Faculteit Economie en Bedrijfskunde

Faculteit Economie en Bedrijfskunde
Afdeling Kwantitatieve Economie
Wiskunde IV AEO, onderdeel Analyse
dinsdag 16 juni 2009, tijdsduur 90 minuten
Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven, waarvoor in totaal 50 punten te verdienen zijn; de waardering per onderdeel is
als in onderstaande tabel.
1a
3
1b
4
1c
4
2a
3
2b
4
2c
4
3a
4
3b
4
3c
4
4a
4
4b
4
5a
4
5b
4
totaal
50
Maximale score wordt alleen toegekend aan helder gemotiveerde en correcte antwoorden. Het cijfer wordt bepaald
als 15 · score. De uitslag is uiterlijk binnen drie weken bekend. Voor inzage van het beoordeelde werk dien je een
afspraak te maken ([email protected]). Voor dit onderdeel heb je 90 minuten de tijd. Succes!
Opgave 1
Gegeven is de functie f : (0, ∞) → R door f (x) = lnxx voor alle x. Definieer nu recursief de rij
{an }∞
n=1 door
a1 = 4,
an+1 = f (an ) voor n = 1, 2, . . .
(a)
Bewijs met behulp van volledige inductie dat an > e voor alle n ∈ N.
(b)
Laat zien dat {an }∞
n=1 monotoon is.
(c)
Bewijs dat {an }∞
n=1 convergent is, en bepaal de limiet.
Uitwerking Opgave 1
(a)
Allereerst a1 = 4 > e. Stel an > e. Merk op dat
f 0 (x) =
ln x − 1
> 0 voor alle x > e
ln2 x
Dan volgt dus dat f strikt stijgend is op (e, ∞) en dus ook dat
an+1 = f (an ) > f (e) = e.
(b)
Als an > e voor alle n ∈ N dan ln an > ln e = 1 en dus volgt voor alle n ∈ N dat
an+1 =
Dus de rij is monotoon dalend.
an
an
>
= an .
ln an
1
(c)
De rij is monotoon dalend en van onderen begrensd door e, dus op grond van de monotone
convergentiestelling convergent. Het zoeken is nu naar het vaste punt van f , dı́e waarde x∗
waarvoor f (x∗ ) = x∗ . Deze wordt gegeven door x∗ = e.
Opgave 2
Gegeven is de rij {sn }∞
n=1
sn = 1 +
1
1
1
+ 3 + . . . + 3 voor alle n.
3
2
3
n
(a)
Laat zien dat s = lim sn bestaat.
(b)
Geef een natuurlijk getal N zodat n ≥ N =⇒ |s − sn | ≤ 10−12 .
(c)
Laat zien dat |s − s9 | ≥ 0.002.
n→∞
Uitwerking Opgave 2
(a)
{sn }∞
n=1 is een p-reeks met p = 3 > 1 en dus convergent.
(b)
Gebruik hier het integraalcriterium met f (x) = x13 : voor alle n ∈ N geldt
Z ∞
Z ∞
f (x) dx.
f (x) dx ≤ s − sn ≤
n
n+1
Elementair rekenwerk levert nu
1
1
≤ s − sn ≤ 2 .
2
2(n + 1)
2n
√
Als geldt dat 2n1 2 ≤ 10−12 voor n ≥ N dan zijn we er. Neem dus N = d 12 2 · 106 e, waarbij
d..e afronding naar boven aangeeft.
(c)
Gebruik hier het linkergedeelte van het Integraalcriterium: |s − s9 | = s − s9 ≥ 2 · 10−2 .
Opgave 3
Gegeven is de functie g : (−1, ∞) → R door
g (x) =
(a)
1
voor alle x.
1+x
Bepaal de McLaurin reeks voor g. Wat is het interval van convergentie van deze reeks?
(b)
Gegeven is de functie k : (−1, ∞) → R door k (x) = ln (1 + x) voor alle x. Bepaal de
McLaurinreeks bij k en bepaal het bijbehorende interval van convergentie.
(c)
Laat zien hoe je de gevonden reeks in onderdeel (b) kan gebruiken om in principe ln n voor
ieder natuurlijk getal n tot op willekeurige nauwkeurigheid te benaderen.
Uitwerking Opgave 3
(a)
Voor x ∈ (−1, 1) geldt
∞
X
1
1
=
= 1 − x + x2 − x3 + . . . =
(−1)n+1 xn .
