Getallen

Getallen
Inhoudsopgave
Getallen ...................................................................................................................................... 1
Inhoudsopgave ....................................................................................................................... 1
Woordenlijst ........................................................................................................................... 2
Groter dan, kleiner dan, gelijk aan ......................................................................................... 2
Kleiner dan ......................................................................................................................... 2
Groter dan ........................................................................................................................... 2
Gelijk aan: .......................................................................................................................... 2
Decimale getallen ................................................................................................................... 2
Betekenis ............................................................................................................................ 2
Breuken .................................................................................................................................. 3
Breuken groter dan 1 .......................................................................................................... 4
Vereenvoudigen ................................................................................................................. 4
Optellen en aftrekken ......................................................................................................... 4
Vermenigvuldigen .............................................................................................................. 5
Delen .................................................................................................................................. 5
Van breuk naar decimaal getal en omgekeerd.................................................................... 5
Rekenmachine .................................................................................................................... 6
Afronden................................................................................................................................. 6
Afronden op helen .............................................................................................................. 6
Afronden op … decimalen ................................................................................................. 6
Afronden op honderdtallen, duizendtallen enz. ................................................................. 6
Voorrangsregels bij rekenen................................................................................................... 7
“Hoe komen wij van deze onvoldoendes af” ..................................................................... 7
Haakjes wegwerken ............................................................................................................ 7
Kwadraten en Wortels ........................................................................................................ 7
Delen en Vermenigvuldigen ............................................................................................... 7
Optellen en Aftrekken ........................................................................................................ 7
Van links naar rechts .......................................................................................................... 8
Verhoudingstabel ................................................................................................................... 8
Tabel tekenen ..................................................................................................................... 8
Dubbele tabellen ................................................................................................................. 8
Vergelijkingstabellen ......................................................................................................... 9
1
Woordenlijst
Afronden
Decimaal
Noemer
Teller
Vereenvoudigen
Verhoudingstabel
Een getal zo aanpassen dat een geheel aantal eenheden ontstaat
Getal achter de komma
Getal onder de deelstreep van een breuk
Getal boven de deelstreep van een breuk
Een breuk met zo klein mogelijke getallen schrijven
Tabel waarin je de verhoudingen tussen bepaalde zaken kunt uitrekenen
en weergeven zoals de prijs in verschillende winkels
Groter dan, kleiner dan, gelijk aan
Er zijn drie tekens die aangeven of getallen (of sommen) groter, gelijk of kleiner dan de ander
zijn. Deze tekens zijn > < =
Kleiner dan
Het teken < betekent kleiner dan. Van de < kunnen we een ‘k’ maken van ‘kleiner dan’. Ook
wijst de punt van < naar het kleinste getal. Aangezien 1 kleiner is dan 2 wordt het: 1 < 2
Voorbeeld: 6 + 7 < 40 – 12 (want: 13 < 28)
Groter dan
Om aan te geven dat een getal groter is dan een ander getal gebruiken we het teken >. Bij dit
teken wijst de punt naar het 2e getal, het kleinste getal. Het eerste getal is dan dus groter dan
het tweede. Voorbeeld: 4 > 3
Gelijk aan:
Als twee getallen gelijk zijn geven we dat aan met =. Dat teken staat voor “is gelijk aan”. In
sommen gebruiken we dit vaak om de uitkomst aan te geven. Want, de uitkomst is gelijk aan
de som! Voorbeeld: 45 = 9 x 5
Decimale getallen
Een decimaal getal is een getal dat niet in breuken is geschreven maar met cijfers achter de
komma. Een voorbeeld hiervan is 2,431 wat wel 3 cijfers achter de komma heeft, en dus ook
3 decimalen heeft.
Betekenis
In een groot getal (met veel cijfers voor en achter de komma) heeft elk cijfer een andere
betekenis. Bijvoorbeeld het getal 9127856,403. Bij dit getal betekent die 1 iets heel anders
dan de 3. De drie staat namelijk ver achter de komma en de 1 ver ervoor. De 1 is een stuk
groter dan de 3. Dit grote getal is eigenlijk opgebouwd uit een hele hoop kleine getallen. Het
is een optelling van al deze getallen:
9000000
9 x 1.000.000
9 miljoenen
100000
1 x 100.000
1 honderdduizendtal
20000
2 x 10.000
2 tienduizendtallen
7000
7 x 1000
7 duizendtallen
800
8 x 100
8 honderdtallen
2
50
5 x 10
5 tientallen
6
6x1
6 eenheden
0,4
4 x 0,1
4 tienden
0,00
0 x 0,01
0 honderdsten
0,003
3 x 0,001
3 duizendsten
Het cijfer 6 geeft de eenheden aan. Er zijn dus 6 eenheden!
Zo heeft elk getal (of elke plek waar een getal staat) een eigen betekenis, een eigen grootheid.
Breuken
Een breuk geeft een bepaald deel aan van een geheel. Bij een breuk heb je een getal boven de
teller
 breuk
streep, de teller, en een getal onder de streep, de noemer.
noemer
Je kunt een breuk zien als een taart (of pizza) die in een aantal punten is gesneden. De noemer
geeft aan in hoeveel (even grote) punten hij gesneden is en de teller geeft aan hoeveel je er in
totaal hebt. Hieronder in het plaatje zie je een voorbeeld van breuken.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 3   4   5   6   7   8   9   10   11   12 
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Je ziet dat elke rij even lang is. Twee keer de helft is ook gewoon 1!
1  2
3
Breuken groter dan 1
Soms zijn breuken groter dan 1. Dan heb je dus een hele pizza en nog een (paar) stukje(s).
1
1
Bijvoorbeeld 2 hele en nog 1 vierde. Dat schrijf je als: 2   2
4
4
Die helen kunnen we ook nog in de breuk halen om er één grote breuk van te maken.
Daarvoor moeten we de 2 helen schrijven als een breuk van 4. 2 helen is eigenlijk 2 een-den.
2 2 4 8
2 

