Extra Dimensies

Extra Dimensies
Bardo Bakker - 0612294
Onder begeleiding van Dr. Ivo van Vulpen
1 augustus 2008
1
Inhoudsopgave
1 Inleiding
3
2 Extra Dimensies, waarom?
4
3 Extra Dimensies in Theorie
6
3.1
De zwaartekracht in Extra Dimensies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2
Theoretische modellen Extra Dimensies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3
Gekwantiseerde invariante massa graviton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4
Kaluza-Klein toestanden als bewijs voor Extra Dimensies . . . . . . . . . . . .
10
4 Extra Dimensies in Experiment
11
4.1
Proton-proton botsingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.2
Deeltjesversneller LHC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.3
µ+ µ− productie in ATLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
5 Muonen Reconstructie
16
5.1
Matching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
5.2
Efficiëntie muon reconstructie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5.3
Resolutie en bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
5.4
Gereconstrueerde spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.5
Gereconstrueerde invariante massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
6 Conclusie
23
A Samenvatting
24
B Het Standaard Model
25
C Unificatie van de Fundamentele Krachten
26
2
1
Inleiding
Van oudsher zijn we op zoek naar de beste classificatie van de elementaire bouwstenen waar
de wereld van gemaakt is. Drieduizend jaar gelden onderscheidden we slechts water, aarde,
vuur en lucht. Door de jaren heen zijn de scheikundige elementen ontdekt. Rond 1900 wisten
we de scheikundige elementen op te bouwen uit atomen (Grieks voor ’niet deelbaar’). Later
bleken deze atomen niet de fundamentele deeltjes te zijn. De kern van een atoom bestaat uit
protonen en neutronen met om deze kern een wolk van elektronen. We weten nu dat protonen
en neutronen zijn opgebouwd uit quarks. De elementaire deeltjes zijn quarks, leptonen en de
bosonen (Zie Appendix B voor verdere uitleg). [1]
Het standaard model beschrijft de wereld van de elementaire deeltjes. De deeltjes verantwoordelijk voor interactie (krachten) zijn bosonen. Gluonen voor de sterke kernkracht, Z en W
bosonen voor de zwakke kernkracht en fotonen voor de elektromagnetische kracht. De zwaartekracht wijkt op twee fundamentele punten af van de overige krachten. Ten eerste is de kracht
vele malen zwakker. Daarnaast is de kracht niet kwantummechanisch beschreven. Waar komt
dat verschil vandaan?
Een mogelijk antwoord op deze vragen komt uit theorieën die één of meerdere extra dimensies
toevoegen aan de huidige vier dimensies. Het toevoegen van extra dimensies geeft ons een
krachtig stuk gereedschap om het standaard model completer te maken. [2]
Er zijn hoofdzakelijk twee theorieën die de extra dimensies beschrijven. Het model van ArkaniHamed, Dimopoulos en Dvali (ADD) en het model van Randall-Sundrum (RS). [3][4] In beide
gevallen kunnen we de theorieën toetsen in een deeltjesversneller. CERN (Conceil Européen
pour la Recherche Nucléair) is een internationale organisatie waar de deeltjesversneller LHC
(Large Hadron Collider) hoog energetische protonen laat botsen. ATLAS is één van de vier
grote detectoren in LHC die metingen gaan doen van proton-proton botsingen.
Bij de botsingen in de LHC worden dermate hoge energieën opgewekt dat de mogelijke extra
dimensies een rol gaan spelen. Aan de hand van de meetdata uit ATLAS wil ik de voorspelde
Kaluza-Klein resonanties waarnemen hetgeen een gevolg is van de mogelijke extra dimensies.
Aangezien LHC nog niet actief is zal ik een studie doen naar hoe extra dimensies zijn waar te
nemen in ATLAS. Hiervoor zal ik onder andere de efficiëntie van muon-reconstructie bepalen.
De doelstelling van het project bestaat uit twee delen. Ten eerste zal ik de modellen die
extra dimensies beschrijven in kaart brengen. Ten tweede zal ik kijken of deze modellen in de
deeltjesversneller LHC te toetsen zijn.
In hoofdstuk 2 maak ik duidelijk waarom de theoretische modellen die extra dimensies beschrijven ontwikkeld zijn. Vervolgens beschrijft hoofdstuk 3 deze theoretische modellen en vertel ik
in hoofdstuk 4 hoe deze modellen getest kunnen worden. In hoofdstuk 5 ga ik kijken naar hoe
goed we met de deeltjes versneller LHC de modellen kunnen testen.
3
2
Extra Dimensies, waarom?
De natuurkunde kent vier fundamentele natuurkrachten. Drie van deze krachten zijn kwantummechanisch beschreven. De zwaartekracht is de aantrekkende kracht tussen twee objecten met
massa’s m1 en m2 die afstand r van elkaar verwijderd zijn (Formule 1). Op de energieschaal die
wij in het dagelijks leven ervaren is de zwaartekracht 1040 maal zo zwak als de andere krachten.
Waarom is deze kracht zo zwak? Hoe kan het dat je met een simpel klein magneetje een spijker
kan optillen terwijl de gehele aarde hier ook aan trekt? Zoals we zien in de formule voor de
zwaartekracht hebben we te maken met een constant GN , de gravitatieconstante van Newton.
Deze constante maakt de zwaartekracht zwak.
Fz = G N
m1 m2
r2
(1)
Wanneer de afstand tussen de twee massa’s heel klein wordt, zal de zwaartekracht sterk worden.
De Planck-schaal is de kleine afstandsschaal, ofwel de hoge energieschaal, waarop de zwaartekracht sterk wordt. Deze schaal zit verwerkt in de gravitatieconstante van Newton (GN ). We
noemen deze constante een koppelingsconstante aangezien deze de ’sterkte’ van de kracht bepaald. De waarde van de gravitatieconstante is experimenteel bepaalt op 6.610−11 m3 kg−1
s−2 .
Figuur 1: Kwalitatieve weergave van de sterkte van de fundamentele natuurkrachten als functie
van de energie
We kunnen de gravitatieconstante van Newton uitdrukken in eenheden van Planck met h̄ als
de constante van Planck en c de lichtsnelheid (Formule 2). In deze vergelijking zien we dat
de koppelingsconstante omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de Planck-massa of de
Planck-energie.
GN =
h̄c
h̄c5
2 = m2
Epl
pl
(2)
Om de zwaartekracht op een bepaalde energieschaal even sterk te laten zijn als de overige
drie fundamentele natuurkrachten moet de koppelingsconstante op deze energie-schaal groot
worden. Om de koppelingsconstante op deze energieschaal groot te laten worden moet de
Planck-schaal tot deze energie verlaagt worden.
