LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespers

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
LINEAIRE ALGEBRA
Eric Jespers
Vrije Universiteit Brussel
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Referentie:
David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition,
Pearson International Edition, 2012, ISBN: 9781408287859
verplicht materiaal en online registreren, zie uitleg op pointcare bij
wpo
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Evaluatie
I
20%: taak (weken 8 en 12), moet online geregistreerd worden,
een deel wordt elektronisch afgelegd
I
80% examen: vooral schriftelijk, begrijpen van concepten en
technische vaardigheden
I
WPO: verplicht deelname (telkens deelname bevestigen)
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Inhoud Cursus
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Inhoud Cursus
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra
2. Matrix Algebra
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Inhoud Cursus
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra
2. Matrix Algebra
3. Determinanten
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Inhoud Cursus
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra
2. Matrix Algebra
3. Determinanten
4. Vectorruimten
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Inhoud Cursus
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra
2. Matrix Algebra
3. Determinanten
4. Vectorruimten
5. Eigenwaarden en Eigenvectoren
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1.1 Systeem van Lineaire Vergelijkingen
Definitie
Lineaire Vergelijking in veranderlijken x1 , x2 , . . . , xn :
a1 x2 + a2 x2 + · · · + an xn = b,
met b en de coefficienten a1 , . . . an ∈ R of in C.
Definitie
Systeem van lineaire vergelijkingen, (lineair systeem) is een
collectie van lineaire vergelijkingen.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie
Een oplossing van een lineair systeem is een n-tal (s1 , . . . sn ) dat
voldoet aan elke lineaire vergelijking. De verzameling die bestaat
uit alle mogelijke oplossingen noemt men de
oplossingenverzameling.
Voorbeelden:
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3 + x2
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3 + x2
Niet lineaire voorbeelden:
4x1 − x2 = x1 x2
x2 −
√
x1 = 7
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 2x2 = 1
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Mogelijk Aantal Oplossingen:
1. geen, inconsistent systeem
2. exact een, consistent systeem
3. oneindig veel consistent systeem
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Voorbeeld
x1 + x2 = 10
−x1 + x2 = 0
twee snijdende rechten
x1 − 2x2 = −3
2x1 − 4x2 = 8
twee parallelle rechten
x1 + x2 = 3
−2x1 − 2x2 = −6
twee gelijke rechten
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Analoog in de ruimte R3 : drie vlakken (drie lineaire vergelijkingen
in 3 veranderlijken) snijden in 1 punt, oneindig veel punten (een
rechte of een vlak) of geen enkel punt.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Coefficientenmatrix van een lineair systeem en Uitgebreide Matrix
van een lineair systeem
Voorbeeld:

x1 − 2x2 + x3 = 0

2x2 − 8x3 = 8

−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9




1 −2 1
1 −2 1
0
 0
2 −8  en  0
2 −8 8 
−4 5
9
−4 5
9 −9
Een m × n-matrix is een rechthoekige lijst van getallen met m-rijen
en n-kolommen.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Oplossen van een stelsel en elementaire rij operaties: Gauss
eliminatie
1. Vervang een rij door een veelvoud van een andere rij erbij
op te tellen (rij operatie)
2. Verwissel twee rijen.
3. Vermenigvuldig een rij met een niet-nul constante.
Twee matrices zijn rij equivalent als de ene uit de andere
verkregen wordt door opeenvolgende rijoperaties.
Eigenschap
Als de uitgebreide matrices van twee lineaire stelsels dezelfde zijn
dan hebben beide stelsels dezelfde oplossing.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Voorbeeld: stelsel en matrixnotatie
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3
x1 − 2x2 = −1
x2 = 2 (R2 → R2 + R1 )
x1 = 3 (R1 → R1 + 2R2 )
x2 = 2
1 −2 −1
−1 3
3
−→
1 0 3
0 1 2
1 −2 −1
0 1
2
(R2 → R2 + R1 )
(R1 → R1 + 2R2 )
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1.2 Rijreductie en echalonvorm
Definitie
Een matrix is in (rij) echelonvorm als er voldaan is aan de volgende
voorwaarden:
1. alle niet nul rijen staan boven volledige nul rijen
2. elke kop positie (d.w.z. de eerste niet nul positie in een rij)
in een rij is in een kolom rechts van de kop positie van de rij
erboven.
3. alle posities in een kolom beneden een kop positie zijn nul
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie
De matrix is in gereduceerde echalonvorm als er bovendien voldaan
is aan
4. de kop positie in elke rij is 1
5. elke kop positie is de enige niet nul positie in een kolom.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Een matrix is rij equivalent met precies een gereduceerde echalon
matrix.
Spil (pivot) positie van een matrix A: eerste niet nul (en dus een)
plaats in een rij.
Spil (Pivot) kolom van een matrix A: een kolom van A die een spil
(pivot) positie bevat
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Rijreductie algorithme
vijf stappen om een matrix A om te vormen in een geruduceerde
rijechalonvorm via rijoperaties:
1. Begin met de meest linkse niet nul kolom (spilkolom)
2. Kies een spil (pivot) element in de spil (pivot) kolom en
door rijen te verwisselen breng het in de spilpositie.
3. Gebruik rij operaties om alle posities onder de spil nul te
maken.
4. Vergeet de rij (en alle erboven) die de een spilpositie bevat.
Pas stappen 1-3 toe op de overblijvende matrix.
5. Beginnende met de meest rechtse spil maak alle posities
boven de spil nul (door rij operaties; en herhaal dit proces
door naar links op zoek te gaan naar de volgende spil. Als een
spil niet 1 is maak het dan 1 door een rij met een scalair te
vermenigvuldigen.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Oplossen van een lineair stelsel
Via rijreductie van de uitgebreide matrix. Gevolg ( basis
veranderlijken en vrije veranderlijken): een parametrische
beschrijving van de oplossingenverzameling.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Een lineair systeem is consistent als en slecht als meeste rechtse
kolom van de uitgebreide matrix is geen spil (pivot) kolom. D.w.z.
de uitgebreide matrix heeft GEEN rij van de vorm
[0 0 · · · 0 b] met b 6= 0.
Als een lineair systeem consistent is dan (1) is er een unieke
oplossing als er geen vrije veranderlijken zijn of (2) er zijn oneindig
veel oplossingen wanneer er tenminste een vrije veranderlijke is.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1.3 Vectorvergelijkingen
Vectoren in Rn
Een kolomvector (een vector) v is een n × 1-matrix met posities in
R. (Dus een geordend n-tal in kolomvorm.)
De nulvector 0 is de nulkolom.
gelijkheid van vectoren




v1
u1
v 1 = u1
 v2 
 u2 
v 2 = u2




v =  .  = u =  .  ⇐⇒
..
.
.
 . 
 . 
.
vn
un
v n = un
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Bewerkingen met vectoren
I
SOM



v + u == 

v1
v2
..
.


