wanneer men de temperatuur verhoogt. Voor een gegeven temperatuur is er een golflengte λmax waar E(λ, T ) zijn
maximale waarde bereikt. Deze golflengte is omgekeerd evenredig met de temperatuur:
λmax T = b
(1.3)
Dit resultaat wordt de verplaatsingswet van Wien genoemd. De constante b =
2.898 × 10−3 mK is de verplaatsingsconstante van Wien.
Kirchhoff kon aantonen dat de straling in het hierboven beschouwde holle voorwerp isotroop (gelijk in alle richtingen) en homogeen (gelijk in ieder punt binnen
het holle voorwerp) is. In elk punt van het holle voorwerp heerst dus een energiedichtheid per golflengte-eenheid u(λ, T ) die, uit zuiver geometrische overwegingen,
voor een zwarte straler met spectraal emissievermogen E(λ, T ) geschreven kan
worden als
4
(1.4)
u(λ, T ) = E(λ, T ),
c
met c de lichtsnelheid. Metingen van het spectraal emissievermogen E(λ, T )
bepalen ook de energiedichtheid per golflengte-eenheid.
3
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Door gebruik te maken van thermodynamische overwegingen kon Wien aantonen dat de functie u(λ, T ) van de volgende vorm moest zijn
u(λ, T ) = λ−5 f (λT ),
(1.5)
waarbij f (λT ) een functie van één enkele variabele λT is, die niet bepaald kan
worden uit de thermodynamica. Vergelijking (1.5) staat bekend als de wet van
Wien en omvat zowel de wet van Stefan-Boltzmann (1.2) en de verplaatsingswet
van Wien (1.3). Natuurlijk kunnen de waarden van σ en b niet uit vergelijking
(1.5) afgeleid worden, zolang de functie f (λT ) niet bekend is.
Bij experimentele waarnemeningen kan de golflengte λ meestal op eenvoudige
wijze bepaald worden. Men meet experimenteel E(λ, T ) en leidt hieruit u(λ, T )
af. Theoretisch is de frequentie ν = c/λ een meer fundamentele grootheid, zodat
men voor theoretische berekeningen verkiest u(ν, T ) te kennen:
¯ ¯
¯ dλ ¯
u(ν, T ) = u(λ, T ) ¯¯ ¯¯
dν
c
= 2 u(λ, T )
(1.6)
ν
De wet van Wien (1.5) kan dan als volgt geschreven worden:
u(ν, T ) = ν 3 g(ν/T ).
(1.7)
Wien suggereerde zelfs een expliciete vorm naar analogie met de snelheidsverdeling in een gas:
³ aν ´
4ν 3
u(λ, T ) = 3 bexp −
,
(1.8)
c
T
waarbij a en b constanten zijn
Rayleigh and Jeans gaven in 1900 een theoretische afleiding voor u(ν, T ) van
een zwart lichaam, gebaseerd op de volgende klassieke ideeën:
1. Uit de theorie van het elektromagnetisme volgt dat thermische straling in
een hol voorwerp bestaat in de vorm van staande elektromagnetische golven. Het aantal golven is gelijk aan het aantal modes van de oscillatie van
het elektromagnetisch veld in het holle voorwerp. Het aantal golven met
golflengtes in het interval [λ, λ + dλ] is (8π/λ4 )dλ. Dit bekomen we als
volgt: de elektromagnetische golven in de zwarte straler moeten staande
golven zijn, m.a.w. Ψ(x) = a sin(kx) waarbij Ψ(0) = Ψ(L) = 0 op de rand
van de zwarte straler die, veronderstel, een lengte L heeft. Aan deze randvoorwaarden is voldaan als k = nπ/L met n = 0, 1, 2, ..., m.a.w. de afstand
tussen twee opeenvolgende golfvectoren is ∆k = π/L. In drie dimensies zijn
de toegestane golfvectoren k = (kx , ky , kz ) = (nx , ny , nz )π/L. Wanneer we
L → ∞ laten gaan, geldt ∆k = π/L → ∞ en kunnen we de discrete som
4
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
over n van een functie f (k) vervangen door een integraal. In drie dimensies
wordt dit:
³π
∞
P
1
π
π ´
lim 3
f
nx , ny , nz
L→∞ L
L
L
L
nx ,ny ,nz =0
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
=
dkx
dky
dkz f (k)
π3 0
0
0
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
=
dkx
dky
dkz f (k) .
(2π)3 −∞
−∞
−∞
Door over te gaan op bolcoördinaten en voor f (k) = f (k) bekomen we
Z ∞
1
4π
dkk 2 f (k).
3
(2π)
0
Voor elektromagnetische straling geldt ω = ck en dus wordt de intergraal
Z ∞
Z ∞
1
2
dωω f (ω/c) =
dωρ(ω)f (ω/c),
2π 2 c3 0
0
waarbij ρ(ω) = ω 2 /2π 2 c3 de toestandsdichtheid genoemd wordt, m.a.w.
het aantal golven in het frequentie-interval [ω, ω + dω] is ρ(ω)dω. De toestandsdichtheid kunnen we ook uitdrukken als een functie van de golflengte
λ = c/ν of als functie van de frequentie ν = ω/2π. In de uitdrukking voor
ρ(ω) mogen we echter niet zomaar ω vervangen door 2πν of 2πc/λ. We
moeten rekening houden met de definitie van de toestandsdichtheid:
Z ∞
Z ∞
Z ∞
dλρ(λ)f (2π/λ).
dνρ(ν)f (2πν/c) =
dωρ(ω)f (ω/c) =
0
0
0
Dus vinden we ρ(ν) = 4πν 2 /c2 en ρ(λ) = 4π/λ4 . Deze toestandsdichtheid
geldt voor elke polarisatierichting van de straling. We weten uit de elektrodynamica dat elektromagnetische straling voor een vaste k twee onafhankelijke polarisatierichtingen heeft, m.a.w. we moeten ρ(ω), ρ(ν) en ρ(λ) nog
vermenigvuldigen met een factor 2.
Noemen we dan ε de gemiddelde energie in de mode met golflengte λ, dan
kunnen we de energiedichtheid u(λ, T ) dus schrijven als
u(λ, T ) =
8π
ε.
λ4
(1.9)
2. De staande golven worden veroorzaakt door de voortdurende emissie en absorptie van straling door de atomen in de wand van de holte. Deze atomen
gedragen zich als elektrische dipolen en dus als lineaire harmonische oscillatoren met frequentie ν = c/λ. De energie ε van deze klassieke oscillatoren
5
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
kan iedere waarde tussen 0 en oneindig aannemen. Maar, omdat het systeem
in thermisch evenwicht is, weten we dat de energie verdeeld is volgens een
Boltzmannverdeling en kunnen we de gemiddelde energie ε van een verzameling van deze oscillatoren afleiden. Als we β = 1/kB T stellen, waarbij kB
de constante van Boltzmann is, dan vinden we voor de gemiddelde energie:
R ∞ −βε
εe dε
ε = R0 ∞ −βε
e dε
0
·Z ∞
¸
d
1
−βε
= − log
(1.10)
e dε = = kB T.
dβ
β
0
Dit resultaat komt overeen met de wet in de klassieke fysica die stelt dat
de gemiddelde energie per vrijheidsgraad van een dynamisch systeem in
evenwicht gelijk is aan kB T /2. In dit geval moet kB T /2 gerekend worden
voor de bijdrage van de kinetische energie en kB T /2 voor de bijdrage van
de potentiële energie.
Als we de waarde (1.10) invullen in (1.9) vinden we
u(λ, T ) =
8π
kB T,
λ4
(1.11)
of
8πν 2
kB T,
(1.12)
c3
wat de wet van Rayleigh-Jeans genoemd wordt. Voor lange golflengtes (of lage
frequenties) benadert het resultaat (1.11) van Reyleigh-Jeans de experimentele
waarden, zoals getoond in figuur 1.3, maar voor λ → 0 (of ν → ∞) divergeert
het resultaat.
u(ν, T ) =
1.1.2
De distributie van Planck en de kwantisatie van energie
In 1900 vond Max Planck een formule door een geniale interpolatie tussen de wet
van Wien ν → groot) en de wet van Rayleigh-Jeans (ν → 0). De formule is
u(ν, T ) =
ν3
8πh
,
c3 ehν/kB T − 1
(1.13)
waar h de constante van Planck is. De waarde van deze constante is experimenteel
bepaald als zijnde h = 6.626 × 10−34 Js en heeft de eenheid van energie × tijd.
Voor hν ¿ kT benadert vergelijking (1.13) de wet van Rayleigh-Jeans:
8πν 2
hν
u(ν, T ) ∼
=
3
c −hν/kB T
8πν 2
=
kB T,
c3
6
(1.14)
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Figuur 1.3: Vergelijking van de energiedichtheid per golflengte-eenheid berekend
volgens de formules van Rayleigh-Jeans en Planck met de experimentele data (symbolen). De temperatuur is 1600 K.
waarbij we gebruik gemaakt hebben van de expansie ex = 1 + x + ... voor x ¿ 1.
Voor hν À kT benadert (1.13) de wet van Wien:
8πh 3
u(ν, T ) ∼
ν exp(−hν/kB T ).
(1.15)
=
c3
De wet van Planck bleek in goede overeenkomst te zijn met alle experimentele
data. Max Planck ging op zoek naar de oorzaak van dit verrassende succes en
kwam zo tot een hypothese, de hypothese van Planck : De energie van een oscillator
met frequentie ν kan niet alle waarden tussen 0 en ∞ aannemen, maar enkel gehele
veelvouden van een fundamentele energie ε0 :
E(ν) = nε0 .
(1.16)
M.a.w, een harmonische oscillator straalt energie uit (of absorbeert ze) in pakketjes van kwanta van ε0 . Door gebruik te maken van de Boltzmann-waarschijnlijkheidsverdeling voor een systeem in evenwicht, kan de gemiddelde energie van elke
mode berekend worden als
∞
P
nε0 e−βnε0
n=0
ε =
∞
P
e−βnε0
n=0
"
#
∞
X
d
= −
log
e−βnε0
dβ
n=0
¶¸
· µ
1
d
log
= −
dβ
1 − e−βε0
ε0
= βε0
.
(1.17)
e −1
7
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Figuur 1.4: Schematische voorstelling van de experimentele opstelling van Lenard
voor de studie van het foto-elektrisch effect.
Dit komt overeen met vergelijking (1.13) als
ε0 = hν.
1.2
(1.18)
Het foto-elektrisch effect
Planck vond dat oscillatoren in een zwart lichaam de energie enkel in pakketjes
kunnen uitzenden of absorberen. Om de straling te beschrijven, gebruikt hij daarentegen de golftheorie van Maxwell waarbij de elektrische en magnetische velden
continu zijn. Planck was zich echter bewust van deze ogenschijnlijke tegenspraak.
De oplossing werd aangereikt door A. Einstein in 1905 die ervan uitging dat ook
elektromagnetische straling enkel voorkomt in discrete pakketjes.
In 1887 bestudeerde Heinrich Hertz elektromagnetische straling aan de hand
van experimenten waarin hij elektromagnetische golven produceerde en detecteerde. Tijdens deze experimenten ontdekte hij ook een ander fenomeen dat leidde
tot de beschrijving van licht in termen van deeltjes: de fotonen. In het bijzonder
observeerde hij dat vonken gemakkelijker ontstaan indien de elektroden bestraald
worden met UV licht. Later werd o.a. door Lenard gevonden dat geladen deeltjes uitgezonden worden door metalen oppervlakken die bestraald worden door
elektromagnetische golven met een hoge frequentie. Dit fenomeen wordt het fotoelektrisch effect genoemd.
In een vacuum glazen buis maakt UV licht dat invalt op een metalen kathode
C elektronen vrij (figuur 1.4). Als zo’n elektron botst op de anode A, is er een
stroom I in het externe circuit. Deze stroom werd onderzocht als functie van
het potentiaalverschil V tussen het oppervlak en de anode. De verandering van
de stroom I met het potentiaalverschil V is gegeven in figuur 1.5. Wanneer V
positief is, worden de elektronen aangetrokken door de anode. Als V toeneemt,
8
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Figuur 1.5: De variatie van de foto-elektrische stroom I met het potentiaalverschil
V tussen de kathode en de anode voor twee waarden A en B (met
A < B) voor de intensiteit van het invallende licht.
neemt de stroom toe totdat V zo groot is dat alle uitgezonden elektronen de anode
bereiken. Als men het potentiaalverschil omkeert, zodat de kathode positief wordt
met betrekking tot de anode, vindt men een welbepaalde negatieve spanning
−V0 waar de foto-elektrische stroom stopt, wat erop wijst dat de uitzending van
elektronen van de kathode stopt. Hieruit kan men besluiten dat uitgezonden fotoelektronen een maximale snelheid vmax hebben en dat de spanning −V0 voldoende
2
is om de snelste elektronen met kinetische energie Tmax = mvmax
tegen te houden.
Hieruit volgt:
1 2
eV0 = mvmax
.
(1.19)
2
Lenard vond dat de foto-elektrische stroom I evenredig is met de intensiteit
van het invallende licht. Dit resultaat kan verklaard worden door de klassieke
elektromagnetische theorie, die voorspelt dat het aantal elektronen uitgestraald
per eenheid van tijd evenredig moet zijn met de intensiteit van het invallende licht.
Volgende belangrijke experimentele bevindingen kunnen echter niet verklaard
worden in het kader van de klassieke elektromagnetische theorie:
1. Er is een minimale drempelfrequentie νt voor de straling, afhankelijk van het
oppervlak. Voor frequenties ν < νt worden er geen elektronen uitgezonden,
ongeacht de intensiteit of de tijdsduur van de invallende straling. Volgens de
klassieke theorie moet het foto-elektrische effect optreden voor eender welke
frequentie van de invallende straling, tenminste als de stralingsintensiteit
groot genoeg is om voldoende energie te geven om de elektronen uit te
stralen.
2. De potentiaal V0 en dus ook de maximale kinetische energie van de elektronen hangen lineair af van de frequentie van de straling en zijn onafhankelijk
van de intensiteit van de straling. Volgens de klassieke theorie moet de maximale kinetische energie van de uitgestraalde elektronen toenemen met de
9
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
energiedichtheid (of de intensiteit) van de invallende straling, ongeacht de
frequentie.
3. De uitstraling van elektronen begint onmiddellijk nadat het licht schijnt op
het oppervlak, met geen detecteerbare vertraging. In de klassieke golftheorie van licht, is de energie van het licht uniform verdeeld over het golffront.
Om een elektron los te maken van een atoom, moet genoeg energie geconcentreerd worden in een gebiedje met atomaire afmetingen, en om zo’n
concentratie te bekomen, is een zekere tijdsvertraging noodzakelijk.
De verklaring voor deze vreemde aspecten van het foto-elektrisch effect werd
gegeven door Albert Einstein in 1905. Hij veralgemeende de hypothese van Planck
over de kwantisatie van energie. Om de spectrale verdeling van de zwarte straling
te verklaren had Planck verondersteld dat de absorptie en emissie niet continu
plaatsvinden, maar in eindige pakketjes met energie hν. Einstein ging nog een stap
verder door te veronderstellen dat deze kwantumeigenschappen niet beperkt zijn
tot elektromagnetische straling, maar dat ook licht bestaat uit kwanta (deeltjes),
de fotonen. Ieder foton heeft een energie E = hν = hc/λ. Wanneer een foton botst
op een metalen oppervlak, wordt zijn gehele energie gebruikt om één elektron
van een atoom uit te stralen. Aangezien elektronen normaal niet ontsnappen
van oppervlakken, is een minimale energie W vereist om de elektronen van het
oppervlak los te maken. Deze minimale energie wordt de werkfunctie genoemd
en hangt af van het metaal. De maximale kinetische energie van een elektron met
frequentie ν wordt gegeven door de volgende lineaire relatie:
1 2
mv
= hν − W.
2 max
(1.20)
Deze noemt men ook wel eens de vergelijking van Einstein. De drempelfrequentie
νt wordt bepaald door de werkfunctie, omdat in dit geval vmax = 0, zodat
hνt = W.
(1.21)
Het aantal elektronen dat door een metaal uitgestraald wordt per eenheid van
tijd is evenredig aan het aantal fotonen dat op het metaal botst per eenheid van
tijd, maar de intensiteit van de straling is ook evenredig aan het aantal fotonen
dat botst binnen een bepaald gebiedje per eenheid van tijd, omdat elk foton een
vaste energie hν bezit. De foto-elektrische stroom is evenredig aan de intensiteit
van de straling en alle experimentele observaties zijn verklaard door Einsteins
theorie.
Toch werd deze theorie slechts schoorvoetend aanvaard. De reden is het revolutionaire concept van een foton en het ontbreken van betrouwbare kwantitatieve
experimentele resultaten. In 1916 voerde Millikan een reeks heel nauwkeurige
metingen uit die Einsteins theorie bevestigden. Uit vergelijkingen (1.19) en (1.20)
10
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Figuur 1.6: De resultaten van Millikan voor de potentiaal V0 als een functie van
de frequentie ν.
vinden we voor de potentiaal V0 :
V0 =
h
W
ν− .
e
e
(1.22)
Millikan mat, voor een gegeven oppervlak, V0 als een functie van ν. Zijn gemeten
resultaten lagen inderdaad op een rechte met helling h/e, zoals te zien is in figuur
1.6. Door de lading van het elektron e in te vullen, bevestigde Milikan de waarde
van de constante van Planck, zoals die bekomen werd uit het spectrum van een
zwart lichaam.
Hoewel het foto-elektrisch effect het deeltjeskarakter van licht bewijst, mag
men toch niet uit het oog verliezen dat het bestaan van diffractie en interferentiefenomenen aantonen dat licht zich gedraagt als een golf. Dit duale aspect van
elektromagnetische straling is onverenigbaar met de klassieke fysica. Zoals we
later zullen zien is deze deeltjes-golf dualiteit een algemene eigenschap van alle
fysische grootheden, en de resulterende paradoxen kunnen enkel opgelost worden
door gebruik te maken van de nieuwe concepten van de kwantumtheorie.
1.3
1.3.1
Deeltjes-golf dualiteit
Inleiding
Het fotonidee van Einstein ondervond veel tegenstand. Eén van de redenen hiervoor was dat het idee de oude controverse weer opriep tussen Newton en Huygens omtrent het deeltjeskarakter of het golfkarakter van licht. Sinds de dubbelespleet-proef van Young (1803) werd het golfkarakter van licht als onomstotelijk
bewezen aanvaard. Maxwells theorie van de elektromagnetische straling gaf aan
11
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Figuur 1.7: De experimentele opstelling van Compton.
de golftheorie van de elektromagnetische straling een stevige theoretische basis.
Het is begrijpelijk dat vele fysici dit houvast niet zomaar lieten gaan.
Dit deeltjes-golf conflict werd na 30 jaar discussie eindelijk opgelost door een
merkwaardig compromis: Een deeltje kan een golf zijn, of een golf kan een deeltje
zijn. Alles hangt af van de manier waarop men het deeltje of de golf observeert.
De theoretische basis voor deze dualiteitstelling werd gelegd door de Broglie in
1924. Volgens de visie van de Broglie kunnen materiedeeltjes als golven worden
voorgesteld. Dit wil zeggen dat deeltjes een golflengte λ bezitten die bepaald
wordt door hun impuls p volgens de formule
λ=
h
,
p
(1.23)
waar h opnieuw de constante van Planck is.
De deeltjes-golfdualiteit wordt thans beschouwd als een verschijnsel dat karakteristiek is voor alle fysische entiteiten. In het kader van de kwantummechanica
betekent deze dualiteit helemaal geen tegenspraak meer zoals verder uit de cursus
zal blijken.
1.3.2
Het Compton-effect
Het experiment dat het meest doorslaggevende bewijs gaf voor het deeltjeskarakter van straling is het zogenaamde Compton-effect. Arthur H. Compton ontdekte
in 1923 dat de verstrooiing van straling met een bepaalde golflengte doorheen
een trefplaatje (een metalen folie) niet verklaard kan worden met de klassieke
stralingstheorie.
De experimentele opstelling is geschetst in figuur 1.7. Een X-stralenbron produceert monochromatische straling met golflengte λ0 . Met een kollimator wordt
een evenwijdige bundel gevormd die invalt op een trefplaatje vervaardigd uit koolstof. Hierbij ontstaat een verstrooide stralenbundel en verstrooide elektronen. Met
een detector wordt de intensiteit en de golflengte van de verstrooide straling gemeten als functie van de verstrooiingshoek θ. Volgens de klassieke theorie beginnen
de elektronen in het trefplaatje te trillen tengevolge van het oscillerende elektrisch veld van de elektromagnetische straling. Daardoor zullen de elektronen een
12
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Figuur 1.8: De intensiteit I van de verstrooide straling als functie van de
golflengte λ, waargenomen onder verschillende verstrooiingshoeken
θ.
elektromagnetische straling uitzenden met een frequentie gelijk aan deze van de
invallende golf en wordt er slechts één piek verwacht is de intensiteit I als functie
van de golflengte. Compton vond echter twee pieken in de intensiteit wanneer
θ 6= 0 (zie figuur 1.8).
Compton verklaarde dit fenomeen door de invallende straling te beschouwen als
een straal fotonen met energie hν, waarbij individuele fotonen elastisch verstrooid
worden op individuele elektronen. Bij een elastische botsing moeten zowel de
energie als de impuls behouden blijven. De impuls van een foton wordt gegeven
door
hν
p=
(1.24)
c
Dit volgt uit de relativistische relatie tussen de energie en het impuls:
E=
h¡
m0 c2
¢2
+ (pc)2
i1/2
,
(1.25)
waar m0 de rustmassa van het deeltje is. De snelheid van het deeltje met deze
impuls is gegeven door
v=
dE
pc2
pc2
=
=£
¤1/2 .
dp
E
(m0 c2 )2 + (pc)2
(1.26)
Een foton beweegt altijd met de lichtsnelheid c en daarom moet de rustmassa van
het foton gelijk zijn aan nul. De energie (1.25) van het foton wordt dus gegeven
door:
E = pc.
(1.27)
Rekening houdend met E = hν leidt dit tot vergelijking (1.24).
Beschouw nu een foton met impuls p dat invalt op een elektron dat in rust is.
Door de botsing verandert het impuls van het foton tot p0 , en het elektron wordt
teruggeslagen met impuls P (zie figuur 1.9). Wegens het behoud van impuls weten
we
p = p0 + P,
(1.28)
13
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Figuur 1.9: Een foton met impuls p valt in op een vrij elektron in rust. Na de
botsing heeft het foton een impuls p0 en het elektron een impuls P.
waaruit volgt
2
P2 = (p − p0 )2 = p2 + p0 − 2p · p0 .
(1.29)
Het behoud van energie kan uitgedrukt worden als
¡
¢1/2
hν + mc2 = hν 0 + m2 c4 + P 2 c2
,
(1.30)
waar m de rustmassa van het elektron is. Daardoor krijgen we
¡
¢2
m2 c4 + P 2 c2 = hν − hν 0 + mc2
2
= (hν − hν 0 ) + 2mc2 (hν − hν 0 ) + m2 c4
Vervolgens kunnen we vergelijking (1.29) herschrijven als
µ ¶2 µ 0 ¶2
hν
hν
hν hν 0
2
P =
+
−2
·
cos(θ),
c
c
c
c
en dus
2
P 2 c2 = (hν − hν 0 ) + 2 (hν) (hν 0 ) (1 − cos(θ)),
(1.31)
(1.32)
(1.33)
met θ de hoek waarover het foton verstrooid wordt. Dus krijgen we
hν 0 (1 − cos(θ)) = mc2 (ν − ν 0 ),
(1.34)
of
h
(1 − cos(θ)).
(1.35)
mc
∆λ is afhankelijk van θ, maar onafhankelijk van het materiaal van het trefplaatje
en van de golflengte van het invallende foton. De eenheid h/mc heeft de dimensies
van een lengte en wordt de Comptongolflengte λc van het elektron genoemd:
∆λ = λ − λ0 =
h ∼
= 2.4 × 10−12 m = 0.024Å.
mc
Dit is in overeenstemming met de waarneming van Compton.
λc =
14
(1.36)
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
1.4
Gelokaliseerde golfpakketten
We weten reeds dat materiaaldeeltjes kunnen voorgesteld worden als golven (de
Broglie). Dit wil zeggen dat een deeltje beschreven kan worden als een golf met
golfgetal k en hoekfrequentie ω. De eenvoudigste vorm voor zo’n golf is een vlakke
golf die de beweging van een vrij deeltje beschrijft:
Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) ,
(1.37)
waar A een constante is.
Door de hoekfrequentie ω = 2πν en het golfgetal k = 2π/λ kunnen we vergelijkingen (1.18) en (1.23) ook schrijven als
E = hν = ~ω,
(1.38)
en
h
= ~k,
(1.39)
λ
waar ~ = h/2π = 1.05459 × 10−34 Js de gereduceerde constante van Planck wordt
genoemd.
Maar hoe kan de golffunctie Ψ(x, t) een deeltje beschrijven? Het is immers een
complexe functie en geen reëel getal. Men zou reële superposities in sinussen en
cosinussen kunnen vormen, maar zelfs dan zou dit deeltje zich uitstrekken van
−∞ tot +∞ wat onlogisch lijkt. Onze intuı̈tie vertelt ons immers dat een deeltje
gelokaliseerd moet zijn in de ruimte: Op ieder ogenblik t0 moet het deeltje zich
op een welbepaalde positie x0 bevinden. Dit probleem kan opgelost worden door
golfpakketten te vormen door middel van een superpositie van meerdere vlakke
golven met een verschillende impuls (golflengte, frequentie) op zodanige wijze dat
ze met elkaar interfereren. Opdat het deeltje/golf gelokaliseerd zou zijn, moet de
