Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde
2.1 Vergelijkingen en rekenen met wortels
2.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
23 · 35 = 2 · 3 ·(3 · 5) = 615
23 · Error!12 = 2 · Error!(3 · 12) = 36 = 6
3a2 · a7 = 3a · a ·(2 · 7) = 3a2 14
4Error!·6 = 4 · (Error!·6 ) = 43
Error! = Error! = 2
Error! = Error!· Error! = Error!4 = Error!· 2 = 1
Error! = Error! = 6
Error! = Error! = a
Error! = Error! = ab
3.
a
b
c
d
e
f
(23)2 = 22 · (3)2 = 4 · 3 = 12
(Error!·6)2 = (Error!)2 · (6)2 = Error!· 6 = 1,5
(Error!2)2 = (Error!)2 (2)2 = Error!· 2 = Error! = Error!
(a2)2 = a2 ·(2)2 = 2a2
(Error!a2)2 = (Error!)2 · a2 · (2)2 = Error!·a2· 2 = Error!a2
(Error!a2)2 = (Error!)2 · a2 (2)2 = Error!· a2 · 2 = Error!a2
4.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
27 = (9 · 3) = 9 · 3 = 33
32 = (16 · 2) = 16 · 2 = 42
48 = (16 · 3) = 16 · 3 = 43
54 = (9 · 6 ) = 9 · 6 = 36
Error! = Error! = Error!
Error! = Error! = Error!
Error! = Error! = Error! = Error! 7
(Error!) = Error! = Error! = Error!3
(Error!) = Error! = Error! = Error!5
5.
a
b
c
d
e
f
18a = (9 · 2a) = 9 · 2a = 32a
3a2 = 3 · a2 = a3
(Error!a2) = Error!·a2 = Error!a
(Error!a2) = Error!a2 = Error!a = Error!a7
(Error!a2) = (2 · Error!·a2) = 2 · Error!· a2 = Error!a2
(Error!a2) = Error!· a2 = Error!a3
6.
a
b
c
7.
a
b
c
d
8.
a
b
of
c
9.
a
b
c
d
10
a
b
c
11.
a
b
c
d
12.
a
 QBA' = 90  BA'Q
 SA'T = 180  ( TA'B +  BA'Q) = 180  90   BA'Q = 90   BA'Q =  QBA'
Driehoeken TSA' en A'QB zijn gelijkvormig
dus Error! = Error!  ST · BQ = SA' · A'Q
ST = Error! = Error! = Error! = Error! = Error!a · Error!2 = Error!a2
ST = Error!a2 dus T op de helft
Vouw papier doormidden om punt T te vinden. Vouwlijn TB geeft punt A'
Zo vind je dus vouwlijn SQ en daarna RP.
6 × 2 = 12
AF = (AB2 + BF2) = (a2 + a2 = (2a2) = a2
Vanuit elk hoekpunt 1 lichaamsdiagonaal
Je telt ze op deze manier dubbel dus Error! = 4 lichaamsdiagonalen
BH = (EH2 +BE2) = (a2 + 2a2) = (3a2) = a3
 DNM gelijkvormig aan  BNA (zandloperfiguur)
dus MN : AN = AM : AB = 3 : 6 = 1 : 2
AM = AD2 + DM2) = (62 + 32) = 45 = (9 · 5) = 35
MN = Error!AM = 5
AN = Error!AM = 25
NS = Error!DB  DN
DN : NB = 1 : 2 (zandloperfiguur)
DB = (AB2 + AD2) = (62 + 62) = 62
DN = Error!DB = 22
NS = Error!6 2  22 = 2
Beschouw  ASN met s = 90
AS2 + NS2 = AN2  NS = (AN2  AS2)
AS = Error!AC = Error! (62 + 62) = Error!· 62 = 32
NS = ((25)2  (32)2) = (20  18) = 2
CN = AN = 25 (figuur is symmetrisch)
 BSD gelijkvormig  HSM
BS : HS = DB : HM = 2 : 1
DB = (62 + 62) = 62
HB = (62 + (62)2) = 63
BS = Error!HB = 43
MS : DS = DB : HM = 2 : 1
DM = (62 + (32)2) = 54 = (9 · 6) = 36
MS = Error!DM = 6
HS2 = (23)2 = 4 · 3 = 12
MS2 = (6)2 = 6
HM2 = (32)2 = 9 · 2 = 18
dus HS2 + MS2 = HM2 dus de stelling klopt
