VWO B deel 1 H1

vwo B Samenvatting Hoofdstuk 1
Algebraïsch oplossen van tweedegraadsvergelijkingen
1 het type x² = getal
2 ontbinden in factoren
3 de abc-formule
1.1
1 x² = getal
x = √getal
v x = - √getal
vb.1
x² = 7
x = √7 v x = - √7
vb.2
x² = -16
x = √-16  k.n. heeft dus geen oplossingen
vb.3
(x + 5)² = 16
x + 5 = √16
v x + 5 = - √16
x+5=4
v x + 5 = -4
x=4–5
v x = -4 – 5
x = -1
v x = -9
a x² = positief getal
2 oplossingen
b x² = 0
x = 0  1 oplossing
c x² = negatief getal
k.n.  geen oplossing
1.1
2 Ontbind in factoren
a
b
c
d
maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengen
vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijk
ontbind het linkerlid in factoren
A·B = 0 A=0 v B = 0
voorbeeld 1
opgeteld = -8
product = +15
x² - 3x = 5x – 15
x² - 3x – 5x + 15 = 0
x² - 8x + 15 = 0
( x – 3 )( x – 5 ) = 0
x–3=0 v x–5=0
x=3 v x=5
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d
prod=+15
+1 +15
-1
+3
-15
+5
-3
-5
1.1
3 De abc-formule
• Bij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen
met de abc – formule als ontbinden in factoren niet lukt.
• de vergelijking eerst gelijk aan 0 stellen
• x = - b + √D v x = - b - √D
2a
2a
• D = b² - 4ac
• D > 0  2 oplossingen
• D = 0  1 oplossing
• D < 0  0 oplossingen
1.1
Vergelijkingen met een parameter
in de vergelijking -x² + 5x + p = 0 heet p een parameter
met behulp van de parameter p worden oneindig veel vergelijkingen genoteerd
je onderscheidt 3 situaties : 2 oplossingen, 1 oplossing of geen oplossing
y = -x² + 5x – 6¼
∙
∙
∙
x
x
x
y = -x² + 5x – 4
y = -x² + 5x – 8
de vergelijking
-x² + 5x – 4 = 0
heeft 2 oplossingen
dus de parabool
y = -x² + 5x – 4
snijdt de x-as in 2 punten
de vergelijking
-x² + 5x – 6¼ = 0
heeft 1 oplossing
dus de parabool
y = -x² + 5x – 6¼
raakt de x-as
de vergelijking
-x² + 5x – 8 = 0
heeft geen oplossingen
dus de parabool
y = -x² + 5x – 8
ligt geheel onder de x-as
1.1
Wortels
x² = 10
x = √10 v x = - √10
kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffen
√10 = 2 √10
√10 = 10
√10 ≈ 3,16
(√10)² = 10
daarom heet √10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR
1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten  intersect
coördinaten v/h snijpunt
2 optie x √ gebruiken
1.2
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p
kun je 4 verschillende situaties onderscheiden.
1.2
1 p is positief ( n = oneven )
er is één oplossing
x = p = n √ p
x³ = 3
x = 3
x ≈ 1,44
n = oneven
grafiek is
puntsymmetrisch in (0,
0)
1,44
1.2
2 p is negatief ( n = oneven )
er is één oplossing
x = p = n √ p
x³ = -3
x = -3
x ≈ -1,44
-1,44
1.2
3 p is positief ( n = even )
er zijn twee oplossingen
x = p = n √ p v x = -p = - n √ p
x4 = 3
x = 3¼
x ≈ 1,32 v x ≈ -1,32
n = even
grafiek is lijnsymmetrisch
in de y-as
-1,32
1,32
1.2
4 p is negatief ( n = even )
er zijn geen oplossingen
x4 = -3
x = -3¼
Er is geen oplossing
1.2
Modulusvergelijkingen
er zijn 2 getallen op de getallenlijn met afstand 4 tot 0
dat zijn -4 en 4
we zeggen dat de modulus van 4 gelijk is aan 4 en
dat de modulus van -4 gelijk is aan 4
notatie : |5| = 5 en |-5| = 5
i.p.v. modulus zeggen we ook wel absolute waarde