interferentie dus destructief werken buiten een bepaald gebied.
Laten we als voorbeeld eerst eens de functie
Z ∞
Ψ(x) =
dkg(k)eikx
(1.40)
p=
−∞
beschouwen. Het reële deel wordt gegeven door
Z ∞
ReΨ(x) =
dkg(k) cos(kx),
(1.41)
−∞
wat de lineaire superpositie is van alle golven met golflengte λ = 2π/k. Om zo’n
golfpakket te illustreren, nemen we g(k) bijvoorbeeld gelijk aan de Gaussische
functie
2
g(k) = e−α(k−k0 ) .
(1.42)
15
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
De integraal (1.40) kan herschreven worden als
Z ∞
Ψ(x) =
dkg(k)ei(k−k0 )x eik0 x
(1.43)
−∞
en door de substitutie k 0 = k − k0 vinden we
Z ∞
0
02
ik0 x
Ψ(x) = e
dk 0 eik x e−αk
Z−∞
∞
2
0
2
= eik0 x
dk 0 e−α[k −(ix/2α)] e−x /4α .
(1.44)
−∞
Aangezien we weten dat
Z
r
∞
dke
−αk2
=
−∞
verkrijgen we tenslotte
r
Ψ(x) =
π
,
α
π −x2 /4α ik0 x
e
e .
α
De factor eik0 x staat bekend als een fasefactor, aangezien
¯ ik x ¯2
¯e 0 ¯ = 1.
(1.45)
(1.46)
(1.47)
Het kwadraat van de absolute waarde van f (x) is dan
|Ψ(x)|2 =
π −x2 /2α
e
.
α
(1.48)
Deze functie heeft een piek bij x = 0 en naargelang de grootte van α stelt de
functie een breed √
of een smal golfpakketje voor. Voor de breedte van
√ het pakket
2
kan men ∆x ≈ 2 2α nemen. De breedte van |g(k)| is ∆k ≈ 2/ 2α. Dus een
functie die sterk gelokaliseerd is in x zal breed zijn in de k-ruimte en omgekeerd.
Het product van de twee breedtes is
2 √
∆k∆x ≈ √ 2 2α = 4.
2α
(1.49)
De exacte waarde is minder belangrijk. Wel relevant is dat dit product onafhankelijk is van α en van de orde van 1 is. Het is onmogelijk om zowel ∆k als ∆x klein te
maken. Deze algemene eigenschap van golfpakketten heeft verregaande gevolgen
in de kwantumtheorie, zoals we later zullen zien.
Twee voorbeeldjes:
1. Vlakke golf:
Z
∞
g(k) = δ (k − k0 ) → Ψ(x) =
−∞
16
dkδ (k − k0 ) eikx = eik0 x ,
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
∆k = 0,
en
|Ψ(x)|2 = 1 → ∆x = ∞.
2. Exact gelokaliseerd deeltje
Z
g(k) = e
ikx0
∞
→ Ψ(x) =
dkeikx0 eikx = 2πδ (x − x0 ) ,
−∞
|g(k)|2 = 1 → ∆k = ∞,
en
∆x = 0.
1.5
Voortplanting van een golfpakket
In vergelijking (1.40) beschouwden we een functie Ψ(x) die bestond uit een continue superpositie van golven eikx . Hoe verplaatst zo’n golfpakket zich in de tijd?
In het algemeen is een eenvoudige vlakke golf van de vorm
ei(kx−ωt) ,
(1.50)
waar ω = 2πν en k = 2π/λ. Deze golf kan dus ook geschreven worden als
e2πi[(x/λ)−νt] .
(1.51)
Indien we de voortplanting van een lichtgolf in vacuum beschouwen, dan bestaat
er een eenvoudige relatie tussen de frequentie ν en de golflengte λ, namelijk
ν = c/λ. Hierdoor kan vergelijking (1.51) herschreven worden als
e2πi(x−ct)/λ = eik(x−ct) .
(1.52)
Als we dan een superpositie (met amplitude g(k)) nemen van deze eenvoudige
golven, krijgen we op tijdstip t
Z ∞
Ψ(x, t) =
dkg(k)eik(x−ct) = Ψ(x − ct).
(1.53)
−∞
Dit is dezelfde vorm als degene waarmee we startte, maar dan gelokaliseerd op
x = ct in plaats van x = 0. Dit betekent dat een golfpakket van lichtgolven zich
zonder verstoring voortplant met de lichtsnelheid c.
In het algemeen is ω een functie van k, dit wil zeggen ω = ω(k) en kan Ψ(x, t)
geschreven worden als
Z ∞
f (x, t) =
dkg(k)eikx−iω(k)t .
(1.54)
−∞
17
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Op dit moment weten we nog niet welke vorm ω(k) heeft, maar zullen we proberen
deze te bepalen uit de vereiste dat Ψ(x, t) een vrij deeltje voorstelt.
Laat ons een golfpakket beschouwen dat sterk gelokaliseerd is in de k-ruimte,
bijvoorbeeld rond de waarde k = k0 . Dit zou corresponderen met een keuze zoals
vergelijking (1.42) met α groot. Dan kunnen we ω(k) expanderen rond k0 als
µ ¶
µ 2 ¶
dω
1
dω
2
ω(k) ≈ ω(k0 ) + (k − k0 )
+ (k − k0 )
.
(1.55)
dk k=k0 2
dk 2 k=k0
De eerste term is constant. In de tweede term is
µ ¶
dω
= vg ,
dk k=k0
(1.56)
met vg de groepsnelheid, dit wil zeggen de snelheid waarmee de signalen zich
voortplanten. Indien we veronderstellen dat
2
g(k) = e−α(k−k0 ) ,
(1.57)
en we gebruiken volgende notaties
k 0 = k − k0 ,
µ 2 ¶
dω
β =
,
dk 2 k=k0
dan evolueert het golfpakket als volgt met de tijd
Z ∞
02
0
02
ik0 x−iω(k0 )t
Ψ(x, t) = e
dk 0 e−αk eik (x−vg t) e−ik βt/2
Z−∞
∞
0
02
= eik0 x−iω(k0 )t
dk 0 eik (x−vg t) e−(α+iβt)k .
(1.58)
(1.59)
(1.60)
−∞
Als we x door x − vg t en α door α + iβt vervangen, is deze integraal gelijk aan
vergelijking (1.45) en krijgen we dus
µ
¶1/2
π
2
ik0 x−iω(k0 )t
Ψ(x, t) = e
e−[(x−vg t) /4(α+iβt)] ,
(1.61)
α + iβt
en het kwadraat van de absolute waarde van deze functie is
¶1/2
µ
π2
2
2
2 2
2
e−α(x−vg t) /2(α +β t ) .
|Ψ(x, t)| =
2
2
2
α +β t
(1.62)
Dit is de vergelijking voor een golfpakket waarvan de piek zich voortplant met
snelheid vg , maar zonder vaste breedte: op tijdstip t = 0 is de breedte α en op
2
tijdstip t 6= 0 is de breedte α + βα t2 . Het golfpakket spreidt zich dus uit in de tijd.
Merk op dat voor elektromagnetische golven die in vacuum bewegen ω(k) = ck en
dus β = 0. Echter, wanneer ω(k) = ~k 2 /2m, dan is β = ~/m. Deze tijdsevolutie
van het golfpakket is geı̈llustreerd in figuur 1.10.
18
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Figuur 1.10: De tijdsevolutie van de waarschijnlijkheidsdichtheid voor een golfpakket.
1.6
Van golfpakketten tot de Schrödingervergelijking
Als vergelijking (1.54) een deeltje met impuls p en kinetische energie p2 /2m moet
voorstellen, dan moeten we eisen dat de groepsnelheid van de golf vg gelijk is aan
de snelheid p/m van het deeltje, dus:
vg =
dω
p
= .
dk
m
(1.63)
Verder moet ook de energie E = ~ω van de golf gelijk zijn aan de energie E =
p2 /2m van het deeltje en dan kunnen we de hoekfrequentie schrijven als
ω=
p2
,
2m~
en het golfgetal k als
(1.64)
2π
p
= .
(1.65)
λ
~
We zouden de tijdsevolutie van de functie Ψ(x, t) willen weten, met andere
woorden de bewegingsvergelijking. Hiervoor differentiëren we vergelijking (1.54)
k=
19
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
naar de tijd:
∂Ψ(x, t)
i~
=
∂t
Z
dkg(k)~ω(k)eikx−iω(k)t
Z
dkg(k)E(k)eikx−iω(k)t
=
Z
~2 k 2 ikx−iω(k)t
e
2m
Z
~2 ∂ 2
dkg(k)eikx−iω(k)t
= −
2m ∂x2
∂Ψ(x, t)
~2 ∂ 2
i~
= −
Ψ(x, t)
∂t
2m ∂x2
=
dkg(k)
(1.66)
Tot nu toe hebben we enkel een deeltje beschouwd dat alleen kinetische energie
E = p2 /2m = E(k) = (~k)2 /2m heeft. In het algemeen heeft een deeltje zowel
kinetische energie als potentiële energie V (x).
Daarom postuleren we dat de bovenstaande vergelijking voor een vrij deeltje
(met potentiële energie gelijk aan nul), namelijk
Z
∂Ψ(x, t)
i~
= dkg(k)E(k)eikx−iω(k)t ,
(1.67)
∂t
veralgemeend moet worden door de energie E(k) te vervangen door de totale
energie E(k) + V (x) voor een deeltje dat ook potentiële energie heeft:
Z
∂Ψ(x, t)
i~
= dkg(k) [E(k) + V (x)] eikx−iω(k)t .
(1.68)
∂t
Dit herleidt zich tot één van de meest belangrijke vergelijkingen van de fysica, de
Schrödingervergelijking:
·
¸
∂Ψ(x, t)
~2 ∂ 2
i~
= −
+ V (x) Ψ(x, t) .
∂t
2m ∂x2
(1.69)
Tot nu toe hebben we enkel de ééndimensionale versie gegeven. De veralgemening naar drie dimensies is echter niet moeilijk. De variabelen x en k wor∂2
den vectoren r en k. De differentiële operator ∂x
2 wordt de Laplace operator
∂2
∂2
∂2
∆ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 . De driedimensionale Schrödingervergelijking wordt dan
· 2
¸
∂Ψ(r, t)
~∆
i~
= −
+ V (r) Ψ(r, t).
∂t
2m
20
(1.70)
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
1.7
1.7.1
Interpretatie van de golffunctie
Interferentie-experimenten
Davisson en Germer deden experimenten waar elektronen verstrooid werden op
het oppervlak van een kristal. Zij observeerden interferentie, gelijkaardig aan de
verstrooiing van licht. Zij vonden dus ook destructieve interferentie, wat niet
verklaard kon worden door de elektronen als deeltjes te beschouwen.
Nadat Schrödinger zijn vergelijking had opgesteld voor de golffunctie Ψ(r, t),
was het niet meteen duidelijk hoe deze golffunctie geı̈nterpreteerd kon worden.
Aan de ene kant heeft Ψ(r, t), als een superpositie van vlakke golven, duidelijk de
eigenschappen van een golf. Aan de andere kant toonde het foto-elektrische effect
en het Compton-effect duidelijk aan dat elektronen zich gedragen als deeltjes.
Later werd duidelijk dat de statistische interpretatie van Ψ(r, t) een consistente manier is om zowel het golfaspect als het deeltjesaspect binnen één kader
te combineren. Het is in feite zo dat interferentie telkens werd geobserveerd in
experimenten waarin vele deeltjes betrokken waren. Dit betekent echter niet dat
de interactie tussen de deeltjes nodig is om interferentie te verkrijgen. Zelfs bij
heel lage intensiteiten van de deeltjesstroom, waar in het extreme geval slechts
één elektron op een gegeven tijd wordt verstrooid aan het oppervlak van het
kristal, wordt interferentie gevonden. Dit suggereert dat de fysische inhoud van
de golffunctie verbonden is met een waarschijnlijkheid. Daartegenover staat dat
een waarschijnlijkheid altijd positief moet zijn. Men zou deze waarschijnlijkheid
kunnen interpreteren als een soort intensiteit die voor golven Ψ(r, t) gegeven is
door |Ψ(r, t)|2 .
1.7.2
Continuı̈teitsvergelijking
De waarschijnlijkheid |Ψ(r, t)|2 kan men ook interpreteren als een dichtheid,
zoals we nu zullen aantonen. We nemen de Schrödingervergelijking (1.69) en
vermenigvuldigen deze met Ψ∗ (x, t), het complextoegevoegde van Ψ(x, t). Een
tweede vergelijking verkrijgen we door het complextoegevoegde van de Schrödingervergelijking (1.69) te vermenigvuldigen met −Ψ(x, t). Door beide vergelijkingen op te tellen bekomen we dan
¶
¸
·
µ
2
∂ ∗
~2
∂2 ∗
∗ ∂
∗ ∂
Ψ+Ψ Ψ
= −
Ψ − Ψ 2Ψ ,
(1.71)
Ψ
i~ Ψ
∂t
∂t
2m
∂x2
∂x
·
¸
∂
~2 ∂
∂ ∗
∗
∗ ∂
i~ (ΨΨ ) = −
Ψ−Ψ Ψ .
Ψ
(1.72)
∂t
2m ∂x
∂x
∂x
Dit kan herschreven worden als een continuı̈teitsvergelijking:
∂
∂
ρ(x, t) +
j(x, t) = 0,
∂t
∂x
21
(1.73)
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
waar de waarschijnlijkheidsdichtheid ρ(x, t) en de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid j(x, t) beide reële grootheden zijn en gedefineerd zijn als
ρ(x, t) = Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t),
¸
·
i~
∂ ∗
∂
∗
j(x, t) = −
Ψ (x, t) Ψ(x, t) − Ψ(x, t) Ψ (x, t) .
2m
∂x
∂x
(1.74)
(1.75)
Vergelijking (1.73) is in feite de ééndimensionale vorm van de continuı̈teitsvergelijking
∂
ρ(r, t) + divj(r, t) = 0,
(1.76)
∂t
die voorkomt in verschillende domeinen van de fysica zoals o.a. de vloeistofdynamica en de golftheorie. Als we de continuı̈teitsvergelijking (1.73) integreren van
x = −∞ tot x = ∞ en aannemen dat Ψ nul is op oneindig (Deze aanname is
aannemelijk: als Ψ verbonden is met een waarschijnlijkheid, moet deze gelijk zijn
aan nul op die plaatsen die onbereikbaar zijn voor de deeltjes), dan vinden we
Z
Z ∞
∂ ∞
dxρ(x, t) = 0 Ã
dxρ(x, t) = const.
(1.77)
∂t −∞
−∞
De statistische interpretatie van Ψ(x, t) is één van de centrale axioma’s van de
kwantummechanica.
Postulaat 1: De golffunctie Ψ(r, t) voor een deeltje met massa m dat beweegt
in een potentiaal V (r) voldoet aan de Schrödingervergelijking
· 2
¸
∂Ψ(r, t)
~∆
i~
= −
+ V (r) Ψ(r, t).
(1.78)
∂t
2m
|Ψ(r, t)|2 dr is de waarschijnlijkheid om het deeltje in het (oneindig kleine) volume
dr rond r te vinden op het ogenblik t. De waarschijnlijkheid P (Ω) om een deeltje
terug te vinden in een eindig volume Ω wordt gegeven door de integraal over dit
volume:
Z
P (Ω) =
dr |Ψ(r, t)|2 .
(1.79)
Ω
De waarschijnlijkheid om het deeltje ergens in de ruimte te vinden moet natuurlijk
gelijk zijn aan één, en daarom
Z
dr |Ψ(r, t)|2 = 1.
(1.80)
R3
Dit noemt men ook de normalisatievoorwaarde.
Enkele opmerkingen:
22
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
1. Bij de formulering van het postulaat maakten we reeds een abstracte veronderstelling dat er slechts 1 deeltje ergens in de ruimte is. We hebben enkel de
interactie met de potentiaal V (r) in rekening gebracht, die enkel afhangt van
r. Deze potentiaal ontstaat bijvoorbeeld tengevolge van elektrische velden
en daardoor onrechtstreeks tengevolge van de eventuele aanwezigheid van
andere deeltjes.
2. Er werd geen rekening gehouden met relativistische effecten.
3. De normalisatievoorwaarde (1.80) is nodig om |Ψ|2 te kunnen interpreteren
als waarschijnlijkheidsdichtheid. Ψ moet kwadratisch integreerbaar zijn en
behoort dus tot een oneindig-dimensionale vectorruimte van functies, namelijk de Hilbertruimte L2 (R3 ). De Hilbertruimte staat centraal in de wiskundige studie van de kwantummechanica. Men zou kunnen zeggen dat deze
Hilbertruimte de faseruimte van punten (x, p) van de klassieke mechanica
vervangt.
1.7.3
Verwachtingswaarden
Laat x ∈ [−∞, ∞] een willekeurig gekozen variabele zijn, bijvoorbeeld het resultaat van een meting. De waarschijnlijkheidsdichtheid ρ(x) van x is dan als volgt
gedefinieerd: ρ(x)dx is de waarschijnlijkheid dat x ligt in het interval [x, x + dx].
De waarschijnlijkheidsdichtheid ρ(x) moet genormaliseerd zijn, dit wil zeggen:
Z ∞
dxρ(x) = 1.
(1.81)
−∞
De verwachtingswaarde hxi van x is dan gedefinieerd als
Z ∞
hxi =
dxρ(x)x.
(1.82)
−∞
In het algemeen is de verwachtingswaarde van de functie f (x) gedefinieerd als
Z ∞
hf i =
dxρ(x)f (x).
(1.83)
−∞
1.8
1.8.1
Positie en impuls in de kwantummechanica
Verwachtingswaarden in de kwantummechanica
Als Ψ(x, t) een deeltje beschrijft in een potentiaal V (x), weten we dat |Ψ(x, t)|2
een waarschijnlijkheidsdichtheid is om het deeltje op positie x te vinden op ogenblik t. Het resultaat van één enkele meting van x kan alleen voorspeld worden
met een zekere waarschijnlijkheid. Als verschillende metingen van de positie x
23
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
onder gelijke voorwaarden herhaald worden, dan wordt de gemiddelde waarde
(verwachtingswaarde) van x geven door
Z
hxit = dx |Ψ(x, t)|2 x.
(1.84)
Om de verwachtingswaarde van het impuls te kennen kunnen we bovengaande
redenering niet meer volgen. Daarom definiëren we deze verwachtingswaarde als:
hpit = m
d
hxit
dt
Z
d
dx |Ψ(x, t)|2 x
dt
Z
∂
= −m dx j(x, t)x.
∂x
= m
(1.85)
Door middel van partiële integratie en op te merken dat j(x, t) = 0 voor x → ±∞,
kan dit herschreven worden als
Z
hpit = m dxj(x, t)
·
¸
Z
∂
∂ ∗
i~
∗
dx Ψ (x, t) Ψ(x, t) − Ψ(x, t) Ψ (x, t)
(1.86)
= −
2
∂x
∂x
waarbij we in de laatste stap de definitie van j gebruikt hebben. Door opnieuw
partieel te integreren bekomen we dan
·
¸
Z
i~ ∞
∂
∂
∗
∗
hpit = −
dx Ψ (x, t) Ψ(x, t) +
Ψ(x, t)Ψ (x, t) .
(1.87)
2 −∞
∂x
∂x
Tenslotte vinden we
Z
hpit =
dxΨ∗ (x, t)
~ ∂
Ψ(x, t).
i ∂x
(1.88)
∂
Dus wordt hpit gegeven door de verwachtingswaarde van de operator −i~ ∂x
.
Naar analogie kunnen we ook hxit interpreteren als de verwachtingswaarde van
de operator x
b die correspondeert met de ”vermenigvuldiging met x”.
Postulaat 2: De verwachtingswaarde van F (r), een functie van de positie,
of van G(p), een functie van het impuls, wordt voor een kwantummechanisch
systeem beschreven door de golffunctie Ψ(r, t) als volgt
Z
hF (r)it =
drΨ∗ (r, t)F (r)Ψ(r, t),
(1.89)
¶
µ
Z
~∇
∗
Ψ(r, t).
(1.90)
hG(p)it =
drΨ (r, t)G
i
24
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
De positie r komt overeen met de operator ”vermenigvuldigen met x” en het
impuls p met de operator −i~∇, die inwerken op de golffunctie Ψ(r, t).
Deze overeenkomst geldt in het bijzonder ook voor de energie die in de klassieke
mechanica gegeven wordt door een Hamiltonfunctie
p2
+ V (r).
2m
H(p, r) =
(1.91)
Het correspondentieprincipe van het tweede postulaat vertelt ons dat deze Hamiltonfunctie in de kwantummechanica vervangen moet worden door een Hamiltonb
operator, de Hamiltoniaan H
2
b = − ~ ∆ + V (r).
H
2m
(1.92)
Hier hebben we gebruik gemaakt van de definitie van de Laplaceoperator ∆ =
∇ · ∇.
De Hamiltoniaanoperator correspondeert met de totale energie van het deeltje
met massa m in de potentiaal V (r). Het is belangrijk op te merken dat de Hamilb precies de uitdrukking is aan de rechterzijde van de Schrödingervergetoniaan H
lijking (1.70). Dit betekent dat we de Schrödingervergelijking kunnen schrijven
als
∂Ψ(r, t)
b
i~
= HΨ(r,
t).
(1.93)
∂t
Dit is de meest algemene vorm van de Schrödingervergelijking in de kwantummechanica.
Postulaat 3: De positie r en het impuls p zijn operatoren die inwerken op
golffuncties,
r → b
r,
~
p →
∇.
i
1.8.2
(1.94)
(1.95)
Onzekerheidsrelatie van Heisenberg
Eén van de belangrijkste kwalitatieve observaties in de bovenstaande discussie
over golfpakketten is de relatie tussen de breedtes in de x-ruimte en de k-ruimte
(zoals we reeds eerder hebben opgemerkt):
∆k∆x ≥ 1.
(1.96)
Als we vermenigvuldigen met ~ bekomen we de onzekerheidsrelatie van Heisenberg:
∆p∆x ≥ ~,
(1.97)
25
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Figuur 1.11: links: de spectrale verdeling, rechts: de tijdsevolutie van het golfpakket.
die uitdrukt dat het onmogelijk is om zowel ∆p als ∆x klein te maken.
De onzekerheidsrelatie van Heisenberg wordt geı̈llustreerd in figuur 1.11 waar de
tijdsevolutie van een golfpakket wordt getoond. De linkse figuur geeft de spectrale
verdeling van het golfpakket weer:
Z ∞
ψ(x) =
dkf (k)eikx .
−∞
1.8.3
De commutator [b
x, pb]
Positie x
b en impuls pb zijn operatoren in de kwantummechanica. Zulke operatoren kunnen inwerken op golffuncties. Het operatorproduct x
bpb heeft de volgende
eigenschap:
~
~ ∂
x Ψ(x) = xΨ0 (x)
i ∂x
i
~ ∂
~
pbx
bΨ(x) =
[xΨ(x)] = [Ψ(x) + xΨ0 (x)].
i ∂x
i
x
bpbΨ(x) =
26
(1.98)
1. Het ontstaan van de kwantumtheorie
Het resultaat hangt dus af van de volgorde van x
b en pb. Beide operatoren commuteren niet. Men heeft
(b
xpb − pbx
b)Ψ(x) = i~Ψ(x).
(1.99)
Door beide zijden te vergelijken bekomt men de commutatierelatie [b
x, pb] die
gedefinieerd is als
[b
x, pb] = x
bpb − pbx
b = i~.
(1.100)
b en pbk van
Veralgemenen we dit naar 3 dimensies met de 3 componenten x
bk van x
b met k = 1, 2, 3, dan vinden we de canonische commutatierelaties:
p
[b
xk , pbl ] = i~δkl ,
(1.101)
met de Kroneckerdelta δkl = 1 als k = l en δkl = 0 als k 6= l.
In het algemeen is de commutator [A, B] van twee operatoren A en B gedefinieerd als
[A, B] = AB − BA.
(1.102)
27
2. Golfmechanica: Eéndimensionale
stappotentialen
2.1
De stationaire Schrödingervergelijking
In dit hoofdstuk zullen we een aantal voorbeelden beschouwen van oplossingen
van de Schrödingervergelijking voor een deeltje met massa m dat zich voortbeweegt in een potentiaal V (r). Vergelijking (1.70) geeft deze driedimensionale
Schrödingervergelijking:
· 2
¸
∂Ψ(r, t)
~∆
i~
= −
+ V (r) Ψ(r, t).
(2.1)
∂t
2m
Net als de wetten van Newton in de klassieke mechanica is de Schrödingervergelijking zo belangrijk in de kwantummechanica, dat hele generaties van fysici zich
hebben toegespitst op het oplossen van deze vergelijking voor interessante fysische
problemen. Spijtig genoeg is de Schrödingervergelijking niet oplosbaar voor een
algemene vorm van V (r). Daarom moet men benaderingsmethoden gebruiken.
Dit zal o.a. behandeld worden in de cursus Kwantummechanica II. Er zijn echter
belangrijke klassen van problemen die exact opgelost kunnen worden, zoals het
waterstofatoom, de harmonische oscillator en ééndimensionale problemen die we
zullen bestuderen in dit hoofdstuk.
De Schrödingervergelijking is een partiële differentiaalvergelijking: we hebben
een partiële afgeleide naar de tijd t en de Laplace-operator ∆. Deze operator is
een differentiële operator en kan in drie dimensies en rechthoekige coördinaten
∂2
∂2
∂2
geschreven worden als ∆ = ∂x
2 + ∂y 2 + ∂z 2 . In vergelijking (2.1) nemen we aan
dat we de variabelen tijd en positie kunnen scheiden. Met andere woorden, we
veronderstellen dat de golffunctie van de volgende vorm is
Ψ(r, t) = ψ(r)f (t).
(2.2)
De Schrödingervergelijking ((1.70)) kan dan geschreven worden als
i~
b
1 ∂f (t)
Hψ(r)
=
= E,
f (t) ∂t
ψ(r)
28
(2.3)
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
waar we de t- en de r-afhankelijkheid gescheiden hebben. De linkerzijde van vergelijking (2.3) hangt alleen af van t, terwijl de rechterzijde alleen afhangt van r
en daarom moeten beide zijden gelijk zijn aan een constante E. De oplossing voor
de linkerhelft van de vergelijking is f (t) = e−iEt/~ en we vinden de golffunctie:
Ψ(r, t) = ψ(r)e−iEt/~ .
(2.4)
We herkennen dat de tijdsevolutie van de golffunctie Ψ(r, t) enkel bepaald
wordt door de factor e−iEt/~ . Door de dimensies te bestuderen, weten we dat de
constante E een energie moet zijn.
Om ψ(r) te bepalen, moeten we de stationaire Schrödingervergelijking oplossen:
b
Hψ(r)
= Eψ(r),
· 2
¸
~∆
−
+ V (r) ψ(r) = Eψ(r).
2m
(2.5)
(2.6)
b = Eψ met de operator H
b een eigenWiskundig gezien is de vergelijking Hψ
waardevergelijking. Zulke eigenwaardevergelijkingen kennen we reeds uit de cursus Algebra. De tijdsonafhankelijke golffuncties ψ(r) worden stationaire golffuncties of stationaire toestanden genoemd en vergelijking (2.6) noemt men de stationaire Schrödingervergelijking. Verder zullen we zien dat in het algemeen oplossingen van de stationaire Schrödingervergelijking niet bestaan voor een willekeurige E. Voor de meeste potentialen V (r) vindt men enkel oplossingen voor welbepaalde discrete waarden van de energie E, de eigenwaarden van de stationaire
Schrödingervergelijking. De mogelijke energiewaarden worden dus gekwantiseerd.
2.2
Het vrij deeltje
De stationaire Schrödingervergelijking voor een vrij deeltje wordt gegeven door
µ 2
¶
~2
∂
∂2
∂2
−
+
+
ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z),
(2.7)
2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
of
1 ~2 ∂ 2 ψ
1 ~2 ∂ 2 ψ
1 ~2 ∂ 2 ψ
−
−
= E.
ψ 2m ∂x2
ψ 2m ∂y 2
ψ 2m ∂z 2
Door een scheiding van de variabelen bekomen we
−
ψ(x, y, z) = ψx (x)ψy (y)ψz (z),
(2.8)
(2.9)
en het probleem wordt dus herleid tot het oplossen van de volgende ééndimensionale differentiaalvergelijking
1 ~2 ∂ 2 ψx
= Ex ,
ψx 2m ∂x2
29
(2.10)
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
die onafhankelijk is van x en y en kan herschreven worden als
∂ 2 ψx 2mEx
+
ψx = 0,
∂x2
~2
∂ 2 ψx
+ kx2 ψx = 0,
∂x2
(2.11)
(2.12)
met
2mEx
.
(2.13)
~2
Deze tweede-orde homogene differentiaalvergelijking heeft 2 onafhankelijke oplossingen e±ikx x met eigenwaarde Ex = ~2 kx2 /2m. De eigenfunctie is ψx (x) = eikx x .
De andere oplossing bekomt men eenvoudig door kx → −kx .
Het driedimensionale probleem heeft als oplossing de eigenfunctie (A is de
normalisatieconstante)
kx2 =
ψ(x, y, z) = Aei(kx x+ky y+kz z) ,
(2.14)
met eigenwaarde
~2 k 2
~2 kx2 ~2 ky2 ~2 kz2
=
+
+
,
2m
2m
2m
2m
waarbij k = (kx , ky , kz ) ∈ R3 de golfvector van het vrije deeltje is.
E=
2.3
2.3.1
(2.15)
De oneindig diepe potentiaalput
Golffuncties en eigenenergieën
Als eerste voorbeeld bestuderen we de situatie waar de beweging van het deeltje
gevangen is binnen het interval [0, L] door de oneindig hoge wanden van de potentiaal

