IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica
1 juli 2015
Oplossingen
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 1/12
Oefening 1
Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel invullen aub)
(A) fysica
(B) informatica
(C) wiskunde
Oplossing:
Oefening 2
De vijf punten in de onderstaande druk-volume-grafiek stellen vijf verschillende toestanden voor van één
mol van een ideaal gas. Voor een ideaal gas geldt het volgende verband tussen de druk p, uitgedrukt in
Pascal, het volume V , uitgedrukt in m3 en de temperatuur T , uitgedrukt in Kelvin : pV = nRT ,
waarbij n de hoeveelheid gas in mol voorstelt en R = 8, 31 JK−1 mol−1 de gasconstante is.
Voor welk van deze toestanden bevindt het gas zich op de hoogste temperatuur?
p
(A) toestand A
A
3p0
(B) toestand B
B
2p0
(C) toestand C
C
p0
D
V0
2V0
E
(D) toestand D
(E) toestand E
V
3V0
Oplossing: B
Oefening 3
1
1
a b
a b
en
=
. Veronderstel dat
Beschouw een (2 × 2)-matrix
2
2
c d
c d
a b
2
−2
a b
6
=
. Bereken
.
c d
1
−1
c d
6
(A)
6
6
−6
−6
(B)
(C)
0
0
Oplossing: E
Oefening 4
√
1− x ).
Gegeven f : R+
0 → R : x 7→ f (x) = cos (e
Bepaal f 0 (x).
√
(A) f 0 (x) = − sin (e1−
√
(B) f 0 (x) = − sin (e1−
√
(C) f 0 (x) = sin (e1−
x)
√
x )e1− x
√
x )e1− x √x
√
sin (e1− x )e1−
√
(D) f 0 (x) =
2 x
√ !
e1− x
0
√
(E) f (x) = sin
2 x
Oplossing: D
√
x
(D)
2
−2
(E)
−2
2
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 2/12
Oefening 5
Gegeven de punten P (2, 0, 0), Q(0, −3, 0) en R(0, 0, 6) in de driedimensionale ruimte met een cartesiaans
assenstelsel xyz. Het vlak v is het vlak door de punten P , Q en R.
Welk van de volgende punten ligt in het vlak v?
(A) A(1, 1, 1)
(B) B(1, 1, 2)
(C) C(1, 1, 3)
(D) D(1, 1, 4)
Oplossing: E
Oefening 6
In de figuur hiernaast zie je 3 projecties op 3 onderling
loodrechte vlakken van eenzelfde object opgebouwd uit
meerdere identieke kubussen. In de onderstaande figuren
zie je 5 objecten getekend in 3 dimensies. Slechts één
van deze 5 objecten kan mits een passende rotatie met
alle drie bovenstaande projecties tegelijk overeenkomen.
Geef aan welk.
(A)
(C)
(B)
(D)
Oplossing: E
(E)
(E) E(1, 1, 5)
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 3/12
Oefening 7
Hoeveel verschillende reële nulpunten heeft de functie f : R → R : x 7→ f (x) = (x3 − 1) ln(x2 + 1) ?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Oplossing: B
Oefening 8
Veronderstel dat x en y complexe getallen zijn die voldoen aan het stelsel
(
(−1 − i)x − 2y
x + (2 − i)y
=4
= i,
waarbij i2 = −1.
Bepaal x + y.
(A) x + y = −1 + 4i
(B) x + y = −1 + 2i
(C) x + y = −1
(D) x + y = 1
(E) x + y kan oneindig veel waarden aannemen.
Oplossing: A
Oefening 9
De veeltermen f (x) en g(x) zijn veeltermen met reële coëfficiënten. De veelterm f (x) heeft bij deling door
x2 + 1 rest x + 1 en de veelterm g(x) heeft bij deling door x2 + 1 rest x − 1. Welke rest heeft de veelterm
f (x) · g(x) bij deling door x2 + 1?
