Vragen Hogere wiskunde, 1KIRA

EERSTE REEKS VRAGEN
1. Geef een overzicht van de bewijsvoering die aantoont dat een vectorruimte steeds een basis
heeft en dat het aantal elementen in de basis (de dimensie van de ruimte) onafhankelijk is
van de gekozen basis.


Hoofdstuk 5 (10) Basis van een vectorruimte: inleiding
Stelling 5.1 (11) Zij A een vrij deel en v  vect A, dan is A  {v} een vrij deel.

Stelling 5.2 (11) Zij A een voortbrengend deel van V en stel dat v te schrijven is als een



lineaire combinatie van de andere vectoren in A, dan is A
 A\ v nog een
voortbrengend deel van V.
Stelling 3.2 (7) Als D  V en V vectorruimte, en als D voortbrengend deel van A en A
voortbrengend deel van V, dan is D een voortbrengend deel van V.
v


een
:
Stelling 5.3 (11) drukt eigenlijk uit dat een basis niet uniek is. Zij A
voortbrengend (resp. vrij) deel van V zij v  vect A:
vav

met a  0 dan mag

v

v

A
\v
v



men in A, v vervangen door v en dan zal AA
nog een



voortbrengend (resp. vrij) deel zijn van V.




e


heet een basis voor V als B tegelijk
:
Definitie 5.1 (13) Een stel vectoren B
voortbrengend deel en vrij deel is van V.
Stelling 5.4 (13) drukt uit dat elke eindig-dimensionale vectorruimte een basis heeft. Als
V een eindig voortbrengend deel heeft, dan kan men een vrij deel steeds uitbreiden tot
een basis van V & kan men het voortbrengend deel steeds reduceren tot een basis van V.
Stelling 5.5 (15) GRASSMAN drukt uit dat de dimensie onafhankelijk is van de gekozen
basis. Zij V een vectorruimte met eindig voortbrengend deel B dan zal een vrij deel A van
V niet meer elementen hebben dan B. Dit drukt eigenlijk de uniciteit van het begrip
dimensie uit.
Gevolg 5.6 (14) drukt uit dat de dimensie onafhankelijk is van de gekozen basis. Twee
eindige basissen van een zelfde eindig-dimensionale vectorruimte bevatten evenveel
elementen.
Hierdoor kan men het begrip dimensie van een vectorruimte definiëren.
(Definitie dimensie: We noemen het aantal elementen in een basis van een vectorruimte
de dimensie van deze vectorruimte. Men noteert de dimensie van V als dim V. Per
definitie stelt men dim {0} = 0.)
2. Geef en bewijs een aantal equivalente criteria voor de inverteerbaarheid van een vierkante
reële matrix.
nn
 Stelling 1.6 (47) Een vierkante matrix AR is inverteerbaar asa A n lineair
onafhankelijke rijen heeft asa A n lineair onafhankelijke kolommen heeft.
 Stelling 5.1 (60) De elementaire matrices zijn inverteerbaar.
nn
Gevolg 6.2 (62) Een matrix AR is regulier asa A is te schrijven als een product van
elementaire matrices.
 Stelling 8.2 (85) A is regulier, als en slechts als det A 0 is.
 Gevolg 2.3 (97) Een matrix is regulier asa al zijn eigenwaarden verschillen van nul. (det A
= product van de eigenwaarden)
GAUSS
ELEMENTAIRE TRANSFORMATIES

3. Geef en bewijs de isomorfismestelling voor vectorruimten.
n
Stelling 6.1 (17) Een vectorruimte V van dimensie n is isomorf met de vectorruimte R n
4. Bewijs dat de verzameling LinV,W van lineaire afbeeldingen een vectorruimte vormt.
Welke dimensie heeft ze? Waarmee is ze isomorf?


Stelling 8.2 (28) De verzameling LinV,W is een vectorruimte. Uiteraard moeten bij
deze stelling de 8 eigenschappen uit definitie 1.1 (3) allemaal bewezen worden.
Het antwoord op de twee andere vragen vind je bij de oplossingen van de test van
hogere wiskunde van 25 oktober 2000 in de oefeningencursus (16).
Hoe bewijst men V3 voor lineaire afbeeldingen?
Antwoord: Definieer -f als (-1).f en dan is het eenvoudig aan te tonen dat f+(-f) de nullineaire afbeelding is.
Waarmee is de verzameling van lineaire afbeeldingen isomorf. En hoe kan men de
dimensie bepalen?
Antwoord: Met de verzameling van de matrices (van gepaste afmetingen).
f : V -> W (dim V = n, dim W = m) dan is matrixvoorstelling van f een matrix
met afmetingen m x n. Zoek een basis voor deze vectorruimte van matrices
(zie testnamiddag). Het aantal vrije parameters = m.n = de dimensie.
Bij de oplossing van de vraag naar de dimensie van Lin(V,V) van een testje van 25 oktober
staat er dat we eerst gaan bewijzen dat Lin(V,V) isomomorf is met een
matrixvoorstelling.
Om dit te bewijzen gebruikt men Stelling 2.1 (46). Hier gebruikt men echter al de
eigenschap dat een f element van Lin(V,V) isomorf is met een matrix voorstelling. Mag
dit zomaar? En indien niet hoe moet men het dan wel bewijzen?
Antwoord: Ik heb de opgave van die test en de lijst met veel gemaakte fouten, maar ik
heb niet wat er als oplossing is gegeven. Ofwel stel je de vraag preciezer, ofwel moet je
je tevreden stellen met het volgende antwoord. Het kortste antwoord is: Lin(V,V) is
n n
n n
isomorf met R , (als dim V = n) en dus heeft Lin(V,V) als dimensie n² want R heeft
dimensie n² en isomorfe vectorruimten hebben dezelfde dimensie. Wil je nu ook
n n
bewijzen dat Lin(V,V) isomorf is met R
moet je een afbeelding F van Lin(V,V) naar
n n
R definiëren en bewijzen dat het een isomorfisme is. Die afbeelding is de afbeelding
van f in Lin(V,V) naar de matrixvoorstelling van die f (tov een gekozen basis in V). Opdat
dit een isomorfisme zou zijn moet je bewijzen dat dit 1-1-duidig is en de bewerkingen
bewaart. Dat laatste is precies wat in stelling 2.1(a) wordt aangetoond.
Stelling 2.1 gebruikt NIET dat f isomorf is met zijn matrixvoorstelling, hoogstens dat er
een 1-1-duidig verband is tussen een lineaire afbeelding en de matrixvoorstelling ervan.
Maar niet elke 1-1-duidige afbeelding is een isomorfisme.
5. Welk precies verband bestaat tussen lineaire afbeeldingen en matrices?
 Hoofdstuk 2 (48) Verband matrices en lineaire afbeeldingen.
Dim V = n en dim W = m  Amxn (stelsel met m lineaire vergelijkingen in n onbekenden)