BH  DM volgt uit stelling van pythagoras want deze klopt alleen als  HSM = 90
BC = a2
BN = Error!BC = Error!a2
Voor  A'BN geldt A'B2 = A'N2 + BN2
dus A'N2 = A'B2  BN2 = a2  (Error!a2)2 = a2  Error! a2 · 2 = a2  Error!a2 = Error!a2
A'N = (Error!a2) = Error!a = Error!a = Error!a2
A'Q2 = A'B2  BQ2 = a2  (Error!a2)2 = a2  Error!a2 · 2 = Error!a2
A'Q = (Error!a2) = Error!a7
BL = Error!AD = Error! a2 > a
dus kan hij nooit bij deze lijn komen
O(DRS) + O(CQP) = O(ABCD)  O(ABPQRS) = 16  11 = 5
DS = 4  x
DR = Error!(4  x)
O(DRS) = O(CQP) = Error!· DS ·DR = Error!·(4  x) · Error!(4  x) = Error!(x  4)2
2(DRS) = 5
Error!(4  x)2 = 5
(4  x)2 = 10
4  x = 10
x = 4  10  0,84
AP = x  MP = AD  AP = 21,0  x
AP2 + AM2 = MP2
b
13.
a
b
c
d
x2 + 14,852 = (21  x)2
Voer in GR y1 = x2 + 14,852 en y2 = (21  x)2 en bepaal het snijpunt tussen beide lijnen.
x  5,25 dus AP  5,25
AB = BC2
Stel AD = a en AP = x
MP = a  x
AM = Error!AB = Error!a2
AP2 + AM2 = MP2
x2 + (Error!a2)2 = (a x)2
x2 + Error!a2 · 2 = (a  x)(a  x)
x2 + Error!a2 = a2  2ax + x2
Error!a2  2ax = 0
a(Error!a 2x) = 0
Error!a 2x = 0  2x = Error!a . x = Error!a oftewel AP = Error!AD
Hoogte 2 van 6dus zijde
afgenomen met Error!· 6 = 2
Zijden A'B' = 4
Schuine zijde (12 + 11 = 2
Stel zijde A'B' = A'S' = x
Stel AA' = a
A'S' = (a2 + a2) = a2 = x
 a = Error!
A'B' + 2AA' = AB
x + 2 Error! = 6
x (1 + Error!) = 6
x = Error!  2,49
De twee driehoeken zijn gelijkvormig
dus Error! = Error!
6  h = x  h = 6  x = 6  2,49  3,51
14.
Stelling van pythagoras
52 = x2 + (6  x)2
25 = x2 + (6 x)(6  x)
x2 +36  6x  6x + x2  25 = 0
2x2 12x + 9 = 0
D = (-12)2  4 · 2 · 9 = 56
x = Error!  x  1,13  x  4 ,87
BE  1,13
15.
a
b
16.
Diagonaal 4 kant = 2 · r = 2 · 6 = 12
Stel zijde 4 kant is a
Diagonaal = (a2 + a2) = a2 = 12  a = Error! = Error!2 · 12 = 62
Beschouw de driehoek ABM
 MBA = Error! B = Error! 60 = 30
sin 30 = Error!
 AM = MB sin 30 = 6 · Error! = 3
MB2 = AB2 + AM2
 AB2 = MB2  AM2 = 62  32
AB2 = 36  9 = 27
AB = 27 = 33
zijde driehoek = 2AB = 2 · 33 = 63
Stel AM = x
AB = Error!AC = Error!(x + 6)
MB2 = AM2 + AB2
62 = x2 + (Error!(x + 6))2
362 = x2 + Error!(x + 6)(x + 6)
144 = 4x2 + (x2 + 12x + 36)
5x2 + 12x  108 = 0
D = 122  4 · 5 · -108 = 2304
x = Error!
x = 3,6  x = -6
AC = 3,6 + 6 = 9,6
17.
Stel EF = x  FB = Error!(10  x)
FG = 2x
 GB = 3  Error!x
FG2 = FB2 + GB2
4x2 = Error!(10  x)2 + (3  Error!x)2
16x2 = (10 x)(10  x) + 4(3 Error!x)(3Error!x)
16x2 = 100  20x + x2 + 4(9  3x + Error!x2)
16x2 = x2  20x +100 + 36  12x + x2
14x2 + 32x  136 = 0
7x2 + 16x  68 = 0
D = 162  4 · 7 · -68 = 2160
x = Error! x  2,18  x  - 4,46 (n v t)
EF  2,18
2.2 Omtrek en oppervlakte
23.
Je kunt de trapezium opdelen in 2 driehoeken en een vierkant
stel dat de basis van de linker driehoek x is.
