Tentamen: Wiskunde en Statistiek 1 – 6011P0123 Succes!

Faculteit der Economische Wetenschappen en Econometrie
Op dit voorblad vindt u belangrijke informatie omtrent het tentamen. Voordat u met het tentamen begint: lees dit voorblad! Tentamen: Wiskunde en Statistiek 1 – 6011P0123 Tentamendatum & ‐tijd: 8 juli 2013 van 09:00 – 12:00 uur Duur van het tentamen: 3 klokuren (180 minuten) U dient zich te legitimeren met uw UvA legitimatiebewijs met foto of uw UvA collegekaart samen met paspoort of rijbewijs of een ander geldig legitimatiebewijs (voor studenten) met foto. Als u voor dit tentamen niet bent ingeschreven dan heeft u geen recht op een judicium. Als u denkt wel recht te hebben op een judicium dan kunt u een schriftelijk verzoek (met bewijs) om alsnog een judicium te verkrijgen indienen bij de directeur van het Onderwijsinstituut. Vermeld uw naam, studentnummer en volgnummer op het antwoordformulier en lever alleen het antwoordformulier in! Waarschuwing tegen fraude: Fraudeer niet! Bij fraude staat u als maximale straf de uitsluiting van alle tentamens voor een jaar te wachten. Uw mobiele telefoon dient uitgeschakeld en opgeborgen in uw tas te zijn. Uw tas dient gesloten links van uw tafel op de vloer te zijn geplaatst. Leg uw student ID rechts bovenaan op uw tafel. Tijdens het tentamen is toiletbezoek maar zeer beperkt mogelijk! Toegestane hulpmiddelen: potlood, pen, gum, liniaal, niet‐ grafische rekenmachine, boekje Formulas & Tables en kladpapier. Specifieke toelichtingen voor dit tentamen: Zie info bovenaan op eerste opgavenblad tentamen. De uitslag worden uiterlijk 15 werkdagen na de tentamendatum bekend gemaakt. Mocht het hertentamen binnen 6 weken van dit tentamen staan geprogrammeerd dan is de nakijktermijn 12 dagen. Tentamen inzage: Mededelingen over de inzage via Blackboard. Het tentamen kan na inzage eventueel besproken worden met een docent. Succes! Universiteit van Amsterdam
Faculteit Economie en Bedrijfskunde
Afdeling Kwantitatieve Economie
Tentamen Wiskunde & Statistiek 1
8 juli 2013
Tijd: 9:00–12:00 uur
De uitslag wordt uiterlijk over 15 werkdagen bekend gemaakt via het studieweb. De uitwerkingen komen op Blackboard. Mededelingen over inzage via Blackboard. Het tentamen kan na inzage eventueel worden besproken met een
docent.
N.B. Het is toegestaan om de syllabus ‘Formulas and Tables’te gebruiken mits deze geen aantekeningen bevat. Het
is NIET toegestaan een grafische rekenmachine te gebruiken. Toiletbezoek is BEPERKT mogelijk.
Het tentamen bevat een deel met korte vragen waarbij alleen het antwoord moet worden gegeven. Berekeningen worden
bij dit deel niet meegenomen bij de beoordeling. Het tweede deel van het tentamen bestaat uit drie Wiskundeopgaven en
één Statistiekopgave. Bij dit deel dienen alle (tussen) berekeningen gegeven te worden. Bij dit tentamen wordt
gebruikgemaakt van de decimale punt.
DEEL I – KORTE VRAGEN < 24 punten, per goed antwoord 2 punten>
WIS
Vraag 1
Gegeven is de functie
ln ,
0. Bepaal de coördinaten van het (de)
een extreme waarde heeft.
punt(en) waar
WIS
Vraag 2
Los op voor : 3
3
810
dh
van de functie
.
dt
iseenpositieveconstante
Iemand leent € 200 000 voor de aanschaf van een woning. De terugbetaling vindt plaats
door gedurende een aantal jaren telkens aan het eind van het jaar € 16 050 te betalen
voor interest en aflossing samen (annuïteitenlening). Het interestpercentage is 5 %,
nominaal op jaarbasis. Bepaal de totale looptijd van deze lening in jaren.
 3  3x 2 
Bepaal: lim 
.
x 1
 x 1 
Bepaal de afgeleide
WIS
Vraag 3
WIS
Vraag 4
WIS
Vraag 5
WIS
Vraag 6
Vind alle eerste orde partiële afgeleiden van g ( x, y, z ) 
WIS
Vraag 7
1 ln 3
Gegeven is de functie
de grafiek van in het punt met
2.
