Logisch redeneren

Logischredeneren
We vertrekken vanuit grondbegrippen en axioma’s om de logica op te bouwen Historischefiguren
‐
‐
‐
‐
August De Morgan(19de eeuw, Engeland): grondlegger van de formele logica. George Boole( 19de eeuw, Ierland): grondlegger formele logica. Toont aan dat de formele logica aan de mathematische rekenwijze kan worden onderworpen. Aristoteles(300v.c.): bewijst dat er een systematiek in bewijzen te vinden is. Kurt Gödel(20ste eeuw): hij beweerde dat een consistent axiomastelsel voor een groot deelgebied van de wiskunde steeds onvolledig is. Begrippen
Axioma’sofgrondbegrippen axioma’s of grondbegrippen zijn stellingen die niet bewezen worden maar aanvaart worden als waar. Verschillende samen horende axioma’s vormen een axiomastelsel. Binnen zo één axiomastelsel mogen er geen twee axioma’s strijdend zijn. Men ging opzoek naar een consistent en volledig stelsel, maar Kurt Gödel beweerde dat dit niet kon omdat een consistent axiomastelsel steeds voor een groot deelgebied van de wiskunde onvolledig is. Gödel gaat dan ook een onderscheid maken tussen “de bewering is waar” en “de bewering is bewijsbaar”. Grondbegrippen
Een grondbegrip is een begrip dat geen definitie heeft. Deze worden verbonden door uitspraken, axioma’s. grondbegrippen zijn nodig om andere begrippen te kunnen definiëren. Propositielogica
Grondbegrippenenaxioma’svandepropositielogica
Een propositie is een zin die aangeeft dat wat beweerd wordt waar of niet waar is. Degrondbegrippenvandeformelelogica
Uitspraak: een uitspraak noteren we met een kleine letter (p). Van deze uitspraak kan dat gezegd worden of ze waar (1) of vals (0) is. uitdrukkingen waarin gebruik wordt gemaakt van een variabele is geen uitspraak. Negatie: niet(~) Conjunctie: en (Λ) Disjunctie: of (v) Implicatie: als…dan (⇒) Equivalentie: als en slechts als () Deaxioma’svandeformelelogica
1. Axioma van de uitgesloten derde en van niet‐ tegenstrijdigheid een uitspraak is ofwel waar, ofwel niet waar, maar niet beide tegelijk. 2. Axioma van de negatie de negatie van een uitspraak p, is een uitspraak (~p) 3. Axioma van conjunctie De conjunctie van een uitspraak p en q is uitspraak p en q die waar als p en q waar zijn, in andere gevallen is de uitspraak vals. 4. Axioma van de disjunctie de disjunctie van een uitspraak p en q is een uitspraak p OF q die vals is al p en q vals zijn. In alle andere gevallen is de uitspraak waar. 5. Axioma van de implicatie de implicatie van 2 uitspraken p en q is een uitspraak als p… dan q... die vals is al p waar is en q vals. In alles andere gevallen is de uitspraak waar. 6. Axioma van de equivalentie  de equivalentie van 2 uitspraken p en q is een uitspraak p als en slechts als q die waar is als p en q beiden waar zijn of beiden vals. De twee andere uitspraken zijn vals. Dewaarheidstafels
Voor n uitspraken zijn er 2 mogelijkheden. Volgordevandelogischebewerkingen



~ komt voor Λ en V Λ en V komen voor ⇒ en  De andere operaties worden uitgevoerd van links naar rechts. Algemeneinfo (te lezen) ‐
‐
We gebruiken de implicatiepijl niet in onze schrijftaal. “of” wordt in de wiskunde in haar inclusieve betekenis gebruikt. “of” betekent : p / q/p en q. ‐
p=> q ≠ q => . we noemen de uitspraak voor de implicatie het antecedent en de uitspraak na de implicatie de consequens. Dewaarheidswaardevansamengesteldeuitspraken
‐
‐
contradictie : alle samengestelde uitspraken zijn vals tautologie: alle samengestelde uitspraken zijn waar. Logischewettenoftautologiën
Te leren pag. 15‐16!!! Elektronischeschakels (lezen pag. 17‐19) Predicatenlogica
Uitspraakvormen
Een uitspraakvorm of predikaat is een uitdrukking met veranderlijke(n) die een uitspraak wordt als men de verandrlijke(n) vervangt door constante(n). We schrijven een uitspraakvorm afhankelijk van x en noteren p(x). Dereferentieverzameling
De veranderlijken worden vervangen door constanten die uit een welbepaalde verzameling gekozen worden. Deze verzameling noemen we de referentieverzameling. Waarheidsverzameling
De waarheidsverzameling is de verzameling van all constanten uit de referentieverzameling waarvoor de waarheidsvorm of het predikaat waar is. Samengesteldeuitspraken