 
 
+
 
vn
I
SCALAIR VEELVOUD, c ∈ R,



cv = 

u1
u2
..
.

 
 
=
 
cvn
v 1 + u1
v 2 + u2
..
.
v n + un
un
cv1
cv2
..
.











1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
In handgeschreven teksten schrijven wij
v
als
v
of als
→
−
v
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Voor alle u, v, w ∈ Rn en alle scalairen c, d ∈ R:
u + v = v + u commutatief
c(u + v) = cu + cv
(u + v) + w = u + (v + w) associatief
(c + d)u = cu + du
u+0=0+u=u
u + (−u) = −u + u = 0
c(du) = (cd)u
1u = u
met −u = (−1)u. Notatie: u + (−1)v = u − v.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Meetkundige Interpretatie
punt in het vlak (a, b) = vector
(a, b).
a
b
in R2 = pijl van (0, 0) naar
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
scalair veelvoud cu= vector op zelfde rechte als u.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
som van vectoren= parrallellogram eigenschap
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
punt in ruimte (a, b, c) =vector in R3 =pijl in R3 .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Lineaire combinatie van vectoren
v1 , v2 , . . . , vp ∈ Rn en c1 , c2 , . . . , cp ∈ R:
y = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cp vp
is een lineaire combinatie van v1 , . . . , vp met gewichten (of
coefficienten) c1 , c2 , . . . , cp .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Oefening
Zij








1
4
3
−1
a1 =  0  , a2 =  2  , a3 =  6  en b =  8 
3
14
10
−5
Bepaal of b een lineaire combinatie is van a1 , a2 en a3 .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie v1 , v2 , . . . , vp ∈ Rn .
Span{v1 , v2 , . . . , vp }
deelverzameling van Rn voorgebracht door v1 , v2 , . . . , vp . Dus alle
elementen van de vorm
c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vp ,
met c1 , c2 , . . . , cp ∈ R.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
De volgende voorwaarden zijn equivalent:
I
y ∈ Span{v1 , v2 , . . . , vp }
I
de vectorvergelijking
x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn = y
heeft een oplossing voor x1 , x2 , . . . , xn .
I
het lineaire systeem met uitgebreide matrix
v1 v2 · · · vn y
heeft een oplossing.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1.4 Matrixvergelijkingen
Definitie
Het product van A en x is

Ax =
a1 a2 · · ·
an




x1
x2
..
.
xn



 = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
A = a1 a2 · · · an een m × n-matrix, b ∈ Rm .
De oplossingen van de matrixvergelijking
Ax = b
en de vectorvergelijking
x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = b
en het lineair systeem met uitgebreide matrix
a1 a2 · · · an y
zijn dezelfde.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
A = a1 a2 · · · an een m × n-matrix. De volgende
eigenschappen zijn equivalent:
1. voor elke b ∈ Rm heeft de vergelijking Ax = b een
oplossing
2. Elke b ∈ Rn is een lineaire combinatie van de kolommen
van A.
3. De kolommen van A zijn voortbrengers voor Rm .
4. A heeft een spilelement in elke rij.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Rij=kolom vermenigvuldiging voor berekenen van Ax
Als Ax gedefinieerd is dan is het element in de i-de plaats van Ax
de som van producten van de corresponderende elementen in de
i-de rij van A met de vector x.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Voorbeeld

2 3 4

 

x1
  x2  = 2x1 + 3x2 + 4x3
x3
Stelling 5
A een m × n-matrix, u en v vectoren in Rn , c een scalair. De
volgende rekenregels gelden:
I
A(u + v) = Au + Av;
I
A(cu) = c(Au).
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1.5 Oplossingverzameling van een lineair stelsel
Definitie
Homogeen lineair systeem
Ax = 0
Triviale oplossing: 0
A0 = 0
Niet Triviale Oplossing Is een oplossing die niet 0 is.
Eigenschap
De homogene vergelijking Ax = 0 heeft een niet-triviale oplossing
(is consistent) als en slechts als de vergelijking minstens een vrije
veranderlijke heeft.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Parametrische Vectorvorm van Oplossing
De oplossingen van Ax = 0 schrijven als lineaire combinaties van
een eindig aantal oplossingen (zoveel als er vrije veranderlijken
zijn). Voorbeeld:
x = su + tv ∈ Span{u, v},
met u, v oplossingen van Ax = 0.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling: Oplossingen van een niet-homogene vergelijking
Veronderstel dat de vergelijking Ax = b consistent is en zij
p een oplossing.
De oplossingverzameling van Ax = b bestaat uit alle vectoren van
de vorm
w = p + vh
met vh een oplossing van de homogene vergelijking Ax = 0.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Algoritme voor de oplossingverzameling in parametrische vorm
van een consistent lineair systeem
1. Rij reduceer de uitgebreide matrix naar gereduceerde
echalon vorm.
2. Schrijf elke basis-veranderlijke als een lineaire combinatie
van de vrije veranderlijken plus eventueel een constante.
3. Schrijf elke oplossing x als een vector waarvan de posities
afhankelijk zijn van de vrije veranderlijken.
4. Schrijf x als een lineaire combinatie van vectoren (met
numerische waarden) door gebruik te maken van de vrije
veranderlijken als parameters.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1.6 Toepassingen van lineaire stelsels
Voorbeelden
Economie
Chemische Vergelijkingen
Network flow
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1.7 Lineaire Onafhankelijkheid
Definitie
Een verzameling vectoren {v1 , . . . , vp } is lineair onafhankelijk als
de vectorvergelijking
x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0
alleen de triviale oplossing heeft.
Een verzameling vectoren {v1 , . . . , vp } is lineair afhankelijk als er
gewichten c1 , c2 , . . . , cp , niet allen nul, zodat
c1 v1 + c2 v2 + · · · + cp vp = 0
(een lineaire afhankelijksrelatie).
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Lineaire afhankelijkheid van matrixkolommen
De kolommen van een matrix A = a1 a2 · · · an zijn lineair
onafhankelijk als en slecht als de vergelijking Ax = 0 slechts de
triviale oplossing heeft.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Karakterisatie van lineair onafhankelijke verzamelingen
{v1 , . . . , vp } is lineair afhankelijk als en slechts als
vj is lineair afhankelijk van v1 , . . . , vj−1
(voor een j > 1).
Opmerking Als vj = 0 dan lineair afhankelijk.
Bekijk het geval met p = 1 of 2.
Stelling
Als een verzameling meer vectoren bevat dan er posities zijn in de
vectoren dan is de verzameling lineair afhankelijk.
Een verzameling {v1 , . . . , vp } in Rn is lineair afhankelijk als p > n
(meer vectoren bevat dan posities).
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1.8 Lineaire Transformaties
Definition
Een transformatie (of functie of afbeelding)
T : Rn → Rm
laat met elke x ∈ Rn precies een vector T (x) in Rm overeenkomen.
domein van T is Rn
codomein van T is Rm .
T (x) is het beeld van x onder T
beeld van T is T (Rn ): de verzameling van alle beelden T (x).
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Matrixtransformaties
Definitie Matrixtransformatie
A een m × n-matrix.
Rn → Rm : x 7→ Ax
Het beeld is alle lineaire combinaties van de kolommen van A.
Voorbeelden

