Maat en Integraal

Maat en Integraal
Deborah Cabib, Alex Kuiper, Andries Lenstra, Gerrit Oomens, Suzanne Sniekers
2008-2009
Syllabus Integratietheorie
Met dank aan Arnoud van Rooij, Jan Smit, Richard Dudley en Heinz Bauer
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Inhoudsopgave
I
Het
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
bestaan van de Lebesgue-maat
Inleiding: sigma-algebra’s en maten . . . . . .
Halfringen en prematen . . . . . . . . . . . .
De Borel-Lebesgue-premaat . . . . . . . . . .
Uitwendige maten en meetbare verzamelingen
De Lebesgue-maat . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
4
5
6
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
13
14
15
16
20
III Productmaat en Fubini
III.1 Algebra’s en monotone klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Product-sigma-algebra’s en productmaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3 Stelling van Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
21
24
II Meetbare functies en integralen
II.1 Topologieën en Borelverzamelingen
II.2 Beelden . . . . . . . . . . . . . . .
II.3 Continuı̈teit en meetbaarheid . . .
II.4 Reëelwaardig en verder . . . . . . .
II.5 Integralen . . . . . . . . . . . . . .
II.6 Bijna overal . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hoofdstuk I
Het bestaan van de
Lebesgue-maat
I.1
Inleiding: sigma-algebra’s en maten
Ieder interval in R heeft een lengte; zo is de lengte in [3, 5] gelijk aan 5 − 3 = 2 en is de lengte
van [3, 3] gelijk aan 0. Evenzo heeft een rechthoek [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] in R2 een oppervlakte, lengte ×
breedte (= lengte van de tweede coördinaat) en een blok in R3 heeft een volume, lengte × breedte
× hoogte. In het algemeen kunnen we een n-dimensionaal blok [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ] een
n-dimensionaal volume toekennen gelijk aan (b1 − a1 ) × (b2 − a2 ) × · · · × bn − an als voor iedere i
geldt dat ai ≤ bi .
Deze toekenningen gedragen zich fatsoenlijk in de zin dat ze tot op zekere hoogte additief zijn.
De lengte van [3, 5] ∪ [5, 8] is bijvoorbeeld
gelijk aan de lengte van [3, 5] plus die van [5, 8]. (Aan
S
de andere kant: wat gebeurt er bij r∈[0,1] [r, r] = [0, 1]?)
Blokken in Rn zijn bij lange na niet de enige deelverzamelingen van Rn die ‘gemeten’ kunnen
worden, dat wil zeggen waaraan op additieve wijze een getal toegekend kan worden. We zullen
namelijk in dit hoofdstuk de bovenstaande toekenning echt uitbreiden naar de Lebesgue-maat op
de collectie van de Lebesgue-meetbare verzamelingen. (Ieder blok is dus Lebesgue-meetbaar en de
Lebesgue-maat van een blok is zijn volume, maar niet iedere Lebesgue-meetbare verzameling is
een blok.) Later zal duidelijk worden dat we zoveel meetbare verzamelingen hebben gevonden dat
ze erg nuttig zijn.
De Lebesgue-maat is een maat, een maat is een speciaal soort functie; om te beginnen hebben
maten speciale domeinen, die we hier invoeren.
Definities. Als X en A ⊂ 2X verzamelingen zijn met:
• X ∈ A,
• A ∈ A ⇒ Ac ∈ A,
• A1 , A2 , . . . ∈ A ⇒
S∞
i=1
Ai ∈ A,
dan heet A een σ-algebra (uitgesproken ‘sigma-algebra’) op X en (X, A), of X, een meetbare
ruimte. Elementen van A noemen we ook wel meetbaar. Voor iedere verzameling X zijn de
verzamelingen 2X en {∅, X} σ-algebra’s op X.
Opgave I.1.1. Als A een σ-algebra is op X, dan
• ∅ ∈ A,
• A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A, A ∩ B ∈ A en A \ B ∈ A,
T∞
• A1 , A2 . . . ∈ A ⇒ i=1 Ai ∈ A.
2
Opgave I.1.2. Voor alle A1 , A2 ,S
. . . in een σ-algebra
A zijn er disjuncte B1 , B2 , . . . (dat wil zeggen
Sn
n
Bi ∩ Bj = ∅ als i 6= j) in A met i=1 Ai = i=1 Bi voor alle n ∈ N := {1, 2, . . .}.
Opgave I.1.3. Iedere σ-algebra op R die alle intervallen (a, b] met a, b ∈ R bevat, bevat ook alle
intervallen (a, b) , [a, b] , en [a, b) .
Maten moeten ook de waarde ∞ kunnen aannemen. Maar dan vereist hun additiviteit dat we ∞
bij elementen van [0, ∞] kunnen optellen. Dit gaat als volgt:
∀a ∈ R
a + ∞ = ∞ + a = ∞ + ∞ = ∞.
(i.1.1)
Opgave I.1.4. Als V een verzameling is en f : V → [0, ∞] een functie de som van f over V als
het supremum van de sommen van eindige grepen:
X
f (v) := sup{f (v1 ) + · · · + f (vn ) : n ∈ N, v1 , . . . , vn ∈ V verschillend}.
v∈V
P
P∞
Als V aftelbaar is dan is v∈V f (v) = i=1 f (vi ) voor iedere aftelling v1 , v2 , . . . van V (merk op
dat hieruit
volgt dat de volgorde niet uitmaakt bij een oneindige som van niet-negatieve getallen).
P
Als v∈V f (v) < ∞, dan is {v ∈ V : f (v) > 0} aftelbaar.
Definities. Als A een σ-algebra op X is en µ : A → [0, ∞] voldoet aan:
• µ(∅) = 0, en
• voor alle disjuncte A1 , A2 , . . . in A geldt
∞
[
µ
!
Ai
=
∞
X
µ(Ai ),
i=1
i=1
dan is µ een maat op X of op A. De laatste eigenschap noemen we de aftelbare additiviteit of σadditiviteit van µ. Een kansmaat is een maat op X met totale massa µ(X) = 1; een kansverdeling
of verdeling is een speciaal soort kansmaat.
Opgave I.1.5. Er geldt:
• Voor een [0, ∞]-waardige functie µ op een σ-algebra volgt de eigenschap µ(∅) = 0 niet uit
de σ-additiviteit.
• Een maat µ op A is stijgend :
∀A, B ∈ A
A ⊂ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B),
• eindig additief: µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) voor alle disjuncte A, B ∈ A, en
• aftelbaar subadditief : voor alle A1 , A2 , . . . ∈ A geldt:
!
∞
∞
[
X
µ
An ≤
µ(An ).
n=1
n=1
Opgave I.1.6. Als µ een maat is op σ-algebra A, dan geldt voor alle A1 , A2 , . . . in A:
!
∞
[
µ
An = lim µ(An ) als A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ,
µ
n=1
∞
\
n=1
n→∞
!
An
= lim µ(An )
n→∞
als A1 ⊃ A2 ⊃ · · · en µ(A1 ) < ∞.
Geef een tegenvoorbeeld tegen de laatste uitspraak indien de conditie µ(A1 ) < ∞ wordt weggelaten.
3
Opgave I.1.7. Laat λ een maat zijn op een σ-algebra op R die alle intervallen bevat en stel dat λ
lengte uitbreidt, dus λ([a, b]) = b − a voor alle a, b ∈ R, a ≤ b. Dan is λ(Q) = 0.
We merkten al op dat maten als λ in I.1.7 echt bestaan. Om er achter te komen waarom hebben
we een lange aanloop nodig, waarmee we nu beginnen.
I.2
Halfringen en prematen
Definitie. Als X en H ⊂ 2X verzamelingen zijn met:
• ∅ ∈ H,
• A, B ∈ H ⇒ A ∩ B ∈ H en
• A, B ∈ H ⇒ er bestaan disjuncte A1 , A2 , . . . ∈ H met A \ B =
S∞
i=1
Ai
dan noemen we H een halfring op X. Iedere σ-algebra is een halfring. De verzameling van alle
blokken (a1 , b1 ]×(a2 , b2 ]×. . .×(an , bn ] in Rn is een halfring op Rn . Als we het element Rn toevoegen
aan de verzameling van alle blokken dan is de nieuwe verzameling nog steeds een halfring.
Lemma I.2.1. Voor
N en A, A1 , . . ., An in halfring H bestaan er disjuncte C1 , C2 ,
Sn alle nS∈
∞
. . . ∈ H met A \ i=1 Ai = j=1 Cj .
Bewijs. We passen volledige inductie naar n toe. Voor n = 1 is de bewering duidelijk waar. In
het algemeen is
!
n−1
n
[
[
Aj \ An ,
Ai = A \
A\
i=1
i=1
en als A \
Sn−1
i=1
Ai =
S∞
i=1
Ci met Ci ∈ H disjunct (inductieveronderstelling), dan is
!
n
∞
∞
[
[
[
A\
Aj =
C i \ An =
(Ci \ An )
i=1
i=1
i=1
S∞
en voor iedere i is Ci \ An = j=1 Di,j voor zekere Di,j ∈ H disjunct over j. Maar deze Di,j zijn
dan ook disjunct over (i, j), want de Ci zijn disjunct over i en er geldt Di,j ⊂ Ci voor alle i en j.
Dus
∞
∞ [
∞
n
[
[
[
[
(Ci \ An ) =
Di,j =
Di,j .
Aj =
A\
i=1
i=1 j=1
i=1
i,j
Lemma
alle A1 , A2 , . . . in halfring H bestaan er disjuncte C1 , C2 , . . . ∈ H zodanig
S∞ I.2.2.SVoor
∞
dat i=1 Ai = j=1 Cj .
Bewijs. We passen I.2.1 toe en vinden:
∞
[
i=1
Ai =
∞
[
i=1

Ai \
i−1
[
j=1

Aj  =
∞ [
∞
[
Di,k ,
i=1 k=1
waarbij de Di,k disjunct zijn over k. Maar dan zijn ze ook disjunct over (i, k), want
Si−1
Ai \ j=1 Aj .
Definitie. Als H een halfring op X en µ : H → [0, ∞) voldoet aan
• µ(∅) = 0 en
S∞
P∞
S∞
• µ( i=1 Ai ) = i=1 µ(Ai ) voor alle disjuncte A1 , A2 , . . . met i=1 Ai ∈ H,
4
S∞
k=1
Di,k =
dan is µ een premaat op H. Een premaat kent dus alleen eindige waarden toe. Merk op dat
de σ-additiviteit nu veel voorzichtiger geformuleerd moet worden dan voor maten.
Lemma
I.2.3. Voor elke
halfring H, elke premaat µ op H en alle disjuncte A1 , A2 , . . . ∈ H met
S∞
P∞
A
⊂
A
∈
H
geldt
i=1 i
i=1 µ(Ai ) ≤ µ(A). In het bijzonder is iedere premaat stijgend.
