Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde
1
Axioma’s
2
Rechten en hoeken
3
Driehoeken
4
Vierhoeken
5
De cirkel
6
Veelhoeken
7
Analytische meetkunde
Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules van de eerste en de tweede graad.
Wat je gezien hebt, is aangeduid met een kruisje in een vierkantje.
1
Axioma's
Twee punten bepalen juist één rechte.
a
Axioma punt-rechte
B
A
Door elk punt van het vlak dat niet op een rechte ligt, kan
P
men juist één rechte tekenen die evenwijdig is met de
b
gegeven rechte.
Axioma van Euclides
Door elk punt van het vlak kan men juist één rechte tekenen
loodrecht op een gegeven rechte.
Een rechte die twee punten gemeenschappelijk heeft met
een vlak ligt in dat vlak.
Axioma rechte - vlak
b
P
Axioma van de loodrechte stand
a
Drie niet-collineaire punten bepalen één vlak.
Axioma punt - vlak
a
2
Rechten en hoeken
Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde derde rechte,
c
dan zijn die twee rechten evenwijdig.
a
b
b // a en c // a ⇒ b // c
Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan
a
snijdt ze ook de andere.
b
c
b // a en c // a ⇒ c // b
a
Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde derde rechte,
b
dan zijn die twee rechten evenwijdig.
c
b ⊥ a en c ⊥ a ⇒ b // c
b
Als twee rechten loodrecht op elkaar staan, dan staat elke
a
rechte die evenwijdig is met één van deze rechten loodrecht
op de andere.
c
a ⊥ b en c // a ⇒ c ⊥ b
Overstaande hoeken zijn gelijk.
2
A
Aˆ1 = Aˆ2
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een
derde rechte, dan zijn
1 twee overeenkomstige hoeken gelijk,
2 twee verwisselende binnenhoeken gelijk,
3 twee verwisselende buitenhoeken gelijk,
b
a
4 twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
elkaars supplement,
5 twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
elkaars supplement.
c
1
Omgekeerde stelling
Als bij twee rechten gesneden door een rechte
1 twee overeenkomstige hoeken gelijk zijn, dan zijn de twee
rechten evenwijdig,
2 twee verwisselende binnenhoeken gelijk zijn, dan zijn de
twee rechten evenwijdig,
3 twee verwisselende buitenhoeken gelijk zijn, dan zijn de
twee rechten evenwijdig,
4 twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
elkaars supplement zijn, dan zijn de twee rechten
evenwijdig,
5 twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
elkaars supplement zijn, dan zijn de twee rechten
evenwijdig.
Een punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk
m
a.s.a.
P
het punt even ver ligt van de grenspunten van het lijnstuk.
Kenmerk van de middelloodlijn
A
M
B
P ligt op ml AB 
⇕
PA = PB
Een punt ligt op een deellijn van twee snijdende rechten
a
a.s.a.
het punt even ver ligt van de snijdende rechten.
P
Kenmerk van de deellijn
b
P ligt op een deellijn van de
snijdende rechten a en b
⇕
Pa = Pb
Een spiegeling, een verschuiving, een draaiing en een puntspiegeling bewaren
• de afstand
• het midden van een lijnstuk,
• de evenwijdigheid,
• de loodrechte stand.
• Een hoek en zijn spiegelbeeld zijn tegengesteld.
• Een hoek en zijn schuifbeeld, zijn draaibeeld en zijn puntspiegelbeeld zijn gelijk.
• Het spiegelbeeld, het schuifbeeld, het draaibeeld en het puntspiegelbeeld van een rechte is
een rechte.
• Het schuifbeeld en het puntspiegelbeeld van een rechte is een rechte met dezelfde richting.
• Het projectiebeeld van een rechte, die geen rechte is van
y
b
a
de projectierichting, is de projectieas.
• Het projectiebeeld van een rechte van de projectierichting
S
x
is het snijpunt van de rechte en de projectieas.
p xy (a ) = x
p xy ( b ) = S
• Het projectiebeeld van een lijnstuk, waarvan de drager
y
C
bepaald is door de projectiebeelden van de grenspunten
D
S
B'
van het lijnstuk.