1 1 4 4
1 8 1 9
2   
4 4 4 4
Vereenvoudigen
Een breuk schrijven we altijd zo klein mogelijk.
4
wordt bijvoorbeeld
8
4 4:2 2 2:2 1

 
 Kijk maar in het plaatje hierboven, dan zie je dat het allemaal even
8 8:2 4 4:2 2
veel is! Vereenvoudigen betekent met zo klein mogelijke getallen schrijven.
Je kunt dit doen door een getal te zoeken waar je de teller door kunt delen. Kun je de noemer
ook door dat getal delen dan kun je hem vereenvoudigen! Ga door met vereenvoudigen tot het
niet meer kan.
Optellen en aftrekken
Breuken kun je ook optellen en aftrekken net als alle andere getallen. Alleen kun je niet
4 1
zomaar zeggen wat  wordt. Je moet daarom de noemers gelijk aan elkaar maken. Als je
5 6
3 1
3 1 4
 wordt. Hier zijn de noemers
namelijk  hebt kun je meteen zeggen dat dat
5 5
5
5
4 1
gelijk. Bij onze breuk  moeten we dus eerst zorgen dat de noemers gelijk worden
5 6
gemaakt. Dit kunnen we het makkelijkste doen door een getal te zoeken dat je kunt delen door
5 én door 6! En dat getal kun je vinden door 5 x 6 te doen. Dat is namelijk 30, en dat is
iets iets

deelbaar door 5 én 6. We maken dan van onze breuk
en dan kunnen we het
30
30
optellen.
Onder de deelstreep vermenigvuldigen we het linkergedeelte met 6, dan moet dat bóven de
4 4  6 24

deelstreep ook gebeuren! Dus: 
5 5  6 30
Het rechtergedeelte vermenigvuldigen we met 5, boven én onder de deelstreep:
1 1 5
5


6 6  5 30
Vervolgens hebben we 2 breuken met dezelfde noemer die we kunnen optellen:
24 5 29


