Prijsbepaling Parijse optie met onderliggende waarde die een

Technische Universiteit Delft
Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
Delft Institute of Applied Mathematics
Prijsbepaling Parijse optie met onderliggende
waarde die een sprong-diffusie proces volgt
(Engelse titel: Parisian Option Pricing When the
Underlying Security Price Follows a Jump-Diffusion
Process)
Verslag ten behoeve van het
Delft Institute of Applied Mathematics
als onderdeel ter verkrijging
van de graad van
BACHELOR OF SCIENCE
in
TECHNISCHE WISKUNDE
door
R.W.B. VAN DER WEIJST
Delft, Nederland
Juli 2013
c 2013 door R.W.B. van der Weijst. Alle rechten voorbehouden.
Copyright BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE
“Prijsbepaling Parijse optie met onderliggende waarde die een sprong-diffusie
proces volgt”
(Engelse titel: “Parisian Option Pricing When the Underlying Security Price
Follows a Jump-Diffusion Process”)
R.W.B. VAN DER WEIJST
Technische Universiteit Delft
Begeleider
Dr.ir. J.H.M. Anderluh
Overige commissieleden
Prof.dr.ir. A.W. Heemink
Dr. J.G. Spandaw
Juli, 2013
Delft
Samenvatting
Een Europese calloptie is een recht om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde
prijs, de uitoefenprijs, te kopen op de expiratiedatum. Een barrieroptie is een exotische optie
waarbij de uitbetaling afhangt van het raken van koers van de onderliggende waarde van de
barrière gedurende de looptijd. Bij Parijse barrieropties is het ook nog van belang hoe lang de
excursie boven (of onder) de barrière is voor een knock-in dan wel een knock-out.
De prijsbepaling van barrieropties, die van groot belang is in de financiële wereld, wordt dus
bepaald door het prijsproces van de onderliggende waarde, waarbij niet enkel de prijs van de
onderliggende waarde op het moment van expiratie, maar gedurende het hele prijsproces van
belang is. Dit prijsproces kan worden gezien als een sprong-diffusieproces, waarbij het model
gebruikmaakt van een aantal sprongen dat Poisson verdeeld is. In deze scriptie wordt de risiconeutrale prijs van opties bepaald met de Monte-Carlomethode die het gemiddelde neemt van de
waarde van opties bij verschillende onafhankelijke prijsprocessen. Dit geeft een zuivere schatting
van de optieprijs bij de sprong-diffusieprocessen.
Bij de simulatie van een prijsproces voor het schatten van de prijs van een standaard barrieroptie
kunnen effectprijzen worden berekend op verschillende tijdstippen en dan kan worden berekend
of de barrière is geraakt gedurende een interval tussen twee tijdstippen.
Voor de prijsbepaling van een Parijse optie zijn raaktijden van de barrière van belang. De exittijd
op een bepaald moment, het laatste tijdstip voor dat moment waarop de barrière geraakt is
evenals de raaktijden kunnen worden berekend voor een prijsproces zonder drift. Het aanpassen
van de kansruimte zorgt ervoor dat het mogelijk is simulaties zonder drift te genereren die leiden
tot een schatter, waarbij de koers van de onderliggende waarde wel drift heeft. Uit de resultaten
blijkt dat stratificatie naar het aantal sprongen variantiereductie oplevert. Eveneens blijkt uit
de resultaten dat het aantal sprongen van invloed is op de optieprijs en op de rekentijd.
v
Voorwoord
Een jaar of tien, elf moet ik zijn geweest toen ik de beurskoersen in de krant ging bijhouden.
’s Ochtends de krant openslaan, het nieuws lezen en de indices bijhouden was een standaard
doordeweeks ochtendritueel. Aandelen waren de eerste financiële producten die me bezig hielden,
later kwamen daar ook obligaties en opties bij.
De passie voor het analyseren van patronen en structuren is een belangrijk aspect waarom ik
Technische Wiskunde ben gaan studeren. Patronen en structuren zijn overal terug te vinden in
de natuur en in de samenleving en wiskunde duidt verbanden aan en probeert inzicht te geven
in structuren.
De interesse voor de finaniciële markten, waar eveneens patronen en structuren in te herkennen
zijn is nooit verdwenen en heeft er toe geleid deze scriptie te schrijven. Deze scriptie vormt het
sluitstuk van de bachelor Technische Wiskunde aan de Technische Universiteit Delft. Hierbij
dank ik mijn begeleider Dr.ir. J.H.M. Anderluh voor zijn ondersteuning bij het tot stand komen
van deze publicatie. Verder rest mij niets dan u veel leesplezier toe te wensen.
R.W.B. van der Weijst
vii
Inhoudsopgave
Samenvatting
v
Voorwoord
vii
Introductie
1
I
Opties
I.0.1
I.0.2
Nomenclatuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Barrieroptie en Parijse optie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Prijsproces van de onderliggende waarde
II.1 Geometrische Brownse beweging . . . . .
II.1.1 Sprongen . . . . . . . . . . . . . .
II.1.2 Rente . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.3 Risico-neutraal . . . . . . . . . . .
3
4
5
.
.
.
.
7
7
8
8
8
.
.
.
.
.
.
9
9
9
11
11
12
14
IV Verandering van de kansmaat
IV.1 Kansruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Radon-Nikodym afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3 Girsanov transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
15
16
V Eigenschappen van het prijsproces
V.1 Raaktijd barrière . . . . . . . . . .
V.2 Simulatie exittijd . . . . . . . . . .
V.3 Acceptatie-Rejectie methode . . . .
V.4 Soorten Parijse opties . . . . . . .
.
.
.
.
18
18
20
20
21
Algoritme van een Parijse optie
VI.1 Stratificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
III Algoritme van de standaard barrieroptie
III.1 Monte-Carlomethode . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Prijs van een Up-And-Out barrieroptie schatter . .
III.3 Gestratificeerde schatter prijs van een Up-And-Out
III.3.1 Geval 1, Geen sprongen . . . . . . . . . . .
III.3.2 Geval 2, een m aantal sprongen . . . . . . .
III.3.3 Geval 3, meer dan m sprongen . . . . . . .
VI
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
VII Resultaten
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . .
. . . . . . .
barrieroptie
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
viii
VII.1 Variantie . . . . . . . . . . . . .
VII.2 Down-and-In . . . . . . . . . . .
VII.2.1 Gestratificeerde methode
VII.3 Down-and-Out . . . . . . . . . .
VII.4 Up-and-In . . . . . . . . . . . . .
VII.5 Up-and-Out . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
29
31
32
33
34
Conclusie
36
Discussie
37
ix
Introductie
“ Derivatives are financial weapons of mass destruction ”
Warren Buffet
Deze uitspraak van het Orakel van Omaha in zijn jaarlijkse brief aan aandeelhouders wees op
de ’catastrofale’ risico’s die Buffet voor kopers, verkopers en voor de economie als geheel, in
derivaten zag. De snelle groei van de handel in derivaten de laatste jaren, die de Amerikaan
zorgen baarde, heeft het aantal wiskundigen dat bezig is met het bepalen van de waarde en de
risico’s van opties flink doen toenemen. Opties zijn een type derivaten, financiële producten
waarvan de waarde afgeleid is van een onderliggende waarde. Een onderliggende waarde is
daarbij een goed waar waarde aan toegeschreven kan worden. Er zijn vele speciale opties die in
vakjargon bekend staan als exotische opties, barrieropties zijn er hier een van. Een voorbeeld van
een type barrieroptie is een optie die zijn waarde verliest indien de koers van de onderliggende
waarde de barrière raakt.
Vele wiskundigen hebben zich bezig gehouden met de prijsbepaling van opties. Zo publiceerden
Fischer Black en Myron Scholes de bekende naar hun vernoemde formule reeds in 1973 in ”The
Pricing of Options and Corporate Liabilities”. Myron Scholes kreeg hiervoor in 1997 de ’Prijs
van de Zweedse Bank voor economie ter nagedachtenis aan Alfred Nobel’, beter bekend als de
Nobelprijs voor de Economie.
Deze scriptie richt zich op de prijsbepaling van barrieropties in continue tijd, waarbij de koers
van de onderliggende waarde een sprong-diffusie proces volgt. Behalve algoritmes voor de schatting van de prijs van standaard barrieropties wordt ook een algortime voor een speciaal type
barrieroptie, de Parijse optie beschreven. De koers van de onderliggende waarde en de risicovrije
rente zijn in dit model bepalend voor de uiteindelijke waarde van de optie op het tijdstip van
uitgifte. Tenzij expliciet beschreven verwijst optie naar een calloptie. Waar in dit artikel over
effectprijs of aandeelprijs gesproken wordt kan ook het algemenere onderliggende waarde worden
gelezen. Schatting en (prijs)bepaling van de optieprijs worden als synoniemen gebruikt.
In de financiële wereld waar derivaten op grote schaal worden verhandeld zijn accurate modellen
voor de prijsbepaling van opties van groot belang. Het feit dat opties veelvuldig worden verhandeld en dat hier veel geld in omgaat maakt dat pragmatische modellen veelgevraagd zijn.
Deze scriptie is opgebouwd uit een zeven tal hoofdstukken. In Hoofdstuk I bevat een algemene
introductie in financiële opties, de standaard barrieroptie en de Parijse optie. Hoofdstuk II beschrijft hoe een prijsproces van een onderliggende waarde tot stand komt. In hoofdstuk III wordt
beschreven hoe met de methode van Monte-Carlo een risico-neutrale prijs bepaald kan worden
voor een optie aan de hand van de in het vorige hoofdstuk beschreven prijsproces. Vervolgens
wordt een standaard en een gestratificeerd model van de prijsbepaling van een barrieroptie beschreven. Hoofdstuk IV verklaart de verandering van de kansmaat, zodat gerekend kan worden
met een brownse beweging zonder drift. Genoemde verandering is nodig, daar uit een brownse
1
beweging zonder drift enkele eigenschappen afgeleid kunnen worden die gebruikt worden voor
de prijsbepaling van een Parijse optie. Deze eigenschappen en de afleiding daarvan staan beschreven in hoofdstuk V. In Hoofdstuk VI wordt een algoritme beschreven om de prijs van een
Parijse optie te bepalen. Het einde van dit hoofdstuk bevat een uitleg van een gestratificeerde
schatter. Hoofdstuk VII beschrijft de gevonden resultaten van de methoden voor de prijsbepaling van de Parijse barrieroptie. Na deze hoofdstukken sluit het artikel af met de conclusie en
de discussie.
c
(R2013a,
Op de bijgevoegde cd zijn implementaties te vinden in de softwareomgeving Matlab
The MathWorks, Natick, USA). De prijsbepaling van een Up-and-Out barrieroptie is hiermee
mogelijk evenals de prijsbepaling van de vier soorten Parijse barrieropties beschreven in deze
scriptie. Ook is de implementatie van de beschreven gestratificeerde Parijse optie schatter te
vinden op de cd. In het README-bestand staat beschreven hoe de implementaties gebruikt
kunnen worden voor de berekening van verschillende type opties met naar wens gekozen parameters.