• Het projectiebeeld van een lijnstuk waarvan de drager
een rechte is van de projectierichting, is het snijpunt van
de drager van het lijnstuk en de projectieas.
A
geen rechte is van de projectierichting, is een lijnstuk dat
x
A'
B
p xy ( AB ) = A ' B '
p xy ( CD ) = S
Een projectie bewaart de verhouding van evenwijdige
y
lijnstukken.
A
B
D
C
x
A'
B'
C'
D'
AB
A 'B '
=
AB  // CD  ⇒
CD
C 'D '
De projectiebeelden van evenwijdige en even lange
y
lijnstukken zijn even lang.
A
B
D
C
x
A'
B'
C'
D'
AB  // CD  en AB = CD
⇓
A 'B ' = C 'D '
y
Een projectie bewaart het midden.
B
M
A
x
A'
M'
B'
M is het midden van AB 
⇓
M ' is het midden van A ' B '
a
Drie evenwijdige rechten bepalen op twee snijlijnen
b
evenredige lijnstukken.
Stelling van Thales
C
B
A
x
c
y
M
a // b // c ⇒
P
N
AB
MN
=
BC
NP
Als een rechte twee lijnstukken, waarvan de grenspunten op
twee evenwijdige rechten liggen, in evenredige lijnstukken
x
C
B
A
verdeelt, dan is deze rechte evenwijdig met de rechten door
de grenspunten.
Omgekeerde stelling van Thales
y
M
N
P
AB
MN
AM // CP en
=
BC
NP
⇓
BN // AM // CP
Een figuur en een homothetiebeeld ervan zijn gelijkvormig.
In een figuur en een homothetiebeeld ervan zijn de overeenkomstige zijden evenwijdig.
• Het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van een
hoek op de goniometrische cirkel, noemt men de cosinus
van de hoek.
• Het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van een
hoek op de goniometrische cirkel, noemt men de sinus
van de hoek.
• Het quotiënt van de sinus en de cosinus van een hoek,
noemt men de tangens van de hoek.
• Voor elke hoek α geldt: sin2 α + cos 2 α = 1 .
•
cos ( 90° − α ) = sin α
•
sin ( 90° − α ) = cos α
•
tan ( 90° − α ) =
Hoofdformule goniometrie
1
tan α
Goniometrische getallen van
complementaire hoeken
•
cos ( 180° − α ) = − cos α
•
sin (180° − α ) = sin α
•
tan (180° − α ) = − tan α
Goniometrische getallen van
supplementaire hoeken
Een vlak wordt bepaald door:
• drie niet-collineaire punten,
• een rechte en een punt buiten de rechte,
• twee snijdende rechten,
α = vl ( A , a )
• twee evenwijdige rechten.
α = vl ( a , b )
α = vl ( a , b )
Als één van twee evenwijdige rechten een vlak snijdt, dan
snijdt de andere rechte ook dat vlak.
a // b en a | α ⇒ b | α
Als een rechte evenwijdig is met een vlak, dan ligt de rechte
die door een punt van dat vlak gaat en evenwijdig is met de
gegeven rechte volledig in dat vlak.
a // α en A ligt in α

 b gaat door A en b // a
⇒ b ligt in α
Als een rechte a niet in een vlak α ligt, maar evenwijdig is
met een rechte van het vlak α , dan is de rechte a
evenwijdig met het vlak α .
a // b

a ligt niet in α
 b ligt in α

⇒ a // α
Als een vlak één van twee evenwijdige vlakken snijdt, dan
snijdt het ook het andere vlak.
γ | α en α // β ⇒ γ | β
Als een vlak twee evenwijdige vlakken snijdt, dan zijn de
snijlijnen evenwijdig.
 γ | α met snijlijn a

 γ | β met snijlijn b

α // β
⇒ a // b
Als een rechte loodrecht staat op twee snijdende rechten
van een vlak, dan is deze rechte een loodlijn op dat vlak.
 AE ⊥ AB en AE ⊥ AD

 AB | AD
⇒ AE ⊥ vl ( A , B , D )
Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als in het ene vlak
een rechte ligt die loodrecht staat op het andere vlak.