driehoek 1
heeft h als hoogte en x als basis
driehoek 2
heeft h als hoogte en a  b  x als basis
vierkant
b×h
Opp
=  1 +  2 + vierkant = Error!· x · h + Error!(a  b  x) · h + b · h
= Error!x · h + Error! ·a · h  Error!· b · h  Error!· x · h + b · h
= Error! a · h + Error!b · h = Error!(a + b) · h
24.
a
b
c
d
e
f
25.
a
b
c
26.
a
b
O = 13 + 5 + 7 + 5 = 30
h = (52  32) = 16 = 4
Opp = Error!(7 + 13) · 4 = 40
hoogte trapezium is helft van de oude dus 2
Afstand MN = Error!(13 + 7) = 10
O = 13 + 2,5 + 10 + 2,5 = 28
Opp = Error!(13 + 10) · 2 = 23
Neem punt D' op AB zodat DD' AB
 AD'D gelijkvormig aan  PQD
dus Error! = Error!  PQ = Error! = Error!· DQ
AD'= 3 en DD'= 4
PQ = Error! x
PR = 7 + 2 · Error!x = 7 + Error!x
(figuur is symmetrisch)
OppPRCD = Error!(7 + Error!x + 7 ) · x = 7x + Error!x2
7x + Error!x2 = 20
3x2 + 28x  80 = 0
D = 282  4 · 3 · -80 = 1744
x = Error!  x  2,29  x = -11,62 (n v t)
x = 2,29
uit gelijkvormigheid volgt Error! =Error! dus PD = Error!· PQ = Error!x
AP = AD  PD = 5  Error!x
OmARCD = 7 +(7 + 2 · Error!x) + 2 · Error!x = 14 +Error!x + Error!x = 14 + 4x
OmABRP = 13 +(7 + 2 · Error!x) + 2 (5  Error!x) = 20 + Error!x + 10  Error!x = 30  x
14 + 4x = 30  x
5x = 16  x = 3Error!
Voor driehoek AMD met hoek M = 90 geldt pythagoras
dus AD = (32 + 42) = 25 = 5
Dat geld ook voor de andere zijden
Omtrek = 4 · 5 = 20
Opp = 4 ·  AMD = 4 · Error!3 · 4 = 24
ruit heeft dus ook zijde 5
Stel AM = x  MD = (25  x2)
(pythagoras)
Opp = 4 · Error!x ·(25 x2) = 18 (vergelijking oplossen of met GR of algebraïsch)
x (25  x2) = 9 
x2 ·(25  x2) = 81 25x2  x4 = 81
4
2
 x  25x +81 = 0 Stel x2 = a
a2  25a + 81 = 0
D = 252  4 · 1 · 81 = 301
a = Error!  a  21,2  a  3,82 x = a  x = 4,60  x  1,955
De diagonalen dus 9,20 en 3,91
Stel Error!KM = x dus Error!LN = 2x
zijde ruit = (2x)2 + x2) = x5
Omtrek = 4 · zijde = 4x5 = 20
 x = Error! = 5
Opp = 4 · Error!· 5 · 25 = 20
Omtrek = 2 · AB + 2 · AD  AD = Error!Omtrek  AB = 15  10 = 5
Opp = AB · h  h = Error! = Error! = 4
sin  A = Error! = Error!   A = sin-1(Error!) = 53
4 · zijde = 30  zijde = 7,5
ruit opgebouwd uit 4 driehoeken met zijden x en y
er geldt x2 + y2 = 7,52  y = (7,52 x2)
opp = 4 · Error!x (7,52  x2) = 40
c
d
x(7,52  x2) = 20
Oplossen met GR
Voer in GR y1 = x(7,52  x2) en y2 = 20 en bepaal snijpunt
x = 2,9 (geeft y = 6,9)  x = 6,9 (geeft y = 2,9)
dus diagonalen 5,8 en 13,8
AB = 12  AD = 15  12 = 3
h = Error! = Error! = 3Error! Deze is groter dan 3 dus het is niet mogelijk
AB = x  AD = 15  x
Opp = AB · AD  AD = Error! = Error!
15  x = Error!  x(15  x) = 40 oplossen met GR of algebraïsch
15x  x2 = 40  x2  15x + 40 = 0
D = (-15)2  4 · 1 · 40 = 65
x = Error! x = 11,53  x = 3,5 (n v t AB < AD)
AB  11,5 en AD  3,5
27.
Voor de hoogte beschouw je 5 buizen in een kruis