x < 0,
 ∞
0 0 < x < L,
V (x) =
(2.16)

∞
L < x.
Buiten het interval [0, L] kan het deeltje niet bestaan en moet zijn golffunctie dus
gelijk zijn aan nul. De golffunctie wordt dus gegeven door:

0
x < 0,

ikx
−ikx
ae + be
0 < x < L,
ψ(x) =
(2.17)

0
L < x.
We eisen dat de golffunctie nul wordt in het punt x = 0 en in het punt x = L,
zodat de golffunctie continu is in deze punten. Dus vinden we ψ = a + b = 0 en
dus b = −a en
ψ(x) = 2ia sin(kx)
(2.18)
30
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
Figuur 2.1: (a) De eerste 4 eigenwaarden en (b) de overeenkomstige eigenfuncties
van een oneindig diepe put met breedte L = 2a. De streepjeslijnen in
(b) komen overeen met de energie En .
voor x ∈ [0, L]. De eis dat ψ(L) = 0 resulteert in
a sin(kL) = 0.
(2.19)
De oplossing a = 0 is niet toegestaan omdat dan ψ(x) = 0 voor alle x ∈ (−∞, ∞)
en dus de golffunctie niet normeerbaar is. De voorwaarde sin(kL) = 0 resulteert
in de toegestane golfvectoren
k = kn =
nπ
, n = 1, 2, 3...
L
(2.20)
Merk op dat k = 0 niet toegestaan is omdat ψ(x) = 0 voor alle x ∈ (−∞, ∞).
De toegestane waarden van de energie E zijn gekwantiseerd:
En =
n2 ~2 π 2
~2 kn2
=
, n = 1, 2, 3, ...
2m
2mL2
(2.21)
Dit is dus de eerste keer dat we te maken hebben met kwantisatie van de energie.
De reden voor de kwantisatie is hier duidelijk: de golffunctie ψ(x) moet passen
binnen de put (zie ook figuur 2.1). Deze situatie is gelijkaardig aan klassieke
golven in een resonator die enkel golven met welbepaalde golflengtes toelaat.
De golfvectors kn , komen dan overeen met de energie bekomen via de de-Broglie
relatie p = ~k en dus pn = ~kn en de energie binnen de put is gewoon de kinetische
energie E = p2 /2m, aangezien de potentiaal nul is binnen de put. En hieruit volgt
uiteindelijk vergelijking (2.21).
31
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
De potentiaalput leidt tot discrete waarden van de energie waardoor men
spreekt van een discreet energiespectrum. Zonder de opsluitingspotentiaal zouden
de golffuncties gewoon vlakke golven e±ikx met willekeurige waarden voor k en
dus ook continue waarden voor de energie E = ~2 k/2m (zie het vrije deeltje). In
dat geval spreekt men van een continu energiespectrum.
Om |ψn (x)|2 te kunnen interpreteren als waarschijnlijkheidsdichtheid, moeten
we eisen dat de golffuncties genormaliseerd zijn:
Z L
1 =
dx |ψn (x)|2 ,
0
Z L
=
dx|2a|2 sin2 (nπx/L),
0
Z
1 L
dx|2a|2 [1 − cos(n2πx/L)] ,
=
2 0
= 2|a|2 L,
(2.22)
waardoor
|a|2 =
en dus
1
,
2L
1
a = √ eiφ ,
2L
of
(2.23)
(2.24)
r
2
sin(nπx/L)eiϕ ,
(2.25)
L
waar ϕ ∈ R een reële fasefactor is. De normalisatievoorwaarde zorgt ervoor dat
de golffuncties ψn (x) uniek bepaald zijn op een fasefactor na: Als Ψ een genormaliseerde oplossing is van de Schrödingervergelijking, dan is ook Ψeiϕ een genormaliseerde oplossing van de Schrödingervergelijking. Meestal wordt er geen onderscheid gemaakt tussen zulke toestanden omdat zij toch dezelfde toestand van het
deeltje beschrijven. Men zegt dan dat de toestand bepaald is op een fase na. De
fase is niet belangrijk wanneer men bijvoorbeeld de waarschijnlijkheidsdichtheid
|Ψ|2 of verwachtingswaarden berekend. Wanneer men echter een superpositie van
verschillende golffuncties wilt berekenen, speelt de fase wel een belangrijke rol.
Het relatieve faseverschil leidt immers bijvoorbeeld tot interferentie.
ψn (x) =
2.3.2
De Hilbertruimte H van de golffuncties
We zagen reeds dat de golffuncties met een vaste energie E van een deeltje met
massa m in een oneindig hoge potentiaalput van breedte L gegeven wordt door
r
³ nπx ´
2
sin
, n = 1, 2, 3...,
(2.26)
ψn (x) =
L
L
32
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
waarbij de energie E gelijk is aan
E = En =
n 2 ~2 π 2
, n = 1, 2, 3...,
2mL2
(2.27)
Merk op dat we de willekeurige fasefactor eiϕ hebben weggelaten.
De index n wordt het kwantumgetal genoemd. Het duidt de mogelijke oplossingen van de Schrödingervergelijking
b n (x) = En ψn (x)
Hψ
(2.28)
aan. In de ”Algebra” zou men En de eigenwaarden en ψn (x) de eigenvectoren van
b noemen.
de Hamiltoniaan H
We beschouwen enkel positieve waarden voor n. De negatieve waarden zouden
overeenkomen met oplossingen ψ−|n| (x) = −ψn (x). Zij beschrijven dezelfde toestand van het deeltje, die uniek gedefinieerd wordt door een golffunctie op een
fasefactor na. In dit geval is eiϕ = −1. Men zegt dat ψ−|n| (x) lineair afhangt van
ψn (x).
ψn (x) vormen een orthonormale basis, dit wil zeggen
Z
L
Z
L
2
dx |ψn (x)| = 1,
0
0
dxψn∗ (x)ψm (x) = δnm .
(2.29)
Elke functie f (x) van de lineaire vectorruimte kan geschreven worden als een
lineaire combinatie van de basisvectoren ψn (x):
f (x) =
∞
X
cn ψn (x),
(2.30)
n=1
en
Z
L
cn =
dxf (x)ψn (x).
(2.31)
0
Een vectorruimte met al deze eigenschappen wordt een Hilbertruimte genoemd.
2.4
Eindig diepe potentiaalput
Het tweede ééndimensionale probleem dat we bestuderen is de beweging van een
deeltje in een potentiaalput van eindige diepte V en breedte L = 2a (zie ook
figuur 2.2). De potentiaal wordt dan gegeven door:

x < −a,
 0
−V −a < x < a,
V (x) =
(2.32)