 AE ⊥ α

 AE ligt in vl ( A , E ,G
⇒ vl ( A , E , G ) ⊥ α
)
3
Driehoeken
De som van de hoeken van een driehoek is 180°.
A
B
C
Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180°
Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de
1
A
niet-aanliggende binnenhoeken.
B
C
Aˆ1 = Bˆ + Cˆ
In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn op de basis ook
A
• de deellijn van de tophoek,
• de zwaartelijn naar de basis,
• de middelloodlijn van de basis.
C
M
B
A
Een driehoek is gelijkbenig
a.s.a.
twee hoeken van de driehoek gelijk zijn.
Kenmerk gelijkbenige driehoek
B
C
∆ABC is gelijkbenig
⇕
Bˆ = Cˆ
A
Een driehoek is gelijkzijdig
a.s.a.
alle hoeken van de driehoek gelijk zijn.
Kenmerk gelijkbenige driehoek
C
∆ABC is gelijkzijdig
⇕
Aˆ = Bˆ = Cˆ
B
K
Als een paar zijden van twee driehoeken even lang is en de
twee paar aanliggende hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken
congruent.
A
L
M
Congruentiekenmerk ‘HZH’
B
C
K
Als twee paar zijden van twee driehoeken even lang zijn en
de ingesloten hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken
congruent.
A
L
M
Congruentiekenmerk ‘ZHZ’
B
C
K
Als de drie paar zijden van twee driehoeken even lang zijn,
dan zijn de driehoeken congruent.
Congruentiekenmerk ‘ZZZ’
A
L
M
B
C
L
Als de schuine zijden van twee rechthoekige driehoeken en
een paar rechthoekszijden even lang zijn, dan zijn de
driehoeken congruent.
B
C
A
M
K
Congruentiekenmerk voor rechthoekige driehoeken.
A
Een rechte die evenwijdig is met een zijde van een driehoek,
bepaalt met de andere zijden een driehoek die gelijkvormig is
met de gegeven driehoek.
L
K
B
C
∆ABC met KL // BC
⇓
∆ABC ∼ ∆AKL
K
Als twee paar hoeken van twee driehoeken gelijk zijn, dan
zijn de driehoeken gelijkvormig.
A
L
M
Gelijkvormigheidskenmerk ‘HH’
B
C
Aˆ = Kˆ
Bˆ = Lˆ
⇕
∆ABC ∼ ∆KLM
K
Als twee paar zijden van twee driehoeken evenredig zijn en
de ingesloten hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken
A
gelijkvormig.
L
M
Gelijkvormigheidskenmerk ‘ZHZ’
B
C
Aˆ = Kˆ
AB
AC
=
KL
KM
⇕
∆ABC ∼ ∆KLM
K
Als de drie paar zijden van twee driehoeken evenredig zijn,
dan zijn de driehoeken gelijkvormig.
A
Gelijkvormigheidskenmerk ‘ZZZ’
C
L
M
B
AB
BC
AC
=
=
KL
LM
KM
⇕
∆ABC ∼ ∆KLM
• De verhouding van de omtrekken van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan een
gelijkvormigheidsfactor.
• De verhouding van de oppervlakten van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan het
kwadraat van een gelijkvormigheidsfactor.
• De verhouding van de inhouden van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan de derdemacht
van een gelijkvormigheidsfactor.
A
• Het lijnstuk bepaald door de middens van twee zijden van
een driehoek is een middenparallel van de driehoek.
K
L
• In een driehoek is een middenparallel evenwijdig met en
half zo lang als de derde zijde.
B
C
KL  is een middenparallel
van ∆ABC
⇓
KL // BC en KL =
1
BC
2
A
De rechte door het midden van een zijde van een driehoek,
evenwijdig met een tweede zijde, gaat door het midden van
L
K
de derde zijde.
B
C
K is het midden van AB 
en KL // BC
⇓
L is het midden van AC 
A
In een driehoek verdeelt het zwaartepunt elke zwaartelijn in
twee stukken waarvan het ene tweemaal zo lang is als het
K
M
andere.
Z
C
L
B
Z is het zwaartepunt
van ∆ABC
⇓
AZ = 2 LZ , BZ = 2 ZM ,
CZ = 2 ZK
A
In een driehoek verdeelt de deellijn van een hoek de
overstaande zijde in twee lijnstukken die zich verhouden
zoals de aanliggende zijden.