de diagonaal = 2d + 2 ·((r2 + r2)  85 m
de breedte = 2r = 50 cm
Hoogte = (852  502)  69
Breedte = 3,5 · 25 = 87,5
Buiten omtrek hoogte = 69 + 6 = 75
Buiten breedte = 87,5 + 6 = 93,5
omtrek = 2 · (75 + 93,5) = 337 cm
28.
a
b
c
29.
a
b
30.
a
b
c
31.
a
b
c
32.
a
b
c
d
33.
a
b
Omtrek = 3 + 4 + 5 = 12
Opp = Error!· 3 · 4 = 6
Omtrek = 2 (1,5 + 2 + 2,5) = 12 blijft gelijk
Opp = 2 (Error!· 1,5 · 2) = 3
wordt de helft
omtrek blijft gelijk en de oppervlak wordt steeds gehalveerd
Oppervlak blijft steeds gelijk
Omtrek wordt 4 × de helft dus steeds 2 × zo groot dus op den duur oneindig groot
oppervlak wordt steeds een kwart kleiner dus gaat uiteindelijk naar 0
omtrek wordt steeds 3 × de helft dus 1,5 × zo groot dus uiteindelijk oneindig groot
omtrek = omtrek halve cirkel + kleine cirkel =  · 3 + 2 · 1,5 = 6 cm
Opp = Error! 32 = 4,5 cm
(een deel is de helft van de totale cirkel)
2
O(I) = Error! (Error!r) = Error! r2
O(I) is helft van de kleine cirkel
O(II) = Error!  r2
O(II) is een achtste van de grote cirkel
Omtrek (III) = Error! · 2 · 3 + Error!2 · 1,5 + 3 = 7Error! 14,78 cm
Opp weg = Opp grote ring  Opp kleine ring =  102   62 = 64 m2
Omtrek middenstreep = 2 · (Error!) = 16
Opp weg = 16 · (10  6) = 64 m2
Opp weg = Opp grote ring  Opp kleine ring =  R2  r2
lengte middensstreep = 2 · ( Error!)
lengte weg = R  r
2 ( Error!) · (R  r) =  (R + r)(R  r) = (R2  rR+ rR r2) = R2  r2 = Opp weg
O( ACD ) = Error! b · h = Error! DC · h = Error! 3 · 4 = 6
O( BCD = Error! b · h = Error! DC · h = Error! 3 · 4 = 6
O(  ACD) = O( BCD)
 ACD =  ASD +  DSC
}  ASD =  BSC
 BCD =  BSC +  DSC
Opp( 1 + 2) = Opp( 3 + 2)
2 driehoeken met dezelfde basis nl FG en de zelfde hoogte
 opp 1 = opp 3
Teken de lijn DP deze snijdt CA in S
Opp ACPQ = Opp BPQ
Opp ACPQ = Opp APQ + Opp APC
Opp APC = Opp DAP
2 driehoeken met dezelfde basis nl AP en dezelfde hoogte
Opp ACPQ = Opp APQ + Opp DAP = Opp DPQ
Opp DPQ = Opp BPQ als DQ = QB dus als Q op de helft van DB ligt
sin 20 = Error!  BP = AP sin 20 = 6 · sin 20 = 2,0521
AC = Error!
c
AC = AB  R - r = 6  2,0521  r = 3,9479  r
r = (3,9479  r) sin 20
r = 3,9479 · sin 20  sin 20 · r
(1 + sin 20) r = 3,9479 sin 20
3
r = 9479 · sin 20;1+ sin 20  1,006
d
AD = Error!  r = AD sin 20
AD = 6 + 2,0521 + r = 8,0521 + r
r = (8,0521 + r) · sin 20
(1 sin 20) r = 8,0521 · sin 20
8
r = 0521 · sin 20;1  sin 20  4,186
e
Opp rood = Opp ABB'  ACC'  Error!kleine cirkel  Error! grote cirkel
= Error!AB' · R Error!AC' · r  Error! r2  Error! R2
= Error!6 cos20 · 2,0521  Error! (6 2,0521  1,006)cos 20·1,006  Error!1,0062 
Error! 2,05212
= 5,785  1,391  0,618  2,572  1,205
omtrek = Error!grote cirkel + Error! kleine cirkel + C'B'
= Error!· 2 · 2,0521 + Error!·2 · 1,006 + 6cos 20  (6  2,0521  1,006) cos 20