2
I
Opties
De handel in financiële derivaten, producten die vaak tot doel hebben te speculeren of risico
te dekken, heeft de laatste decennia een hoge vlucht genomen. Halverwege de zestiende eeuw
ontstond in Amsterdam een systeem waarin particulieren schulden konden aangaan en deze
schulden konden verhandelen. De eerste aandelen werden in Amsterdam verhandeld, deze waren
van de Verenigde Oost-Indische Compagnie. De welvaart die in de Gouden Eeuw was ontstaan
leidde tot de vraag naar luxe producten zoals tulpen, die rond 1550 in West Europa werden
geı̈ntroduceerd. Het aantal kopers oversteeg het aantal aanbieders waardoor de prijs van tulpen
de pan uit rees. Speculanten begonnen met het sluiten van contracten, waarbij de verkoper van
een contract de verplichting had om tulpenbollen te leveren in de volgende lente. Er waren ook
contracten waarbij de koper verplicht werd tot afname van de bollen in de lente, deze vorm van
zakendoen stond destijds bekend onder windhandel en noemt men nu optiehandel. De prijzen
van tulpenbollen stegen tot recordhoogtes, zo werd èèn Viceroi, een paarswitte papegaaitulp,
verhandeld voor 2.500 gulden. Deze tulpenmanie kwam aan zijn einde op 3 februari 1637 toen
de prijzen enorm daalden. Dit moment wordt wel gezien als de eerste financiële zeepbel.
De handel in opties nam pas echt zijn toevlucht, nadat opties in 1973 op de Chicago Board
Options Exchange (CBOE) verhandeld werden.
Voordat het begrip optie wordt gedefinieerd worden de volgende twee begrippen verklaard:
• Onderliggende waarde - Een goed waar waarde aan toegeschreven kan worden. Dit
kunnen bijvoorbeeld aandelen in een bedrijf zijn, grondstoffen, valuta of onroerend goed.
• Derivaat - Een derivaat is een financieel instrument dat is afgeleid van een onderliggende
waarde id est de waarde van een derivaat is afhankelijk van de bijbehorende onderliggende
waarde.
Het begrip optie wordt nu als volgt gedefinieerd:
Optie - Een optie is een derivaat. Het is een recht om een onderliggende waarde tegen een
vooraf bepaalde prijs te kopen of verkopen op een specifieke datum of in een specifieke periode.
Een summiere lijst van aanverwante begrippen wordt nu gegeven in de nomenclatuur.
3
I.0.1
Nomenclatuur
• Call-optie - Een optie die het recht geeft om een onderliggende waarde tegen een vooraf
bepaalde prijs te kopen op een eveneens vooraf bepaalde datum of in een vooraf bepaalde
periode.
• Put-optie - Een optie die het recht geeft om een onderliggende waarde tegen een vooraf
bepaalde prijs te verkopen op een vooraf bepaalde datum of in een vooraf bepaalde periode.
• Uitoefenprijs - De vooraf bepaalde prijs waartegen de optiehouder een onderliggende
waarde kan kopen (call) of verkopen (put).
• Schrijver - De schrijver van de optie is de persoon die de optie verkoopt.
• Houder - De houder ven een optie is de persoon die de optie koopt.
• Uitoefenen - Het uitoefenen van de optie houdt in dat de houder van de optie de onderliggende waarde koopt of verkoopt van de schrijver.
• Expiratiedatum - De expiratiedatum is de laatste datum, waarop een optie kan worden
uitgeoefend.
• Looptijd - Het tijdsinterval tussen het schrijven van de optie en de expiratiedatum.
Het uitoefenen van opties kan binnen een bepaalde periode of enkel op één moment. Indien
ze enkel uitgeoefend kan worden aan het eind van de looptijd op de expiratiedatum worden ze
Europese optie genoemd. Wanneer het mogelijk is de optie uit te oefenen of elk moment voor
de expiratiedatum, dan worden ze Amerikaanse optie genoemd.
Er worden drie situaties onderscheiden bij opties met betrekking tot de koers van de onderliggende waarde in verhouding met de uitoefenprijs. Figuur I.1 geeft de opbrengst van een optie
weer. Dit is de waarde van de optie min de prijs van de optie.
• In-the-Money De koers van de onderliggende waarde is hoger (lager bij een put-optie)
dan de uitoefenprijs van de call-optie. Het uitoefenen van deze optie levert geld op.
• At-the-Money De koers van de onderliggende waarde is exact gelijk aan de uitoefenprijs
van de call-optie (of put-optie). Het uitoefenen van deze optie levert geen geld op. In
figuur I.1 is dit bij de uitoefenprijs K.
• Out-of-the-Money De koers van de onderliggende waarde ligt lager (hoger bij een putoptie) dan de uitoefenrpijs, de call-optie heeft dan geen waarde. Het uitoefenen van deze
optie zou geld kosten. Dat is niet verplicht, dus wordt de optie niet uitgeoefend en is hij
waardeloos.
4
Figuur I.1: Winst/verlies van een optie met S de koers van de onderliggende waard en met K
de uitoefenprijs
I.0.2
Barrieroptie en Parijse optie
Een Parijse optie is een exotische optie, een optie die complexe financiële structuren bevat
in tegenstelling tot de ’standaard’ vanilla optie. Het is een type barrieroptie (van het Engelse
’barrier’ dat barrière betekent), een optie die pas kan worden uitgevoerd (of juist niet meer kan
worden uitgevoerd) als de koers van de onderliggende waarde de vooraf vastgestelde barrière heeft
aangeraakt. Er bestaan vier soorten barrieropties, de Up-and-Out, Up-and-In, Down-and-Out
en Down-and-In optie. Bij een in-optie kan de optie alleen worden uitgevoerd na een knock-in.
Een out-optie kan niet meer worden uitgevoerd na een knock out. Bij de Up-optie vindt er
een knock-in of knock-out plaats, nadat er een excursie boven (up) de barrieère is geweest van
een vooraf bepaalde lengte. En bij de Down-optie vindt er een knock-in of knock-out plaats,
nadat er een excursie onder (down) de barrieère is geweest van een vooraf bepaalde lengte. Bij
een standaard barrieroptie is deze lengte van de excursie niet van belang, het aanraken van de
barrière is dan voldoende voor een knock-in dan wel een knock-out. Bij de Parijse optie moet
de prijs van de onderliggende waarde wel boven of onder de barrière blijven voor een vooraf
bepaalde periode, voordat de optie juist wel (of juist niet meer) uitgeoefend kan worden. Hierbij
kan het vereist zijn dat de periode boven of onder de barrière aaneengesloten is voor de periode.
5
Het wel of niet meer kunnen uitoefenen van de optie na het raken of eronder/erboven blijven
van de barrière wordt aangeduid met de volgende twee begrippen:
• knock-in - De optie kan uitgevoerd worden na de knock-in (bij Up-and-In- en bij Downand-In-opties).
• knock-out - De optie kan niet meer uitgevoerd worden na de knock-out (bij Up-and-Outen bij Down-and-Out-opties).
Figuur I.2 laat zien wanneer een knock-out plaatsvindt bij een Up-and-Out barrieroptie en bij
een Up-and-Out Parijse optie.
In dit artikel zal enkel worden gekeken naar callopties. Bij de Parijse opties zullen de vier
bovengenoemde typen worden beschreven, waarbij de periode boven of onder de barrière voor
een knock-in of een knock-out aaneengesloten moet zijn.
Figuur I.2: Knock-out bij een Parijse en standaard barrieroptie
6
II
II.1
Prijsproces van de onderliggende waarde
Geometrische Brownse beweging
De koers van een aandeel of andere onderliggende waarde kan worden beschreven met een
wiskundig model dat bekend is onder de naam Brownse beweging. In dit hoofdstuk wordt
deze beweging afgeleid en beschreven. Het is belangrijk op te merken dat een Brownse beweging
een continue beweging is.
Voor het vinden van een model voor een aandeelprijs S, moet rekening worden gehouden met
het volgende:
• Volatiliteit - De mate van bewegelijkheid van de koers van een onderliggende waarde.
• (Stochastische) Drift - De gemiddelde verandering in de tijd in een stochastisch proces.
De drift wordt als µ geschreven. De volatiliteit als σ. De prijs van de onderliggende waarde is
hier weergegeven als S
in formulevorm geeft dit de volgende stochastische differentiaalvergelijking:
dS = Sµdt + SσdW (t))
(II.1)
Waarbij de stochast W (t) ∼N(0,t).
Om te kijken naar de relatieve verandering van de koers van de onderliggende waarde wordt de
formule herschreven als:
dS
= µdt + σdW (t)
S
(II.2)
Dit staat bekend als de Brownse beweging.
Het oplossen van deze stochastische differentiaalvergelijking geeft:
S(t) = s0 eµt+σN (0,t)
(II.3)
Met het definiëren van N (t) ∼ N (µt, σt) kan dit worden geschreven als:
S(t) = s0 eN (t)
7
(II.4)
II.1.1
Sprongen
Als we stellen dat er ook sprongen kunnen plaatsvinden is deze beweging niet meer continu.
Tussen twee sprongen in is de beweging natuurlijk nog wel steeds continu. Het aantal sprongen
in de modellen in deze scriptie wordt gesteld als Poisson verdeeld met parameter λ.
In figuur II.1 is een prijsproces van een onderliggende waarde met sprongen weergegeven.