C
D
∆ABC met AD = dlAˆ
⇓
CD
AC
=
BD
AB
B
In een rechthoekige driehoek is de zwaartelijn naar de
B
schuine zijde half zo lang als de schuine zijde.
M
C
A
∆ABC met Aˆ = 90° en
zwaartelijn AM 
⇓
AM =
Als de zwaartelijn naar een zijde van een driehoek half
1
BC
2
B
zolang is als deze zijde, dan is de driehoek rechthoekig.
M
C
A
∆ABC met zwaartelijn AM 
en AM =
1
BC
2
⇓
∆ABC is rechthoekig
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogte
B
H
op de schuine zijde gelijk aan het product van de stukken
waarin ze de schuine zijde verdeelt.
C
A
∆ABC met Aˆ = 90°
en hoogte AH 
⇓
AH
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een
2
= BH ⋅ CH
B
H
rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde
en de loodrechte projectie van deze rechthoekszijde op de
C
A
schuine zijde.
∆ABC met Aˆ = 90°
en hoogte AH 
⇓
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine
AB
2
= BC ⋅ BH
AC
2
= BC ⋅ CH
B
zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de
rechthoekszijden.
Stelling van Pythagoras
C
A
∆ABC met Aˆ = 90°
⇓
BC
2
= AB
2
+ AC
2
Als in een driehoek het kwadraat van een zijde gelijk is aan
Y
de som van de kwadraten van de andere zijden, dan is de
driehoek rechthoekig.
Omgekeerde stelling van Pythagoras
Z
X
YZ
2
= XY
2
+ XZ
2
⇓
∆XYZ is rechthoekig
B
In een rechthoekige driehoek is
α
•
de overstaande rechthoekszijde
sinus α =
schuine zijde
•
cosinus α =
de aanliggende rechthoekszijde
schuine zijde
•
tangens α =
de overstaande rechthoekszijde
de aanliggende rechthoekszijde
AC
sin α =
BC
Goniometrische getallen van een scherpe hoek
In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek α geldt:
•
sin 2 α + cos 2 α = 1
•
tan α =
sin α
cos α
1
1
1
b ⋅ c ⋅ sin α = a ⋅ c ⋅ sin β = a ⋅ b ⋅ sin γ
2
2
2
A ∆ABC =
• In ∆ABC geldt:
a
sin α
=
b
sin β
=
c
sin γ
.
Sinusregel
• In ∆ABC met omgeschreven cirkel c ( M ,r ) geldt:
a
sin α
=
b
sin β
=
c
sin γ
= 2r .
In ∆ABC geldt:
•
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α
•
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos β
•
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos γ
C
A
Cosinusregel
cos α =
AB
BC
tan α =
AC
AB
• De drie middelloodlijnen van een driehoek hebben een
gemeenschappelijk punt.
Het snijpunt van de drie middelloodlijnen van een
driehoek noemen we het middelpunt van de driehoek.
• De cirkel door de drie hoekpunten van een driehoek
noemen we de omgeschreven cirkel van de driehoek.
De drie hoogtelijnen van een driehoek hebben een
gemeenschappelijk punt.
Het snijpunt van de drie hoogtelijnen van een driehoek
noemen we het hoogtepunt van de driehoek.
• De drie deellijnen van een driehoek hebben een
gemeenschappelijk punt.
Het snijpunt van de drie deellijnen van een driehoek
noemen we het deelpunt van de driehoek.
• De cirkel die de drie zijden van een driehoek raakt,
noemen we de ingeschreven cirkel van de driehoek.
4
Vierhoeken
De som van de hoeken van een vierhoek is 360°.
B
C
D
A
Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 360°
B
Een trapezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden.
C
D
A
B
Een gelijkbenig trapezium is een trapezium waarvan de
C
aanliggende hoeken van een basis gelijk zijn.
D
A
B
Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande
C
zijden evenwijdig zijn.
D
A
B
Een rechthoek is een vierhoek met vier gelijke hoeken.
C
D
A
B
Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.
