Wet van Lambert-Beer (vervolg) Differentiaalvergelijking

prof. Rob Mudde
&
dr. Jeroen Spandaw
wiskunde als gereedschap voor fysica:
in en rond onze atmosfeer
1
Inhoud
Technieken:
• balansvergelijking
• dimensieanalyse
Thema’s:
• energiebalans aarde
• röntgenstraling
2
Voorbeeld: energiebalans bal
Probleem:
Gooi een bal recht omhoog.
Vergelijk de snelheid op de heen- en terugweg
op gelijke hoogte. Welke snelheid is groter?
Antwoord:
A. snelheid omhoog > snelheid omlaag
B. snelheid omhoog < snelheid omlaag
C. snelheid omhoog = snelheid omlaag
3
Voorbeeld: bevolking
instroom: immigratie,
vakantie, etc.
uitstroom: emigratie,
vakantie, etc.
productie:
geboorte - sterfte
verandering = instroom – uitstroom + productie
4
Voorbeeld: creditcrisis
d$
  P$  0
dt
5
Voorbeeld: energiebalans bal
Probleem: Gooi bal recht omhoog en vergelijk
de snelheid op heen- en terugweg.
Is de snelheid omhoog gelijk aan de snelheid
omlaag?
Oplossing:
Ekin + Epot + Ewrijving = constant
dus A: snelheid omhoog > snelheid omlaag
6
Voorbeeld: energiebalans aarde
Zonne-energie per seconde: 4 x 1026 joule
Hiervan treft de aarde:
2 x 1017 watt
Gemiddeld over aardoppervlak: 342 W/m2
L
2Ra
Rz
7
Straling en temperatuur
aarde warmt op
door invallend
zonlicht S = 342 W/m2
aarde koelt af
door infrarode
uitstraling
Aarde bereikt evenwichtstemperatuur T :
vermogen in = vermogen uit
8
Stralingswet van Stefan-Boltzmann
Evenwicht tussen zonnestraling S en
aardtemperatuur T:
S =σ·T
4
met natuurconstante σ = 5.67 x 10-8 W/(m2 K4).
Voorbeeld: zonnestraling S = 342 W/m2
 T = 279 kelvin = +6 graden Celcius
Vergelijk meetwaarde: T = 288 K = +15º C
9
Evenwicht tussen S en T
S = 342 W/m2 = σ · T4
model versie 0
T = 279 K
oppervlak
10
Eerste verfijning: albedo
11
Eerste verfijning: albedo
Albedo: 30% van het zonlicht wordt
gereflecteerd door wolken, sneeuw,…
Aangepaste berekening:
0.70 · S = σ · T 4 met S = 342 W/m2
 T = 255 K = -18º C.
Slechter resultaat: veel te koud!
Oplossing: broeikaseffect
12
Evenwicht met albedo
0.7 · S
=
model versie 1
 · T4
T = 255 K
oppervlak
13
Tweede verfijning: broeikasgas
Broeikasgas (waterdamp!) in de atmosfeer:
• is transparant voor invallend geel zonlicht
• maar absorbeert uitgestraald infrarood
 de atmosfeer warmt op
 de atmosfeer straalt infrarood
• omlaag naar het aardoppervlak
• omhoog de ruimte in
14
Toevoeging broeikasdeken
We modelleren de deken van broeikasgassen als
een laag die:
• volledig transparant is voor invallende
zonnestraling
• en uitgestraalde infrarode straling volledig
absorbeert.
Er onstaat evenwicht tussen straling zon, straling
aarde en straling broeikasdeken.
15
Broeikaseffect voor beginners
σ · T24
0.7 · S
T2 “deken”
σ · T14
model versie 2
σ · T24
T1
oppervlak
16
Zelf aan het werk met werkblad
1. Balansvergelijkingen opstellen en oplossen
voor model 2: “Broeikas voor beginners”
2. Balansvergelijkingen opstellen en oplossen
voor model 3: “Broeikas voor gevorderden”
3. Verdere verfijningen (meetkunde)
17
Staren in de mist
Hoe ver kun je kijken?
Probleem: het licht moet door de mist heen
18
Van mist naar röntgenstraling
Analoog, simpeler probleem: röntgenstraling
19
Wet van Lambert-Beer
D
I0
bron
μ
I
door te lichten
materiaal
detector
materiaal absorbeert en verstrooit deel van röntgenstraling
20
Wet van Lambert-Beer (vervolg)
Neem een dun plakje materiaal:
I ( x + dx)
I (x)
dx
Balans:
in – (absorptie + verstrooiing) = uit
I (x) –
μ · I · dx
= I (x + dx)
21
Wet van Lambert-Beer (vervolg)
dI
Differentiaalvergelijking:
   I
dx
Oplossing:
I ( x)  I 0 exp    x 
Conclusie: Botten steken op röntgenfoto’s
donker af , want μbron > μweefsel .
22
Kijken in de mist (opdracht)
Hoe ver kun je kijken in de mist?
Maak een model!
23
Wiskundeonderwijs in balans
24