Grenzen aan de magie van het pentagram

Grenzen aan de magie van het pentagram
De regelmatige stervijfhoek, beter bekend als
pentagram, ontleent zijn magie aan de dubbele
vijfvoudige symmetrie (spiegelsymmetrie en
draaisymmetrie), aan de onderlinge verbondenheid
van de vijf lijnstukken en aan het getal 10 dat
verborgen zit in het aantal contactpunten.
3
De vraag is of de magie nog verder opgevoerd kan
worden met behulp van getallen, zoals dat
bijvoorbeeld gebeurt bij magische vierkanten. Voor
het pentagram gaat het dan om de getallen 1 t/m
10 die gekoppeld worden aan de contactpunten. De
extra magie moet tevoorschijn komen via een
magische som waar elk viertal getallen op een lijn
aan moet voldoen. Het is niet moeilijk om via
redeneren te achterhalen dat de magische som
gelijk is aan 22. Maar pogingen om de getallen in
dat magische keurslijf te dwingen, ontmoeten hardnekkig
weerstand. Afbeelding 1 bevat een poging die bijna
geslaagd is ............ maar net niet helemaal.
 Bij welke lijnen strandt de poging?
4
6
8
5
9
10
7
2
1
Afbeelding 1:
Een van de pogingen om
de magie van het pentagram
op te krikken via getallen.
De hechte verbondenheid van de lijnstukken onderling, lijkt de ‘speelruimte’ voor allerlei
getalcombinaties te beperken. Dat versterkt het vermoeden dat er misschien geen
oplossing is voor de getallenpuzzel. WAT NU?
Speleon kwam via Google en de zoekterm ‘magic star puzzle’ terecht bij de site van
SEED (Schlumberger Excellence in Educational Development) en trof daar een mooie
puzzelredenering aan die wiskundig onwrikbaar leidt tot helderheid in deze kwestie. De
redenering ontwikkelt zich vanuit de combinatie 1 - 10, waarvan aangetoond wordt dat
die combinatie op een van de lijnen niet kan ontbreken. Speleon heeft een variant
uitgewerkt die start met het getal 1, gevolgd door het achterhalen van de mogelijke
combinaties van getallen waarmee de twee 1-lijnen van het pentagram gevuld kunnen
worden.
 De lezer wordt uitgenodigd om op basis van deze informatie een poging te doen om
al redenerend uitsluitsel te bieden, alvorens de betreffende site1 of de speleonvariant
(zie blz. 2) te raadplegen.
1
www.planetseed.com/node/18541. Er zit tweemaal dezelfde rekenfout in het begin van de redenering. Die
rekenfout doet echter niets af aan de kracht van de redenering.
1
Onderzoek van de getallenmagie van het pentagram
Startpunt van het onderzoek is het getal 1 en de twee groepjes
van drie getallen waarmee 1 in lijn ligt en waarmee dat getal de
magische som van 22 moet vormen. Zie afbeelding 2. Het blijkt dat
er slechts enkele combinaties mogelijk zijn waarmee de 1lijnen gevuld kunnen worden. Zie de tabel hieronder.
Combinatie
eerste 1-lijn
Afbeelding 2:
Ruimtelijke variant
van de twee 1-lijnen
1
tweede 1-lijn restgetallen
A
1 – 10 – 9 – 2 1 – 8 – 7 – 6
5–4–3
B
1 – 10 – 8 – 3 1 – 9 – 7 – 5
6–4-2
C
1 – 10 – 6 – 5 1 – 9 – 8 – 4
7–3–2
●
●
●
●
●
●
Restgetallen blijken pestgetallen.
Elke combinatie van 2 x vier getallen waarbij 1 betrokken is,
leidt tot drie restgetallen. Die horen twee aan twee bij
dezelfde lijn. Voor de A-combinatie is een mogelijke
plaatsing weergegeven in afbeelding 3. De 10 is geplaatst
tussen de restgetallen 5 en 4 en heeft het getal 3
nodig om zijn tweede lijn magisch te maken. Maar dat
getal staat buitenspel! Als het getal 10 zich op andere
plaatsen bevindt, blijkt dat de restgetallen onder één
hoedje spelen en de buitenspelsituatie in stand
houden. De magische som van 22 blijft buiten bereik
van de tweede 10-lijn. In de volgende tabel is dat
5
getalsmatig samengevat.
Afbeelding 3:
De A-combinatie,
gedeeltelijk in beeld
1
●
restgetallen: 5 – 4 – 3
●
10
combinatie
benodigde som
niet inzetbaar
5–4
5–3
4–3
13
14
15
3
4
5
3
●
4
●
●
Conclusie: het pentagram moet het stellen zonder getallenmagie.
Enkele opmerkingen over de onderzoeksaanpak:
 Het onderzoek is gestart vanuit 1 omdat het combinatorische uitvlooiwerk dan
betrekkelijk eenvoudig is. Het blijkt dat de tweede lijn van samen-elf-maatje 10 niet
magisch kan worden. Waarschijnlijk kan deze onderzoeksaanpak ook gevolgd worden
met de andere samen-elf koppels zoals 5 - 6. Het lijkt er wel op dat het rekenwerk
dan wat minder makkelijk is.
 Voor de onderliggende redeneringen maakt het niet uit waar de twee 1-lijnen, het
getal 10 en de restgetallen gepositioneerd zijn, zolang de volgende
(vanzelfsprekende) spelregels in acht worden genomen:
o het getal 10 is gepositioneerd bij een contactpunt dat zich op een 1-lijn bevindt;
o de restgetallen zijn gepositioneerd bij de drie contactpunten die niet tot een van
de 1-lijnen behoren.
2