Figuur II.1: Enkele prijsprocessen met sprongen
II.1.2
Rente
In plaats van beleggen in opties kan men geld op de bank zetten. Voor het wiskundig model in
deze scriptie wordt gesteld dat de bank een constante rente r geeft en er hierbij geen enkel risico
is. Dus het plaatsen van een bedrag op de bank resulteert na verloop van tijd automatisch in
een toename veroorzaakt door de rente. Het bedrag b0 op tijdstip t = 0 resulteert dus in het
bedrag bt op tijdstip t. De samengestelde interest is in formulevorm gegeven door:
ert d0 = dt
(II.5)
Nu geldt andersom dat indien de optieprijs aan het eind van de looptijd bekend is, dit verdisconteerd dient te worden om de prijs op het moment van schrijven van de optie te verkrijgen,
aangezien men het geı̈nvesteerde bedrag ook op de bank had kunnen zetten tegen de risicovrije
rente. De waarde van de optie aan het begin van de looptijd moet dan ook worden vermenigvuldigd met de inverse van ert , die e−rt is.
II.1.3
Risico-neutraal
De verwachting van S(t) = s0 eN (t) is gegeven door:
1
s0 eµt+ 2 σ
2
(II.6)
Voor de risico-neutrale prijsbepaling van opties moet de verwachting gelijk zijn aan de risicovrije
rente. Dit in combinatie met de sprongen geeft een uitdrukking voor de drift:
1
(II.7)
µ = r − σ 2 + λ − λE[J]
2
8
III
III.1
Algoritme van de standaard barrieroptie
Monte-Carlomethode
Voor het bepalen van de prijs van een optie wordt gebruik gemaakt van de Monte-Carlomethode.
Deze bestaat eruit om aandeelpaden die onafhankelijk verdeeld zijn te simuleren, bij elk aandeelpad de waarde van de optie te berekenen en dan een gemiddelde nemen te van deze waarden
om op een prijs uit te komen.
De volgende formule geeft de methode weer voor het schatten van E[f (X)], waarbij X een
aandeelpad is dat een Brownse beweging volgt met sprongen en waarbij f de functie is die de
uitbetaling geeft bij een aandeelpad:
N
1 X
f (xi )
N i=1
(III.1)
Uit de wet van de grote aantallen volgt dat deze schatter van E[f (xi )] zuiver is id est de formule
convergeert
naar E[f (xi )] voor N → ∞. De centrale limietstelling geeft dat de fout dan N ∼
σ2
0, N verdeeld is.
III.2
Prijs van een Up-And-Out barrieroptie schatter
De waarde van een Up-and-Out barrier calloptie (UOC) kan worden berekend met de formule:
UOC = e−rT E[(S(T ) − K)+ 1τB >T ]
Waarbij
• T = Expiratiedatum
• r= rente
• S(t)= De gesimuleerde prijs van de onderliggende waarde op tijdstip t
9
(III.2)
• K= Uitoefenprijs
• τB = inf{t > 0 : S(t) ≥ B} Het eerste tijdstip waarop S(t) groter of gelijk is aan de
barrière
Indien de prijs van de onderliggende waarde op twee tijdstippen onder de barrière ligt, is de kans
bekend dat de koers van de onderliggende waarde in de tussentijd de barrière heeft aangeraakt.
[7]
Als X(t) een Brownse beweging is met drift µ, volatiliteit σ en met max(a, b) < c met a, b, c, ∈ R
dan:
P(u, c, a, b) ≡ P(sup(X(t) > c | X(0) = a, X(u) = b) = exp −2
(c − a)(c − b)
uσ 2
(III.3)
Met X(t) de waarde van X op tijdstip t ∈ [0, u] [7]
Indien de beginwaarde X(0) en de eindwaarde X(u) bekend zijn kan men dus de kans berekenen
op dat X(t) het interval (0, u) boven de barrière is geweest.
Het algoritme simuleert nu onafhankelijke prijsprocessen en geeft de bijbehorende uitbetaling.
De Monte-Carlomethode geeft dan een schatting van de prijs van de optie gebaseerd op de
verschillende prijsprocessen.
Per prijsproces worden nu eerst het aantal sprongen en vervolgens de bijbehorende sprongtijden
bepaald. Beginnend op tijdstip t = 0 met prijs van de onderliggende waarde S(0) = s0 kan
nu de prijs van de onderliggende op het moment van de eerstvolgende sprong (of het einde van
de looptijd) t = JT1 gesimuleerd worden met S(JT1 ) = s0 eN . Hierbij is N standaard normaal
verdeeld met verwachting µJT1 en met variantie σ 2 JT1 . Als de nieuwe prijs S(JT1 ) boven de
barrière ligt heeft er een knock-out plaatsgevonden en is de optie waardeloos geworden. Indien
dat niet het geval is kan de kans worden bepaald dat de prijs van de onderliggende waarde toch
de barrière heeft geraakt in tussenliggende tijd. Met een trekking uit de uniforme verdeling en
deze kans wordt bepaald of de prijs van de onderliggende waarde inderdaad deze barrière heeft
geraakt. Als dat het geval is, is de optie Out-of-the-Money. Indien dit niet zo is kan het algoritme
worden herhaald tot aan het einde van de looptijd. Wanneer er tot op de expiratiedatum geen
knock-out heeft plaatsgevonden wordt de optiewaarde behorend bij dit koersproces bepaald
door:
(S(T ) − K)+
(III.4)
Op de bijgevoegde cd is een implementatie van dit algoritme te vinden, de prijs van een Upand-Out barrieroptie met gekozen variabelen kan dan worden bepaald.
10
III.3
Gestratificeerde schatter prijs van een Up-And-Out barrieroptie
Het stratificieren van deze schatter naar het aantal sprongen is mogelijk en dit kan variantiereductie geven en/of de rekentijd verkorten voor het verkrijgen van een even nauwkeurige
schatter.
Een gestratificeerd algortime onderscheidt drie gevallen voor het aantal sprongen N (T ):
• Geval 1, Geen sprongen
• Geval 2, een m aantal sprongen
• Geval 3, meer dan m sprongen
De verwachte opbrengst van de optie is dan gegeven door:
E[UOC] =
q
X
= E[UOC|N (T ) = m]Pm + E[UOC|N (T ) > q]Pq
(III.5)
m=0
Met
Pm = P(N (T ) = m) = e−λT
(λT )m
m!
Pq = P(N (T ) > q)
De q moet zo gekozen worden dat Pq klein genoeg is. Hier is q gekozen, zodat geldt:
√
q ≥ λT + 3 λT
(III.6)
Het aantal onafhankelijke prijsprocessen dat gesimuleerd wordt voor de prijsbepaling van de optie is nu per sprongaantal (aantal·Pi ) afgerond op een geheel getal bij i sprongen. Waarbij aantal
staat voor het totaal aantal runs voor de prijsbepaling van de optie. De Monte-Carlomethode
geeft dan weer de uiteindelijke prijsbepaling gebaseerd op alle gesimuleerde onafhankelijke prijsprocessen.
De simulatie bij de drie situaties die worden onderscheiden wordt nu nader verklaard.
III.3.1
Geval 1, Geen sprongen
In dit geval is de waarde van de optie analytisch te berekenen. Zoals beschreven door Rubinstein
[10] geldt dan:
UOC = s exp ((µ + σ 2 /2 − r)T )((Φ(d1) − Φ(d2)) − (B/s)(2(1+µ/σ
(2µ/σ 2 ))
(Φ(d3) − Φ(d4))) − K exp(−rT )(Φ(d5) − Φ(d6)) − (B/s)
√
• d5 = (ln(B/s0 ) − µT )/(σ T )
√
• d6 = (ln(K/s0 ) − µT )/(σ T )
√
• d1 = d5 − σ T
11
2 ))
·
(Φ(d7) − Φ(d8))
(III.7)
√
• d2 = d6 − σ T
√
• d3 = d5 − (2ln(B/s0 ) + σ 2 T )/(σ T )
√
• d4 = d6 − (2ln(B/s0 ) + σ 2 T )/(σ T )
√
• d7 = d5 − (2ln(B/s0 ))/(σ T )
√
• d8 = d6 − (2ln(B/s0 ))/(σ T )
Waarbij Φ de standaard normale distributie functie is.
III.3.2
Geval 2, een m aantal sprongen
Indien er wel sprongen zijn is de waarde niet analytisch te berekenen. De verwachting van UOC
onder de voorwaarde dat er m sprongen zijn is hier:
Em [UOC] = E[UOC|N (T ) = m]
(III.8)
Bij de simulatie hiervan wordt eerst de grootte van de m-sprongen, genoteerd als Jm , gesimuleerd.
Q
Verder wordt J gedefinieerd als J = m
n=1 Jn De intrinsieke waarde van de optie is enkel positief
(UOC > 0) indien K < S(T ) < B. Er geldt daarom:
E[UOC|J] = E[UOC|J, K < S(T ) < B]Pm (K < S(T ) < B|J)
= E[UOC|J, K < S(T ) < B]P
K
B
< S(T ) <
J
J
) − µT
ln( sB
0J
√
= E[UOC|J, K < S(T ) < B] Φ
σ T
"
Het is nu uit te rekenen wat Φ
ln( sBJ )−µT
0√
σ T
−Φ
!
) − µT
ln( sK
0J
√
−Φ
σ T
ln( sKJ )−µT
0√
σ T
(III.9)
!#
is. Voor het berekenen van
E[UOC|J, K < S(T ) < B], worden eerst de sprongtijden JT berekend. Met JTi is de tijd
behorend bij sprong i. Dit wordt gedaan door m keer onafhankelijk uniform te trekken uit
[0, T ]. Vervolgens worden de tijden geordend van laag naar hoog. Verder wordt JT0 = 0 en
JTm+1 = T gegeven.
eXi =
S(JTi )
S(JTi−1 )
(III.10)
Dit geeft S(T )
Pm+1
S(T ) = s0 e
i=1
Xi
(III.11)
Alle Xi ’s zijn onafhankelijke random variabelen met verwachting µ(JTi −JTi−1 ) en met variantie
σ 2 (JTi −JTi−1 ) Definieer Y =
m+1
P
i=1
Xi , dan is de verwachting van Y gelijk aan µT en de variantie
σ 2 T Verder is Y geconditioneerd. Het moet aan de voorwaarde voldoen, zodat K
J < S(T ) <
B
K
B
J . Dus Y moet tussen ln( s0 J ) en ln( s0 J ) liggen. Om dit te bewerkstelligen wordt eerst Y
gegenereerd, waaruit vervolgens de Xi ’s worden bepaald. Het volgende lemma maakt duidelijk
hoe de Xi ’s gekozen worden na het genereren van Y
12
Lemma 1. Laat Xi met i = 1, ..., n onafhankelijke normale random variabelen zijn. Met verwachting µi en met variantie σi . Definieer Y =
n
P
i=1
Xi . Laat X̃1 de verdeling van X1 hebben
onder de voorwaarde Y = y. En laat voor i > 1, X̃i de verdeling van Xi hebben on de voorwaarde
X1 , ...Xi−1 , dan X̃i is een normale random variabele met verwachting
µi +
σ 2 (Y −
Pi−1
en met variantie
σi2
j=1 Xj −
Pn
2
j=1 σj
σi2
1 − Pn
2
j=1 σi
Pn
j=1 µj )
!