dus de absolute waarde van -7 is 7
|x| is de absolute waarde ofwel de modulus van x
|x| is de afstand van het getal x tot o op de getallenlijn
|x| =
afstand = 4
-4
afstand = 4
0
-4
x als x ≥ 0
-x als x < 0
1.2
Wortelvergelijkingen oplossen
opgave 33a
2x + √x = 10
√x = 10 – 2x
x = (10 – 2x)2
x = 100 – 40x + 4x2
-4x2 + 40x + x – 100 = 0
-4x2 + 41x – 100 = 0
D = (41)2 – 4 · -4 · -100
D = 81
-4 ± √81
x=
-8
x = 6¼ v x = 4
voldoet niet
isoleer de wortelvorm
kwadrateer het linkeren het rechterlid
los de vergelijking op
controleer of de
oplossingen kloppen
voldoet
1.3
Substitutie bij wortelvergelijkingen
opgave 36a
x3 + 30 = 11x √x
x3 – 11x √x + 30 = 0
stel x √x = p
p2 – 11p + 30 = 0
(p – 6)(p – 5) = 0
p–6=0 v p–5=0
p=6 v p=5
x √x = 6 v x √x = 5
x2 · x = 36 v x2 · x = 25
x3 = 36 v x3 = 25
x = 3 √36 v x = 3 √25
voldoet
-6 - 5 = -11 en -6 · -5 = 30
kwadraat
voldoet
1.3
Gebroken vergelijkingen
Regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen
A
B
A
B
A
B
A
B
= 0
geeft A = 0
C
= B geeft A = C
A
=
geeft A = 0 v B = C
C
C
=
geeft AD = BC
D
0
=0
1
1
= kan niet
0
0
= kan niet
0
0
=0
5
een breuk is nul als de teller nul is en
de noemer niet
controleer of geen
noemer nul wordt
1.3
algemene vorm
ax + by = c
grafiek is een rechte lijn
Lineaire vergelijking met twee variabelen
vb.1 2y + 3x = 8
om de grafiek te plotten moet je eerst y
vrijmaken
2y = -3x + 8
:2
y = -1½x + 4
voer in y1 = -1½x + 4
je kunt de grafiek ook tekenen zonder de
formule in te voeren in de GR
snijpunt met de y-as is (0, 4)
rc = -1½
of je gebruikt de formule 2y + 3x = 8
je maakt een tabel met 2 punten
vul bijv. x = 0 en x = 2 in
dan krijg je de punten (0, 4) en (2, 1)
teken de punten en de lijn
y
4●
-1½
3
●
2
●
1
-1
0
1
2
3
4
-1
1.4
x
Stelsels vergelijkingen
vb.2 gegeven zijn de lijnen
f : 2y + x = 4 en
g : y – 3x = -5
het punt (2, 1) is het snijpunt van de lijnen
of (2, 1) is de oplossing van 2y + x = 4 als
van y – 3x = -5
we zeggen dat (2, 1) de oplossing is van het
stelsel
2y + x = 4
y – 3x = -5
y
4
g
3
f
2
●
1
-1
0
1
2
3
4
-1
1.4
x
Algebraïsch oplossen van een stelsel vergelijkingen
2y + x = 4
y – 3x = -5
+-
3
1
stap 1: kan elimineren door optellen?
stap 2: kan elimineren door aftrekken?
y3y+–4x
2x==9-1
nee
x geëlimineerd
6y + 3x = 12
y – 3x = -5
7y
y
stap 3: kan elimineren door eerst te vermenigvuldigen
en dan optellen of aftrekken ?
+
= 7
= 1
maakt niet uit welke
vergelijking
invullen
:7
y=1
2y + x = 4
2·1+x=4
2+x=4
x=2
-2
de oplossing is (2, 1)
1.4
De vergelijking x² = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen
1 algebraïsch
x² = 2x + 3
x² - 2x – 3 = 0
( x + 1 )( x - 3 ) = 0
x+1=0 v x-3=0
x = -1 v x = 3
prod= -3
+1
-3
-1
+3
1.5
f(x) = 0  nulpunten berekenen
optie zero of ROOT
2 grafisch-numeriek (m.b.v. GR)
de oplossingen van de vergelijking x² = 2x + 3 zijn
de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = x² en
g(x) = 2x + 3
voer in y1 = x² en y2 = 2x + 3
optie intersect geeft
x = -1 v x = 3
1.5
y
10
y1
Grafisch-numeriek
8
x² = 2x + 3
y1 = x²
y2 = 2x + 3
optie intersect
x = -1 v x = 3
6
4
2
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
33
4
x
-2
y2
-4
-6
1.5