0
a < x.
33
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
Figuur 2.2: Een ééndimensionale potentiaalput met eindige diepte V en breedte
L = 2a.
Laten we eerst de golffunctie berekenen voor een energie −|V | < E = −|E| < 0.
Voor x < −a wordt de golffunctie gegeven door
ψ(x) = a1 eκx + b1 e−κx
q
met κ =
2m
|E|.
~2
(2.33)
Voor x > a wordt de golffunctie gegeven door
ψ(x) = a3 eκx + b3 e−κx
(2.34)
ψ(x) = a2 eikx + b2 e−ikx
(2.35)
en voor −a < x < a door
q
met k = 2m
(V − |E|).
~2
Omdat de golffunctie genormaliseerd is en dus nul moet worden voor x → ±∞,
moeten we eisen dat b1 = a3 = 0.
De golffunctie en zijn afgeleide moeten continu zijn op de posities x = −a en
x = a. Uit de eis dat ψ(x) en ψ 0 (x) continu zijn in x = −a verkrijgen we
a1 e−κa = a2 e−ika + b2 eika ,
(2.36)
κa1 e−κa = ika2 e−ika − ikb2 eika .
(2.37)
en
Omdat ψ(x) en ψ 0 (x) continu moeten zijn in x = a, volgt
b3 e−κa = a2 eika + b2 e−ika ,
(2.38)
−κb3 e−κa = ika2 eika − ikb2 e−ika .
(2.39)
en
34
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
Vergelijkingen (2.36)-(2.39) kunnen ook in matrixvorm geschreven worden als
 −κa


e
−e−ika
−eika
0
a1
 κe−κa −ike−ika ikeika
  a2 
0



(2.40)
ika
−ika
−κa
 0
  b2  = 0.
−e
−e
e
0
−ikeika ike−ika −κe−κa
b3
Dit is een homogeen stelsel van vier vergelijkingen met vier onbekenden dat aleen
een oplossing heeft als det() = 0. Deze conditie legt voorwaarden op aan de
toegestane waarden voor de energie E. Het vergt veel rekenwerk om de determinant van een 4 × 4-matrix te berekenen. Daarom zullen we op intelligente wijze
dit rekenwerk trachten te omzeilen door gebruik te maken van de symmetrie van
de potentiaal.
De potentiaal heeft inversiesymmetrie, dit wil zeggen V (x) = V (−x). Daardoor
is ook de Hamiltoniaan
2
2
b = − ~ ∂ + V (x)
H
(2.41)
2m ∂x2
symmetrisch onder inversie. Indien Ψ(x) een oplossing is van
b
Hψ(x)
= Eψ(x),
(2.42)
dan is ψ(−x) ook een oplossing met bovendien dezelfde energie E met als gevolg
dat we de oplossingen kunnen opsplitsen in
1
ψe (x) = √ (Ψ(x) + Ψ(−x)) ,
2
1
ψo (x) = √ (Ψ(x) − Ψ(−x)) ,
2
(2.43)
(2.44)
waarbij ψe (x) even pariteit heeft, d.w.z. ψe (x) = ψe (−x), en ψo (x) oneven pariteit,
d.w.z. ψo (x) = −ψo (−x).
2.4.1
Even oplossingen
Beschouw −a < x < a, dan geldt voor de even oplossingen
ikx
a2 e
ψ(x) = ψ(−x),
+ b2 e−ikx = a2 e−ikx + b2 eikx ,
(2.45)
(2.46)
waaruit volgt dat
(a2 − b2 ) eikx + (b2 − a2 ) e−ikx = 0,
∀x ∈ (−a, a),
(2.47)
en dus a2 = b2 . Vervolgens eisen we dat ψ(x) en ψ 0 (x) continu zijn in x = ±a.
Vergelijkingen (2.36) en (2.37) resulteren in
£
¤
(2.48)
0 = a2 e−ika (κ − ik) + eika (κ + ik) .
35
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
We bekomen dus:
¡
¢
¡
¢
κ eika + e−ika + ik eika − e−ika = 0,
κ (2 cos(ka)) + ik (2i sin(ka)) = 0,
κ cos(ka) − k sin(ka) = 0,
(2.49)
(2.50)
(2.51)
of de transcendente vergelijking
ktg(ka) = κ,
(2.52)
waaruit we E willen bepalen omdat k en κ functies zijn van de energie E.
2.4.2
Oneven oplossingen
Vervolgens beschouwen we de oneven oplossingen in het gebiedje −a < x < a,
dit wil zeggen:
ψ(x) = −ψ(−x), ∀x ∈ (−a, a).
(2.53)
Hieruit volgt:
(a2 + b2 ) eikx + (b2 + a2 ) e−ikx = 0,
∀x ∈ (−a, a),
(2.54)
of
a2 = −b2 .
(2.55)
Analoog aan de even oplossingen, combineren we terug vergelijkingen (2.36) en
(2.37) en vinden we
£
¤
0 = a2 e−ika (κ − ik) − eika (κ + ik) ,
(2.56)
of
¡
¢
¡
¢
κ e−ika − e−ika − ik eika + e−ika = 0,
κ (−2i sin(ka)) − ik (2 cos(ka)) = 0,
κ sin(ka) + k cos(ka) = 0,
(2.57)
(2.58)
(2.59)
en dus bekomen we tenslotte
kcotg(ka) = −κ.
2.4.3
(2.60)
Transcendente vergelijkingen
We hebben dus even en oneven oplossingen die voldoen aan de volgende vergelijkingen:
ktg(ka) = κ,
kcotg(ka) = −κ,
36
(2.61)
(2.62)
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
q
met k =
2m
(V
~2
2
q
− |E|) en κ =
dan is k 2 = α − κ2 en dus κ =
herschreven worden als
p
2m
|E|. Als we α definiëren als α = 2mV /~2
~2
√
α2 − k 2 . De twee vergelijkingen kunnen dus
√
ktg(ka) =
α2 − k 2 ,
√
kcotg(ka) = − α2 − k 2 .
(2.63)
(2.64)
Dit zijn transcendente vergelijkingen, wat wil zeggen dat ze enkel grafisch (of
met de computer) opgelost kunnen worden. Hiervoor maken we een grafiek van
de linkerkant en de rechterkant van de vergelijking en zoeken we de snijpunten
van de twee curven. Deze snijpunten corresponderen dan met de oplossingen
van
p
2
de transcendente vergelijking. Stellen we ξ = ka, γ = αa, en η = κa = γ − ξ 2 ,
dan kunnen vergelijkingen (2.63) en (2.64) herschreven worden als
ξtg(ξ) = η,
ξcotg(ξ) = −η.
(2.65)
(2.66)
Laat ons eerst de even toestanden beschouwen. Om vergelijking (2.65) op te
lossen, maken we een grafiek (figuur 2.3(a)) van de volgende functies als functie
van ξ:
f (ξ) = ξtg(ξ),
(2.67)
en
g(ξ) = η =
p
γ 2 − ξ2,
(2.68)
voor verschillende waarden van γ. Merk op dat vergelijking (2.68) gewone cirkels
voorstelt met straal γ. De energieniveaus kunnen dan gevonden worden uit de
snijpunten van de cirkel en de eerste grafiek, zoals gegeven in figuur 2.3(a).
Om de oneven oplossingen te bekomen maken we een grafiek van de volgende
functies in figuur 2.3(b):
f (ξ) = −ξcotg(ξ),
(2.69)
en
g(ξ) = η =
p
γ 2 − ξ2.
(2.70)
De toestanden komen opnieuw overeen met de snijpunten.
We kunnen verschillende conclusies trekken uit figuur 2.3:
1. De energieniveaus van de gebonden toestanden blijken niet ontaard te zijn.
Dit was te verwachten omdat we een ééndimensionaal probleem beschouwen.
2. Het aantal toestanden is eindig en hangt af van de waarde van γ, die ook wel
eens de sterkteparameter van de potentiaal genoemd wordt. Merk op dat
voor een vaste waarde van de massa m, γ enkel afhangt van de parameters
van de potentiaal zoals V a2 . In het bijzonder vinden we 1 (even) gebonden
toestand als 0 < γ ≤ π/2, twee gebonden toestanden (één even en één
oneven) als π/2 < γ ≤ 2π/2, ... , N gebonden toestanden als (N − 1)π/2 <
γ ≤ N π/2.
37
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
Figuur 2.3: Grafische bepaling van de energieniveaus voor een ééndimensionale
vierkante put voor (a) de even toestanden en (b) de oneven toestanden.
3. Als de sterkteparameter γ toeneemt, komen de energieniveaus die overeenkomen met de even toestanden en de oneven toestanden om de beurt te
voorschijn. Dit betekent dat het energiespectrum van de gebonden toestand
bestaat uit even en oneven toestanden die elkaar afwisselen. De grondtoestand is altijd een even toestand.
Deqgrondtoestand wordt dus gevonden voor 0 < ξ = ka < π/2. Aangezien
k = 2m
(V − |E|), weten we dus dat we de grondtoestand vinden bij energieën:
~2
0<
2m
π2
2
(V
−
|E|)a
<
,
~2
4
(2.71)
~2 π 2 1
,
2ma2 4
(2.72)
~2 π 2
= E0 ,
2mL2
(2.73)
of
0 < (V − |E|) <
of, aangezien de breedte van de put L = 2a,
0 < (V − |E|) <
waar E0 de energie voor een oneindig diepe potentiaalput is. Merk verder op dat
V − |E| de bindingsenergie is.
Als de eerste aangeslagen toestand bestaat, wordt hij gevonden bij −π/2 <
ka < π, zoals we boven reeds vermeld hebben. Dit betekent dus bij een energie
38
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
Figuur 2.4: De eerste vier eigenfuncties voor een ééndimensionale vierkante potentiaalput (γ = 5).
E in het interval
~2 π 2
~2 π 2
<
(V
−
|E|)
<
4
.
(2.74)
2mL2
2mL2
De eerste vier eigenfuncties voor een ééndimensionale vierkante potentiaalput
zijn weergegeven in figuur 2.4.
We vonden dat de grondtoestand een kleinere nulpuntsenergie heeft dan in de
situatie van een oneindig diepe potentiaalput. De reden is dat ka < π/2 of met
andere woorden kL < π. In het gebied −a < x < a is er alleen een bijdrage van de
2 2
kinetische energieterm ~2mk en die term is kleiner nu, waardoor de energie kleiner
2 κ2
is. Merk op dat in de barrière de kinetische energieterm gelijk is aan − ~2m
en
dus een negatieve bijdrage geeft.
Tot nu toe beschouwden we de situatie waarbij E < 0, waar we een discreet
energiespectrum van toestanden, gelokaliseerd binnen de put, vonden. Buiten de
potentiaalput gingen de golffuncties exponentieel naar nul. Dit wil zeggen dat de
waarschijnlijkheid om een deeltje buiten de put te vinden exponentieel klein is. De
overeenkomstige golffuncties worden daarom ook wel eens gebonden toestanden
genoemd. Merk ook op dat er slechts een eindig aantal gebonden toestanden zijn,
maar er is er altijd minstens één. Als E > 0 vinden we een continu energiespectrum
van verstrooide toestanden. Deze situatie zal echter tijdens de practica behandeld
worden in de vorm van een oefening over het Ramsauer-effect. Het spectrum voor
een eindige potentiaalput is weergegeven in figuur 2.5.
E0 =
39
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
Figuur 2.5: Het energiespectrum voor een ééndimensionale vierkante potentiaalput voor verschillende waarden van de sterkteparameter γ.
2.5
Potentiaalberg
Beschouw de stappotentiaal (zie figuur 2.6)
½
0,
x < 0,
V (x) =
V0 > 0, x > 0
(2.75)
Voor x < 0 vinden we
q
ψ(x) = aeikx + be−ikx ,
(2.76)
met κ = 2m
E. Voor x > 0 moeten we twee situaties beschouwen afhankelijk
~2
van de waarde van de energie.
Figuur 2.6: Een potentiaalberg.
40
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
2.5.1
Energie E < V0
Voor E < V0 wordt de golffunctie geven door
ψ(x) = ce−κx + deκx ,
(2.77)
q
2m
met k =
(V0 − E). We eisen dat d = 0 omdat de golffunctie eindig moet
~2
blijven voor x → ∞ en dus
ψ(x) = ce−κx .
(2.78)
In het punt x = 0 moeten de golffunctie ψ en zijn afgeleide ψ 0 continu zijn:
a + b = c,
ik(a − b) = −κc,
waaruit volgt
b = −a
κ + ik
,
κ − ik µ
κ + ik
c = a+b=a 1−
κ − ik
¶
=a
−2ik
.
κ − ik
De golffunctie kan dan herschreven worden als
¡
¢
½
−a eikx − κ+ik
e−ikx , x < 0
κ−ik
ψ(x) =
−2ik −κx
a κ−ik
e ,
x > 0.
(2.79)
Laten we nu eens de stroom j(x) berekenen. We weten dat de stroom gegeven
wordt door
µ
¶
i~
∂ ∗
∗ ∂
j(x) = −
ψ
ψ−ψ ψ ,
2m
∂x
∂x
µ
¶
~
∂
=
Im ψ ∗ ψ ,
(2.80)
m
∂x
en dus
µ
¶µ
¶
~ 2
κ − ik ikx
κ + ik −ikx
−ikx
ikx
j(x) =
|a| Im e
−
e
e +
e
ik,
m
κ + ik
κ − ik
µ
¶
~k 2
κ + ik −2ikx κ2 + k2
2ikx κ − ik
=
|a| Re 1 − e
+
e
− 2
,
m
κ + ik κ − ik
κ + k2
j(x) = 0.
(2.81)
(2.82)
Aangezien de stroomdichtheid j(x) gelijk is aan nul, is ook de transmissiewaarschijnlijkheid gelijk aan nul:
T = 0.
(2.83)
41
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
Figuur 2.7: Een voorbeeld van de golffunctie ψ als functie van y = kx voor een
invallend deeltje met energie E = 0.75V0
Vervolgens beschouwen we de waarschijnlijkheid |Ψ(x)|2 voor x > 0:
|ψ(x)|2 = |a|2
waarbij
4k 2 −2κx
e
,
κ2 + k 2
4k 2
2mE 1
E
= 4 2 2mV0 = 4 .
2
2
κ +k
~
V0
~2
(2.84)
(2.85)
De golffunctie penetreert dus in de barrière, wat klassiek niet mogelijk is. Merk
verder op dat er geen kwantisatie van de energie is. Dit is ook duidelijk te zien in
figuur 2.7 waar we de golffunctie ψ tonen voor een invallend deeltje met energie
E = 0.75V0 .
2.5.2
Energie E > V0
Voor E > V0 wordt de golffunctie gegeven door
0
0
ψ(x) = ceik x + de−ik x ,
(2.86)
q
met k 0 = 2m
(E − V0 ). Omdat we een golf van links laten invallen op de barrière,
~2
valt de tweede term weg, en dus
0
ψ(x) = ceik x .
(2.87)
In het punt x = 0 moeten de golffunctie ψ en zijn afgeleide ψ 0 continu zijn:
a + b = c,
k(a − b) = k 0 c,
42
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
waaruit volgt
k − k0
a,
k + k0
2k
c = a
.
k + k0
b =
De golffunctie kan dan herschreven worden als
½ ¡ ikx k−k0 −ikx ¢
, x>0
a e + k+k0 e
ψ(x) =
2k ik0 x
a k+k0 e ,
x<0
(2.88)
en de stroomdichtheid als
~ 2 4k 2
|a|
k0,
m
(k + k 0 )2
~ 2
j+ (x) =
|a| k, x < 0,
m
jt (x) =
x>0
(2.89)
(2.90)
waarbij j+ de invallende stroom en jt de transmissiestroom is. De transmissiewaarschijnlijkheid T en reflectiewaarschijnlijkheid R zijn dan
4kk 0
,
(k + k 0 )2
µ
¶2
k − k0
R =
.
k + k0
T =
(2.91)
(2.92)
De som van de transmissiewaarschijnlijkheid en de reflectiewaarschijnlijkheid
moet gelijk zijn aan één:
T +R=
£
¤
1
0
0 2
4kk
+
(k
−
k
)
= 1.
(k + k 0 )2
(2.93)
Tenslotte herschrijven we de transmissiewaarschijnlijkheid in functie van de energie E en de potentiaal V0 :
p
√ √
1 − V0 /E
E E − V0
(2.94)
T = 4 ³√
´2 = 4 ³
´2 .
p
√
E + E − V0
1 + 1 − V0 /E
De transmissiewaarschijnlijk als functie van E/V0 is weergegeven in figuur 2.8
Tenslotte geven we ter illustratie de tijdsevolutie van de golffunctie in figuur
2.9 voor E < V0 (links) en E > V0 (rechts).
43
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
Figuur 2.8: De transmissiewaarschijnlijk als functie van E/V0 voor een stappotentiaal met hoogte V0 .
2.5.3
Normalisatie van vlakke golven
De golffunctie ψ(x) = aeikx is genormaliseerd wanneer
Z ∞
dx |ψ(x)|2 = 1.
(2.95)
−∞
Hieruit volgt echter
Z
|a|
2
∞
dx = 1,
(2.96)
−∞
wat betekent dat de golf niet normeerbaar is. Om dit op te lossen kan men
een eindig interval [−L/2, L/2] beschouwen. Integratie leidt dan tot |a|2 L = 1,
waardoor de golffunctie (2.95) geschreven kan worden als
1
ψ(x) = √ eikx .
L
(2.97)
Maar wat gebeurt er op de randen ψ(±L/2)? Vaak gebruikt men periodische
n, met
randvoorwaarden ψ(−L/2) = ψ(L/2). Zo bekomt men eikL = 1 of k = 2π
L
n = 0, ±1, ±2, ... Op het einde van de berekening neemt men L → ∞.
2.6
Transfermatrixmethode
Beschouw een stuksgewijze potentiaal zoals gegeven in figuur 2.10. Om bijvoorbeeld de transmissiewaarschijnlijkheid te berekenen, gaat men dan bij voorkeur
de transfermatrixmethode gebruiken.
44
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
Figuur 2.9: De tijdsevolutie van de golffunctie voor E < V0 (links) en E > V0
(rechts).
Figuur 2.10: Een willekeurige stuksgewijze potentiaal.
De golffunctie wordt gegeven door

a1 eik1 x + b1 e−ik1 x ,
x < x1 ,



ik2 x
−ik2 x

a2 e
+ b2 e
,
x1 < x < x 2 ,

ik3 x
−ik3 x
a3 e
+ b3 e
,
x2 < x < x 3 ,
ψ(x) =


...



aN +1 eikN +1 x + bN +1 e−ikN +1 x ,
xN < x,
45
(2.98)
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
waar
r
2m
(E − Vj ),
(2.99)
~2
Als we een golf van links laten invallen, hebben we bN +1 = 0. In het punt
x = x1 moeten de golffunctie Ψ en zijn afgeleide ψ 0 continu zijn:
kj =
a1 eik1 x1 + b1 e−ik1 x1 = a2 eik2 x1 + b2 e−ik2 x1 ,
¢
k2 ¡ ik2 x1
a2 e
− b2 e−ik2 x1 .
a1 eik1 x1 − b1 e−ik1 x1 =
k1
Hieruit volgt
µ
¶
µ
¶
1
k2 i(k2 −k1 )x1
1
k2 −i(k2 +k1 )x1
a1 =
1+
e
a2 +
1−
e
b2 ,
2
k1
2
k1
µ
¶
µ
¶
1
k2 i(k2 +k1 )x1
1
k2 −i(k2 −k1 )x1
1−
1+
b1 =
e
e
a2 +
b2 ,
2
k1
2
k1
of in matrixvorm
µ
¶
µ
¶µ
¶
1
a1
(k1 + k2 ) ei(k2 −k1 )x1 (k1 − k2 ) e−i(k2 +k1 )x1
a2
=
. (2.100)
b1
b2
2k1 (k1 − k2 ) ei(k2 +k1 )x1 (k1 + k2 ) e−i(k2 −k1 )x1
Dit kan men kortweg noteren als:
u1 = T (1) u2 .
(2.101)
u2 = T (2) u3 .....uN = T (N ) uN+1 .
(2.102)
Analoog vinden we
Door al deze resultaten te combineren, vinden we tenslotte
u1 = T (1) T (2) ...T (N ) uN+1 = M uN+1 .
Vervolgens berekenen we de stroomdichtheid j(x). We weten dat de stroom
gegeven wordt door
µ
¶
i~
∂ ∗
∗ ∂
j(x) = −
ψ−ψ ψ ,
ψ
(2.103)
2m
∂x
∂x
µ
¶
~
∗ ∂
Im ψ
ψ ,
(2.104)
=
m
∂x
Voor x > xN en x < x1 wordt de stroomdichtheid gegeven door
j(x > xN ) =
~
|aN +1 |2 kN +1 ,
m
46
(2.105)
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
en
¡
¢
¡
¢
~
Im a∗1 e−ik1 x + b∗1 eik1 x ik1 a∗1 eik1 x − b∗1 e−ik1 x ,
m
¢
~k1 ¡ 2
=
Re |a1 | − |b1 |2 − a∗1 b1 e−2ik1 x + a1 b∗1 e2ik1 x ,
m
¢
~k1 ¡ 2
=
|a1 | − |b1 |2 = j+ (x < x1 ) − j− (x < x1 ),
(2.106)
m
j(x < x1 ) =
1
waarbij j+ (x < x1 ) = ~k
|a1 |2 de stroom is t.g.v. de golf die van links invalt en
m
1
j− (x < x1 ) = ~k
|b1 |2 de stroom t.g.v. de gereflecteerde golf.
m
De transmissiewaarschijnlijkheid T en de reflectiewaarschijnlijkheid R kunnen
dan als volgt geschreven worden:
T =
j+ (x > xN )
kN +1 |aN +1 |2
=
,
j+ (x < x1 )
k1 |a1 |2
(2.107)
en
j− (x < x1 )
|b1 |2
.
=
j+ (x < x1 )
|a1 |2
In matrixnotatie kunnen we u1 = M uN+1 schrijven als:
µ
¶ µ
¶µ
¶
a1
M11 M12
aN +1
=
.
b1
M21 M22
bN +1
R=
(2.108)
(2.109)
Omdat bN +1 = 0 wordt dit herleid tot:
a1 = M11 aN +1 ,
b1 = M21 aN +1 ,
waardoor de transmissie- en de reflectiewaarschijnlijkheid geschreven kunnen worden als:
T =
kN +1 1
,
k1 |M11 |2
|M21 |2
R =
.
|M11 |2
(2.110)
(2.111)
Om onze resultaten te controleren, bekijken we nog eventjes de som van de
transmissie- en de reflectiewaarschijnlijkheid:
µ
¶
1
kN +1
2
2
T +R =
|aN +1 | ,
|b1 | +
k+1
|a1 |2
1 ¡ 2
2
2¢
=
|b
|
+
|a
|
−
|b
|
= 1,
(2.112)
1
1
1
|a1 |2
omdat j (x > xN ) = j (x < x1 ).
47
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
Figuur 2.11: Een potentiaalbarrière met breedte W = 2a en hoogte V.
2.7
Potentiaalbarrière
Laat ons nu eens een potentiaalbarrière beschouwen (zie ook figuur 2.11) met als
potentiaal