1+x
1 − (−x)
n=0
(b)
Merk op dat k een primitieve is van g in onderdeel (a). De McLaurin reeks voor k kunnen
we dus afleiden uit die voor g door termsgewijze integratie:
Z X
∞
∞ Z
∞
X
X
(−1)n+1 n+1
n+1 n
(−1) x dx =
(−1)n+1 xn dx =
x .
n
+
1
n=0
n=0
n=0
Deze laatste machtreeks convergeert wanneer maar (d’Alembert) geldt dat
(−1)n+1
n+1 an+1 x
oftewel lim n+1 n
lim < 1.
(−1)
n
n→∞ n→∞ an x
n
Aan deze eis wordt voldaan in het geval |x| < 1. Convergentiestraal van deze reeks is dus 1.
Voor het interval van convergentie moeten we alleen nog de randpunten x = 1 en x = −1
behandelen. Als x = 1 dan wordt de reeks gegeven door
∞
X
(−1)n+1
n=0
n+1
welke convergeert als alternerende reeks. Je kan zelfs aantonen dat hier ln 2 staat. Voor
x = −1 krijgen we de harmonische reeks welke divergeert. Dus interval van convergentie is
(−1, 1].
(c)
Herschrijf ln k als − ln k1 = − ln(1 − k−1
) en gebruik dan de eerder gevonden Taylorreeks.
k
Dan
n+1
∞
X
(−1)n+1 k − 1
ln k = −
.
n+1
k
n=0
De rechtersom is er een van het alternerende type. Merk namelijk op dat geldt dat de rij
gedefinieerd door
n+1
1
k−1
bn =
·
n+1
k
een dalende is met limiet 0. Verder geldt
n+1
t
X
(−1)n+1 k − 1
| ln k +
| ≤ bt+1 ,
n
+
1
k
n=0
dus wanneer we ln k tot op > 0 nauwkeurig willen hebben kunnen we
n+1
t
X
(−1)n+1 k − 1
−
n+1
k
n=0
nemen waarbij t voldoet aan bt+1 < .
Opgave 4
Gegeven is een functie h : R → R waarvoor h (x) = x + 3x2 + O (x5 ) voor x → 0.
(a)
Laat zien dat h (x) = x + 3x2 + o (x4 ) voor x → 0.
(b)
Bepaal de kwadratische benadering van p (x) = eh(x) rond x = 0.
Uitwerking Opgave 4
(a)
h (x) = x + 3x2 + O (x5 ) voor x → 0 betekent dat er een constante C > is en een interval
I om 0 zodat voor alle x ∈ I geldt dat
|h(x) − (x + 3x2 )| ≤ C|x5 |.
Maar deel hier beide helften van de ongelijkheid door x4 , dan zien we dat voor alle x ∈
I\{0} geldt dat
h(x) − (x + 3x2 )
|
| ≤ C|x|.
x4
In het bijzonder geldt dan – via de insluitstelling – dat
h(x) − (x + 3x2 )
= 0,
x→0
x4
oftewel h(x) − (x + 3x2 ) = o(x4 ) en dus h(x) = x + 3x2 + o(x4 ).
lim
(b)
Gebruik de Taylorreeksontwikkeling ex = 1 + x +
x2
2
+ O(x3 ) voor x → 0. Er geldt
(h(x))2
+ O(h5 (x))
2
(x + 3x2 + O (x5 ))2
2
5
= 1 + (x + 3x + O x ) +
+ O((x + 3x2 + O x5 )5 )
2
2
3
x
+
O(x
)
= 1 + (x + 3x2 + O(x5 )) +
+ O(x5 )
2
= 1 + x + 27 x2 + O(x3 ).
eh(x) = 1 + h(x) +
De gevraagde kwadratische benadering wordt geven door K(x) = 1 + x + 27 x2 .
Opgave 5
√
1 + x in a = 8 om een waarde voor
(a)
Gebruik de lineaire benadering van de functie q (x) =
√
10 te vinden.
(b)
Bepaal met behulp van de Stelling van Taylor de maximale fout die bij de benadering in
onderdeel (a) gemaakt wordt.
Uitwerking Opgave 5
(a)
Lineaire benadering Lq,a (x) = q(a) + q 0 (a)(x − a) = 3 + 16 (x − 8). Deze bepaalt een
√
schatting 10 ≈ Lq,a (10) = 10
.
3
(b)
Gebruik hier de Stelling van Taylor. q 00 (x) = − 14 (1 + x)− 2 en de absolute waarde van deze
term is op het interval [8, 9] maximaal in x = 8. Dan voor alle x ∈ [8, 9]
3
|q(x) − Lf,8 (x)| ≤
en dus met x = 9 levert dat
√
10
| 10 − | ≤
3
|q 00 (8)|
|x − 8|2 .
2!
1
8·27
=
1
.
216
Einde deel Analyse, Wiskunde IV AEO