4
Theoretische natuurkundige hebben voor het verlagen van de Planck-schaal een oplossing gevonden. We stellen dat de Planck-schaal zoals wij deze waarnemen in de drie dimensionale
wereld niet de ware Planck-schaal is. Door extra dimensies die zich ’openen’ op een hoge energieschaal (kleine afstandsschaal) ligt de eigenlijke Planck-schaal in de 4 + n dimensionale wereld
lager. De sterkte van de zwaartekracht zal eerder en sneller toenemen. [5][6]
5
3
Extra Dimensies in Theorie
Extra dimensies zijn een goede kandidaat voor het oplossing van een aantal vraagstukken in
de natuurkunde. We kennen twee verschillende soorten dimensies, tijd-dimensies en ruimtedimensies. Het bestaan van extra tijd-dimensies is uiterst discutabel gezien dit leidt tot een
causaliteitsprobleem.
Het toevoegen van extra dimensies heeft gevolgen voor de zwaartekracht. De afstandsafhankelijkheid en de koppelingsconstante van de zwaartekracht is anders in een wereld met extra
dimensies.
Het ijkboson van de zwaartekracht is het graviton. Op de energie-schaal dat de extra dimensies openen komen de kwantummechanische eigenschappen van het graviton naar voren. De
invariante massa van het graviton is gekwantiseerd.
3.1
De zwaartekracht in Extra Dimensies
De zwaartekracht is de aantrekkende kracht tussen twee objecten met een massa. De sterkte van
de kracht is afhankelijk van de massa’s, de afstand tussen de massa’s en een koppelingsconstante
(Formule 1). Het toevoegen van extra ruimte-dimensies heeft gevolgen voor de afstandsafhankelijkheid en de koppelingsconstante.
afstandsafhankelijkheid
Als we kijken naar de zwaarte- of elektromagnetische kracht zien we dat deze evenredig zijn met
r−2 . Dit komt doordat gezien vanaf de krachtbron de kracht over een boloppervlak homogeen
wordt uitgespreid. De oppervlakte van een driedimensionale bol is evenredig met r2 . Het
aantal krachtveldlijnen is constant en wordt over een oppervlak verdeeld dat met r2 toeneemt.
Hierdoor neemt de dichtheid van krachtveldlijnen (hetgeen staat voor de sterkte van de kracht)
met r2 af.
In het geval van één extra dimensie is de oppervlakte van de bol evenredig met r3 en zal
de sterkte van de kracht evenredig zijn met r−3 . De afstandsafhankelijkheid van de sterkte
van de zwaartekracht is gemeten tot op een afstand van een fractie van een millimeter en is
tot deze afstand evenredig met r−2 . [5] We weten dus dat de extra ruimte dimensies andere
eigenschappen bezitten dan de ruimtedimensies die wij nu kennen.
koppelingsconstante
De extra dimensies hebben gevolgen voor de zwaartekrachtpotentiaal. Hieronder staat de zwaartekrachtpotentiaal in vier dimensies. m is de massa van de objecten die met afstand r van elkaar
verwijderd zijn:
Vgrav4D = GN
m1 m2
r
(3)
In deze potentiaal staat wederom de gravitatieconstante van Newton. Vanuit de zwaartekrachtpotentiaal berekenen we de waarde van de gravitatieconstante. Hiervoor schrijven we de
variabelen op in eenheden van Planck, met m = cE2 en r = h̄c
E:
6
Vgrav4D ≡ GN
( E2 )2
m1 m2
E3
= GN ch̄c = GN 5
r
h̄c
E
(4)
Als we de potentiële energie gelijk stellen aan de energie in het systeem vinden we de uitdrukking voor de gravitatieconstante in vier dimensies. De gravitatieconstante in vier dimensies is
omgekeerd evenredig met het kwadraat van de Planck-schaal (Formule 2). Als we de zwaartekrachtpotentiaal bekijken in de 4 + n dimensionale wereld krijgen we een andere potentiaal:
Vgrav4+nD ≡ GED
( E2 )2
m1 m2
E 3+n
= GED h̄cc 1+n = GED 1+n 5+n
1+n
r
(E)
h̄
c
(5)
Wat voor gevolgen heeft dit voor de koppelingsconstante? We hebben nu in ieder geval te maken
met een andere constante. Als we de potentiële energie van de zwaartekracht in 4 + n dimensies
gelijk stellen aan de energie in het systeem vinden we de uitdrukking voor de gravitatieconstante
in 4 + n dimensies:
µ
GED =
h̄c5
2
EED
¶1+n
µ
=
h̄c
m2ED
¶1+n
(6)
Hieruit blijkt dat door het toevoegen van extra dimensies de koppelingsconstante groter wordt
en het verloop van de zwaartekracht evenredig is met r−(2+n) :
µ
Fz =
h̄c
m2ED
¶1+n
m1 m2
r2+n
(7)
Op hoge energie schaal (hetgeen gelijk is aan een kleine afstandsschaal E = (hc)/λ), als de
extra dimensies zijn ’geopend’, is een andere koppelingsconstante van kracht en zal het verloop
van de zwaartekracht evenredig zijn met r−(2+n) . [5][6]
3.2
Theoretische modellen Extra Dimensies
Twee modellen die extra dimensies beschrijven zijn de modellen van Arkani-Hamed, Dimopoulos
en Dvali en Randall-Sundrum.
Extra dimensies door Arkani-Hamed, Dimopoulos en Dvali
Het ADD-model legt hoofdzakelijk twee restricties op de extra dimensies. Het beschrijft hoe alle
’gewone’ deeltjes (quarks, elektronen, ijkbosonen, etc.) kunnen bewegen in de 4 dimensionaal
ruimte (brane). Deze brane is gelegen in de gehele 4 + n dimensionale ruimte (bulk). In de
n dimensionale extra ruimte kunnen alleen gravitonen propageren, normale materie komt hier
niet voor. Daarnaast zijn de extra dimensies eindig in grootte. Ze kunnen recht of gekruld zijn
(tot een cirkel), maar strekken niet tot in het oneindige uit.
Het verwachte punt waarop alle fundamentele natuurkrachten even sterk worden ligt rond de 1
TeV. Om de zwaartekracht ook sterk te laten worden op dit punt ligt de nieuwe Planck-schaal
rond de 1 TeV en liggen de grootte van de extra dimensies vast.
7
n
R
1
2· 108 m
2
2· 10−4 m
3
2· 10−9 m
Tabel 1: Grootte (R) van de n extra dimensies wanneer m∗ = 1 TeV.
In het geval van één extra dimensie levert dit een R ∼ 108 m. Deze waarde hebben we experimenteel weten uit te sluiten door het zwaartekrachtsveld van de aarde waar te nemen.
De waarde n = 2 levert een R ∼ 10−4 m. Deze waarde is minder goed uit te sluiten in de
experimenten die tot nog toe gedaan zijn. [3]
Extra dimensies door Randall-Sundrum
Het model van Randall-Sundrum gaat van één extra dimensie uit waarin alleen gravitonen
propageren. In tegenstelling tot het ADD model is deze extra dimensie niet plat maar geschaald.
