Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Opgeloste en onopgeloste mysteries
in de getaltheorie
Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer
Voorwoord
1
Voorwoord
Beste leerling,
Deze nota’s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren “Opgeloste en onopgeloste mysteries
in de getaltheorie”, die gegeven kunnen worden in de lessen wiskunde in de derde graad
van het secundair onderwijs, al dan niet in de vrije ruimte voorzien in het leerplan van de
derde graad van het vrij secundair onderwijs.
Getaltheorie is een bloeiende tak van de wiskunde, met wortels in een ver verleden, met
vertakkingen naar andere gebieden in de wiskunde, en met zeer fundamentele open vragen waar vele wiskundigen vandaag een antwoord op trachten te vinden. Getaltheorie is
daarenboven ook een mooi voorbeeld van hoe wiskunde directe toepassingen heeft. Tenslotte is het een onderwerp waar niet veel voorkennis voor nodig is om de beginselen aan
te vatten en met elementaire technieken interessante resultaten bereikt kunnen worden.
Getaltheorie is dus een zeer dankbaar onderwerp om aan iedereen die het wil, duidelijk te
maken waar het in wiskunde om draait, en wat we allemaal met wiskunde kunnen doen.
Omdat we de onderwerpen toegankelijk willen maken, zijn vele voorbeelden en oefeningen opgenomen in deze nota’s. De lesgever of leerkracht zal een aantal oefeningen en voorbeelden behandelen in de lessen. De oefeningen en voorbeelden zijn dikwijls eenvoudige
probleempjes die, eens opgelost, de theorie op een aanschouwelijke wijze moeten illustreren. We hebben echter ook belang gehecht aan het bewijzen van een aantal stellingen.
Wiskunde is immers de wetenschap bij uitstek waarin uitspraken enkel na het geven van
een correct bewijs, als waar worden aanvaard. Om duidelijk te maken dat wiskunde niet
“af” is, hebben we op diverse plaatsen open vragen uit de getaltheorie vermeld. Deze open
vragen zijn allemaal gemakkelijk te begrijpen, maar zijn tot op vandaag nog steeds niet
opgelost.
De leerkracht of lesgever zal eventueel, afhankelijk van de beschikbare tijd, een selectie
maken uit de aangeboden leerstof. Deze nota’s zijn niet bedoeld als zelfstudiecursus, maar
zouden wel volledig leesbaar moeten zijn na de lessen.
Jan De Beule
Tom De Medts
Jeroen Demeyer
Inhoudsopgave
2
Inhoudsopgave
1 Priemgetallen en deelbaarheid
1.1 Enkele onopgeloste problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
2 De grootste gemene deler
7
3 Modulorekenen
9
3.1 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Eenvoudige toepassingen van modulorekenen
14
4.1 Voorwaarden voor deelbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Een toernooi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 De stelling van Wilson en de kleine stelling van Fermat
17
5.1 Een karakterisering van priemgetallen en tweelingpriemen . . . . . . . . . . . . . 18
6 De Chinese reststelling
19
7 Cryptografie
21
7.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.2 RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8 Factorisatie van getallen
23
8.1 De kwadratische zeef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1
Priemgetallen en deelbaarheid
In de getaltheorie draait alles om gehele getallen.
Definitie 1.1
is de verzameling van de gehele getallen:
= {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } .
is de verzameling van de natuurlijke getallen, 0 inbegrepen:
= {0, 1, 2, 3, . . . } .
Als we twee gehele getallen met elkaar optellen, vermenigvuldigen, of aftrekken van elkaar,
is het resultaat steeds weer een geheel getal, maar dat geldt niet voor de deling. Vandaar de
volgende definitie.
Definitie
nitie 1.2
We zeggen
eggen dat een geheel
gehe
eel getal
geta
al a deelbaar is door een geheel
gehee
el getal
ge
etal b als er een
e geheel
getal q bestaat zodat
a = bq .
We zeggen dan ook dat b een deler van a is, en we noteren dit als b | a . Als b = 0, dan
is a deelbaar door b als en slechts als a /b een geheel getal is.
Ook als a niet deelbaar is door b is het zinvol om de deling uit te voeren, maar dan verkrijgen we een restterm. Een dergelijke deling wordt een Euclidische deling genoemd.
Definitie 1.3
Als a en b gehele getallen zijn met b ≥ 1, dan bestaan er unieke gehele getallen q en
r met 0 ≤ r < b zodat
a = bq + r .