= 2,507 + 1,229 + 5.638  2,764  6,61
2.3 De sinusregel en de cosinusregel
37.
a
b
c
d
sin  = Error! 
CD = b sin 
sin  = Error! 
CD = a sin 
CD = a sin  = b sin 
a sin  = b sin   a = Error! sin   Error! = Error!
38.
a
b
BE = a sin  = c sin   Error!= Error!
Als A = B en A = C dan geldt A = B = C
dus
Error!= Error! = Error! en dist is de sinus regel
39.
a
 +  +  = 180   = 180     = 180  50  75 = 55
6
= Error! = Error!
8;sin 50
6
b = sin 75 ·
 8,6
8;sin 50
6
c = sin 55 ·
 7,3
8;sin 50
b
c
40.
 = 48,0  = 76,0 c = 680 m
 = 180,0  48,0  76,0 = 56,0
Error!= Error!  BC = Error! sin 48 = 610 m
Error! = Error!  AC = Error! sin 76 = 796 m
41.
a
b
sin 10 = sin 170 = 0,1737
sin 50 = sin 130 = 0,7660
sin 29,3 = sin 150,7 = 0,4894
De punten zijn gespiegeld ten opzichte van de y-as dus dezelfde y-waarde
dus sin  = sin(180  )
42.
 DAC = 180  
sin  = Error!  CD = a sin 
sin  DAC = sin (180  ) = Error!  CD = b sin (180  )
sin (180  ) = sin   CD = b sin 
a sin  = b sin   Error! = Error!
Ditzelfde kun je ook doen door een punt E te vinden op verlengde van CA zodat  BEC = 90
zodat de gehele sinus regel geldt
43.
 = 20  = 110 a = 5,3
 = 180  20  110 = 50
b = sin  · Error! = sin 110 · Error! 14,6
c = sin  · Error! = sin 50 · Error!  11,9
44.
 = 50 a = 4 b = 3
a
b
Error!= Error!  4 sin  = 3 sin 50  sin  = Error!sin 50   = sin -1(Error!sin 50)
 35
 = 180  50  35  95
Error! = Error!  c = Error! · sin 95  5,2
45.
 = 50 a = 2,5 b = 3
a
b
sin  = Error!· sin  = Error! sin 50   = sin -1 (Error!sin 50)  67 
 = 180  50  67  63
c = sin  · Error!= sin 63 Error! = 2,9
c
 = 180  67 = 113
 = 180  50  113 = 17
c = sin  · Error!= sin 17 Error! = 1,0
46.
a is te klein
47.
 = 50 b = 3
a
De kortste afstand a is als hoek  = 90 (kleinste afstand B tot de lijn door AC is de loodlijn)
Error! = Error!  a = Error! sin 50 = 2.30
dus voor a < 2,30
geen driehoek mogelijk
b
voor a = 2,30 en a > 3
1 driehoek mogelijk
(voor a groter dan 3 is de
stompe hoek niet meer mogelijk)
c
voor 2,30 < a < 3
twee driehoeken mogelijk
48.
 = 41
a
b
c
d
a=5 b=6
Error! = Error!= Error!
5 sin  = 6 sin 41  sin  = Error! sin 41   = 52   = 180  52 = 128
 = 180  41  52 = 87 of  = 180  41  128 = 11
dus  = 52 en  = 87 of  = 128 en  = 11
Neem bv a = 7 ( waarde >6)
Error!= Error!  sin  = Error!sin 41   = sin-1(Error!sin 41) = 34   = 180 
34 = 146
 = 180  41  34 = 105   = 180  41  146 = -7 dus deze oplossing kan niet
dus maar 1 driehoek met  = 34 en  = 105
49.
Beschouw de driehoek ACD  DAC = 10,3 + 16,1 = 26,4  ACD = 71,8
  CDA = 180  26,4  71,8 = 81,8
AD;sin 71 235;sin 26
235;sin 26
=
 AD =
· sin 71,9 = 502,4 m
9
4
4
Beschouw driehoek ABD
 ABD = 180  152,7  16,1 = 11,2
AB;sin 152 502;sin 11
=
 AB = Error! · sin 152,7 = 1186 m
7
2
50.