De extra dimensie verbindt twee werelden met elkaar. De wereld zoals wij deze waarnemen
(The Standard Model Brane) en de wereld waarin de deeltjes zijn (The Planck Brane). De
eigenschappen van een deeltje wordt naar onze wereld geschaald afhankelijk van hoe ver het
deeltje zich in de extra dimensie bevind. In het model geven we een afstand in de extra dimensie
aan met y. De The Planck Brane situeert zich op y = 0, The Standard Model Brane situeert
zich in y²[0 : πrc ], waarbij rc de constante is die de krommingsstraal van de extra dimensie
bepaald. [7]
Het RS-model gaat uit van een specifieke metriek. Wanneer we de Vergelijkingen van Einstein
oplossen voor deze metriek vinden we een relatie tussen de Planck massa in 4 dimensies en de
nieuwe Planck massa vijf dimensies: [4]
m2pl = m3ED
1 − e−k|y|
k
(8)
In deze vergelijking staat de schalingsfactor e−k|y| met k als schalingsconstant. Een deeltje
met snelheid v0 in de 5 dimensionale wereld heeft een snelheid v0 e−k|y| in onze wereld. De
eigenschappen van de deeltjes zoals wij die waarnemen is afhankelijk van de positie in de vijfde
dimensie.
3.3
Gekwantiseerde invariante massa graviton
Op de energieschaal dat de extra dimensies openen gaan de kwantummechanische eigenschappen
van het graviton een rol spelen. De invariante massa van het graviton is gekwantiseerd. De
gekwantiseerde toestanden in de invariante massa van het graviton noemen we Kaluza-Klein
toestanden.
Kaluza-Klein toestanden in ADD model
We gaan kijken naar de gevolgen voor de kinematica in een wereld met extra dimensies. In het
geval van n extra dimensies beschrijven we de energie van het graviton aan de hand van zijn
massa en zijn impuls in de 4 + n dimensionale ruimte. Wij meten echter in de 4 dimensionale
ruimte. De energie van een deeltje bestaat uit zijn rustenergie E en zijn impuls p:
E 2 = (mc2 )2 + (pc)2
8
(9)
Wanneer we de lichtsnelheid als 1 nemen, krijgen we de relatie voor de invariante massa van
een deeltje:
m24+nD
= E 2 − p~2
= E 2 − p2x − p2y − p2z − p~2ED
= m24D − p~2ED
Het graviton is echter een deeltje zonder massa. De massa van een graviton die wij in de 4
dimensionale wereld meten is gelijk aan de impuls van het graviton in de 4 + n dimensionale
wereld:
m4D = |pED |
(10)
De extra dimensies zien we als opgekruld of eindig. In een gekrulde dimensie is een punt in deze
dimensie gelijk aan het punt 2πR verder. In het eerste geval levert dit periodieke randvoorwaarde op voor de Schrödinger vergelijking zoals wij kennen van het gedachten experiment ’een
deeltje in een doos’. Een graviton in een dimensie met een eindige grootte heeft gekwantiseerde
toestanden:
Figuur 2: Toestanden van ’een deeltje in een doos’
De golflengtes die toegestaan zijn in een dimensie met lengte R zijn λ = 2R/n. Gezien een
graviton geen rustmassa heeft kunnen we de energie uitdrukken in zijn impuls. De totale energie
is gelijk aan de energie die nodig is om de extra dimensie te ’openen’ (EED ) plus de energie
van het graviton. Vervolgens kunnen we de impuls schrijven als p = h/λ en kunnen we λ
substitueren:
E (n) = EED +
p2
h2
h2 n 2
= EED +
=
E
+
ED
2m
2mλ2
8mR2
(11)
De energie toestanden en zo ook de impuls en de invariante massa van een graviton zijn gekwantiseerd. We geven dit aan door het graviton te schrijven als g (n) , de nde aangeslagen
toestand van het deeltje. Bij n = 0 hebben we de grondtoestand. Alle energie is gebruikt om
het graviton in de extra dimensie te maken. In een aangeslagen toestand van het graviton heeft
deze een impuls in de extra dimensie:
9
p(n) =
hn
2R
(12)
Zoals we reeds hebben gevonden (Formule 10) is de massa van een graviton zoals wij deze
meten in de vierdimensionale wereld gelijk aan zijn impuls in de extra dimensie. Aangezien de
impuls gekwantiseerd is, is de massa zoals wij die waarnemen ook gekwantiseerd. De mogelijke
toestanden van het graviton in de extra dimensie noemen we Kaluza-Klein toestanden (KK):
m(n) =
hn
EED
+
c2
2R
(13)
Kaluza-Klein toestanden in RS model
De extra dimensies in het RS-model kunnen ook waargenomen worden aan de hand van KaluzaKlein toestanden. Hierbij is xn de het nulpunt van de eerste Bessel functie, J1 (xn ) = 0:
m(n) ∼ xn ke−πkrc
3.4
(14)
Kaluza-Klein toestanden als bewijs voor Extra Dimensies
Volgens het RS en ADD-model hebben gravitonen een grondtoestand en aangeslagen toestand.
Deze KK toestanden zijn niet stabiel. Ze vervallen tot deeltjes uit het standaard model. Als we
deze deeltjes in een deeltjesversneller detecteren kunnen we de onderliggende gravitonen reconstrueren. Indien we de gekwantiseerde toestanden kunnen aantonen hebben we een mogelijk
bewijs voor de aanwezigheid van extra dimensies.
Om gravitonen te exiteren naar een KK toestand is heel veel energie nodig. De deeltjesversneller
LHC is naar verwachting in staat om deze energieën te bereiken. Wij gaan kijken of en hoe we
de KK toestanden van gravitonen kunnen aantonen. [3][7]
10
4
Extra Dimensies in Experiment
Een manier om hoge energie toestanden te verkrijgen is door deeltjes met een hoge impuls
te laten botsen. Bij een botsing is er een kans dat de deeltjes fuseren tot een nieuw deeltje.
Mits de energie van de botsing bij de extra dimensie energieschaal komt, kan dit nieuwe deeltje
een KK toestand van het graviton zijn. Doordat we weten welke deeltjes er botsen en meten
wat voor deeltjes er ontstaan kunnen we wat zeggen over welke deeltjes er tijdens de botsing
gevormd zijn.
4.1
Proton-proton botsingen
De subdeeltjes van een proton noemen we partonen. In het geval van een proton zijn de partonen
gluonen en quarks. Bij een proton-proton botsing, botsen in werkelijkheid twee partonen. De
energie van deze botsing is afhankelijk van hoe goed de partonen elkaar raakten. Bij een
elastische botsing zal alleen het pad van de protonen veranderen (Figuur 3a). Er worden geen
nieuwe deeltjes gemaakt. Bij botsingen met een hogere energie (de quarks botsen harder op
elkaar) ontstaan nieuwe deeltjes. Dit is een inelastische botsing (Figuur 3b). Bij inelastische
botsingen van partonen kunnen veel verschillende soorten deeltjes gemaakt worden. Het proces
van een dergelijke botsingen geven we weer in een Feynman diagram.
Figuur 3: Elastische en inelastische botsing van twee deeltjes door uitwisseling ijkboson.