Deze getallen worden respectievelijk het quotiënt en de rest genoemd van de deling
van a door b .
Van fundamenteel belang in de getaltheorie is de studie van priemgetallen.
Definitie 1.4
Een natuurlijk getal p wordt een priemgetal genoemd als het precies twee verschillende positieve delers heeft, namelijk 1 en zichzelf. We benadrukken dat 1 dus geen
priemgetal is.
1
Priemgetallen en deelbaarheid
4
Voorbeeld 1.5
De kleinste priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . Het grootste gekende priemgetal is 243 112 609 − 1, een getal van maar liefst 12 978 189 cijfers lang. Dit record dateert
van 2008.
Misschien vraag je je wel af of er zoiets bestaat als een “grootste priemgetal”. Het is niet
moeilijk om in te zien dat er geen grootste priemgetal is; we zullen dit dadelijk nagaan.
Het is echter wel moeilijk om expliciet grote priemgetallen te “construeren”, of nog, om
na te gaan of een gegeven getal een priemgetal is of niet. En dat is wat we bedoelen met
het record dat we in Voorbeeld 1.5 aangehaald hebben: dit is het grootste getal waarvan
we weten dat het een priemgetal is, ook al weten we met zekerheid dat er (oneindig veel)
grotere priemgetallen bestaan.
Stelling 1.6
Er bestaan oneindig veel priemgetallen.
Bewijs. We bewijzen dit uit het ongerijmde. Veronderstel dus dat er wel een grootste priemgetal zou bestaan, en noem dat getal p . Beschouw nu alle priemgetallen kleiner dan of
gelijk aan p , en noem die p 1 , p 2 , . . . , p k = p . (Dus p 1 = 2, p 2 = 3, enzovoort; p is precies het
k -de priemgetal.) Wegens onze veronderstelling is elk priemgetal dus gelijk aan één van
deze getallen p i . Stel nu
N = p 1p 2 · · · p k + 1 ;
dan is N voor geen enkele i ∈ {1, . . . , k } deelbaar door p i . Wegens onze veronderstelling
is N dus door geen enkel priemgetal deelbaar. Dit kan uiteraard niet; bijgevolg is onze
veronderstelling verkeerd, en dus bestaan er oneindig veel priemgetallen.
Eén van de redenen waarom priemgetallen zo belangrijk zijn, is het feit dat het in zekere
zin de “bouwstenen” zijn voor alle getallen. We kunnen elk getal factoriseren of ontbinden
in priemfactoren, op een unieke manier. Op die wijze kunnen heel wat problemen in de
getaltheorie vaak herleid worden tot problemen over priemgetallen.
Stelling 1.7
Elk natuurlijk getal verschillend van 0 kan op unieke wijze geschreven worden als het
product van priemgetallen. Concreet bestaan er dus voor elk getal n ∈ \ {0} unieke
priemgetallen p 1 < p 2 < · · · < p k en unieke natuurlijke getallen αi verschillend van 0
zodat
α
n = p 1α1 · p 2α2 · . . . · p k k .
We hebben daarnet vermeld dat het bijzonder moeilijk is om na te gaan of een gegeven
getal een priemgetal is. Het is nóg moeilijker om een gegeven getal op efficiënte wijze te
factoriseren. We gaan daar in Hoofdstuk 8 wat dieper op in.
1.1
Enkele onopgeloste problemen
Misschien vraag je je nu af of er een formule bestaat die je kan zeggen hoe groot het miljoenste priemgetal is. Een exacte formule daarvoor bestaat niet. (Natuurlijk bestaat er wel
een algoritme: je kan immers de eerste 1 miljoen priemgetallen berekenen. Efficiënt is dit
uiteraard niet.)
Maar merkwaardig is dat we wel goed kunnen inschatten hoe groot het miljoenste priemgetal bij benadering is. We weten dus ook bij benadering hoeveel priemgetallen er zijn die
kleiner zijn dan een gegeven getal.
Stelling 1.8 — Prime number theorem
Noteer het n-de priemgetal als p n , en stel π(x ) gelijk aan het aantal priemgetallen
kleiner dan of gelijk aan x . Dan is bij benadering
π(x ) ≈
x
,
ln x
p n ≈ n ln n .
We kunnen de waarde van π(x ) nog nauwkeuriger afschatten met behulp van een zogegaritmische integraal.
integraa
al.
naamde logaritmische
Definitie
e 1.9
Voor elke x ∈ met x ≥ 2 stellen we
x
Li(x ) =
2
1
dt .
ln t
Stelling 1.10
Stel π(x ) gelijk aan het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x . Dan is bij
benadering
π(x ) ≈ Li(x ) .