1 0 0
projectie : A =  0 1 0  Dan
0 0 0




 
 
 

x1
x1
1 0 0
x1
x1
R3 → R3 :  x2  7→  x2  =  0 1 0   x2  =  x2 
x3
x3
0 0 0
0
0
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
afschuiving (shear) Voorbeeld: A =
1 3
0 1
T : R2 → R2 : x 7→ Ax
en
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie
Een transformatie T is lineair als voldaan is aan de volgende
voorwaarden voor alle u, v in het domein van T en alle scalairen c:
1. T (u + v) = T (u) + T (v)
2. T (cu) = cT (u).
(T bewaart de bewerking van som en scalaire vermenigvuldiging)
Voorbeeld: een matrixtransformatie
Eigenschap
T een lineaire transformatie. Dan
I
T (0) = 0
I
T (cu + dv) = cT (u) + dT (v)
I
T (c1 u1 + · · · + cp up ) = c1 T (u1 ) + · · · + cp T (up )
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
rotatie
1
0
T
=
0
1
0
−1
T
=
0
1
1
1
0
0
−1
=T
+T
=
+
T
1
0
1
1
0
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Beschouw de volgende transformaties:
1. T : R → R : x 7→ 5x
2. f : R → R : x 7→ 5x + 4
Zijn T en f lineair?
1. T is lineair
2. f is niet lineair
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1.9 Matrix van een lineaire transformatie
Stelling
Zij T : Rn → Rm een lineaire transformatie. Dan bestaat een
unieke matrix A (de standaard matrix van T ) zodat, voor alle
x ∈ Rn ,
T (x) = Ax.
Bovendien
A=
met
T (e1 ) · · ·

1
0
..
.


e1 = 


T (en )


0

 .. 

 
 , . . . , en =  . 

 0 
0
1
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Zij T : R2 → R3 een lineaire transformatie zodat
 


1
−3
T (e1 ) =  2  en T = (e2 ) =  7 
3
5
Zonder enige andere informatie, bereken het beeld T (x) van een
willekeurige x in R2 .
x1
1
0
x=
= x1
+ x2
= x 1 e1 + x 2 e2
x2
0
1


 
 
1
−3
x1 − 3x2
T (x) = x1 T (e1 )+x2 T (e2 ) = x1  2 +x2  7  =  2x1 + 7x2 
3x1 + 5x2
3
5
Dus


1 −3
T (x) = Ax met A =  2 7  = T (e1 ) T (e2 )
3 5
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Meetkundige Lineaire Transformaties in R2
spiegeling (reflectie)
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
samentrekking (contractie), uitzetting (expansie);
schaalverandering
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
afschuiving (horizontaal, vertikaal)
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
projectie (op x1 -as, op x2 -as)
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie
Zij T : Rn → Rm een functie.
I
T is surjectief (onto) als elke b ∈ Rm het beeld is van
minstens een x ∈ Rn .
I
T is injectief (one-to-one) als elke b ∈ Rm het beeld is van
ten hoogste een x ∈ Rn .
I
T is bijectief als elke b ∈ Rm het beeld is van precies een
x ∈ Rn .
Stelling
Zij T : Rn → Rm een lineaire transformatie met standaardmatrix
A.
I
T is injectief ⇐⇒ T (x) = 0 heeft alleen de triviale oplossing
⇐⇒ de kolommen van A zijn lineair onafhankelijk.
I
T is surjectief ⇐⇒ de kolommen van A zijn voortbrengers
voor Rm .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
blz 110
Opstellen van een Dieet
Elektrische Netwerken
Difference Vergelijkingen
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
2.1 Matrices en Matrixbewerkingen
Een m × n-matrix (met coefficienten aij , of

a11 · · · a1j · · ·
 ..
..
 .
.


A =  ai1 · · · aij · · ·
 ..
..
 .
.
am1 · · · amj · · ·
componenten)

a1n
.. 
. 

a1n 

.. 
. 
amn
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Gelijkheid van matrices

a11 · · · a1j · · · a1n
 ..
..
..
 .
.
.

 ai1 · · · aij · · · a1n

 ..
..
..
 .
.
.
am1 · · · amj · · · amn


b11 · · ·
  ..
  .
 
 =  bi1 · · ·
 
  ..
  .
bm1 · · ·
b1j
..
.
···
bij
..
.
···
bmj
···

b1n
.. 
. 

b1n 

.. 
. 
bmn
als en slechts als
aij = bij voor alle 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ jn.
De elementen a11 , a22 , a33 , . . . (diagonaalelementen) vormen de
hoofddiagonaal.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Nulmatrix

0 ···
 ..
 .

0=
 0 ···
 ..
 .
0 ···
0 ···
..
.
0 ···
..
.
0 ···
Diagonaalmatrix Is een n × n-matrix
hoofddiagonaal:

a11 · · · 0
 0 · · · a22

A= .
..
 ..
.
0
···
0

0
.. 
. 

0 

.. 
. 
0
met nullen buiten the
0 ···
0 ···
..
.
0
0
..
.
0 ···
ann





1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie: som van m × n-matrices (som van kolommen)
A+B =
a1 a2 · · ·
=
a1 + b1 a2 + b2
an
b1 b2 · · ·
· · · an + bn
+
bn
Definitie: scalair veelvoud van een matrix
c
a1 a2 · · ·
an
=
ca1 ca2 · · ·
can
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Zij A, B, C m × n-matrices, en zij r , s scalairen. De volgende
rekenregels gelden.
A+B =B +A
r (A + B) = rA + rB
(A + B) + C = A + (B + C )
(r + s)A = rA + sA
A+0=A=0+A
r (sA) = (rs)A
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie
Zij A een m × n-matrix en B = b1 b2 · · · bp een
n × p-matrix. Dan is het product van A en B de m × p-matrix
AB = A b1 b2 · · · bp = Ab1 Ab2 · · · Abp
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Opgelet
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Rij-Kolom Regel voor de Vermenigvuldiging
Zij A een m × n-matrix en B een n × p-matrix. Zij (AB)ij de
(i, j)-de positie van AB. Dan
X
(AB)i,j = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj =
aik bkj .
1≤k≤n
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling: Rekenregels
Zij A, B, C matrices zodat alle volgende sommen en producten zin
hebben. De volgende regels gelden.
A(BC ) = (AB)C
A(B + C ) = AB + BC
(B + C )A = BA + CA
r (AB) = (rA)B = A(rB)
associativiteit
links distributiviteit
rechts distributiviteit
voor elke scalair r
Im A = A = AIm

1 0 ··· 0 0
 0 1 ··· 0 0 


.. 
met Im = 
, de identiteitsmatrix van graad m.
 ...
. 