(A) −2
Oplossing: A
(B) −1
(C) 0
(D) x − 1
(E) x + 1
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 4/12
Oefening 10
Gegeven de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz met daarin het vlak v met vergelijking x + y + z = 1 en het vlak w met vergelijking x = 0. De rechte l is de doorsnede van de vlakken v en
w. De rechte m is de rechte door de oorsprong, evenwijdig met de rechte l.
Welk van de volgende punten ligt op deze rechte m?
(A) A(1, 1, 1)
(B) B(0, 1, 1)
(C) C(0, 1, 0)
(D) D(0, −1, 0)
Oplossing: E
Oefening 11
In de figuur hiernaast zie je een grijs object en een zwart
kader. Beeld je in dat het object gesneden wordt door het
vlak waarin het kader zich bevindt. Slechts één van de
figuren hieronder kan het resultaat zijn van deze snede.
Geef aan welke.
(A)
(C)
(B)
(D)
Oplossing: B
(E)
(E) E(0, 1, −1)
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 5/12
Oefening 12
Gegeven een vlak met een cartesiaans assenstelsel met daarin een cirkel door de drie punten P (0, 0), Q(0, 2)
en S(4, 6). Welk van onderstaande antwoorden geeft de straal r van de cirkel?
√
√
√
√
(A) r = 23
(B) r = 2 6
(C) r = 5
(D) r = 26
(E) r = 3 3
Oplossing: D
Oefening 13
Beschouw een balk met lengte L. Deze is links ingeklemd en wordt rechts ondersteund. We beschrijven de
doorbuiging van de balk met een functie u : [0, L] → R. De fysische betekenis van de functiewaarde u(x)
is de verticale verplaatsing van het punt op de middellijn van de balk met horizontale coördinaat x. De
fysische beperkingen ten gevolge van de inklemming in x = 0 en de ondersteuning in x = L vertalen zich in
vijf wiskundige voorwaarden:
• het linkeruiteinde verplaatst niet: u(0) = 0,
• de helling in het linkeruiteinde is gelijk aan nul: u0 (0) = 0,
• het rechteruiteinde verplaatst niet: u(L) = 0,
• de helling in het rechteruiteinde is niet gelijk aan nul: u0 (L) 6= 0,
• de kromming in het rechteruiteinde is niet gelijk aan nul: u00 (L) 6= 0.
x
u(x)
x=0
x=L
x
Welk van onderstaande functievoorschriften voldoet aan de fysische beperkingen van de balk? α is hierbij
een vast reëel getal verschillend van 0.
x
x
(A) u(x) = α
1−
L
L
x 2 x
1−
(B) u(x) = α
L
L
x 2 x 2
(C) u(x) = α
1−
L
L
x 3
x 4 x 2
(D) u(x) = α 3
−5
+2
L
L
L
πx 2
(E) u(x) = α sin
L
Oplossing: B
Oefening 14
2
Wat is het product van de oplossingen van de vergelijking 5x −3x−12 = 0, 04 ?
(A) −14
Oplossing: C
(B) −12
(C) −10
(D) 10
(E) 12
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 6/12
Oefening 15
De getallen α en β zijn reële getallen, i2 = −1. Als z1 = 1 − 2i een nulpunt is van de complexe veelterm
z 2 − (α + i)z + (7 + iβ), wat is dan het tweede nulpunt z2 ?
(A) z2 = 1 + 2i
(B) z2 = 1 + i
(C) z2 = 3
(D) z2 = 1 + 3i
(E) z2 = 1 − 3i
Oplossing: D
Oefening 16
Van een kubus kan je een aantal ribben doorsnijden en
dan het oppervlak openplooien tot een aaneengesloten
vlakke figuur. De figuur hiernaast is daar een voorbeeld
van, de buitenzijde van de kubus wordt zo in één figuur
zichtbaar. Slechts één van de kubussen die hieronder zijn
afgebeeld kan NIET leiden tot deze vlakke figuur. Geef
aan welke.
(A)
(C)
(B)
(D)
Oplossing: D
(E)
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 7/12
Oefening 17
Een transportband, zoals geschetst in onderstaande figuur, wordt gebruikt om erts te transporteren. De
lengte L van de transportband is 5 m en de breedte B is 0,5 m. De wielen van de transportband hebben een
straal r = 0, 5m. Aan welke snelheid moeten de wielen van de transportband draaien om een gewenst debiet
van 10 kg/s af te leveren, als je weet dat er per vierkante meter van de transportband 20kg erts geladen
wordt?