Bewijs. Voor elke n zijn er wegens I.2.1 disjuncte Cj ∈ H met
!
n
n
∞
n
[
[
[
[
A= A\
Ai ∪
Ai =
Cj ∪
Ai ,
i=1
i=1
j=1
i=1
zodat wegens de σ-additiviteit van µ
µ(A) =
∞
X
µ(Cj ) +
j=1
Er volgt µ(A) ≥
P∞
i=1
n
X
µ(Ai ) ≥
i=1
n
X
µ(Ai ).
i=1
µ(Ai ).
Lemma S
I.2.4. Iedere premaatP
is aftelbaar subadditief in de zin dat voor alle A, A1 , A2 , . . . ∈ H
∞
∞
met A ⊂ i=1 Ai geldt µ(A) ≤ i=1 µ(Ai ).
Bewijs. We passen het bewijs van I.2.2 toe en vinden


∞
∞
∞ [
∞
[
[
[
A=
Aj  ∩ A =
(Aj ∩ A) =
Dj,k
j=1
j=1
j=1 k=1
voor zekere Dj,k ⊂ Aj disjunct over (j, k). Nu geeft I.2.3 ons dat
met de σ-additiviteit van µ op H krijgen we
µA =
∞
∞ X
X
µ(Dj,k ) ≤
k=1
µ(Dj,k ) ≤ µ(Aj ), en samen
µ(Aj ).
j=1
j=1 k=1
I.3
∞
X
P∞
De Borel-Lebesgue-premaat
Zij n een natuurlijk getal, H de halfring van alle blokken (a1 , b1 ] × (a2 , b2 ] × · · · × (an , bn ] in Rn ,
en laat λ aan ieder blok zijn volume toewijzen:
λ : (a1 , b1 ] × (a2 , b2 ] × · · · × (an , bn ] 7→ (b1 − a1 ) × (b2 − a2 ) × · · · × (bn − an ),
voor alle ai , bi met ai ≤ bi .
Opgave I.3.1. Stel A, A1 , A2 , . . . , An ∈ H. Dan geldt:
Sn
Pn
(a) Als A ⊂ i=1 Ai , dan λ(A) ≤ i=1 λ(Ai ).
Sn
Pn
(b) Als A ⊃ i=1 Ai en de Ai zijn disjunct, dan λ(A) ≥ i=1 λ(Ai ).
Hint: Integreer indicatorfuncties en gebruik de eigenschappen van de Riemannintegraal.
Stelling I.3.2. De afbeelding λ is een premaat op H.
Bewijs. De afbeelding λ voldoet aan λ(∅) = 0,Swant ∅ = (0, 0] × · · · × (0, 0]. We
tonen aan
P∞
∞
voor alle disjuncte A1 , A2 , . P
. . ∈ H met A := i=1 Ai ∈ H geldt dat λ(A) = Pi=1 λ(Ai ).
∞
∞
I.3.1 (b) volgt dat λ(A) ≥ i=1 λ(Ai ). We zullen laten zien dat ook λ(A) ≤ i=1 λ(Ai ).
> 0. Neem een halfopen blok B H ∈ H met λ(B H ) ≥ λ(A) − en B := B H ⊂ A. Dan is B
5
dat
Uit
Zij
een
compacte verzameling, want B ⊂ A ∈ H en elementen van H zijn begrensd. We construeren een
open overdekking van B: schrijf Ai = (ai,1 , bi,1 ] × · · · × (ai,n , bi,n ] en kies ci,j > bi,j zodat
BiH := (ai,1 , ci,1 ] × · · · × (ai,n , ci,n ]
voldoet aan λ(BiH ) ≤ λ(Ai ) + /2i . Definieer Bi = (ai,1 , ci,1 ) × · · · × (ai,n , ci,n ), dan is (Bi )∞
i=1 een
open S
overdekking van B. Deze heeft
een
eindige
deeloverdekking,
dus
voor
zekere
N
∈
N
geldt
SN
PN
N
B ⊂ i=1 Bi en dus ook B H ⊂ i=1 BiH . Uit I.3.1 (a) volgt nu dat λ(B H ) ≤ i=1 λ(BiH ). We
zien
N
∞
X
X
λ(A) − ≤ λ(B H ) ≤
λ(BiH ) ≤
λ(Ai ) + .
i=1
Dit geldt voor alle > 0, dus er volgt λ(A) ≤
P∞
i=1
i=1
λ(Ai ).
Opgave I.3.3. Voor Q in plaats van Rn is Stelling I.3.2 onwaar: met H de halfring van alle
intervallen (a, b] in Q, a, b S
∈ Q en λ (a,
= b − a als a ≤ b is de afbeelding λ nog steeds eindig
Pb]
n
n
additief,Sdat wil zeggen λ( i=1 Ai ) = i=1 λ(Ai ) voor ieder n ∈ N en alle disjuncte A1 , . . . , An ∈
n
H met i=1 Ai ∈ H. Echter, λ is niet meer σ-additief.
I.4
Uitwendige maten en meetbare verzamelingen
Zij µ een premaat op een halfring H op X. De uitwendige maat µ∗ [met betrekking tot µ] heeft als
domein de hele machtsverzameling van X en is gedefinieerd met
)
(∞
∞
[
X
Ai
∀S
µ∗ (S) := inf
µ(Ai ) : A1 , A2 , . . . ∈ H, S ⊂
i=1
i=1
∗
Merk op dat µ (S) = inf ∅ = ∞ als een verzameling S niet overdekt kan worden door aftelbaar
veel verzamelingen A1 , A2 , . . . ∈ H.
Opgave I.4.1. De uitwendige maat µ∗ is een uitbreiding van de premaat µ, dat wil zeggen µ∗ (A) =
µ(A) voor alle A ∈ H.
Lemma I.4.2. Voor de uitwendige maat µ∗ geldt:
• µ∗ (∅) = 0
• µ∗ is stijgend en
• µ∗ is aftelbaar subadditief.
Bewijs.
• µ∗ (∅) = µ(∅) volgens Oefening I.4.1 en µ(∅) = 0 volgens de definitie van premaat.
• Als A ⊂ B dan is iedere overdekking van B met elementen uit H ook een overdekking van
A, dus
(∞
) (∞
)
∞
∞
[
[
X
X
µ(Ai ) : A1 , A2 , . . . ∈ H, B ⊂
Ai ⊂
µ(Ai ) : A1 , A2 , . . . ∈ H, A ⊂
Ai .
i=1
i=1
i=1
i=1
Het infimum van het rechterlid, µ∗ (A), is dus een ondergrens voor het linkerlid, zodat
µ∗ (A) ≤ µ∗ (B).
• Neem S1 , S2 , . . . ∈ 2X S
en zij > 0.PWe mogen wel aannemen µ∗ (Si ) < ∞ voor alle i, want
∞
∞
∗
∗
anders geldt
i=1 Si ) ≤
i=1 µ (Si ). Voor alle i bestaan er nu Ai,1 , Ai,2 , . . . ∈ H
S zeker µ (P∞
∗
met Si ⊂ k Ai,k en k=1 µ(Ai,k ) < µ (Si ) + /2i want µ∗ (Si ) +S/2i is S
geen
S ondergrens
meer van de verzameling waarvan µ∗ (Si ) het infimum is. Wegens i Si ⊂ i k Ai,k en de
definitie van µ∗ geldt
6
∞
[
∗
µ
!
≤
Si
i=1
∞ X
∞
X
µ(Ai,k ) ≤
i=1 k=1
∞
X
µ∗ (Si ) + .
i=1
Definitie. Schrijf AB voor de doorsnede A ∩ B. Een verzameling E heet [µ∗ -]meetbaar als E
iedere verzameling in X splitst voor µ∗ . Dat wil zeggen dat:
µ∗ (S) = µ∗ (SE) + µ∗ (SE c ).
∀S
Lemma I.4.3. Iedere A ∈ H is meetbaar.
Bewijs. We laten zien dat als A ∈ H en S ⊂ X dan µ∗ (S) = µ∗ (SA) + µ∗ (SAc ). Er geldt
µ∗ (S) = µ∗ (SA∪SAC ) ≤ µ∗ (SA)+µ∗ (SAC ) vanwege de aftelbare subadditiviteit van µ∗ . Om aan
te tonen dat µ∗ (S) ≥ µ∗ (SA) + µ∗ (SAC ) is het voldoende om te laten zien dat µ∗ (SA) + µ∗ (SAc )
een ondergrens van de verzameling
(∞
)
∞
X
[
µ(Ai ) : A1 , A2 , . . . ∈ H, S ⊂
Ai
i=1
i=1
S∞
is; immers, µ S(S) is de grootste ondergrens hiervan. Neem
A1 , A2 , . . . ∈ H met i=1 Ai ⊃ S.
P
∞
∞
∗
dus µS
(SA) ≤ i=1 µ(Ai ∩ A).
Dan S ∩ A ⊂ i=1 (Ai ∩ A)Sen Ai ∩ A ∈ H, S
∞
∞
∞
c
Verder geldt S ∩ A ⊂ i=1 (Ai \ A) = i=1 j=1 Bi,j voor over j disjuncte Bi,j ∈ H zodat
S∞
Bi,j = Ai \ A, vanwege de derde eigenschap van een halfring. Met I.4.2 geeft dit µ∗ (SAC ) ≤
Pj=1
∞ P∞
i=1
j=1 µ(Bi,j ). Schrijf Bi,0 := Ai ∩ A, dan vinden we
∗
µ∗ (SA) + µ∗ (SAc ) ≤
∞
X
µ(Ai ∩ A) +
i=1
=
∞
X
i=1
∞ X
∞
X
µ(Bi,j ) =
i=1 j=1

∞
[
µ

Bi,j  =
∞
X
µ(Bi,j )
i=1 j=0

µ (Ai ∩ A) ∪
∞
[

Bi,j  =
∞
X
µ(Ai ).
i=1
j=1
i=1
j=0
∞ X
∞
X
Opgave I.4.4. Als E, F ∈ 2X meetbaar zijn, dan is E ∪ F dat ook.
Stelling I.4.5. De collectie M van de meetbare verzamelingen is een σ-algebra en µ∗ |M is een
maat op M (deze maat wordt vaak aangegeven met µ).
Bewijs. We laten zien dat M voldoet aan de drie eigenschappen van een σ-algebra:
• Er geldt X ∈ M want voor alle S ⊂ X geldt dat S ∩ X = S en S ∩ X c = S ∩ ∅ = ∅, dus met
I.4.2 geldt µ∗ (SX) + µ∗ (SX c ) = µ∗ (S) + µ∗ (∅) = µ∗ (S).
• Als M ∈ M, dan ook M c ∈ M want voor alle S ⊂ X geldt dat µ∗ (S) = µ∗ (SM ) +
µ∗ (SM c ) = µ∗ (SM c ) + µ∗ S(M c )c .