L
inVW
 , , dan noemen we de hiervoor geconstrueerde
Definitie 2.1 (50) Als f 
mn
matrix AR de matrixvoorstelling van f t.o.v. de basis V in V en de basis W in W.
i
m
XY

d
i
m

d
i
m
X

Y

d
i
m
X

Y




6. Bewijs d
.
Stelling 7.2 (22) Zij X en Y deelruimten van een eindig dimensionale vectorruimte V, dan
i
m
XY

d
i
m

d
i
m
X

Y

d
i
m
X

Y




geldt d
.
L
inVW
o
r
a
n
g
f
r
a
n
g
f
d
i
m
V
 , geldt c
7. Bewijs dat voor f 
.
L
inVW
i
m
k
e
r
f
d
i
m
b
l
d
f
d
i
m
V
 , , dan geldt d
Stelling 8.6 (31) Zij f 
dus
c
o
r
a
n
g
f
r
a
n
g
f
d
i
m
V
.
8. Onder welke voorwaarden beeldt een lineaire transformatie een basis af op een basis?
Bewijs.
 Stelling 10.2 (38) Een inverteerbare lineaire transformatie beeldt een basis af op en
basis.

 ,  is inverteerbaar asa ker f 0
Stelling 10.1 (37) Een transformatie f LinVV

n
gf d
im
V. Deze stelling dient in het achterhoofd gehouden te worden bij het
asa ra
bewijzen van de vorige stelling (voor een eventuele bijvraag).
Indien ker f = {0} heeft f(x)=b precies één oplossing.
Welke stelling(en) moet(en) gegeven worden om te zeggen dat een lineaire
transformatie inverteerbaar moet zijn? Stelling 10.2, 10.3, beiden of nog andere?
Antwoord: Als je er nog andere kent, geef die dan. Hoe meer je weet hoe beter.
Zie ook de vraag over inverteerbaarheid van matrices (vraag 2).
Onder welke voorwaarden beeldt een lineaire transformatie een basis af op een basis?
Bewijs. Welke voorwaarde(n)is (zijn) er nog naast de voorwaarde dat de lineaire
transformatie inverteerbaar moet zijn? Alvast bedankt.
Antwoord: De voorwaarde dat f inverteerbaar moet zijn is de enige voorwaarde.
9. Geef en bewijs de eigenschappen en definities die leiden naar het begrip rang van een
matrix.
 Hoofdstuk 3 (55) Rijruimte en kolomruimte.
 Definitie 3.1(55): De vectorruimte voortgebracht door de kolommen van een matrix
noemen we de kolomruimte. Het is een deelruimte van Rmx1. De vectorruimte
voortgebracht door de rijen van een matrix noemen we de rijruimte. Het is een
deelruimte van R1xn.





mn
Definitie 3.2 (56): Zij AR dan noemt men de dimensie van de kolomruimte de
kolomrang van A en de dimensie van de rijruimte de rijrang van de matrix A.
mn
Stelling 7.1 (64) Voor AR geldt dat rijrang A = kolomrang A = rang A.
Bewijs (A equivalent met canonieke vorm)
Stelling 7.2 De rang van de lineaire afbeelding f  Lin(V,W) en de rang van de
matrixvoorstelling ervan in willekeurige basissen zijn dezelfde. (64)
Definitie 7.1: (volle rang) We zeggen dat een matrix A  Rmxn van volle rang is als de rang
zijn maximale waarde aanneemt rang A = min(m, n). (64)
Stelling 7.3: We hebben rang(AB)  rang(A) en rang(AB)  rang (B)
Bewijs (rang(AB) = dim kolomruimte (AB)  dim kolomruimte A = rang A)
Zijn er buiten rij/kolomruimte, rij/kolomrang en stelling 7.1 nog andere definities of
stelling die naar het begrip rang van een matrix leiden?
Antwoord: Rang van een lineaire afbeelding heeft ook te maken met de rang van de
onderliggende matrix.
L
inVW
 ,  tussen
10. Hoe verandert de matrixvoorstelling van een lineaire afbeelding f 
vectorruimten V en W als in V en W basistransformaties worden doorgevoerd? Wat is het
verschil met de SWO?
 Hoofdstuk 8 (65) Basistransformaties.
T-1AS=A’ V’=VS W’=WT
f(V’) = f(VS) = f(V)S = WAS = W’T-1AS = W’A’
De reguliere matrices T en S in de equivalentierelatie stellen immers reguliere
transformaties voor in W, respectievelijk in V en dergelijke inverteerbare lineaire
transformaties zetten een basis om in een andere basis (stelling I.10.2).
 Stelling 8.1 (66) Twee matrices zijn equivalent asa ze de matrixvoorstelling zijn van een
zelfde lineaire afbeelding maar t.o.v. verschillende basissen.
 SWO: U en V zijn orthogonale matrices (na transformatie blijven de hoeken en afstanden
bewaard)
11. Geef en bewijs de Laplaceontwikkeling voor de determinant van een matrix.
 Definitie 8.3 (83) Men kan volgens een willekeurige rij/kolom ontwikkelen. Men kan
aantonen dat het resultaat voor de ontwikkeling volgens om het even welke rij of om het
even welke kolom steeds dezelfde is.
of


