Waar/vals-vragen (+ uitleg)

Suggesties,aanvullingen,verbeteringen,…->[email protected]
Mijn dank aan al diegenen die me hebben gemaild voor opmerkingen!
Waar/vals-vragen (+ uitleg)
1) De ruimte Rn, verminderd met een aftelbaar oneindig aantal singletons, is steeds een
open
verzameling.
Vals, Q^n is een aftelbare verzameling, en het complement is niet open.
2) Een sfeer (of boloppervlak) is een gesloten verzameling in R3.
Waar
Van Wouter Dierckx:
Beschouw S = het complement van de sfeer T. Kies nu een willekeurige x in S.
Bepaal r = min ( ||x-t||, t in T) (of in rand T, maar dat maakt niet uit).
We weten dat r steeds > 0.
Nu geldt voor alle y in B(x, r) : || x-y|| < r = min(||x-t||) <= ||x-t||, met t willekeurig uit
T.
Bijgevolg behoort B(x,r) volledig tot S. Gezien het complement van T een open
verzameling is, is T gesloten.
3) De verzameling punten, gedefinieerd door x2 + y2 < 4 en z = 2, is open in R3.
Vals (iets vlak kan nooit in driedimensionele ruimte open zijn)
4)De verzameling punten, gedefinieerd door 3x2 + 2y2 - 4y + z2 = 0, is een gesloten
verzameling
in R3.
Waar (het is een ellipsoide)
5)De verzameling punten, gedefinieerd door 2x+y = 5, is noch een open noch een
gesloten
verzameling in R3.
Vals, het is wel gesloten
6) De verzameling punten, gedefinieerd door x = y = z, is noch een open noch een
gesloten
verzameling in R3.
Vals, het is gesloten
7)De verzameling punten, gedefinieerd door x - y = 0, y + z = 0, is noch een open noch
een gesloten verzameling in R3.
Vals, het is gesloten.
8) Als de functie f : Rn ! R continu is in het gebied {xi _ 0 : i = 1 . . . n}, dan bereikt f in
dit gebied een absoluut minimum.
Vals, (de stelling gaat hier niet op want dit gebied is niet compact) tegenvoorbeeld :
exp(-prod(xi,i=1..n))
9) Als de functie f : Rn ! R continu is in het gebied {0 _ xi _ 1 : i = 1 . . . n - 1}, dan
bereikt f in dit gebied een absoluut minimum.
Vals, (de stelling gaat hier weeral niet op, xn is niet begrensd), tegenvoorbeeld : exp(xn)
10)Zij f een continue functie op R3, dan zal f in de verzameling x ^2+ y^2 =1 een absoluut
maximum bereiken.
Vals (het is hier geen compactum), tegenvoorbeeld : de functie z
11)Zij f een continue functie op R3, dan zal f in de verzameling 3x2 + y2 - 2y _ 0 een
absoluut maximum bereiken.
Vals (het is hier geen compactum), tegenvoorbeeld : de functie z
12) In het co¨ordinatenstelsel (r, phi , theta), waarbij x = r cos (theta) y = r sin (theta) sin
(phi), z = r sin (theta) cos (phi)
stelt de vergelijking theta= a, a constant, een kegeloppervlak met de x-as als
symmetrieas
voor.
Waar
Wouter Dierckx : We kunnen schrijven:
x=c*r, y= k*r*sin(t), z = k*r*cos(t)
Dus : y^2+z^2 = k^2/c^2 * x^2 : wat een karakteristieke vergelijking voor een
kegel is.
De parallelcirkels staan duidelijk loodrecht op de X-as, dus de x-as is de
symmetrieas.
13) In het coördinatenstelsel (u, v), waarbij x = 2uv, y = u2 - v2, stelt de vergelijking v = a
(a constant) een parabool voor met de y-as als symmetrie-as.