Met behulp van uitspraakvormen in eenzelfde referentieverzameling kunnen nieuwe uitspraakvormen gevormd worden door gebruik te maken van logische connectoren. Vb.: p(x) Λ q(x) Gekwantificeerdeuitspraken
Gekwantificeerde uitspraken zijn uitspraakvormen van de vorm p(x) in de referentieverzameling R. Deuniverselekwantor
∀ x ∈R geldt: p(x) Existentiëlekwantorofbestaanskwantor
Er bestaat ten minste één x van R waarvoor p(x) geldt. Uniciteitskwantor
Er bestaat juist één element van R waarvoor p(x) geldt. Meervoudigegekwanteerdeuitspraken
Voor alle elementen x van X bestaat er een y uit element van Y waarvoor geldt: p(x,y). ! 2 ongelijknamige kwantoren zijn niet verwisselbaar! Negatievaneengekwanteerdeuitspraak

“∀elementen”  “∃1 element waarvoor … niet geldt”. Men bekomt de negatie van een gekwanteerde uitspraak door: 1. De alkwantor te vervangen door de bestaanskwantor of omgekeerd. 2. De uitspraakvorm te vervangen door zijn negatie. Verklaringen
Lees pag. 28‐29 Conjunctiesendisjunctievangekwanteerdeuitspraken
Zie pag. 29‐30 Wiskundigetheorie
Begrippenenstellingen
Wiskunde is een geheel van theorieën (algebra, meetkunde, analyse,…) Grondbegrippen zijn primitieve begrippen die niet gedefinieerd worden. Ware uitspraken die een verband uitdrukken tussen begrippen van een theorie noemen we eigenschappen of stellingen. Grondstellingen of axioma’s zijn primitieve stellingen die niet meer bewezen kunnen worden. Definiëren
Een definitie is een uitspraak over dat begrip equivalent verklaren met een uitspraak of reeds bekende begrippen van de theorie. Een definitie is wordt voor een begrip dat voor het eerst in een theorie ondubbelzinnig omschreven wordt. Bewijzen
Een eigenschap bewijzen is haar waarheid aantonen door logische wetten toe te passen op de axioma’s en op de op dat ogenblik gekende definities en bewezen eigenschappen. Soorteneigenschappen
Een eigenschap is een uitspraak die te schrijven is als een implicatie. Een kenmerk of criterium is een eigenschap die als equivalent geschreven kan worden. Soortenbewijzen
‐
‐
‐
‐
‐
Rechtstreeks bewijs Bewijs door contrapositie Bewijs door inductie Bewijs uit het ongerijmde Bewijs van een existentiestelling Bewijsuithetongerijmde
Het bewijs uit het ongerijmde steunt op de logische wet van de contrapositie en op het axioma van de uitgesloten derde. We vertrekken van de negatie van wat bewezen moet worden. Eisenwaaraaneenaxiomastelselmoetvoldoen


Een axiomastelsel mag niet contradictorisch zijn. De verschillende axioma’s mogen niet tegenstrijdig zijn. De axioma’s moet onafhankelijk zijn van elkaar. Logicainhetwiskundeonderwijs
Lezen pag. 37‐38 Deverzamelingenleer
Hetbegripverzameling
Een verzameling is een collectie van goed onderscheiden objecten die voldoen aan een bepaalde eigenschap. Hieruit volgt dat de elementen van een verzameling onderling verschillen en dat de volgorde van de elementen geen belang heeft. George Cantor (einde 19de eeuw) is de grondlegger van de verzamelingenleer. Het begrip verzameling werd door B. Russell is in twijfel getrokken door de paradox van de barbier te formuleren: R is dan en slechts dan een element van R als R geen element is van R. Klasse
Een klasse is een primitief begrip dat met het intuïtieve idee “collectie van objecten correspondeert. Axioma’s bepalen het gedrag van klassen. Verzameling
Een verzameling wordt per definitie een klasse die zelf element is van een andere klasse en geen element is van zichzelf. De verzameling is een bijzondere klasse. In de paradox van Russell is R een klasse en geen verzameling. Algemeenhedenoververzamelingen
Elementen van een verzameling worden vastgelegd door: ‐
‐
Opsomming van deze elementen Omschrijving van deze elementen Voorstellen van een verzameling: ‐
Aan de hand van een Venndiagram . (= een gesloten kromme waarbinnen de elementen met een punt worden voorgesteld) (het Venndiagram werd in in 1880 door J. Venn geïntroduceerd). Notaties
1. T={x І x is een letter van het woord “appel” } ieder element wordt slechts éénmaal gebruikt in de voorstelling. T = {a, p, e, l} 2. Gehele getallen = {0, ‐1, 1, ‐2, 2, …} de verzameling van de gehele getallen is een oneindige verzameling. 3. Referentieverzameling R van een uitspraak wordt soms voorgesteld voor een rechthoek. 4. Een singleton is een verzameling met slechts 1 element. A = {4} 5. De ledige verzameling kan op veel manieren worden voorgesteld. Ø = { } , Ø = {x is een natuurlijk getal l 2 < x < 3 } 6. Een paar is een verzameling met juist 2 elementen. P = {4,9} Relatiestussenverzameling
