Opgave 3a - de Wageningse Methode

4 × 4 - MAGISCHE VIERKANTEN
Onder een magisch vierkant verstaat men een vierkant met getallen (evenveel rijen als kolommen),
waarbij elke rij, elke kolom en elke diagonaal dezelfde som hebben. Die som heet de magische som.
Bekend is het 3x3-voorbeeld:
2
7
6
9
5
1
4
3
8
Ga na dat de magische som hiervan 15 is.
We gaan zelf 4x4-magische vierkanten maken.
In de eerste rij vullen we willekeurige getallen in, bijvoorbeeld 10, 20, 30 en 40. Hiermee is de magische
som vastgelegd; in dit geval 100. Hieronder zie je hoe de andere rijen kunnen worden ingevuld, zo dat er
een magisch vierkant ontstaat.
10
20
30
40
10
20
30
40
38
32
22
8
22
8
38
32
30
40
10
20
10 kolomsommen en diagonaalsommen zijn
Ga na dat het inderdaad een magisch vierkant is: de rijsommen,
alle tien hetzelfde.
Maar het vierkant is nóg fraaier. De vier getallen linksboven hebben dezelfde magische som. En zo ook
elk van de andere zes 2×2-vierkanten die hieronder met een kring zijn aangegeven.
Opdracht
a. Zoek uit hoe de truc werkt. Dat wil zeggen: als iemand vier getallen in de eerste rij zet, moet jij deze
snel kunnen aanvullen tot een magisch vierkant.
Als dat gelukt is, kun je je vrienden verbazen. Laat iemand de eerste rij invullen en jij maakt er een
magisch vierkant van. De truc is makkelijk te onthouden. Je moet wel even oefenen en de schema’s goed
in je hoofd hebben. Dan kun je de berekeningen snel uitvoeren.
b. Noem de getallen in de eerste rij a, b , c en d.
Wat zijn dan de andere twaalf getallen? Klopt het dat de zeventien sommen alle de magische som
opleveren?
Buiten het boekje bij Roosterdam
1
Toelichting voor de docent
In deze opdracht is het gebruik van variabelen (liefst vier) zinvol om duidelijk te krijgen waarom het
vierkant magisch is. Er wordt alleen opgeteld.
Waar
De opdracht past goed bij het hoofdstuk Roosterdam en is inzetbaar vanaf het midden van de brugklas.
De opdracht kan ook goed als introductie van het begrip variabele dienen en dus al in het begin van de
brugklas worden gebruikt.
Als negatieve getallen nog niet behandeld zijn, mag het getal 1 niet in de eerste rij worden ingevuld.
Magische vierkanten (tovervierkanten) zijn al ter sprake geweest in hoofdstuk 1
Zie ook de lessuggestie 3×3-tovervierkanten.
Duur
30 minuten
Hoe
In tweetallen. Individueel (als huiswerk) kan ook.
Nodig
 Lege vellen met 4×4-vierkanten
 In geval van een ict presentatie het programma Magisch Vierkant, van Texas Instruments.
Verklaring
Noem de getallen die in de eerste rij gekozen worden: a, b, c, d. Vul deze vier variabelen in de tweede,
derde en vierde rij in, maar in een andere volgorde. Zie het linker vierkant hieronder. Dan heb je een
magisch vierkant. Ga maar na dat de rijen, kolommen en diagonalen alle tien dezelfde som geven:
a+b+c+d. Bovendien hebben de zeven 2×2-vierkanten die met een kring waren aangegeven deze
magische som. Maar van dit vierkant ziet men meteen hoe het gemaakt is. Dat wordt verdoezeld door bij
de twaalf getallen iets op te tellen, en wel volgens een constant schema. Dit constante optelschema is
zelf ook een magisch vierkant, en wel met magische som 0.
a
b
c
d
0
0
0
0
a
b
c
d
d
c
b
a
-2
2
2
-2
d2
c+2
b+2
a2
b
a
d
c
2
-2
-2
2
b+2
a2
d2
c+2
c
d
a
b
0
0
0
0
c
d
a
b
+
=
Tel in het resultaat maar de vier getallen in (bijvoorbeeld) de derde kolom op: er komt a+b+c+d uit. Zo
ook de andere zestien sommen; steeds is die a+b+c+d.
