Document

Differentiaalvergelijkingen
Les 1
Wat is een differentiaalvergelijking?
(Deze les sluit aan bij de paragraaf 1 van
Continue Dynamische Processen van de Wageningse Methode)
De wereldbevolking
Op 1 januari 2016 telt de wereldbevolking 7,44 miljard mensen.
Volgens de grafiek is dit aantal 10 miljard in 2050.
Kan dit kloppen?
De wereldbevolking
Stel dat de wereldbevolking jaarlijks met 1,1% groeit.
A(n) is het aantal mensen op de wereld in jaar n.
A(2016) = 7,440.000.000 = 7,44⋅109.
Dan is A(n+1) = A(n) ⋅ 1,011
En A(n+k) = A(n) ⋅ (1,011)k
De wereldbevolking
Stel dat de wereldbevolking jaarlijks met 1,1% groeit.
A(n) is het aantal mensen op de wereld in jaar n.
A(2016) = 7,440.000.000 = 7,44⋅109.
Dan is A(n+1) = A(n) ⋅ 1,011
En A(n+k) = A(n) ⋅ (1,011)k
A(2050) = A(2016) ⋅ (1,011)34 = 7,44⋅109 ⋅1,45 = 10,79 ⋅109
Dat is iets meer dan 10 miljard.
De differentievergelijking
De jaarlijkse groei kun je berekenen met A(n+1) = A(n) ⋅ 1,011
De differentievergelijking is:
∆A(n) = A(n+1) − A(n) =
= A(n) ⋅ 1,011 − A(n) =
= A(n) ⋅ (1,011 − 1) =
= A(n) ⋅ 0,011 = 0,011 ⋅ A(n)
De differentievergelijking
De differentievergelijking is:
∆A(n) = 0,011 ⋅ A(n)
Gevraagd:
Een functie A(n) die voldoet aan ∆A(n) = 0,011 ⋅ A(n)
De differentievergelijking
De differentievergelijking is:
∆A(n) = 0,011 ⋅ A(n)
Gevraagd:
Een functie A(n) die voldoet aan ∆A(n) = 0,011 ⋅ A(n)
Oplossing:
A(n) = A(0) ⋅ (1,011)n
De differentievergelijking
De differentievergelijking is:
∆A(n) = 0,011 ⋅ A(n)
∆A(n) is de toename/afname van A in jaar n.
Deze is evenredig met het aantal A in jaar n.
De differentievergelijking
Maak opgave 2.
De wereldbevolking
(van discreet model naar continu model)
N(t) is het aantal personen op tijdstip t.
∆t is een klein tijdsinterval.
g is het aantal geboorten in ∆t.
s is het aantal sterftegevallen in ∆t.
is dan het groeipercentage.
Aanname:
∆N is evenredig met N, met
∆
∆
∆
=
=
·
·
·∆
en met ∆t.
De wereldbevolking
een continu model
N(t) is het aantal personen op tijdstip t.
∆t is een klein tijdsinterval.
g is het aantal geboorten in ∆t.
s is het aantal sterftegevallen in ∆t.
is dan het groeipercentage.
Aanname:
∆N is evenredig met N, met g − s en met ∆t.
∆ =
· ·∆
∆
∆
=
·
Laat ∆t naar 0 naderen:
∆
=
· wordt
=
∆
·
De differentiaalvergelijking
N(t) is het aantal personen op tijdstip t.
∆t is een klein tijdsinterval.
g is het aantal geboorten in ∆t.
s is het aantal sterftegevallen in ∆t.
Als je ∆t naar 0 laat naderen gaat de differentievergelijking
over in een differentiaalvergelijking.
d
−
=
·
100
d
=
·
(onder de aanname dat de groei evenredig is met N).
De differentiaalvergelijking
Maak nu opgave 3.
De e-macht
Het getal e (het getal van Euler) heeft de bijzondere
eigenschap dat de afgeleide van
gelijk is aan .
Dus:
e ≈ 2,71
=
De differentiaalvergelijking
Voorbeeld (opgave 4)
T is de temperatuur van een ketel water (in °C).
t is de tijd (in minuten).
T(0) = 100.
Aanname:
De temperatuurdaling is evenredig met T en ∆t.
De differentiaalvergelijking
Voorbeeld (opgave 4)
T is de temperatuur van een ketel water (in °C).
t is de tijd (in minuten).
T(0) = 100.
Aanname:
De temperatuurdaling is evenredig met T en ∆t.
In formule:
+∆
−
=− ·
·∆
( > 0)
De differentiaalvergelijking
Voorbeeld (opgave 4)
T is de temperatuur van een ketel water (in °C).
t is de tijd (in minuten).
T(0) = 100.
Aanname:
De temperatuurdaling is evenredig met T en ∆t.
In formule:
# $∆
∆
+∆
#
−
=− ·
=− ·
·∆
( > 0)
De differentiaalvergelijking
Voorbeeld (opgave 4)
T is de temperatuur van een ketel water (in °C).
t is de tijd (in minuten).
T(0) = 100.
Aanname:
De temperatuurdaling is evenredig met T en ∆t.
In formule:
+∆
# $∆
∆
Als ∆
−
#
=− ·
·∆
( > 0)
%
=− ·
=− ·
0 gaat de vergelijking over in:
De differentiaalvergelijking
Voorbeeld (opgave 4)
T is de temperatuur van een ketel water (in °C).
t is de tijd (in minuten).
T(0) = 100.
De differentiaalvergelijking is:
=&·
'
%
=− ·
is een oplossing van de vergelijking.
De differentiaalvergelijking
Voorbeeld (opgave 4)
T is de temperatuur van een ketel water (in °C).
t is de tijd (in minuten).
T(0) = 100.
De differentiaalvergelijking is:
=&·
'
Controle:
(
%
=
&·
(
%
=− ·
is een oplossing van de vergelijking.
'
=&· −
·
'
=− ·&·
'
=− · ( )
De differentiaalvergelijking
Voorbeeld (opgave 4)
T is de temperatuur van een ketel water (in °C).
t is de tijd (in minuten).
T(0) = 100.
De differentiaalvergelijking is:
'
=&·
0 = 100
Dus
%
=− ·
is een oplossing van de vergelijking.
100 = & ·
= 100 ·
'
'·
= &.
Oefenen
Lezen: bladzijde 1 tot en met 6 van paragraaf 0 en 1.
Maken: opgaven 1 tot en met 4.
Huiswerk
Inleveren: opgave 5.