Bewijs. De distributie van Xi onder de voorwaarde:
n
X
j=1
Xj = y −
i−1
X
Xj
j=1
Is gelijk aan de distributie van Xi onder de voorwaarde
X1 = x1 , ..., Xi−1 = xi−1 , Y = y
Het lemma geldt nu, omdat de joint distributie van Xi en van
correlatie qPσni
j=1
σj2
.
n
P
j=1
Xj bivariaat normaal is met
Als Y bepaald is met verwachting µT en met variantie σ 2 T conditioneel op het feit dat het
tussen ln(K/s0 J) en ln(B/s0 J) ligt. Dan kan nu met behulp van dit lemma, gegeven Y , de
X1 tot en met Xm gegenereerd worden. Noteer Si− = Si−1 eXi de waarde van S net voor de
sprong en noteer Si = Si− Ji de prijs van de onderliggende waarde net na de sprong. Verder
geldt S0 = s0 . Indien niet alle waarden van Si− en Si onder de barrière liggen is de waarde
van de optie bij dit aandeelpad nul. Als deze waarden wel allen onder de barrière liggen moet
nog worden gekeken of de barrière overschreden is tussen twee sprongen in. Dit is te berekenen
met de formule gegeven bij III.3. Noteer met αn de conditionele kans dat de barrière niet is
overschreden op het interval [JTi−1 , JTi ] dan is de uitbetaling van het bijbehorende prijsproces
gegeven door:
−rT
e
+
(S(T ) − K)
"
B
ln( sJ
) − µT
√
Φ
σ T
!
K
ln( sJ
) − µT
√
−Φ
σ T
!# m+1
Y
αn
(III.12)
n=1
Merk hierbij op dat door term m+1
n=1 αnQer eigenlijk niet één specifiek aandeelpad wordt gesimuleerd maar dat de optie met kans 1 − m+1
n=1 αn waardeloos is en dus met nul vermenigvuldigd
Qm+1
kan
worden.
En
met
de
kans
α
dat
het de waarde e−rT (S(T ) − K)+ heeft. De factor
n
n=1
Q
Φ
B
ln( sJ
)−µT
√
σ T
gesimuleerd is.
−Φ
K
)−µT
ln( sJ
√
σ T
is tot slot de kans waaronder het aandeelpad conditioneel
13
III.3.3
Geval 3, meer dan m sprongen
Om E[UOC|N (T ) > q] te simuleren, wordt per prijsproces het aantal sprongen Z uit de verdeling
van het aantal sprongen getrokken onder de voorwaarde dat Z > q geldt. Vervolgens wordt de
methode Geval 2 gevolgd met een Z aantal sprongen. Zo wordt E[UOC|N (T ) > q] geschat op
basis van verschillende UOC onder de voorwaarde dat N (T ) = Z voor Z die per prijsproces kan
verschillen.
14
IV
Verandering van de kansmaat
Voor het berekenen van de raaktijd van de barrière evenals voor het berekenen van de exittijd,
het moment waarop het prijsproces voor het laatst de waarde van de barrière heeft gehad, is
het van belang dat de koers van de onderliggende waarde als een Brownse beweging zonder
drift beschreven kan worden. Genoemde tijden zijn van belang voor het bepalen van de prijs
van een Parijse optie. De hieronder beschreven verandering van de kansmaat zorgt ervoor dat
de raaktijd en exittijd berekend kunnen worden aan de hand van een prijsproces zonder drift,
hoewel het daadwerkelijke prijsproces wel drift vertoont.
IV.1
Kansruimte
Als (Ω, F, P) een kansruimte van een experiment is, dan is daar een kansmaat op te definiëren.
Hierbij is Ω de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het experiment. Verder is de filtratie F gedefinieerd als de verzameling van alle mogelijke gebeurtenissen, waarbij een gebeurtenis
een deelverzameling van Ω is. Er geldt dat F de structuur van een σ-algebra heeft. Tot slot is
P een functie P : F → [′, ∞] Als het onderstaande bovendien geldt is dit een kansmaat:
• P(Ω) = 1
• P(∪∞
i=1 fi ) =
IV.2
P∞
i=1 P(fi )
voor elke disjuncte rij f1 , f2 , ... in F
Radon-Nikodym afgeleide
De verwachting van een continue functie h(Z) op de continue stochast Z gedefinieerd op kansruimte (Ω, F, Q) met kansdichtheidsfunctie
g, geeft de volgende verwachting Rten opzichte van
R∞
z
g(x)dx voor
kansmaat Q: EQ [h(Z)] = −∞ h(z)g(z)dz met verdelingsfunctie Q(Z ≤ z) = −∞
z ∈ R Een nieuwe kansmaat is nu te definiëren:
P(A) = EQ
f (Z)
=
1A
g(Z)
15
Z
k∈A
f (Z(k))
dQ(k)
g(Z(k))
(IV.1)
Waarbij moet gelden dat uit g(a) = 0 volgt f (a) = 0 Er kan nu worden nagegaan dat P een
kansmaat op (Ω, F) is. Nu geldt:
P(Z ≤ z) =
Z
k:Z(k)≤z
f (Z(k))
dQ(k) =
g(Z(k))
Z
z
f (x)dx
(IV.2)
−∞
Dus heeft de stochast Z kansdichtheidsfunctie f onder deze kansmaat.
Neem
2
• g(x) =
x
√ 1 e− 2t
2πt
• f (x) =
√ 1 e−
2πt
(x−mt)2
2t
Dan geldt:
m2 t
f (x)
= emx− 2
g(x)
(IV.3)
√ 1 e−
2πt
Nu geldt onder kansmaat Q : Z ∼ N (0, t) De functie f (x) =
onder kansmaat P : Z ∼ N (mt, t)
P(A) = EQ
(x−mt)2
2t
m2 t
dP
f (x)
= emZ− 2 P(A) = EQ 1A
1A
g(x)
dQ
, geeft dat geldt
(IV.4)
= s0 eσ(mt+W (t)) = s0 eσZ(t)
(IV.5)
De Nikodym afgeleide is dan gedefinieerd als
1 2
dP
|T = e− 2 m T +mZ(T )
dQ
r−1/2σ 2
.
σ
Met m =
µ
σ
IV.3
Girsanov transformatie
=
Het prijsproces is te schrijven onder kansmaat P als:
S(t) = s0 e(r−1/2σ
2 )t+σW (t)
Met W (t) de standaard Brownse beweging onder kansmaat P en Z(t) = W (t) + mt is een
standaard Brownse beweging onder kansmaat Q.
Dit geeft voor het raken van de barrière:
S(t) = s0 eσZ(t) ⇔ Z(t) <
1
ln(B/s0 )
σ
(IV.6)
De uitbetaling van een Parijse calloptie is dan gegeven door:
e−rT EP [Ψ(s0 eσZ(t) )0≤t≤T )]
= e−rT EQ
(IV.7)
dP
Ψ((s0 eσZ(t) 0≤t≤T )
dQ|T
16
(IV.8)
1
2
= e−rT e− 2 m T EP [emZ(T ) Ψ((s0 eσZ(t) )0≤t≤T )]
(IV.9)
Met Ψ:(s0 eσZ(t) )0≤t≤T → R met R ≥ 0 de uitbetaling van een Parijse calloptie voor een aandelenpad (s0 eσZ(t) )0≤t≤T En met Z(t) de standaard Brownse beweging onder kansmaat Q en onder
kansmaat P als Z(t) = mt + W (t) met W (t) een standaard Brownse beweging onder kansmaat
P.
Na de simulatie van het later gegeven algoritme zal er een waarde voor de Parijse optie gegeven
zijn, die aan bovenstaande verdeling voldoet indien er geen sprongen zouden zijn geweest. Delen
door het product van de sprongen geeft de verdeling. De bijbehorende Z(t) is dan uit te rekenen
door
Z(T ) =
ln
(ST /SprongT otaal)
s0
σ
17
(IV.10)
V
V.1
Eigenschappen van het prijsproces
Raaktijd barrière
Voor het berekenen van de raaktijd is het reflectieprincipe [8] van belang. Dit principe bewijst
het volgende:
Laat Wt een Brownse beweging zijn met filtratie F Definieer voor een vaste 0 < b ∈ R
τb = inf (t ≥ 0 : Wt = b)
(V.1)
Definieer het proces {B(t), t ≥ 0} door:
B(t) =
(
2W (t)
2b − W (t)
als t ≤ τb
als t > τb
Dan is {B(t), t ≥ 0} een Brownse beweging.