Waar
14) De transformatieformules x = r cos(theta), y = r sin(theta) van cartesiaanse naar
poolcoördinaten
zijn inverteerbaar in elk open deelgebied van {(r, theta) : r > 0}.
Niet waar, fout opgemerkt door Wouter Dierckx
Er is geen restrictie voor theta, dus als je wilt terugkeren van x en y naar theta, is een
verschil van 2*k*Pi toegelaten
Zo kan men aan het punt (sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) zowel r=1,theta=Pi/4, als r=1 en
theta=9*Pi/4 toekennen
15) De transformatieformules x = r cos(theta), y = r sin(theta) van cartesiaanse naar
poolcoördinaten
zijn inverteerbaar in {(r, theta) : r > 0, 0 < theta< 2*Pi}.
Waar, zoals in de theorie maar hier aan de rechterkant een stukje eruit
16) De transformatieformules x = r cos(theta), y = r sin(theta), z = z van cartesiaanse
naar cilindercoördinaten zijn inverteerbaar in elk open deelgebied van {(r, theta, z) : r >
0}.
Vals, fout opgemerkt door Wouter Dierckx , zelfde als bij 14
17) De transformatieformules x = r cos(theta), y = r sin(theta), z = z van cartesiaanse
naar cilindercoördinaten zijn inverteerbaar in {(r, theta, z) : r > 0, -Pi < theta < Pi}.
Waar, zoals in de theorie
18) De transformatieformules x = 2uv, y = u2 - v2 zijn inverteerbaar in elk open
deelgebied
van {(u, v) : u > 0, v > 0}.
Wouter Dierckx:
Schijnbaar gaat x van 0 tot +oneindig, en gaat y van –oneindig tot +oneindig.
We kunnen stellen: x² +y² = (u² + v²)²
Dus: (sqrt(x²+y²) – y)/2 = v²
(sqrt(x²+y²)+y)/2 = u²
Testen:
x= 2*u*v = 2* sqrt( (sqrt(x²+y²)+y)/2 * (sqrt(x²+y²)-y)/2 ) = sqrt( x²+y²-y²) : ok,
gezien x>=0.
y= u²-v² = ½* (sqrt(x²+y²)+y – sqrt(x²+y²) +y) = y , voor alle y eenduidig bepaald,
vanwege die y-term van oneven graad, dus inverteerbaar.
19) De transformatieformules x = 2uv, y = u2 - v2 zijn inverteerbaar in elk open
deelgebied
van {(u, v) : v >0}.
Waar, men ziet snel in dat de oorsprong niet kan bereikt worden hier
als we nu gewoon in bovenstaande formules voor u^2 en v^2, voor v telkens de
positieve wortel nemen, en dan u=x/(2*v)
20) De transformatieformules x = 2uv, y = u2-v2 zijn inverteerbaar in {(u, v) : u < 0, v > 0}.
Waar : gewoon in de eerder vermelde betrekking voor u de negatieve wortel nemen en
voor v de positieve
21) De transformatieformules x = r cos _, y = r sin _ sin _, z = r sin _ cos _ zijn
inverteerbaar
in elk open deelgebied van {(r, _, _) : r > 0, 0 < _ < 2_, 0 < _ < _}.
Nu ja… sqrt(y² + z²) = Y (met Y de y van poolcoördinaten).
Dus t = arctan( sqrt(y²+z²)/x)
p = arctan( y/z)
r = sqrt(x²+y²+z²)
Test :
t = arctan( sqrt(y²+z²)/x) = arctan( sin(t)/cos(t) ) = arctan(tan(t)) . Merk op dat dit
dezelfde problemen schept. Immers, t = t0 en t= t0+Pi geven dezelfde tan-waarde.
22) De functie f : x -> f(x) = |x| is continu differentieerbaar in B(0, 1) deelv. Rn.
Vals
Vanwege het feit dat f´(x) = lim(x->0) (f(x) – f(0)) / x = onbepaald
23) De functie f : x -> f(x) = |x| is continu differentieerbaar in coB(0, 1) _ Rn.
