Opgave 3a - de Wageningse Methode

VRAAG EN ANTWOORD
Opdracht
Speel het volgende spel, samen met een klasgenoot.
Je klasgenoot bedenkt een (positief geheel) getal onder de honderd. Jij gaat uitvinden welk dat getal dat
is. Dat doe je door hem ja/nee-vragen stellen; dat zijn vragen die je alleen maar met ja of nee kunt
beantwoorden. Bijvoorbeeld: Is het getal een drievoud?, maar niet Hoeveel cijfers heeft het getal?
Probeer in zo weinig mogelijk vragen het getal te weten te komen?
Hoeveel vragen heb je nodig bij een getal onder de duizend? En onder de miljoen?
Variant: Waar zit de duivel?
Je kunt dit spel op de computer spelen met Applet
11.7-Duivel.
Ergens in het rechthoekig speelveld van 40 bij 40
hokjes zit een duiveltje verborgen. Hij zit in een
van de hokjes. Je moet in zo weinig mogelijk
zetten de duivel zien te vinden. In het begin zijn
alle hokjes nog gekleurd. In een zet selecteer je
een deel rechthoek. De computer geeft aan of de
duivel binnen die rechthoek zit of daarbuiten. Bij
elke zet wordt het gekleurde gebied dus kleiner.
Als je het hokje waar de duivel zich ophoudt hebt
gevonden, komt hij tevoorschijn.
a Zoek de duivel in de applet.
b Verzin een zoeksysteem dat je in zo weinig mogelijk zetten garandeert dat je de duivel gevonden
hebt. Schrijf op hoe je daarbij systematisch te werk gaat. Hoeveel zetten heb je hoogstens nodig?
c Hoeveel zetten zou je nodig hebben bij een speelveld van 80 bij 80 hokjes?
d Wat zijn de afmetingen van het kleinste vierkante speelveld, waarbij je twintig zetten nodig hebt, om
de duivel met zekerheid te vinden?
Buiten het boekje bij Machten
1
VRAAG EN ANTWOORD
Opdracht
Speel het volgende spel, samen met een klasgenoot.
Je klasgenoot bedenkt een (positief geheel) getal onder de honderd. Jij gaat uitvinden welk dat getal dat
is. Dat doe je door hem ja/nee-vragen stellen; dat zijn vragen die je alleen maar met ja of nee kunt
beantwoorden. Bijvoorbeeld: Is het getal een drievoud?, maar niet Hoeveel cijfers heeft het getal?
Probeer in zo weinig mogelijk vragen het getal te weten te komen?
Hoeveel vragen heb je nodig bij een getal onder de duizend? En onder de miljoen?
Toelichting voor de docent
Waar
Deze lessuggestie hoort bij het hoofdstuk Machten. Hij kan op elk moment tijdens het hoofdstuk worden
ingezet.
Verwante onderwerpen zijn talstelsels (i.v.m. binaire schrijfwijze van getallen) en informatietheorie
(entropie) en deze lessuggestie heeft ook een relatie met kanstheorie.
Duur
30 minuten
Oplossing
Je zou allerlei vragen kunnen stellen, zoals Is het een priemgetal? of Is het een kwadraat?
Meer systematisch is het type vraag: Is het getal kleiner dan …? , die we hieronder afkorten tot:
getal < …? Met zo’n vraag wil je steeds het interval waar het te vinden getal in zit halveren. Als je na een
aantal vragen weet dat het te vinden getal tussen a en b ligt, vraag dan: is het getal kleiner dan (a+b)/2,
eventueel afgerond op een geheel getal.
Zodoende weet je het getal na zeven vragen.
Ook heb je slechts zeven vragen nodig als het te vinden getal uit 1 t/m 128 komt. Als volgt:
Eerste vraag: getal < 65?
Tweede vraag: getal < 33? of getal < 97?, afhankelijk van het antwoord op de eerste vraag.
Derde vraag: getal < 17? of getal < 49? of getal < 81? of getal < 113?, afhankelijk van het antwoord op de
tweede vraag.
enz.
N.B. Je kunt natuurlijk ook gokken en bijvoorbeeld beginnen met de vraag: getal < 10? Als het antwoord
dan ja is, schiet je flink op. Maar als het antwoord nee is (en dat heeft veel meer kans), ben je weinig
opgeschoten. Gezocht wordt een serie vragen die garandeert dat het getal gevonden wordt. En het
aantal vragen in die serie wil je zo klein mogelijk hebben.
Als het getal onder de duizend is, heb je tien vragen nodig, want 2 10 = 1024 > 1000.
Als het getal onder de miljoen is, heb je twintig vragen nodig, want 2 20 = 1048576 > 1.000.000.
Als het getal onder de N+1 zit, dus 1 t/m N kan zijn, is het benodigde aantal
vragen [2logN], waarbij [..] naar boven afrondt op een geheel getal.
Buiten het boekje bij Machten
2
Variant: Waar zit de duivel?
Je kunt dit spel op de computer spelen met Applet
11.7-Duivel.
Ergens in het rechthoekig speelveld van 40 bij 40
hokjes zit een duiveltje verborgen. Hij zit in een
van de hokjes. Je moet in zo weinig mogelijk
zetten de duivel zien te vinden. In het begin zijn
alle hokjes nog gekleurd. In een zet selecteer je
een deel rechthoek. De computer geeft aan of de
duivel binnen die rechthoek zit of daarbuiten. Bij
elke zet wordt het gekleurde gebied dus kleiner.
Als je het hokje waar de duivel zich ophoudt hebt
gevonden, komt hij tevoorschijn.
a Zoek de duivel in de applet.
b Verzin een zoeksysteem dat je in zo weinig mogelijk zetten garandeert dat je de duivel gevonden
hebt. Schrijf op hoe je daarbij systematisch te werk gaat. Hoeveel zetten heb je hoogstens nodig?
c Hoeveel zetten zou je nodig hebben bij een speelveld van 80 bij 80 hokjes?
d Wat zijn de afmetingen van het kleinste vierkante speelveld, waarbij je twintig zetten nodig hebt, om
de duivel met zekerheid te vinden?
Achtergrond
Voorbeeld: het te vinden getal is 73.
Omdat 26  73  27 , telt de binaire schrijfwijze zeven 0’en of 1’en: 73dec = 1001001bin.
eerste vraag: getal  64? Antwoord ja, dus voorste cijfer is 1
tweede vraag: getal  96? Antwoord nee, dus tweede cijfer is 0
derde vraag: getal  80? Antwoord nee, dus derde cijfer is 0
vierde vraag: getal  72? Antwoord ja, dus vierde cijfer is 1
vijfde vraag:
getal  76? Antwoord nee, dus vijfde cijfer is 0
zesde vraag: getal  74? Antwoord nee, dus zesde cijfer is 0
zevende vraag: getal  73? Antwoord ja, dus zevende cijfer is 1
Je weet nu dat het getal is: 1001001bin = 1 · 26 + 0 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 73dec .
0
127
0
64
95
79
72
75
73
Deze lessuggestie kan prima dienen als introductie van talstelsels. Zie ook de lessuggestie MAGISCHE
KAARTEN.
Buiten het boekje bij Machten
3