x < −a,
 0,
V > 0, −a < x < a,
(2.113)
V (x) =

0,
a < x.
We gebruiken de hierboven beschreven transfermethode. De golfgetallen worden
gegeven door:
r
2mE
k1 = k3 = k =
,
(2.114)
2
~
r
2m
(E − V ).
(2.115)
k2 =
~2
Om de transmissiewaarschijnlijkheid T te berekenen, gebruiken we de transfermatrixmethode. De matrix M wordt gegeven door
M = T1 T2 ,
µ
¶
1
(k + k2 ) e−i(k2 −k)a (k − k2 ) ei(k2 +k)a
=
2k (k − k2 ) e−i(k2 +k)a (k + k2 ) ei(k2 −k)a
µ
¶
1
(k2 + k) ei(k−k2 )a (k2 − k) e−i(k+k2 )a
,
×
2k2 (k2 − k) ei(k+k2 )a (k2 + k) e−i(k−k2 )a
(2.116)
en de matrixelementen M11 en M12 kunnen als volgt berekend worden:
¢
1 ¡
(k + k2 )2 e2i(k−k2 )a − (k − k2 )2 e2i(k+k2 )a ,
4kk2
¢
1 2ika ¡
=
e
− (k + k2 )2 2i sin(2k2 a) + 2kk2 2 cos(2k2 a) ,
4kk2
µ
¶
(k 2 + k22 )
2ika
= e
−i
sin(2k2 a) + cos(2k2 a) ,
(2.117)
2kk2
M11 =
48
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
Figuur 2.12: De transmissiewaarschijnlijkheid voor een potentiaalbarrière met
breedte W = 2a en hoogte V, voor de situatie waarbij mV a2 /~2 =
10.
en
¢
¡
¢
¢
1 ¡ ¡ 2
− k − k22 e−2ik2 a + k 2 − k22 e2ik2 a ,
4kk2
(k 2 − k22 )
=
2i sin(2k2 a).
4kk2
M12 =
(2.118)
De transmissiewaarschijnlijkheid (zie figuur 2.12) kan dan berekend worden door
gebruik te maken van vergelijking (2.110) als volgt:
T =
1+
1
2
)
(
k2 −k22
4k2 k22
en dus
T =
1+
met
sin2
1
³
2α
,
(2.119)
sin2 (2k2 a)
√
´
E/V −1
.
(2.120)
E E
4V
( V −1)
r
2mV 2
a,
(2.121)
~2
We beschouwen de situatie waarbij E < V . Omdat sin(ix) = i sinh x, kunnen
we de transmissiewaarschijnlijkheid (2.120) voor E/V < 1 herschrijven als
α=
1
T =
³ √
´
sinh 2α 1−E/V
2
1+
E
4V
(1− VE )
49
,
(2.122)
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
1. Als E/V ¿ 1, dan
T '
4E/V
.
sinh2 (2α)
(2.123)
1
.
1 + α2
(2.124)
2. Als E/V = 1, dan
T '
3. Als E/V À 1, dan vinden we uit vergelijking (2.120)
T = 1,
(2.125)
wanneer sin(2k2 a) = 0, met andere woorden wanneer 2k2 a = πn of
k2 =
Aangezien k2 =
2π
λ
π
n,
2a
n = 0, 1, ...
(2.126)
volgt hieruit:
n
λ
= 2a = W,
2
(2.127)
wat identiek is als deze gevonden voor een oneindig diepe put met breedte
W . We vinden in deze situatie dus volgende relatie tussen het golfgetal k2
en de breedte W van de barrière:
π
n,
W
r
2m
=
(E − V ),
~2
k2 =
(2.128)
k2
(2.129)
waaruit volgt
~2 k22
,
2m
~2 π 2 2
= V +
n,
2mW 2
E = V +
waar ~2 π 2 n2 /2mW 2 de eigenwaarden voor een oneindig diepe potentiaalput
zijn.
De tijdsevolutie van de golf is geı̈llustreerd in figuur 2.13.
50
2. Golfmechanica: Eéndimensionale stappotentialen
Figuur 2.13: De tijdsevolutie van een golf die langs links invalt op een potentiaalbarrière. Drie verschillende barrières worden beschouwd.
51
3. De structuur van de
kwantummechanica
In dit hoofdstuk zullen we de belangrijkste veronderstellingen in de kwantummechanica herhalen en het wiskundige kader ervan beter formuleren.
3.1
3.1.1
Postulaten en de Hilbertruimte
De postulaten
In de wiskundige beschrijving van de klassieke mechanica, zoals beschreven door
de vergelijkingen van Newton, staat de faseruimte centraal. Dit is de ruimte van
alle posities en impulsen (xi , pi ) van de deeltjes. Bijvoorbeeld: Een harmonische
oscillator met massa m en hoekfrequentie ω heeft energie
E=
1
p2
+ m2 ω 2 x2 .
2m 2
Voor een constante energie E vinden we dus dat de faseruimte een ellips is in het
(p, x)-vlak.
Volgens Planck zijn de mogelijke energieën van een oscillator echter gekwantiseerd: E = n~ω. In het begin probeerde men verder te gaan met concepten zoals
faseruimte en deeltjesbanen, en dit te combineren met nieuwe kwantisatieregels.
Het werd echter al snel duidelijk dat een krachtigere en fundamentele theorie
nodig was om de spectrale lijnen van atomen te verklaren. W. Heisenberg was
degene die uiteindelijk in 1925 de doorbraak bewerkstelligde, terwijl hij verbleef
op het kleine eiland Helgoland om van zijn hooikoorts te genezen. Hij probeerde
een iets ingewikkeldere, niet-lineaire versie van de harmonische oscillator op te
lossen. In plaats van te proberen om alle banen van, bijvoorbeeld, de elektronen
in een atoom te vinden, kwam hij op het idee dat men eerder de entiteit van alle
frequenties van de spectrale lijnen en hun intensiteiten moet beschouwen. Dit is
in ieder geval natuurlijker, omdat het de frequenties en de intensiteiten zijn die
men kan observeren en niet de elektronbanen.
Dit betekent in het bijzonder dat het concept faseruimte niet langer voldoet
voor de beschrijving van de kwantumtheorie. We hebben reeds gezien wat er in
52
3. De structuur van de kwantummechanica
de plaats komt: het zijn de golffuncties die de oplossingen van de Schrödingervergelijking zijn. De stationaire oplossingen bij bepaalde energie-eigenwaarden
vormen de basis van deze lineaire ruimte van golffuncties, de Hilbertruimte H.
We hebben reeds een voorbeeld van de Hilbertruimte besproken voor de situatie
van een oneindige potentiaalput.
We hebben ook reeds geleerd hoe we kunnen werken met golffuncties om
waarschijnlijkheden, transmissie- en reflectiecoëfficiënten, mogelijke energiewaarden, enz. te bespreken. In wat volgt zullen we de golffuncties bekijken als vectoren,
dus als elementen van een vectorruimte.
3.1.2
De Hilbertruimte
We starten met enkele wiskundige begrippen die nodig zijn voor de definitie van
de Hilbertruimte:
• Een norm k..k is een afbeelding van een complexe vectorruimte V op de
reële getallen R+ , zodat voor alle elementen ψ, φ ∈ V geldt:
kψk ≥ 0, kψk = 0 ↔ ψ = 0,
kcψk = |c|kψk, c ∈ C,
kψ + φk ≤ kψk + kφk.
• Een scalair product is een afbeelding van een paar van vectoren ψ, φ op een
complex getal hψ|φi, zodat voor elke willekeurige ψ, φ, χ ∈ V geldt:
hψ|ψi
hψ|cφi
hψ + ψ|χi
hψ|φi
≥
=
=
=
0,
chψ|φi, c ∈ C,
hψ|χi + hφ|χi,
hφ|ψi2 =: hφ|ψi.
• Een vectorruimte met scalair product en norm kψk =
unitaire ruimte genoemd.
p
hψ|ψi wordt een
• Een rij {ψn } in een unitaire ruimte wordt een Cauchyrij genoemd als voor
alle reële getallen ε > 0, een geheel getal N (ε) bestaat, zodat voor alle
n, m > N (ε) geldt dat hψn |ψm i < ε.
• Een unitaire ruimte X is compleet als elke Cauchyrij in X convergeert naar
een vector ψ ∈ X.
• Een Hilbertruimte is een complete unitaire ruimte.
53
3. De structuur van de kwantummechanica
Als voorbeeld van een Hilbertruimte beschouwen we nu de ruimte H = Hput van
de kwadratisch integreerbare golffuncties ψ(x) van de oneindige potentiaalput,
gedefinieerd op een interval [0, L] en waarvoor ψ(0) = ψ(L) = 0. Elke functie ψ
wordt beschouwd als een vector. De lineaire structuur van een vectorruimte is
een gevolg van het feit dat als ψ, φ ∈ H, dan is ook ψ + φ ∈ H en cψ ∈ H. Het
scalaire product wordt gegeven door een integraal:
Z L
hψ|φi :=
dxψ ∗ (x)φ(x).
(3.1)
0
Men kan gemakkelijk controleren dat dit inderdaad een scalair product is. De
b namelijk de functies ψn (x) met energie
eigenvectoren van de Hamiltoniaan H,
En ,
r
³ nπx ´
2
n 2 π 2 ~2
ψn (x) =
sin
, En =
, n = 1, 2, 3, ...
L
L
2mL2
vormen een ortonormale basis van H:
hψn |ψm i = δnm .
Een willekeurige golffunctie f ∈ H kan dan ontbonden worden in een lineaire
combinatie van de basisvectoren ψn :
f=
∞
X
hψn |f iψn .
(3.2)
n=1
3.1.3
Eerste postulaat: toestanden als vectoren van de Hilbertruimte
Eerste postulaat: Een kwantummechanisch systeem wordt beschreven door Ψ(r, t)
∈ H. De tijdsevolutie wordt beschreven door de Schrödingervergelijking
i~
∂Ψ
b
= HΨ,
∂t
(3.3)
waar H de Hamiltoniaanoperator is, die overeenkomt met de totale energie van
het systeem. De stationaire Schrödingervergelijking wordt gegeven door
b = Eφ,
Hφ
met E de eigenenergie en φ de stationaire eigentoestanden.
54
(3.4)
3. De structuur van de kwantummechanica
3.2
3.2.1
Operatoren en metingen in de kwantummechanica
Operatoren
Kwantummechanica is een theorie van waarschijnlijkheden en verwachtingswaarden voor de uitkomst van experimenten. We hebben reeds gezien hoe we de
golffunctie kunnen gebruiken om verwachtingswaarden voor de positie r, het impuls p of eender welke functie van r en p te berekenen. Nu veralgemenen we het
tweede postulaat een beetje:
Tweede postulaat (a): Met fysische grootheden zoals positie, impuls, angulair moment en energie komen lineaire operatoren overeen die inwerken op vectoren van de Hilbertruimte H:
A:H → H
Ψ → AΨ
(3.5)
Voor de positie geldt: r → b
r (vermenigvuldigingsoperator) en voor de impuls:
~
p → i ∇. Dit correspondentieprincipe legt ook alle andere operatoren vast.
Verder geldt de commutatierelatie
[b
xk , pbl ] = i~δkl ,
met de Kroneckerdelta δkl = 1 als k = l en δkl = 0 als k 6= l.
De verwachtingswaarde op ogenblik t van een operator A voor een kwantummechanisch systeem dat beschreven wordt door Ψ(t) is gedefinieerd als
hAit =
hΨ(r, t)|A|Ψ(r, t)i
.
hΨ(r, t)|Ψ(r, t)i
(3.6)
Voorbeeld: Voor een kwantummechanisch systeem beschreven door een genorb r, p
b)
maliseerde golffunctie Ψ(r, t) is de verwachtingswaarde van een operator O(b
gelijk aan:
Z
b )it =
hO(b
r, p
3.2.2
b )Ψ(r, t)
drΨ∗ (r, t)O(b
r, p
(3.7)
Lineaire operatoren
Een lineaire operator A die inwerkt op de vectoren |ψi, |φi van een Hilbertruimte
H heeft de eigenschap
A [|ψi + c|φi] = A|ψi + cA|φi, c ∈ C.
Enkele voorbeelden van lineaire operatoren:
55
(3.8)
3. De structuur van de kwantummechanica
• (n × n)-matrices A, inwerkend op vectoren r → A(r).
b , inwerkend op een Hilbertruimte van differentieerbare
• De impulsoperator p
functies als:
~
b:f →p
b f met p
b f(r) = ∇f(r)
(3.9)
p
i
Voorbeeld van een niet-lineaire operator:
• De operator A die een functie f kwadrateert, A : f → f 2 .
De verwachtingswaarden van observabelen A moeten een reëel getal zijn, omdat
zij de uitkomst van een gemiddelde over vele experimenten voorstellen. Om dit
te verduidelijken moeten we nog één extra concept invoeren:
De toegevoegde operator A† van een lineaire operator A die inwerkt op een
Hilbertruimte H wordt gedefinieerd door:
hψ|Aφi = hA† ψ|φi,
∀φ, ψ ∈ H.
Een lineaire operator A inwerkend op de Hilbertruimte H wordt hermitisch
genoemd, als
hAψ|φi = hψ|Aφi, ∀φ, ψ ∈ H.
Voorbeeld: De impulsoperator pb in één dimensie, inwerkend op golffuncties
ψ(x), φ(x) ∈ C die nul worden op x → ±∞, is hermitisch:
Z
Z
∗
0
hψ|b
pφi = −i~ dxψ (x)[φ(x)] = dx[−i~ψ 0 (x)]∗ φ(x) = hb
pψ|φi.
De verwachtingswaarden van hermitische operatoren A die inwerken op een
willekeurige toestandsvector ψ van een willekeurige Hilbertruimte zijn reëel, omdat
hAi = hψ|Aψi = hAψ|ψi = hψ|Aψi∗ = hAi∗ .
Hieruit volgt het tweede deel van het tweede postulaat.
Tweede postulaat (b): Fysische observeerbare grootheden corresponderen met
hermitische operatoren. Verder geldt dat de eigenwaarden van hermitische operatoren reëel zijn.
3.2.3
Eigenwaarden en meting
Nu komen we tot één van de belangrijkste concepten van de kwantummechanica:
De mogelijke resultaten van een meting van een grootheid die correspondeert met
de operator A zijn alleen de eigenwaarden van A. Na de meting is het systeem een
eigentoestand van A met een voorspelbare waarschijnlijkheid die bepaald wordt
door A en de toestand voor de meting.
56
3. De structuur van de kwantummechanica
Dit concept behoort tot de Kopenhageninterpretatie van de kwantummechanica en is tegenwoordig algemeen aanvaard en in overeenstemming met de experimentele resultaten.
Beschouw nu een kwantummechanisch systeem in een genormaliseerde toestand
|ψi. Vervolgens willen we een meting doen van een grootheid (bijvoorbeeld de
energie) die voorgesteld wordt door een hermitische operator A (bijvoorbeeld de
Hamiltoniaan H). Twee situaties kunnen zich voordoen:
• Veronderstel dat ψ = φ een eigentoestand is van A, m.a.w. Aφ = λφ met λ
de eigenwaarde. Indien het systeem in toestand φ is, zal een meting van A
steeds hetzelfde resultaat geven, m.a.w. hAi = hφ|A|φi = λ.
• Veronderstel dat ψ geen eigentoestand is van A. Een meting geeft bijvoorbeeld a en plaatst het systeem in een toestand φ. Na de eerste meting
wordt er een tweede meting uigevoerd met resultaat b. We veronderstellen
dat b = a. Elke volgende meting zal b = a geven, m.a.w.
hAi = a,
en
h(A − hAi)2 i =
hφ| (A − hAi)2 |φi
= 0,
hφ|φi
en dus
(A − a)φ = 0 Ã Aφ = aφ.
(3.10)
Dit wil zeggen dat na de eerste meting het systeem in een eigentoestand
van A geplaatst is, en dat het resultaat van de meting de eigenwaarde a
van A is. Elke volgende meting zal automatisch hetzelfde resultaat geven.
Tweede postulaat (c): De mogelijke resultaten van metingen van een observabele die correspondeert met de Hermitische operator A zijn de eigenwaarden
van A. Onmiddellijk na de meting zal het kwantummechanisch systeem zich in
een eigentoestand van A bevinden die correspondeert met de gemeten eigenwaarde.
Dit axioma betekent de meest radicale breuk met de klassieke fysica. Het voorspelt een abrupte ineenstorting (”collapse”) van de golffunctie in een eigentoestand van A op het moment dat de meting wordt uitgevoerd. Vooraleer de meting wordt uitgevoerd kan men niet voorspellen welke eigenwaarde zal gemeten
worden. Alleen waarschijnlijkheden voor de mogelijke meetresultaten kan men
voorspellen.
Tweede postulaat (d): A heeft een compleet systeem van eigenvectoren {φn }
met corresponderende eigenwaarden an . De genormeerde toestand Ψ ∈ H voor de
57
3. De structuur van de kwantummechanica
meting A kan dus geschreven worden als
X
Ψ=
cn φn ,
n
met
cn = hφn |Ψi ∈ C.
De verwachtingswaarde van A in Ψ is
hΨ|AΨi =
X
an |cn |2 ,
n
waar |cn |2 de waarschijnlijkheid is om het systeem in de eigentoestand φn te
vinden na de meting.
3.3
Potentiaalputprobleem
Uit het vorige hoofdstuk weten we dat de energieën en de golffuncties voor een
oneindige potentiaalput gegeven worden door
En =
en
n 2 π 2 ~2
,
2mL2
n = 1, 2, 3, ...
(3.11)
r
³ nπx ´
2
sin
, n = 1, 2, 3, ...
L
L
Het scalair product van twee eigentoestanden kan berekend worden als
Z L
hψn |ψm i =
dxψn∗ (x)ψm (x)
0
Z
³ nπx ´
³ mπx ´
2 L
=
dx sin
sin
L 0
L
L
= δnm ,
ψn (x) =
en de tijdsevolutie van de golffunctie wordt beschreven door
r
³ nπx ´
2 −iEn t/~
−iEn t/~
ψn (x, t) = e
ψn (x) =
e
sin
.
L
L
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
Verder weten we dat:
Hψn = En ψn .
58
(3.17)
3. De structuur van de kwantummechanica
De som van twee eigentoestanden ψn + ψm = φ ∈ H is geen eigentoestand van H
voor n 6= m:
Hφ = Hψn + Hψm ,
= En ψn + Em ψm ,
µ
¶
Em
= En ψn +
ψm ,
En
6= Eφ.
(3.18)
Als we nu een golffunctie beschouwen die een lineaire combinatie is van twee
eigentoestanden van H, dan wordt de verwachtingswaarde van de energie gegeven
door
hφ|H|φi
hHi =
,
hφ|φi
hφ|cn En ψn + cm Em ψm i
=
,
hφ|φi
En |cn |2 + Em |cm |2
,
(3.19)
=
|cn |2 + |cm |2
|cn |2
|cm |2
= En
+ Em
.
(3.20)
|cn |2 + |cm |2
|cn |2 + |cm |2
Voorbeeld: Beschouw de golffunctie
1
φ(x, t) = √ (ψ1 (x, t) + ψ2 (x, t)) ,
2
r
r
µ
¶
³ πx ´
n2πx
2
2
−iE2 t/~
−iE2 t/~
= e
sin
+e
sin
,
(3.21)
L
L
L
L
dan wordt de waarschijnlijkheidsdichtheid gegeven door
¯
µ
¶¯2
³ πx ´
n2πx ¯¯
2 ¯¯ −iE2 t/~
2
−iE2 t/~
|φ(x, t)| =
+e
sin
e
sin
¯ ,
L¯
L
L
·
µ
¶
³ ´
2
2πx
2 πx
2
=
sin
+ sin
L
L
L
µ
¶
µ
¶¸
³ πx ´
(E1 − E2 )t
2πx
+ 2 cos
sin
sin
.
~
L
L
Merk op dat deze waarschijnlijkheidsdichtheid tijdsafhankelijk is (zie ook figuur
3.1 ter illustratie). Bijvoorbeeld:
• Op t = 0:
|φ(x, 0)|
2
µ
· ³ ´
¶¸2
2
2πx
πx
=
+ sin
,
sin
L
L
L
µ
¶
³ πx ´
8
3πx
2
sin
.
=
cos2
L
2L
2L
59
(3.22)
3. De structuur van de kwantummechanica
Figuur 3.1: De tijdsevolutie van een golfpakket in een oneindig diepe put. Op
t = 0 (bovenaan) is het pakket geconcentreerd in het midden van
de put. Daarna beweegt het heen en weer, waarbij het telkens botst
tegen de wanden.
• Op t =
π~
:
2(E2 −E1 )
·
µ
¶¸
³ ´
2πx
2
2 πx
2
|φ(x, t1 )| =
sin
+ sin
.
L
L
L
2
• Op t =
(3.23)
π~
:
E2 −E1
|φ(x, t2 )|
2
· ³ ´
µ
¶¸2
2
πx
2πx
=
sin
,
− sin
L
L
L
µ
¶
³ ´
8
3πx
2 πx
2
=
sin
cos
.
L
2L
2L
(3.24)
De waarschijnlijkheidsdichtheid van de eigentoestanden is anderzijds onafhankelijk van de tijd. Bijvoorbeeld:
³ πx ´
2
|ψ1 (x, t)|2 = sin2
.
(3.25)
L
L
60
3. De structuur van de kwantummechanica
De verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan is dan weer tijdsonafhankelijk:
hHit = hφ(x, t)|Hφ(x, t)i = hHi.
Gelieve dit aan te tonen.
De verwachtingswaarden van de positie en de impuls zijn:
¿µ
¶À
L
L
hxin =
x−
+
2
2
L
=
, ∀n,
2
en
Z
³ nπx ´ ~ ∂
³ nπx ´
2 L
hpin =
dx sin
sin
L 0
L
i ∂x
L
Z L
³
´
³
2 ~ nπ
nπx
nπx ´
=
dx sin
cos
,
Li L 0
L
L
µ
¶
Z
2nπx
2 ~ nπ L 1
=
dx sin
Li L 0
2
L
= 0, ∀n.
(3.26)
(3.27)
(3.28)
Beschouw de golffunctie
r
ψn (x) =
³ nπx ´
2
,
sin
L
L
n = 1, 2, 3, ...
Deze golffunctie is geen eigenfunctie van de operator p:
r
³ nπx ´
nπ 2
pψn (x) =
cos
,
L L
L
De golffunctie kan ook geschreven worden als
r
¢
2 1 ¡ inπx/L
ψn (x) =
e
− e−inπx/L ,
L 2i
(3.29)
(3.30)
(3.31)
en als we hier de operator p laten inwerken wordt het direct duidelijk waarom
hpin = 0:
r
¢
2 1 ¡ inπx/L
pe
− pe−inπx/L ,
pψn (x) =
L 2i
en
π
peinπx/L = ~n einπx/L ,
L
waardoor
r
¢
2 1 n~π ¡ inπx/L
pψn (x) =
e
+ e−inπx/L ,
L 2i L
61
3. De structuur van de kwantummechanica
wat een staande golf is. We kunnen de golffunctie dus herschrijven als
1
ψn (x) = √ (ϕkn − ϕ−kn ) ,
2i
met kn = nπ/L en
1
ϕkn = √ eikn x ,
L
is een eigenfunctie van de impulsoperator. Bovendien is
Z L
dx |ϕkn |2 = 1.
0
De verwachtingswaarde hpin kan dan als volgt berekend worden:
1
1
hpin = kn − kn = 0.
2
2
De waarschijnlijkheid dat men kn meet is 1/2. Ook de waarschijnlijkheid dat men
−kn meet is 1/2.
62
4. De harmonische oscillator
4.1
Het model
De ééndimensionale harmonische oscillator wordt beschreven door de kwadratische potentiaal
1
V (x) = mω 2 x2 ,
(4.1)
2
met m de massa van het deeltje en ω de parameter die de vorm van de parabool
bepaalt. We wensen het gedrag van een deeltje met massa m in zo’n potentiaal
te bepalen.
In de klassieke fysica, zou men de vergelijkingen van Newton voor een gegeven
beginpositie x0 en een gegeven beginimpuls p0 op ogenblik t = 0 moeten oplossen
om x(t) en p(t) te bepalen op een later ogenblik t > 0. De totale energie
p2
p2
+ V (x) = 0 + V (x0 ),
(4.2)
2m
2m
is constant en bepaalt een ellips in de faseruimte. Het deeltje begint in het punt
(x0 , p0 ) en beweegt dan op deze ellips. Als functie van de tijd kunnen we de
waarde van x(t) gemakkelijk bekomen door volgende differentiaalvergelijking op
te lossen:
mẍ = F (x) = −V 0 (x) = −mω 2 x.
(4.3)
E=
Volgens de kwantummechanica moeten we de totale energie vervangen door de
Hamiltonoperator
2
b = pb + 1 mω 2 x2 ,
H
(4.4)
2m 2
en moeten we de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking oplossen
i~
∂
b
Ψ(x, t) = HΨ(x,
t),
∂t
(4.5)
voor een gegeven initiële golffunctie Ψ(x, 0). We hebben geleerd dat dit voor
een tijdsonafhankelijke Hamiltoniaan bekomen kan worden door de stationaire
Schrödingervergelijking op te lossen, namelijk
¶
µ
1
~2 ∂ 2
2 2
b
+ mω x ψ(x) = Eψ(x),
(4.6)
Hψ = Eψ Ã −
2m ∂x2 2
63
4. De harmonische oscillator
wat een vergelijking is voor de mogelijke energiewaarden E en de eigenfuncties
ψ(x). We hebben ook reeds gezien dat de eigenfuncties een basis vormen waarin
de initiële golffunctie Ψ(x) ontbonden kan worden, en dus kan de tijdsevolutie
van een willekeurige initiële golffunctie berekend worden.
4.2
Oplossing van de differentiaalvergelijking
Om vergelijking (4.6) op te lossen, introduceren we de volgende dimensieloze
grootheden
r
mω
q :=
x,
~
E
ε :=
,
~ω
φ(q) := ψ(x).
(4.7)
Dan kan vergelijking (4.6) herschreven worden als
φ00 (q) + (2ε − q 2 )φ(q) = 0.
(4.8)
Voor grote q → ∞, kan men de term evenredig met ε verwaarlozen. Dit leidt tot
het asymptotische gedrag van φ(q → ±∞),
φ(q → ±∞) ∝ e±q
2 /2
,
(4.9)
wat men ook kan controleren door af te leiden:
φ0 (q → ±∞) ∝ ±qe±q
φ00 (q → ±∞) ∝ ±e
2 /2
±q 2 /2
,
+ q 2 e±q
2 /2
→ q 2 e±q
2 /2
.
(4.10)
Dit voorbeeld toont ruwweg aan hoe een asymptotische analyse van een differentiaalvergelijking wordt uitgevoerd.
We hebben twee verschillende oplossingen: één gaat naar oneindig als q → ±∞,
terwijl de ander naar nul gaat. Golffuncties moeten genormaliseerd zijn en dit is
onmogelijk voor golffuncties die naar oneindig gaan. We sluiten die oplossing uit
en schrijven φ(q) als
2
φ(q) = e−q /2 h(q),
(4.11)
wat een aanname is met een tot nu toe onbekende functie h(q) die we wensen
te bepalen. Om h(q) te bepalen, vullen we deze in in de differentiaalvergelijking
(4.6):
h00 (q) − 2qh0 (q) + (2ε − 1)h(q) = 0.
(4.12)
64
4. De harmonische oscillator
We proberen dit op te lossen door een machtreeks:
h(q) =
0
h (q) =
h00 (q) =
∞
X
k=0
∞
X
k=0
∞
X
ak q k ,
kak q
k−1
∞
X
=
(k + 1)ak+1 q k ,
k=0
k(k + 1)ak+1 q k−1 =
k=1
∞
X
(k + 1)(k + 2)ak+2 q k .
k=0
Vullen we dit in in vergelijking (4.12), dan bekomen we
∞
X
[(k + 1)(k + 2)ak+2 − 2kak + (2ε − 1)ak ] q k = 0.
(4.13)
k=0
De linkerzijde van de vergelijking moet gelijk zijn aan nul voor iedere waarde
van q. Dit kan enkel indien alle coëfficiënten in [...] verdwijnen. De machten q k
vormen een oneindige basis q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , .... Als een functie, ontbonden in deze
basis, gelijk is aan nul, moeten alle coëfficiënten gelijk zijn aan nul. Hieruit volgt
dus
2k − 2ε + 1
ak+2 =
ak .
(4.14)
(k + 1)(k + 2)
Dit is een recursierelatie voor de coëfficiënten ak .
Er zijn dus twee lineair onafhankelijke oplossingen:
• Oneven oplossingen voor x → −x:
a0 = 0 → a2k = 0,
3 − 2ε
a3 =
a1 , a4 = 0, ...
6
∞
∞
X
X
2l+1
a2l+1 q
=q
a2l+1 q 2l
h(q) =
(4.15)
l=0
l=0
• Even oplossingen voor x → −x:
a1 = 0 → a2k+1 = 0,
1 − 2ε
a2 =
a0 , a3 = 0, ...
2
(4.16)
Voor grote k → ∞ heeft men
ak+2 ≈
2
ak , k → ∞,
k
65
(4.17)
4. De harmonische oscillator
behalve wanneer ak gelijk aan nul wordt vanaf k = n. Men kan ook aantonen
dat de oneindige machtreeks h(q) asymptotisch gelijk wordt aan de exponentiële
2
functie eq voor grote q. Dit is echter duidelijk niet wat we in gedachte hadden met
2
onze aanname, want dit zou betekenen dat de golffunctie φ(q) = e−q /2 h(q) →
2
eq /2 niet langer meer normaliseerbaar is. De enige mogelijkheid om een oplossing
φ(q) te bekomen die nul wordt op q → ±∞ is te eisen dat ak nul wordt voor k
groter dan een bepaalde n, zodat h(q) een veelterm van een eindige graad wordt.
Daarom moeten we eisen dat de teller in vergelijking (4.14) nul wordt voor k = n
en daarom
1
2ε = 2n + 1 Ã ε ≡ εn = n + .
(4.18)
2
De mogelijke waarden voor de energie E zijn daarom
µ
¶
1
E ≡ En = ~ω n +
, n = 0, 1, 2, 3, ...
(4.19)
2
Dit is de beroemde energiekwantisatie van de harmonische oscillator, die Planck
reeds in 1900 gepostuleerd had om de zwarte straling te verklaren.
Voor elk niet-negatief geheel getal n bekomen we één eigenwaarde voor de
2
energie en de overeenkomstige eigenfunctie φn (q) = hn (q)e−q /2 van de eindige
recursieformule (4.14) voor de veelterm hn (q). Hier hebben we reeds de index n
gebruikt als notatie voor de n-de oplossing. De veeltermen h(q) voldoen aan de
differentiaalvergelijking (4.12) met 2ε = n, dit wil zeggen
h00 (q) − 2qh0 (q) + 2nh(q) = 0.
(4.20)
De veeltermen hn (q) die voldoen aan vergelijking (4.20) worden Hermite-veeltermen Hn (q) genoemd als ze genormaliseerd zijn zodat de golffuncties ψn (x) =
φn (q) genormaliseerd zijn. Dit wil zeggen dat het resultaat voor de genormaliseerde
eigenfuncties ψn (x) met eigenenergie En , met andere woorden de oplossingen van
vergelijking (4.6), gelijk zijn aan
¶
µ r
³ mω ´1/4 1
mω − mω x2
√
ψn (x) =
Hn x
e 2~ ,
π~
~
n!2n
n
2 d
2
Hn (q) = (−1)n eq n e−q .
(4.21)
dq
• n = 0:
ε = 1/2
→
−q 2 /2
a0 , a1 = 0, a2 = 0, ...
−x2 mω
2~
→
h(q) = a0 ,
ψ0 (x) = a0 e
= a0 e
Z ∞
Z ∞
2 mω
2
2
1 =
dx|ψ(x)| = |a0 |
dxe−x 2~
−∞
−∞
r
Z ∞
³ mω ´1/4
~
2
= |a0 |2
dte−t
.
→ a0 =
mω −∞
π~
66
4. De harmonische oscillator
Hierbij hebben we gebruik gemaakt van
√
Z ∞
Z ∞
1
π
−ax2
−t2
f (a) =
dxe
=√
dte = √ .
a −∞
a
−∞
• n = 1:
ε = 3/2
→
a0 = 0, a1 , a2 = 0, a3 = 0, ... → h(q) = a1 q
r
mω −x2 2mω
−q 2 /2
2~
ψ1 (x) = a1 qe
= a1
xe
~
r
Z ∞
Z ∞
~
2
2
2
2 −q 2
1 = |a1 |
dxq e
= |a1 |
dqq 2 e−q
mω −∞
r−∞ √
³ mω ´1/4 √
~
π
= |a1 |2
→ a1 =
2
mω 2
~π
√
Z ∞
π
2 −ax2
0
dxx e
= 3/2 .
−f (a) =
2a
∞
We geven hier geen bewijs voor de expliciete vorm van de Hermite-veeltermen.
Volgend academiejaar zullen jullie een alternatieve methode bestuderen om En
en ψn (x) te berekenen. Hier geven we enkel de veeltermen Hn (x) voor de laagste
n door gebruik te maken van vergelijking (4.21) (waarbij we q door x vervangen):
H0 (x)
H1 (x)
H2 (x)
H3 (x)
H4 (x)
=
=
=
=
=
1,
2x,
4x2 − 2
8x3 − 12x,
16x4 − 48x2 + 12.
(4.22)
De laagste eigenwaarden ψn (x) en hun waarschijnlijkheidsdichtheden |ψn (x)|2
worden getoond in figuur 4.1.
4.3
De Hilbertruimte van de harmonische oscillator
De eigenfuncties ψn (x) van de harmonische oscillator vormen de basis van een
lineaire vectorruimte Hosc van functies f (x) die gedefinieerd zijn op het interval
[−∞, ∞] met f (−∞) = f (∞) = 0. De ψn (x) vormen een ortonormale basis, dit
wil zeggen:
Z ∞
Z ∞
2
(4.23)
dx |ψn (x)| = 1,
dxψn∗ (x)ψm (x) = δnm .
−∞
−∞
67
4. De harmonische oscillator
Figuur 4.1: De laagste 4 eigenfuncties en hun waarschijnlijkheidsdichtheden voor
een harmonische oscillator.
Omdat de golffuncties reëel zijn, weten we ψn∗ (x) = ψn (x). Merk op dat deze orthonormale basis een oneindige basis is omdat er oneindig veel n zijn. De oneindige
dimensie van de vectorruimte Hosc is het belangrijkste verschil met de gewone,
eindige vectorruimtes zoals R3 . Elke functie f (x) ∈ Hosc kan ontbonden worden
in een lineaire combinatie van basisvectoren, de eigenfuncties ψn (x):
f (x) =
∞
X
Z
cn ψn (x),
∞
cn =
dxf (x)ψn (x).
(4.24)
−∞
n=0
We beginnen de eigentoestanden te tellen vanaf n = 0 en niet vanaf n = 1 zoals
bij een oneindige diepe put. Ook de orthogonaliteit kan bewezen worden, maar
hiervoor moet men gebruik maken van de eigenschappen van Hermite-veeltermen.
De eigenfuncties van de harmonische oscillator hebben volgende symmetrieeigenschap:
ψn (x) = (−1)n ψn (−x),
(4.25)
wat betekent dat ze afwisselend symmetrisch of antisymmetrisch zijn ten opzichte
van x = 0 als het quantumgetal n toeneemt. De laagste eigentoestand ψ0 (x) is
symmetrisch en heeft geen knoop, de volgende toestand ψ1 (x) is antisymmetrisch
en heeft één knoop, enz.
68
5. Het waterstofatoom
5.1
Het twee-deeltjesprobleem
We beschouwen een twee-deeltjessysteem, waarbij de potentiaal V (|r1 −r2 |) enkel
afhangt van de afstand tussen de twee deeltjes die zich op posities r1 en r2
bevinden. De Hamiltoniaan heeft dan de vorm
H=
p1 2
p2 2
+
+ V (|r1 − r2 |).
2m1 2m2
(5.1)
Door gebruik te maken van relatieve coördinaten
r = r1 − r2 ,
µ
¶
m2 p1 − m1 p2
p1
p2
p =
=µ
−
,
m1 + m2
m1 m2
(5.2)
en massacentrumcoördinaten
m1 r1 + m2 r2
R =
=µ
m1 + m2
P = p1 + p2 ,
µ
r1
r2
+
m2 m1
¶
,
krijgt de Hamiltoniaan de volgende vorm:
· 2
¸
P2
p
H=
+
+ V (r) = HM C + Hrel ,
2M
2µ
(5.3)
(5.4)
waar de totale massa M en de gereduceerde massa µ gegeven worden
M = m1 + m2 ;
µ=
m1 m2
m1 m2
=
.
m1 + m2
M
(5.5)
De indices ”MC” en ”REL” staan voor ”massacentrumcoördinaten” en ”relatieve
coördinaten”. Volgens de kwantummechanica gelden volgende commutatierelaties:
[b
r1j , pb1j ] = i~,
[b
r2j , pb2j ] = i~,
69
j = 1, 2, 3,
j = 1, 2, 3,
(5.6)
5. Het waterstofatoom
of in het algemeen
[b
rsj , pblk ] = i~δsl δjk .
(5.7)
Men kan gemakkelijk aantonen dat dit resulteert in de volgende commutatierelaties
[b
rj , pbk ] = i~δjk ,
h
i
b
b
Rj , Pk = i~δjk ,
(5.8)
voor de relatieve en massacentrumcoördinaten.
De eigenfuncties van de Hamiltoniaan H, waarvoor geldt HΨ = EΨ, kunnen
dan geschreven worden als
Ψ(r, R) = ϕM C (R)ϕrel (r),
(5.9)
als we scheiding van variabelen toepassen. Daardoor geldt dus
(HM C + Hrel ) ϕM C ϕrel = EϕM C ϕrel ,
ϕrel HM C ϕM C + ϕM C Hrel ϕrel = EϕM C ϕrel ,
−1
ϕ−1
M C HM C ϕM C + ϕrel Hrel ϕrel = E,
(5.10)
waar ϕ−1
M C HM C ϕM C onafhankelijk is van r. Als we verder veronderstellen dat E =
EM C + Erel , dan kunnen we vergelijking (5.10) opsplitsen in twee vergelijkingen:
HM C ϕM C (R) = EM C ϕM C (R),
Hrel ϕrel (r) = Erel ϕrel (r).
(5.11)
Als we de eerste vergelijking in meer detail bekijken, vinden we de Schrödingervergelijking voor een vrij deeltje terug:
HM C ϕM C =
of
~2
−
2M
µ
P2
~2 2
ϕM C = −
∇ ϕM C = E M C ϕM C
2M
2M
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(5.12)
¶
ϕM C = E M C ϕM C .
(5.13)
De oplossing voor deze Schrödingervergelijking voor een vrij deeltje kennen we:
ϕM C (R) = AeiK·R ,
(5.14)
waarbij A de normalisatiefactor is. De energie is gelijk aan:
EM C =
~2 K 2
.
2M
70
(5.15)
5. Het waterstofatoom
Figuur 5.1: De bolcoördinaten r, θ, φ.
5.2
De Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom
De Schrödingervergelijking voor het relatieve probleem is
¶
µ 2
~
− ∆ + V (r) ψ(r) = Eψ(r),
2µ
(5.16)
waarbij we voor de eenvoud ψ = ϕrel noteren. Gezien het feit dat de potentiaal
bolsymmetrisch is, is het aangewezen om over te gaan op bolcoördinaten (r, θ, φ)
(zie ook figuur 5.1):
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ.
Als we de Laplaciaan uitdrukken in deze bolcoördinaten, bekomen we
·
¸
µ
¶
µ
¶
1 ∂
2µ
1 ∂
1
∂ψ
1 ∂ 2ψ
2 ∂ψ
+ 2 (E − V (r)) ψ = 0.
r
+ 2
sin θ
+
2
2
2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
~
sin θ ∂φ
(5.17)
Het is duidelijk dat het radiale deel en het hoekafhankelijke deel scheidbaar zijn,
zodat we de volgende scheiding van variabelen kunnen gebruiken
ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ).
71
(5.18)
5. Het waterstofatoom
Dit resulteert in de differentiaalvergelijkingen
µ
¶
∂
2µ
2 ∂R(r)
r
+ 2 r2 (E − V (r)) R(r) = cR(r),
∂r
∂r
~
en
5.3
1 ∂
sin θ ∂θ
µ
∂Y (θ, φ)
sin θ
∂θ
¶
+
1 ∂ 2 Y (θ, φ)
= −cY (θ, φ).
sin2 θ ∂φ2
(5.19)
(5.20)
De vergelijking voor de hoeken
De tweede-orde partiële differentiaalvergelijking (5.20) voor de hoeken kan herschreven worden als
µ
¶
∂Y
∂ 2Y
∂
sin θ
sin θ
+ sin2 θcY +
= 0.
(5.21)
∂θ
∂θ
∂φ2
Merk op dat ook de variabelen θ en φ gescheiden voorkomen zodat we Y (θ, ϕ) =
Θ(θ)Φ(φ) mogen aannemen. Hierdoor wordt deze vergelijking:
µ
¶
1
∂
∂Θ
1 ∂ 2Φ
sin θ
sin θ
+ c sin2 θ = −
= ν,
(5.22)
Θ
∂θ
∂θ
Φ ∂φ2
De oplossing van de vergelijking voor φ,
∂ 2Φ
= −νΦ,
∂φ2
is
Φ(φ) = e±i
√
νφ
(5.23)
.
Aangezien Φ(φ) = Φ(φ + 2π) moet gelden
√
ν2π = m2π, m = 0, ±1, ±2, ...
(5.24)
Ã
ν = m2 .
De vergelijking voor θ wordt dan
µ
¶
¡
¢
∂
∂Θ
sin θ
+ −m2 + c sin2 θ Θ = 0.
sin θ
∂θ
∂θ
(5.25)
(5.26)
Dit kan enkel opgelost worden als c = l(l + 1) en de oplossingen zijn de geassocieerde Legendrefuncties. De oplossingen voor deze differentiaalvergelijking zullen
jullie volgend jaar bestuderen. Hier willen we reeds een voorsmaakje geven. Introduceer de nieuwe variabele x = cos θ. Omdat θ ∈ [0, π) hebben we x ∈ (−1, 1].
d
d
= −sinθ dx
kan de differentiaalvergelijking (5.26)
Door gebruik te maken van dθ
herschreven worden in de volgende vorm
¶
·
¸ µ
d
m2
2 dΘ
Θ = 0.
(5.27)
(1 − x )
+ c−
dx
dx
1 − x2
72
5. Het waterstofatoom
Als voorbeeld geven we de oplossing voor m = 0:
·
¸
d
2 dΘ
(1 − x )
+ cΘ = 0.
dx
dx
(5.28)
Merk op dat de vergelijking onveranderlijk is voor de substitutie x → −x en
dus kunnen de oplossingen opgesplitst worden in even en oneven functies van
x. Daar x → −x impliceert dat θ → π − θ, wil dit zeggen dat de oplossingen
symmetrisch of anti-symmetrisch zijn ten opzichte van het xy-vlak. Omdat −1 <
x ≤ 1, m.a.w. het interval is eindig, moeten we het asymptotisch gedrag niet
onderzoeken. Daarom beschouwen we onmiddellijk de reeksontwikkeling
Θ(x) =
∞
X
a k xk .
k=0
Na het invullen van de differentiaalvergelijking, verkrijgen we de recursierelatie
ak+2 = ak
k(k + 1) − c
.
(k + 1)(k + 2)
Voor k → ∞ vinden we ak+2 /ak → 1 en dus ak ∼ 1/k voor k À 1. De reeks heeft
dus het gedrag
X1
1
xk =
,
k
1−x
k
en divergeert voor x → 1. Dit is niet toegestaan en dus moet de reeks afbreken,
m.a.w.
∃l ∈ N || c = l(l + 1) Ã al+2 = 0.
(5.29)
Dit resulteert in de Legendre polynomen.
• l = 0 → a2 = 0 en omdat de reeks eindig moet zijn, moet er gelden dat
a1 = 0. We vinden dan Θ(x) = a0 .
• l = 1 → a3 = 0 en a0 = 0. Dus: Θ(x) = a1 x.
• l = 0 → a4 = 0 en a1 = 0. Dus: Θ(x) = a0 + a2 x2 .
• enz.
Na normalisatie en door rekening te houden met de orthogonaliteit van de functies, bekomen we uiteindelijk