Degelijkeverzameling
‐
‐
‐
Twee verzamelingen zijn gelijk als en slechts als ze de zelfde elementen hebben. (A = B )  (∀ x : x Є A  x Є B )  wordt een “equivalentieteken genoemd. Dedeelverzamelingvaneenverzameling
‐
‐
‐
‐
Een deelverzameling B is een deel van verzameling 4 als en slechts als elk element van B een element van A is. (B ⊂ A)  ( ∀ x : x Є B => x Є A ) => wordt een “ implicatieteken” genoemd. B ⊂A “ B is een echte deelverzameling van A. (B ≠ A)” Dereferentieverzameling
De referentie verzameling is de verzameling van alle objecten die men bestudeert. Deze verzameling wordt vaak niet expliciet genoemd. R . Criteriumvangelijkeverzamelingen
Kenmerk : A
B ⇔ A ⊂ BΛB ⊂ A Bewijs pag. 49 Delenverzamelingvaneenverzameling
Een delenverzameling van een verzameling A is de verzameling van alle delen van A. D A ( de delenverzameling van A) in symbolen: D A = {X I X ⊂ A} voorbeeld: A = {1,2} , D A= { Ø, {1} , {2} , {1,2} } eigenschap1
B ⊂ A ⇔ DA ⊂ DB In woorden: het bewijs van een equivalentie kan gebeuren in 2 delen. Bewijs pag.51‐52 Eigenschap2
Een eindige verzameling met n elementen (n behoort tot de verzameling van de natuurlijke getallen) heeft deelverzamelingen (bewijs door inductie pag. 53) Debegrippenpaarenkoppel
*Een paar is een verzameling van 2 elementen. A = {4,9}={9,4} *Een koppel heeft een oorsprong en een uiteinde en is een geordend paar. A = (5,9)≠(9,5) Een identiek koppel is een koppel met zelfde oorsprong en uiteinde. Een invers koppel is een koppel waarbij oorsprong en uiteinde zijn verwisseld a, b b, a Opeenvolgende koppels zijn koppel waarvan het uiteinde van het ene koppel de oorsprong is van het volgende koppel. (a,b) en (b,c) zijn opeenvolgende koppels. Samen gestelde koppels zijn koppels die de oorsprong van het ene koppel bevatten en het uiteinde van het opeenvolgend koppel. (a,c) is een samengesteld koppel van (a,b) en (b,c) bewerkingenvanverzamelingen
hetcomplementvaneenverzamelingAt.o.v.eenreferentieverzamelingR
het complement van een verzameling A t.o.v. een referentieverzameling R is de verzameling van alle elementen van R die niet tot A behoren. R A Co(A) Voorbeeld: P is de verzameling van alle priemgetallen. Het complement van P zijn alle natuurlijke getallen die geen priemgetallen zijn. Dedoorsnedevaneenverzameling
De doorsnede van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren. A ∩ B Deunievanverzamelingen
De unie van A en B is de verzameling van elementen die tot A of tot B behoren. A ∪ B Verbandmetdelogica
De logische connectoren zijn terug te vinden in de 3 bovenstaande bewerkingen. We kunnen alle uitspraken uit de verzamelingenleer terugvoeren naar logica‐ uitdrukkingen. DeaftrekkingvanAenB
Het verschil van de verzameling A en B is de verzameling van alle elementen die tot A behoren en niet tot B behoren. A \B HetsymmetrischeverschilvanAenB
Het symmetrische verschil van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren, maar niet tot beiden. A∆B
A ∪ B \ A ∩ B HetproductvanAenB
Het product van A en B is de verzameling van alle koppels waarvan het beginelement tot A behoort en het eindelement tot B behoort. A X B = {(x,y) І x Є A Λ y Є B} Als A n elementen heeft en B m elementen heeft, van bevat A X B n∙m elementen. Eigenschappenvandebewerkingenenderelatiesmetverzamelingen
Leren pag. 62‐63 Partitievaneenverzameling
Een partitie van A is een verzameling van niet‐ledige deelverzamelingen van A met als eigenschap dat ieder element van A tot juist één van deze deelverzamelingen behoort. Voorbeeld: de restklassen. een partitie van = { 5 , 5 +1, 5 +2, 5 +3, 5 +4} = O 1 2 3 4 ‐
‐
De unie van al deze delen van de partitie is de verzameling zelf. Twee elementen van een partitie zijn steeds disjunct. (= 2 delen zijn gescheiden) Algemeenhedenoverrelaties
Een relatie r van een verzameling A naar een verzameling B is een verzameling van koppels met beginelement in A en eindelement in B. Een relatie is dus een deel van de productverzameling A X B r ⊂ A