S∞
• Als M1 , M2 , . . . ∈ M, dan i=1 Mi ∈ M. We laten dit zien voor een rij disjuncte M1 , M2 , . . . ∈
M. Kies S ⊂ X willekeurig, dan geldt
µ∗ S(M1 ∪ M2 ) = µ∗ S(M1 ∪ M2 )M1 + µ∗ S(M1 ∪ M2 )M1c = µ∗ (SM1 ) + µ∗ (SM2 ),
vanwege de meetbaarheid van M1 . Met volledige inductie volgt dan voor alle n ∈ N
µ∗ S(M1 ∪ M2 ∪ · · · ∪ Mn ) = µ∗ (SM1 ) + · · · + µ∗ (SMn ).
Omdat M1 ∪ M2 ∪ · · · ∪ Mn ∈ M wegens I.4.4 voor alle n ∈ N, volgt
!
!
n
n
n
[
c
[
X
∗
∗
∗
µ (S) = µ S
Mi + µ S
Mi
=
µ∗ (SMi ) + µ∗
i=1
≥
n
X
i=1
∗
∗
µ (SMi ) + µ
S
i=1
∞
[
i=1
Mi
c
i=1
7
!
S
n
[
i=1
Mi
c
!
waarbij de laatste ongelijkheid volgt uit het feit dat µ∗ stijgend is. Omdat dit geldt voor
alle n ∈ N zien we dat
!
!
!
∞
∞
∞
∞
[
c
[
c
X
[
∗
∗
∗
∗
∗
µ (S) ≥
µ (SMi ) + µ S
Mi
≥µ S
Mi + µ S
Mi
, (i.4.2)
i=1
i=1
i=1
i=1
∗
vanwege de aftelbareSsubadditiviteit van µ en we weten al dat ‘≥’ hier voldoende is voor de
∞
meetbaareheid van i=1 Mi .
Opgave I.4.6. Laat zien dat hieruit volgt dat voor een willekeurige rij meetbare verzamelingen
de vereniging weer meetbaar is.
Tenslotte tonen we aan dat µ := µ∗ |M een maat is op M. Er geldt µ(∅) = µ∗ (∅) = 0. Neem
M1 , M2 , . . . ∈ M disjunct en merk op dat we nu
S∞weten dat de ongelijkheden in (i.4.2) gelijkheden
zijn. Dit geldt voor alle S, dus ook voor S = i=1 Mi , oftewel
!
!
!
∞
∞
∞
∞
∞
∞
[
c
[
X
[
[
X
∗
∗
∗
µ
Mi =
µ
M i ∩ Mi + µ
Mi ∩
Mi
=
µ∗ (Mi ) + µ∗ (∅).
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
Opgave I.4.7. Voor alle S ⊂ X hebben we dat µ∗ (S) = inf {µ(E) : E ∈ M, E ⊃ S} .
Voordat we deze nieuwe resultaten op I.3.2 in I.5 gaan toepassen, geven we eerst een aantal
eigenschappen van M en µ∗ .
Als A een σ-algebra is en ν een maat op A, dan wordt iedere verzameling A ⊂ X waarvoor
er een B ⊃ A is met B ∈ A en ν(B) = 0 [ν-]verwaarloosbaar of een [ν-]nulverzameling genoemd.
We noemen A volledig of compleet [ten opzichte van ν] als A alle ν−nulverzamelingen bevat.
Opgave I.4.8. De collectie M van de meetbare verzamelingen is volledig ten opzichte van µ.
Stelling I.4.5, Lemma I.4.3, Oefening I.4.1 en Oefening I.4.8 geven ons nu:
Stelling I.4.9. Voor iedere premaat is de beperking van de corresponderende uitwendige maat tot
de meetbare verzamelingen een maat, die de premaat uitbreidt op een σ-algebra die volledig is ten
opzichte van deze maat.
Een eigenschap die cruciaal is bij veel beweringen, maar vaak bij de formulering wordt weggelaten
is σ-eindigheid van prematen
en maten. De premaat µ is σ-eindig als er A1 , A2 , . . . ∈ H zijn met
S∞
µ(Ai ) < ∞ voor alle i en i=1 Ai = X. Een voorbeeld van een σ-eindige maat is λ uit I.3.2.
Stelling I.4.11 geeft aan in hoeverre uitbreidingen van σ-eindige prematen uniek zijn. Hiervoor
hebben we eerst het volgende gereedschap nodig:
Opgave I.4.10. Zij M de σ-algebra van de µ∗ -meetbare verzamelingen (voor een zekere premaat µ
op een halfring H). Stel dat E ∈ M en µ(E) < ∞. Bewijs dat er voor iedere n ∈ N disjuncte
verzamelingen An,1 , An,2 , . . . ∈ H zijn zodanig dat
E ⊂ Un :=
∞
[
An,i ,
µ(Un ) < µ(E) +
i=1
1
,
n
U1 ⊃ U2 ⊃ · · · .
Stelling I.4.11. Als µ een σ-eindige premaat is op halfring H, ν een maat waarvan het domein A
de halfring H bevat en volledig is ten opzichte van ν, en ν en µ gelijk zijn op H, dan is M ⊂ A
en zijn ν en µ = µ∗ |M gelijk op M.
Bewijs. Neem E ∈ M met µ(E) T
< ∞, we zullen bewijzen dat E ∈ A en µ(E) = ν(E). Neem
∞
An,i als in I.4.10. Laat nu D := n=1 Un , dan is D een element van A ∩ M want de An,i zijn
elementen van H en dus ook van A ∩ M. Bovendien geldt voor alle n dat E ⊂ D ⊂ Un en dat
µ(E) ≤ µ(D) < µ(E) + 1/n, dus µ(E) = µ(D). Verder hebben we
ν(Un ) =
∞
X
ν(An,i ) =
i=1
∞
X
i=1
8
µ(An,i ) = µ(Un ).
In het bijzonder ν(U1 ) = µ(U1 ) < µ(E) + 1 < ∞, zodat I.1.6 geeft ν(D) = limn→∞ ν(Un ) =
limn→∞ µ(Un ) = µ(D). Stel dat µ(E) = 0, dan hebben we ook µ(D) = ν(D) = 0. Omdat A
ν-volledig is, volgt dan dat E ∈ A en ν(E) = 0 wegens E ⊂ D. Als µ(E) > 0, zien we, omdat E
µ-meetbaar is en E ⊂ D, dat:
µ(E) = µ(D) = µ(DE) + µ(DE c ) = µ(E) + µ(D \ E)
zodat µ(D \ E) = 0. Dan geldt vanwege het voorgaande dat D \ E ∈ A en ν(D \ E) = 0. Nu zien
we dat E = D \ (D \ E) ∈ A want D ∈ A ∩ M, en
ν(E) = ν(D) − ν(D \ E) = ν(D) = µ(D) = µ(E).
Opgave I.4.12. Hieruit volgt dat ook voor E ∈ M met µ(E) = ∞ geldt dat E ∈ A en µ(E) =
ν(E).
Als gevolg hiervan valt er niets extra te verkrijgen door een premaat herhaaldelijk uit te breiden:
Opgave I.4.13. Als µ σ-eindig is en H1 een halfring is met H ⊂ H1 ⊂ M, dan is de collectie van
de (µ|H1 )∗ -meetbare verzamelingen gelijk aan M.
Deze paragraaf sluit af met het geven van twee stukken benaderingsgereedschap. Voor verzamelingen A, B ⊂ X is het symmetrisch verschil A4B gedefinieerd als (A \ B) ∪ (B \ A).
Stelling I.4.14. Voor iedere E ∈SM metµ(E) < ∞ en iedere > 0 zijn er eindig veel disn
juncte B1 , . . . , Bn ∈ H met µ E4( i=1 Bi ) < .
Opgave I.4.15. Bewijs deze stelling. Hint: neem eerst een oneindige vereniging van disjuncte
elementen van H en benader die dan met eindige verenigingen.
Lemma I.4.16 (Dichtheidslemma). Voor iedere S ⊂ X geldt dat als er een r < 1 bestaat zó
dat µ∗ (S ∩ A) ≤ rµ(A) voor alle A ∈ H, dan is µ∗ (S ∩ A) = 0 voor alle A ∈ H.
Bewijs. Neem SS ⊂ X en r < 1 als in het Lemma en A ∈ S
H willekeurig. Neem A1 , A2 , . . . ∈ H
∞
∞
zodat S ∩ A ⊂ i=1 Ai , dan geldt wegens I.4.2 en S ∩ A ⊂ i=1 S ∩ AI
!
∞
∞
∞
[
X
X
µ∗ (S ∩ A) ≤ µ∗
(S ∩ Ai ) ≤
µ∗ (S ∩ Ai ) ≤ r
µ(Ai ).
i=1
i=1
i=1
Dit geldt voor iedere overdekking (Ai ) van S ∩ A, zodat ook:
(∞
)
∞
X
[
∗
µ (S ∩ A) ≤ r inf
µ(Ai ) : S ∩ A ⊂
Ai = rµ∗ (S ∩ A),
i=1
i=1
en hieruit volgt µ∗ (S ∩ A) = 0.
Waarom I.4.16 zo heet en in welk opzichte er sprake is van benaderingsgereedschap, zien we in
de volgende paragraaf.
I.5
De Lebesgue-maat
Definities. De uitbreiding volgens I.4.9 van de premaat λ, verkregen in I.3.2, tot de maat λ op
de σ-algebra van de λ∗ -meetbare deelverzamelingen van Rn heet de Lebesgue-maat op Rn ; zijn
domein bestaat uit de Lebesgue-meetbare verzamelingen en wordt genoteerd als L.
Stelling I.5.1. Er zijn evenveel Lebesgue-meetbare verzamelingen als deelverzamelingen van R.
9
Bewijs. Bekijk de Cantorverzameling C ⊂ R. Deze verzameling wordt als volgt verkregen: we
beginnen met het interval C0 = [0, 1], we delen dit in drieën en we halen het middelste stuk
(1/3, 2/3) weg. Dit geeft ons C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. Deze twee intervallen delen we weer in
drieën en we halen weer de middelste stukken weg. Dit geeft ons C2 T
= [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪
[2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]. Dit proces zetten we voort en we definiëren C = n Cn . Merk op dat C
Lebesgue-meetbaar is en dat λ(Cn+1 ) = λ(Cn ) · 32 , dus λ(C) = 0 wegens I.1.6.