C
A
D
Een vierkant is een vierhoek met vier gelijke hoeken en vier
B
C
A
B
D
even lange zijden.
Een vierhoek is een parallellogram
C
a.s.a.
de overstaande zijden even lang zijn.
Zijden-kenmerk parallellogram
A
D
ABCD is een parallellogram
⇕
AB = CD en AD = BC
B
Een vierhoek is een parallellogram
C
a.s.a.
twee overstaande zijden evenwijdig zijn en even lang.
Overstaande zijden-kenmerk parallellogram
D
A
ABCD is een parallellogram
⇕
AB // CD en AB = CD
B
Een vierhoek is een parallellogram
C
a.s.a.
de overstaande hoeken gelijk zijn.
Hoeken-kenmerk parallellogram
D
A
ABCD is een parallellogram
⇕
Aˆ = Cˆ en Bˆ = Dˆ
B
Een vierhoek is een parallellogram
a.s.a.
C
M
de diagonalen elkaar middendoor snijden.
Diagonalen-kenmerk parallellogram
D
A
ABCD is een parallellogram
⇕
AM = CM en BM = DM
Rechthoek
• In een rechthoek zijn de overstaande zijden evenwijdig en even lang.
• In een rechthoek zijn de diagonalen even lang en snijden ze elkaar middendoor.
Ruit
• In een ruit zijn de overstaande zijden evenwijdig.
• In een ruit zijn de overstaande hoeken gelijk.
• In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en snijden ze elkaar middendoor .
Vierkant
Een vierkant is een parallellogram, een rechthoek en een ruit. Een vierkant bezit dus alle
eigenschappen van deze vlakke figuren.
B
Trapezium
C
• Als in een trapezium de aanliggende hoeken van een
basis gelijk zijn, dan zijn de aanliggende hoeken van de
andere basis ook gelijk.
• Als in een trapezium de aanliggende hoeken van een
basis gelijk zijn, dan zijn de opstaande zijden even lang.
D
A
trapezium ABCD met Aˆ = Dˆ
⇓
Bˆ = Cˆ en AB = CD
5
Cirkels
Door drie niet-collineaire punten gaat juist één cirkel.
• Een middellijn van een cirkel is een symmetrieas van
de cirkel.
• Het middelpunt van een cirkel is het
symmetriecentrum van de cirkel.
Symmetrie bij een cirkel
Voor een koorde van een cirkel, die geen middellijn is,
geldt:
• de middelloodlijn van de koorde is een middellijn van
de cirkel;
• de middellijn die loodrecht op de koorde staat, snijdt
de koorde middendoor;
• de middellijn die de koorde middendoor snijdt, staat
loodrecht op de koorde.
Stellingen koorde-middellijn
Het apothema van een koorde deelt de koorde
middendoor.
MV  is het apothema van  AB 
⇒ V is het midden van  AB 
Voor elke twee koorden van een cirkel geldt:
de koorden zijn even lang
⇕
de apothema's van de koorden zijn even lang.
Kenmerk koorde-apothema
AB = DE ⇔ MV = MZ
• Een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van
een cirkel is, noemt men een middelpuntshoek van de
cirkel.
• Een hoek waarvan het hoekpunt op een cirkel ligt en
waarvan de benen de cirkel snijden, noemt men een
omtrekshoek van de cirkel.
Een omtrekshoek van een cirkel is de helft van de
middelpuntshoek op dezelfde boog.
1
2
= M
D
Alle omtrekshoeken van een cirkel die op dezelfde boog
staan zijn gelijk.
1
2
= E = F = ... = M
D
1
Een omtrekshoek die op een halve cirkel staat is recht.
1
2
1
⋅ 180° = 90°
2
= M
=
D
1
• Een hoek waarvan het hoekpunt buiten een cirkel ligt
en waarvan de benen de cirkel snijden, noemt men
een buitenomtrekshoek van de cirkel.
• Een hoek waarvan het hoekpunt binnen een cirkel ligt,
noemt men een binnenomtrekshoek van de cirkel.
Een buitenomtrekshoek van een cirkel is gelijk aan het
halve verschil van de middelpuntshoeken die op dezelfde
bogen staan.