B Relaties kunnen worden voorgesteld in een Venndiagram, een pijlenvoorstelling of een roostervoorstelling. Een relatie r in A wordt bepaald door opsomming van de koppels of door omschrijving van de koppels. Deze omschrijving is een verband tussen begin‐ en eindelement, het relatievoorschrift genoemd. Voorbeelden: is een veelvoud van, is gelijk aan, is kleiner dan,… Het relatievoorschrift van een relatie r in A² is een uitspraakvorm in 2 variabelen p(x,y). x is hierin de onafhankelijk veranderlijke en y is de afhankelijk veranderlijke.  r
x, y ∈ A waarvoorgeldtp x, y r is de identieke permutatie, dit is de verzameling van alle koppels waarvan oorsprong en uiteinde gelijk zijn. Relatiesineenverzameling
Sorteren
Een equivalentierelatie is een relatie die ervoor zorgt dat de elementen gesorteerd worden. elementen van eenzelfde soort horen samen in één deelverzameling of equivalentieklasse. Equivalentierelatie
Een equivalentierelatie r in A is een relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is in A. Reflexiviteit
R is reflexief in A  ∀aϵA: a, a ϵA Alle identieke koppels uit A² behoren tot de verzameling Symmetrie
r is symmetrisch in A  ∀a, bϵA: a, b ϵr ⇒ b, a ϵr Als een koppel (a,b) tot de relatie behoort dan behoort het omgekeerde koppel ook tot de relatie. Transitiviteit
r is transitief in A ∀a, b, cϵA: a, b ϵr⋀ b, c ϵr ⇒ a, c ϵr als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot de relatie. Als aϵA en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling van alle elementen die met a in relatie staan. Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling. De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A. Orderelatie
Een orderelatie r in A is een relatie die reflexief, anti‐ symmetrisch en transitief is. Reflexiviteit
R is reflexief in A  ∀aϵA: a, a ϵA Alle identieke koppels uit A² behoren tot de verzameling Anti‐symmetrisch
r is anti‐ symmetrisch in A  ∀a, bϵA: a, b ϵr⋀ b, a ϵr ⇒ a
b identieke koppels mogen wel voorkomen. Transitiviteit
r is transitief in A ∀a, b, cϵA: a, b ϵr⋀ b, c ϵr ⇒ a, c ϵr als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot de relatie. Als aϵA en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling van alle elementen die met a in relatie staan. Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling. De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A. Strikteorde
Een strikte orde r in A is een relatie die anti‐ reflexief, anti‐ symmetrisch en transitief is in A. r is antireflexief in A  ∀aϵA: a, a ∉ r Alle identieke koppels behoren niet tot de relatie. Anti‐symmetrisch
r is anti‐ symmetrisch in A  ∀a, bϵA: a, b ϵr⋀ b, a ϵr ⇒ a
b identieke koppels mogen wel voorkomen. Transitiviteit
r is transitief in A ∀a, b, cϵA: a, b ϵr⋀ b, c ϵr ⇒ a, c ϵr als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot de relatie. Als aϵA en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling van alle elementen die met a in relatie staan. Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling. De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A. Geordendeverzamelingen
Een geordende verzameling A is een verzameling waarin een orderelatie is gedefinieerd. A is een geordende relatie A,≼ Een geordende verzameling A,≼ is totaal geordend als en slechts als ∀a, bϵA: a ≼ bofb ≼ a. Een geordende verzameling A,≼ is partieel geordend als en slechts als ze niet totaal geordend is. Maximum,minimumvaneengeordendeverzameling
Als D een niet‐ ledig deel is van V,≼ , dan definiëren we de begrippen maximum en minimum van D we noteren maxD en minD. m = minD  mϵD ⋀ ∀ xϵD:m ≼ x M = maxD  MϵD ⋀ ∀ xϵD:x ≼ M Een deel van een geordende verzameling heft hoogstens één minimum (maximum). Elke niet ledige eindige verzameling van een totaal geordende verzameling heeft een minimum en een maximum. Welgeordendeverzameling
Een welgeordende verzameling is een geordende verzameling waarvan elke niet‐ ledige deelverzameling een minimum heeft. Bovenenondergrens,begrensdeverzameling
Als D een niet‐ ledig deel is van een geordende verzameling V,≼ , dan definiëren: g is de ondergrens van D  gϵA ∧ ∀xϵD ∶g ≼ x G is de bovengrens van D GϵA ∧ ∀xϵD ∶x ≼ G D is begrensd  D naar boven en onder begrensd is. D is naar onder begrensd  D een ondergrens bezit. Supremumeninfimum