Voorbeeld 1.11
Stel x = 1 000 000. Dan is
π(x ) = 78 498 ,
x / ln x = 72 382, 41 . . . ,
Li(x ) = 78 626, 50 . . . .
Interessant is dat we wel weten dat dit niet zomaar een goede benadering is, maar een
bijzonder goede benadering, zoals blijkt uit het volgende vermoeden!
Vermoeden 1.12
Voor alle x ≥ 3 geldt
| π(x ) − Li(x ) | ≤
x ln x .
Dit is niet zomaar een vermoeden: het is equivalent met de beroemde Riemannhypothese.
Dit is één van de Clay Math Institute Millenium problemen, waarmee je 1 miljoen dollar
kan winnen als je er één oplost.
Wellicht één van de redenen waarom priemgetallen zo tot de (wiskundige) verbeelding
spreken, is het feit dat er nog h
heel
die
eel watt onopgeloste problemen zijn
n over
ove
er priemgetallen,
priemge
zeer eenvoudig
We
udig te formuleren
n zijn. W
e vermelden er nog twee.
Vermoeden 1.13 — Vermoeden van Goldbach
Elk even getal groter dan 2 is te schrijven als de som van twee priemgetallen.
Voorbeeld 1.14
4=2+2
10 = 3 + 7 = 5 + 5
6=3+3
12 = 5 + 7
8=3+5
14 = 3 + 11 = 7 + 7
Men heeft dit met de computer gecontroleerd tot aan 1018 , dus het ziet er “zeer waarschijnlijk” uit dat dit vermoeden wel waar is. Maar over de reden tasten we nog steeds in het
duister. . .
Vermoeden 1.15 — Twin prime conjecture
Er bestaan oneindig veel tweelingpriemen: dit zijn paren natuurlijke getallen {p, p +
2} waarvoor zowel p als p + 2 priem zijn.
Voorbeeld 1.16
5=3+2
19 = 17 + 2
7=5+2
31 = 29 + 2
13 = 11 + 2
43 = 41 + 2
Ter informatie: er zijn 808 675 888 577 436 ≈ 8 · 1014 tweelingpriemen kleiner dan 1018 .
2
2
De grootste gemene deler
7
De grootste gemene deler
Gegeven twee gehele getallen a en b . Het is duidelijk dat zowel −1 als +1 een deler is van
a en b . De verzameling van alle gemeenschappelijke delers van a en b is dus nooit ledig.
We noemen het grootste element uit deze verzameling de grootste gemene deler van a en
b . Aangezien deze definitie niet werkt voor ggd(0, 0), definiëren we ggd(0, 0) = 0.
Voorbeeld 2.1
Stel a = 126 en b = 35. De verzameling van gemeenschappelijke delers is
{−7, −1, 1, 7}. De grootste gemene deler van 126 en 35 is dus 7.
Zoals je zelf merkt als je bovenstaand voorbeeld controleert, zie je dat het opstellen van
de verzameling van gemeenschappelijke delers om daaruit de grootste te halen, nogal omslachtig is om de grootste gemene deler te bepalen.
We hebben gezien dat voor twee gehele getallen a en b , we steeds elementen q en r kunnen
vinden zodat a = bq + r met 0 ≤ r < b .
Oefening 2.2
Toon aan dat ggd(a ,b ) = ggd(b, r ) als a = bq +r . Toon ook aan dat uit de definitie van
grootste gemene deler volgt dat ggd(a , 0) = a voor alle a ∈ .
We hernemen voorbeeld 2.1. Als we 126 door 35 delen, vinden we 126 = 3 · 35 + 21. Dus
ggd(126, 35) = ggd(35, 21). Het is inderdaad gemakkelijker om de ggd(35, 21) te bepalen
dan die van 126 en 35. Maar niets weerhoudt ons om de deling met rest te herhalen, tot de
rest 0 wordt.
126 = 3 · 35 + 21
35 = 1 · 21 + 14
21 = 1 · 14 + 7
14 = 2 · 7
Uit het tweede deel van oefening 2.2 volgt dat ggd(7, 0) = 7, en we besluiten dat ggd(126, 35) =
7. We merken nog op dat het herhaaldelijk toepassen van de deling met rest voor elke twee
gehelen getallen a en b wel degelijk na een eindig aantal stappen een rest gelijk aan 0 zal
opleveren. Daarmee hebben we in feite een algoritme beschreven. Dit algoritme, om de
grootste gemene deler van twee getallen te bepalen, wordt het algoritme van Euclides genoemd.