Figuur V.1: Het reflectieprincipe
Definieer M (t) = sup (W (s)) Met W (t) een standaard Brownse beweging met 0 ≤ s ≤ t. Indien
M (t) < b met b > 0 de barrière zoals eerder gedefinieerd, dan heeft de eerste raaktijd τb niet
plaatsgevonden. Dan is de kansverdeling van de eerste raaktijd τB = inf{t : S(t) = B} van de
barrière b indien er geen sprongen zijn onder kansmaat Q gegeven door:
18
Q(τb < t) = Q(M (t) > b)
(V.2)
= 1 − Q(M (t) ≤ b))
(V.3)
= 1 − Q(M (t) ≤ b, W (t) ≤ b)
(V.5)
= 1 − [Q(M (t) ≤ b, W (t) ≤ b) + Q(M (t) ≤ b, W (t) > b)]
= 1 − Q(M (t) ≤ b|W (t) ≤ b)Q(W (t) ≤ b)
(V.4)
(V.6)
= 1 − (1 − Q(M (t) > b|W (t) ≤ b))Q(W (t) ≤ b)
Q(M (t) > b, W (t) ≤ b)
Q(W (t) ≤ b)
=1− 1−
Q(W (t) ≤ b)
= 1 − (Q(W (t) ≤ b) − Q(M (t) > b, W (t) ≤ b))
b
= 1 − Q Z ≤ √ − Q(M (t) > b, W (t) ≤ b)
t
b
= 1 − Q Z ≤ √ − Q(2b − B(t) ≤ b, M (t) > b)
t
b
= 1 − Q Z ≤ √ − Q(B(t) ≥ b, M (t) > b)
t
b
= 1 − Q Z ≤ √ − Q(B(t) ≥ b)
t
b
b
= 1 − Q Z ≤ √ − Q(Z ≥ √ )
t
t
b
−b
= 1 − Φ √ − Φ( √ )
t
t
b
= 1 − 2Φ √ − 1
t
b
=2 1−Φ √
t
b
= 1 − Q |Z| < √
t
b
= Q |Z| ≥ √
t
!
2
b
≥t
=Q
Z2
(V.7)
(V.8)
(V.9)
(V.10)
(V.11)
(V.12)
(V.13)
(V.14)
(V.15)
(V.16)
(V.17)
(V.18)
(V.19)
(V.20)
Waarbij Φ de cumulatieve distributiefunctie behorende bij de standaard normale verdeling is en
met Z ∼ N (0, 1).
Voor de barrieère geldt:
1
S(t) = s0 e(r− 2 σ
2 )t+σW (t)
bt :=
> B ⇐⇒ W (t) >
ln( sB0 ) − (r − 21 σ 2 )t
ln( sB0 ) − (r − 21 σ 2 )t
σ
19
σ
(V.21)
(V.22)
Hierbij is bt gedefinieerd als nieuwe barrière voor W (t)
De eerste raaktijd voor de barrière bt =
en zet:
ln( sB )−(r− 21 σ 2 )t
0
σ
τb =
V.2
is nu te berekenen. Genereer Z ∼ N (0, 1)
b2
Z2
Simulatie exittijd
De exittijd, het laatste tijdstip voor t waarvoor de prijs van de onderliggende waarde gelijk is
aan de barrière onder de voorwaarde dat t = 0 een raaktijd van de barrière was, is gedefinieerd
als:
γ(t) = sup{s ≤ t : W (s) = b}
(V.23)
De afleiding die gemaakt moet worden om uit deze verdeling te trekken is beschreven een artikel
van K.L. Chung [6]. γ kan dan als volgt berekend worden:
γ(t) = tR(t)
Met R(t) =
V.3
Z2
Z 2 +u2
, Z ∼ N (0, 1) , u =
W√(t)
t
(V.24)
, W (t) ∼ N (0, t)
Acceptatie-Rejectie methode
De simulatie van de prijs van de onderliggende waarde op de tijd van de sprong, onder de
voorwaarde dat de eerste raaktijd groter is dan die sprongtijd, kan worden gegenereerd met de
acceptatie-rejectie methode. [2]
Als A de gebeurtenis is dat τB > JT , met JT de eerstvolgende sprongtijd, τB de eerstvolgende
raaktijd van de barrière, Y een stochast met verdeling van de waarde van S(JT ) is en X de
stochast met verdeling van de waarde van S(JT |τB > JT ) is dan:
P(Y ∈ dx; A)
P(A)
(V.25)
P(τB > JT |S(JT ) ∈ dx)P(S(JT ) ∈ dx)
= P(S(JT ) ∈ dx|τB > JT )
P(τB > JT )
(V.26)
P(X ∈ dx) = P(Y ∈ dx|A) =
=
Als P(u, c, a, b) gedefinieerd is zoals in III.3 dan = P(u, c, a, b) = P(τB > JT |S(JT ). [7]
De methode is nu als volgt: Simuleer S(JT ) en accepteer dit met de kans
P(τB > JT |S(JT ) ∈ dx)
Indien niet geaccepteerd, wordt de methode herhaald totdat de waarde S(JT ) geaccepteerd
wordt.
20
V.4
Soorten Parijse opties
De Up-and-Out, Up-and-In, Down-and-Out en Down-and-In hangen met elkaar samen [5] Met
bescheiden aanpassingen is een algoritme voor de prijsbepaling van een Parijse optie voor een
van deze typen te modificeren voor een prijsbepaling van de andere soorten.
Indien de prijzen C van de Black-Scholes calloptie bekend zijn kunnen de Parijse callopties ook
worden afgeleid uit een ander type Parijse opties.
Noteer de prijs van een Parijse calloptie met:
• Up-and-Out UOC
• Up-and-In UIC
• Down-and-Out DOC
• Down-and-In DIC
Dan volgt het verband tussen Up-and-Out en Up-and-In (Of Down) uit het feit dat een een
standaard optie een optelling van de knock-in en van de knock-out Parijse optie is:
C = UOC + UIC
C = DOC +DIC
21
VI
Algoritme van een Parijse optie
Het algoritme om een Parijse Down-and-In optie te berekenen is beschreven in deze paragraaf.
Met kleine aanpassingen kan dit algoritme worden aangepast om de waarde van een Parijse
Down-and-Out, Up-and-In of Up-and-Out optieprijs te berekenen. Hoewel alleen het Downand-In algoritme beschreven is zijn ook de andere implementaties van het algoritme in de softc
terug te vinden op de bijgeleverde cd. Resultaten van het algoritme
wareomgeving Matlab
behorend bij de vier verschillende Parijse opties zijn gegeven in het gelijkluidende hoofdstuk.
Er zijn referentieprijzen bekend behorend bij een Down-and-In Parijse optie, derhalve is van die
optie hieronder een algoritme beschreven.
Gegeven dat het prijsproces van de onderliggende waarde een geometrische Brownse beweging
volgt, wordt de waarde van één optie gesimuleerd bij een behorend koersverloop. Uit de MonteCarlomethode volgt de uiteindelijke schatting van de prijs van een optie gebaseerd op de verschillende prijsprocessen. De Girsanov transformatie maakt het mogelijk het prijsproces als een
standaard Brownse beweging te simuleren, wat nodig is voor de berekening van de eerstvolgende
raaktijd van de barrière.
• Het aantal sprongen en de hierbij behorende tijden worden aan het begin van het algoritme
bepaald. Het aantal sprongen m is Poisson verdeeld met verwachting λ, hieruit wordt een
trekking gedaan. Vervolgens worden de tijden van de sprongen bepaald door m trekkingen
uit U (0, T ) = T · U (0, 1), waarna deze waarden worden gesorteerd van klein naar groot.
De grootte per sprong wordt per sprong bepaald door een trekking uit U ( 12 , 23 ). Het
moment van de sprong i wordt aangegeven met JTi . De eerstvolgende sprong ten opzichte
van de tijd waarin het prijsproces zich bevindt wordt genoteerd met JT . Indien er geen
sprongen meer zijn tot aan de expiratiedatum, is de eerstvolgende sprong gelijk aan de
expiratiedatum.
Het algoritme kijkt enkel naar de prijsontwikkeling van de onderliggende waarde tot aan de eerstvolgende sprong. Het stopt wanneer t = T , de expiratiedatum is dan bereikt. Er zijn drie stadia
te beschrijven van de koers van de onderliggende waarde ten opzichte van de barrière.
• De prijs van de onderliggende waarde is kleiner dan de barrière, de prijs bevindt zich in
deze situatie onder de barrière
• De prijs van de onderliggende waarde is gelijk aan de barrière, de prijs bevindt zich in
deze situatie op de barrière
• De prijs van de onderliggende waarde is groter dan de barrière, de prijs bevindt zich in
22
deze situatie boven de barrière
Het algoritme bepaalt in welk stadium de prijs van de onderliggende waarde zich bevindt en
simuleert vanuit daar een prijs van de onderliggende waarde verder in de tijd. Ondertussen
wordt er bijgehouden of de koers van de onderliggende waarde, langer dan of gelijk aan de
vooraf gestelde periode, onder de barrière is geweest. Het stadium waarin de koers zich bevindt
wordt bepaald door de Barrière te vergelijken met de koers van de onderliggende waarde. Het
algoritme stopt wanneer de tijd gelijk is aan de expiratiedatum. In figuur VI.1 is het algoritme
met de drie mogelijke situaties waarin de prijs van de onderliggende waarde zich kan bevinden,
weergegeven. De pijlen vertegenwoordigen de mogelijkheden om van een stadium naar een ander
stadium te gaan. Lengte staat voor de aaneengesloten lengte van de excursie onder de barrière
tot dat moment.
lengte
Boven(lengte)
lengte
=0
Op
Onder
Figuur VI.1: Model algoritme
De drie situaties waarin de prijs onderliggende waarde ten opzichte van de barrière zich kan
bevinden worden nader uitgelegd.
• Onder de barrière - De prijs van de onderliggende waarde is nu kleiner dan de barrière.
Het is nu mogelijk de eerstvolgende raaktijd van de barrière te simuleren. Hierna zijn er
twee mogelijke situaties te onderscheiden:
– (tijd + τ < JT ) De eerstvolgende raaktijd is voor de eerstvolgende sprong of voor
de expiratiedatum indien er geen sprongen meer volgen. Een voorbeeld hiervan is
weergegeven in figuur VI.2
De duur van de excursie onder de barrière dient nu uitgebreid te worden met τ , zodat
voor de nieuwe lengte van de excursie geldt: (nieuwe)lengte = (bestaande)lengte+τ .
Het algoritme houdt nu bij of er een knock-in heeft plaatsgevonden. Het stadium
wordt veranderd naar Op de barrière en het algoritme gaat daar verder.