(86) Kronecker delta
Gevolg 8.4 (86): Voor A є Rnxn en met Aij de cofactor van aij geldt:
n
aA
d
e
tA

i
1
ij ik
ik
1
a
l
s
i

j


:
0
,
1
:
i
,
j 





0
a
l
s
i

j
2
i
,
j

Volstaat het om de tweede formule te bewijzen overal waar i staat te vervangen door j
en kolom door rij?
Antwoord: Ja. Het is een goede oefening om voor jezelf te zien of dit inderdaad klopt.
Schrijf het op en lees het na. Je kan zelf toch zien of een bewijs juist is of niet.
12. Bewijs dat een interpolerende veelterm van graad n door n+1 verschillende punten bestaat
en enig is.

Hoofdstuk 2 (158) Het vereffenen van meetgegevens:
i.
ATAX=ATB
ii.
als m=n dan krijgen we een determinant van
Vandermonde die precies door n+1 punten gaat
iii.
y(xi) = a0 + a1xi + … + anxin = yi
i = o, …, m
interpolatievoorwaarde: de kleinste-kwadraten-oplossing van
DEFINITIE (kleinste-kwadranten-oplossing):
We noemen X0 een kleinste-kwadranten-oplossing van het stelsel AX =B


n

1
X

B

m
i
n
A
X

B
:
X
. Als er meerdere
indien A
0
oplossingen van dit probleem zijn, kiezen we daaruit de oplossing met
minimale lengte:
X

m
i
n
X
:
X
i
s
k
l
e
i
n
s
t
e

k
w
a
d
r
a
t
e
n

o
p
l
o
s
s
i
n
g
v
a
n
A
X

B


0
. Dit is dan de kleinste-kwadraten-oplossing met minimale lengte.
 De oplossing is uniek.
Hoe kan men door de uitleg van p. 136, 137 en 138 te geven het gevraagde bewijzen?
Antwoord: Zie hieronder.
Bewijs dat een interpolerende veelterm van graad n door n+1 verschillende punten
bestaat en enig is. Hoe bewijs ik dat?
Antwoord: Kijk eens naar p.136, p.137 en vooral naar p.138 bovenaan.
Beter, je schrijft de interpolatievoorwaarden op. Dit levert een stelsel van
n+1 vergelijkingen in de n+1 onbekende coëfficiënten van de veelterm. de
matrix van het stelsel is een matrix van Vandermonde. Die is niet singulier.
Dus de interpolerende veelterm bestaat en is enig want het stelsel heeft
altijd juist 1 oplossing.
13. Bespreek hoe men een willekeurig stelsel van m lineaire vergelijkingen met n onbekenden
kan oplossen: theoretisch en praktisch. Is er iets speciaals mogelijk als m  n . Welke
vereenvoudigingen zijn er door te voeren als m  n en de matrix van het stelsel regulier is.
(Hoofdstuk 3: oplossen van stelsels (70))
 Hoofdstuk 4 (56) Basisalgoritme (elementaire bewerkingen)
 Definitie 4.1 (57) Rijechelon vorm
 Hoofdstuk 3 (74) Het oplossen van een willekeurig stelsel. (met de uitgebreide matrix)
 Stelling 3.1 (74) Stelling van Rouché
 Hoofdstuk 11 (90) De regel van Cramer. (m=n en A regulier)
 Hoofdstuk 4 (76) Oplossen van een regulier stelsel volgens Gauss. (=afgezwakte vorm
van het basisalgoritme) AX=B  RX=B’ met TA=R (bovendriehoeksmatrix) en B’=TB (T is
het product van de gebruikte elementaire matrices) => eliminatiefase; oplossen van het
stelsel = substitutiefase
 Als m=n en A is regulier dan wordt de oplossing gegeven door: X=A-1B
 Andere ontbindingen (zie volgende vraag): LR, QR
Wat wordt bedoeld met praktisch en theoretisch? Moeten we dan ook heel de
rijechelonvorm zoals op p 62-63 uitleggen? Idem voor * Gauss op p.66-67 * LRontbinding op p.68 * Cramer op p. 79-80
Antwoord: Alles wat je weet over het oplossen van stelsels. Ook weten wat er praktisch
bruikbaar is en wat niet en waarom. Hoe meer je weet te vertellen hoe beter.
Theoretisch: oplossen stelsel = particuliere oplossing + oplossing homogeen
stelsel: kern (31-32)
Praktisch:
1. Gauss, Gauss-Jordan, Cramer, …
2. LR – ontbinding, …: voor gebruik computer
Voor het oplossen van stelsels kan men o.a. gebruik maken van de methode van Gauss
en die van Gauss-Jordan. Wat is het verschil tussen beide methoden en wanneer gebruikt
men best welke methode?
Antwoord: Gauss-Jordan: Je past het basisalgoritme (p.56) toe. Je brengt de matrix
aldus in rijecholonvorm.
Gauss: Je past het basisalgoritme toe, hetzij een beetje verzwakt. Je maakt,
namelijk enkel nullen beneden de diagonaal (niet erboven) en de pivots
worden
niet
gelijk
aan
1
gemaakt.
Voor het oplossen van "kleine" stelsels (zoals we in de oefenzittingen doen)
maakt het niet zoveel uit, welke methode je gebruikt. Voor grotere stelsels,
die met de computer berekend worden zal het wel verschil uitmaken of je nu
Gauss of Gauss-Jordan gebruikt. Je moet rekening houden met de rekentijd,
maar ook met de afrondingsfouten die door de computer gemaakt worden.
Je hebt daar niets of niet veel over gezien in de cursus, dus ik vermoed dat je
dat ook niet moet weten in detail...
TWEEDE REEKS VRAGEN
1. Bespreek een aantal ontbindingen van matrices (in elementaire matrices, LR-ontbinding, QRontbinding, eigenwaardeontbinding, SWO).