Om in te zien welke getallen we overhouden gaan we over op het ternaire stelsel. Merk op dat
1/3 overeenkomt met 0.1 = 0.0222 . . . en 2/3 met 0.2 = 0.1222 . . . in het ternaire stelsel. De getallen
die we in de eerste stap weghalen zijn dus precies de getallen waarvan de ternaire ontwikkeling
begint met een 1 — of nauwkeuriger, getallen die geen ternaire ontwikkeling hebben die niet met
een 1 begint (1/3 en 2/3 halen we immers niet weg). In de tweede stap halen we alle getallen in
(0.01, 0.02) en (0.21, 0.22) weg, dus alle getallen met steeds een 1 op de tweede plek in de ternaire
ontwikkeling. We zien dat we in C precies alle getallen overhouden die een ternaire ontwikkeling
hebben waar geen enkele 1 in voorkomt. Dit zijn echter gewoon rijtjes nullen en tweeën, dus
hiervan zijn er evenveel als rijtjes nullen en enen. Rijtjes nullen en enen corresponderen met
binaire ontwikkelingen van getallen in [0, 1], dus we concluderen |C| = |[0, 1]| = |R|.
De Cantorverzameling is dus overaftelbaar en heeft Lebesgue-maat 0. Omdat de Lebesgue-σalgebra volledig is geldt nu dat iedere deelverzameling van C Lebesgue-meetbaar is, dus er zijn
minstens |2C | = |2R | Lebesgue-meetbare verzamelingen. Maar ook is iedere Lebesgue-meetbare
verzameling is een deelverzameling van R, dus er geldt |2C | ≤ |L| ≤ |2R |. Dan volgt uit de stelling
Cantor-Bernstein-Schröder dat |L| = |2R |.
Opgave I.5.2 (Translatie-invariantie van de Lebesgue-maat). Zij λ∗ de uitwendige maat afkomstig
van de Borel-Lebesgue-premaat. Dan geldt
(a) λ∗ (S) = λ∗ (q + S) voor alle S ⊂ R, q ∈ R, waarbij q + S := {q + s : s ∈ S}.
(b) Als S meetbaar is, dan is q + S ook meetbaar.
Stelling I.5.3. Het keuze-axioma impliceert dat er een deelverzameling van R bestaat die niet
Lebesgue-meetbaar is.
Bewijs. Definieer de equivalentierelatie ∼ op R door x ∼ y dan en slechts dan als x − y ∈ Q.
Iedere equivalentieklasse van deze relatie bevat een element van [0, 1] want iedere klasse bevat een
element x en dan ook x − bxc ∈ [0, 1]. Met het keuze-axioma kunnen we uit iedere klasse een
representant in [0, 1] kiezen. De verzameling S van al deze representanten is bevat in [0, 1]. Deze
verzameling heeft de volgende eigenschappen:
• Voor q1 , q2 ∈ Q met q1 6= q2 geldt q1 + S ∩ q2 + S = ∅. Stel namelijk q1 + a = q2 + b voor
a, b ∈ S, dan zitten a en b in dezelfde klasse, want ze verschillen slechts een rationaal getal,
dus a = b en q1 = q2 .
S
• q∈Q q + S = R, immers, voor elke x ∈ R is er een representant y ∈ S van de equivalentieklasse van x, zodat y + q = x voor zekere q ∈ Q.
Uit deze laatste eigenschap volgt dat λ∗ (S) 6= 0 (want λ(R) = ∞ > 0). Stel nu dat S meetbaar is,
dan is q + S meetbaar voor alle q wegens I.5.2 en geldt λ(q + S) = λ∗ (q + S) = λ∗ (S) > 0 zodat


[
X
X
λ
q + S =
λ(q + S) =
λ(S) = ∞,
q∈Q∩[0,1]
terwijl
S
q∈Q∩[0,1]
q∈Q∩[0,1]
q∈Q∩[0,1]
q + S ⊂ [0, 2].
Opgave I.5.4. Voor iedere S ⊂ R met λ∗ (S) > 0 en iedere > 0 bestaat er een interval (a, b], a, b ∈ R, a < b, met
λ∗ S ∩ (a, b] > (1 − )(b − a).
10
Als S bovendien Lebesgue-meetbaar
is met λ(S c ) > 0, dan is er ook een interval (a0 , b0 ], a0 , b0 ∈
0
0
0 0
0
R, a < b , met λ S ∩ (a , b ] < (b − a0 ). Dus wat voor Lebesgue-meetbare S bestaan er die
‘gelijkmatig verdeeld’ zijn over de getallenlijn in de zin dat hun Lebesgue-maat een constante
Rb
‘dichtheid’ r heeft, dat wil zeggen λ S ∩ (a, b] = r(b − a) = a r dx voor alle a, b ∈ R, a < b?
(Hint: I.4.16.)
Vaak verdient het de voorkeur om niet de σ-algebra van de Lebesgue-meetbare verzamelingen te
gebruiken, maar een zekere deel-σ-algebra, de Borelverzamelingen. Deze zullen we invoeren in
het volgende hoofdstuk. De beperking van de Lebesgue-maat tot de Borelverzamelingen heet de
Borel-Lebesgue-maat.
11
Hoofdstuk II
Meetbare functies en integralen
II.1
Topologieën en Borelverzamelingen
Eén van de redenen dat we ons bezighouden met maattheorie is om integratiegereedschap te
bemachtigen dat sterker is dan de Riemannintegraal. Functies moeten ‘meetbaar’ zijn om ze te
kunnen integreren; voor een volledige beschrijving van dit begrip hebben we Borelverzamelingen,
en daarmee ook topologieën, nodig. Maar wanneer we topologieën hebben, beschikken we over
het bekende begrip continuı̈teit, en kunnen we hiermee laten zien dat meetbaarheid niet zo heel
verschillend is.
Definities. Een topologie op een verzameling X is een collectie T ⊂ 2X met
• ∅ ∈ T en X ∈ T ,
• A, B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T , en
• voor iedere collectie C ⊂ T van verzamelingen in T is de vereniging
lingen in C een element van T .
S
C van alle verzame-
Het paar (X, T ) heet een topologische ruimte. De elementen van T noemen we open in de topologie T en het complement van een open verzameling is een gesloten verzameling.
Opgave II.1.1. Noem een deelverzameling O van R open als er voor iedere x ∈ O een > 0
bestaat zodat {y ∈ R : |y − x| < } ⊂ O. De collectie van deze open verzamelingen is een topologie
op R, de ‘gebruikelijke’ topologie op R.
Opgave II.1.2. Hoe zou je de ‘gebruikelijke’ topologie op Rn definiëren?
We zullen in deze cursus op Rn altijd de gebruikelijke topologie hanteren.
Opgave II.1.3. Ieder interval (a, b) met a, b ∈ R is een open verzameling.
Opgave II.1.4. Iedere open verzameling in R is de vereniging van aftelbaar veel open intervallen.
Opgave II.1.5. Als (X, T ) een topologische ruimte is en Y ⊂ X, dan is {O ∩ Y : O ∈ T } een
topologie op Y , de relatieve topologie.
Opgave II.1.6. Zij Y ⊂ R; noem een deelverzameling U ⊂ Y open als voor iedere x ∈ U er een
> 0 is zodat {y ∈ Y : |y − x| < } ⊂ U . De verzameling van deze open verzamelingen is dezelfde
als de relatieve topologie op Y ten opzichte van de gebruikelijke topologie op R.
Opgave II.1.7. Van iedere familie van topologieën op een verzameling X is de doorsnede weer
een topologie op X. Mutatis mutandis geldt hetzelde voor σ-algebra’s.
12
Opgave II.1.8. Voor iedere verzameling X en iedere collectie C ⊂ 2X van deelverzamelingen van
X is er precies één topologie τ (C) ⊃ C op X die bevat is in iedere topologie die C bevat (Hint:
II.1.7).
Definities. We noemen de topologie τ (C) de topologie voortgebracht door C; het is de kleinste
topologie die C bevat. De verzameling C is een subbasis voor τ (C). Op dezelfde wijze brengt iedere
collectie C een σ-algebra σ(C) voort. Als T een topologie is op X, dan is σ(T ) de Borel -σ-algebra
op X; de elementen van σ(T ) heten Borelverzamelingen. De Borelverzamelingen vormen dus de
σ-algebra voortgebracht door de open verzamelingen.
Opgave II.1.9. Als C ⊂ D, dan geldt σ(C) ⊂ σ(D); σ σ(C) = σ(C) en als D ⊂ σ(C), dan geldt
σ(C ∪ D) = σ(C).
Opgave II.1.10. De Borelverzamelingen op R worden ook voortgebracht door de gesloten verzamelingen, de intervallen [a, b] (zie ook I.1.3), de halfruimten (−∞, a) en de halfruimten (−∞, a]
voor a, b ∈ R. Is dit nog steeds waar als a, b ∈ Q?
Opgave II.1.11. De Borelverzamelingen op Rn worden ook voorgebracht door de n-dimensionale
blokken en door de halfruimten {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : xi ≤ a} voor i ∈ {1, . . . , n} en a ∈ R.
Controleer dit voor n = 2.
II.2
Beelden
Iedere afbeelding (ook wel functie, functionaal, transformatie, operator, toekenning, kaart) van een
verzameling naar een andere induceert twee nieuwe afbeeldingen: één van de machtsverzameling
van de eerste verzameling naar de machtsverzameling van de tweede verzameling, en één de andere
kant op. De gebruikelijke notatie valt samen met respectievelijk die voor de afbeelding zelf en zijn
inverse; soms kan men verwarring vermijden door te kijken naar hoe het argument is geschreven:
kleine letters, hoofdletters of sierletters.
Zij f : A → B. De eerste geı̈nduceerde afbeelding is
f : 2A → 2B
C ⊂ A 7→ {f (c) ∈ B : c ∈ C},
‘het beeld f (C) nemen van een verzameling C ⊂ A onder f ’. De tweede afbeelding is
f −1 : 2B → 2A
D ⊂ B 7→ {a ∈ A : f (a) ∈ D},
‘het inverse beeld (of volledig origineel ) f −1 (D) nemen van een verzameling D ⊂ B onder f ’.
Opgave II.2.1. Als f : A → B en g : B → C, dan geldt voor (g ◦ f )−1 : 2C → 2A dat
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Opgave II.2.2 (Commutativiteit van f −1 ). Bij het nemen van volledige originelen geldt
!
!
\
\
[
[
C
−1
C
−1
−1
−1
−1
f (D ) = f (D) , f
Dι =
f (Dι ), f
Dι =
f −1 (Dι ).
ι
ι
ι
ι
In het bijzonder geldt f −1 (∅) = ∅ en f −1 (B) = A. Dit geldt niet noodzakelijk allemaal ook nog
als we beelden nemen, dus als we ‘f −1 ’ vervangen door ‘f ’.
De afbeelding f −1 : 2B → 2A induceert zelf ook weer twee nieuwe afbeeldingen: we kunnen het
beeld f −1 (D) = {f −1 (D) ∈ 2A : D ∈ D} onder f −1 nemen voor iedere D ⊂ 2B en het inverse
beeld {D ∈ 2B : f −1 (D) ∈ C} onder f −1 van iedere C ⊂ 2A . Nu kunnen we zeggen dat voor iedere
collectie van deelverzamelingen die gesloten is onder een operatie waarmee f −1 commuteert, het
13
beeld c.q. inverse beeld onder f −1 van die collectie ook weer gesloten zijn onder dezelfde operatie.