Oefening 2.3
Gebruik het algoritme van Euclides om ggd(204, 96) en ggd(351, 320) te bepalen.
We hernemen het voorbeeld waarin we ggd(126, 35) bepalen. Uit de opeenvolgende uitvoeringen van de deling met rest, halen we de volgende gelijkheden:
ggd(126, 35) = 7 = 21 − 1 · 14 = 21 − (35 − 1 · 21)
= 2 · 21 − 1 · 35 = 2 · (126 − 3 · 35) − 1 · 35
= 2 · 126 − 7 · 35
We besluiten dat ggd(126, 35) = 2 · 126 − 7 · 35. De grootste gemene deler is dus te schrijven
als een lineaire combinatie van 126 en 35. Dit principe geldt algemeen en leidt tot volgende
stelling:
Stelling 2.4 — Stelling van Bézout
Gegeven twee gehele getallen a en b , dan bestaan er gehele getallen x en y zodat
a x + b y = ggd(a ,b ).
Zulke getallen
en x en y waarvoor
waarvoo
or a x + b y = ggd(a ,b ) worden Bézoutcoëfficiënten
Bézo
outco
coëfficiënten van a en
b genoemd. Het algoritme hierboven om die coëfficiënten te bepalen heet het uitgebreid
algoritme van Euclides.
Oefening 2.5
Gebruik de resultaten uit de berekening van ggd(204, 96) opnieuw om de Bézoutcoëfficiënten van 204 en 96 te bepalen.
Het algoritme van Euclides heeft nog een andere toepassing. Beschouw de volgende vergelijking.
15x + 21y = 3 .
(1)
Een dergelijke vergelijking wordt ook wel een lineaire diophantische vergelijking genoemd.
We willen onderzoeken onder welke voorwaarden er een oplossing bestaat voor deze vergelijking. Stel dus dat er twee gehele getallen x 0 en y 0 bestaan waarvoor 15x 0 + 21y 0 = 3.
Noem c := ggd(15, 21) = 3. Uit het bestaan van de oplossing (x 0 , y 0 ) volgt dat c een deler
moet zijn van het rechterlid van vergelijking (1). In dit geval zien we dat het rechterlid
juist gelijk is aan c . We kunnen dan met het algoritme van Euclides een oplossing bepalen.
Immers, met het algoritme van Euclides kunnen we een stel Bézoutcoëfficiënten van 15 en
21 bepalen, we vinden dat 3 · 15 − 2 · 21 = 3. De getallen (3, −2) zijn dus een oplossing van
de vergelijking. We beschouwen nu de vergelijking
15x + 21y = 6 .
(2)
3
Modulorekenen
9
Ook deze vergelijking kunnen we oplossen met behulp van het algoritme van Euclides.
We weten dat de Bézoutcoëfficiënten (3, −2) een oplossing zijn van vergelijking 1. Aangezien het rechterlid van vergelijking (2) een veelvoud is van ggd(15, 21), volstaat het om de
Bézoutcoëfficiënten (3, −2) met 2 te vermenigvuldigen om een oplossing te bekomen van
vergelijking (2).
In feite hebben we de volgende stelling bewezen.
Stelling 2.6
De vergelijking
ax +by = c
heeft een oplossing als en slechts als ggd(a ,b ) | c .
Oefening 2.7
Bepaal, indien mogelijk, een oplossing van
15x + 35y = 6.
Oefening 2.8
Bepaal, indien mogelijk, een oplossing van
12x + 77y = 10.
3
Modulorekenen
Beschouw twee oneven gehele getallen, bijvoorbeeld 5 en 7. Het is duidelijk dat het verschil
van 5 en 7 een even getal is, dus deelbaar door 2. Ook het verschil van twee even getallen is
een even getal. Het verschil van een oneven en een even getal daarentegen, is altijd oneven,
en dus niet deelbaar door twee. Deelbaarheid van het verschil van twee getallen door 2 is
dus een eigenschap die waar is voor elke twee even getallen, en elke twee oneven getallen,
maar niet voor een even en een oneven getal. We veralgemenen dit als volgt.
Definitie 3.1
Stel m = 0 een naturlijk getal en a en b twee gehele getallen, dan is a congruent aan
b modulo m als en slechts als m | (a − b ).
Als a congruent is aan b modulo m , dan noteren we a ≡ b (mod m ).