– (tijd + τ ≥ JT ) De eerstvolgende raaktijd is na de eerstvolgende sprong of na de
expiratiedatum indien er geen sprongen meer volgen. Een voorbeeld hiervan is weer23
Figuur VI.2:
gegeven in figuur VI.3
Figuur VI.3:
De kans op een eerstvolgende raaktijd na JT is gelijk aan de kans op een pad van de
onderliggende waarde die de barrière niet raakt voor JT . Zoals eerder aangetoond kan
dan met de acceptatie-rejectie methode een nieuwe prijs voor de onderliggende waarde
worden bepaald op tijdstip JT . Een waarde voor S met deze verdeling kan nu worden
gesimuleerd op het moment van de sprong. De oude lengte van de excursie onder de
barrière wordt opgeteld bij het interval van de tijd tot aan JT . Het algoritme kijkt
of er een knock-in heeft plaatsgevonden. Vervolgens wordt de sprong berekend die
een nieuwe waarde van S net na de sprong oplevert. De eerstvolgende sprongtijd JT
wordt nu aangepast aan de volgende sprongtijd (of expiratiedatum, bij afwezigheid
van een volgende sprongtijd). Het stadium wordt opnieuw bepaald na de sprong en
daar wordt verder gegaan met het algoritme.
• Op de barrière - De prijs van de onderliggende waarde is gelijk aan de barrière, de prijs
bevindt zich in deze situatie op de barrière. Er geldt nu S = barrière en de lengte van
de huidige excursie onder de barrière is nul (lengte = 0). Twee situaties of er al dan niet
voldoende tijd is voor een mogelijke knock-in voor JT , worden onderscheiden:
– (JT − tijd) < D Er is geen mogelijkheid voor een knock-in voor JT . De waarde B
wordt bepaald door B = (interval) · Z met interval = JT − tijd en Z ∼ N (0, 1). Nu
wordt tijd = JT en wordt JT de nieuwe eerstvolgende sprongtijd (of expiratiedatum,
24
bij afwezigheid van volgende sprongtijd). Deze waarde van B is positief, dan wel
negatief.
∗ B = interval · Z < 0
Zie figuur VI.4
Figuur VI.4:
De duur van de excursie onder de barrière wordt nu bepaald door γ, die berekent
hoeveel tijd voor het laatst berekend tijdstip het prijsproces constant onder de
barrière is gebleven. Er geldt dan: lengte = γ. De waarde van S voor de sprong
wordt nu berekend met de formule S = Barrière · eσB . Vervolgens wordt S na de
sprong berekend en wordt het stadium aan de hand van de nieuwe S bepaald.
∗ B = interval · Z > 0
Zie figuur VI.5
Figuur VI.5:
Er is geen lengte van de excursie onder de barrière opgebouwd die mogelijk zou
kunnen leiden tot een knock-in. De waarde van S voor de sprong wordt nu
berekend met de formule S = Barrière · eσB . Vervolgens wordt S na de sprong
berekend en wordt het stadium aan de hand van de nieuwe S bepaald.
– (JT − tijd) ≥ D
Er is nu een mogelijkheid voor een knock-in voor JT . Er wordt vervolgens een nieuwe
waarde gesimuleerd op tijdstip tijd+D. Deze waarde wordt bepaald door: B = D ·Z,
waarbij Z ∼ N (0, 1). Deze waarde is positief, dan wel negatief.
∗ B = D · Z < 0 De lengte van de duur onder de excursie wordt nu bepaald door γ,
die berekent hoeveel tijd voor tijdstip tijd + D het prijsproces constant onder de
barrière is gebleven. Er geldt dan: lengte = γ. Het stadium wordt nu Onder de
barrière. De waarde van S wordt nu berekend met de formule S = Barrière · eσB
25
∗ B = D ·Z > 0 Er heeft geen knock-in plaatsgevonden in dit interval. Het stadium
wordt nu Boven de barrière. De waarde van S wordt nu berekend met de formule
S = Barrière · eσB
• Boven de barrière - De prijs van de onderliggende waarde is groter dan de barrière. De
duur van de huidige excursie onder de barrière kan op nul worden gezet. De eerstvolgende
raaktijd van de barrière kan nu worden gesimuleerd. Hierna zijn er twee mogelijke situaties
te onderscheiden:
– (tijd + τ ) < JT De eerstvolgende raaktijd is voor de eerstvolgende sprong of voor
de expiratiedatum indien er geen sprongen meer volgen. Een voorbeeld hiervan is
weergegeven in figuur VI.6
Figuur VI.6:
Het stadium wordt veranderd naar Op de barrière en het algoritme gaat daar verder
met de nieuwe tijd, die van de raaktijd tijd + τ .
– (tijd + τ ) ≥ JT De eerstvolgende raaktijd is na de eerstvolgende sprong of na de
expiratiedatum indien er geen sprongen meer volgen. Een voorbeeld hiervan is weergegeven in figuur VI.7
Figuur VI.7:
De kans op een eerstvolgende raaktijd na JT is gelijk aan de kans op een pad van de
onderliggende waarde die de barrière niet raakt voor JT , zoals eerder beschreven. S
met deze verdeling, kan nu worden gesimuleerd op het moment van de sprong. Dan
wordt de sprong berekend die een nieuwe waarde van S oplevert. De eerstvolgende
sprongtijd JT wordt nu aangepast aan de volgende sprongtijd (of expiratiedatum,
bij afwezigheid van volgende sprongtijd). Het stadium wordt opnieuw bepaald na de
sprong en daar wordt verder gegaan met het algoritme.
26
Indien tijd = T , de tijd gelijk is aan de expiratiedatum kijkt het algoritme of er een knockin plaats heeft gevonden. Als die niet heeft plaatsgevonden is de optie waardeloos. Indien
er wel een knock-in heeft plaatsgevonden kijkt men naar de opbrengst. Deze is dan gelijk aan
max[(S(T )−K), 0]. De toepassing van de Girsanov transformatie zorgt voor een factor waarmee
we deze opbrengst moeten vermenigvuldigen. Evenals vermenigvuldiging met de rentefactor
e−rT . De factor behorende bij de Girsanov transformatie luidt dan:
exp(QV − 0.5T Q2 )
(VI.1)
S(T )
met V = ln(( SprongT
otaal )/s0)/σ
VI.1
Stratificatie
Stratificatie kan zorgen voor variantiereductie. Het aantal sprongen is Poisson verdeeld met
parameter λ, hieruit kan de kans op een m aantal sprongen worden berekend. Door het totaal
aantal onafhankelijke prijsprocessen te vermenigvuldigen met de kans op een m aantal sprongen
en dit af te ronden op een geheel getal en vervolgens dit aantal prijsprocessen met m sprongen te
simuleren wordt een stratificatie naar het aantal sprongen, die hier de strata vertegenwoordigen,
verkregen.
Concreet betekent dit voor het algoritme dat twee situaties onderscheiden worden:
• Geval 1, een m aantal sprongen, m ≥ 0
• Geval 2, meer dan m sprongen
De verwachte opbrengst van de optie is dan gegeven door:
E[R] =
q
X
= E[R|N (T ) = m]Pm + E[R|N (T ) > q]Pq
(VI.2)
m=0
Met
Pm = P(N (T ) = m) = e−λT
(λT )m
m!
Pq = P(N (T ) > q)
(VI.3)
(VI.4)
De q moet zo gekozen worden dat Pq klein genoeg is. Hier is q gekozen, zodat geldt:
√
q ≥ λT + 3 λT
De implementatie van deze gestratificeerde methode is te vinden op de cd. In het aankomende
hoofdstuk wordt de variantiereductie die dit oplevert behandeld.
27
VII
Resultaten
In de literatuur zijn referentieprijzen behorend bij een Parijse Down-and-In optie bekend, wanneer het prijsproces zich gedraagt als een Brownse beweging met drift. In dit hoofdstuk worden
door het algoritme gegenereerde prijzen in het geval λ = 0 en er dus geen sprongen zijn, vergeleken met de referentieprijzen. De standaard methode voor de prijsbepaling van een Parijse
Down-and-In calloptie wordt eveneens vergeleken met de gestratificieerde methode. Verder worden resultaten van Down-and-Out, Up-and-In en Up-and-Out beschreven.
De volgende parameters zijn gevariëerd en worden weergegeven in tabellen voorzien van commentaar:
• aantal runs van het algoritme
• sprongintensiteit λ behorend bij de Poissonverdeling van de sprongen
• rente
• drift
• volatiliteit
• duur van de excursie boven/onder de barrière voor een knock-in of knock-out
• uitoefenprijs
Bij de gegenereerde resultaten is het van belang om naar de variantie te kijken om een beeld van
de betrouwbaarheid van de resultaten te krijgen. Begrippen hieromtrent staan in onderstaande
paragraaf.
VII.1
Variantie
Een schatting van de steekproefvariantie is te maken met de formule:
s2 =
n
1 X
(xi − µ)2
n − 1 i=1
28
(VII.1)
Waarbij xi een optieprijs bij één aandeelpad is en µ de geschatte optieprijs, waarbij n aandeelpaden gesimuleerd zijn, is.
Stelling 1. Laat X1 , X2 , ... een rij van onafhankelijke willekeurige variabelen zijn met gemiddelde 0 en variantie σ 2 en gemeenschappelijke verdelingsfunctie. Definieer:
Sn =
n
X
Xi
i=1
Dan limn→∞ P
verdeling.
S√n
σ n
≤ x = Φ(x) Met Φ de cumulatieve distributie van een standaard normale
Uit deze stelling volgt dat het steekproefgemiddelde n1 Sn bij benadering normaal verdeeld is met
verwachting µ en met standaardafwijking √σn
Een 95% betrouwbaarheidsinterval is nu gegeven door:
σ
σ
(µ + 1, 96 √ , µ + 1, 96 √ )
n
n
(VII.2)
En een 99% betrouwbaarheidsinterval is dan gegeven door:
σ
σ
(µ + 2, 58 √ , µ + 2, 58 √ )
n
n
VII.2
(VII.3)
Down-and-In
Onderstaande tabellen bevatten gegenereerde waarden van een Parijse Down-and-In optie. De
gegeven CPU (van het Engelse “Central Processing Unit”) is hierbij de benodigde rekentijd voor
het schatten van de optieprijzen.
