CTB1001-2 – Analyse 3

CTB1001-2 – Analyse 3
Maart 2014
Januari 2014
Maart 2012
Januari 2012
Maart 2011
Januari 2011
Tentamenbundel Civiele Techniek
Het Gezelschap "Practische Studie"
TU DELFT, 2011
1
Tentamen Analyse Module 3 (wi1340CT)
maandag 24 januari 2011; 9.00-11.00 uur
———————————————————————————————————————
Het gebruik van boek en/of telefoon is NIET toegestaan. U mag gebruik maken van een
rekenmachine (zonder CAS-functionaliteiten) en het ”Formuleblad te gebruiken bij de tentamens Analyse van het Instellingspakket TU Delft”, mits niet voorzien van aantekeningen.
Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent!
Normering: Opgaven: 1,2,3,4,5,6: ieder 2 punten; Opgaven: 7, 8: ieder 3 punten. Het
cijfer wordt berekend volgens de formule: cijfer=(het aantal behaalde punten+2)/2.
———————————————————————————————————————
1. Gegeven v = x2 sin(y) + yexy , met x = s + 2t en y = st. Bepaal
t = 1.
∂v
∂s
en
∂v
∂t
in s = 0 en
2. Geef de vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak met de vergelijking
x2 − 2y 2 + z 2 + yz = 2 in het punt (2, 1, −1).
3. (§14.6, opgave 47) Gegeven f (x, y) = xy, bepaal de gradientvector ∇f (3, 2), en
bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de niveau-kromme (level curve) f (x, y) = 6
in het punt (3, 2).
4. Bepaal alle stationaire (kritieke) punten van de functie f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy + 2,
en geef van elk punt aan of het een lokaal maximum, een lokaal minimum, of een
zadelpunt is.
Z 1Z 1
5. Bereken de integraal
x3 sin(y 3 ) dydx via verwisseling van integratievolgorde.
0
x2
6. (§15.4, opgave 21) Bepaal het volume van het lichaam ingesloten door de hyperboloı̈de
−x2 − y 2 + z 2 = 1 en het vlak z = 2.
7. (§15.7, opgave 25) Bepaal de massa en de z-coördinaat van het massamiddelpunt van
het lichaam S dat begrensd is door de paraboloı̈de z = 4x2 + 4y 2 en het vlak z = a
(a > 0), en met een constante dichtheid K.
8. Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem y 00 +y 0 −2y = 1+e2x met y(0) = 0
en y 0 (0) = 0.
- Einde -
TU DELFT, 2011
1
Tentamen Analyse Module 3 (wi1340CT)
maandag 11 april 2011; 9.00-11.00 uur
———————————————————————————————————————
Het gebruik van boek en/of telefoon is NIET toegestaan. U mag gebruik maken van een
rekenmachine (zonder CAS-functionaliteiten) en het ”Formuleblad te gebruiken bij de tentamens Analyse van het Instellingspakket TU Delft”, mits niet voorzien van aantekeningen.
Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent!
Normering: Opgaven: 1,2,3,4,7,8: ieder 2 punten; Opgaven: 5, 6: ieder 3 punten. Het
cijfer wordt berekend volgens de formule: cijfer=(het aantal behaalde punten+2)/2.
———————————————————————————————————————
1. Gegeven yz 4 + x2 z 3 = exyz . Bepaal
∂z
∂z
en
.
∂x
∂y
2. Gegeven is de functie f (x, y) = 2x+2y . Bepaal de maximale richtingsafgeleide van f
in het punt (-1, 1).
3. (§14.7, opgave 11) Bepaal alle stationaire (kritieke) punten van de functie f (x, y) =
x3 − 12xy + 8y 3 , en geef van elk punt aan of het een lokaal maximum, een lokaal
minimum, of een zadelpunt is.
Z 3 Z √9−x2
4. (§15.4, opgave 29) Bereken de integraal
sin(x2 + y 2 ) dydx.