Een σ-algebra is een voorbeeld van een collectie verzamelingen die gesloten is onder de operaties
‘neem de hele verzameling’, ‘neem het complement’ en ‘neem de vereniging van aftelbaar veel
verzamelingen’ en dan volgt uit II.2.2 dat het beeld c.q. inverse beeld onder f −1 van een σalgebra weer een σ-algebra is. Evenzo is het beeld c.q. inverse beeld van een topologie onder f −1
weer een topologie.
Opgave II.2.3. Ga het geval van een ‘vereniging-van-twee’ na: noem een collectie verzamelingen
een vereniging-van-twee-collectie als geldt dat voor iedere twee verzamelingen in de collectie ook
de vereniging van deze twee verzamelingen erin bevat is. Het beeld zowel als inverse beeld onder
f −1 van een vereniging-van-twee-collectie is weer een vereniging-van-twee-collectie.
Er zijn handige formules om dergelijke resultaten vast te leggen, bijvoorbeeld voor σ-algebra’s:
Opgave II.2.4. Er geldt σ f −1 (D) = f −1 σ(D) voor iedere D ⊂ 2B .
Opgave II.2.5. Voor iedere topologie op X en iedere deelverzameling Y ⊂ X met de relatieve
topologie geldt dat de Borelverzamelingen van Y precies de verzamelingen B ∩ Y zijn, met B een
Borelverzameling van X. (Hint: bekijk de inclusieafbeelding.)
II.3
Continuı̈teit en meetbaarheid
Definities. Zij f : A → B.
Als (A, A) en (B, B) topologische ruimten zijn, dan is f [A − B]-continu als het inverse beeld van
een open verzameling open is.
Als (A, A) en (B, B) meetbare ruimten zijn, dan is f [A − B]-meetbaar als het inverse beeld van
een meetbare verzameling meetbaar is.
In beide gevallen betekent dit dat f −1 (D) ∈ A voor iedere D ∈ B, of
f −1 (B) ⊂ A.
Opgave II.3.1. De samenstelling van continue functies is continu. De samenstelling van meetbare
functies is meetbaar.
Opgave II.3.2. Een functie g : R → R is continu ten opzichte van de gebruikelijke topologie op R
dan en slechts dan als voor iedere x ∈ R en iedere > 0 er een δ > 0 bestaat zodat |g(y)−g(x)| < voor alle y met |y − x| < δ. Hoe zit dit voor een functie van Rm naar Rn ?
Opgave II.3.3. Een functie f is A − B meetbaar als er een D ⊂ 2B bestaat met σ(D) = B en
f −1 (D) ⊂ A.
Opgave II.3.4. Iedere continue functie is Borel-Borel-meetbaar.
Tenzij anders vermeld, zal meetbaarheid op topologische ruimten altijd op de Borelverzamelingen
betrekking hebben; een Lebesgue-meetbare functie Rn → Rm is Lebesgue-Borel meetbaar, dus
meetbaar ten opzichte van de Lebesgue-σ-algebra (zie hoofdstuk 1) aan de kant van het domein
en de Borel-σ-algebra voor het bereik, terwijl een Borel-meetbare functie Rn → Rm Borel-Borel-meetbaar is.
Opgave II.3.5. Een functie f : A → Rn met f (x) = f1 (x), . . . , fn (x) is meetbaar dan en slechts
dan als iedere functie fi meetbaar is.
Oefening II.3.5 vertelt ons dat de Borelverzamelingen van Rn voortgebracht worden door de projecties pi = (x1 , . . . xn ) 7→ xi , i ∈ {1, . . . , n}. In het algemeen, als pι : B → Bι , ι ∈ I, afbeeldingen
naar meetbare ruimten (Bι , Bι ) zijn, dan is
!
[
−1
σ (pι )ι∈I := σ
pι (Bι )
ι∈I
14
de σ-algebra op B voortgebracht door de pι ; het is de kleinste σ-algebra op B ten opzichte waarvan
alle pι meetbaar zijn. Analoog brengen afbeeldingen met hetzelfde domein naar topologische
ruimten een topologie voort — de kleinste topologie zó dat die afbeeldingen continu zijn. Merk op
dat de σ-algebra voortgebracht door p : B → B1 gelijk is aan p−1 (B1 ) en dat de relatieve topologie
voortgebracht wordt door de inclusieafbeelding. De bewering over opgave II.3.5 volgt nu uit:
Opgave II.3.6. Met pι : B → Bι zoals boven is de σ-algebra voortgebracht door de pι de enige
σ-algebra op B met de eigenschap dat, voor elke A en f : A → B, f : A → B meetbaar is dan en
slechts dan als pι ◦ f meetbaar is voor alle ι ∈ I.
Opgave II.3.7. Als f, g : A → R meetbaar zijn, dan zijn ook de puntsgewijze som f + g en
product f g meetbaar. (Hint: II.3.4.)
Opgave II.3.8. Als f : A → Y met Y ⊂ X, waarbij X een topologische ruimte is en Y de
relatieve topologie heeft, dan is f : A → Y meetbaar ten opzichte van de Borelverzamelingen van
Y dan en slechts dan als f : A → X meetbaar is ten opzichte van Borelverzamelingen van X.
Hint: f = i ◦ f met i de inclusie Y → X.
Als f : A → B een injectieve
en surjectieve afbeelding is, dan is de inverse f −1 van f een functie
−1
B → A en f
f (x) = x; dit is ook een injectieve en surjectieve afbeelding, oftewel een bijectie.
Definities. Als f : A → B een bijectie is, A en B topologische ruimten zijn en zowel f als f −1
continu zijn, dan heet f een homeomorfisme en zijn A en B homeomorf. Als A en B meetbare
ruimten zijn en f : A → B bijectief is met f en f −1 meetbaar, dan heet f een isomorfisme en
heten A en B isomorf.
Opgave II.3.9. Een bijectie f is een homeomorfisme dan en slechts dan als f continu en open is,
dat wil zeggen dat het beeld van iedere open verzameling open is.
Opgave II.3.10. Het open eenheidsinterval (0, 1) is homeomorf met R.
Opgave II.3.11. Homeomorfe ruimten zijn isomorf.
Het tegenovergestelde van deze bewering is niet waar; men kan bijvoorbeeld laten zien dat Rm
en Rn isomorf zijn voor alle m, n > 0, maar (Brouwer 1911, Lebesgue 1912) niet homeomorf als
m 6= n.
II.4
Reëelwaardig en verder
Zij (X, A) een meetbare ruimte. De functies op X die we zullen willen integreren zijn soms zelf
ook weer integralen en nemen niet noodzakelijk altijd waarden in R aan. Daarom definiëren we
R = {−∞} ∪ R ∪ {∞} en geven we R een topologie zó dat voor R-waardige functies meetbaarheid
hetzelfde blijft als we ze zien als R-waardige functies (vergelijk II.3.8). Om dit te bereiken nemen
we de afbeelding uit II.3.10, veranderen deze in een orde-bewarende bijectie van [0, 1] naar R en
noemen het resultaat een homeomorfisme.
Opgave II.4.1. Een functie f : X → R is meetbaar dan en slechts dan als de verzameling
(f < a) := {x ∈ X : f (x) < a} meetbaar is voor iedere a ∈ R.
Soms zullen we puntsgewijze sommen en producten van functies met waarden in R nodig hebben.
Daarom breiden we voor de optelling (i.1.1) uit met
a − ∞ = −∞ + a = −∞ − ∞ = −∞ voor alle a ∈ R,
zodat alleen ∞ − ∞ en −∞ + ∞ niet gedefinieerd zijn, en spreken we af dat voor alle b ∈ R




als b > 0,
∞
−∞ als b > 0,
b · ∞ = ∞ · b = −∞ als b < 0, en b · (−∞) = (−∞) · b = ∞
als b < 0,




0
als b = 0,
0
als b = 0.
In het bijzonder geldt dus 0 · ∞ = 0 · (−∞) = 0.
15
Opgave II.4.2. Als f, f1 , f2 , . . . meetbare functies X → R zijn, dan geldt:
• de functie af : X → R is meetbaar voor alle a ∈ R,
• inf n fn en supn fn zijn meetbaar (Hint: (inf n fn < a) =
S
n (fn
< a)),
• in het bijzonder zijn het maximum en minimum van twee meetbare functies meetbaar, bijvoorbeeld f + := max(f, 0) en f − = max(−f, 0) zijn meetbare functies,
• lim inf n→∞ fn en lim supn→∞ fn zijn meetbaar,
• in het bijzonder is limn→∞ fn meetbaar als deze bestaat,
• de indicatorfunctie 1A van A, met 1A (x) = 1 als x ∈ A en 1A (x) = 0 als x ∈ AC , is meetbaar
dan en slechts dan als A ∈ A, en
Pn
• voor alle n ∈ N, A1 , . . . , An ∈ A en a1 , . . . , an ∈ R is de som i=1 ai 1Ai meetbaar. (Hint:
II.3.7.)
Een trapfunctie of simpele functie op X is een meetbare functie X → R die maar eindig veel
waarden aanneemt.
Opgave
Pn II.4.3. Een functie f : X → R is een trapfunctie dan en slechts dan als f te schrijven is
als i=1 ai 1Ai voor zekere A1 , . . . , An ∈ A en a1 , . . . , an ∈ R. Iedere niet-negatieve trapfunctie is
te schrijven als een dergelijke som met alle ai ∈ [0, ∞).
II.5
Integralen
Zij (X, A) een meetbare ruimte en µ een maat op A.
Lemma II.5.1. Als A1 , . . . , An ∈ A en a1 , . . . , an ∈ [0, ∞) dezelfde niet-negatieve trapfunctie
voorstellen als B1 , . . . , Bm ∈ A en b1 , . . . , bm ∈ R, dat wil zeggen als
n
X
m
X
ai 1Ai =
bj 1Bj ,
j=1
i=1
dan geldt
n
X
ai µ(Ai ) =
m
X
i=1
bj µ(Bj ).
j=1
Pn
Pm
Bewijs. Neem s = i=1 ai 1Ai = j=1 bj 1Bj . Voor I ∈ 2n = P({1, . . . , n}) definiëren we AI =
T
T
C
C
i∈I Ai ∩ i∈{1,...,n}\I Ai , dus bijvoorbeeld voor n = 3, I = {1, 3} hebben we AI = A1 ∩ A2 ∩ A3 .