WIS
Vraag 8
STA
Vraag 9
STA
Vraag 10
STA
Vraag 11
STA
Vraag 12
x z
in punt (1, 1, 1).
yz
. Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan
w
, gegeven
7
,
en
. Schrijf het antwoord op in termen
t
van en .
De koers van een aandeel stijgt in het eerste jaar met 25%, daalt in het tweede jaar met
10% en verandert in het derde jaar met x %. Gemiddeld is de koers over deze 3 jaar, per
jaar, met 19.06% gestegen. Bepaal de koersverandering in het derde jaar in procenten en
geef aan of het een daling of een stijging betreft. (2 decimalen)
Bepaal
Bepaal de steekproefcovariantie voor de volgende koppels waarnemingen:
(3, 15), (4, 25), (9, 20), (12, 30) en (17, 35). (2 decimalen)
Stel een grote groep studenten bestaat voor 70% uit mannen en 30% uit vrouwen. Voor
een bepaalde toets heeft maar 5% van de mannen en 10% van de vrouwen een
voldoende behaald. Als we nu aselect een student uit deze groep loten en horen dat deze
student een voldoende heeft behaald voor de toets, hoe groot is dan de kans dat deze
student een man is? (4 decimalen)
Het gemiddelde aantal behaalde punten voor een examen is 64, met een
standaarddeviatie van 10. De beste 14% van alle studenten krijgt als score “uitstekend”.
Veronderstel dat het aantal behaalde punten normaal verdeeld is. Hoeveel gehele punten
moet een student minimaal behaald hebben om de score “uitstekend” te krijgen?
DEEL II – OPEN VRAGEN
Opgave 1 (WISKUNDE) < 20 punten>
Een ondernemer wil een lening afsluiten van drie miljoen euro (€ 3 000 000) met een looptijd van 5 jaar. De
ondernemer ontvangt twee aanbiedingen:
- Een lineaire lening: maandelijks betaalt hij een vast bedrag aan aflossing en daarnaast de verschuldigde rente.
- Een annuïteitenlening: maandelijks betaalt hij een vast bedrag, de annuïteit, aan aflossing en rente.
Het interestpercentage is voor beide leningsvormen 12% nominaal per jaar.
a.
Bereken het effectieve interestpercentage. Rond af op 2 decimalen.
b.
Na hoeveel maanden is de maandbetaling bij de lineaire lening voor het eerst minder dan € 60 000 ?
c.
De maandelijks te betalen annuïteit, bij de tweede aanbieding, bedraagt € 66 733.34 . Na hoeveel maanden is
voor het eerst meer dan de helft van de hoofdsom van drie miljoen euro afgelost?
Opgave 2 (WISKUNDE) < 16 punten>
Het verband tussen de prijs p en de gevraagde hoeveelheid q van een bepaald goed is gegeven door de
vraagfunctie:
q = f (p) = 10-0.04 p +2
met p  0 en q  0
a.
Bepaal de inverse functie van f: f 1
b.
Bepaal voor welke prijs de vraag kleiner is dan 0.1.
c.
Bereken de prijselasticiteit van de vraag voor p = 10. (2 decimalen)
d.
Benader met hoeveel procent de vraag wijzigt als de prijs vanuit € 10 met € 0.50 stijgt. (2 decimalen)
Opgave 3 (WISKUNDE) < 14 punten>
Gegeven is de functie f (x , y ) = ln(xy ) + (x 2 + y )2 .
a.
Geef een lineaire benadering van f (x , y ) in een omgeving van het punt (x , y ) = (1,1).
b.
Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de niveaukromme met vergelijking f (x , y ) = 4
in het punt (x , y ) = (1,1).
Opgave 4 (STATISTIEK) < 26 punten>
Het gewicht van een leeg biervat (50 liter) is normaal verdeeld met een verwachtingswaarde van 5.0 kg. en een
standaardafwijking van 0.3 kg. Het gewicht van de inhoud is normaal verdeeld met een verwachtingswaarde van
50.0 kg en een standaardafwijking van 0.4 kg, en is onafhankelijk van het gewicht van het vat.
a.
Bepaal een 95% symmetrisch kansinterval voor het gewicht van een leeg biervat. (2 decimalen)
b.
Bepaal de verwachtingswaarde en standaardafwijking van het gewicht van een vol biervat. (1 decimaal)
c.
Bepaal de kans dat 50 volle biervaten samen meer dan 2755 kg. wegen. (4 decimalen)
Bij het inladen voor transport worden alle gevulde biervaten gewogen. Indien het gewicht van een gevuld vat
minder is dan 54.0 kg. wordt dit vat afgekeurd (het vat kan beschadigd zijn, of onvoldoende gevuld).
d.
Bereken de kans dat van een partij van 100 gevulde vaten er precies twee worden afgekeurd. (4 decimalen)
EINDE TENTAMEN