.
0 0 .. 0 1

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie: Machten
Zij A een n × n-matrix en k een positief geheel getal. Dan is
Ak = A · · · A (k keer).
Ook
A0 = In .
Er volgt, voor k, l positieve gehele getallen:
Ak+l = Ak Al en (Ak )l = Akl .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
commuterende matrices
Zij A en B matrices. Als AB = BA dan zegt men dat A en B
commuteren.
Waarschuwing
I
In het algemeen AB 6= BA.
I
In het algemeen mag je NIET vereenvoudigen. D.w.z. uit
AB = AC volgt in het algemeen niet dat B = C .
I
In het algemeen volgt uit AB = 0 NIET dat A = 0 of B = 0.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie: getransponeerde van een matrix
De getransponeerde matrix van een n × m-matrix A, genoteerd
AT , is de matrix waarvan de kolommen de rijen van A zijn. Dus
(wij verwisselen rijen en kolommen)
(AT )ij = Aji .
Rekenregels
Zij A en B matrices zodat de volgende sommen en producten zin
hebben. Er gelden
I
(AT )T = A
I
(A + B)T = AT + B T
I
(ra)T = rAT , voor elke scalair r
I
(AB)T = B T AT .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
2.2 De inverse van een matrix
Definite: inverteerbare matrix
Een n × n-matrix A is inverteerbaar als er een n × n-matrix C
bestaat zodat
CA = In = AC .
Men noemt C een inverse van A en als deze bestaat dan is die
uniek en wordt genoteerd
A−1 .
Dus
A A−1 = In = A−1 A.
Een matrix die NIET inverteerbaar is noemt men singulier en een
inverteerbare matrix noemt men niet singulier.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
a b
een 2 × 2-matrix. Als ad − bc 6= 0 dan is A
c d
inverteerbaar en
1
d −b
−1
A =
ad − bc −c a
Zij
Als ad − bc = 0 dan is A singulier.
Men noemt ad − bc de determinant van A, en men noteert
det(A) = ad − bc.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling: rekenregels
1. Als A een inverteerbare matrix is dan is ook A−1 een
inverteerbare matrix en
(A−1 )−1 = A.
2. Als A en B inverteerbare n × n-matrices zijn, dan is AB
inverteerbaar en
(AB)−1 = B −1 A−1 .
3. Als A een inverteerbare matrix is dan is ook AT
inverteerbaar en
(AT )−1 = (A−1 )T .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Zij A een inverteerbare n × n-matrix. Dan heeft voor elke b ∈ Rn
de vergelijking Ax = b een unieke oplossing
x = A−1 b.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Elementaire Matrices
Definitie
Een elementaire matrix is een matrix verkregen uit de
identitietsmatrix door er een elementaire rij operatie op uit te
voeren. Er zijn drie types. Voorbeelden:






1 0 0
0 1 0
1 0 0
E1 =  0 1 0  , E2 =  1 0 0  , E3 =  0 −5 0 
−7 0 1
0 0 1
0 0 1
Als men Ei A berekent dan voert men op A dezelfde elementaire rij
operatie als men op In gedaan heeft om Ei te verkrijgen.
Een elementaire matrix E is inverteerbaar. De inverse E −1 is van
hetzelfde type als E (het vormt E om in In ).
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Zij A een n × n-matrix. Dan, A is inverteerbaar als en slechts als A
rij equivalent is met In .
In dit geval, elementaire rij operaties die A omvormen tot In
hervormen ook In tot A−1 .
Algoritme voor het berekenen van A−1
Zij A een n × n-matrix. Rij-reduceer de uitgebreide matrix
[A In ] .
Als
is met In dan is [A In ] rijequivalent met
A−1rijequivalent
In A . Anders is A niet inverteerbaar.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
De inverteerbare matrix stelling
Zij A een n × n-matrix. Zijn equivalent:
I
A is inverteerbaar
I
A is rij equivalent met In
I
A heeft n spil (pivot) posities
I
de vergelijking Ax = 0 heeft slechts de nul oplossing
I
de kolommen van A zijn lineair onafhankelijk
I
de lineaire transformatie x 7→ Ax is injectief
I
de vergelijking Ax = b heeft een unieke oplossing voor all
b ∈ Rn
I
Rn is voortgebracht door de kolommen van A
I
de lineaire transformatie x 7→ Ax is surjectief
I
er bestaat een matric C zodat CA = In
I
er bestaat een matrix D zodat AD = In
I
AT is inverteerbaar
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie
Een lineaire transformatie Rn → Rn is inverteerbaar als er een
functie S : Rn → Rn bestaat zodat
S(T x) = x en T (S(x)) = x
voor alle x ∈ Rn .
Stelling
Zij T : Rn → Rn een lineaire transformatie met standaardmatrix A.
Dan is T inverteerbaar als en slechts als A is een inverteerbare
matrix.
In dit geval is S : Rn → Rn met S(x) = A−1 x de enige functie die
voldoet aan
S(T x) = x en T (S(x)) = x
voor alle x ∈ Rn .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
2.4 Matrixpartities
Matrix in blokvorm






A11
A21
..
.
A12
A22
Am1 Am2
met elke Aij zelf een matrix
···
···
..
.
A1n
A2n
..
.
Amn






1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Voorbeeld: blokvorm bovendriehoesmatrix

A11 A12 · · · A1n
 0 A22 · · · A2n

 .
..
 ..
.

..
0
0
. Ann
Een blokvorm diagonaal matrix

A11 0 · · ·
 0 A22 · · ·

 .
 ..

..
0
0
.
0
0
..
.