Θl=0 (θ) = 1,
Θl=1 (θ) = cos θ,
¢
1¡
Θl=2 (θ) =
3 cos2 θ − 1 .
3
73
5. Het waterstofatoom
Figuur 5.2: De effectieve potentiaal voor een attractieve Coulombpotentiaal en
l ≥ 1.
5.4
De radiale golfvergelijking
Voor de potentiaal nemen we de Coulombpotentiaal tussen een elektron (lading
−e) en een kern (lading +Ze):
Ze2
V (r) =
.
4πε0 r
We beschouwen nu de radiale vergelijking (5.19)
¶
¸
µ
¶ · µ 2
l(l + 1)
2µ Ze 1
1 d
2 dR
+E −
R = 0.
r
+ 2
r2 dr
dr
~
4πε0 r
r2
(5.30)
(5.31)
Deze vergelijking bevat de effectieve potentiaal Vef f die gegeven wordt door (zie
ook figuur 5.2):
Ze2
~2 l(l + 1)
Vef f (r) = −
+
.
(5.32)
4πε0 r
2µr2
74
5. Het waterstofatoom
Voor de integratie van vergelijking (5.31) veranderen we de variabele r door de
dimensieloze parameter
r
8µ|E|
ρ=
r = 2αn r,
(5.33)
~2
met
r
2µ|E|
~2 α2
α=
→
E
=
−
.
(5.34)
n
~2
2µ
Omdat we gebonden toestanden beschouwen, weten we dat En negatief moet zijn.
De radiale golfvergelijking (5.31) kan dan herschreven worden als
µ
¶ · µ 2
¶
¸
Ze 1 2α
l(l + 1) 2
2 1 d
2 dR
2
4α 2
ρ
+ α
−1 −
4α R = 0.
(5.35)
ρ dρ
dρ
4πε0 |E| ρ
ρ2
Als we nu delen door 4α2 en λ gelijk stellen aan
Ze2 1
Ze2 1 α
=
λ=
4πε0 |E| 2
4πε0 ~
r
µ
,
2|E|
(5.36)
dan krijgen we
1 d
ρ2 dρ
µ
¶ ·
¸
λ 1 l(l + 1)
2 dR
ρ
+
− −
R = 0,
dρ
ρ 4
ρ2
en vinden we tenslotte volgende vorm voor de radiale vergelijking:
d2 R 2 dR
+
+
dρ2
ρ dρ
5.4.1
µ
λ 1
−
ρ 4
¶
R−
l(l + 1)
R=0.
ρ2
(5.37)
De limietsituatie ρ → ∞
In de limiet ρ → ∞ vinden we
d2 R 1
− R = 0,
dρ2
4
(5.38)
die als oplossing R = e±ρ/2 heeft. Omdat de golffunctie normeerbaar moet zijn,
hebben we R(ρ) → e−ρ/2 voor ρ → ∞. Voor willekeurige ρ noteren we
R = e−ρ/2 G(ρ),
(5.39)
waarbij G(ρ) een nog te bepalen functie is. We bekomen nu een nieuwe differentiaalvergelijking voor de onbekende functie:
µ
·
¸
¶
2 dG(ρ)
λ − 1 l(l + 1)
d2 G(ρ)
− 1−
+
−
G(ρ) = 0
dρ2
ρ
dρ
ρ
ρ2
75
(5.40)
5. Het waterstofatoom
5.4.2
De limietsituatie ρ → 0
In de limiet ρ → 0 kunnen we vergelijking (5.37) vereenvoudigen tot
d2 G 2 dG l(l + 1)
+
−
G(ρ) = 0.
dρ2
ρ dρ
ρ2
(5.41)
De oplossing van zulke vergelijking is van de vorm
G(ρ) ∼ ρs .
(5.42)
Vullen we dit in in vergelijking (5.41), dan vinden we
s(s − 1) + 2s − l(l + 1) = 0
→
s = l.
(5.43)
De reeksontwikkeling van G(ρ) kan geschreven worden als
G(ρ) = ρl H(ρ).
(5.44)
Als we dit invullen in vergelijking (5.41), dan bekomen we na wat rekenwerk
µ
¶
2l + 2
dH λ − 1 − l
d2 H
+
−1
+
H = 0.
(5.45)
2
dρ
ρ
dρ
ρ
P
k
Vervolgens expanderen we H(ρ) in een reeks H(ρ) = ∞
k=0 ak ρ wat leidt tot de
algebraı̈sche vergelijking
∞
X
£
¤
k(k + 2l + 1)ρk−2 + (λ − 1 − l − k)ρk−1 ak = 0,
k=0
of
∞
X
[(k + 1)(k + 2l + 2)ak+1 + (λ − 1 − l − k)ak ] ρk−1 = 0,
∀ρ.
(5.46)
k=0
Hieruit volgt:
k+l+1−λ
ak+1
k→∞ 1
=
−→ .
(5.47)
ak
(k + 1)(k + 2l + 2)
k
P
Asymptotisch hebben we ak ∼ k!1 en de reeks wordt dan k k!1 ρk = eρ . De golffunctie divergeert dan voor ρ → ∞, tenzij de reeks afbreekt bij een bepaalde
k = nr . Dit wil zeggen dat nr + l + 1 − λ = 0 of λ = nr + l + 1 ∈ N. Meestal
noteert men dit als n = nr + l + 1 en noemt men n het radiaal kwantumgetal.
Omdat nr ≥ 0 weten we
• n ≥ l + 1,
• n is een geheel getal,
76
5. Het waterstofatoom
• λ = n en daardoor volgt uit vergelijking (5.36)
r
Ze2 1
µ
n=
,
4πε0 ~ 2|E|
of
1
En = −
2
µ
Ze2
4πε0
¶2
µ 1
.
~2 n2
(5.48)
(5.49)
Uit vergelijking (5.47) weten we dat de coëfficiënten ak+1 als functie van ak
geschreven kunnen worden als
ak+1 =
k+l+1−n
ak ,
(k + 1)(k + 2l + 2)
of als functie van a0 als
ak+1 = (−1)k+1
n − (k + l + 1)
n − (k + l) n − (l + 1)
...
a0 .
(k + 1)(k + 2l + 2) k(k + 2l + 1)
(2l + 2)
(5.50)
De reeks H(ρ) = L2l+1
n+l (ρ) noemt men de geassocieerde veelterm van Laguerre en
dus
R(ρ) = γρl e−ρ/2 L2l+1
(5.51)
n+l (ρ).
Vervolgens bekijken we de situatie voor n = 1 eens in meer detail. Door gebruik
te maken van vergelijking (5.49) vinden we
s
r
µ
¶2
2µ|E1 |
2µ 1 Ze2
µ
Ze2 µ
α =
=
=
,
~2
~2 2 4πε0
~2
4πε0 ~2
e2 m ³
m´
=
Z
1
+
,
4πε0 ~2
M
1 ³
m´
=
Z 1+
,
(5.52)
a0
M
met
a0 =
4πε0 ~2
= 5.29 × 10−11 m = 0.529Å
e2 m
de Bohrstraal.
De energie En kan tenslotte herschreven worden als
µ 2 ¶2
m´
m´
1 2³
1
e
1 2³
Z 1+
= −Ry 2 Z 1 +
,
En = −
2 4πε0
n2
M
n
M
(5.53)
(5.54)
met Ry = 13.6eV de energie-eenheid van Rydberg. Dit is de bindingsenergie van
de grondtoestand van het waterstofatoom (Z = 1).
De factor (1 + m/M ), tenslotte, is een gevolg van het feit dat de kern een
eindige massa heeft: Mproton /m = 1836.1 en m/Mproton = 5.446 × 10−4 .
77
5. Het waterstofatoom
Figuur 5.3: Schematische voorstelling van een Bohrse baan.
5.5
Bohrse banen
Voor de Schrödingervergelijking gekend was, werd de kwantisatie van het waterstofatoom op een andere manier verkregen in de periode voor het ontstaan van de
kwantummechanica. We zullen deze redenering hier herhalen omdat ze een goed
fysisch inzicht geeft in het kwantisatieproces.
Men veronderstelt dat alleen banen toegelaten zijn, waarvoor de omtrek gelijk
is aan een geheel aantal maal de golflengte van het elektron, m.a.w. nλ = 2πr
(figuur 5.3).
Het angulair impuls wordt gegeven door
L = mv × r,
(5.55)
L = mvr = pr,
(5.56)
waarbij v⊥r. Dit betekent:
en aangezien het impuls p = h/λ = ~k, kunnen we het angulair impuls schrijven
als
h
h
L= r=
nr = n~.
(5.57)
λ
2πr
Het angulair impuls is dus gekwantiseerd.
Bij een stabiele baan moet de Coulombkracht gelijk zijn aan de centrifugale
kracht:
v2
1 Ze2
=
m
,
(5.58)
4πε0 r2
r
en zo vinden we voor de kinetische energie Ekin :
1 Ze2
= mv 2 = 2Ekin ,
4πε0 r
78
(5.59)
5. Het waterstofatoom
De totale energie E is gelijk aan
1
1 Ze2
1 1 Ze2
E = mv 2 −
=−
.
2
4πε0 r
2 4πε0 r
(5.60)
Door gebruik te maken van
1 Ze2
= mv 2 ,
4πε0 r
1
1
Ze2 r2 = mv 2 r2 = (n~)2 ,
4πε0
m
of
4πε0 n2 ~2
n2
=
a0 ,
Ze2 m
Z
kunnen we de energie E herschrijven als
r=
E=−
of
1
E=−
2
µ
1 Ze2 Ze2 m
,
2 4πε0 4πε0 n2 ~2
Ze2
4πε0
¶2
m 1
,
~2 n 2
n = 1, 2, 3...
(5.61)
(5.62)
(5.63)
Door de fijnstructuurconstante α te introduceren als
α=
1 e2
1
≈
,
4πε0 ~c
137
(5.64)
vinden we tenslotte voor de energie:
(Zα)2 mc2
E=− 2
.
n
2
5.6
(5.65)
Het spectrum en de ontaarding
De energie-eigenwaarden, gegeven door vergelijking (5.49), zijn
1 µZ 2 e4 1
,
2 (4πε0 )2 ~2 n2
1
= −Z 2 Ry0 2 ,
n
En = −
n = 1, 2, 3...
waar Ry0 = Ry (1 + m/M ) met Ry de energie-eenheid van Rydberg.
Er zijn drie kwantumgetallen:
• n = 1, 2, 3...,
79
(5.66)
5. Het waterstofatoom
• l = 0, 1, 2, ..., n − 1, en
• m = −l, −l + 1, ..., 0, ..., l − 1, l.
En is onafhankelijk van l (bolsymmetrie) en m (azimutale symmetrie), waarbij
l = 0, 1, ..., n−1 (n mogelijke l-waarden) en m = −l, ..., l. Dit betekent dat er voor
een bepaalde waarde van n, n mogelijke l-waarden en 2l + 1 mogelijke m-waarden
voor iedere l-waarde zijn. Dus voor een vaste waarde van n zijn er
¸
·
n−1
n−1
n−1
X
X
X
1
(2l + 1) = 2
(5.67)
l+
1 = 2 n(n − 1) + n = n2
2
l=0
l=0
l=0
mogelijke toestanden of eigenfuncties. Dus: elk energieniveau En is n2 -voudig
ontaard.
5.7
De golffuncties
De eigenfuncties worden gegeven door het product van de radiale golffuncties en
de bolfuncties:
Ψn,l,m (r, θ, φ) = Rn,l (r)Ylm (θ, φ).
(5.68)
2l+1
1) Radiale golffuncties: Rn,l = γρl e−ρ/2 Ln+l
(ρ), met
ρ = 2αn r,
r
2µ|En |
1 µZe2
Z
αn =
=
= 0,
2
2
~
n (4πε0 )~
na0
³
´
2
4πε0 ~
m
a00 =
=
a
1
+
,
0
µe2
M
4πε0 ~2
a0 =
= 0.529Å.
e2 m
Deze golffunties moeten natuurlijk genormaliseerd zijn, dit wil zeggen
Z ∞
∗
drr2 Rn,l
(r)Rn,l (r) = 1,
(5.69)
0
waaruit volgt:
µ
2
γ =
2Z
na00
¶3
(n − l − 1)!
.
2n[(n + l)!]3
2) Bolfuncties: Ylm (θ, φ) = Θl,m (θ)Φm (φ) met
1
Φm (φ) = √ eimφ ,
2π
|m|
Θl,m = βPl (cos θ),
80
(5.70)
5. Het waterstofatoom
en
2l + 1 (l − |m|)!
.
2 (l + |m|)!
Wegens de normalisatie weten we
Z 2π Z π
dφ
dθ sin θ [Ylm (θ, φ)]∗ Ylm (θ, φ) = 1.
β2 =
0
|m|
Pl
en
¡
¢|m|/2 d|m|
Pl (u),
= 1 − u2
du|m|
Pl (u) =
5.8.1
¢l
1 dl ¡ 2
u
−
1
.
2l l! dul
Waarschijnlijkheidsdichtheden
Radiale gedeelte
Enkele voorbeelden (zie figuur 5.4):
• n = 1, l = 0 → R1,0 (ρ) = γ1,0 e−ρ/2 .
• n = 2, l = 0 → R2,0 (ρ) = γ2,0 (2 − ρ)e−ρ/2 .
• n = 2, l = 1 → R2,1 (ρ) = γ2,1 ρe−ρ/2 .
• n = 3, l = 0 → R3,0 (ρ) = γ3,0 (6 − 6ρ + ρ2 )e−ρ/2 .
• n = 3, l = 1 → R3,1 (ρ) = γ3,1 ρ(4 − ρ)e−ρ/2 .
• n = 3, l = 2 → R3,2 (ρ) = γ3,2 ρ2 e−ρ/2 .
5.8.2
(5.72)
0
Tenslotte geldt:
5.8
(5.71)
Hoekafhankelijk gedeelte
Enkele voorbeelden (zie figuur 5.5):
• l = 0, m = 0 → Θ0,0 = β0,0 .
• l = 1, m = 0 → Θ1,0 = β1,0 cos(θ).
• l = 1, m = ±1 → Θ1,1 = β1,1 sin(θ).
• l = 2, m = 0 → Θ2,0 = β2,0 (3 cos2 (θ) − 1).
• l = 2, m = ±1 → Θ2,1 = β2,1 sin(θ) cos(θ).
• l = 2, m = ±2 → Θ2,2 = β2,2 sin2 (θ).
81
(5.73)
(5.74)
5. Het waterstofatoom
Figuur 5.4: Radiale functies Rnl (r) en radiale waarschijnlijkheidsdichtheden
2
r2 Rnl
(r) voor het waterstofatoom. De lengte-eenheid is aµ =
(m/µ)a0 .
82
5. Het waterstofatoom
Figuur 5.5: Hoekafhankelijk gedeelte van de waarschijnlijkheidsdichtheid.
5.9
Fysische interpretatie van de kwantumgetallen
l en m
Het driedimensionale karakter van het waterstofatoom brengt met zich mee dat
deze atomen een impulsmoment L = r × p bezitten. Om de gevolgen hiervan te
bestuderen, zullen we de operatoren invoeren die corresponderen met de klassieke
grootheid ”impulsmoment”. Voor ons model betekent dit:
¯
¯
¯ ex ey ez ¯
¯
~¯
~
b =b
(5.75)
L
r × ∇ = ¯¯ x y z ¯¯ ,
i
i¯ ∂ ∂ ∂ ¯
∂x
83
∂y
∂z
5. Het waterstofatoom
en dus
µ
¶
∂
∂
b
Lx = −i~ y
−z
,
∂z
∂y
µ
¶
∂
∂
b
Ly = −i~ z
−x
,
∂x
∂z
µ
¶
∂
∂
b
Lz = −i~ x
−y
.
∂y
∂x
Men kan eenvoudig aantonen dat
h
i
b
b
bz ,
Lx , Ly = i~L
h
i
by , L
bz = i~L
bx ,
L
h
i
bz , L
bx = i~L
by ,
L
(5.76)
(5.77)
bx en L
by commuteren niet. De dynamische grootheden Lx en Ly
De operatoren L
kunnen dus niet gelijktijdig worden bepaald.
b2 is gegeven door
De operator L
b2 = L
b2x + L
b2y + L
b2z .
L
(5.78)
Ga zelf na dat
h
i
bj , L
b2 = 0,
L
h
i
b
b
Lj , H0 = 0,
h
i
b2 , H
b 0 = 0,
L
j = x, y, z
j = x, y, z
(5.79)
b 0 gegeven wordt door
waar de operator H
2
2
2
b 0 = − ~ ∇2 + Vb = − ~ ∇2 − Ze .
H
2µ
2µ
4πε0 r
(5.80)
We kunnen dus besluiten dat L2 en E constanten van beweging zijn. De operatob0, L
b2 en L
bz bezitten een complete set van gemeenschappelijke eigenfuncties.
ren H
Dit betekent dat deze grootheden gelijktijdig gemeten kunnen worden.
Vervolgens bekijken we Lz in meer detail:
µ
¶
∂
~
∂
−y
Lz =
z
.
(5.81)
i
∂y
∂x
84
5. Het waterstofatoom
Omdat
∂
∂r ∂
∂θ ∂
∂φ ∂
=
+
+
,
∂x
∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ
∂
∂r ∂
∂θ ∂
∂φ ∂
=
+
+
,
∂y
∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂φ
vinden we
Lz
·µ
¶
¶
¶
¸
µ
µ
∂r
~
∂r ∂
∂θ ∂
∂φ ∂
∂θ
∂φ
x
,
=
−y
+ x
−y
+ x
−y
i
∂y
∂x ∂r
∂y
∂x ∂θ
∂y
∂x ∂φ
·
µ
¶
¸
~
∂φ
∂φ ∂
=
0+0+ x
−y
,
(5.82)
i
∂y
∂x ∂φ
omdat
• r=
p
x2 + y 2 + z 2 en daardoor
∂r
∂x
=
x
r
en
∂r
∂y
= yr .
sin θ ∂θ
• cos θ = zr en dus cos1 θ = zr . Als we dit afleiden naar x vinden we cos
2 θ ∂x =
∂θ
∂θ
waaruit volgt ∂x
= 1r cos θ cos φ. Analoog vinden we ∂y
= 1r cos θ sin φ.
x
,
zr
Door gebruik te maken van
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
weten we
dx = r sin θ cos φdr + r cos θ cos φdθ − r sin θ sin φdφ,
dy = r sin θ sin φdr + r cos θ sin φdθ + r sin θ cos φdφ,
¡
¢
waaruit volgt dat − sin φdx + cos φdy = r sin θ sin2 φ + cos2 φ dφ en dus
dφ =
1
(− sin φdx + cos φdy) .
r sin θ
(5.83)
Hieruit volgt dan tenslotte
cos φ
∂φ
∂φ
=
→ x
= cos2 φ,
∂y
r sin θ
∂y
sin φ
∂φ
∂φ
=−
→ y
= − sin2 φ,
∂x
r sin θ
∂x
waaruit volgt voor Lz :
Lz =
~ ∂
.
i ∂φ
85
(5.84)
(5.85)
5. Het waterstofatoom
We beschouwen de bolfuncties Ylm (θ, φ) = Θl,m (θ)Φm (φ) met Φm (φ) =
Hieruit volgt dus
Lz Φm (φ) = m~Φm (φ).
√1 eimφ .
2π
(5.86)
Dit is een eigenwaardevergelijking. De dynamische grootheid ”impulsmoment om
de z-as” kan dus enkel reële discrete waarden m~ aannemen, m.a.w. Lz is gekwantiseerd. Dit laat ons toe om aan het kwantumgetal m een betekenis toe te
kennen: m~ is de grootte van Lz .
Het totale impulsmoment wordt gegeven door (later zullen we de afleiding
hiervan geven):
µ
¶
2
2 2
2 ∂
2 ∂
b
b +~
L = r p
r
,
(5.87)
∂r
∂r
µ
¶
2
2 ∂
2 ∂
= −~ ∆ + ~
r
.
(5.88)
∂r
∂r
2
~
Omdat we − 2m
∆ in bolcoördinaten schrijven als
·
µ
¶
µ
¶
¸
~2 1 ∂
∂2
1
∂
∂
1
2 ∂
−
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
,
2m r2 ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
(5.89)
volgt uiteindelijk
·
b 2 = −~2
L
1 ∂
sin θ ∂θ
µ
∂
sin θ
∂θ
¶
¸
1 ∂2
+
.
sin2 θ ∂φ2
(5.90)
De golffuncties voor het waterstofatoom worden gegeven door vergelijking (5.68):
Ψn,l,m (r, θ, φ) = Rn,l (r)Ylm (θ, φ) = Rn,l (r)Θl,m (θ)Φm (φ),
(5.91)
Nu geldt:
·
b 2 Θl,m (θ) = −~2
L
1 ∂
sin θ ∂θ
µ
∂
sin θ
∂θ
¶
¸
m2
+
Θl,m (θ) = ~l(l + 1)Θl,m (θ),
sin2 θ
(5.92)
en dus
b 2 Ψn,l,m (r, θ, φ) = ~l(l + 1)Ψn,l,m (r, θ, φ).
L
(5.93)
b 2 gekwantiseerd is zodanig dat de grootte L van
Dit betekent dat de grootheid L
p
het impulsmoment gegeven wordt door ~ l(l + 1). Het baankwantumgetal l is
dus een maat voor de grootte van het impulsmoment.
5.10
Berekening van L2 in bolcoördinaten
Om vergelijking (5.87) af te leiden, moeten we eerst Lx schrijven in bolcoördinaten.
86
5. Het waterstofatoom
5.10.1
Berekening van Lx in bolcoördinaten
³
We willen Lx = −i~
We weten
∂
y ∂z
−
∂
z ∂y
´
berekenen in bolcoördinaten.
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ,
en
r =
p
x2 + y 2 + z 2 ,
Ã
θ = arccos
p
z
!
x2 + y 2 + z 2
³y´
φ = arctan
.
x
,
Dit is ook grafisch weergegeven in figuur 5.1.
We weten verder dat
d arccos(x)
−1
= √
,
dx
1 − x2
d arctan(x)
1
=
.
dx
1 + x2
Om Lx te berekenen, moeten we
•
∂
∂z
=
∂r ∂
∂z ∂r
+
∂φ ∂
∂z ∂φ
+
∂θ ∂
,
∂z ∂θ
∂
∂z
en
∂
∂y
berekenen:
waar
∂r
z
=
= cos θ,
∂z
r
∂φ
= 0,
∂z
µ
¶
1 z2
∂θ
−1
− sin θ
= p
− 3 =
.
∂z
r
1 − z 2 /r2 r r
•
∂
∂y
=
∂r ∂
∂y ∂r
+
∂φ ∂
∂y ∂φ
+
∂θ ∂
,
∂y ∂θ
waar
y
∂r
=
= sin θ cos φ,
∂y
r
∂φ
x
cos φ
= 2
=
,
2
∂y
x +y
r sin θ
zy
∂r
sin φ cos θ
p
=
.
=
∂y
r
r2 1 − z 2 /y 2
87
5. Het waterstofatoom
Tenslotte vinden we voor Lx :
µ
∂
∂
∂
− sin2 θ sin φ
Lx = −i~ r sin θ sin φ cos θ + 0
∂r
∂φ
∂θ
¶
∂
∂
∂
2
−r sin θ sin φ cos θ − cotgθ cos φ
− cos θ sin φ
,
∂r
∂φ
∂θ
µ
¶
∂
∂
= i~ cotgθ cos φ
+ sin φ
.
(5.94)
∂φ
∂θ
5.10.2
Berekening van L2 in bolcoördinaten
Op dezelfde manier kan je Ly en Lz berekenen:
¶
µ
∂
∂
Ly = i~ − cos φ + cotgθ sin φ
,
∂θ
∂φ
∂
Lz = −i~ ,
∂φ
en daarmee dus
L2 = L2x + L2y + L2z ,
µ
2
¡ 2
¢ ∂2
∂
∂
2 ∂
2
+
cotg
θ
+ sin φ cotgθ cos φ
= −~
sin φ + cos2 φ
2
2
∂θ
∂φ
∂θ
∂φ
∂
∂
∂
∂
+cotgθ cos φ
sin φ − cos φ cotgθ sin φ
∂φ
∂θ
∂θ
∂φ
¶
2
∂
∂
∂
−cotgθ sin φ
cos φ + 2 ,
∂φ
∂θ ∂φ
µ 2
¶
2
∂
∂
∂2
2
2 ∂
= −~
+ cotg θ 2 + cotgθ
+
,
∂θ2
∂φ
∂θ ∂φ2
·
µ
¶
¸
1 ∂
∂
1 ∂2
2
= −~
sin θ
+
,
sin θ ∂θ
∂θ
sin θ ∂φ2
= −~2 ∆θ,φ ,
(5.95)
met ∆θ,φ het stuk van de Laplaciaan dat enkel van θ en φ afhangt. Het verband
tussen de Laplaciaan, p en L2 in bolcoördinaten kunnen we dan schrijven als
¸
·
µ
¶
~2
~2 1 ∂
p2
1
2 ∂
= −
∆=−
r
+ 2 ∆θ,φ ,
2m
2m
2m r2 ∂r
∂r
r
¸
·
µ
¶
2
2
~
1 ∂
L
∂
= −
(5.96)
r2
+ 2 2 .
2
2m r ∂r
∂r
r ~
Hieruit volgt de relatie (5.87) die eerder gebruikt is:
µ
¶
2
2 2
2 ∂
2 ∂
L =r p +~
r
.
∂r
∂r
88
(5.97)
A. Oefeningen
1. Bewijs f (x)δ(x) = f (0)δ(x).
2. Zoek een redelijke definitie voor
(a) δ(x − x0 ),
(b) δ(ax),
(c) δ[f (x)], waarbij f een functie is met één enkelvoudig nulpunt x0 .
3. Schrijf de δ-functie
(a) in 2D in poolcoördinaten,
(b) in 3D in bolcoördinaten.
4. Toon aan dat de functie δn (r) gegeven door
½
n −n/2 < x < n/2
δn (x) =
0
elders
een goede representatie is van de δ-functie.
5. Beschouw een deeltje in een interval [−L/2, L/2] beschreven door een golffunctie
1
Ψ(x, t) = √ ei(kx−ωt) .
L
(a) Bereken de waarschijnlijkheidsdichtheid ρ(x, t) en de stroomdichtheid
j(x, t) van het deeltje.
(b) Hoe kan j(x, t) uitgedrukt worden als functie van ρ(x, t) en de snelheid
v?
(c) Wat is de waarschijnlijkheid om het deeltje te vinden in de intervallen
[−L/2, L/2], [−L/2, 0], en [0, L/4]?
6. Beschouw de golffunctie
½
Ψ(x) =
c sin(x), x ∈ [−π, π]
0,
anders
89
A. Oefeningen
(a) Bereken de normalisatieconstante.
(b) Bereken de waarschijnlijkheidsdichtheid ρ(x) en teken ze.
(c) Bereken < x > en < p >.
7. Herhaal de vorige oefening voor de volgende golffunctie
½
c sin(x)ei2x , x ∈ [−π, π]
Ψ(x) =
0,
anders
8. Beschouw de volgende golffunctie:

Ax,
0≤x≤1

A
(3 − x), 1 ≤ x ≤ 3
Ψ(x) =
 2
0,
anders
(a) Bereken de waarschijnlijkheid dat het deeltje zich bevindt op positie
x ≥ 2.
(b) Bereken < x > en < p >.
h 2 i
£ d ¤
d
9. Bereken de commutatoren i dx
, x en dx
2,x .
10. Beschouw het gaussische golfpakket
x2
1
e− 2a2 .
Ψ(x) = p√
πa2
(a) Toon aan dat de golffunctie genormaliseerd is. Hint:
r
Z ∞
π
−αx2
dxe
=
.
α
−∞
(b) Bereken < x >, < p >, < x2 >, < p2 >, < x− < x >>, < p− < p >>,
< (x− < x >)2 > en < (p− < p >)2 >.
11. Ramsauer-effect.
Beschouw de volgende potentiaalput:

0
−∞ < x < −a,

−V < 0 −a < x < a,
V (x) =

0
a < x < ∞.
Beschouw de situatie E > 0 en V > 0 (dus −V < 0). Toon aan dat de
transmissiewaarschijnlijkheid gelijk is aan:
T =
4E(E + V )
,
4E(E + V ) + V 2 sin2 (2k2 a)
waarbij k2 het golfgetal in het interval [-a,a] is. Gebruik hiervoor de transfermatrixmethode.
90
A. Oefeningen
(a) Schrijf de golffunctie neer in de 3 gebieden.
(b) Schrijf de matrices T1 en T2 neer.
(c) Bereken de coëfficiëenten M11 , M12 , M21 en M22 van de matrix M =
T1 T2 .
(d) Bereken |M11 |2 .
(e) Gebruik |M11 |2 om T te berekenen.
(f) Benader T voor de situatie E ¿ V en voor de situatie E À V .
Uit de theorie weten we voor E < 0 gebonden toestanden vinden. Nu
beschouwen we E > 0 en dan vinden we verstrooide toestanden. Dit model
werd o.a. gebruikt om de verstrooiing van elektronen met een lage energie
aan een atoom te bestuderen. De potentiaalput stelt dan het veld van de
kern voor. De verstrooiingselektronen voelen de positieve lading van de kern
wanneer ze de elektronschillen rond het atoom binnendringen.
12. Beschouw een deeltje in een oneindig diepe potentiaalput met breedte L:
½
0, 0 < x < L
V (x) =
∞,
elders
(a) Schrijf de golffuncties van de twee laagste eigentoestanden neer.
(b) Bereken de tijdsafhankelijke golffuncties.
(c) Bereken de tijdsafhankelijkheid van de waarschijnlijkheidsdichtheden
voor beide toestanden.
(d) Construeer een nieuwe functie, bestaande uit de som van de twee laagste eigentoestanden. (Normaliseer!)
(e) Is deze functie een eigenfunctie? Toon aan.
(f) Bereken de tijdsafhankelijkheid van de waarschijnlijkheidsdichtheid
van de nieuwe functie.
13. Beschouw een deeltje in een oneindig diepe potentiaalput met breedte L:
½
0, 0 < x < L
V (x) =
∞,
elders
De initiële golffunctie op t = 0 is
¢
½ ¡
N x − L2 , 0 ≤ x ≤ L
Ψ(x, 0) =
0,
elders
(a) Bepaal de normalisatieconstante N .
91
A. Oefeningen
(b) Schrijf de initiële golffunctie als een superpositie van de stationaire
toestanden φn (x) van de put:
Ψ(x, 0) =
∞
X
cn φn (x),
n=1
en bereken de expansiecoëfficiënten cn .
(c) Geef de tijdsafhankelijke golffunctie van het deeltje.
(d) Wat is de waarschijnlijkheid om de energie En te meten?
(e) Bereken de verwachtingswaarde hHi.
14. Een deeltje beweegt zich in een oneindig diepe potentiaalput met breedte
2a:
½
0, −a < x < a
V (x) =
∞,
elders
De golffunctie wordt gegeven door
½ 2
x − a2 , −a ≤ x ≤ a
Ψ(x) =
0,
elders
Men wil de energie meten. Welke toestand heeft de grootste waarschijnlijkheid en hoe groot is die waarschijnlijkheid?
15. In de theorie hebben we de eigenwaarden en eigenfuncties berekend voor
een oneindig diepe potentiaalput
½
0, 0 < x < L
V (x) =
∞,
elders
Beschouw nu eens een symmetrische potentiaalput
½
0, −a < x < a
V (x) =
∞,
elders
Wat zijn dan de eigenwaarden en eigenfuncties?
16. Toon aan dat men het resultaat uit oefening 1 ook kan bekomen door de
oplossingen van de eindige put te beschouwen en dan V → ∞ te nemen.
17. Een deeltje beweegt in een ééndimensionale potentiaalput
½
0, −a < x < a
V (x) =
∞,
elders
√
in de
√ 2 op het ogenblik t = 0 met φ1 (x) =
√ toestand Ψ(x) = [φ1 (x)+φ2 (x)]/
(1/ a) cos(πx/2a) en φ2 (x) = (1/ a) sin(πx/a). Bereken de kansen P+ (t)
en P− (t) dat op ogenblik t het deeltje in de intervals 0 < x < a en −a <
x < 0 is. Interpreteer de tijdsafhankelijkheid van deze kansen.
92
A. Oefeningen
18. Bewijs dat de gemiddelde waarde van A nooit kleiner kan zijn dan de laagste
eigenwaarde a1 .
19. Noem ψn (x) de genormaliseerde eigenfuncties van de ééndimensionale Hamiltoniaan H met corresponderende eigenwaarden En . Op t = 0 is een deeltje
in toestand
ψ(x) = A[ψ1 (x) + 2ψ2 (x) + 2ψ4 (x)].
(a) Bepaal de normalisatieconstante A.
(b) Bepaal voor n = 1, 2, 3, 4, 5 wat de waarschijnlijkheid is dat een meting
van de energie En oplevert.
(c) Indien En = n2 E1 , bepaal de verwachtingswaarde hEi van de energie.
(d) Geef de tijdsafhankelijke golffunctie Ψ(x, t)
i. als er geen meting heeft plaatsgevonden,
ii. als een meting op t = 0 resulteerde in E1 .
(e) Indien zoals in (d.ii) een meting op t = 0 E1 opleverde, wat is dan de
waarschijnlijkheid om op een later ogenblik t de waarde E4 te meten?
20. Welke van de onderstaande operatoren Ai zijn lineair? En welke zijn hermitisch?
(a) A1 ψ(x) = [ψ(x)]2 ,
(b) A2 ψ(x) =
(c) A3 ψ(x) =
(d) A4 ψ(x) =
d
ψ(x),
dx
d
ψ(x),
−i dx
Rx 0
dx ψ(x0 ),
a
2
(e) A5 ψ(x) = x ψ(x),
(f) A6 ψ(x) = sin(ψ(x)),
(g) A7 ψ(x) =
d2
ψ(x).
dx2
21. Als A en B hermitisch zijn, wat is dan de voorwaarde dat AB hermitisch
is?
22. Bewijs: als A en B lineaire operatoren zijn en c is een complex getal, dan
geldt
(a) (cA)† = c∗ A† ,
(b) (AB)† = B † A† .
23. Beschouw de beweging van een deeltje met massa m in een ééndimensionale
potentiaal V0 = λδ(x).
(a) Bereken de reflectiecoëfficiënt R en de transmissiecoëfficiënt T voor
λ > 0.
93
A. Oefeningen
(b) Toon aan dat er maar één gebonden toestand is als λ < 0 en geef de
energie als functie van |λ|.
24. (a) Geef het energiespectrum van een 2D oneindig diepe put.
(b) Waarom wordt de situatie moeilijker bij een 2D put met eindige diepte?
25. Geef het energiespectrum van een 3D oneindig diepe put.
26. Geef het energiespectrum van een 2D harmonische oscillator. Veronderstel
dat de opsluitingssterkte in de x-richting dubbel zo groot is als in de yrichting, m.a.w. ωx = 2ωy .
b heeft een tweevoudig ontaarde eigenwaarde a. De eigen27. De operator A
vectoren {|αi, |βi} vormen een orthonormale basis horende bij deze eigenb werkt als volgt in op deze vectoren:
waarde. De operator B
b
B|αi
= 2|αi − 3|βi
b
B|βi
= −3|αi + 2|βi
b B]
b = 0 (tenminste voor elke lineaire combinatie van
(a) Toon aan dat [A,
deze vectoren).
(b) Vind de orthonormale basis waarvan de vectoren zowel eigenvectoren
b als van B.
b
zijn van A
28. Voor een bepaald systeem kan de observabele A 3 waarden aannemen: 1,2
b werkt in als volgt op de orthonormale eigentoesen 3. De Hamiltoniaan H
b
tanden van A:
b
H|1i
= |1i + i|2i
b
H|2i = |2i − i|1i
b
H|3i
= |3i
(a) Vind de eigentoestanden van de Hamiltoniaan.
(b) Indien op t = 0 de energiewaarde E = 2 wordt gemeten, wat is dan de
b
verwachtingswaarde van A?
29. H = p2 /2m + V (x) en [x, p] = i~. Beschouw de dubbele commutator
[[x, H], x] en toon aan dat
X
(En − Em )|hn|x|mi|2 =
n
Maak gebruik van de sluitingsrelatie
94
P
n
~2
.
2m
|nihn| = 1.
A. Oefeningen
30. Bereken de volgende commutatoren:
bx , L
by ]
(a) [L
bx , L
bz ]
(b) [L
bx , L
b2 ]
(c) [L
b2 , L
bz ]
(d) [L
31. Bereken de volgende commutatoren voor de operator
2
2
2
b 0 = − ~ ∇2 + Vb = − ~ ∇2 − Ze :
H
2µ
2µ
4πε0 r
bx , H
b0]
(a) [L
bz , H
b0]
(b) [L
b2 , H
b0]
(c) [L
32. We willen volgende formule aantonen:
µ
¶
∂
2 ∂
L =r p +~
r
.
∂r
∂r
³
´
∂
∂
(a) Toon aan dat Lx = −i~ y ∂z
− z ∂y
in bolcoördinaten geschreven kan
worden als
µ
¶
∂
∂
Lx = i~ cotgθ cos φ
+ sin φ
.
∂φ
∂θ
2
2 2
2
(b) Toon aan dat Ly en Lz in bolcoördinaten gegeven worden door
µ
¶
∂
∂
Ly = i~ − cos φ + cotgθ sin φ
,
∂θ
∂φ
∂
Lz = −i~ .
∂φ
(c) Bereken tenslotte L2 in bolcoördinaten.
95
B. Extra informatie
B.1
Belangrijke eenheden
• Angström: 1Å = 10−10 m
• Fermi: 1F = 10−15 m
• Elektronvolt: 1eV = 1.602189 × 10−19 J
B.2
Belangrijke intergralen
R∞
pπ
−ax2
dxe
=
a
−∞
R
2
∞
• −f 0 (a) = −∞ dxx2 e−ax =
• f (a) =
B.3
√
1 π
2 a3/2
Belangrijke geometrische relaties
• sin2 α + cos2 α = 1
• sin(2α) = 2 sin α cos α
• cos(2α) = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1
• sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
• sin α ± sin β = 2 sin α±β
cos α∓β
2
2
α−β
cos α + cos β = 2 cos α+β
cos
2
2
α−β
sin
cos α − cos β = −2 sin α+β
2
2
• 2 sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β)
2 cos α sin β = sin(α + β) − sin(α − β)
2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β)
2 cos α cos β = cos(α − β) + cos(α + β)
96
B. Extra informatie
• sinh(ix) = i sin x
cosh(ix) = cos x
• sin(ix) = i sinh x
cos(ix) = cosh x
√
• arcsinhx = ln(x + x√2 + 1)
±arccoshx = ln(x ± x2 − 1)
arctan x = 12 ln 1+x
1−x
B.4
•
Belangrijke meetkundige reeksen
1
1−x
= 1 + x + x2 + x3 + ...
• ex = 1 + x +
x2
2!
x3
3!
+
+ ...
• cos x = 1 −
x2
2!
+
x4
4!
−
x6
6!
+ ...
• sin x = x −
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+ ...
x2
2
+
x3
3
1 x3
2 3
+
3 x5
8 5
− x+
1 x3
2 3
• ln(1 + x) = x −
• arcsin x = x +
• arccos x =
π
2
³
−
x4
4
+ ...
+ ...
+
• arctan x = x −
x3
3
+
x5
5
• sinh x = x +
x3
3!
+
x5
5!
+ ...
• cosh x = 1 +
x2
2!
+
x4
4!
+ ...
−
x7
7
3 x5
8 5
´
+ ...
+ ...
97
B. Extra informatie
B.5
Belangrijke fysische constanten
98
B. Extra informatie
B.6
Coördinatensystemen
99
B. Extra informatie
B.7
Nuttige formules
100
C. Aanbevolen Literatuur
1. Quantum Mechanics
S. Gasiorowicz
(John Wiley & Sons, New York, 1996)
2. Quantum Mechanics, Vol. I
C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, en F. Laloë
(John Wiley & Sons, New York, 1977)
3. Modern Quantum Mechanics
J. J. Sakurai
(Addison-Wesley, New York, 1995)
4. Quantum Mechanics
B. H. Bransden en C. J. Joachain
(Springer-Verlag, Berlin, 1996)
101