Vergeet daarbij niet te zeggen wat het nut ervan is (vereenvoudigen, basis aflezen, stelsel oplossen dat
geen oplossing heeft)
Hoofdstuk 7 (79) De LR ontbinding van een matrix.
PA=LR
R = rijechelonvorm van A = bovendriehoeksmatrix
P = permutatiematrix (rijverwisselingsmatrix: type 3)
L = T-1I = eenheidsbenedendriehoeksmatrix
T = matrix met elementaire operaties van type 2
PAX=PB  LRX=B’  LY=B  RX=Y
De bewerkingen op de matrix A zijn volledig bepaald in de factoren P, L en R en die moeten
dus enkel voor het eerste stelsel berekend worden. Op die manier bespaart men heel wat
rekentijd.
nn
Stelling 7.1 (82) Zij AR regulier. Dan bestaat er een permutatiematrix P, een
eenheidsbenedendriehoeksmatrix L en een bovendriehoeksmatrix R zodanig dat PA  LR .
Hoofdstuk 7 (125) De QR ontbinding.
A=QR
Q = orthonormale basis voor A
Stelsel AX=B oplossen: RX=Y Y=QTB
nn
Stelling 7.1 (126) Elke reguliere matrix AC heeft een QR ontbinding. Dit wil zeggen dat
er een unitaire matrix Q bestaat en een reguliere bovendriehoeksmatrix R zodanig dat
A  QR .



Hoofdstuk 5 (100) De eigenwaardeontbinding.
Niet uniek (eigenvectoren op een veelvoud na bepaald), diagonaliseerbaar ~ van eenvoudige
structuur, rang = aantal van 0 verschillende eigenwaarden
nn
Definitie 5.1 (100) Als AR van eenvoudige structuur is, dan noemt men de ontbinding
1
van de vorm ATT een eigenwaardeontbinding van A.
Hoofdstuk 4 (161) Singuliere waarde-ontbinding
A = UΣVT
V: kolommen = eigenvectoren van ATA
U: kolommen = eigenvectoren van AAT
Als A de matrixvoorstelling van f є Lin(V,W) dan betekent dit dat we in V en W een
orthogonale basistransformatie hebben uitgevoerd om de matrixvoorstelling van f in zijn
eenvoudigste vorm Σ te brengen.
SWO: interessant:
- Numeriek stabiel :voortplanting van afrondingsfouten blijft tot een minimum beperkt
- Veel informatie over de matrix (formularium)
Wat moet men concreet antwoorden voor al deze ontbindingen?
Antwoord: Er bestaat voor zulke vragen geen pasklaar antwoord. Bedoeling is de
verschillende ontbindingen te beschrijven (hoe steken ze in elkaar) en
eventueel te vergelijken met elkaar (wat is een voordeel aan die ontbinding
t.o.v. een ander ontbinding,...). Je kan je daarbij kritische vragen stellen als:
1. Geldt die ontbinding voor een willekeurige matrix?
2. Wat als is de matrix regulier is, heeft dit gevolgen voor de ontbinding?
3. ...
Hier kan je alles vertellen wat je weet over kleinstekwadratenbenadering, Gram-Schmidt
(160), normaalstelsel (156), projectie (118/155), singulierewaardenontbinding (161), QR
ontbinding (126), en manieren om de projectie te berekenen als je een orthogonale of
niet orthogonale basis hebt, en hoe je dat dan allemaal in de praktijk moet uitvoeren.
n
2. Hoe berekent men in de Euclidische ruimte R het punt in de deelruimte opgespannen door
n
vectoren V1, ... ,Vk dat het dichtst bij P  R ligt? Geef ook de bewijzen.

Stelling 5.4 (108) p  D is de orthogonale projectie van v op D als en slechts als p de
vector is in D dichtst bij v .

n ev
i,
p

Pv

e

W
2 i.
Stelling 5.6 (108)
i
1 e
i

n
Hoe berekent men in de Euclidische ruimte R het punt opgespannen door vectoren
V1, ... ,Vk dat het dichtst bij P element van R n ligt? Geef ook de bewijzen. Welke
bewijzen moeten er concreet gegeven worden?
Antwoord: 5.4 en 5.6 (let op: het bewijs is hier gegeven voor een orthogonaal stel
vectoren, maar je kan een gewone basis steeds omzetten in een orthogonale
(Gram-Schmidt))
3. Welk is de meest eenvoudige vorm van een matrix onder (a) equivalentietransformaties (b)
rijequivalentietransformaties (c) gelijkvormigheidstransformaties (d) congruentietransformaties
(e) orthogonale equivalentietransformaties?
mn
a. Stelling 6.4 (63) Elke matrix AR is equivalent met een matrix van de vorm
C
Ir 0
0 0
waarin r het aantal lineair onafhankelijke rijen is in A.
mn
b. Stelling 6.1 (61) Elke matrix AR is rij-equivalent met zijn rijechelon vorm.
c. (101) De canonieke vorm voor een matrix onder gelijkvormigheidstransformaties is de
Jordanvorm.
Sis weer een bijzonder geval van een
d. (138) De transformatie A AS A
equivalentietransformatie. We noemen het een congruentietransformatie. de meest
eenvoudige vorm waarin een symmetrische matrix gebracht kan worden onder
congruentietransformaties is een diagonaalmatrix.
'
H
Wat is de meest eenvoudigste vorm van een matrix onder congruentietransformaties?
Antwoord: In de cursus beperkt men zich tot symmetrische matrices (zie p.122
onderaan:"We zullen op zoek gaan naar de meest eenvoudige vorm waarin
we
een
symmetrische
matrix
kunnen
brengen
onder
congruentietransformaties") (Het kan zijn dat de pagina's die ik aangeef niet
helemaal overeenkomen met de pagina's in jouw cursus. Ik heb een oudere
versie van deel 2). Uit stelling 3.3 haalt men gevolg 3.4 (p.124) dat stelt dat
elke symmetrische matrix een eigenwaardeontbinding heeft van de vorm A =
Q Q^T. Dus een symmetrische matrix is (orthogonaal) congruent met een
diagonaalmatrix. Of nog, de meest eenvoudige vorm waarin een
symmetrische matrix gebracht kan worden onder congruentietransformaties
is een diagonaalmatrix. (zie ook opmerking na het gevolg op p.125)
e. De meest eenvoudige vorm van een matrix onder orthogonale equivalentietransformaties is
de SWO (139-140). A is orthogonaal equivalent met Σ.
4. Bespreek de QR ontbinding van een willekeurige matrix.
 Hoofdstuk 7 (113  114) De QR ontbinding.