Merk op dat de AI disjunct zijn over I. Dan geldt
!
n
n
X
X
X
XX
X X
ai µ(Ai ) =
ai
µ(AI ) =
ai µ(AI ) =
ai µ(AI ∩ BJ ).
i=1
i=1
I∈2n
i∈I
I∈2n
J∈2m
I∈2n i∈I
i∈I
Als µ(AI ∩ BJ ) 6= 0, dan is AI ∩ BJ 6= ∅, dus er is een x ∈ AI BJ , met
X
X
ai = s(x) =
bj ,
i∈I
j∈J
dus we hebben
n
X
i=1
ai µ(Ai ) =
X
I∈2n
J∈2m




m
X
X X
X


bj  µ(AI ∩ BJ ) =
bj  µ(BJ ) =
bj µ(Bj ).
J∈2m
j∈J
16
j∈J
j=1
Definitie. Als we voor iedere niet-negatieve trapfunctie s op X het volgende doen:
Pn
1. volgens II.4.3 kiezen we Ai ∈ A en ai ∈ [0, ∞) met s = i=1 ai 1Ai , en
Pn
2. we berekenen i=1 ai µ(Ai ), een getal in [0, ∞],
dan hangt volgens
II.5.1 het resultaat niet af van onze keuze van Ai en ai , maar alleen van s; we
R
noemen dit s dµ, de integraal van s ten opzichte van µ. We zien:
Z X
n
n
X
ai 1Ai dµ =
ai µ(Ai ).
i=1
i=1
Opgave II.5.2. Als a ∈ [0, ∞) en s, t niet-negatieve trapfuncties op X zijn, dan geldt
R
R
• as dµ = a s dµ
R
R
R
• (s + t) dµ = s dµ + t dµ, en
R
R
• s dµ ≤ t dµ als s ≤ t. Hint: t = s + (t − s).
R
Definitie. Nu definiëren we f dµ voor iedere niet-negatieve meetbare f : X → R als volgt:
Z
Z
f dµ := sup
s dµ : s is een niet-negatieve trapfunctie met s ≤ f .
Opgave II.5.3. Deze definitie is een uitbreiding van de vorige definitie, en als a ∈ [0, ∞) en
f, g : X → R niet-negatief en meetbaar zijn, dan geldt
R
R
• af dµ = a f dµ, en
R
R
• f dµ ≤ g dµ als f ≤ g.
R
Opgave II.5.4. Voor iedere niet-negatieve meetbare functie f geldt µ(f > 0) = 0 als f dµ = 0.
Stelling II.5.5 (Monotone Convergentie I). Als f1 , f2 , . . . : X → R niet-negatieve meetbare
functies zijn en f1 ≤ f2 ≤ · · · , dan geldt
Z
Z
fn dµ =
lim fn dµ.
lim
n→∞
n→∞
Bewijs. RVoor iedere
R n geldt fn ≤ limm→∞ fm ; met II.5.3 volgt
wegens fn dµ ≤ fn+1 dµ volgt ook
Z
Z
lim
fn dµ ≤
lim fn dµ.
R
fn dµ ≤
R
limm→∞ fm dµ en,
n→∞
n→∞
R
s dµ : 0 ≤ s ≤ limn→∞ fn trapfunctie , dus het is voldoende te
Er geldt lim fm dµ =R sup
laten zien dat limn→∞ fn dµ een bovengrens is van deze verzameling. Zij ∈ (0, 1) en s een
niet-negatieve trapfunctie met s ≤ limn→∞ fn . We zullen bewijzen dat
Z
Z
lim
fn dµ ≥ (1 − ) s dµ.
R
n→∞
S
Neem En = fn ≥ (1 − )s , dan is (En ) een stijgende rij met n En = X. Voor iedere meetbare
PN
A geldt AEn ↑ A en dan ook µ(AEn ) ↑ µ(A). Schrijf s =
i=1 ai 1Ai met ai ≥ 0, dan is
PN
fn ≥ (1 − )s1En = i=1 (1 − )ai 1Ai En , zodat wegens II.5.3 geldt
Z
Z
N
X
∀n
fn dµ ≥ (1 − )s1En dµ =
(1 − )ai µ(Ai En )
i=1
en
Z
lim
n→∞
fn dµ ≥
N
X
Z
(1 − )ai µ(Ai ) = (1 − )
s dµ.
i=1
Dit geldt voor alle > 0, dus we concluderen limn→∞
17
R
fn dµ ≥
R
s dµ.
Opgave II.5.6. Iedere niet-negatieve meetbare f : X → R is de puntsgewijze limiet van een
stijgende rij van niet-negatieve trapfuncties, bijvoorbeeld van
fn =
n
n2
−1
X
i2−n 1f −1 ([i2−n ,(i+1)2−n )) + n1f −1 ([n,∞)) .
i=0
Opgave II.5.7. Als f, g : X → R niet-negatieve meetbare functies zijn, dan zijn hetR puntsgewijze
product
fRg en de puntsgewijze som f +R g niet-negatief
en meetbaar,
en er geldt (f + g) dµ =
R
R
R
f dµ + g dµ. Bijvoorbeeld geldt dat |f | dµ = f + dµ + f − dµ.
Stelling II.5.8 (Lemma van Fatou). Als f1 , f2 , . . . : X → R niet-negatief en meetbaar zijn, dan
geldt
Z
Z
lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ.
n→∞
n→∞
Bewijs. De rij inf m≥n fm is stijgend, terwijl inf m≥n fm ≤ fn , zodat
Z
Z
Z
II.5.5
inf fm dµ
lim inf fn dµ =
lim inf fm dµ = lim
n→∞
n→∞ m≥n
n→∞
m≥n
Z
Z
II.5.3
= lim inf
inf fm dµ ≤ lim inf fn dµ.
n→∞
n→∞
m≥n
Definitie. Voor
R een willekeurige, niet noodzakelijk niet-negatieve,
R
Rmeetbare functie f : X → R
is de integraal f dµ gedefinieerd precies als niet zowel f + dµ en f − dµ (zie II.4.2) gelijk aan
∞ zijn; in dat geval spreken we af
Z
Z
Z
+
f dµ := f dµ − f − dµ
en zeggen we dat de integraal
R
f dµ bestaat. Als
R
|f | dµ < ∞ dan heet f integreerbaar.
Opgave II.5.9. Als f integreerbaar is, dan geldt µ(|f | = ∞) = 0.
Opgave II.5.10.
f : X → R meetbaar
R Laat zien dat als een functie
R
R is en A ∈ A,
R dan is f 1A
meetbaar
en
is
f
1
dµ
gedefinieerd
als
f
dµ
dat
is.
We
schrijven
f
dµ
voor
f 1A dµ; dus
A R
A
R
R
R
≡
.
Laat
zien
dat
f
dµ
=
0
als
µ(A)
=
0
en
dat
als
f
dµ
gedefinieerd
is
voor
alle A ∈ A
X
A
R
R
R
geldt dat f dµ = A f dµ + AC f dµ.
Stelling II.5.11. De verzameling
L1 van R-waardige integreerbare functies op X is een lineaire
R
ruimte over R en f 7→ f dµ is lineair en ordebewarend op L1 .
Bewijs. Het feit dat L1 een lineaire ruimte is volgt wat de meetbaarheid betreft uit II.3.7. Verder
hebben we voor α > 0 met behulp van II.5.3
Z
Z
Z
Z
Z
Z
αf dµ = (αf )+ dµ − (αf )− dµ = α f + dµ − α f − dµ = α f dµ,
en
Z
Z
−f dµ =
+
(−f ) dµ −
Z
Z
−
(−f ) dµ =
−
f dµ −
Z
+
f dµ = −
Z
f dµ.
Ook geldt (f + g)+ − (f + g)− = f + g = f + − f − + g + − g − , zodat (f + g)+ + f − + g − =
(f + g)− + f + + g + en met II.5.7 volgt
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(f + g)+ dµ + f − dµ + g − dµ = (f + g)− dµ + f + dµ + g + dµ;
R
R
R
en
(f + g)+ dµ ≤ |f | + |g| dµ < ∞ en evenzo voor (f + g)− volgt f + g dµ =
R aangezien
R
f dµ + g dµ. De orde wordt bewaard als in II.5.3.
18
R
R
Opgave II.5.12. Als f, g integreerbare functies zijn en A f dµ = A g dµ voor alle A ∈ A, dan
is (f 6= g) ∈ A en geldt µ(f 6= g) = 0. Laat zien dat de conditie van integreerbaarheid niet
weggelaten kan worden.
Stelling II.5.13
R (Monotone Convergentie
R II). Als f1 , f2 , . . . : X → R meetbare functies zijn met
f1 ≤ f2 ≤ · · · , f1 dµ is gedefinieerd en f1 dµ > −∞, dan geldt
Z
Z
lim
fn dµ =
lim fn dµ.
n→∞
n→∞
Bewijs. Neem zonder verlies van algemeenheid (II.5.14) aan dat f1 > −∞. Schrijf f = limn→∞ fn ,
dan geldt dat fn+ ↑ f + , ∞ > fn− ↓ f − en f1− − fn− is gedefinieerd met f1− − fn− ≥ 0 en f1− − fn− ↑
f1− − f − , dus vanwege Monotone Convergentie I geldt
Z
Z
Z
Z
fn+ dµ ↑ f + dµ en
(f1− − fn− ) dµ ↑ (f1− − f − ) dµ.
Dan zijn f − en alle fn− functies in L1 , zodat nu uit II.5.11 volgt dat
Z
Z
Z
Z
Z
Z
f1− dµ − fn− dµ = f1− − fn− dµ ↑ f1− − f − dµ = f1− dµ − f − dµ,
dus −
R
R
R
R
fn− dµ ↑ − f − dµ en daarmee fn dµ ↑ f dµ.
Opgave II.5.14. Laat zien dat we inderdaad zonder verlies van algemeenheid mogen aannemen
dat f1 > −∞.
Stelling II.5.15 (Stelling van Lebesgue, Gemajoreerde Convergentie). Voor iedere puntsgewijs
convergente rij f1 , f2 , . . . : X → R van meetbare functies waarvoor een integreerbare majorant
bestaat, dat wil zeggen een meetbare g : X → R met
Z
∀n |fn | ≤ g en
g dµ < ∞,
geldt
Z
lim
n→∞
Z
fn dµ =
lim fn dµ.
n→∞
Bewijs. Neem aan dat g alleen waarden in R aanneemt, dus g < ∞ (vergelijk II.5.14). We hebben
g + fn ≥ 0, dus Fatou toepassen geeft ons
Z
Z
lim inf (g + fn ) dµ ≤ lim inf (g + fn ) dµ.
n→∞
n→∞
Dit zijn beiden functies in L1 , g hangt niet van n af en fn convergeert, dus
Z
Z
Z
Z
g dµ +
lim fn dµ ≤ lim inf
g dµ + fn dµ ,
n→∞
oftewel
R
n→∞
R
limn→∞ fn dµ ≤ lim inf n→∞ fn dµ. Ook is g − fn ≥ 0, dus op gelijke wijze vinden we
Z
Z
−
lim fn dµ ≤ − lim inf fn dµ,
n→∞
n→∞
waarvan het rechterlid gelijk is aan − lim supn→∞ fn . We zien
Z
Z
Z
lim inf fn dµ ≥
lim fn dµ ≥ lim sup fn dµ,
n→∞
zodat
R
n→∞
R
n→∞
fn dµ convergeert naar limn→∞ fn dµ.