a=4 b=5 c=6
a
b
Voor sinusregel moet een hoek bekend zijn
c
  41   56 en   83
52.
a
b
c
d
Driehoek met rechte hoek dus geldt pythagoras
a2 = (c  x)2 + h2 = (c  x)(c x) + h2 = c2  xc  xc + x2 + h2 = c2  2xc + x2 + h2
x2 + h2 = b2  h2 = b2  x2 invullen in de vergelijking van a
a2 = c2  2xc + x2 + b2  x2 = c2  2xc + b2
cos  = Error!  x = b cos 
a2 = b2 + c2  2bc cos  (vergelijking van c invullen in de vergelijking van b)
53.
a=4 b=5 c=6
a
cos  = Error! = Error! = Error! = Error!   = cos -1(Error!) = 41,4
cos  = Error! = Error! = Error!   = cos -1(Error!) = 55,8
= 180  41,4  55,8 = 82,8
b
54.
a
b
cos 10 = cos 170 = 0,9848
cos 50 = cos 130 = 0,6429
cos 29,3 = cos 150,7 = 0,8721
cos  = - cos (180  ) de punten zijn gespiegeld ten opzichte van de x-as
55.
Stel DA = x
CD2 = b2  x2
a2 = CD2 +(x + c)2 = b2  x2 + x2 + 2cx + c2 = b2 + c2 + 2xc
x = b cos(180 ) = b · -cos  = -b cos 
a2 = b2 + c2  2bccos 
56.
a=4 b=7 c=5
cos  = Error! = Error!   = cos -1 (Error!)  34
Cos  = Error! = Error!   = cos -1 (Error!)  102
 = 180  34  102  44
57.
a = 8 b = 7 c = 10
a
cos  = Error! = Error!   = cos -1 (Error!)  52,6
b
sin  = Error!  CC' = AC sin   7 sin 52,6  5,6
58.
 = 50 b = 5 c = 6
a
a2 = 52 + 62  2 · 5 · 6 cos 50 = 22,43  a  4,74
59.
a
b
c
60.
a
b
c
AC = (AB2 +BC2) = (62 + 42) = (36 + 16) = 52 =(4 · 13) = 213
AH = (AD2 + AE2) = (42 + 32) = (16 + 9) = 25 = 5
HC = (DC2 + DH2) = (62 + 32) = (36 + 9) = 45 = (9 · 5) = 35
cos  CAH = Error! = Error! = Error!  CAH = cos-1(Error!)  64
 DBH = tan-1 (Error!) = tan -1(Error!)  23
Je hebt hier de cos regel niet nodig omdat  HDB = 90
BG = (62 + 62) = 72 = 62
MG= (62 + 32) = 45 = 35
BM = (45 + 62) = 81 = 9
 BMG = cos -1 (Error!) = cos -1 (Error!) = cos -1 (Error!)  63
AM = 35
AG = (62 + 72) = 108 = 63
 AMG = 2 · sin -1(Error!)  102
 AMG is een gelijkbenige driehoek
of
 AMG = cos -1 (Error!) = cos -1(Error!) = cos-1 (-0,2) 102
MN = (32 + 32) = 18 = 32
AN = BM = 9
AM = 45 = 35
 AMN = cos -1 (Error!) = cos -1 (Error!) = cos -1( Error!) 108
61.
a
c
d
e
62.
a
b
c
een vierhoek is niet vormvast (D kan bijvoorbeeld naar rechts en C naar beneden)
O = Error! b · h = Error! ·16 · 8 sin 75  61,82
BD2 = AD2 + AB2  2AD · AB cos 75 = 82 + 162  2 · 8 · 16 ·cos 75 = 320  256 · cos 75
BD  15,93
 DBC = cos -1(Error!) = cos -1(Error!)  37,6
O = Error! b · h = Error!15 · 15,93 sin 37,6  72,90
O = 61,82 + 72,90  134,7
 ABM gelijkzijdig dus AB = 2 · AM sin Error! = 2 · 6378 sin 24 = 5188 km
 MAB = 90  Error!  = 90  24 = 66
 BAC = 180     MAB = 180  37,72  66 = 76,28
 ABC = 180     MBA = 180  11,03  66 = 102,97
 ACB = 180  102,97  76,28 = 0,75
Error! = Error!  AC = AB · Error! = 5188 · Error!  386234 km
dus in 100 km nauwkeurig AC  386200
2.4 Vectoren
65.
a
b
66
a
b
69.
70
72.