nn
Stelling 7.1 (114) Elke reguliere matrix AC heeft een QR ontbinding. Dit wil zeggen dat
er een unitaire matrix Q bestaat en een reguliere bovendriehoeksmatrix R zodanig dat
A  QR .
Waar in de cursus vind ik de QR-ontbinding voor een willekeurige matrix?
Antwoord: p.113 en volgende. Het is de bedoeling dat je nagaat of de matrix wel zo
willekeurig mag zijn. Moet de matrix niet regulier zijn gezien je het algoritme
van Gram-Schmidt toepast?
5. Geef en bewijs de Cauchy-Schwarz ongelijkheid in Euclidische vectorruimten.
Stelling 3.1 (112-113) In een reële vectorruimte geldt
xy
, x y.
Bijvraag: Bewijs dat ||x||= (<x.x>)1/2 een norm is.
6. Hoe definieert men een projectie in een willekeurige vectorruimte? Hoe definieert men een
projectie in een Euclidische vectorruimte? Bewijs dat de projectie uniek is in beide gevallen. Welk
verband bestaat er tussen beide definities?


xy
, x

X
,yY

Definitie 7.3 (25) Zij V  X Y en zij v  V zodat v
, dan noemt
men x de projectie van v op X evenwijdig met Y.

Stelling 7.4 (24) V  X Y als en slechts als elke vector v  V op enige manier te

schrijven is als v  x  y met x  X en y  Y .
Definitie 5.2 (118) Zij D een deelruimte van een Euclidische vectorruimte V, dan is een
orthogonale projectie v  V op D, een vector p  D zodanig dat v  p  D. De vector

v  p noemt men de projecterende vector.
Stelling 5.2 (118) geldt enkel voor een Euclidische vectorruimte. Een orthogonale projectie
bestaat en is uniek.
Welk verband bestaat er tussen beide?
Antwoord De orthogonale projectie in een Euclidische vectorruimte is een bijzonder
geval van de projectie in een willekeurige vectorruimte. Je projecteert dan op
een deelruimte E evenwijdig met het orthogonaal complement van E.
 Definitie van een projector en van de afstand zijn verantwoord.
7. Beschrijf het Gram-Schmidt algoritme en geef het verband met de QR ontbinding van een matrix.
Bijvraag: het nut (stelsels, orthogonaliseren, kwadratische vormen en wat nog allemaal, hij
beweert het meermaals in de les gezegd te hebben, wat pech dat we daar niet waren)
 Hoofdstuk 6 (121) Orthogonaliseren.
 Stelling 6.1 (121) Door het bovenstaande algoritme wordt een stel lineair onafhankelijke


vectoren v1,..., vn omgezet in een orthogonaal stel u1,...,un.
Gevolg 6.2 (122) Elke eindig-dimensionale vectorruimte bezit een basis van orthonormale
vectoren.
Bij de QR ontbinding is de Gram matrix gelijk aan I n . <X,Y> = XHY
Je past Gram-Schmidt toe op de kolommen van de matrix.
Q is de orthonormale basis voor A.
De R matrix vinden we door de factoren uit de Gram-Schmidt procedure te nemen.
8. Beschrijf de singuliere waarde ontbinding van een matrix en bewijs het bestaan ervan. Is die
ontbinding uniek?
(Neen deze ontbinding is niet uniek. Voor SWO hebt ge de eigenwaardenontbinding nodig. De
eigenwaarden zijn uniek, dus de singuliere waarden en die Epsilon dus ook. Maar de
eigenvectoren bij de eigenwaarden zijn niet uniek, men kan er bv een veelvoud van nemen.
Dus U en V in SWO zijn niet uniek.)
 Hoofdstuk 4 (161) SinguliereWaardeOntbinding.
T
 AUV
A is orthogonaal equivalent met Σ
V: kolommen = eigenvectoren van ATA = rechter singuliere waarden van A
U: kolommen = eigenvectoren van AAT = linker singuliere waarden van A
= singuliere waarden van A
Als A de matrixvoorstelling van f є Lin(V,W) dan betekent dit dat we in V en W een
orthogonale basistransformatie hebben uitgevoerd om de matrixvoorstelling van f in zijn
eenvoudigste vorm Σ te brengen.
Hoe bewijs je dat de SWO uniek en waar vind je de oplossing in de cursus? Bij voorbaat
dank.
Antwoord: Dit staat niet letterlijk in de cursus. Je moet hiervoor naar het bewijs van de
SWO kijken. Je bepaalt daarin een basis en een basis is niet uniek. Vandaar
dat ook de ontbinding niet uniek is.
Om aan te tonen dat de SWO uniek is moesten we zeggen dat we in dat bewijs een basis
bepaald hadden en dat een basis niet uniek en dat daarom de SWO ook niet uniek was. Is
m1
die basis de orthonormale basis voor R
voortgebracht door de kolommen die in het
bewijs voorkomt?
T
Antwoord: Als AUV de SWO is van A, dan is voor alle matrices K en L die voldoen
aan KL   ook AU'V' met U' = UK en V' = V LT. Om een SWO te
hebben moet dan nog U' en V' orthogonaal zijn. Men kan voor K en L vb
diagonaalmatrices kiezen zodat KTK=I en LTL=I (en KL   ). Men zou vb, in
K en L +1 of -1 kunnen stoppen.
T
9. Bewijs dat de kleinste kwadraten oplossing met minimale lengte van het stelsel AX  B
†
gegeven wordt door X  A B .