−3
0
5. Bepaal de massa en het massamiddelpunt (x̄, ȳ) van een plaat (met constante dikte)
√
van de vorm D met de dichtheid ρ(x, y) = x, waarbij D begrensd is door y = x,
y = 0 en x = 1.
Z Z √
Z
4−y 2
2
6. Bereken de integraal
0
−
√
4−y 2
2
√
xz dzdxdy
x2 +y 2
7. (§17.1, opgave 23) Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem y 00 +2y 0 +2y = 0
met y(0) = 2 en y 0 (0) = 1.
8. Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking y 00 − 2y 0 + y = x2
- Einde -
TU DELFT, 2012
1
Tentamen Analyse Module 3 (wi1340CT)
maandag 30 januari 2012; 9.00-11.00 uur
———————————————————————————————————————
Het gebruik van boek en/of telefoon is NIET toegestaan. U mag gebruik maken van een
rekenmachine (zonder CAS-functionaliteiten) en het ”Formuleblad te gebruiken bij de tentamens Analyse van het Instellingspakket TU Delft”, mits niet voorzien van aantekeningen.
Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent!
Normering: Opgaven: 1,2,3,4,5: ieder 2 punten; Opgaven: 6,7,8: ieder 3 punten. Het cijfer
wordt berekend volgens de formule: cijfer=(het aantal behaalde punten+2)/2,1.
———————————————————————————————————————
1. Gegeven is de functie f met de functievoorschrift f (x, y) = ex ln y , voor x ≥ 0 en y ≥ 0.
∂2f
Bereken ∂f
∂x (1, 2) en ∂x∂y (1, 2).
2. (§14.5, opgave 33) Gegeven x − z = arctan(yz). Bepaal
∂z
∂z
en
(in termen van x, y
∂x
∂y
en z).
x+y
. Bepaal de maximale richtingsafgeleide in het
z
punt (1, 1, -1) en geef de richting aan waarin dit maximum optreedt. Licht uw antwoord
toe.
Z 1Z 1
1
√ cos(y 2 ) dydx via verwisseling van integratievolgorde.
4. Bereken de integraal
√
x
x
0
Geef ook een schets van het integratiegebied.
3. Gegeven is de functie f (x, y, z) =
5. (§15.6, opgave 21) Bereken het volume van het lichaam ingesloten door de cilinder
x = y 2 en de vlakken z = 0 en x + z = 1.
6. Ingrid wil een kartonnen doos zonder (bovenkant) deksel maken. Stel z is de hoogte van
de doos, en x en y zijn de lengtes van de zijkanten van de doos. Gegeven is de totaal
oppervlakte van de doos gelijk aan 48 cm2 .
• a) Laat zien dat het volume van de doos gelijk is aan een functie
48xy − x2 y 2
f (x, y) =
2(x + y)
• b) Bereken het maximum van de functie f (x, y) van vraag a en de bijbehorende
afmetingen x, y en z.
7. (§15.5,
cirkels
p opgave 13) Een
p plaat ligt in het halfvlak y ≥ 0 en tussen de twee halve
p
y = 1 − x2 en y = 4 − x2 . Stel de dichtheid van de plaat is ρ(x, y) = 3 x2 + y 2 .
Bepaal het massamiddelpunt van deze plaat.
8. Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem y 00 + 4y 0 + 4y = 25 cos(x) met
y(0) = 0 en y 0 (0) = 9.
- Einde -
/
^
^
^
^
2.
£/
<PL—
— —
^•z
€^
rFp
^tc^
- ^ —
y
pyf^f
t^Ko^j
-1
—ïvf^
n^^*^
/-^^io-^y
{/>^€^^^
/
(7
^
-
.—
asL
y
J
V
^ -
^ ^Xx^^y)
1/ ^C^n'^^ fX^^V)- ^^xvi-^'-^'"
^
^(y^y.
g C^^tj)^
y
Vx~^~ 0
^<sy^
' '
1
2
JA
X — - O
^
Vy^
y^)(y'fy)
-^2yy
'
fx^^^r
O
1
,
l
-^^
^ y"^^
2xy ^ ó
^
x - -h y
j(
Z-
V
>
C^"**^
Y-^y
— - L
l ^ ^ € ^
.