Hoe beter de bundels proton op elkaar gefocusseerd zijn, hoe meer botsingen er plaats zullen
vinden. Ook al is de kans op een proces erg groot, zonder een potentiële botsing zal het proces
natuurlijk nooit plaats vinden. Het totaal aantal gebeurtenissen van een zeker proces (N ) is de
cross-sectie van het proces (σ) maal de luminositeit (L):
N = σL
(15)
theoretische cross-sectie
De waarschijnlijkheid van een proces (bijvoorbeeld het vormen van nieuwe deeltjes) bij een
botsing drukken we uit in de cross-sectie. De cross-sectie is afhankelijk van wat voor deeltjes
er gaan botsen en wat de potentiële energie is van de botsing. De cross-sectie drukken we uit
in aantal per picobarn.
experimentele luminositeit
Het aantal gebeurtenissen van een zeker proces hangt niet alleen af van de cross-sectie. De
luminositeit is een maat voor het aantal potentiële botsingen. De luminositeit is een eigenschap
11
van de deeltjes versneller.
4.2
Deeltjesversneller LHC
De twee besproken theorieën die extra dimensies beschrijven zijn toetsbaar in een deeltjesversneller die voldoende energie opwekt om de extra dimensies te openen. In Amerika staat de
deeltjesversneller Tevatron. Deze versneller geeft proton-antiproton botsingen met een energie
tot 2 TeV. Tot op deze energieschaal zijn er geen extra dimensies waargenomen. Dit geeft dus
een onderlimiet voor de nieuwe Planck-schaal.
Bij Genève staat de deeltjesversneller LHC (Figuur 4). Hier worden protonen op elkaar geschoten. Momenteel zit LHC in de opstart procedure. Volgens de planning zullen eind 2009
botsingen plaats vinden met een energie van 14 TeV en een totale geı̈ntegreerde luminositeit
van 100 pb−1 .
Figuur 4: Large Hadron Collider bij Genève
De deeltjesversneller is een tunnel onder de grond met een diameter van acht kilometer. In
beide richtingen worden pakketjes met protonen versneld. Op acht plekken in de tunnel kruisen
40 miljoen keer per seconde pakketjes met protonen elkaar. Op vier plekken waar botsingen
plaatsvinden zijn detectoren gebouwd. Één van deze detectoren is ATLAS (A Toroidal LHC
ApparatuS) (Figuur 5). De detector is onder andere gespecialiseerd in het meten van de impuls
van muonen.
De botsingen genereren in de detector een enorme hoeveelheid aan meetdata. Niet alle botsingen
zijn interessant omdat er bijvoorbeeld niet genoeg energie bij vrijkwam. De kans dat alle energie
van een proton in de impuls van één quark zit in erg klein. De kans dat deze quark volledig
botst op een andere quark met een hoge impuls is nog veel kleiner. Het proces dat besluit
of een botsing interessant genoeg is om hem op te slaan heet de ’Trigger’. In eerste instantie
kijken we of er voldoende energie vrij is gekomen bij een botsing. Vervolgens wordt er gekeken
12
of er een muon gemaakt is bij de botsing. Van de 40 miljoen botsingen per seconden worden
er slechts 200 per seconde opgeslagen.
Figuur 5: Schematische weergave van de ATLAS detector in LHC.
De detector bestaat uit een aantal onderdelen. De inner-detector meet sporen van geladen
deeltjes en is in de figuur rood weergegeven. Het bruine en groene gedeelte zijn respectievelijk
de Elektromagnetische Caloriemeter en de Hadronische Caloriemeter. De Elektromagnetische
Caloriemeter meet de energie van fotonen en elektronen. Fotonen en elektronen komen niet
door deze detector heen. De Hadronische Caloriemeter meet de energie van hadronen (deeltjes
die uit quarks bestaan). De hadronen komen niet door deze detector heen. De deeltjes die
nog niet gestopt zijn in de twee caloriemeters zijn muonen en neutrino’s. Muonen hebben
echter wel een spoor achter gelaten in de inner-detector en worden nogmaals gedetecteerd in de
muon-detector (het blauwe gedeelte van ATLAS). Neutrino’s vinden we niet terug in ATLAS.
De binnenste en de buitenste gele elementen in de detector zijn respectievelijk solenoı̈des en
toroı̈des om magneetvelden aan te leggen. Geladen deeltjes zullen door een magneetveld afbuigen. De mate van afbuiging is afhankelijk van zijn impuls, massa en de sterkte van het
magneetveld. Gezien de massa van het deeltje, dat na de caloriemeters alleen een muon kan
zijn, bekend is kan de impuls van het muon afgeleid worden aan de hand van het traject dat
het heeft afgelegd in de detector. Een geladen deeltje moet op minimaal drie punten gemeten
worden wil je de kromming van het pad kunnen bepalen. [8]
4.3
µ+ µ− productie in ATLAS
Van alle mogelijke botsingen in ATLAS zijn er maar een paar soorten interessant. De botsingen
waar mogelijk KK toestanden van gravitonen ontstaan zijn botsingen tussen gluonen of tussen
een quark en een anti-quark. Een KK toestand van een graviton vervalt onder andere in µ+ µ−
of in e+ e− . Om een KK toestand van een graviton waar te nemen moeten we naar deze paren
gaan kijken. Het voordeel van muonen is dat deze slechts door fotonen, Z-bosonen en KK
toestanden van gravitonen gemaakt worden.
De deeltjes die vervallen tot µ+ µ− zijn fotonen, Z-bosonen en KK toestanden van gravitonen.
De fotonen die ontstaan bij de botsingen zijn ’virtuele fotonen’. Deze vervallen onder andere
in µ+ µ− . Het Z-boson is niet stabiel (Tabel 2).
invariante massa
13
Z-verval
Fractie (Γj /Γ)
+ −
e e
µ+ µ−
τ +τ −
neutrinos (niet zichtbaar)
hadronen
3.3%
3.3%
3.3%
20%
70%
Tabel 2: De waarschijnlijkheid van de Z-boson vervalmodi.
Indien we een muon meten in de detector weten we de massa (105.6M eV ) en meten we de
impuls. Hieruit berekenen we de energie van het deeltje: [9]
Eµ2 = m2µ + p2µ
(16)
Voor het reconstrueren van een Z-boson of graviton hebben we twee muonen nodig. De invariante massa van het Z-boson of graviton leiden we af aan de hand van de energie en impuls van
de twee muonen. Hier volgt de afleiding in het geval van een Z-boson:
m2Z
=
EZ2 − p2Z
= (Eµ1 + Eµ2 )2 − (pµ1 + pµ2 )2
= Eµ2 1 + Eµ2 2 + 2Eµ1 Eµ2 − p2µ1 − p2µ2 − 2pµ1 pµ2 cos(θ)
=
Eµ2 1 − p2µ2 + Eµ2 1 − p2µ2 + 2Eµ1 Eµ2 − 2pµ1 pµ2 cos(θ)
=
m2µ1 + m2µ2 + 2(Eµ1 Eµ2 − pµ1 pµ2 cos(θ))
Door te stellen dat de massa van het muon verwaarloosbaar klein is en de energie van het muon
gelijk is aan zijn impuls, kunnen we deze vergelijking herschrijven:
m2Z = Eµ1 Eµ2 2(1 − cos(θ))
(17)
De detector heeft een zekere fout in het meten van de impuls van het muon. Op basis van
de impuls wordt de energie van het muon berekend. Vervolgens wordt van het dimuon de
invariante massa gereconstrueerd. De relatieve fout in de impuls geeft een twee maal zo grote
relatieve fout in de invariante massa.