30 30 30
4
Vermenigvuldigen
Breuken kunnen we ook met elkaar vermenigvuldigen. Dat werkt heel makkelijk. De tellers
vermenigvuldigen we met elkaar en de noemers ook.
4 3 4  3 12 12 : 4 3



Voorbeeld:  
Let er wel op dat je vereenvoudigt als het nodig
5 8 5  8 40 40 : 4 10
is!
Soms staan er ook breuken met hele getallen in de vermenigvuldiging. Dan moeten we eerst
de helen ook nog in de breuk zetten. Vervolgens kunnen we weer gewoon de tellers en
noemers met elkaar vermenigvuldigen.
1
1 5 19 5  19 95
15

5
Voorbeeld: 2  3   
2
6 2 6
2  8 16
16
Delen
1
gaan we kijken hoe vaak
2
er een half in 10 past. In 1 hele passen 2 halven, en 10 is 10 x 1 hele, dus er passen 10 x 2
1
2
halven in! Oftewel: 10 :  10   20
2
1
Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde!
We hebben nu een handige rekenregel die we gaan gebruiken. Laten we dit eens oefenen:
1 1 10 3 10 2 10  2 20
2
3 :1  :   

2
3 2 3 2 3 3 3 2
9
9
Bij delen door een breuk werkt het net iets anders. Bij de som 10 :
Van breuk naar decimaal getal en omgekeerd
Van een breuk kun je een decimaal getal maken, en andersom ook. Dit kan op je
rekenmachine heel makkelijk door als er een antwoord in je venster staat op de knop
te
klikken. Zo maakt je rekenmachine dan automatisch 0,25 van 1┘4 en als je nog een keer op
drukt dan maakt hij er weer 1┘4 van.
Zonder rekenmachine kunnen we dit ook. We gaan dan kijken naar de waarden van de een
decimaal getal. Zo zijn er na de komma tienden, honderdsten en duizendsten. Die kunnen we
1
1
1
en
en
makkelijk schrijven als
. Als een getal 1 cijfer achter de komma heeft dan
10 100 1000
zijn dat tienden. Zo kun je van een decimaal getal een breuk maken. Dat moet je dan nog wel
vereenvoudigen.
Voorbeeld:
4
2
2,4  2  2
10
5
125
25
5 1
0,125 