Down-and-In, S=100,
Aantal runs λ=0
103
6,7359
4
10
6,6629
105
6,5623
6
10
6,5409
Barrière=90, Uitoefenprijs 80, R=0,045, σ=0,30, Duur=10/365
CPU λ=1
CPU λ=10
CPU λ = 100 CPU
0,6
6,9138 0,6
6
6,6482 6
65
6,7818 55
16,2305 125
34,1049 1124
623
6,7786 560
In de literatuur zijn referentieprijzen bekend van een Down-and-In Parijse optie, waarbij het
onderliggende prijsproces een Brownse beweging met drift volgt. In het geval dat er geen sprongen zijn (λ = 0) met dezelfde parameters als in de tabel, is de referentieprijs 6, 54. Dit komt
overeen met de gevonden waarde bij 106 onafhankelijke prijsprocessen. Het verschil tussen de
referentieprijs neemt af naar mate dat het aantal runs toeneemt. De geschatte variantie van een
prijsbepaling gebaseerd op een enkele run bij λ = 0 is s2 = 195, 9218
Het 99% betrouwbaarheidsinterval is nu dus gegeven door:
√
√
195, 9218
195, 9218
√
√
(µ + 2, 58
, µ + 2, 58
)
n
n
(VII.4)
Bij 106 runs geeft dit afgerond op hele centen dat in 99% van de gevallen de uitkomst tussen
de 6, 50 en 6, 58 in ligt. Indien het aantal runs 108 is, is het 99% betrouwbaarheidsinterval een
factor 10 kleiner en is meer dan 99% zeker dat de uitkomst op de cent nauwkeurig is.
29
Figuur VII.1: Optieprijs Down-and-In met verschillende λ’s met λ op de x-as
Figuur VII.1 laat zien dat bij een Parijse Down-and-In optie de optieprijs hoger ligt naar mate er
meer sprongen voorkomen in de prijs van de onderliggende waarde. Dit is te verklaren door het
feit dat meer sprongen voor een toename van de beweeglijkheid van de prijs van de onderliggende
waarde zorgt. De kans om onder een barrière te raken, startend vanuit een prijs die hoger ligt
dan de barrière, is dan groter. Dit maakt de kans op een knock-in groter bij meer sprongen. Er
valt hierbij op te merken dat hoe groter λ, hoe langer de rekentijd.
De volgende tabellen bevatten eveneens Down-and-In callopties. De waarden gegeven in de tabel
zijn de enige aanpassingen van de parameters. Variabelen die niet in de tabellen zijn weergegeven
zijn gegeven door S=100, Barrière=90, Uitoefenprijs 80, R=0,045, σ=0,30, Duur=10/365.
Aantal runs
104
105
106
Duur =200/365
Lambda=0 CPU Lambda=1
0,2575
2
0,2994
0,2642
21
0,2701
0,2578
209
0,2858
CPU
3
30
348
10
De duur voor een knock-in is in bovenstaande tabel verlengd van 365
naar 200
365 . Zoals af te lezen
uit de tabel is de waarde van dit type optie dan aanzienlijk lager. Dit is te verklaren doordat
de kans op een knock-in wordt verkleind.
Aantal runs
104
105
r=0,025 σ=0,4
Lambda=0 CPU Lambda=1
8,6005
5
8,9271
8,5050
53
8,7732
CPU
6
63
Bovenstaande tabel waarbij r = 0, 025 en σ = 0, 4 heeft een drift µ = r − 21 σ 2 die niet meer gelijk
is aan 0 zoals in het geval van r = 0, 045 en σ = 0, 3. De Girsanov transformatie wordt voor
deze waarden van r en σ dan ook toegepast in het algoritme. De referentieprijs hierbij behorend
is 8, 53, dit ligt binnen het 99% betrouwbaarheidsinterval. Hierbij moet worden opgemerkt dat
de variantie niet gelijk is in alle gevallen. Andere waarden voor de parameters geven andere
variantie’s en dus ook andere betrouwbaarheidsintervallen.
30
Uitoefenprijs
90
100
110
Aantal runs
104
105
104
105
104
105
Lambda=0
3,8322
3,8354
2,2032
2,1984
1,2071
1,2154
CPU
5
49
5
50
5
49
Lambda=1
4,0008
4,1584
2,8570
2,5653
1,4348
1,5274
CPU
6
61
5
56
6
59
Er zijn ook referentieprijzen bekend (met λ = 0) bij de aanpassingen van de uitoefenprijs. De
verschillen tussen de onderstaande referentieprijzen en de met het algoritme bepaalde prijzen
bedragen bij 105 runs enkele centen. De verschillen tussen de referentieprijzen en de geschatte
prijzen vallen allen binnen het 99% betrouwbaarheidsinterval behorend bij deze waarden voor
de variabelen.
verschillende wijzigingen
Duur=200/365
0,26
Uitoefenprijs = 90
3,84
Uitoefenprijs = 100 2,18
Uitoefenprijs = 110 1,21
VII.2.1
Gestratificeerde methode
Het doel van de gestratificeerde methode ten opzichte van de standaard methode is om variantiereductie te verkrijgen. Bij λ = 0 heeft stratificatie van het aantal sprongen geen invloed.
De schatting van de variantie is uitgevoerd bij 103 runs. De geschatte variantie van 103 runs is
uitgevoerd met 102 runs. Dit geeft bij λ = 1, 102 keer 103 runs en 0, 2276 als geschatte variantie
bij de standaard methode. De rekentijd voor de 105 berekeningen bedraagt 54 seconden, dit
is gelijk aan de rekentijd bij de gestratificeerde methode. De variantie bij de gestratificieerde
methode is met 0, 1708 echter beduidend lager.
De efficiëntieverhoging van de gestratificeerde methode is nu:
0,2276−0,1708
0,2276
≈ 0, 2496
De gegenereerde waarden bij λ = 1 staan in onderstaande tabel.
Aantal runs
103
104
105
106
6,7195
6,8159
6,7783
6,7896
CPU
0,5
5
54
542
Uit een vergelijking tussen de tabel en waarden bij de standaard methode volgt dat de spreiding
tussen uitkomsten bij verschillende aantal runs kleiner is.
31
VII.3
Down-and-Out
Down-and-In, S=100, Barrière=90, Uitoefenprijs 80, R=0,045, σ=0,30, Duur=10/365
Aantal runs λ=0
CPU λ=1
CPU λ=10
CPU λ = 100 CPU
103
19,8600 0,5
19,9547 0,6
104
19,7737 5
19,9027 5
105
19,5904 49
20,7049 55
28,9325 137
38,1999 1219
6
10
19,6358 491
20,5800 544
Figuur VII.2: Optieprijs Down-and-Out met verschillende λ’s met λ op de x-as
Figuur VII.2 laat zien dat bij een Parijse Down-and-Out optie de optieprijs licht hoger ligt
naar mate er meer sprongen voorkomen in de prijs van de onderliggende waarde. Hoewel de
toename beduidend kleiner is dan bij de Down-and-In en Up-and-In opties. De verandering
van het aantal sprongen veroorzaakt twee zaken die van invloed zijn op de optieprijs. De kans
op een knock-out is groter, daar het onderliggend prijsproces sneller onder de barrière duikt,
hierdoor wordt de optie minder waard als er meer sprongen voorkomen. Dat de waarde van de
optie toch stijgt naarmate er meer sprongen zijn, is te verklaren door het feit dat in het geval er
geen knock-out is de kans op een hogere prijs van de onderliggende waarde groter is. Dit komt
doordat de sprongen er voor zorgen dat de kans dat de waarde van het onderliggende effect meer
afwijkt van de beginprijs vermenigvuldigd met de rentefactor groter is.
Duur =200/365
Aantal runs Lambda=1
104
27,3227
105
27,1925
6
10
27,1296
CPU
3
31
292
10
200
Het verlengen van de duur voor een knock-out van 365
naar 365
zorgt ervoor, zoals af te lezen
uit de tabel, dat de waarde van dit type optie stijgt. Dit is te verklaren doordat de kans op een
knock-out wordt verkleind.
Uitoefenprijs
90
100
110
Aantal runs
104
105
104
105
104
105
32
Lambda=1
16,5696
16,7915
13,5373
13,0069
10,1988
10,0433
CPU
6
61
6
67
6
61
Het verhogen van de uitoefenprijs zorgt voor een daling van de optieprijs. Deze daling is relatief
klein en absoluut groot, ten opzichte van de daling bij de Down-and-In optie.
VII.4
Up-and-In
Down-and-In, S=100, Barrière=90, Uitoefenprijs 80, R=0,045, σ=0,30, Duur=10/365
Aantal runs λ=0
CPU λ=1
CPU λ=10
CPU λ = 100 CPU
3
10
23,0391 0,5
24,7107 0,6
104
23,7757 5
25,1095 6
5
10
23,4778 47
25,2758 54
44,8305 101
53,1048 1243
106
23,5394 470
25,0874 542
Figuur VII.3: Optieprijs Up-and-In met verschillende λ’s met λ op de x-as
Figuur VII.3 laat zien dat bij een Parijse Up-and-In optie de optieprijs hoger ligt naar mate er
meer sprongen voorkomen in de prijs van de onderliggende waarde. Dit is te verklaren door het
feit dat meer sprongen voor een toename van de beweeglijkheid van de prijs van de onderliggende
waarde zorgt. De kans om boven de barrière te raken, startend vanuit een prijs die hoger ligt
dan de barrière, is dan groter. Dit maakt de kans op een knock-in groter bij meer sprongen.
Bovendien is dit te verklaren door het feit dat de kans op een hogere prijs van de onderliggende
waarde groter is. Dit komt doordat de sprongen er voor zorgen dat de kans dat de waarde
van het onderliggende effect meer afwijkt van de beginprijs vermenigvuldigd met de rentefactor
groter is. De kans op een zeer lage prijs van de onderliggende waarde stijgt ook, maar wat de
waarde onder de uitoefenprijs ook is, is niet van belang voor de optieprijs, de optie is altijd
waardeloos in het geval van een waarde kleiner dan de uitoefenprijs.
Duur =200/365
Aantal runs Lambda=1
104
12,1713
5
10
11,9529
106
12,0321
CPU
3
31
307
200
10
naar 365
, is zoals af te lezen uit de
Wanneer de duur voor een knock-in wordt verlengd van 365
tabel de waarde van dit type optie aanzienlijk lager. Dit is te verklaren doordat de kans op een
knock-in wordt verkleind.
33
Uitoefenprijs
90
100
110
Aantal runs
104
105
104
105
104
105
Lambda=1
4,2484
4,1575
2,6202
2,5461
1,4730
1,5633
CPU
6
63
6
60
6
63
De relatieve (en absolute) daling veroorzaakt door de hogere uitoefenprijzen lijkt erg op die bij
de Parijse Down-and-In optie.