Het Z-boson heeft een massa van 91.2 GeV en een intrinsieke breedte (Γ) van 2.5 GeV. Als
we in alle gebeurtenissen waar we een µ+ en een µ− detecteren de invariante massa van het
onderliggende deeltje berekenen en deze plotten in een histogram, verwachten we dus een piek
(Breit-Wigner verdeling) rond de 91.2 GeV met een breedte van 2.5 GeV. De breedte van de
piek is het gevolg van een kwamtummechanisch effect. Het Z-boson heeft een korte levensduur.
h
),
Door de onzekerheidsrelatie tussen de energie en de levensduur van een deeltje (∆E∆t ≥ 4π
is er een hoge onzekerheid in de energie. Dit levert een hoge onzekerheid in de massa van een
Z-boson.
Het aantal dimuonen die geproduceerd worden door de virtuele fotonen is omgekeerd evenredig
met de energie van de botsing. De eigenschappen van de pieken die we verwachten afkomstig
14
van het graviton hangen af van de parameters van de extra dimensies. De verwachte cross-sectie
van alle events die tot µ+ µ− vervallen is weergegeven in Figuur 6. In de plot zien we bij 91
GeV een piek van de Z-boson die vervallen tot dimuonen. Bij 500 GeV zien we de piek van
de eerste KK toestand die vervalt tot dimuonen. De virtuele fotonen zijn in deze plot buiten
beschouwing gelaten.
Figuur 6: Verwachting van gereconstrueerde Z en gr(n) uit µ+ µ− bij een luminositeit van
100 pb−1 . De linker piek is de invariante massa van dimuonen afkomstig van Z-boson verval.
De rechter piek is de invariante massa van dimuonen afkomstig van KK verval bij een nieuwe
Planck-schaal van 500 GeV.
spin
Een andere eigenschap van een deeltje is de spin. Het bepalen van de spin van een deeltje is
belangrijk om een deeltje te kunnen identificeren. Een foton en een Z-boson hebben beide spin
1. Een graviton daarentegen heeft spin 2. De spin is verantwoordelijk voor de hoekverdeling
waaronder de muonen geproduceerd worden. De hoekverdeling van Z-boson en graviton verval
in µ+ µ− staat in Tabel 3. Hierin zijn de muonen eerst getransformeerd naar het rust frame en
is vervolgens de hoek met de inkomende bundel genomen, θ∗ . [10]
Proces
Verdeling
+ −
q q̄ ⇒ Z ⇒ µ µ
q q̄ ⇒ g (n) ⇒ µ+ µ−
1 + cos2 θ∗
1 − cos4 θ∗
Tabel 3: Hoekverdeling muonen uit Z-boson en graviton productie.
15
5
Muonen Reconstructie
Door het detecteren van muonen kunnen we de invariante massa van de onderliggende deeltjes
analyseren. We hebben reeds besproken wat we verwachten aan piekjes in de data. Deze
verwachting komt echter alleen uit indien we meten met een ideale detector die alle deeltjes
honderd procent nauwkeurig meet. Helaas is ATLAS niet een honderd procent ideale detector.
We hebben te maken met een zekere efficiëntie en resolutie bij het detecteren van deeltjes. Deze
eigenschappen zijn echter wel van belang indien we uitsluitsel willen geven over het bestaan
van extra dimensies.
Door de werking van ATLAS te simuleren krijgen we een beter inzicht in de efficiëntie en resolutie waarmee deeltjes gedetecteerd worden. Vanuit het standaard model bootsen we botsingen
tussen deeltjes na, bijvoorbeeld een quark anti-quark botsing hetgeen een Z-boson kan maken
dat kan vervallen tot twee muonen. Al deze events gaan door de ATLAS simulatie die de onzuiverheid van de detector zo goed mogelijk simuleert. Zo krijgen we twee datasets, de truth-data
en de gereconstrueerde-data.
Als we een piekje willen waarnemen om extra dimensies aan te tonen, moet het piekje goed
waargenomen worden. We willen weten hoe goed ATLAS een piekje waar kan nemen. Als
eerste maken we een maat voor wanneer we een muon matchen. Vervolgens willen we weten
hoe vaak ATLAS een muon kan terug vinden. Van de muonen die we gevonden hebben willen
we ook weten wat de resolutie en bias is.
5.1
Matching
Om de efficiëntie en resolutie van de muon-detectie te bepalen moeten we een maat maken aan
de hand waarvan we kunnen beslissen of we een muon goed gedetecteerd en gereconstrueerd
hebben. In het simpelste geval gaan twee muonen de detector in (µtr1 en µtr2 ) en meet de detector de twee muonen (µre1 en µre2 ). Al deze vier muonen hebben een richting. De ruimtelijke
’afstand’ tussen twee bij elkaar behorende muonen (µtr1 en µre1 ) is erg klein. De hoek tussen
twee verschillende is daarentegen groot.
De ruimtelijk ’afstand’ tussen een muon in de truth-data en een muon in de gereconstrueerde
data noemen we ∆R (Formule 18). Hierin is φ de hoek met de x-as loodrecht op de bundel en
is η een maat voor de hoek met de bundel (Formule 19). Wanneer deze afstand onder een nog
te bepalen waarde komt vinden we dat het muon goed gereconstrueerd is. [8]
∆R =
p
(∆η)2 + (∆φ)2
η = − ln tan
θ
2
(18)
(19)
Een dataset analyseren we door alle events te doorlopen en de eigenschappen van de deeltjes
in dat event te bekijken. We willen weten hoe groot de hoek is tussen een truth-muon en zijn
bijbehorende reco-muon (Figuur 7).
Ieder gereconstrueerd muon uit een botsing gaan we vergelijken met de true-muonen uit deze
botsing. In beide grafieken zien we een piek bij ∆R = 0. Dit zijn de goed gereconstrueerde
muonen die we kunnen koppelen aan een true muon. Naast deze piek zien we de ∆R van
de muonen die niet goed gereconstrueerd zijn, of die met een verkeerd muon vergeleken zijn.
16
Figuur 7: Distributie ∆R alle true - reco muon combinaties. Links: Z naar µ+ µ− . Rechts:
g (n) naar µ+ µ− .
We leiden hier uit af dat we een muon goed hebben terug gevonden indien de ∆R tussen een
reco-muon en true-muon kleiner is dan 0.1.