L=5m
(A) π1 toeren per seconde.
B = 0, 5 m
(B) π5 toeren per seconde.
r = 0, 5 m
(C)
1
5π
(D)
2
π
(E)
1
2π
toeren per seconde.
toeren per seconde.
toeren per seconde.
Oplossing: A
Oefening 18
Precies één van de volgende uitspraken is waar. Welke?
Een vergelijking in x van de vorm a|x| = bx + c met a, b, c reële parameters
(A) heeft voor alle waarden voor a, b en c precies één reële oplossing.
(B) heeft voor alle waarden voor a, b en c precies twee reële oplossingen.
(C) heeft voor alle waarden voor a, b en c één of twee reële oplossingen.
(D) heeft niet voor alle waarden voor a, b en c een reële oplossing.
(E) heeft voor geen enkele waarde voor a, b en c precies één reële oplossing.
Oplossing: D
Oefening 19
Bij een auto-ongeval met vluchtmisdrijf, herinnert een getuige zich dat de nummerplaat van de gevluchte
auto bestaat uit 3 verschillende letters (allen verschillend van de letter O), gevolgd door 3 cijfers waarvan
er juist 2 gelijk zijn (cijfers 0 tot en met 9 zijn mogelijk). Hoeveel mogelijkheden zijn er?
(A) 23 × 35 × 52 × 23
(B) 24 × 34 × 53 × 23
(C) 25 × 34 × 53 × 23
(D) 24 × 33 × 53 × 23
(E) 22 × 58
Oplossing: B
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 8/12
Oefening 20
Een tank wordt gevuld met 100 g zout. Er wordt via een eerste toevoerkraan zuiver water toegevoegd.
Deze toevoerkraan wordt dichtgedraaid als het volume van de zoutoplossing 50 l bedraagt. Daarna wordt
een tweede toevoerkraan opengedraaid en start de klok. Dit moment komt overeen met tijdstip t = 0 min.
Er stroomt dan gedurende 10 minuten een oplossing met een zoutconcentratie van 10 g/l met een constant
debiet van 10 l/min in de tank. Er wordt voortdurend geroerd, zodat de concentratie in de tank op elk
moment homogeen is. Welke van onderstaande grafieken toont het verband tussen de zoutconcentratie c in
de tank en de tijd t?
c[g/l]
10
(A)
5
c[g/l]
20
(B)
10
0
c[g/l]
10 t[min]
(C)
8
0
c[g/l]
20
10 t[min]
(D)
6
4
10
2
0
c[g/l]
10 t[min]
(E)
8
6
4
2
0
Oplossing: E
10 t[min]
0
10 t[min]
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 9/12
Oefening 21
Rangschik volgende reële getallen van klein naar groot:
Z 1
2
e−(x−1) dx
a =
0
Z 1
2
b =
e−x dx
0
Z 1
2
e−(x+1) dx
c =
0
(A) a < b < c
(B) a = b < c
(C) c < b < a
(D) c < b = a
(E) a = b = c
Oplossing: D
Oefening 22
Gegeven de functie
Z
f : R → R : x 7→ f (x) =
0
Bepaal de waarde van f 0 in
(A) 0
(B)
Oplossing: C
π
2
x+2π
2t
dt .
1 + sin2 t
π
2.
(C)
5π
2
(D) 5π
(E) 2
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 10/12
De samengestelde oefeningen bestaan telkens uit 3 deelvragen.
Samengestelde oefening 1
Beschouw de gelijkbenige driehoek ABC met tophoek in C. De basis AB van deze driehoek heeft lengte 2L
en de hoogte van deze driehoek is L. De rechthoek DEGF is ingesloten in deze driehoek, met de zijde DE
op de zijde AB, het hoekpunt F op de zijde AC en het hoekpunt G op de zijde BC. De rechthoek heeft
een breedte b en een hoogte h. Door de punten F en G gaat een parabool met top in M , het midden van
het lijnstuk AB. Het gebied S is het gebied boven de parabool dat in de rechthoek DEGF ligt.
