Logica Les 2 Bewijzen

Logica
Les 2
Bewijzen
(Deze les sluit aan bij les 2 van de Syllabus Logica WD_online)
Propositie
• Een propositie is een wiskundige bewering.
• Een propositie is waar of niet waar (uitgesloten derde).
• Een bewezen propositie is een stelling.
• Een onbewezen propositie is een vermoeden.
Goldbach: elk even getal groter dan 2 is te schrijven
als de som van twee priemgetallen.
• Een tegenvoorbeeld bewijst dat de propositie niet waar is.
Stelling:
Het kwadraat van een negatief getal is een positief getal.
Stelling:
Het kwadraat van een negatief getal is een positief getal
Bewijs
Stel n is een negatief getal.
Dan bestaat er een positief getal p zodat n = −p.
Dan is:
n2 = (−p)2 = (−1)2 ⋅ (p)2 = p2 > 0.
Stelling:
Het kwadraat van een negatief getal is een positief getal
Analyse van het bewijs
Twee proposities P en Q
P: Een getal n is negatief.
Q: Het kwadraat van n is positief.
Het bewijs laat zien dat:
als w(P) =1, dan ook w(Q) = 1.
Stelling:
Het kwadraat van een negatief getal is een positief getal.
Met waarheidstabel:
P
Q
P⇒Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Dus w(P ⇒ Q) = 1
De omgekeerde stelling:
Als het kwadraat van een getal positief is, dan is het getal negatief.
Bewijs met een tegenvoorbeeld
Neem Q is: 22 > 0 en P is: 2 < 0
Maar w(Q) = 1 en w(P) = 0 (want 2 > 0).
De omgekeerde stelling: als het kwadraat van een getal positief is,
dan is het getal negatief.
Bewijs met een tegenvoorbeeld
Neem Q is: 22 > 0 en P is: 2 < 0
Maar w(Q) = 1 en w(P) = 0 (want 2 > 0).
In de tabel:
Q
P
Q⇒P
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Dus w(Q ⇒ P) = 0
Contradictie
Voorbeeld
“Ik ben groter dan 2 meter en ik ben kleiner dan 2 meter”
De vorm is:
𝑃𝑃 ∧ ¬𝑃𝑃
Contradictie
Voorbeeld
“Ik ben groter dan 2 meter en ik ben kleiner dan 2 meter”
De vorm is:
Met tabel:
𝑃𝑃
0
1
𝑃𝑃 ∧ ¬𝑃𝑃
¬𝑃𝑃
𝑃𝑃 ∧ ¬𝑃𝑃
0
0
1
w(𝑃𝑃 ∧ ¬𝑃𝑃) = 0 voor elke waarde van P.
0
Tautologie
Voorbeeld
“Ik ben geboren in Nederland of ik ben in het buitenland geboren”
De vorm is:
𝑃𝑃 ∨ ¬𝑃𝑃
Tautologie
Voorbeeld
“Ik ben geboren in Nederland of ik ben in het buitenland geboren”
De vorm van deze propositie is: 𝑃𝑃 ∨ ¬𝑃𝑃
Met tabel:
𝑃𝑃
¬𝑃𝑃
𝑃𝑃 ∨ ¬𝑃𝑃
1
0
1
0
1
w(𝑃𝑃 ∨ ¬𝑃𝑃) = 1 voor elke waarde van P.
1
Tautologie
Algemeen
Een propositie Q(P) is afhankelijk van een propositie P.
Q is een tautologie als w(Q(P)) = 1 voor elke waarde van P.
𝑃𝑃
¬𝑃𝑃
𝑃𝑃 ∨ ¬𝑃𝑃
1
0
1
0
1
1
Tautologie
Toon met een waarheidstabel aan dat ¬ ¬𝑃𝑃 ⇔ 𝑃𝑃 een tautologie is.
Tautologie
Toon met een waarheidstabel aan dat ¬ ¬𝑃𝑃 ⇔ 𝑃𝑃 een tautologie is.
𝑃𝑃
¬𝑃𝑃
¬(¬𝑃𝑃)
1
0
1
0
1
0
¬(¬𝑃𝑃) ⇔P
1
1
Bewijs uit het ongerijmde
Bij het bewijs uit het ongerijmde bewijs je dat ¬ ¬𝑃𝑃 waar is
en dat dus P waar is.
Voorbeeld
Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn.
P is: Er zijn oneindig veel priemgetallen.
¬P is: Het aantal priemgetallen is eindig.
Je kunt bewijzen dat¬P niet waar is, dus w(¬P) = 0 (zie syllabus).
Dan is w(P) = 1.
Contrapositie (omkering)
(𝑃𝑃 ⇒ 𝑄𝑄) ⇔ (¬𝑄𝑄 ⇒ ¬𝑃𝑃)
Voorbeeld
Als het regent, is de weg nat.
Contrapositie:
Als de weg droog is, regent het niet.
Contrapositie
(𝑃𝑃 ⇒ 𝑄𝑄) ⇔ (¬𝑄𝑄 ⇒ ¬𝑃𝑃)
Bewijs
P
Q
P⇒Q
¬P ¬Q
¬Q ⇒ ¬P
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
𝑃𝑃 ⇒ 𝑄𝑄 en ¬𝑄𝑄 ⇒ ¬𝑃𝑃 hebben dezelfde waarheidstabel en
zijn dus equivalent.
Oefenen
Lezen: Logica les 2
Maken: opgaven 2.1, 2.2, 2.3 en 2.4
Huiswerk
Inleveren: 2.2 en 2.4