Het supremum van D (supD) is het minimum van de verzameling van de bovengrenzen van D. Het infimum van D (infD) is het maximum van de verzameling van de ondergrenzen van D. Functiestudie
Functies
Een relatie van A naar B is een functie als en slechts als elk element van A hoogstens éénmaal voorkomt als eerste element van een koppel. iseenfunctievanAnaarB ⇔ ∀xϵA, ∀y , y ∈ B ∶
x, y
∈ ⋀ x, y
∈
⇒y
y Benaming,voorstelling,notatie
x, y ∈ of y = x Het domein van een functie is de verzameling van alle elementen uit A die voorkomen als eerste element van een koppel. iseenfunctievanAnaarB ⇔ ∀xϵA, ∃! y ∈ B ∶ y x x isdefunctievoorwaardevan inx ‐
‐
‐
‐
Functievoorschrift
*Het expliciet voorschrift (voorbeeld: y= X²‐5) de afhankelijke veranderlijke staat in één lid van de vergelijking en de vergelijking is opgelost naar de afhankelijke veranderlijke. *het impliciet voorschrift (voorbeeld: x²+y² = 16) dit voorschrift kan meestal omgevormd worden naar een expliciet voorschrift. *meervoudig voorschrift hierbij worden meerdere vergelijkingen weergegeven over verschillende domeinen. Deafbeelding
Een functie van A naar B is een afbeelding  elk element van A juist eenmaal voorkomt als eerste element van een koppel. Een functie is een afbeelding  dom = A Een transformatie is een afbeelding van A in A. Bij iedere functie hoort een afbeelding die we bekomen door de functie te beperken tot het domein van de functie. Eeninjectieofinjectieveafbeelding
 dom Aen∀x , x ϵA ∶ x
x
⇒x
x Er komt hoogstens 1 pijl uit A aan in elk element van B. Eensurjectieofsurjectieveafbeelding
 dom Aen∀yϵB ∶ ∃xϵA ∶ y
x Er komt minstens 1 pijl uit A aan in elk element van B. Eenbijectieofbijectieveafbeelding
 dom Aen∀yϵB ∶ ∃! xϵA ∶ y
x Er komt juist 1 pijl uit A in elk element uit B. de verzameling van de afbeeldingen van A in B noteren we metB
. HetaantalafbeeldingenvanAinB.
Het aantal afbeeldingen van A in B van een verzameling met n elementen in een verzameling met m elementen = HetaantalpermutatiesvanA
Het aantal permutaties van een verzameling A met n elementen = n! Een permutatie is een afbeelding waarbij elk element van A juist 1 keer op een element uit A wordt afgebeeld. (= bijectie) (notatie van permutaties lezen pag.87 en cursusbladen). Bewerkingenmetafbeeldingen
Deinverserelatievaneenfunctie
Een inverse relatie van een functie is de verzameling van alle inverse koppels van . de inverse relatie van desamenstellingvanfuncties
de samengestelde functie van twee functies f en g is de verzameling van alle samengestelde koppels die kunnen gevormd worden met de opeenvolgende koppels uit f en g. we schrijven g ∘ f of lezen g na f optellingenvermenigvuldigingvanafbeeldingen
lezen pag. 89‐90 Rijen
In verzamelingen heeft de volgorde van de elementen geen belang. Willen we echter een bepaalde volgorde aan de elementen geven, kunnen we dit doen door aan elk element een natuurlijk getal te koppelen. Voorbeeld: A= {z,r,d,}  {(1,r) , (2,z) , (3,d)} = een afbeelding van {1,2,3} in A Een element van een rij heet een term. De algemene term van een rij schrijven we als a Uitbreidingtothetbegripmatrix
Voorbeeld A= {((1,1),r) , ((1,2), a) , ((2,1), q) , ((2,2), p) } r
Dit is een afbeelding van {1,2} X{1,2} in A  q
a
p Derekenkundigerij
En reële getallenrij is een rekenkundige rij  elke term uit de voorgaande term wordt afgeleid door hetzelfde reël getal op te tellen. Dit reëel getal heet het verschil van de rekenkundige rij. a
a
a
a
v n
1 v Som van de eerste n termen: S
a
a
2
. n Eenmeetkundigerij
Een reële getallenrij is een meetkundige rij  elke term uit de voorgaande term wordt afgeleid door met hetzelfde reëel getal, verschillend van 0, te vermenigvuldigen. Dit reëel getal heet de reden van een meetkundige rij. a
a
∙ q a
a ∙q
Som van de eerste n termen: S
a
q
q
1
. nmetq
1
1 Kardinaalgetallenennatuurlijke
getallen
Gelijkmachtigeverzamelingen
Om na te gaan of twee verzameling een zelfde aantal elementen hebben kunnen we de elementen gaan tellen. We kunnen de elementen van de twee verzamelingen ook gaan koppelen. Als we een bijectie uitkomen hebben we een verzameling met evenveel elementen. Twee verzamelingen met evenveel elementen zijn gelijkmachtig of equipotent.  Twee verzamelingen zijn equipotent of gelijkmachtig  er een bijectie bestaat tussen ene verzameling en de andere. Derelatie“gelijkmachtigmet”bijverzamelingen