1000 200 40 8
Zo kunnen we ook van een breuk een decimaal getal maken. Het handigste is dat je van een
breuk eerst ook tienden, honderdsten of duizendsten maakt. Een aantal breuken moet je ook
uit je hoofd leren:
1
1
1
1
1
1
1
Breuk
2
3
4
5
8
10
100
Decimaal
0,5
0,3333333
0,25
0,2
0,125
0,1
0,01
5
Rekenmachine
Op je rekenmachine kun je makkelijk breuken intoetsen. Je gebruikt daarvoor de knop
1
op je rekenmachine. De breuk toets je in als 1
3. Dat wordt dan weergegeven als 1┘3.
3
Je rekenmachine kan het niet boven elkaar zetten omdat het venster niet groot genoeg is, maar
dit betekend dus gewoon een breuk.
1
Ook gehelen voor de breuk kun je makkelijk invoeren. 2 voer je dan in als
3
2
1
derde.
3. Je rekenmachine maakt hier 2┘1┘3 van. Dit betekend dus 2 helen en 1
Afronden
Omdat werken met veel decimalen of met hele grote getallen vaak onhandig is gaan we soms
ook afronden. Afronden betekend dat we het getal niet precies meer opschrijven maar iets
opschrijven dat er heel dicht bij in de buurt komt. Als we afronden schrijven we niet meer het
= teken maar gebruiken we een ander teken omdat het niet meer precies de uitkomst geeft. We
gebruiken dan het ≈ teken. ≈ betekent “is ongeveer”.
Afronden op helen
Decimale getallen ronden we soms af op helen. Dat betekend dat we alle getallen achter de
komma gaan weglaten. Maar, sommige getallen ronden we af naar boven, sommige naar
beneden. Dat betekend dat als je naar boven afrond het getal VOOR de komma 1 groter
wordt. Als het getal ACHTER de komma groter of gelijk is aan 5 rond je af naar boven, is het
kleiner dan 5 rond je af naar beneden. Getallen die achter het eerste getal na de komma staan
tellen NIET mee.
Voorbeelden; rond af op helen:
2,5 ≈ 3
54,01 ≈ 54
3,981 ≈ 4
5,4999 ≈ 5
9,78 ≈ 10
Afronden op … decimalen
Soms willen we niet afronden op helen maar op een aantal decimalen. We kijken dan naar het
getal na de …de decimaal of dat een 5 of hoger is of niet. We ronden dan ook weer af naar
boven of naar beneden.
Voorbeelden, rond af op 2 decimalen:
Voorbeelden, rond af op 4 decimalen:
5,3245 ≈ 5,32
4,33333333 ≈ 4,3333
6,84912 ≈ 6,85
1,00009 ≈ 1,0001
7,995 ≈ 8,00
1,000009 ≈ 1,0000
Afronden op honderdtallen, duizendtallen enz.
In plaats van afronden op getallen achter de komma ronden we soms ook af op getallen voor
de komma. Kijk maar eens in de krant, daar wordt vaak gezegd dat een verbouwing of nieuw
plan van de regering een aantal miljoen kost. Het kost dan niet precies zoveel miljoen, maar
afgerond komt het daar wel op neer.
6
Voorbeeld: het getal 431.958.140,921
Afgerond op tienden
431.958.140,9
Afgerond op helen
431.958.141
Afgerond op honderdtallen
431.958.100
Afgerond op duizendtallen
431.958.000
Afgerond op miljoenen
432.000.000
4.319.581 honderdtallen
431.958 duizendtallen
432 miljoenen
Voorrangsregels bij rekenen
Bij langere sommen met verschillende tekens erin (+x-:) gelden er regels over welk teken als
eerste moet worden uitgewerkt. Er staan dan meerdere sommen in een.
“Hoe komen wij van deze onvoldoendes af”
Deze zin helpt je te onthouden welke tekens als eerste gedaan moeten worden. Kijk naar de
beginletters van de woorden in de zin, die passen bij deze tekens:
Haakjes
Kwadraten / Wortels (die leren jullie pas later, hoef je nu nog niet te kennen)
Vermenigvuldigen / Delen
Optellen / Aftrekken
Als er in een som dus haakjes staan is het EERSTE wat je moet doen uitrekenen wat er in de
haakjes staat. Daarna doe je de rest, van links naar rechts!.
Haakjes wegwerken
Eerst de haakjes uitrekenen, dan pas de rest:
1  (5  3)  1  2  3
(6  4)  (8  1)  2  7  9
2  (7  4)  2  11  22
Kwadraten en Wortels
Kwadraten en wortels hoef je nog niet te kennen. Maar later, als je er wel mee te maken krijgt
moet je die dus meteen na de haakjes uitwerken!!
Delen en Vermenigvuldigen
Delen en vermenigvuldigen gaat vóór optellen en aftrekken, maar ná haakjes!!
28:4  2 2  4
14  6 : 3  14  2  12
(8  2) : 2  6 : 2  3
Optellen en Aftrekken
Optellen en aftrekken gaat pas na alle andere dingen! Dus eerst haakjes, (machten en wortels,)
delen en vermenigvuldigen.
(8  3)  4  5  4  9
8  (3  4)  8  7  1
9 : (9  6)  4  9 : 3  4  3  4  7
7
Van links naar rechts
Als we dan meerdere keren hetzelfde teken hebben (of een teken van dezelfde waarde zoals
delen en vermenigvuldigen) werken we ze gewoon op volgorde van links naar rechts af.
Anders komt er namelijk een heel andere uitkomst uit!!
Zo moet het wél:
842  42  6
8:4:2  4:2  2
Deze drie voorbeelden zijn GOED!!!
100  2 : 10  3  200 : 10  3  20  3  60
Zo moet het dus niet:
842 86  2
8:4:2  8:2  4
100  2 : 10  3  200 : 30 
Deze drie voorbeelden zijn dus FOUT!!!
200 20
2