C
L
F
G
h
A
D
M
b
E
B
2L
Vraag 23
Bereken de oppervlakte van het gebied S als functie van b en h.
√
(A) 2hb/3
(B) 3hb/4
(C) 5hb/6
(D) 2hb/2
(E)
√
3hb/2
Oplossing: A
Vraag 24
Bepaal de hoogte h zodat de oppervlakte van het gebied S maximaal is.
√
(A) h = L/4
(B) h = L/3
(C) h = L/2
(D) h = 2L/2
Oplossing: C
Vraag 25
Bepaal deze maximale oppervlakte.
(A) L2 /3
(B) 2L2 /5
(C) 3L2 /8
Oplossing: A
(D) 4L2 /9
(E) 5L2 /12
(E) h =
√
3L/2
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 11/12
Samengestelde oefening 2
Een gelijkbenige driehoek met tophoek 2α is ingeschreven in een cirkel met straal 1 (zie onderstaande figuur).
Door α te laten variëren in de tijd, varieert ook de omtrek L van deze driehoek.
Tussen t = 0s en t = 9s is de toename van de hoek α per tijdseenheid constant. Verder weten we dat op
t = 0s de hoek α = π/12 en dat op t = 9s de hoek α = π/3.
2α
1
Vraag 26
Bepaal de hoek α op t = 6s.
(A) α = π/10
(B) α = π/9
(C) α = π/8
(D) α = π/6
(E) α = π/4
Oplossing: E
Vraag 27
Bepaal de omtrek L op t = 6s.
√
√
√
(A) 3 3
(B) 32 3
(C) 3 2
√
(D) 2 + 2 2
Oplossing: D
Vraag 28
Bepaal de afname van de omtrek per tijdseenheid op t = 6s.
√
(A) 2 2 per seconde
√
(B) 3 2 per seconde
π
per seconde
36
√
2π
(D)
per seconde
18
√
3π
(E)
per seconde
18
(C)
Oplossing: D
(E)
√
3+2
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 12/12
Samengestelde oefening 3
Een mast met een rechthoekig uithangbord is verbonden met de muur van een gemeentehuis. Onderstaande
figuur toont een principeschets in zijaanzicht - de hoeken en de afmetingen zijn dus niet op schaal getekend.
De y-as van het cartesiaans assenstelsel xy stelt de muur van het gemeentehuis voor. In het punt A is de
mast met een horizontale verbindingsstaaf
vastgemaakt aan de muur van het gemeentehuis. De lengte van
√
de verbindingsstaaf bedraagt 2 3m en het punt A bevindt zich 2 m hoger dan het punt O. De totale lengte
van de mast OB bedraagt 8,5 m. Het uithangbord is loodrecht op het uiteinde van de mast verbonden en
heeft zijden van 2 m en 1 m. Exact in het midden van het uithangbord staat een zwarte stip M .
y
B
2m
M
√
2 3m
A
HM
1m
2m
x
O
Vraag 29
Welk van de onderstaande antwoorden is de beste benadering voor de hoogte HM van de stip M ?
(A) 3,1 m
(B) 3,5 m
(C) 4,0 m
(D) 6,4 m
(E) 7,5 m
Oplossing: A
Vraag 30
Welk van onderstaande vectoren is evenwijdig met de rechte BM ?
√
−−→
(A) OP (−1, −5 − 8 3)
√
−−→
(B) OQ(−1, −2 − 3)
√
−−→
(C) OR(1, − 5)
√
−→
(D) OS(1, −8 − 5 3)
√
−→
(E) OT (1, −5 − 8 3)
Oplossing: D
Vraag 31
−−→
−−→
Wat is het scalair product (inproduct) van de vector OB met de vector BM ?
√
√
(A) 4,25 m2
(B) -4,25 m2
(C) 2,125 5 m2
(D) -2,125 5 m2
Oplossing: B
(E) 0