‐
Iedere verzameling is gelijkmachtig met zichzelf. De bijectie is hier bijvoorbeeld een identieke permutatie. De inverse relatie van een bijectie is een bijectie De samenstelling van 2 bijecties is een bijectie ‐
‐
Kardinaalgetalvaneenverzameling
Twee verzamelingen hebben hetzelfde kardinaalgetal  ze gelijkmachtig zijn. DeparadoxvanGalilei
Bij het koppelen van de verzameling van de natuurlijke getallen aan de verzameling van de kwadraten van de natuurlijke getallen is er een bijectie hoewel er bij de verzameling van de kwadraten elementen ontbreken. Hier spreken we van een paradox. Deoneindigeverzameling
Een oneindige verzameling is een verzameling die equipotent is met een echt deel van zichzelf. Denatuurlijkegetallen
Een kardinaalgetal van een verzameling is een natuurlijk getal als en slechts als de verzameling eindig is. # ⊄
(#
aftelbaarheid) Aftelbaarheid
#
we spreken van een transfiniet kardinaalgetal. Hetvreemdevanoneindig
Het Hilberthotel Aftelbareoneindigeverzamelingen
Een verzameling is aftelbaar als en slechts als er een bijectie bestaat van een deel van op die verzameling. Orderelatiesenordeindekardinaalgetallen
#A
#B ⇔ ∃C ⊂ B ∶ #A
#C Rekenenmetnatuurlijkegetallen
Voorstellingenvannatuurlijkegetallen
‐
‐
‐
Driehoeksgetallen Vierkantsgetallen … Talstelsels
‐
‐
‐
‐
Tiendelig talstelsel Binair systeem 16‐delig talstelsel … Bewerkingenenrelatiesmetnatuurlijkegetallen
(we werken met eindige verzamelingen) Deoptelling
Als a = #A en b = #B en A∩ B = ϕ dan a+b = # A# ∪ B Eigenschappen: ‐
‐
‐
‐
‐
de optelling in is gedefinieerd voor elk koppel natuurlijke getallen. De optelling is associatief (haakjes zijn verplaatsbaar) De optelling is commutatief ( de termen mogen van plaats veranderd worden) 0 is het neutraal element De vereenvoudigingswet geldt Deaftrekking
Is kleiner dan of gelijk aan in #A
Uit #B ⇔ ∃C ⊂ B ∶ #A
#C volgt: #b
a ⇔ ∃! c ∈
∶c
b
a We definiëren de aftrekking: a
b
c⇔c
b
a De aftrekking is de inverse bewerking van de optelling. Eigenschappen: ‐
‐
‐
‐
als b > a dan bestaat a – b niet in de aftrekking is niet associatief in ∃a, b, c ∈ : a
de aftrekking is niet commutatief in ∃a, b ∈ : a
er bestaat geen neutraal element voor de aftrekking b
c a
b
b b a c devermenigvuldiging
als a
#Aenb
#B, dandefiniërenwehetproductvanaenbals
# # eigenschappen: ‐
‐
‐
‐
‐
‐
‐
de vermenigvuldiging in is gedefinieerd voor elk koppel natuurlijke getallen. ∀a, bϵ : abϵ de vermenigvuldiging is commutatief in ∀a, bϵ : ab ba de vermenigvuldiging is associatief in N
∀a, b, cϵ : abc a bc 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in . (1 is het eenheidselement) ∀aϵ : 1 ∙ a a a ∙ 1 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in ∀aϵ : a ∙ 0 0 0 ∙ a De vereenvoudigingswet geldt: ac bcmetc 0 ⇒ a b De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in ∀a, b, cϵ : a b c
ab acen b c a ba ca Dedeling
Is een deler van in . We noteren b I a en we lezen b is een deler van a of a is deelbaar door b of a is een veelvoud van b. biseendelervana ⇔ ∃q ∈ : a
bq eigenschappen: ‐
‐
‐
‐
1 is een deler van elk natuurlijk getal Elk natuurlijk getal is een deler van 0 Elk natuurlijk getal is een deler van zichzelf … We definiëren: ∶
⇔
De deling is de inverse bewerking van de vermenigvuldiging. Opmerkingen: ‐
‐
‐
De deling is niet associatief de deling is niet commutatief er bestaat geen neutraal element bij de deling deelbaarheidskenmerken
‐
‐
‐
‐
een getal is deelbaar door 10 als en slechts als het laatste cijfer een 0 is. Een getal is deelbaar door 2 als en slechts als het laatste cijfer een 2,4,6,8 of 0 is. Een getal is deelbaar door 5 als en slechts als het laatste cijfer een 0 of 5 is. Lezen pag. 15‐ 18 Deelbaarheid door 11 112957 is deelbaar door 11 want: (112957) (7+9+1) – (1+2+5)=11‐voud 17 – 8 =11 Deelbaregetallen
Een deler van een getal a is een echte deler als en slechts als de deler verschillend is van 1 en a. Een getal heet deelbaar getal als en slechts al het echte delers heeft. Priemgetallen
Een getal p is een priemgetal als en slechts als het getal juist 2 verschillende delers heeft. Stellingen pag. 21 Degrootstgemeenschappelijkedelervan2natuurlijkegetallen.