 
†
†
Definitie 1.1 (156) We noemen AAXABhet normaalstelsel voor het kleinste
in AXB .
kwadraten-probleem m
Stelling 5.1b (164) De kleinste-kwadraten-oplossing met minimale lengte voor ΣX = B is
gegeven door X0 = Σ†B.
Stelling 5.2b (166) De kleinste kwadraten-oplossing met minimale lengte voor AX  B is
†
†
† T
†
gegeven door X0  A B, A VU . Men noemt A de veralgemeende inverse van A.
Vragen VTK en AllesKan
1.
Geef de nodige eigenschappen waaraan een matrix moet voldoen om een projectie voor te
stellen. Bewijs. (MT=M en M²=M)
Stelling 1.1 (157)
2.
3 vectoren spannen een parallellepipedum op. Geef een formule voor het volume daarvan en
bewijs. (er zijn 2 mogelijkheden, 1 is voldoende)
3.
Bewijs dat ||A||2 gegeven wordt door sigma(max).
167 (c)
4.
Geef en bewijs de traagheidswet van Sylvester.
Stelling 4.3 (147): Iedere ontbinding van een kwadratische functie k(X) = XTAX, (A symmetrisch)
in een som/verschil van r = rang A kwadraten van onafhankelijke lineaire vormen, bevat steeds
hetzelfde aantal positieve termen (zij p) en r - p negatieve termen.
5.
Hoe kunnen k-vlakken in Rn gedefinieerd worden? Geef alle soorten parameters en bespreek
uitvoerig het verband met matrixvoorstellingen.
Meetkundige interpretatie (35-36)
Stel f є Lin(Rn,Rm) en dat dim ker f = k. We zeggen dan dat ker f, opgespannen door k
basisvectoren e1,…,ek een k-dimensionaal richtvlak is dat door de oorsprong gaat en de
expliciete oplossing x(t) = p +
(t = (t1,…,tj) є Rk en p een particuliere oplossing) een
parameterbeschrijving is van een k-vlak in de n-dimensionale ruimte. De vergelijkingen van kvlakken waarin geen parameters meer voorkomen noemt men Cartesische vergelijkingen.
6.
Bespreek de eigenschappen van symmetrische matrices. (140-143)
Stelling 3.1: De eigenwaarden van een reële symmetrische matrix zijn reëel.
Stelling 3.2: Een reële symmetrische matrix is van eenvoudige structuur. (en dus
diagonaliseerbaar)
Stelling 3.3: De eigenvectoren van een reële symmetrische matrix kan men altijd als een
orthonormaal stel kiezen.
Gevolg 3.4: Elke reële symmetrische matrix heeft een eigenwaardeontbinding van de vorm
A = QΛQT
7.
Geef stellingen en bewijzen die leiden tot het begrip 'orthogonale lineaire
transformatie'. (p.128-130)
Stelling 8.1: Een lineaire transformatie f is orthogonaal (unitair) asa ze de afstand tussen
vectoren bewaart.
Stelling 8.2: In een complexe (reële) vectorruimte is de matrixvoorstelling van een unitaire
(orthogonale) transformatie ten opzichte van een orthonormale basis een unitaire (orthogonale)
matrix.
Stelling 8.3: Als λ een eigenwaarde is van een orthogonale transformatie, dan is |λ| = 1.
Stelling 8.4: Een orthogonale matrix van orde 2 heeft één van de volgende twee vormen:
rotatie rond O met draaiingshoek α
spiegeling om rechte door O die hoek α/2 maakt met positieve deel x-as
8.
Rijechelonvorm bespreken, hoe bekom je hem en waarvoor is hij nuttig?
Definitie 4.1(57)
Stelling 6.1(61): Elke matrix A є Rmxn is rij-equivalent met zijn rijechelon vorm.
Het oplossen van stelsels in rijechelon vorm (70-72): hoofd- en nevenonbekenden
9. Geef en bewijs de regel van Cramer voor het oplossen van stelsels. (90)
Stelling 10.2: Zij AX =B een stelsel met A є Rnxn regulier, dan is X=A-1 B= (adj A)B/det A of als we de
matrix Bj definiëren als de matrix A waarin we kolom j vervangen hebben door B, dan is
xj = det Bj / det A.
10. Wat is het verband tussen lineaire afbeeldingen en matrices? (48-55)
f(x) = b met f є Lin(V,W)  AX =B (m lineaire vergelijkingen in n onbekenden)
A = matrixvoorstelling van f t.o.v. V en W
X/B = kolommatrix der coördinaten van x/b t.o.v. de basis V/W
Oefeningen:
1. Bepaal een orthogonale basis voor {1, 1/x , 1/x²) waarbij
<f,g> = (intergraal van 1 tot 2) f(x)g(x) d(x
2.
Ge krijgt 8 functies van x*sinh(x) enzo
daar 1x2 matrix met bep voorschrift van maken (zoiets toch) en daarop lin transf toepassen en
ook ene ellips, krijgt plaats middelpunt , hoogte, breedte en hoek met hozitale, bepaal
kwadratische vorm ervan
3.
Gegeven, het inwendig product <A,B> = …
A=3 0
0 2
0 1
0 1
Zoek een matrix (4x2) met rang 1 die zo dicht mogelijk A benadert. (ik heb dat gedaan met de
Frobeniusnorm zoals in dat bewijs, dat vond hij precies wel juist, maar ik heb dus die formule
voor <A,B> niet gebruikt..)
4.
Gegeven: de vergelijkingen van 3 vlakken U, V en W. Die snijden in één punt, bewijs en bereken
punt. Geef de drie snijlijnen, zoek daar de eenheidsvectoren van. die spannen een 3paralellepipedum op, bereken het volume daarvan.
5.
Ge krijgt een kwadratische vergelijking, en de vergelijking van een rechte, maar in de vergelijking
