Document

1a. Each arc cost in a network is multiplied by the same sonstant c. Does this change the set of optimal
solutions for the minimum cost transshipment problem? (consider the cases c < 0, c = 0, and c > 0
separately). Describe how the solution set will change: is it the same, larger, smaller, or different? Give
examples to illustrate this.
1b. A constant c is added to each arc cost in a network. Does this change the set of optimal solutions
for the minimum cost transshipment problem? Give examples to illustrate this.
2a. A network consists of e bipartite graph where three supply nodes 1, 2, and 3 with supply 20, 10,
and 25 are all connected to four demand nodes 4, 5, 6, and 7, with demand 11, 13, 17, 14. There are no
capacity restrictions on the arcs. The transport costs are as follows:
1  4 cost 1, 1  5 cost 6, 1  6 cost 3, 1  7 cost 5,
2  4 cost 7, 2  5 cost 3, 2  6 cost 1, 2  7 cost 6,
3  4 cost 9, 3  5 cost 4, 3  6 cost 5, 3  7 cost 4.
Find the minimum cost flow for this transshipment problem and its total cost (use the computer).
2b. Increase the supply of node 2 by 2 units and increase the demand of node 4 by 2 units. Reoptimize
the solution and show that the total cost of the flow decreases!
3. A network consists of 8 nodes and 12 links. The capacities of the links are as follows:
1  2 [0,3]
1  3 [0,8]
2  5 [0,10]
2  4 [0,10]
3  4 [0,5]
3  7 [0,5]
4  5 [0,1]
4  6 [0,1]
5  8 [0,4]
6  5 [0,2]
6  7 [0,2]
7  8 [0,9]
3a. How many cuts do you have to consider if you want to apply the Max-Flow-Min-Cut theorem to
determine the value of the maximum flow from node 1 to node 8?
3b. Determine the maximum flow from node 1 to node 8 using Ford-Fulkerson’s algorithm.
3c. Determine the maximum flow from node 1 to node 8 using Karzanov’s algorithm.
4a. Gegeven is een netwerk met daarin twee knopen s en t. Twee paden in een netwerk heten
takdisjunct als ze geen gemeenschappelijke takken hebben. Bewijs dat het maximale aantal
takdisjuncte paden van s naar t gelijk is aan het minimale aantal takken dat uit het netwerk moet
worden weggelaten om te zorgen dat s en t niet meer verbonden zijn.
4b. Gegeven is een militair communicatienetwerk met daarin een commandocentrale c en een
legereenheid u als knopen. Voor een tak van knoop i naar knoop j zijn cij de kosten om deze tak te
verbreken. Stel een wiskundig model op voor het bepalen van de minimale effort die nodig is om c van
u te isoleren.
5. Tussen twee knopen in een netwerk zijn twee mogelijke routes. De reistijd langs route 1 is 100 + x1,
waarbij x1 de grootte van de stroming over die route is, en de reistijd langs route 2 is 50 + x22, waarbij
x2 de grootte van de stroming over route 2 is. De stromingen hoeven niet geheeltallig te zijn.
a. De totale stroming door de twee takken samen is 10. Bereken de grootte van de stromingen
langs de twee routes in gebruikersevenwicht (elke gebruiker kiest dan de kortste route).
b. (Bereken ook het systeemoptimum (de totale reistijd van alle gebruikers is minimaal).
c. Is er een waarde van de totale stroming waarvoor gebruikersevenwicht en systeemoptimum
samenvallen?