Opvallend is het verschil in de verdeling van ∆R bij de twee samples. In het linker sample is
de truth-data alleen gebaseerd op Z-boson productie hetgeen vervalt tot muonen. Hiervoor is
een relatief klein deel van de energie in de botsing nodig. Er is voldoende energie over om het
Z-boson een impuls te geven. Het rechter sample is gebaseerd op KK state productie hetgeen
vervalt in muonen. Doordat een groter deel van de energie nodig is om het deeltje te vormen
heeft het deeltje minder kans op een impuls en gaan de muonen meer loodrecht uit elkaar.
Het gegeven dat deeltjes met een hoge massa in verhouding tot de energie van de botsing, een
lage impuls hebben ten opzicht van het ’rustframe’ is goed te zien in Figuur 8. De uitgaande
muonen hebben in het geval van KK verval een richting die vrijwel geheel tegenovergesteld is.
Dit zien we aan de piek bij ∆R = π en φ = π waarbij de muonen loodrecht uit elkaar gaan.
Figuur 8: Distributie ∆R en ∆φ tussen de twee muonen. Links: Z naar µ+ µ− . Rechts: g (n)
naar µ+ µ− .
17
5.2
Efficiëntie muon reconstructie
Nu we een maat hebben bepaald voor wanneer een muon goed is terug gevonden kunnen we de
efficiëntie bepalen. De efficiëntie is gedefinieerd als #match
#true . [11]
hoek afhankelijkheid
In Figuur 9 zien we dat de efficiëntie afhankelijk is van de plek waar de muonen de detector in
gaan. Deze afhankelijkheid komt door fysieke eigenschappen van de detector als aanwezigheid
van kabelgoten, frameconstructies en overgangen tussen detector-kamers.
Figuur 9: Distributie van de muon reconstructie efficiëntie als functie van η. Gaten in detector
zijn duidelijk waarneembaar. Op η = 0 zien we een gat in de detector. Op η = 1.2 zien we de
overgang naar de end-cap. Na η = 2.5 neemt de efficëntie drastisch af, de muonen gaan vrijwel
rechtdoor de bundel in waar geen detector meer is.
transversale impuls afhankelijkheid
In Figuur 10 zien we dat de efficiëntie afhankelijk is van de transversale impuls van de muonen.
Bij een impuls lager dan 10 GeV is de efficiëntie slecht. Deze muonen hebben te weinig energie
om door de caloriemeter te komen. De efficiëntie wordt beter naarmate de transversale impuls
toeneemt.
In Tabel 4 staan de efficiënties berekend uit de twee datasets. Naar mate de transversale impuls
toeneemt, worden de muonen eerder gedetecteerd. Bij het verval van een KK toestand van
graviton hebben de muonen een hoge impuls. De efficiëntie is hier echter lager. De hoekverdeling
van de muonen uit een graviton piekt bij cos(θ∗ ) = 0. Door de lage voorwaartse impuls van
het graviton komt de waarde van θ in de buurt van θ∗ te liggen. De muonen komen vaker in
het gat van de detector bij η = 0. In Figuur 11 zien we dat de muonen die ontstaan bij KK
verval piekt rond η = 0. [11]
Proces
Efficëntie
+ −
Z→µ µ
g (n) → µ+ µ−
96.4%
92.9%
Tabel 4: Efficëntie van muon reconstructie. Bij hoge pT muonen ligt deze iets lager gezien de
muonen vaker in gaten van de detector vallen op η = 0.
18
Figuur 10: Distributie van de muon reconstructie efficiëntie als functie van pT van de muonen.
Bij energieën lager dan 10 GeV is de efficiëntie laag. De muonen komen hier niet door de
caloriemeter.
Figuur 11: Distributie van het aantal geproduceerde muonen als functie van η. De muonen van
KK verval, komen vaker rond η = 0, waar een gat in de detector zit. Hierdoor is de efficiëntie
iets lager.
5.3
Resolutie en bias
De resolutie van de muon detectie vertelt ons hoeveel een gemeten grootheid gemiddeld afwijkt
van de werkelijke waarde. Als we in een grootheid een piek verwachten zal deze piek in de data
breder zijn. Bijvoorbeeld de invariante massa piek van een Z-boson heeft reeds een breedte van
ΓZ = 2.5 GeV. Door de
p onzuiverheid van de detector zal de totale breedte van de piek σtotaal
2
breder zijn (σtotaal = σatlas
+ Γ2Z ).
Om de resolutie te bepalen kijken we naar de relatieve afwijking van de goed terug gevonden
waarbij X de gemeten grootheid
muonen. De relatieve afwijking is gedefinieerd als Xreco−Xtrue
Xtrue
is. [11]
Resolutie en bias op pT muonen
In Figuur 12 zien we de relatieve afwijking in de meting van de transversale impuls (pT ) als
functie van pT .
19
Figuur 12: Spreiding van de relatieve afwijking van pT na muon reconstructie als functie van
pT van de muonen. In de linker plot zien we data van Z → µ+ µ− . In de rechter plot zien we
data van g (n) → µ+ µ− . De relatieve afwijking ligt bij alle pT van de muonen rond nul.
De afwijking is normaal verdeeld. De resolutie is de standaard afwijking van de normaal
verdeling. In Figuur 13 is de relatieve resolutie (Links) en de relatieve bias (Rechts) in procenten
uitgezet tegen de transversale impuls van de muonen. We zien dat de relatieve resolutie slechter
wordt naar mate de transversale impuls toeneemt. Bij een hoge transversale impuls worden de
muonen minder afgebogen door het magneetveld. De kromming van het traject dat de muonen
afleggen is slechter vast te leggen. Hierdoor is de impuls van de muonen slechter te bepalen.
De standaard afwijking is in het ideale geval gecentreerd rond nul. Deze afwijking van de
detector noemen we bias. We zien dat de bias zowel bij hoge als bij lage pT rond nul ligt.
Figuur 13: In de linker plot zien we de distributie van de relatieve resolutie in procenten van
pT meting als functie van de pT van de muonen. De relatieve resolutie wordt lineair slechter
doordat de muonen bij hoge pT nauwelijks afbuigen in de detector en de impuls slecht berekend
kan worden. In de rechter plot zien we de distributie van de relatieve bias in procenten van pT
meting als functie van pT van de muonen. De bias ligt consequent rond 0.
Resolutie en bias op invariante massa dimuonen
In Figuur 14 zien we de relatieve afwijking in de meting van de invariante massa (m) uitgezet
tegen m van de Z-bosonen en gravitonen. We zien dat de gereconstrueerde invariante massa
van het graviton afwijkt. De rede van deze afwijking is in dit project niet achterhaald. Doordat
de eerste KK toestand een energie heeft van 500 GeV zien we hier de eerste piek. Er zijn geen
hoger aangeslagen toestanden in deze data. Verder ligt de relatieve afwijking rond nul.
20
Figuur 14: Spreiding van de relatieve afwijking van m als functie van m van het Z-boson en
het graviton. In de linker plot zien we data van Z → µ+ µ− . In de rechter plot zien we data
van g (n) → µ+ µ− . De relatieve afwijking van m ligt bij de rechter plot niet geheel rond nul.