van de rechte zit nog een paramter b, en je moet bepalen voor welke waarde van b dat de
kwadriek en de rechte twee snijpunten hebben
6.
Basissen bepalen tov = spoor(A^T*B)
7.
Ge hebt een lineaire afbeelding L van 3x3 matrix [a11 tot a33] en die wordt afgebeeld op de
matrix
a21 a32 a13
0 a12 0
a23 0 a11
a) de basis van de kern N
b) de singuliere waarde ervan
c) als M+N de vectorruimte voortbrengt en M doorsnede N is ledig, wat is dan de basis van M?
d) men wil van LA een diagonaalmatrix maken, welke waarde moet p aannemen?
met LA= 1 0 0
03p
000
8.
Stel G={(a+bx) e^(2x) + (c+dx) e^x + u.cosx + v.sinx}
stel F={(a+bx) e^(2x) + (c+dx) e^x}
L is de lineaire transformatie van F naar G en is gedefinieerd als F"-4F'+4F
(met die accentjes de afgeleiden van de functie)
Wat is dan de transformatiematrix?
9.
Gegeven de integraal van f(x) over interval k tot k+1, waarvoor de waarde k =
0,1,2. Bereken de homogene oplossing (+wat is haar dimensie), de particuliere
oplossing.
10. Gegeven drie basisvectoren en een punt P dat coordinaten t.o.v. een andere
basis heeft. Dan het volume van een parallellepipedum opgespannen door die
vectoren berekenen.
11. Iets met kleinste-kwadratenoplossing. Geef het kleinste veelvoud inR^3 van de functie
INTERGRAAL ,die loopt van k --> k+1, van 1/1+k dx. k=0,1,2,3,4,5. Dus zorg ervoor dat
sum(int(f(x)-1/(1+k), x), k = 0 .. 5) MINIMAAL is. ~~das functie gekopieerd van maple, maar ik
ben ni zkr van die minteken tussen f(x) en 1/1+k)~~
12. V={1,e^t,e^-t,-e^t,-e^-t} ~~of zoiets~~ is een basis en de lineaire afbeelding
L:V-->V: f--> f''-2f'+f (de accenten geven de afgeleiden aan)
1) Geef de eigenwaarde van L
2) Geef de bijhorende eigenvectoren
3) Geef de matrixvoorstelling M
4) Geef de Jordanvorm van M
13. Geven een vectorruimte van matrixen voortgebracht door <<A|B>,<C|A>> met als inwendige
product spoor(A(transpose)B). bereken de matrix uit die vectoruimte die het dichste bij
M=<<1|2>,<3|4>> ligt. is de matrix onder de frobenius norm dezelfde?
(dat is dus een projectie op de basis van de vectorruimte, de frobeniusnorm is denk ik hetzelfde
als spoor(AT,B) ma kijk het nog eens na want je moet da dan wel kunnen uitleggen)
14. Gegeven W={1,e^t,e^-t,t*e^t,-t*e^-t} en V-{1,e^-t,t*e^-t} met f: W->V:f->f"-2f'+f bereken de
matrixvoorstelling en bereken daarna de singulierewaarde ontbinding van de bekomen matrix.
15. Een gegeven kwadriek en een gegeven rechte (met een parameter p in)
Voor welke parameter p snijden deze twee elkaar in 2 reële snijpunten?
Voor welke parameter p ligt het punt (x,y,z) precies in het midden tussen de 2 snijpunten? (Er
waren dan wel coördinaten voor het punt gegeven ipv x y z)
16. Gegeven: een aantal meetpunten en een formule voor de straal van een cirkel.
Gevraagd: bepaal het middelpunt dat het best voldoet volgens de kleinste kwadraten.
17. Een gegeven lineaire afbeelding L: V -> V: f -> - f'' - 2f (geloof ik) met V=Vect{sinx, cosx, xsinx,
xcosx}
Wat zijn de eigenwaarden van deze afbeelding?
Wat is de matrixvoorstelling van deze afbeelding?
Wat is hier de Jordan-vorm van?
Wat zijn de basisvectoren van de eigenruimtes van deze matrix?
Wat zijn dan de overeenkomstige basisvectoren van de lineaire afbeelding L? (De basisvectoren
terug omzetten naar functies.)
18. A={ 1 cosx cos 2x sin x sin 2x } (ofzoiets)
L(A): f -> f" (L associëert met A haar 2de afgeleide)
Inwendig product is gedefiniëerd als:
⌠π f(x)g(x) dx (dus de integraal (van 0 over pi) van de
⌡0 eerste functie x de tweede functie)
B=L({ ... }) (weet niet meer)
Geef de projectie van sin 2x op de basis van B.
19. Je krijgt een kwadriek en een rechte geschreven als (x-..)/.. = (y-..)/b = ..-z
Voor welke parameter b snijden deze twee elkaar in 2 reële snijpunten?
Voor welke parameter b ligt het punt (x,y,z) precies in het midden tussen de 2 snijpunten?
(Dus de rechte herschrijven als x=.., y=.. en dat dan invullen in die kwadriek en zo verder
uitrekenen met discriminant enzo veronderstel ik.)
20. Veelterm functie van alle machten tot vijf of kleiner,
L: F--> R: f--> int(f(x)dx (gaande van nul tot een)
bepaal een basis voor de kern
geef alle oplossingen voor L(f)=2
21. b(x1,x2)(y1,x2)=2*x1*y1 - 3*x2*y1 + x2y2 (was iets anders maar principe blijft het zelfde)
Bepaal:
matrix A geassocieerd met bilineaire vorm tegenover (1,0)(1,1)
matrix B geassocieerd met bilineaire vorm tegenover (2,1)(1,-1)
matrix S (lin transformatie die (1,0)(1,1) omzet naar (2,1)(1,-1))
en controleer B=St*A*S
22. Ge krijgt een kwadratische vergelijking, en de vergelijking van een rechte, maar in de vergelijking