d is de grootste gemeenschappelijke deler van 2 strikt positieve getallen a en b als en slecht als d is een gemeenschappelijke deler van a en b en elke gemeenschappelijke deler van a en b is een deler van d. onderlingeondeelbaregetallen
2 strikt positieve getallen a en b zijn onderling ondeelbaar als en slechts als de ggd {a,b}=1 Hetkleinstgemeenschappelijkeveelvoudvan2natuurlijkegetallen
v is het kleinst gemeenschappelijke veelvoud van 2 strikt positieve natuurlijke getallen a en b als en slechts als v is een gemeenschappelijk veelvoud van a en b en elk gemeenschappelijk veelvoud van a en b is een veelvoud van v. hetverbandtussenkgvenggdvantweegetallen
,
∙
,
Telproblemen
Telproblemen pag.24 kunnen oplossen (Dit hoofdstuk leren in cursus!!!) Een convexe veelhoek is een veelhoek waarbij we een lat langs elke zijde kunnen leggen zodat de veelhoek volledig langs 1 kant van de lat ligt. Het aantal diagonalen van een veelhoek #diagonalenveelhoek
n
3 ∙n
2
De som van alle natuurlijke getallen tot en met n somvandeeerstennatuurlijkegetallen
n
1 ∙n
2
Het aantal delers van een getal a Gegeven: a
T.B.: #delersvana
Bewijs: #delersvana
p ∙ q ∙ v r
r
1 s
s
t
1 t
rs
rt
1 st
rst
1 Eigenschappenvandebinomiaalcoëfficiënt
Eigenschap1:
n!
p! n p !
n
p
Eigenschap 2: n
n
p
1
p
n
p
1 Eigenschap 3: n
0
n
n
1
Te bewijzen n
0
n
1
n
2
n
3
n
n
⋯
2 De driehoek van Pascal 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1  Hieruit kunnen we de formules afleiden voor Gehelegetallen
Michaël Stifel voerde in onze streken de negatieve getallen is (0‐3) of (0‐8)… Deverzamelingvandegehelegetallen
0
n
n ⇔
n
n
0metnϵ n en (‐n) zijn tegengestelde getallen 
0,1, 1,2, 2,3, 3, … Hetkardinaalgetalvan We construeren een bijectie van op 1 2 3 4 5 6 … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
0 1 ‐1 2 ‐2 3 … #
# De gehele getallen zijn aftelbaar. (aftelbaarheid leidt naar een oneindigheid)/ Eigenschappenvandebewerkingenin Deoptellingin 1.
2.
3.
4.
5.
De optelling is overal gedefinieerd in en inwendig in De optelling is associatief in 0 is het neutraal element voor de optelling in Ieder geheel getal heeft een tegengesteld geheel getal De optelling is commutatief in De eerste 4 eigenschappen maken van de structuur , eengroep De vijfde eigenschap maakt van de structuur , een abelse groep Devermenigvuldigingin 1.
2.
3.
4.
Devermenigvuldigingisoveralgedefinieerdeninwendigin Devermenigvuldigingisassociatiefin 1ishetneutraalelementin Devermenigvuldigingiscommutatief
Deeerste2eigenschappenmakenvandestructuur ,∙eensemigroep
Dederdeeigenschapmaaktvandestructuureensemigroepmeteenheidselement
Devierdeeigenschapmaaktvandestructuureencommutatievesemigroepmet
eenheidselement.
Hetneutraalelementvandeoptellingishetopslorpendofabsorberendelementvoorde
vermenigvuldiging.
Dedistributiviteitswetten
∀a, b, c ∈ : a b
, ,∙ c
ab
bcen b
c a
bc
ca De eigenschap commutativiteit, de eenheidselementen en de 8 eigenschappen maken van deze structuur een commutatieve eenheidsring. Deelbaarheidin Derelatie“iseendelervan”in Dedelingisdeinversebewerkingvandevermenigvuldiging.
‐
‐
‐
‐
Alsbgeendelerisvanadanbestaatdebewerkinga:bnietin .