AB = (3,-1)

CD =(0,-2)

EF = (4,-2)

GH = (-3,0)
AB = (32 + 12) = 10
CD = 2
EF = (42 + 22) = 20 = 25
GH = 3
(2,1)
(17,23)
(2,-2)
c

AT

AR
a
b
c
v = a + a + a = (6,3)
w = (-4,-2)
a
I
a
II
III
IV
b
I
II
III
IV
73.
a
c
e
74.
(5,2)
 (7,3)
 (22,25)
g
a
b
b
d
(-3,-4)

(4,-1)

(19,21)

CQ

EP

a + 2b = HC

3b + 2c = HU

a + b + c = HJ

a + 3b + 2c = HT

a  b = OI

2b  c = OE

a + b  c = OC

a  b + c = OQ

HS = a + 2b + 2c

HT = a + 3b + 2c

HQ = a + 2c

KP = -a -2b
v = (2,52 + 22) = 3,2 km/u
t =Error!Error!= Error!= 0,04
b
d
f
h

HL

HK

DO

DX
= a + 3b + c
= a + 2b + c
= -a  2b + c
= -a  3b +2c
c
75.
76.
a
b
c
a
b
c
77.
a
b
s = v · t = 2 · 0,04 = 0,08 km
dus 80 m
s = v · t = 3,2 · 0,04 = 0,128 km
dus 128 m
v = (52  42) = 9 = 3 km/uur
t = Error!= Error! = Error! dus 2 minuten
v = (2002  802) = 183,3 km/u
t = Error!= Error! = 0,55 uur dus 0,55 · 60 = 33 minuten
twee mogelijkheden
gelijkzijdige driehoek
dus hoek = 2 · sin -1 (Error!) = 23
Verschuif Fz naar de kop van F1 de hoek tussen beide is 180  110 = 70
pas nu de cosinusregel toe
Fr2 = 152 + 202  2 · 15 · 20 cos 70 = 419,8  Fr = 20,5
Voor hoek met horizontaal gebruik je de sinusregel
Error!= Error!  Fr sin  = F1 sin 70  sin  = Error! sin 70 = Error! sin 70
 = 43,4 hoek = 90  43,5  46,6
evenwijdig met horizon dus vectoren vormen een driehoek met hoeken 90 , 20 en 70
sin 20 = Error!  F1 = Error! = 58,5 N
Fr = F1 cos 20 = 58,5 cos 20 = 54,9 N
78.
Ontbind de vectoren in een horizontale en een verticale component
Neem daarna alle verticale componenten samen en alle horizontale componenten.
Bepaal als laatste de resultante van de horizontale en verticale componenten.
Fverti = Fz + F1 cos 60 + F2 cos 20 = -200 + 300 cos 60 + 150 cos 20  91,0 N
Fhori = F1 sin 60  F2 sin 20 = 300 sin 60  150 sin 20  208,5
Fr = (91,02 +208,52)  227 N
hoek = tan-1 (Error!)  24
79.
F1 = Fz cos 20  470 N
F2 = Fz sin 20  171 N
80.
Voorwerp in rust dus geen netto krachten
dus verticale componenten van F1 en F2 zijn samen gelijk en tegengesteld aan Fz
0
sin 15 = 5 F ;F
z
81.
1
0
 F1 = 5F ;sin 15 = Error!  483 N
2
Fr = AB
Hoek Fr en Fw = 180  45  tan -1(Error!) = 116,6 
Hoek tussen Fr en Fvl bepalen met sinusregel
200;sin 116
= Error!  sin  = Error!sin 116,6   12,9
6
Hoek tussen vectoren = 180  116,6  12,9  50,6
cosinusregel voor resultante
Fr2 = 2502 + 502  2 · 250 · 50 cos 50,6  Fr = 222 km/u
Afgelegde afstand = (1002 + 3002) = 316 km