van de rechte zit nog een parameter b, en je moet bepalen voor welke waarde van b dat de
kwadriek en de rechte twee snijpunten hebben
23. Geef een basis voor de 3x3 matrices, bepaal de matrixvoorstelling van de lineaire afbeelding M>MT (transpose), bepaal van die matrix de eigenwaardeontbinding
24. Gegeven een vectorruimten van functies en een inwendig product. bepaal een orthogonale
basis. de lineaire transformatie: f -> f''+f'+f. bepaal de matrixvoorstelling. geef een basis voor de
kern en het beeld.
25. Gegeven de lineaire afbeelding f -> f: X(r,s,t) -> m, waarbij m het volume van het
parallellepipedum opgetrokken door drie vectoren is, en X is een vector.
Bepaal de kern van f en geef de basis.
oplossing: f -> f: X(r,s,t) -> = det [ ... ]
bld f = nul als een rij van de determinant nul is (voor X is nul dus), of twee rijen zijn lineair
afhankelijk.
Dus: ker f = {(u1,u2,u3),(v1,v2,v3)}
26. Gegeven een vectorruimten van functies en een inwendig product. bepaal een orthogonale
basis. de lineaire transformatie: f -> f''+f'+f. bepaal de matrixvoorstelling. geef een basis voor de
kern en het beeld.
27. A is een matrix waarvan de kolommen onderling orthogonaal zijn. bepaal de singuliere waarde
ontbinden (U,V en sigma)
de kolommen spannen een n-parallellepipedum op. bereken het volume
en nog een bewijs .
28. Gegeven: <f,g> = int(f.g.sqrt((1-x)/(1+x)))
bepaal een orthonormale basis voor de ruimte tot graad 5 of zo iets
geef de projectie van X^5 op de ruimte van veeltermen met graad ten hoogste 2
Geef een overzicht van de bewijsvoering die aantoont dat een vectorruimte steeds een basis heeft en
dat het aantal elementen in de basis (de dimensie van de ruimte) onafhankelijk is van de
gekozen basis.
3 vectoren spannen een parallellepipedum op. Geef een formule voor het volume daarvan en bewijs.
(er zijn 2 mogelijkheden, 1 is voldoende)
Een orthonormaal stel vectoren bepalen van een deelruimte van veeltermen van ten hoogste graad
2 + de projectie berekenen van x^7 op een deelruimte van graad ten hoogste 1.met
<f,g>=integraal (-1 tot 1) van f(x) * g(x) / sqrt (1+x²) dx
Gegeven de matrix A. Bepaal A' met rang 1 zodat die zo goed mogelijk A benaderd volgen Fr. norm. +
bereken de 2-norm van A, A', en A-A'
matrix A: 2 rijen, 3 kolommen: rij1: 1 0 0 ; rij 2: 0 1 1
Examen 13/06
1. Bewijs dimensiestelling
2. bespreek QR ontbinding van een willekeurige matrix
3.Een orthonormaal stel vectoren bepalen van een deelruimte van veeltermen van ten hoogste
graad 2 + de projectie berekenen van x^5 op een deelruimte van graad ten hoogste 1.met
<f,g>=integraal (-1 tot 1) van f(x) * g(x) / sqrt (1+x²) dx
4. AX=B=[Matrix][XYZ]^T[ABCD]^T, waarbij Matrix een 4x3 matrix is met 1 variabele(u), die je vrij mag
invullen(behalve 0). Bepaal een basis voor de oplossingsruimte van [ABCD]^T. En dan een basis
voor een oplossingsruimte voor [XYZ]^T in functie van die [ABCD]^T. En dat alles nog is herhalen
voor u=0.
Examen 15/06 08u
Oefeningen:
1. K is een functieruimte: (a+bx)*e^(-2x) + (c+dx)*e^(-x). Je hebt de lineaire afbeelding F -> f''+ alpha
*f'+ beta*f. Bepaal alpha en beta zodat (a+bx)*e^(-2x) in de kern zit van de afbeelding.
Beschouw functieruimte L, waar K een deelruimte van is: u+vx+wx^2 +(a+bx)*e^(-2x) +
(c+dx)*e^(-x). Bepaal de projectie van x^2 op deelruimte K. Met als inwendig product de
integraal van nul naar oneindig van f(x) * g(x). Ik denk dat er nog iets bij was, maar dat weet ik
niet zo goed meer.
2. Zoek het punt (x0,y0,z0) (met de nul kleine nulletjes). Het punt ligt in het vlak V. Het vlak staat
loodrecht op de rechte door (x0,y0,z0) en (1,1,0). De oorspong en het punt (1,0,0) liggen aan de
ene zijde van het vlak. Het punt (1,1,0) ligt aan de andere zijde. De afstand van (1,1,0) tot het
vlak is 1. De afstand van (0,0,0) tot het vlak is 2. De afstand van het vlak tot (1,0,0) is 2. (Het kan
zijn dat de afstand iets anders waren, maar ik denk dat dat alles was).
Theorie:
1. Beschrijf het Gram-Schmidt algoritme en bespreek het verband met de QR ontbinding.
2. Geef en bewijs de formule voor het volume van een parallellepipedum opgespannen door 3
vectoren.
Examen 15/06 15u
Oefeningen:
1. L is lineaire afbeelding in R(3x3): m -> m+transpose(m)
- bepaal basis voor de kern van L
- bepaal de oplossingen voor L(X)=I (3x3 eenheidsmatrix)
2. in de vectorruimte van de veeltermen Rn [x]
is een afbeelding: p -> (p(0), p'(0), p(1))
- bepaal basis voor de kern
- bepaal oplossingen voor (2,1,0)
Theorie:
1. bewijs de regel van Cramer
2. wat zijn de voorwaarden voor een matrix opdat het
de matrixvoorstelling zou zijn van een projectie?