Dedelingisnietassociatief
Dedelingisnietcommutatief
Erbestaatgeenneutraalelementvoordedeling
Eigenschappen
‐
‐
‐
‐
‐
‐
‐
‐
‐
1iseendelervanelkgeheelgetal
‐1iseendelervanelkgeheelgetal
Elkgeheelgetalisdelervanzichzelf
Elkgeheelgetalisdelervanzijntegengesteldgeheelgetal
Elktegengesteldgeheelgetalisdelervanzijngeheelgetal
Derelatieiseendelervanistransitiefin Eenveelvoudvaneengeheelgetalisookeenveelvoudvanhaartegengestelde
Eendelervan2gehelegetalleniseendelervanhunverschil
Eendelervaneengeheelgetalisookeendelervaniederestriktpositievegehelemacht
vandatgetal.
HetaxiomavanArchimedes
Het is steeds mogelijk een geheel getal in te sluiten door twee opeenvolgende gehele veelvouden van een willekeurig gegeven natuurlijk getal verschillend van 0 ∀b ∈
, ∀a ∈ , ∃q ∈ : qb
a
q
1 b DestellingvandeEuclidischedelingin Alsaenbgehelegetallenzijnenb>0danbestaanerjuist2gehelegetallenqenrwaarvoor
geldt:a bq ren0 r b
HetalgoritmevanEuclidesomdeggdteberekenen.
Lerenpaf35‐36
Voortweegetallenaenbena>bgeldt:
Degemeenschappelijkedelervanaenbisookgelijkaandedelervan
a‐veelvoudvanb=restr.
Degemeenschappelijkedelervanaenbisgelijkaandegemeenschappelijkedelervanbenr.
Rationalegetallen
Geschiedenisvanderationalegetallen
Simon Stevin geeft het decimaaltalstelsel in de 16e eeuw bekendheid. Hij schrijft een boek waarbij hij met zowel eenheden als tienden werkt. Deverzamelingvanderationalegetallen
‐
‐
‐
Breuken Procenten ... De verzameling van de rationale getallen wordt gedefinieerd als: ℚ
iseendelervana ∈ enb ∈ } Hetkardinaalgetalvanℚ
Wenoterenonvereenvoudigbarebreuken:
0
01
012
0 1 23
…
1
21
321
4 3 21
Desomvantellerennoemeris1,dan2,dan3,dan4,…
weschrappendegelijkwaardigebreukenenbekomenvolgendebijectie:
↓
ℚ
0
↓
0
1
↓
1
2
↓
‐1
3
↓
1
2
4
↓
1
2
5
↓
2
6
↓
‐2
7
↓
1
3
8
↓
1
3
…
↓
…
Eigenschappenvandebewerkingeninℚ
Deoptellinginℚ
1.
2.
3.
4.
5.
Deoptellingisoveralgedefinieerdeninwendiginℚ
Deoptellingisassociatiefinℚ
0ishetneutraalelementinℚ
Iederrationaalgetalheefteentegengesteldgetal
Deoptellingiscommutatiefinℚ
Deeerste4eigenschappenmakenvandestructuurℚ, eengroep.
Devijfdeeigenschapmaaktvandestructuureenabelsegroep.
Deaftrekkingb
aisgedefinieerddoorb
a Devermenigvuldiginginℚ
1.
2.
3.
4.
5.
Devermenigvuldigingisoveralgedefinieerdeninwendiginℚ
Devermenigvuldigingisassociatiefinℚ
1ishetneutraalelementvoordevermenigvuldiginginℚ
Iederrationaalgetalheefteenomgekeerdeinℚ Devermenigvuldigingiscommutatief
Deeerste3eigenschappenmakenvandestructuurℚ,∙eengroep.
delaatste3eigenschappenmakenvandestructuureenabelsegroep.
dedistributiviteitswetten
∀a, b, c ∈ ℚ: a b
ℚ, ,∙
c
ab
bcen b
c a
bc
ca De structuur wordt bepaald door 11 eigenschappen. Evenredigheden
a
b
c
metaenddeuiterstenenbencdemiddensten
d
Wenoemen en deledenvandeevenredigheid.
Lettervormeninℚ
Veeltermeninℚ
Wenotereneenveeltermals∑
a x
Wekunnenveeltermenrangschikken
werangschikkenvangrootstenaarkleinstemachtvanx
Wekunnenveeltermenherleiden
wetellengelijksoortigetermenop
Wekunnenveeltermenvervolledigen
Wekunnendegraadbepalen
degraad=dehoogstemachtvanX
Wekunneneencoëfficiëntenrijnoteren
ditiseenrijvanallecoëfficiënteninvolgordevangrootstenaarkleinstemachtvanx.
‐
‐
‐
‐
‐
Eenveelterminmeerderevariabelen
Om de graad van veeltermen met meerdere variabelen te weten tellen we de machten van variabelen per term op. De grootste som geeft de graad weer. Ontbindeninfactoren
1. We zonderen de gemeenschappelijke factor af 2. We onderzoeken of er nog factoren kunnen worden afgesplitst. 3. We onderzoeken op merkwaardige producten Regelvanhorner
Leren pag. 48