t = 1,42 uur = 85 minuten
82.
Fz = F1 cos 45 + F2 cos 80 = 500
F1 sin 45 = F2 sin 80  F1 = Error! F2 invullen in bovenste vergelijking
F2 Error!cos 45 + F2 cos 80 = 500
sin 45 = cos 45
 F2 = Error! = 432 N
 F1 = Error! · 431,6 = 601 N
2.5
Poolcoördin
aten
85.
a
3
C 2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
B
F
-3
-4
A
1 2 3 4 5
D
E
b
A, B en F
x-coördinaat = r cos 
y-coördinaat = r sin 
A(2 cos Error!; 2 sin Error!)
A(0,2)
B(3 cos 3; 3 sin 3)
B(-3,0)
C(4 cos Error! ; 4 sin Error!)
C(3,464;2)
D(42cos Error! ; 42sin Error!)
D(- 4,4)
E(-6 cos Error! ; -6 sin Error!)
E(3;-5,196)
F(r cos ; r sin )
86.
punt(r,)
A(2,Error!)
B((3,3)
C(4,Error!)
D(42;Error!)
E(-6, Error!)
F(r, 
87.
 = tan-1 (Error!) + k en r2 = x2 + y2
a
r =(12 + 22) = 5
 = tan -1 (Error!) = 1,107 dus A(5;1,11)
b
r = 5 en  = 1,107  2 = -5,176 dus A(5;-5,18)
c
r = -5  = 1,11 + 
A(-5;4.25)
d
r = -5 4,25  2
A(-5;-2,03)
88.
a
rood
b
groen
c
blauw
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
d
e
89
a
groen
rood
3
2
1
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
90.
a
b
1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
b
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
Grafiek lijkt een cirkel met straal 4 en
middelpunt (0,4)
(x  4)2 +y2 = 16
x = r cos  en y = r sin  invullen in vgl geeft
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
4
3
2
1
-1-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(r cos   4)2 + (r sin )2 = 16
r2 cos2   8rcos  + 16 + r2 sin2  = 16
r2(sin2  + cos2 )  8r cos  = 0
r2  8r cos  = 0
r(r  8 cos ) = 0
r = 0  r = 8 cos 
r = 0 oorsprong  r = 8 cos  geeft cirkel met middelpunt (4,0) en straal 4
91.
92.
r = 6 cos  + 8 sin   [0,2]
a
b
Lijkt een cirkel met
middelpunt (3,4) en straal 5
(x  3)2 + (y  4)2 = 25
x = r cos  en y = r sin 
(r cos   3)2 + (r sin   4)2 = 25
r2 cos2   6r cos  + 9 + r2 sin2   8r sin  + 16 = 25
r2 (cos2  + sin2 )  6r cos   8r sin  = 0
r(r  6 cos   8 sin ) = 0
r = 0  r = 6 cos  + 8 sin 
a
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -1-1
-2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
figuur past in een cirkel met straal 5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
b
93.
1 2 3 4 5
3 lussen dus r sin (3)
past in een straal van 6 dus r = 6 sin 3 met  [0,]
r = 2 + 4 cos 
a
b
Bepaal de snijpunten met x-as met
optie trace
 = 0 ,   2,09 en   4,19
c
3
2
1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
5
6
7