VII.5
Up-and-Out
Up-and-Out,
Aantal runs
103
104
105
106
S=100, Barrière=110, Uitoefenprijs 80, R=0,045, σ=0,30, Duur=10/365
λ=0
CPU λ=1
CPU λ=10
CPU λ = 100 CPU
2,8656 0,5
2,1803 0,5
2,6145 5
2,2956 5
2,6646 47
2,2798 54
0,3700 121
0,0484
917
2,6591 472
2,2943 543
Figuur VII.4: Optieprijs Up-and-Out met verschillende λ’s met λ op de x-as
Figuur VII.4 laat zien dat bij een Parijse Up-and-Out optie de optieprijs lager ligt naar mate er
meer sprongen voorkomen in de prijs van de onderliggende waarde. Dit is te verklaren door het
feit dat meer sprongen voor een toename van de beweeglijkheid van de prijs van de onderliggende
waarde zorgt. De kans om boven een barrière te raken startend vanuit een prijs die lager ligt dan
de barrière is dan groter. Dit maakt de kans op een knock-out groter bij meer sprongen.
Duur =200/365
Aantal runs Lambda=1
104
15,5721
105
15,4125
6
10
15,4459
CPU
3
28
282
200
10
naar 365
, is zoals af te lezen uit
Wanneer de duur voor een knock-out wordt verlengd van 365
de tabel de waarde van dit type optie aanzienlijk hoger. Dit is te verklaren doordat de kans op
een knock-out wordt verkleind.
34
Uitoefenprijs
90
100
110
Aantal runs
104
105
104
105
104
105
Lambda=1
0,9486
0,9351
0,2569
0,2498
0,0267
0,0274
CPU
5
54
5
54
5
54
De bovenstaande tabel geeft het verband weer tussen de uitoefenprijs en de optiewaarde. Relatief
dalen de waarden hier harder dan de resultaten bij de andere opties. Uit deze tabellen bij
verschillende opties kan worden opgemerkt dat bij een hoge optiewaarde de daling relatief klein
is bij een verhoging van de uitoefenprijzen en dat bij een lage optiewaarde de daling relatief erg
groot is en absoluut klein.
35
Conclusie
Een Europese calloptie is een recht om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde
prijs, de uitoefenprijs, te kopen op de expiratiedatum. Een barrieroptie is een exotische optie
waarbij de uitbetaling afhangt van het raken van koers van de onderliggende waarde van de
barrière gedurende de looptijd. Bij Parijse barrieropties is het ook nog van belang hoe lang de
excursie boven (of onder) de barrière is voor een knock-in dan wel een knock-out.
De prijsbepaling van barrieropties, die van groot belang is in de financiële wereld, wordt dus
bepaald door het prijsproces van de onderliggende waarde, waarbij niet enkel de prijs van de
onderliggende waarde op het moment van expiratie, maar gedurende het hele prijsproces van
belang is. Dit prijsproces kan worden gezien als een sprong-diffusieproces, waarbij het model
gebruikmaakt van een aantal sprongen dat Poisson verdeeld is. In deze scriptie wordt de risiconeutrale prijs van opties bepaald met de Monte-Carlomethode die het gemiddelde neemt van de
waarde van opties bij verschillende onafhankelijke prijsprocessen. Dit geeft een zuivere schatting
van de optieprijs bij de sprong-diffusieprocessen.
Bij de simulatie van een prijsproces voor het schatten van de prijs van een standaard barrieroptie
kunnen effectprijzen worden berekend op verschillende tijdstippen en dan kan worden berekend
of de barrière is geraakt gedurende een interval tussen twee tijdstippen.
Voor de prijsbepaling van een Parijse optie zijn raaktijden van de barrière van belang. De exittijd
op een bepaald moment, het laatste tijdstip voor dat moment waarop de barrière geraakt is
evenals de raaktijden kunnen worden berekend voor een prijsproces zonder drift. Het aanpassen
van de kansruimte zorgt ervoor dat het mogelijk is simulaties zonder drift te genereren die leiden
tot een schatter, waarbij de koers van de onderliggende waarde wel drift heeft.
De resultaten laten zien dat stratificiatie naar het aantal sprongen zorgt voor variantiereductie en
dus een kleiner betrouwbaarheidsinterval geeft. Dit kan ook worden gezien als dat de rekentijd
voor eenzelfde betrouwbaarheidsinterval omlaag gaat bij stratificatie. Een hogere sprongintensiteit zorgt voor een langere rekentijd en afhankelijk van het type Parijse optie voor een hogere
(Down-and-In, Down-and-Out en Up-and-In) dan wel lagere prijs (Up-and-Out). Het verlengen
van de vereiste duur van de excursie boven of onder de barrière voor een knock-in of knock-out
zorgt voor een kleinere kans op een knock-in dan wel knock-out, dit zorgt voor een hogere prijs
van de knock-in opties en een lagere prijs van de knock-out opties.
36
Discussie
“ Derivatives generate reported earnings that are often wildly overstated and
based on estimates whose inaccuracy may not be exposed for many years ”
- Warren Buffet
Uit de stellingname van ‘superbelegger’ Buffet blijkt dat hij weinig vertrouwen heeft in modellen
die gebruikt worden voor de prijsbepaling van opties. Er zijn inderdaad kanttekeningen te plaatsen bij dit model. Zo zijn verscheidene aannames gedaan die bij vervolgonderzoek heroverwogen
moeten worden, daarenboven zijn er factoren weggelaten die van marginale invloed lijken voor
de prijsbepaling, hoewel ze niettemin de acturatesse kunnen verhogen.
Een uitermate belangrijke aanname voor de prijsbepaling van opties is dat de prijs van de onderliggende waarde een Brownse beweging volgt met sprongen die op elk moment op elk tijdstip
dezelfde kans hebben om voor te komen. Hier zijn enkele kanttekeningen bij te plaatsen.
• Voorkomen sprongen - Het voorkomen van sprongen is in het beschreven model Poisson
verdeeld met parameter λ en de grootte is uniform (0.5,1.5) verdeeld. Doch er is dikwijls
meer informatie over het voorkomen van sprongen bekend. Hoewel dit afhankelijk is van
de betreffende onderliggende waarde zouden extra sprongen toegevoegd kunnen worden.
Zo is het mogelijk, indien de onderliggende waarde aandelen van de beurs zijn die op vooraf
bekende tijdstippen hun kwartaal/jaarcijfers publiceren, (kleine) sprongen toe te voegen
op die vaste momenten. Hetzelfde geldt voor de dagelijkse sprongen bij de opening van de
beurs.
• Dividend - De onderliggende waarde kan dividend uitkeren op vooraf vastgestelde data.
Op de dag dat de onderliggende waarde ex divident gaat, noteert het bij de opening vaak
beduidend lager met een bedrag dat de hoogte van het dividend benadert. Als de hoogte
van het dividend en de datum voor het schrijven van de optie vastliggen, zou het meenemen
van dit gegeven bij de prijsbepaling van de optie een meer realistische prijs kunnen geven.
• Volatiliteit - De Black-Scholes aanname van constante volatiliteit houdt geen stand. Hoewel niet direct duidelijk is hoe de volatiliteit varieert, zijn er voorspellingen voor deze
parameter, waarbij de waarde verandert in de tijd.
• Rente - Er is aangenomen dat er een risicovrije rente bestaat die gedurende de gehele
looptijd van de optie constant is. Buiten het gegeven dat deze rente risicovrij zou zijn, blijkt
in de praktijk dat de rente niet constant is. Modellen die schattingen maken van de rente
in de toekomst bestaan en kunnen, indien goede modellen, de prijsbepaling verbeteren.
• Risiconeutraal - Het model bevat de aanname dat de verwachting van de de Brownse
beweging gelijk is aan de rente bij de risiconeutrale prijsbepaling.
37
Variantie in de resultaten zouden verkleind kunnen worden door het toepassen van variantie
reducerende methoden, wat mogelijkheden schept voor vervolgonderzoek.
• Variantiereductie - Door te stratificeren (buiten stratificatie naar sprongaantallen) kan
variantiereductie worden verkregen. Ook andere variantiereducerende methoden kunnen
er voor zorgen dat het algoritme sneller convergeert naar een prijs, zodat er met een kleiner
aantal prijsprocessen een even betrouwbare prijs gegenereerd kan worden en de rekentijd
gereduceerd kan worden.
Deze factoren kunnen worden aangewend in toekomstige modellen om een accuratere prijs te
bepalen en/of de variantie verhogen. Ander vervolgonderzoek zou kunnen bestaan uit het verbeteren van de efficiëntie om zo de rekentijd te verlagen, daar een korte rekentijd van belang
kan zijn voor snelle beslissingen op de financiële markten.
38
Literatuur
[1] Anderluh, J.H.M. (2007) Probabilistic methods in exotic option pricing, Thomas Stieltjes
Institute for Mathematics.
[2] Asmussen, S and Glynn, P.W. (2000) Stochastic Simulation. Springer Science and Business
Media LCC.
[3] http://bbc.co.uk Bezocht op 5 april 2013.
[4] http://www.berkshirehathaway.com/ Bezocht op 10 april 2013.
[5] Chesney, M. Jeanblanc-PicquÃľ, M. en Yor, M. (1997) Brownian Excursions and Parisian
Barrier Options, Advances in Applied Probability, jrg. 29, nr 1, pp. 165-184.
[6] Chung, K.L. (1976) Excursions in Brownian motion. Adv. Appl. Prob. 14.
[7] Ghamami, S. and Ross, S.M. (2010) Efficient Monte Carlo Barrier Option Pricing When the
Underlying Security Price Follows a Jump-Diffusion Process, The Journal of Derivatives, jrg.
17, nr. 3, pp. 45-52.
[8] Karatzas, I. Shreve, E.S. (1991) Brownian Motion and Stochastic Calculus. 0387976558.
[9] Rice, J.A. (2007) Mathematical Statistics and Data Analysis 3. ed. University of California,
Berkely, Thomson Brooks/Cole.
[10] Rubinstein, M. and Reiner, E. (1991) Breaking Down the Barriers, Risk Magazine, jrg. 4,
nr. 8, pp. 28-35.
39