^
(
V .
€^
d/L
u
U'Le^^^ye^^
J
u
.
—
1:2; ^ J / V
• -•^-^—^
a/zneréi*;^^
l
^
-li
^"^j
\J
p
©r^jU u^^lfe-w
TT
TT
^
X^^
•
u \ X.^
O
i^^"^>'.^f;/^.^
-Jo
SA»^ rTÏ^^
{
Mjr = f f Iff^A
J>
'
=f
J '
'
rs^ê-irre^My
0
f
(
'
1,
ll
TU DELFT, 2012
1
Tentamen Analyse Module 3 (wi1340CT)
maandag 16 april 2012; 9.00-11.00 uur
———————————————————————————————————————
Het gebruik van boek en/of telefoon is NIET toegestaan. U mag gebruik maken van een
rekenmachine (zonder CAS-functionaliteiten) en het ”Formuleblad te gebruiken bij de tentamens Analyse van het Instellingspakket TU Delft”, mits niet voorzien van aantekeningen.
Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent!
Normering: Opgaven: 1,2,3,4,5: ieder 2 punten; Opgaven: 6,7,8: ieder 3 punten. Het cijfer
wordt berekend volgens de formule: cijfer=(het aantal behaalde punten+2)/2,1.
———————————————————————————————————————
1. (§14.5, opgave 21) Gegeven
√
xy = 1 + x2 y. Bepaal
dy
.
dx
2. Geef de vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak met de vergelijking
sin(xyz) = x + 2y + 3z in het punt (2, -1, 0).
Z Z
3. (§15.3, opgave 15) Bereken de integraal
y 3 dA , waarbij D een driehoek is met
D
de hoekpunten (0, 2), (1, 1) en (3, 2).
Z
a
Z
0
4. (§15.4, opgave 30) Bereken de integraal
0
−
√
x2 y dxdy (a > 0) via verwisa2 −y 2
seling van integratievolgorde. Geef ook een schets van het integratiegebied.
Z Z Z
5. (§15.6, opgave 11) Bereken de integraal
6xy dV , waarin E een lichaam is
E
√
met als ondervlak het gebied D in het xy-vlak ingesloten door y = x, y = 0 en
x = 1, en vanuit het ondervlak recht omhoog tot het bovenvlak z = 1 + x + y.
6. Bepaal alle stationaire (kritiek) punten van de functie f (x, y) = y 2 − 2y cos(x)
met −1 ≤ x ≤ 4, en geef van elk punt aan of het een lokaal maximum, een lokaal
minimum, of een zadelpunt is.
7. D is een gebied dat ligt binnen de cirkel x2 + y 2 = 2y en buiten de cirkel x2p
+ y 2 = 1.
Een plaat (met constante dikte) heeft de vorm D en een dichtheid ρ(x, y) = x2 + y 2 .
Bereken de massa en het moment om de y-as van deze plaat.
8. Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem y 00 + 2y 0 + 2y = 1 + 2x met
y(0) = 0 en y 0 (0) = 1.
- Einde -
3
if
r _
"/r.
1
^^^^
~
2,
^o)cx-^,)tf^u^,<)^^j^^^^%f.)C^-%)
— ^
z
I- Cy -2.) -t ? c^i-,)
(2-o)
I
'I
- o
J
r f
2.
Z8
(5)
(/<Ttry
^ v»try
7>
Test
7>
X
X=
TL
6. C t/e^t/^^
)
f y y
7
2>e je^i^e^^p^
ti
J
_
,
.
^
=- z
7.
C(Ae^i^)
P
JL
/
/
\j
J
i:^
co^
^
df"
SrK.