6
30
3
3
Verhoudingstabel
Met een verhoudingstabel kun je dingen uitrekenen. Stel je weet dat je voor 8 pannenkoeken
400gr meel nodig hebt, dan kun je met een verhoudingstabel makkelijk zien hoeveel je nodig
hebt voor 10 pannenkoeken of voor 1.
Dat doen we door een tabel te maken waarin we pannenkoeken en meel tegen elkaar uitzetten.
We vullen de 8 en 400 in, want die zijn gegeven en maken vervolgens met allebei de zelfde
berekeningen.
Tabel tekenen
Een tabel tekenen we altijd met POTLOOD en LINIAAL (geodriehoek).
Links in de tabel zet je altijd wat de getallen betekenen. Dus, aantal pannenkoeken en
grammen meel. Dan zet je rechts daarvan telkens hoeveel je van elk nodig hebt. Om nou een
nieuw aantal uit te rekenen voer je dezelfde berekening uit met meel, en met pannenkoeken.
Dat geef je aan met een pijltje waar je bij schrijft welke berekening je doet. Van 8 naar 4
pannenkoeken is dan dus :2. Dan moet het meel ook gedeeld worden door 2. Zo reken je de
nieuwe hoeveelheden uit.
We tekenen vaak een dubbele lijn na de betekenissen om aan te geven dat daarna de getallen
komen.
Dubbele tabellen
Voor een pannenkoek heb je niet alleen meel nodig, maar ook eieren en melk bijvoorbeeld.
Deze dingen kun je allemaal samen in één grote tabel zetten. We kunnen dan makkelijk zien
hoeveel pannenkoeken we kunnen maken als we 2 eieren hebben, of 1 liter melk.
Stel, voor 8 pannenkoeken heb je 400gr meel, 2 eieren en 1 liter melk nodig. Dit zetten we in
een tabel:
8
Pannenkoeken
8
Meel in gram
400
Eieren
2
Melk in liters
1
Als we de tabel groter maken kunnen we uitrekenen hoeveel we nodig hebben voor 1
pannenkoek, of wat we maken van 2 liter melk.
Pannenkoeken
8
1
Meel in gram
400
Eieren
2
Melk in liters
1
2
Om deze berekeningen uit te voeren moeten we de eerste kolom delen door 8. Want, van 8
pannenkoeken naar 1 is delen door 8. De laatste rij krijgen we door alles van de eerste rij te
vermenigvuldigen met 2, want van 1 liter melk naar 2 is x2.
We krijgen dan de volgende uitkomst:
Pannenkoeken
8
1
16
Meel in gram
400
50
800
Eieren
2
0,25
4
Melk in liters
1
0,125
2
Vergelijkingstabellen
In een winkel kunnen we dingen kopen zoals kaas. Soms kopen we een kilo kaas, soms maar
800gr. In winkels verschillen de prijzen ook nogal. Met een verhoudingstabel kunnen we
uitrekenen waar je de beste prijs kunt krijgen. We zetten dan in een tabel de winkels tegen
elkaar uit, samen met het product, de kaas.
Voorbeeld:
In winkel “Lekker Sjoppuh” kost 800gr kaas €3,80. In winkel “Sjop till you drop” kost
1200gr kaas €5,10. Waar is de kaas het goedkoopste?
Kaas in gram
800 1200 1000
Lekker Sjoppuh
3,80
4,50
Sjop till you drop
5,10
4,25
We gaan nu de prijs van beide winkels omrekenen naar een makkelijke maat. Hier heb ik voor
kilo gekozen. Als we beide prijzen omrekenen naar kilo’s dan zie je duidelijk dat de tweede
winkel goedkoper is dan de eerste.
Je kunt dus het beste je kaas kopen bij “Sjop till you drop”.
9