Tips en variaties
De getallen in de eerste rij van het voorbeeld (10, 20, 30 en 40)
zijn zo gekozen dat snel vermoed kan worden hoe de getallen in
de tweede, derde en vierde rij met die in de eerste rij
samenhangen. Dat is lastiger als je in de eerste rij bijvoorbeeld 8,
4, 6 en 5 invult; zie hiernaast.
Buiten het boekje bij Roosterdam
8
4
6
5
3
8
6
6
6
6
3
8
6
5
8
4
2
Het ict-programma van TI kan helpen om de truc te ontdekken.
Als volgt.
 Laad het programma Magisch Vierkant.
 Op het scherm krijg je een 4×4-vierkant. Vul in de eerste rij
vier willekeurige getallen in.
 Druk op de knop xxx. De N’Spire berekent de overige twaalf
getallen.
Door in de eerste rij ver uit elkaar liggende keuzes te maken,
wordt de truc zichtbaar. Neem bijvoorbeeld: 100, 1733 , 1111 en
888. Je krijgt dan het magische vierkant hiernaast. Je ziet aan
de getallen hoe ze uit de bovenste rij worden gemaakt.
Waarschijnlijk is 1113 gemaakt door bij de 1111 in de eerste rij 2
op te tellen. Enzovoort.
Ook de eerste rij 0, 0, 0 en 0 is verhelderend.
100
1733 1111 888
1109 890
102
1731
1735 98
886
1113
1111 888
100
1733
0
0
0
0
-2
2
2
-2
2
-2
-2
2
0
0
0
0
Ingewikkelder is de truc te ontdekken bij (maar ook lastiger te onthouden)
8
4
6
5
8
4
6
5
8
3
4
8
2
9
7
5
5
7
6
5
Het verklarend schema is nu
a
b
c
d
0
0
0
0
a
b
c
d
c
d
a
b
2
-2
-4
4
c+2
d-2
a-4
b+4
d
c
b
a
-3
3
3
-3
d-3
c+3
b+3
a-3
b
a
d
c
1
-1
1
-1
b+1
a-1
d+1
c-1
+
=
Extra: Verzin zelf een variatie die – uitgaande van een gegeven eerste rij – altijd een magisch vierkant
oplevert.
Je kunt ook proberen, bij elke eerste rij een
magisch vierkant te maken waarbij alle negen
2×2-vierkanten (hiernaast aangegeven)
dezelfde som hebben, en ook nog steeds de
tien rijen, kolommen en diagonalen.
Dat kan alleen door als constant
schema te nemen, voor een of ander getal x.
Buiten het boekje bij Roosterdam
0
0
0
0
x
-x
x
-x
0
0
0
0
-x
x
-x
x
3
Info
Beroemd is het magische vierkant op de gravure Melancolia
van Albrecht Dürer (1514)
Een ander bekend voorbeeld van een 4×4-magisch vierkant
op de Sagrada Familia, de beroemde kerk in Barcelona van
Antoni Gaudi. de magische som is 33, de leeftijd waarop
Christus aan het kruis stierf.
In hoofdstuk 1 – Kennismaken maakte de leerling op blz. 18 al kennis met magische vierkanten. Op blz.
27 van dat hoofdstuk staat een blokschema om een 5×5-vierkant te maken.
Op Internet is er veel over magische vierkanten te vinden.
Bijvoorbeeld: http://www.digischool.nl/wi/tovervierkanten.html
http://www.fi.uu.nl/toepassingen/03008/toepassing_rekenweb.html
Literatuur:
Magische Vierkanten, van lo shu tot sudoku, Arno van den Essen
Veen Magazines (2006), isbn 9789085710523
Bij gangbare magische vierkanten zijn de in te vullen getallen opeenvolgend. Dat is in deze opdracht niet
het geval. In deze opdracht mag iemand willekeurig een eerste rij geven; die moet dan worden aangevuld
tot een magisch vierkant.
Buiten het boekje bij Roosterdam
4