In Figuur 15 is de relatieve resolutie (Links) en de relatieve bias (Rechts) in procenten uitgezet
tegen de m van de dimuonen uit Z-bosonen en de KK toestanden van het graviton. Tussen
de invariante massa van het Z-boson en de invariante massa van de eerste KK toestand van
een graviton meten we geen deeltjes. Hier kunnen we niet de resolutie of bias van de muon
reconstructie bepalen. We zien dat de bias en de resolutie van de invariante massa van de
dimuonen uit de KK toestanden voor de 500 GeV afwijken.
Figuur 15: In de linker plot zien we de resolutie in m na muon reconstructie als functie van m.
Afgezien van de afwijking iets onder de 500 GeV neemt de resolutie lineair toe. In de rechter
plot zien we de bias in m na muon reconstructie als functie van m.
5.4
Gereconstrueerde spin
Nu we weten hoeveel en hoe goed we muonen kunnen detecteren gaan we nu kijken naar de
spin van de gereconstrueerde Z-bosonen en KK toestanden van de gravitonen. In Figuur 16
zien we hoekverdeling in het rustframe waaronder de muonen de detector in gaan. De spin van
het deeltje dat vervalt bepaald deze hoekverdeling die we reeds besproken hebben in hoofdstuk
4.3 Tabel 3.
In de Figuur is tevens de formule van de distributie gefit die we verwachten aan de hand van de
theorie. De distributie van de hoekverdeling van de dimuonen uit Z-boson verval voldoen niet
21
Figuur 16: Hoekverdeling in het rustframe waaronder de muonen de detector in gaan. In de
linker plot zien we muonen uit Z-boson verval gefit met 1 + cos2 θ∗ . In de rechter plot zien we
muonen uit KK toestand van gravitonen verval gefit met 1 − cos4 θ∗ .
aan de verwachting doordat er slechts een deel van de datasample is geanalyseerd. De muonen
uit de KK toestanden van de gravitonen voldoen wel goed aan de verwachting.
5.5
Gereconstrueerde invariante massa
In Figuur 17 zien we de gereconstrueerde invariante massa van het Z-boson en een KK toestand.
De gereconstrueerde piek (doortrokken lijn) is breder en minder hoog dan de verwachte piek
(gestippelde lijn). De piek zoals wij deze waarnemen is breder door de resolutie van de detector.
De piek van de KK toestand is vele malen lager doordat de cross-sectie van dit proces veel
kleiner is dan Z-boson productie en verval. De breedte van de gereconstrueerde piek komt
overeen met de verwachte breedte berekend uit de resolutie van ATLAS. De gefitte waarden
van de standaard afwijkingen zijn ΓZ = 3.3 GeV en Γg(n) = 18.5 GeV.
Figuur 17: In de linker plot zien we de gereconstrueerde invariante massa van dimuonen uit
Z-boson verval bij een luminositeit van 100 pb−1 . In de rechter plot zien we de gereconstrueerde
invariante massa van dimuonen uit KK toestand met een gesimuleerde nieuwe Planck-schaal
van 500 GeV bij een luminositeit van 100 pb−1 .
22
6
Conclusie
De modellen van Arkani-Hamed, Dimopoulos en Dvali en Randall-Sundrum voegen extra dimensies toe waardoor de Planck-schaal verlaagt wordt. De modellen zijn te toetsen aan de hand
van het waarnemen van muonresonanties. Deze muonresonanties noemen we KK toestanden.
De KK toestanden vervallen onder andere tot µ+ µ− . De invariante massa van de dimuonen
zijn afhankelijk van de nieuwe Planck-schaal en de gekwantiseerde impuls van het graviton in
de extra dimensie.
Bij de deeltjesversneller LHC worden proton-proton botsingen gemaakt met een energie tot 14
TeV. De ATLAS detector in LHC kan muonen detecteren zonder bias met een efficëntie tot
96%.
In Tabel 5 staat de intrinsieke breedte van de eerste KK toestand (Γg(n) ) en de breedte van de
eerste invariante massa piek gemeten in ATLAS (ΓA ). Hierbij ben ik er van uitgegaan dat de
resolutie in het meten van de invariante massa lineair toeneemt. De resolutie in de transversale
impuls neemt ook lineair toe (Figuur 13). [10]
m∗ (GeV)
Γg(n) (GeV)
ΓA dimuonen (GeV)
σL (Aantal)
ΓA diëlektronen (GeV)
500
1000
1500
2000
0.068
0.141
0.213
0.285
18.5
54.1#
106.8#
176.6#
28.2
1.1
0.12
0.021
3.53
6.02
8.13
9.8
Tabel 5: De intrinsieke breedte (Γg(n) ), breedte in detector (ΓA ) en verwachte events bij een
luminositeit van 100 pb−1 van µ+ µ− reconstructie met invariante massa (m∗ ). # waarde
lineair geëxtrapoleerd.
Het kunnen waarnemen van een piek hangt af van de breedte en hoogte van de piek in verhouding tot het achtergrond signaal en de luminositeit van de detector. Het achtergrond signaal
bestaat uit de waargenomen dimuonen die niet afkomstig zijn van KK verval. In dit project is
geen onderzoek gedaan naar de het achtergrond signaal. Helaas kunnen we niet iets zeggen over
welke KK resonanties waar te nemen zijn bij de luminositeit die we verwachten bij ATLAS.
Discussie
De cross-sectie van pp → g (n) → µ+ µ− is even groot als de cross-sectie van pp → g (n) → e+ e− .
De resolutie in de meting van de invariante massa van diëlektronen verloopt echter anders dan
we van dimuonen hebben waargenomen. Uit onderzoek blijkt dat het verloop van de resolutie
van diëlektron detectie beter is om KK toestanden waar te nemen (Tabel 5). [10]
23
A
Samenvatting
De zwaartekracht wordt pas op een kleine afstandschaal zo sterk als de elektromagnetsiche-,
zwakke kern- en sterke kernkracht. Daarnaast is de zwaartekracht niet kwantummechanisch
beschreven. Een mogelijke verklaring hiervoor ligt in de theorieën die extra dimensies beschrijven. Deze zorgen ervoor dat de afstandschaal verhoogd wordt. De extra dimensies openen zich
als de nieuwe afstandsschaal bereikt wordt.
De twee besproken modellen zijn het ADD-model en het RS-model. Het ADD-model zegt dat er
meerdere extra vlakke dimensies kunnen zijn. Het RS-model stelt dat twee werelden met elkaar
verbonden zijn via één extra geschaalde dimensie. In beide gevallen kan alleen het graviton
(het ijkboson van de zwaartekracht) in de extra dimensies propageren.
Bij energieën, hoog genoeg om de extra dimensies te openen, zullen de gravitonen in de extra
dimensies propageren. De gravitonen hebben gekwantiseerde energietoestanden die we KaluzaKlein toestanden noemen. Deze toestanden zijn niet stabiel en vervallen onder andere tot µ+ µ− .
