TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (3D020)

TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (3D020)
29 juli 2004, 14.00 — 17.00 uur
UITWERKING 1
a) Uit behoud van energie volgt
´
1 ³ 2
m ve − vb2 = qV
2
waarin vb en ve respectievelijk de begin- en eindsnelheid van het deeltje zijn.
Omdat geldt dat vb = 0 volgt
1
mv 2 = qV
2 e
⇒
ve =
s
2qV
m
b) Tijdens het doorlopen van de cirkelbaan geldt FL = Fc . Hieruit volgt
qvB =
mv 2
r
⇒
r=
mv
qB
Substitutie van het onder a) gevonden antwoord geeft
m
r=
qB
s
2qV
1
=
m
B
s
2mV
q
c) Omdat alle isotopen met dezelfde snelheid v het magneetveld binnenkomen geldt:
r1
m1
=
= 0.95
r2
m2
Willen de 2 isotopen nog gescheiden worden waargenomen, dan moet gelden dat r1 en
r2 meer dan een afstand d verschillen. Omdat m2 > m2 , geldt dat r2 > r1 . Hieruit
volgt r2 > (r1 + d). Invullen geeft
r1
> 0.95
r1 + d
⇒
d<
0.05
× r1 = 0.0526 × r1
0.95
Een soortgelijke berekening uitgaande van r2 levert d < 0.05 × r2 .
d) Uit het gegeven r1 = r2 volgt
1
B
s
2m1 V1
1
=
q
B
s
2m2 V2
q
⇒
V2
m1
35
= 0.946
=
=
V1
m2
37
i
UITWERKING 2
a) Voor de vlakke plaatcondensator C2 geldt
C2 =
400 × 10−4
ε0 A
=
= 1.768 × 10−11 F
2d
4π × 9 × 109 × 2 × 10−2
b) De condensator C1 kan opgevat worden als een serieschakeling van 2 condensatoren.
Voor de bovenste condensatorhelft geldt
CB = κB
ε0 A
ε0 A
=4
d
d
Vorr de onderste condenatorhelft geldt
CO = κO
ε0 A
ε0 A
=2
d
d
Verder geldt
d
3d
1
1
d
1
+
=
=
+
=
C1
CB CO
4ε0 A 2ε0 A
4ε0 A
Waaruit volgt
C1 =
4 × 400 × 10−4
4ε0 A
=
= 4.716 × 10−11 F
9
−2
3d
4π × 9 × 10 × 3 × 10
c) Omdat de lading op C1 en C2 gelijk is geldt
3d
3
C2
ε0 A
V1
×
=
=
=
V2
C1
2d
4ε0 A 8
⇒
V1 = VA − VB = 37.5 V
d) De samengestelde condensator CP kan opgevat worden als een parallelschakeling van
C1 en C2 . Voor de capaciteit hiervan geldt
CP = C1 + C2 =
11ε0 A
4ε0 A ε0 A
+
=
3d
2d
6d
Omdat de lading op deze condensator nu gelijk is aan 2Q geldt
VP
6d
6
C2
ε0 A
×
=
=2×
=2×
V2
CP
2d
11ε0 A
11
⇒
VP = VAC − VBD = 54.55 V
e) Als de plaat S in de samengestelde condensator geschoven is kan de capaciteit CP,S
opgevat worden als een serieschakeling van 2 condensatoren. Voor de bovenste condensatorhelft geldt (parallelschakeling van 2 condensatoren)
CB,S =
ε0 A
ε0 A
ε0 A
+ κB
=5
d
d
d
ii
Voor de onderste condensatorhelft geldt (parallelschakeling van 2 condensatoren)
CO,S =
ε0 A
ε0 A
ε0 A
+ κO
=3
d
d
d
Voor de samengestelde condensator geldt nu
1
d
8d
1
1
d
+
=
=
+
=
CS
CB,S CO,S
5ε0 A 3ε0 A 15ε0 A
Omdat de lading op deze condensator nog steeds gelijk is aan 2Q geldt
VS
C2
ε0 A
8d
8
=2×
=2×
×
=
V2
CS
2d
15ε0 A
15
⇒
VS = VAC − VBD = 53.33 V
f) Het potentiaalverschil kan gevonden worden uit
VS − VBD
CS
15ε0 A
d
5
=
=
×
=
VS
CO,S
8d
3ε0 A
8
Hieruit volgt
5
5
8
× V2 = 33.33 V
VS − VBD = VS = ×
8
8 15
g) Als het dielectrisch materiaal is verwijderd zijn de bovenste en onderste helft van de
condensator gelijk. Dan geldt VS − VBD = 0.5 × V2 = 50 V.
iii
UITWERKING 3
A
B
-
R
+
I2
+
ε
15 V
3
I1
I3
C
2
V
+
+
20 V
-
A
D
4
+
a) Omdat door de spanningsmeter V geen stroom loopt, zijn alleen de knooppunten B
en C van belang. Voor beide knooppunten geldt
I1 + I2 = I3
⇒
I1 + I2 = 5 (I3 = 5 A)
(1)
b) Voor de lus ABC geldt
I1 R + ε − 3I2 + 2I1 − 20 = 0
(2)
Voor de lus BCD geldt
ε − 3I2 − 4I3 + 15 = 0
⇒
ε − 3I2 − 5 = 0 (I3 = 5 A)
(3)
Voor de lus ACA (terug via de spanningsmeter) geldt
20 − 2I1 − 14 = 0
⇒
I1 = 3 A
(4)
c+d) Invullen van Vgl (4) in Vgl. (1) levert
I2 = 2 A
(5)
Invullen van Vgl (4) in Vgl. (3) levert
ε = 11 V
Substitutie hiervan in Vgl. (5) levert
3R + 11 − 6 + 6 − 20 = 0
⇒
R=3Ω
iv
UITWERKING 4
a) De verandering van de door de lus omvatte flux geeft aanleiding tot een emk die gegeven
wordt door
dΦB
dx
| |=
= Bl
= vBl
dt
dt
Verder geldt dat = IR, waaruit volgt
vBl
R
Deze stroom loopt in de figuur door de staaf naar boven.
I=
b) Als de staaf met een coonstante snelheid beweegt, moet de totale kracht op deze staaf
gelijk zijn aan nul. Dit betekent dat de externe kracht F wordt tegengewekt door een
even grote kracht. Deze laatste is de kracht die door het magneetveld wordt uitgeoefend
op de stroom I die door de staaf loopt.
c) De kracht die door het magneetveld wordt uitgeoefend op de stroom I die door de
staaf loopt wordt gegeven door
³
´
F =I l×B
Omdat deze stroom naar boven loopt en het veld in de negatieve z richting staat, wijst
deze kracht naar links, dus langs de negatieve x-as.Voor de grootte van deze kracht
geldt
F
F = IlB ⇒ I =
lB
Voor de snelheid v geldt
FR
IR
= 22
v=
Bl
B l
d) Voor het in de weerstand gedissipeerde vermogen geldt
PR = I 2 R =
F 2R
B 2 l2
e) Voor de mechanische arbeid die door de uitwendige kracht per tijdseenheid wordt
verricht geldt
F 2R
W = Fv = 2 2
B l
Dit is gelijk aan de in de weerstand R gedissipeerde energie.
f) Als de rails worden weggelaten, ontstaat over de staaf een spanning t.g.v. de kracht
op de ladingsdragers:
FL = q(v × B) = qvBey
Ftot = 0 = q(E + v × B)
⇒
E = −vBey
| | = El = vBl
g) De kracht is in dit geval gelijk aan nul.
v