Vals
Is bijvoorbeeld niet afleidbaar naar x in (0,2) (in het tweedimensionale geval)
24)Als de functie f : Rn -> R parti¨ele afgeleiden naar alle variabelen bezit in _ Rn, dan
is f continu in .
Vals, als ze echter ook nog es allemaal continu zijn, is f er zelfs differentieerbaar
25)Als de functie f : Rn -> R continue parti¨ele afgeleiden naar alle variabelen bezit in
_ Rn, dan is f continu in .
Waar
26) Als de functie f : Rn ! R di_erentieerbaar is in _ Rn, dan bezit f parti¨ele afgeleiden
naar alle variabelen in .
Waar
27) Voor een functie f die continu di_erentieerbaar is in een open gebied deelv. R2, is
het
mogelijk dat D12f <> D21f in .
Waar, Schwarz is bewezen voor tweemaal continu differentieerbare.
28) Voor een functie f 2 C2(), _ Rn, is het mogelijk dat D1nf 6<> Dn1f in .
Vals, gaat in tegen Schwarz
29) Als de functie f : x -> f(x) in R niet continu differentieerbaar is in het punt a, dan kan
f in dit punt geen lokaal extremum bereiken.
Vals, je zal echter niet kunnen gaan onderzoeken met de theorie van afleiden
Vb: abs(x)
30) De vergelijking x2 +y2 +z2 = 1 definieert op impliciete wijze een unieke continue
functie
z(x, y) in een omgeving van het punt ( 1/sqrt(3),1/sqrt(3)))
.
Vals, z=sqrt(1-x*x-y*y) is goed maar ook z=-sqrt(1-x*x-y*y)
Gaan werken met de stelling der impliciete functies heeft geen zin want men specifieert
niet voor welke z men wil werken op die bol.
31) De vergelijking x2 +y2 +z2 = 1 definieert op impliciete wijze een unieke continue
functie
z(x, y) in een omgeving van het punt 1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3))
Waar, de afgeleide naar z is er niet nul , dus het kan
32) De vergelijking x2+y2 = 1 definieert op impliciete wijze twee functies y(x) in het
interval
] - 1, 1[.
Vals, (gezien in les), ze moeten niet continu zijn dus er zijn zeer veel mogelijkheden
33) Als f(x, y, z) continu en positief is in het gesloten gebied G _ R3 dan stelt RG fdV het
volume voor van het lichaam omsloten door het oppervlak f(x, y, z) = 0.
Vals, over een compactum 1 integreren geeft volume. Dit is zeker vals, immers 2*f
integreren zou dan ook het volume moeten geven (volledig absurd dus…)
Voor deze laatste kijk je best naar de oorspronkelijke pdf, dit is hopeloos verknoeid in
Word...
Volgens mij zijn ze allemaal vals, immers als je met de constante functie 1 werkt dan
krijg je in alledrie aan de ene kant een getal, terwijl je aan de andere kant iets overhoudt
dat afhangt van x, of een andere variabele, wat uiteraard niet kan (je moet alle
veranderlijken uitintegreren)
34)De integreerbaarheid van de functie f over het beschouwde gebied in R2 vervuld
zijnde,
geldt er: Z b
a
dx Z _(x)
_(x)
f(x, y)dy = Z _(x)
_(x)
dy Z b
a
f(x, y)dx
.
35) De integreerbaarheid van de functie f over het beschouwde gebied in R2 vervuld
zijnde,
geldt er: Z _
_
d_ Z g(_)
f(_)
rf(r, _)dr = Z g(_)
f(_)
rdr Z _
_
f(r, _)d_.
36) De integreerbaarheid van de functie f over het beschouwde gebied in R2 vervuld
zijnde,
geldt er: Z _
_
d_ Z g(_)
f(_)
rf(r, _)dr = Z g(_)
f(_)
rdr Z _
_
f(r, _)d_.