Ann
Men kan rekenregels gebruiken voor blokvorm zoals voor gewone
matrices (zolang de betrokken sommen en producten zin hebben).
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Matrixontbinding (Matrixfactorisatie)
LU Factorisatie
Veronderstel dat A een m × n-matrix is die kan gereduceerd
worden tot echalonvorm door rijoperaties die een veelvoud van een
rij bij een andere rij beneden deze rij optellen (dus GEEN
rijverwisselingen) dan bestaan er (eenheids-benedendriehoeks)
elementaire matrices E1 , . . . , Ep (m × m-matrices) zodat
(Ep · · · E1 )A = U ( rijechalonvorm van A)
A = LU
met L een eenheids-benedendriehoeksmatrix en U een
eenheids-bovendriehoekmatrix.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Algoritme
[A | Im ] −→ [U | M]
en
[M | Im ] −→ [Im | L] −→ A = LU
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
2.6 en 2.7 Toepassingen
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
DOEL
I
Een nieuw criterium voor de inverteerbaarheid van een
vierkante matrix A,
I
een formule voor A−1 en A−1 b,
I
een meetkundige interpretatie van een determinant.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
3.1 Determinanten
Determinant van 2 × 2 en 3 × 3-matrices.
Herinner
a11 a12
det
= a11 a22 − a12 a21
a21 a22
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Zij


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
Veronderstel a11 6= 0. Dan

a11
a12
a13
A ∼  a11 a21 a11 a22 a11 a23 
a11 a31 a11 a32 a11 a33


a11
a12
a13
∼  0 a11 a22 − a12 a21 a11 a23 − a13 a21 
0 a11 a32 − a12 a31 a11 a33 − a13 a31

veronderstel (2, 2)-positie is niet nul (anders werk met
(3, 3)-positie).
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec


a11
a12
a13
A ∼  0 a11 a22 − a12 a21 a11 a23 − a13 a21 
0
0
∆
met ∆ =
a11 a22 a33 +
+ a13 a21 a32 − a11 a23 a32− a12 a21 a33− a13 a22 a31
a12 a23 a31 a22 a23
a21 a23
a21 a22
= a11 det
− a12 det
+ a13 det
a32 a33
a31 a33
a31 a32
= a11 det A11 − a12 det A12 + a13 det A13
met Aij verkregen uit A door de i-de rij en j-de kolom te schrappen.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie
Zij A = [aij ] een n × n-matrix. De determinant van A is
det A = a11 det A11 − a12 det A12 + · · · + (−1)1+n a1n det A1n
n
X
=
(−1)1+j a1j det A1j
j=1
Men noemt
Cij = (−1)i+j det Aij
de (i, j)-de cofactor van A. Dus
det A = a11 C11 + a12 C12 + · · · + a1n C1n ,
de cofactor expansie volgens de eerste rij van A .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Zij A een n × n-matrix. Dan
det A = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin
cofactor expansie volgens i-de rij
= a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj
cofactor expansie volgens j-de kolom
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Zij A een triangulaire matrix, dan is
det A = a11 a22 · · · ann ,
het product van de diagonaal elementen.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
andere

 notatie voor determinant
a11 a12 · · · a1n

..
.. 
A =  ...
.
. 
an1 an2 · · · ann
a11 a12 · · ·
..
det A = ...
.
an1 an2 · · ·
a1n
..
.
ann
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
3.2 Eigenschappen van Determinanten
Stelling
Zij A een vierkante matrix.
1. Zij B verkregen uit A door bij een rij van A een aantal keer
een andere rij van A op te tellen. Dan det B = det A.
2. Zij B verkregen uit A door twee rijen te verwisselen. Dan
det B = − det A.
3. Zij B verkregen uit A door een rij van A te
vermenigvuldigen met een scalair c dan det B = c det A.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Zij A en B vierkante n × n matrices dan
1. A een inverteerbare matrix als en slechts det A 6= 0.
1. 2. det A = det AT
2. det(AB) = (det A) (det B)
3. T : Rn → R met
x 7→ T (x) = det
a1 · · ·
aj−1 x aj+1 · · · an
is lineair, d.w.z.
T (x + y) = T (x) + T (y) en T (cx) = cT (x).
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
3.3 Regel van Cramer, Volume en Lineaire Transformaties
Stelling: De regel van Cramer
Zij A een inverteerbare n × n-matrix. Voor b ∈ Rn is de enige
oplossing van Ax = b gegeven door
xi =
det Ai (b)
det A
(i = 1, . . . n)
met
Ai (b) =
a1 · · ·
ai−1 b ai+1 · · ·
an
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling: Formule voor de inverse
Zj A een inverteerbare n × n-matrix. Dan
A−1 =
1
adjA
det A
met



adj A = 


C11 C21 · · ·
C12 C22 · · ·
..
..
.
.
..
C
C
.
1n
2n
Cn1
Cn2
..
.



 en Cij = (−1)i+j det Aij


Cnn
de adjunct matrix van A (adjoint matrix).
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Oppervlakte en volume
Stelling
De oppervlakte van het parallellogram bepaald door a1 = (a, c) en
a2 = (b, d) is
a
b
|det [a1 a2 ]| = det
c d Bovendien
|det [a1 a2 ]| = |det [a1 a2 + ca1 ]|
(voor c 6= 0).
Zij A een 3 × 3-matrix. Het volume van het parallellopipedum
bepaald door de kolommen is
|det A| .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Zij T : R2 → R2 : x 7→ Ax een lineaire transformatie. Zij S een
parallellogram in R2 . Dan
{ oppervlakte van T (S)} = |detA| {oppervlakte van S}
Zij T : R3 → R3 : x 7→ Ax een lineaire transformatie. Zij S een
parallellopipedum in R3 . Dan
{ volume van T (S)} = |detA| {volume van S}
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
4.1 Vectorruimten en deelruimten
Een vectorruimte V is een niet-lege verzameling objecten
(vectoren) met twee operaties (optelling en vermenigvuldiging met
scalairen) die voldoen aan 10 voorwaarden (voor alle vectoren u, v
en w in V en alle scalairen c, d)
1. som van u en v, genoteerd u + v, is in V
2. u + v = v + u
3. (u + v) + w = u + (v + w)
4. er bestaat een nul vector 0 in V zodat 0 + u = u
5. voor elke v ∈ V bestaat een −v ∈ V zodat v + (−v) = 0
6. voor elke scalair c en voor elke v ∈ V is cv ∈ V
7. c(u + v) = cu + cv
8. (c + d)v = cv + dv
9. c(dv) = (cd)v
10. 1v = v
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Eigenschap
Voor elke v in een vectorruimte V en elke scalair c geldt:
0v = 0
c0 = 0
−v = (−1)v
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Voorbeelden
a b
1. M2,2 = {
| a, b, c, d ∈ R}, alle 2 × 2-matrices. De
c d
nulvector is de nulmatrix.
2. de verzameling van alle m × n-matrices.
3. Pn alle veeltermen van graad ten hoogste n:
r0 + r1 X + · · · + rn X n ,
met r0 , . . . , rn ∈ R.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie
Een deelruimte van een vectorruimte V is een deelverzameling H
van V zodat volgende eigenschappen gelden:
1. De nulvector 0 van V behoort tot H.
2. Voor elke u en v in H geldt: u + v ∈ H.
3. Voor elke v ∈ H en elke scalair c geldt: cv ∈ H.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Voorbeeld