R
R
Zonder condities is er geen ‘ lim = lim ’ of ook maar Fatou; voor iedere convergentiestelling
wordt dit geı̈llustreerd door X = R, µ de Borel-Lebesgue maat en fn = −1[n,∞) .
19
II.6
Bijna overal
Zij (X, A) een meetbare ruimte en µ een maat op A.
Opgave II.6.1. Voor iedere Lebesgue-meetbare functie R → R bestaat er een Borel-meetbare
functie met de eigenschap dat de verzameling waar de twee functies niet overeenkomen Lebesguemaat 0 heeft.
Een bewering die waar of onwaar kan zijn in een punt waar hij gedefinieerd is geldt bijna overal
[ten opzichte van een maat] als de verzameling van alle punten waar de bewering niet gedefinieerd
is of niet waar is een nulverzameling is. Op R hoeven we niet al te specifiek te zijn, zolang we
maar bij de (Borel)-Lebesgue-maat λ blijven:
Opgave II.6.2. ‘Bijna overal ten opzichte van de Borel-Lebesgue-maat op de Borelverzamelingen
van R’ is hetzelfde als ‘bijna overal ten opzichte van de Lebesgue-maat op de Lebesgue-meetbare
verzamelingen van R’.
Opgave II.6.3. Een functie op R die bijna overal gelijk is aan een Lebesgue-meetbare functie is
zelf ook Lebesgue-meetbaar.
Opgave II.6.4. Als de meetbare functies f, g : X → R bijna overal gelijk zijn, dan bestaan hun
integralen of allebei wel of allebei niet en zijn ze gelijk als ze bestaan.
Bij integratie komt men vaak functies tegen die menR graag zou willen integreren maar die niet
overal gedefinieerd zijn. Bekijk bijvoorbeeld f (x) = Y h(x, y) dν(y); het gebeurt regelmatig dat
het bestaan van deze integraal niet gegarandeerd kan worden voor alle x ∈ X. Echter, ‘bijna
allemaal’ samen met meetbaarheid is genoeg om hier onderuit te komen:
Definitie. Voor een f : X 0 ⊂ X → R die bijna
overal gedefinieerd is en bijna overal
gelijk is aan
R
R
een meetbare g : X → R spreken we af dat f dµ bestaat
dan
en
slechts
dan
als
g
dµ
bestaat in
R
R
de vroegere betekenis en in dat geval definiëren we f dµ := g dµ.
Opgave II.6.5. Ga na dat dit goedgedefinieerd en een uitbreiding is van de vorige definitie.
R
Opgave II.6.6. Laat zien dat we in II.5.15 mogen concluderen dat |fn − f | dµ → 0, waarbij
f = limn→∞ fn .
Opgave II.6.7. Een functie f : X 0 ⊂ X → R is bijna overal gedefinieerd en bijna overal gelijk aan
een meetbare g : X → R dan en slechts dan als er een X 00 ⊂ X 0 bestaat met (X 00 )C verwaarloosbaar
en zodanig dat f |X 00 meetbaar is ten opzichte van de σ-algebra {A ∩ X 00 : A ∈ A} op X 00 .
De lezer wordt uitgenodigd om de convergentiestellingen uit te breiden tot bijna overal gedefinieerde functies die bijna overal convergeren.
20
Hoofdstuk III
Productmaat en Fubini
III.1
Algebra’s en monotone klassen
Om van het product van twee maatruimten weer een maatruimte te maken hebben we twee extra
stukken gereedschap nodig:
Definitie. Zij X een verzameling. Een verzameling A ⊂ 2X heet een algebra op X als
• X ∈ A,
• A ∈ A ⇒ AC ∈ A en
• A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A.
Definitie. Zij X een verzameling. Een verzameling M ⊂ 2X heet een monotone klasse als voor
iedere monotone rijS(Mn ) in M de limiet ook een element van
T M is. Dus voor een stijgende rij
(Mn ) uit M geldt n Mn ∈ M en voor een dalende rij geldt n Mn ∈ M.
Merk op dat doorsneden van monotone klassen of algebra’s weer monotone klassen respectievelijk algebra’s zijn, dus voor elke collectie C ⊂ 2X bestaat er een kleinste algebra a(C) die C omvat
en een kleinste monotone klasse m(C) die C omvat.
Stelling III.1.1 (Monotone-klassenstelling). Als A ⊂ 2X een algebra is, dan is m(A) ook een
algebra, dus een σ-algebra.
Opgave III.1.2. Bewijs dit. Ga als volgt te werk:
1. Laat C := {E ∈ m(A) : E C ∈ m(A)}. Dan is C een monotone klasse die A bevat en daarmee
m(A).
2. Laat DA := {E ∈ m(A) : E ∩ A ∈ m(A)} voor A ⊂ X willekeurig. Dan is DA voor elke
A ∈ A een monotone klasse die A bevat en daarmee m(A).
3. Dan is DE voor elke E ∈ m(A) een monotone klasse die A bevat en daarmee m(A).
4. Hieruit volgt dat m(A) een algebra is.
5. Een monotone klasse die een algebra is, is een σ-algebra.
III.2
Product-σ-algebra’s en productmaten
Op Rn kennen we de Borel-σ-algebra B(n) en de volledige Lebesgue-σ-algebra afkomstig van de
premaat op de half-open blokken. Merk op dat B(n) gelijk is aan de σ-algebra voortgebracht door
de producttopologie op Rn . De producttopologie wordt weer voortgebracht door de projecties
pi : Rn → R: het is de kleinste topologie zodat alle projecties continu zijn (zie ook II.3.5, II.3.6).
Analoog:
21
Definitie. Laat (X, A), (Y, B) meetbare ruimten zijn. De product-σ-algebra A ⊗ B is de kleinste
σ-algebra op X × Y zodanig dat de projecties p1 : X × Y → X, (x, y) 7→ x en p2 : X × Y → Y ,
(x, y) 7→ y meetbaar zijn.
Dit geeft op Rn de σ-algebra B ⊗ · · · ⊗ B := σ(p1 , . . . , pn ) en deze is gelijk aan B(n) zoals we hebben
gezien in II.3.5. In het algemeen is de product-σ-algebra van Borel-σ-algebra’s niets anders dan
de Borel-σ-algebra van de producttopologie als de onderliggende ruimte aftelbare bases hebben,
zie Balkema 6.28-6.29.
Laat (X, A, µ) en (Y, B, ν) maatruimten zijn. We willen van X × Y een maatruimte maken met
σ-algebra A ⊗ B. Definieer de collectie van meetbare rechthoeken R := {A × B : A ∈ A, B ∈ B}.
Opgave III.2.1. Bewijs σ(R) = A ⊗ B.
Nu is R een halfring:
(A1 ×B1 )∩(A2×B2 ) = (A1 ∩A2 )×(B1 ∩B2 ) ∈ R en (A1 ×B1 )\(A2 ×B2 ) =
A1 ×(B1 \B2 ) ∪ (A1 \A2 )×B1 ∩B2 ∈ R. Ook is D = {R1 ∪· · ·∪Rn : n ∈ N, de Ri ∈ R disjunct}
een algebra: (R1 ∪· · ·∪Rn )C = X ×Y \(R1 ∪· · ·∪Rn ) ∈ D vanwege III.2.2, en de eindige doorsnedes
zitten erin omdat R gesloten is onder eindige doorsneden.
SN
Opgave III.2.2. Als H een halfring is zodanig dat voor alle A, B ∈ S
H geldt A \ B = i=1 Ai voor
n
zekere N ∈ N en disjuncte A1 , . . . , An ∈ H disjunct, dan is ook A \ i=1 Ci een eindige disjuncte
vereniging van elementen van H voor alle n ∈ N , C1 , . . . , Cn ∈ H. (Zie ook Lemma I.2.1)
Opgave III.2.3. Bewijs dat D := {R1 ∪ · · · ∪ Rn : n ∈ N, de Ri ∈ R disjunct} = a(R), de
kleinste algebra die R omvat.
Stelling III.2.4. Laat (X, A, µ), (Y, B, ν) maatruimten zijn. Als µ(X) < ∞, ν(Y ) < ∞ en
Z Z
Z Z
C := C ⊂ X × Y :
1C (x, y) dµ(x) dν(y) =
1C (x, y) dν(y) dµ(x)
Y
X
X
Y
dan A ⊗ B ⊂ C.
Bewijs. We eisen nog wat meer voor de verzamelingen C ∈ C, niet alleen dat de integralen gedefinieerd en gelijk zijn (vergelijk II.6)
1. Voor alle y is 1C (x, y) meetbaar in x.
2. Voor alle x is 1C (x, y) meetbaar in y.
R
3. De integraal X 1C (x, y) dµ(x) is meetbaar in y.
R
4. De integraal Y 1C (x, y) dν(y) is meetbaar in x.
Neem C = A × B ∈ R. Dan is 1C (x, y) = 1A (x)1B (y) meetbaar (voor vaste x of y is dit gelijk aan
0 of een indicatorfunctie van 1 variabele); aan 1 en 2 is voldaan. Verder hebben we
Z
Z
1C (x, y) dµ(x) = 1B (y)
1A (x) dµ(x) = µ(A)1B (y),
X
X
en dit is meetbaar in y. Hiermee is 3 in orde en voor 4 geldt hetzelfde. Dus C ∈ C, want integreren
geeft in beide gevallen µ(A) · ν(B). We hebben nu R ⊂ C. Het zou handig zijn als C een σ-algebra
is, want dan zijn we klaar: σ(R) = A ⊗ B ⊂ C. Maar waarom zou dat zo zijn? Wel zien we
dat 1C1 ∪C2 = 1C1 + 1C2 als C1 , C2 disjunct zijn, dus dat C gesloten is onder het nemen van
verenigingen van eindig veel disjuncte verzamelingen (som van meetbaar is meetbaar en integraal
is additief); zie II.5.7. De hele a(R), volgens III.2.3 alle verenigingen van eindig veel disjuncte
elementen van R, is dus bevat in C. Ook kunnen we aantonenSdat C een monotone klasse is. Dit
gaat als volgt. Neem (Cn )n ∈ C stijgend. Te bewijzen: C = n Cn ∈ C. Er geldt voor alle x, y
22
dat 1Cn (x, y) ↑ 1C (x, y). Dus voor elke y is x 7→ 1C (x, y) de limiet van van meetbare functies in
x en dus zelf meetbaar in x, zodat wegens monotone convergentie
Z
Z
∀y
1Cn (x, y) dµ(x) ↑
1C (x, y) dµ(x).
