Opgaven / minitoets / (uitwerk)bijlage

Zelftoets meetkunde 3 rekenen aan lijnen
Twee punten en een lijn
Gegeven zijn de punten A(1, 6) en B(7, 4) en de lijn l: 3 x  5 y  7 .
1
Ga met een berekening na of de lijn AB loodrecht op l staat.
2
Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen AB en l.
Een bewegend punt
Gegeven zijn de punten A(0, 0) en B(0,1) . Punt C beweegt over de lijn x  1 en
kan dus weergegeven worden als C (1, c) , waarbij c variabel is.
M is het snijpunt van de middelloodlijnen van driehoek ABC.
3
Druk de coördinaten van M uit in c en toon daarmee aan dat de x-coördinaat van
M minimaal is voor c  12 .
Een variabel snijpunt
Voor elke waarde van a zijn gegeven de lijn ka: ( x, y )  r  (1, a ) en de lijn
la: ( x, y )  (2, 0) t  (a , 1).
2a 
 2
,
.
2
2 
 1 a 1 a 
Het snijpunt Sa van ka en la is het punt 
4
Toon dit algebraïsch aan.
5
Toon algebraïsch aan dat de punten Sa allemaal op de cirkel met vergelijking
( x  1)2  y 2  1 liggen.
Een bundel lijnen en een punt
Gegeven is het punt P (3, 4) en voor elke waarde van a de lijn la met vergelijking
x  ay  1 .
In de volgende twee vragen kiezen we a  2 . l2 heeft vergelijking x  2 y  1 .
6
Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen de lijnen OP en l2 .
7
Bereken exact de afstand van punt P tot lijn l2 .
8
In de volgende twee vragen is a variabel.
Bereken exact voor welke waarde(n) van a de afstand van punt P tot lijn la 2 is.
9
Bereken exact voor welke waarde(n) van a de hoek tussen de lijnen OP en la
45 is.
De parallellogramwet
1
lees verder ►►►
Voor elk tweetal vectoren u en v geldt de parallellogramwet:
u  v  u  v  2 u  2 v .
2
10
2
2
2
Toon dit door uitschrijven aan.
Van parallellogram ABCD is gegeven: AB  4 , AD  7 en AC  9 .
11
Bereken BD . (Tip: gebruik de parallellogramwet.)
einde
2

lees verder ►►►
Antwoorden zelftoets meetkunde 3 rekenen aan lijnen
1
2
3
 
 
AB  6 is een veelvoud van nl  3 , dus AB staat loodrecht op l.
5
1
Een pv van AB is ( x, y )  (1, 6)  t (3, 5) .
3(1  3t )  5(6  5t )  7 geeft 34t  34 , dus t  1. Het snijpunt is (4,1) .

AB  0 is een nv van de mll van AB. Het midden van AB is (0, 12 ) .
1
Dus een vergelijking van de mll van AB is y  12 .

AC  1 is een nv van de mll van AC. Het midden van AC is ( 12 , 12 c) .
c
Dus een vergelijking van de mll van AC is x  cy  12  12 c 2 .
x  c  12  12  12 c 2 dus


x  12 c2  12 c  12  12  c2  c  1  12  c  12   14  1  12  c  12   83 .
2
2
Dus x is minimaal voor c  12 .
1
2
(nb: je kunt dit ook aantonen met de afgeleide van
4
5
c 2  12 c  12 .)
x  r en y  ra invullen in een vergelijking van la : x  ay  2 .
2
2
2
2a
r  a 2 r  2 geeft r 
a 
, dus x 
en y 
.
2
2
2
1 a
1 a
1 a
1  a2
Voor elke a geldt:
2
2
1  a 2   2a   1  a 2   2a 
 2
  2a   2

1









 
2
2 
2
2 
2 
2 
2 
 1 a
  1 a   1 a 1 a   1 a   1 a   1 a 
2
2
1  a   4a

1  a  1  a 
6
2 2
2
2 2
2 2
l2 heeft rv
 21

1  2a 2  a 4  4a 2
1  a 
en OP heeft rv
2 2
 34

, dus
2
1  a 

 1  a 
1  2a 2  a 4
1  a
2 2
2
2 2
2 2
2  3

1  4 
cos  

2  3
 1  4
1
2
.
5 5
  80 .
7
Mét de afstandsformule (zit niet meer in het herschreven materiaal ):
De afstand is
3  2  4  1 10

2 5.
1
5
2

Zónder de afstandsformule: l2: n 
12
, dus rv 
 21
1 e manier: Punt Q op lijn l2: (x, y) = (1, 0) + t·(2, –1) = (1 + 2t, –t)
(1  2t  3)2  (t  4)2  5t 2  20
d
10t
5t 2  20 
 0 → t = 0 → De afstand PQ is √20 = 2√5.
dt
2 5t 2  20
Afstand PQ =
3
lees verder ►►►
2 e manier: Punt Q op lijn l2: (x, y) = (1, 0) + t·(2, –1) = (1 + 2t, –t)

 


 
PQ  1  2t  3  2  2t en we willen PQ  rv l2 dus 2  2t  2  0
t  4
t  4
t  4 1
→ –4 +4t + t + 4 = 0 → t = 0 → Q = (1, 0) → PQ  22  42  20
8
Mét de afstandsformule (maar zit niet meer in het herschreven materiaal ):
3  4a  1
 2 geeft 2  4a  2 1  a2 , dus 1  2a  1  a2 , dus
1
a

1  4a  4a 2  1  a 2 , dus a (3a  4)  0 , dus a  0 of a   43 .
Zónder de afstandsformule:
1 e manier:
De lijnen l a moeten dan raken aan de cirkel met straal 2 om P(3, 4).
Vergelijking van deze cirkel: (x – 3)2 + (y – 4)2 = 4
la geeft x = 1 – ay; invullen in de cirkelvgl.: (1 – ay – 3)2 + (y – 4)2 = 4
→ … → (1 + a2)y2 + (4a – 8)y + 16 = 0
Omdat het raaklijnen zijn, moet gelden D = 0, dus (4a – 8)2 – 4·(1 + a2)·16 = 0
→ –48a2 – 64a = 0 → 3a2 + 4a = 0 → a(3a + 4) = 0 → a = 0 of a = –4/3.
9
 a1   43  cos 45 
 a1   43
1
2
2 geeft 3a  4  12 2  5  a 2  1 , dus (kwadrateren)
9a 2  24a  16  12 12 a 2  12 12 → 3 12 a 2  24a  3 12  0 → a 2  487 a  1  0 →
(a  7)(a  17 )  0 → a  7 of a  17
(nb: de vergelijking kun je ook exact oplossen met de abc-formule of met
kwadraat afsplitsen).
10
u  v  u  v  u  v , u  v   u  v , u  v  
 u u  u v  v u  v v  u u  u v  v u  v v 
2
2
 2u u  2v v  2 u  2 v
2
2
(nb: je kunt ook u   u1 , u2  en v   v1 , v2  invullen in de formule en beide leden
uitwerken.)
11
Noem AD  u en AB  v , dan AC  u  v en BD  u  v
2
2
2
2
2
AC  BD  2  AD  2  AB , dus 92  BD  2  72  2  42 , dus BD  7 .
einde
4

lees verder ►►►