 

 a
H =  0  | a, c ∈ R


c
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Voorbeeld van een niet deelruimte



a


H=  0 |a∈R


a+1
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Zij V een vectorruimte, v1 , v2 , . . . , vp ∈ V , c1 , c2 , . . . , cp ∈ R. Dan
is
c1 v1 + c2 v2 + · · · + cp vp
een lineaire combinatie.
Span{v1 , v2 , . . . , vp }
is de verzameling van alle lineaire combinaties van v1 , v2 , . . . , vp .
Dit is een deelruimte van V , genoemd de deelruimte voortgebracht
door v1 , v2 , . . . , vp .
Zij H een deelruimte van V . Men zegt dat H voortgebracht is door
w1 , w2 , . . . , wp ∈ V als Span{w1 , w2 , . . . , wp } = H.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
4.2 Nulruimten, Kolomruimten en Lineaire Transformaties
Definitie
De Nulruimte Nul(A) van een m × n-matrix A is
Nul(A) = {x | x ∈ Rn en Ax = 0}.
Eigenschap
Nul(A) is een deelruimte van Rn .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie
De Kolomruimte
Col(A) van een m × n-matrix
A = a1 a2 · · · an is
Col(A) = Span{a1 , a2 , . . . , an } = {b | b = Ax, x ∈ Rn }.
Dit is een deelruimte van Rm . Bovendien, Col(A) = Rm als en
slechts als Ax = b heeft een oplossing voor elke b ∈ Rm .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Voorbeeld Bereken Nul(A) voor A =
3 6 6 3 9
. Dus
6 12 13 0 3
wij zoeken x zodat Ax = {0}.
Oplossing:
3 6 6 3 9 0
3 6 6 3
9
0
∼
6 12 13 0 3 0
0 0 1 −6 −15 0
∼
1 2 2 1
3
0
1 2 0 13 33 0
∼
0 0 1 −6 −15 0
0 0 1 −6 −15 0

 

x1
−2x2 − 13x4 − 33x5
 x2  

x2

 

 x3  = 

6x4 + 15x5

 

 x4  

x4
x5
x5
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec






x1
x2
x3
x4
x5

−2x2 − 13x4 − 33x5



x2




 = 
6x
+
15x
4
5






x4
x5






−2
−13
−33
 1 
 0 
 0 











= x2 
 0  + x4  6  + x5  15 
 0 
 1 
 0 
0
0
1


Dus
Nul(A) = Span{u, v, w},
evenveel generatoren als vrije veranderlijken en deze vectoren zijn
(via deze methode) ook onafhankelijk.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie
Een lineaire transformatie T : V → W is een functie (d.w.z. een
regel die met elke vector v ∈ V een unieke x ∈ W associeert)
zodat
1. T (u + v) = T (u) + T (v), voor alle u, v ∈ V ;
2. T (cv) = cT (v), voor alle v ∈ V en scalairen c.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Kern
De kern van T is
kern(T ) = {v | v ∈ V en T (v) = 0}
= Nul(A) (als A de geassocieerde matrix is van T ).
Dit is een deelruimte van V .
Het beeld (range) van T is
T (V ) = {T (v) | v ∈ V } = Col(A),
als A de geassocieerde matrix is van T .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
4.3 Lineair Onafhankelijke Verzamelingen en Basis
Definitie
Een stel vectoren v1 , v2 , . . . , vp in een vectorruimte V is lineair
onafhankelijk als de enige oplossing van de vergelijking
c1 v1 + c2 v2 + · · · + cp vp = 0 (een lineaire afhankelijkeidsrelatie)
de nuloplossing is, d.w.z. c1 = c2 = · · · = cp = 0.
Als er niet-nulle oplossing bestaat dat noemt men het stel lineair
afhankelijk.
Een verzameling die de nulvector 0 bevat is lineair afhankelijk.
Een verzameling met twee vectoren is lineair afhankelijk als een
van de twee vectoren een veelvoud is van de andere vector.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Voorbeeld In P2 beschouw
p1 = x
p2 = 2x 2
p3 = x + 4x 2
Dan
p3 = p1 + 2p2
Dus {p1 , p2 , p3 } is lineair afhankelijk.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Een geı̈ndexeerde verzameling {v1 , v2 , . . . , vp } (met p ≥ 2 en
v1 6= 0) is lineair afhankelijk als en slechts als vj een lineaire
combinatie is van zijn voorgangers v1 , . . . , vj−1 , voor een j > 1.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie
Zij H een deelruimte van een vectorruimte V . Een verzameling
vectoren B = {b1 , b2 , . . . , bp } in V is een basis van H als
1. B is lineair onafhankelijk,
2. H = SpanB
Een basis is een efficiënte voortbrengende verzameling, het bevat
geen “onnodige vectoren”.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Voorbeeld
Zij H het vlak in volgende figuur.
Dan
I
Span{v1 , v2 } = H.
I
Span{v1 , v3 } = H.
I
Span{v2 , v3 } =
6 H.
I
Span{v1 , v2 , v3 } = H.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Zij S = {v1 , v2 , . . . , vp } een deelverzameling van een vectorruimte
V en zij H = SpanS.
1. Als vk een lineaire combinatie is van de andere vectoren in
S, dan is H = Span(S \ {vk }).
2. Als H 6= {0} dan is er een deelverzameling van S die een
basis is van H.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Voorbeelden
I
de standaard basis van R3 is
{e1 , e2 , e3 }
met
I


 
 
1
0
0
e1 =  0  , e2 =  1  , e3 =  0 
0
0
1
de standaard basis van Pn is {1, x, . . . , x n }.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Voorbeeld Is


 
 
1
0
1
{v1 =  2  , v2 =  1  , v3 =  0 }
0
1
3
een basis voor R3 ?
Oplossing Stel A = [v1 v2 v3 ]

 
1 0 1
A ∼  2 1 0 ∼
0 1 3
Dus is {v1 , v2 , v3 } een basis.
Dan



1 0 1
1 0 1
0 1 −2  ∼  0 1 −2 
0 1 3
0 0 5
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
is geen basis van
R3
is geen basis van
R3
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling: bases voor Nul(A) en Col(A)
I
Elementaire rijoperaties op een matrix hebben geen invloed op
de lineaire afhankelijkheid van de kolommen.
I
De spil (pivot) kolommen van A vormen een basis van Col(A).
Reden: Lineair afhankelijkheid van de kolommen van een matrix A
is bepaald door oplossingen van Ax = 0. Dus als A en B
rij-equivalent zijn dan zijn de oplossingen van Ax = 0 and Bx = 0
dezelfde.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Vind een basis voor Col(A) met