X
X
Het rechterlid is dus de limiet van een rij functies die meetbaar zijn in y en daarmee zelf meetbaar
in y, zodat nogmaals monotone convergentie toepassen geeft
Z Z
Z Z
1Cn (x, y) dµ(x) dν(y) ↑
1C (x, y) dµ(x) dν(y).
Y
X
Y
R R
X
R R
Omdat Cn ∈ CR geldt
1 dµ dν = X Y 1Cn dν dµ en dit convergeert volgens eenzelfde
Y X Cn
R
argument naar X Y 1C dν dµ; er volgt dat C ∈ C.
T
Opgave III.2.5. Bewijs dat als Cn ↓ C met Cn ∈ C, dan ook C = n Cn ∈ C.
De collectie C is inderdaad een monotone
klasse mét a(R) bevat in C, dus ook m a(R) . Vanwege
de monotone klassenstelling is m a(R) een σ-algebra. Mét a(R) bevat m a(R , dus ook σ a(R) .
We zien
A ⊗ B = σ(R) ⊂ σ a(R) ⊂ m a(R) ⊂ C.
We willen nu de productmaat van C definiëren als deze herhaalde integraal van 1C :
Stelling III.2.6 (Bestaan en uniciteit van de productmaat). Laat (X, A, µ), (Y, B, ν) σ-eindige
maatruimten zijn. Dan is er een unieke uitbreiding van µ×ν : R → [0, ∞] met A×B 7→ µ(A)·ν(B)
tot een maat µ × ν op A ⊗ B met
Z Z
Z Z
∀E ∈ A ⊗ B
(µ × ν)(E) =
1E (x, y) dµ(x) dν(y) =
1E (x, y) dν(y) dµ(x).
Y
X
X
Y
Stel Rµ(X) < ∞, ν(Y ) < ∞. Dan isR wegens
de vorige stelling µ × ν : E ∈ A × B 7→
RBewijs.
R
R
1
dµ
ν
goedgedefinieerd,
gelijk
aan
1
dν
dµ en een uitbreiding van µ × ν op R.
E
e
Y X
X Y
Het is ook een maat: neem disjuncte E1 , E2 , . . . in A ⊗ B, dan
! Z Z
Z Z X
∞
∞
[
(µ × ν)
Ei =
dµ
dν
=
1Ei dµ dν
1S∞
E
i
i=1
Y
i=1
Y
X
Z Z
=
lim
Y
= lim
n
X
X n→∞ i=1
n Z Z
X
n→∞
i=1
Y
X i=1
Z
1Ei dµ dν =
1Ei dµ dν =
X
lim
n Z
X
Y n→∞ i=1
∞
X
1Ei dµ dν
X
(µ × ν)(Ei ),
i=1
waarbij we tweemaal monotone convergentie gebruiken om limiet en integraal te verwisselen en
tweemaal II.5.7 om tegelijk som en integraal te verwisselen. Wat betreft de uniciteit: stel dat
(µ × ν)0 ook voldoet, dan is µ × ν = (µ × ν)0 op R, dus op de algebra a(R) terwijl wegens I.1.6 en
de eindigheid van de maten µ × ν en (µ × ν)0
C := {C ∈ A ⊗ B : (µ × ν)(C) = (µ × ν)0 (C)}
een monotone klasse is die a(R) bevat en dus σ(R) = A ⊗ B.S
S
Stel nu dat µ en ν σ-eindig zijn; neem 2 splitsingen X = m Am en Y = n BnR van
R disjuncte
Am ∈ A en Bn ∈ B met µ(A
)
<
∞
en
ν(B
)
<
∞.
Neem
E
∈
A
×
B;
is
dan
1 dµ dν
m
n
Y X E
R R
gedefinieerd en gelijk aan X Y 1E dν dµ? Definieer de eindige maatruimte (Am , Am , µm ) door
Am = {Z ∩ Am : Z ∈ A} en µm = µ|Am , en analoog (Bn , Bn , νn ) en zij Em,n := E ∩ (Am × Bn ),
dan is
Z Z
Z Z
Z Z
Z Z
1Em,n dµ dν =
1Em,n dµm dνn =
1Em,n dνn dµm =
1Em,n dν dµ,
Y
X
Bn
Am
Am
23
Bn
X
Y
waarbij inspectie het eerste en laatste gelijkteken rechtvaardigt en III.2.4 samen met III.2.7 het
middelste.
Opgave III.2.7. Er geldt Am ⊗ Bn = {E ∩ (Am × Bn ) : E ∈ A ⊗ B}.
Het bewijs dat µ × ν een maat is berust niet op eindigheid, dus gaat ook in het σ-eindige geval
op. We concluderen dat µ × ν op A ⊗ B een maat is die de afbeelding A × B 7→ µ(A) · ν(B) op R
uitbreidt. Uniciteit: stel dat (µ × ν)0 ook voldoet. Dan zijn (µ × ν)|Am ⊗Bn en (µ × ν)0 |Am ⊗Bn (deze
beperkingen bestaan wegens III.2.7) eindige maten die beide de afbeelding A × B 7→ µ(A) · ν(B)
op de meetbare rechthoeken A × B in Am × Bn uitbreiden, dus volgens de uniciteit in het eindige
geval zijn ze gelijk. Maar dan
X
X
(µ × ν)0 (E) =
(µ × ν)0 Em,n =
(µ × ν)Em,n = (µ × ν)(E).
m,n
m,n
R R
R R
Er hoeft niet te gelden Y X 1E dµ dν = X Y 1E dν dµ voor alle E ∈ A ⊗ B wanneer de maten
niet σ-eindig zijn. Neem voor X de verzameling [0, 1] met A Borel-σ-algebra en µ de BorelLebesguemaat, en voor Y ook [0, 1] met B ook de Borel-σ-algebra en ν de telmaat. De diagonaal
D = {(x, x) : x ∈ [0, 1]} is gesloten in [0, 1]2 , dus D ∈ B[0,1]×[0,1] = B[0,1] , zie II.3.5 en II.3.6. We
zien nu
Z Z
Z
Z
Z Z
1D dµ dν =
0 dν = 0 6= 1 =
1 dµ =
1D dν dµ.
Y
III.3
X
Y
X
X
Y
Stelling van Fubini
Stelling III.3.1 (Tonelli-Fubini, integreren over de productmaat). Als (X, A, µ) en (Y, B, ν) beide
σ-eindig zijn en f : X × Y → R meetbaar is ten opzichte van A ⊗ B, dan
Z
Z Z
Z Z
f d(µ × ν) =
f dν dµ =
f dµ dν
X×Y
X
Y
Y
X
als f niet-negatief of f reëelwaardig en integreerbaar.
PN
Bewijs. Als s = i=1 ei 1Ei met ei > 0 en Ei ∈ A ⊗ B, dan vinden we met behulp van III.2.6
Z
s d(µ × ν) =
X×Y
Nu is
n
X
ei (µ × ν)(Ei ) =
i=1
n
X
i=1
Z Z
ei
i=1
Z Z
ei
1Ei dµ dν =
Y
n
X
X
Z Z X
n
Y
1Ei dµ dν =
Y
X
n
X
i=1
Z Z
ei
1Ei dν dµ.
X
Y
Z Z
ei 1Ei dµ dν =
X i=1
s dµ dν,
Y
X
en evenzo voor de integralen omgekeerd. Dus voor trapfuncties
gaat het goed. Als f ≥ 0 dan
PNn
is er een rij (sn ) van trapfuncties met sn ↑ f , sn = i=1
ei,Nn 1Ei,Nn , zodat vanwege monotone
convergentie geldt
Z
Z
Z
f d(µ × ν) =
lim sn d(µ × ν) = lim
sn d(µ × ν)
n→∞ X×Y
X×Y
X×Y n→∞
Z Z
Z Z
Z Z
= lim
sn dµ dν =
lim sn dµ dν =
f dµ dν
n→∞
Y
X
Y
R
X n→∞
Y
X
R R
en evenzo X×Y f d(µ × ν) = X Y f dµ dν. Stel nu dat f reëelwaardig en integreerbaar is. De
R R
R R
R
stelling geldt voor |f |, dus X Y |f | dν dµ = Y X |f | dµ dν = X×Y |f | d(µ × ν) < ∞ . Ook geldt
R R
+
−
+
−
de stelling
Wegens II.5.9
voor fR en f , dus Y Xf dµ dν < ∞ en ook voor f en omgekeerd.
is N = y ∈ Y : X |f (x, y)| dµ = ∞ een nulverzameling. Dan geldt voor y ∈ N C dat
Z
Z
+
f dµ ≤
|f (x, y)| dµ < ∞
(iii.3.1)
X
X
24
en dit geldt ook voor f − . Oftewel, voor vaste y zijn f + en f − reëelwaardige integreerbare
van x. Dan is (nog steeds
voor vasteR y) f + − f − meetbaar en
met
R
R integreerbaar
Rfuncties
+
−
+
−
+
f
(x,
y)
−
f
(x,
y)
dµ(x)
=
f
(x,
y)
dµ
−
f
(x,
y)
dµ(x).
Bekijk
f
(x,
y)
dµ(x)
—
X
X
X
XR
aangezien de stelling geldt voor f + is dit meetbaar als functie van y. Ook 1N C (y) X f + (x, y) dµ(x)
is
en integreerbaar
vanwege (iii.3.1) en zo ook voor f − . We zien dat
R meetbaar op Y , reëelwaardig
R
R
+
−
f (x, y) dµ(x) = X f (x, y) dµ(x) − X f R (x, y) dµ(x) voor y ∈ NRC gedefinieerd is en gelijk
X
aan de overal op Y meetbare functie 1N C (y) X f + (x, y) dµ − 1N C (y) X f − (x, y) dµ, zodat
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
II.6
II.5.11
f dµ dν =
1N C
f + dµ −
f − dµ dν =
f + dµ dν −
f − dµ dν
C
C
Y X
Y
X
N
X
N
X
Z Z
Z XZ
II.5.10
+
−
=
f dµ dν −
f dµ dν
Z Y X
ZY X
Z
+
−
=
f d(µ × ν) −
f d(µ × ν) =
f d(µ × ν).
X×Y
X×Y
X×Y
Opgave III.3.2. Een meetbare f : X × Y → R is integreerbaar zodra
Z Z
Z Z
|f | dµ dν < ∞ of
|f | dν dµ < ∞.
Y
X
X
Y
Opgave III.3.3 (Eenduidigheidsstelling). Als (X, A) een meetbare ruimteSis, A = σ(C) met C
∞
gesloten onder het nemen van doorsneden van eindig veel elementen, X = n=1 Cn voor zekere
Cn ∈ C, en µ, ν maten zijn op A met µ(C) = ν(C) < ∞ voor alle C ∈ C, dan is µ = ν. Aanwijzingen: neem eerst aan X ∈ C en breid C uit tot een algebra; denk aan meetbare rechthoeken.
25