=
A
1 M1 − M 2
2
=
A
1
1 M1 + M 2
2
(
)
Een binnenomtrekshoek van een cirkel is gelijk aan de
halve som van de middelpuntshoeken die op dezelfde
bogen staan.
(
)
Voor twee koorden van een cirkel en de bijbehorende
kleinste middelpuntshoeken geldt:
de middelpuntshoeken zijn gelijk
⇕
de koorden zijn even lang.
Kenmerk koorde-middelpuntshoek
=O
⇔ AB = CD
O
1
2
Het product van de afstanden van een punt tot de
snijpunten van een cirkel en een willekeurige rechte door
dat punt is constant.
Dit constante getal noemen we de macht van het punt
ten opzichte van de cirkel.
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD
• Een vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel
liggen, noemt men een koordenvierhoek.
• De overstaande hoeken van een koordenvierhoek zijn
supplementair.
+ F = 180° en E + G = 180°
D
Als twee cirkels raken, dan ligt het raakpunt op de
centraal van de twee cirkels.
c (O ,r ) en c ( M ,s ) raken in A
⇒ A ligt op OM
Een rechte en een cirkel kunnen geen, één of twee
punten gemeenschappelijk hebben.
• Een rechte s en een cirkel c ( M ,r ) hebben twee punten
gemeenschappelijk ⇔ Ms < r .
• Een rechte t en een cirkel c ( M ,r ) hebben één punt
gemeenschappelijk ⇔ Mt = r .
• Een rechte u en een cirkel c ( M ,r ) hebben geen punten
gemeenschappelijk ⇔ Mu > r .
Afstand van het middelpunt van een
cirkel tot een rechte
Voor een rechte, een cirkel en een punt A van de cirkel
geldt:
de rechte is een raaklijn aan de cirkel in een punt A
⇕
de rechte staat in A loodrecht op de middellijn door A
Kenmerk raaklijn aan een cirkel
t raakt c ( M ,r ) in A ⇔ t ⊥ MA
• De afstanden van het punt, waaruit men de raaklijnen
aan een cirkel tekent, tot de raakpunten zijn gelijk.
• De rechte die een punt buiten de cirkel verbindt met
c (M,r)
A
M
het middelpunt is een deellijn van de hoek gevormd
door de raaklijnen uit dat punt aan de cirkel.
B
2
Eigenschappen van de raaklijnen uit een punt
1
P
PA raakt c ( M ,r ) in A

PB raakt c ( M ,r ) in B
⇒ PA = PB en P = P
1
De kleinste hoek tussen een raaklijn en een koorde is
gelijk aan de helft van de kleinste middelpuntshoek op
die koorde.
1
2
= M
A
1
1
2
7
Regelmatige veelhoeken
De som van de hoeken van een n − hoek is ( n − 2 ) ⋅ 180° .
Voor een regelmatige n − hoek met straal r is
• de hoek
( n − 2 ) ⋅ 180°
n
,
• de lengte van de zijde z n = 2 ⋅ r ⋅ sin
180°
n
• de lengte van het apothema a n = r ⋅ cos
• de omtrek O n = 2 ⋅ n ⋅ r ⋅ sin
• de oppervlakte An =
180°
n
,
180°
n
,
,
1
360°
⋅ n ⋅ r 2 ⋅ sin
.
2
n
6
Analytische meetkunde
Voor twee rechten, die niet dezelfde richting hebben als de assen, geldt:
de rechten staan loodrecht op elkaar
⇕
het product van hun richtingscoëfficiënten is gelijk aan −1 .
Kenmerk loodrechte stand
Voor het punt P ( x P , y P
)
en de rechte u : ax + by + c = 0 geldt: Pu =
ax P + by P + c
a2 + b2
.
Formule afstand punt-rechte
De cirkel c ( M ,r ) met M ( x M , y M
)
heeft als vergelijking c ( M ,r ) : ( x − x M
)
2
+ (y − yM
)
2
=r2.
Middelpuntsvergelijking van een cirkel
Als a 2 + b 2 − 4c > 0 , dan is x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 de vergelijking van een cirkel c ( M ,r )
1
 −a −b 
met M 
,
en r =
a 2 + b 2 − 4c .

2
 2 2 
Algemene vergelijking van een cirkel