2 0
4
4 −1 3 

6 2 22 
8 0 16

2
0
0
0
1
 2
A = [a1 a2 a3 a4 ] = 
 3
4
Oplossing
1
 0
[a1 a2 a3 a4 ] ∼ 
 0
0
0
1
0
0

4
5 

0 
0
Dus
b2 = 2b1 , a2 = 2a1 ;
b4 = 4b1 + 5b3 , a4 = 4a1 + 5a3
Dus
Col(A) = Span{a1 , a2 , a3 , a4 } = Span{a1 , a3 }.
{a1 , a3 } is een basis voor Col(A)
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
4.4 Coördinaatsystemen
Stelling
Zij B = {b1 , b2 , . . . , bn } een basis van een vectorruimte V en
x ∈ V . Dan bestaan unieke scalairen c1 , c2 , . . . , cn zodat
x = c1 b1 + c2 b2 + · · · + cn bn .
Men noemt c1 , c2 , . . . , cn de coördinaten (gewichten) van x t.o.v.
de basis B. Notatie:


c1
 c2 


[x]B =  .  ,
.
 . 
cn
de B-coördinaatvector van x.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Matrix van coördinaatwissel
Zij B een basis van Rn . Stel
PB = b1 b2 · · ·
bn
,
de coördinaatverandering matrix van B naar de standaardbasis in
Rn . Dan de is de vectorvergelijking x = c1 b1 + c2 b2 + · · · + cn bn
hetzelfde als
x = PB [x]B
Merk op dat PB inverteerbaar is omdat de kolommen van PB een
basis vormen van Rn .
De functie
Rn → Rn : x 7→ PB−1 x = [x]B
is een injectieve en surjectieve lineaire transformatie (een
isomorfisme tussen Rn en Rn ).
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
De coördintaatafbeelding
Zij B = {b1 , . . . , bn } een basis van een vectorruimte V . De
coördintaatafbeelding
V → Rn : x 7→ [x]B
is een bijectieve lineaire transformatie.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Coördinaatfuncties laten ons toe om coördinaten in te voeren voor
“ongewone” vectorruimten.
Standardbasis voor P2 is B = {p1 , p2 , p3 } = {1, x, x 2 }.
Veeltermen in P2 “gedragen” zich als R3 omdat
a + bx + cx 2 = ap1 + bp2 + cp3
 
a
a + bx + cx 2 B =  b 
c
 
a
3
2

P2 → R : a + bx + cx 7→ b 
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
c2 = 4 en [x]B =
3
4
Dus c1 = 3 en
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
4.5 De dimensie van een vectorruimte
Stelling
Zij V een vectorruimte met een basis B = {b1 , b2 , . . . , bn }. Dan
I
Elke verzameling in V met meer dan n elementen is lineair
afhankelijk.
I
Elke basis van V heeft exact n elementen. Men noemt n de
dimensie van V ; notatie dim V = n.
dim{0} = 0. Een vectorruimte die een eindige basis (eindige
voortbrengende verzameling heeft) noemt men eindig dimensionaal.
In het ander geval noemt men die oneindig dimensionaal.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Zij V een eindig dimensionale vectorruimte en H een deelruimte.
Zij B 0 een lineair onafhankelijk deel van H, dan bestaat er een
basis B van H met B 0 ⊆ B. Ook
dim H ≤ dim V .
Basis Stelling
Zij V een n-dimensionale vectorruimte. Elke lineair onafhankelijke
deelverzameling van V met n elementen is een basis van V .
Elke deelverzameling B van V met n elementen en zodat
SpanB = V is een basis van V .
dim Rn = n
dim Pn = n + 1
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Deelruimten H van R3
I
dim H = 0, H = {0}.
I
dim H = 1, H is een rechte door de oorsprong 0.
I
dim H = 2, H is een vlak door de oorsprong.
I
dim H = 3, H = R3 .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Eigenschap
Zij A een n × m-matrix. Dan
I
dim Nul(A) = aantal vrije veranderlijken in de vergelijking
Ax = 0.
I
dim Col(A) = het aantal spil (pivot) kolommen in A.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
4.6 Rang van een Matrix
Definitie en Stelling
Zij A een m × n-matrix. De verzameling van alle lineaire
combinaties van de rij vectoren van A noemt men rijruimte van A,
genoteerd Row(A).
Row(A) = Col(AT ).
Als de matrices A en B rijequivalent zijn dan
Row(A) = Row(B).
Als B in echelonvorm is dan vormen de niet nul rijen van B een
basis van Row(A).
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie en Stelling
Zij A een m × n-matrix. De rang van een matrix A is
rank(A) = dim Col(A).
Bovendien
I
rank(A) = dim Col(A) = dim Row(A) =
aantal spil (pivot) kolommen in A.
I
dim Nul(A) = aantal niet spil kolommen van A =
aantal vrije veranderlijken.
I
rank(A) + dim Nul(A) = n.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Probleem Een wetenschapper lost een homogeen lineair systeem op
van 50 vergelijkingen in 54 onbekenden en ontdekt dat er 4 vrije
veranderlijken zijn. Kan de wetenschapper er zeker van zijn dat elk
geassocieerd niet-homogeen lineair systeem (met dezelfde
coefficiënten) een oplossing heeft? Oplossing Zij A de
coefficiëntenmatrix. Dan
rank(A) = dim col(A) = #spilkolommen
dim Nul(A) = #aantal vrije veranderlijken = 4
Dus
rank (A) + 4 = 54
of
rank (A) = 50 = #vergeljkingen
Dus elk systeem Ax = b heeft een oplossing.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
De inverteerbare matrix stelling
Zij A een n × n-matrix. De volgende eigenschappen zijn
equivalent.
I
A is inverteerbaar.
I
de kolommen van A vormen een basis voor Rn .
I
Col(A) = Rn
I
dim Col(A) = n
I
rank(A) = n
I
Nul(A) = {0}
I
dim Nul(A) = 0
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
4.7 Verandering van Basis
Stelling
Zij B = {b1 , b2 , . . . , bn } en C = {c1 , c2 , . . . , cn } basissen van een
vectorruimte V . Dan bestaat er een unieke matrix PC←B
(verandering van coördinaten matrix van B naar C) zodat
[x]C = (PC←B ) [x]B .
Bovendien
PC←B =
Voorbeeld in R2 .
[b1 ]C [b2 ]C · · ·
[bn ]C
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
4.8 en 4.9 Toepassingen
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
5.1 Eigenwaarden en eigenvectoren
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Definitie
Een eigenvector van een n × n-matrix A is een niet-nulle vector
x ∈ Rn zodat
Ax = λx,
voor een scalair λ.
λ noemt men een eigenwaarde.
De verzameling van alle x die oplossingen zijn van
(A − λIn )x = 0
is de nulruimte van de matrix A − λIn is een deelruimte van Rn ,
genoemd de eigenruimte van A corresponderend met λ.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec


2 0 0
Voorbeeld Zij A =  −1 3 1  en λ = 2 is een eigenwaarde.
−1 1 3
Bereken de eigenruimte van λ = 2.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Oplossing
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Oefening Zij λ een eigenwaarde van een matrix A. Bepaal een
eigenwaarde van A2 en A3 . Algemeen, wat is een eigenwaarde van
An . Oplossing Zij x een eigenvector met eigenwaarde λ.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Eigenschap
De eigenwaarden van een triangulaire matrix zijn de diagonaal
elementen.
Als v1 , . . . , vr eigenvectoren zijn met corresponderende
verschillende eigenwaarden λ1 , . . . , λr van een n × n-matrix A dan
zijn v1 , . . . , vr lineair onafhankelijk.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Eigenschappen van determinanten
Zij A en B n × n-matrices. Dan
I
A is inverteerbaar als en slechts als det A 6= 0.
I
det(AB) = det A det B
I
det AT = det A.
I
Als A triangulair is dan is det A het produkt van de
diagonaalelementen.
I
Een rij vervangen door een veelvoud van een andere rij op te
tellen verandert de determinant niet. Een rijverwisseling
verandert de determinant van teken. Een rij van A veranderen
door een c veelvoud verandert de determinant in c det A.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
5.2 De karakteristieke vergelijking
Stelling
Zij A een n × n-matrix en zij U een echelon vorm van A (verkregen
door rijverwisselingen en veelvouden van rijen bij andere rijen op te
tellen; GEEN rijen vermenigvulidigen met een scalair). Dan

(−1)r (produkt van spil elementen in U) als



A inverteerbaar is
det A =



0
anders
Dus het produkt van pivot elementen is uniek, terwijl de
echelonvorm niet uniek is.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Zij A een n × n-matrix. Dan zijn equivalent
I
A is inverteerbaar
I
0 is geen eigenwaarde van A
I
det A 6= 0.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Een scalair λ is een eigenwaarde van een n × n-matrix A als en
slechts als λ voldoet aan de karakteristieke vergelijking
det(A − λIn ) = 0.
Dit geeft een vergelijking van graad n in λ. De multipliciteit van λ
is de multipliciteit van λ als een nulpunt (wortel) van deze
vergelijking.
Eigenschap
Zij A en B n × n-matrices. Men noemt A en B equivalent als er
een inverteerbare matrix P bestaat zodat P −1 AP = B.
In dit geval, det A = det B.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
5.3 Diagonalisatie
Definitie
Een vierkant matrix A noemt men diagonaliseerbaar als A
equivalent is met een diagonaalmatrix. D.w.z. A = PDP −1 , voor
een inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D.
Dit is nuttig om bv gemakkelijk Ak te bereken voor een vierkante
matrix A.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Oefening Zij A =
A = PDP
−1
Oplossing: P −1 =
6 −1
. Veronderstel dat
2 3
metD =
2 −1
−1 1
5 0
0 4
en P =
1 1
1 2
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Diagonalisatiestelling
Zij A een n × n-matrix. Dan is A diagonaliseerbaar als en slechts
als A n lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft. Men noemt dit
een eigenbasis.
Bovendien A = PDP −1 (met D een diagonaalmatrix) als en slechts
als de kolommen van P zijn n lineair onafhankelijke eigenvectoren
van A. In dit geval zijn de diagonaalelementen van D de
eigenwaarden van A die corresponderen met de respectievelijke
kolommen.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Diagonaliseer indien mogelijk de matrix


2 0 0
A =  1 2 1 .
−1 0 1
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Een n × n-matrix met n verschillende eigenwaarden is
diagonaliseerbaar.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
Stelling
Zij A een n × n-matrix met verschillende eigenwaarden λ1 , . . . , λp .
I
De dimensie van de eigenruimte van λi is kleiner dan of gelijk
aan de multipliciteit van λ.
I
De matrix A is diagonaliseerbaar als en slechts als de som van
de dimensies van de eigenruimten gelijk is aan n. Dit gebeurt
slechts als de dimensie van de eigenruimte behorende bij elke
λk gelijk is aan de multipliciteit van λ.
I
Als A diagonaliseerbaar is en Bk is een basis van de
eigenruimte behorende bij λk (voor elke k) dan is
B1 ∪ · · · ∪ Bk
een basis van Rn .
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
5.4 Eigenvectoren en lineaire transformaties
Zij V en W vectorruimten met dim V = n en dim W = m. Zij
T : V → W een lineaire transformatie. Zij B = {b1 , . . . , bn } een
basis van V en C een basis van W . Zij x ∈ V . Dan
[x]B ∈ Rn
en
[T ([x])]C ∈ Rm .
Schrijf
x = r1 b1 + · · · + rn bn
dan


r1


[x]B =  ... 
rn
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
en
T (x) = T (r1 b1 + · · · + rn bn ) = r1 T (b1 ) + · · · + rn T (bn )
en dus
[T (x)]C = r1 [T (b1 )]C + · · · + rn [T (bn )]C
Bijgevolg
[T (x)]C = M [x]B
met
M=
[T (b1 )]C [T (b2 )]C · · ·
[T (bn )]C
Men noemt
M de matrix van T relatief t.o.v. de basissen B en C
(of transitiematrix)
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
5.5 Complexe eigenwaarden
Beschouw de matrix A =
0 −1
. De karakteristieke
1 0
vergelijking is
λ2 + 1 = 0
Deze heeft geen reele nulpunten. Maar wel complexe nulpunten: i
en −i.
Elke n-de graadsveelterm heeft n nulpunten in de complexe
getallen C = R + Ri.
De theorie van matrixeigenwaarden en eigenvectoren is uiteengezet
voor Rn , maar blijft gelden voor Cn .
Dus men noemt een complex getal λ een eigenwaarde van A als
det(A − λI ) = 0. Dit is equivalent met het bestaan van een niet
nulvector x ∈ Cn zodat Ax = λx.
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
5.6 en 5.7 Toepassingen
1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec
5.8 Iteratieve schattingen voor eigenwaarden