•I
fcx.<^)=Jp7f
/i^^
z
/
O
L
e - ^
C
7>.
ü
I
S - 2
-h C
o
TU DELFT, 2014
1
Tentamen Analyse Module 3 (CTB1001 Deel 2)
dinsdag 21 januari 2014; 9.00-11.00 uur
———————————————————————————————————————
Het gebruik van boek, rekenmachine en/of telefoon is NIET toegestaan. U mag gebruik
maken van het ”Formuleblad te gebruiken bij de tentamens Analyse van het Instellingspakket TU Delft”, mits niet voorzien van aantekeningen.
Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent!
Normering: Opgaven: 1,2,3,4,5: ieder 2 punten; Opgaven: 6,7,8: ieder 3 punten. Het cijfer
wordt berekend volgens de formule: cijfer=(het aantal behaalde punten+2)/2,1.
———————————————————————————————————————
1. (§14.3, opgave 49) Gegeven ez = xyz. Bepaal
∂z
∂z
en
.
∂x
∂y
2. Geef de vergelijking√van het raakvlak aan het oppervlak met de vergelijking
x2 + 2y 2 − 3z 2 = 4 xz + 7 in het punt (4, -1, 1).
3. Gegeven een richting √
v = 2i + j − 2k. Bepaal de richtingsafgeleide van de functie
f (x, y, z) = x2 y + 2x 1 + z in het punt (2, 1, 3) en in de richting v. Is deze de
grootst mogelijke richtingsafgeleide in punt (2, 1, 3)? (Licht uw antwoord toe).
4. (§15.3, opgave 27) Bereken d.m.v. een dubbele integraal het volume van het lichaam
ingesloten door de drie coördinatenvlakken, en het vlak 3x + 2y + z = 6.
Z 2 Z √4−y2 Z 4−x2 −y2 p
x2 + y 2 dzdxdy
5. (§15.8, opgave 30) Bereken de integraal
√
−2
−
4−y 2
0
6. Ingrid wil een aluminium doos met volume van 1250 cm3 maken. Stel z is de hoogte
van de doos, en x en y zijn de lengtes van de zijkanten van de doos gemeten in
cm. De prijs van het aluminium plaat is 1 cent per cm2 , en de prijs van het deksel
(bovenkant) is 1,5 cent per cm2 .
a) Laat zien dat de
totale kosten vande doos gegeven worden door de functie
1000 1000
+
cent
f (x, y) = 2, 5 xy +
x
y
b) Bereken het minimum van de functie f (x, y) van vraag a en de bijbehorende
afmetingen x, y en z.
7. D is een gebied dat ligt rechts van de y-as (dus x ≥ 0) binnen de cirkel x2 + y 2 = 4
en buiten de cirkel x2 + y 2 = 1. Een plaat (met constante dikte) heeft de vorm D en
1
een dichtheid ρ(x, y) =
. Bereken de massa en de x-coördinaat van het
1 + x2 + y 2
massamiddelpunt van deze plaat.
8. (§17,2, opgave 15) Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking
y 00 − 3y 0 + 2y = ex + sin x .
z
3.
4.
3
y
r e
1
0
ó ^ ^
< ^ ^f-^
J
'O O
^0
X
2. ^zm
Z7C (
^1
?z
-f- /,S-x.if -tZZZ-^^^^
2xtcrO
1/
^ 3 ^ / ^
X^/o^a^^
y^i^-fo^
7
O
^^f2/-c^..
ll
TU DELFT, 2014
1
Tentamen Analyse Module 3 (CTB1001 Deel 2)
vrijdag 11 april 2014; 9.00-11.00 uur
———————————————————————————————————————
Het gebruik van boek, rekenmachine en/of telefoon is NIET toegestaan. U mag gebruik
maken van het ”Formuleblad te gebruiken bij de tentamens Analyse van het Instellingspakket TU Delft”, mits niet voorzien van aantekeningen.
Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent!
Normering: Opgaven: 1,2,3,4,5: ieder 2 punten; Opgaven: 6,7,8: ieder 3 punten. Het cijfer
wordt berekend volgens de formule: cijfer=(het aantal behaalde punten+2)/2,1.
———————————————————————————————————————
1. Bereken
x+y
∂f
(2, −1) voor de functie f (x, y) = 2
.
∂x
x + y2
2. Gegeven z = ex sin y, waarin x = st2 en y = s2 t. Bepaal
∂z
∂z
en
.
∂s
∂t
3. Bepaal alle stationaire (kritieke) punten van de functie f (x, y) = (x − y)(1 − xy),
en geef van elk punt aan of het een lokaal maximum, een lokaal minimum of een
zadelpunt is.
√
4. D is het gebied ingesloten door y = 0, y = x en x = 1. Stel dat
√ een plaat de
vorm (met constante dikte) van D heeft met dichtheid ρ(x, y) = 1 + x. Bepaal het
traagheidsmoment Ix om de x-as van de plaat.
Z 3 Z √9−x2
5. (§15.4, opgave 29) Bereken de integraal
sin(x2 + y 2 ) dydx
−3
0
6. (§14.6, opgave 41) Gegeven de vergelijking van het oppervlak 2(x − 2)2 + (y − 1)2 +
(z − 3)2 = 10.
a) Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak in het punt (3, 3, 5).
b) Bepaal de normaallijn tot het oppervlak in het punt (3, 3, 5).
7. (§15.8, opgave 27) Het lichaam S is ingesloten door de paraboloı̈de z = 4x2 + 4y 2 en
het vlak z = a (a > 0). De dichtheid van S is ρ(x, y, z) = k, waarbij k een constante
is. Bepaal de massa en de z-coördinaat van het massamiddelpunt van het lichaam S.
8. (§17.3, opgave 3) Gegeven een massa-veer-demper systeem is vertikaal opgehangen.
Verder is gegeven: (1) de massa m = 2 kg; (2) de dempingsconstante c = 14 Ns/m;
(3) er is 6N nodig om de veer 0,5m uit te rekken; (4) de massa wordt op t=0s 1 meter
uit zijn evenwichtstand getrokken en vanuit rust losgelaten.
a) Stel de differentiaalvergelijking op voor de positie van de massa als functie van
t. Geef ook de bijbehorende beginwaarden aan.
b) Bepaal de positie van de massa als functie van t.
naam
name
studienummer
student number
vak
course
0
KJ
datum
date
opleiding
P'ogram
aantal ingeleverde vellen
total number of sheets
P/
Technische Universiteit Delft
opgave nummer
question
number
^
^ ^ ^ ^
^
^
^
— c ^ ^ ^ T
^
T ^ ^ - ^
2:
^
I n d e O n d e r w i j s - e n e x a m e n r e g e i i n g is v a s t g e l e g d d a t t e n t a m e n u i t s l a g e n b i n n e n 2 0 w e r l < d a g e n z u i l e n w o r d e n g e p u b l i c e e r d
The Education and Examination regulations stipulate that examination results will be made Icnown within 20 working days.
4..
-Ji
-0
^
2i
^7 ?——
^
^4*
7
y-3
^
p
7
7 1
'
=
^
^
^
^
a
^
^
^
^
-
7
^
3
a.
2
r ^ /i^Z
A&g^i^
7>p
y(o)
>)
oj^^^^i^^^
0 .
^
1 pc-h
/fepj^.t^.
3
#
V
. -,
_
J
«
)
X
'
i
fc^'T.
_J
/
(fi) ( •
^ ^
^yc
1
\
/
^^^^
^ 1
X(v)
-2^^^
•
2^
f/Z
ttf^
7
^"V
/
—
^
^
^
^
*^
'/
(
*
/
:
^
• ^
I
^
- i
^
2
/
V »