Door de dimuonen waar te nemen en de KK toestanden van de gravitonen te reconstrueren
kunnen we een mogelijk bewijs leveren voor het bestaan van extra dimensies.
Bij de deeltjesversneller LHC worden proton-proton botsingen gemaakt met een energie van
14 TeV. De ATLAS detector bij LHC is gespecialiseerd in het detecteren van muonen. Uit de
simulatie van de detector blijkt dat ATLAS 96.4% van de muonen waarneemt bij Z-boson verval
en 92.9% van de muonen bij g (n) verval. Tevens zijn er ’gaten’ in de detector waar de efficiëntie
van muon detectie slecht is. De efficiëntie van muon detectie wordt beter als de transversale
impuls van de muonen hoger wordt.
Het verval van KK toestanden van gravitonen is niet het enige proces dat dimuonen produceert.
Ook het Z-boson en het virtuele foton vervallen mogelijk tot µ+ µ− . Door de gereconstrueerde
Z-bosonen te analyseren weten we dat de ATLAS detector geen bias heeft in de massa en de
transversale impuls bij het detecteren van muonen. Tevens weten we dat de resolutie in de
massa en transversale impuls van muon detectie toeneemt.
Als we er van uitgaan dat de resolutie in de meting van de invariante massa van dimuonen
lineair toeneemt concluderen we dat we beter naar diëlektron productie kunnen kijken om een
bewijs te leveren voor extra dimensies.
24
B
Het Standaard Model
Het Standaard Model beschrijft alle deeltjes waaruit de materie om ons heen is opgebouwd,
evenals de deeltjes verantwoordelijk voor de natuurkrachten. Het Standaard Model is gebaseerd
op de kwantummechanica en de speciale relativiteitstheorie. De deeltjes beschreven in het model
zijn onder te verdelen in materiedeeltjes (fermionen) met spin n + 12 en krachtdeeltjes (bosonen)
met spin n.
Fermionen zijn verder onder te verdelen in leptonen en quarks. Onder de subgroep leptonen
hebben we het elektron, muon en tau deeltje met allen lading −1. Tevens hebben deze deeltjes
een neutrinovariant met lading 0. Een quark (q) is te verkrijgen in zes smaken: up, down,
charm, strange, top en bottom quark. Iedere smaak quark is onder te verdelen in kleur (rood,
groen en blauw) en heeft een fractionele lading van + 23 of − 31 . (Tabel 6)
up
down
Quarks
charm
stange
Leptonen
muon
top
elektron
bottom
elektron-neutrino
tau
muon-neutrino
tau-neutrino
Tabel 6: Fermionen: Quarks en Leptonen
Deze twaalf fermionische deeltjes (zes maal leptonen en zes maal quarks) hebben ook een
antimaterievariant. Bedenk hierbij dat een antiquark (q̄) een antikleur heeft en een lading − 32
of + 13 heeft.
Een combinatie van gekleurde quarks levert een kleurneutraal deeltje op, Hadron. Een fermionisch hadron, barion, ontstaat door drie verschillend gekleurde quarks te combineren. Een
bosonisch hadron , meson, wordt gevormd door een quark en een antiquark waarbij de kleuren
elkaar opheffen. Bij het vormen van hedrons ontstaan er nooit gefractioneerde ladingen.
De bosonen zijn de deeltjes verantwoordelijk voor interactie tussen fermionische deeltjes. Binnen deze groep onderscheiden we het foton, gluon en het W en Z-boson.
Naam
Soort kracht
Elektrische lading
Foton
Elektromagnetisch
0
W−
W+
Z
Zwak
-1
+1
0
8 Gluonen
Sterk
0
Tabel 7: Bosonen
Het foton is verantwoordelijk voor de elektromagnetische interactie. Het W + , W − en het Z boson voor de zwakke kernkracht, het gluon voor de sterke kernkracht. We kennen 8 verschillende
gluonen. [1]
25
C
Unificatie van de Fundamentele Krachten
Het bestaan van extra dimensies en de lagere energieschaal waarop zwaartekracht sterk wordt
heeft ook invloed op de energieschaal waarop de fundamentele natuurkrachten zich verenigen.
Er zijn momenteel 12 verschillende krachtdeeltjes in het standaardmodel, verantwoordelijk voor
3 fundamentele natuurkrachten (Zie Tabel 7). Het wordt mogelijk geacht dat er vlak na de
oerknal (10−50 sec.) slechts één kracht bestond met één bijbehorend verantwoordelijk krachtdeeltje. Naarmate het heelal afkoelde is deze kracht opgesplitst in de krachten die wij nu kennen
(Figuur 18) door symmetrie breking.
Figuur 18: Tijdslijn van symmetrie breking
Het proces van symmetriebreking is omkeerbaar. Bij hoog energetische toestanden van deeltjes
zijn de omstandigheden te vergelijken met die van vlak na de oerknal. De elektromagnetische
en zwakke kernkracht verenigen zich op deze manier op een energieschaal van 90 GeV (Elektrozwakke Vereniging). Hier ontstaat het Z-boson. Op een energieschaal van 1014 GeV zal
ook de sterke kernkracht zich verenigen met de elektrozwakke kracht, dit noemen wij de ’Grote Vereniging’. Op een energieschaal van 1019 GeV (de Planck-schaal) zal ook de vereniging
met de zwaartekracht plaats vinden. De laatste vereniging wordt beschreven in de ’Theorie Of
Everything’.
Indien extra dimensies bestaan zal de Planck-schaal lager liggen. De Kwantummechanische
eigenschappen van de zwaartekracht zijn veel eerder te toetsen en de ’Theorie Of Everything’
is eerder te verifiëren. [12]
26
Referenties
[1] D. Griffiths (15 Maart 1987) Introduction te Elementary Particles
[2] N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos en G. Dvali (2000) The universe’s unseen dimensions
Scientific American 48-55
[3] N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos en G. Dvali (2003) Large Extra Dimensions: A new
arena for particle physics Physics Today 35-40
[4] L. Randall en R. Sundrum (1999) Physical Review Letters 83 3370
[5] T. G. Rizzo (2004) Pedagogical Introduction to Extra Dimensions SLAC
[6] A. Pérez-Lorenzana (2005) An Introduction to Extra Dimensions
[7] L. Randall en R. Sundrum (1999) A large mass hierarchy from a small extra dimension
[8] ATLAS Collaboration (1999) ATLAS detector and physics performance Technical Design
Report
[9]
Particle Data Group (2008) http://pdg.lbl.gov/2008/tables/rpp2008-sum-gauge-higgsbosons.pdf
[10] B. C. Allanach, K. Odagiri, M. A. Parker, B. R. Webber (2000) Searching for narrow
graviton resonances with the ATLAS detector at the Large Hadron Collider
[11] ATLAS Collaboration (2008) In-Situ Determination of the Performance of the ATLAS
Muon Spectrometer ATLAS Note
[12] J. C. Pati (2006) Grand Unification as a Bridge Between String Theory and Phenomenology
arXiv:hep-ph/0606089v2
27