Leerplan wiskunde

Het leergebied wiskunde onder de
loep
Brugge 21 januari 2013
Alleen zijn we vlokken,
samen de sneeuw
die het landschap betovert.
Olaf Hoenson
(1958), succesvol ondernemer, gooide het roer op zijn
veertigste om. Hij verkocht zijn bedrijf en werd
stresscounselor. Op zijn website
www.dagelijksegedachte.net plaatst hij elke dag een
citaat dat inspireert tot onthaasting en bezinning.
Marleen Duerloo
pedagogisch adviseur VVKBaO
Guimardstraat 1
1040 Brussel
[email protected]
verantwoordelijk voor leerplan wiskunde en de interdiocesane
proeven 4de en 6de leerjaar (IDP)
In deze sessie bespreken we welke doelen we beogen in een
wiskundeles en is er ook aandacht voor je persoonlijke leerdoelen
Doelen in een (wiskunde)les
• Weten wat men leert en hoe is essentieel om te leren leren
• Leerdoel duidelijk stellen bij begin van de les
• Expliciet verwijzen naar leerdoel tijdens de les
• Nagaan wat je geleerd hebt op het einde van de les
Doelen voor deze sessie
•Antwoord formuleren op:
•Wat is goed wiskundeonderwijs?
•Wat zijn de algemene doelen van het leerplan wiskunde?
•Hoe kan je wiskundeonderwijs didactisch organiseren?
•Wat zijn de belangrijkste aandachtspunten voor
•
domeinoverschrijdende doelstellingen?
•
getallenkennis?
•
bewerkingen?
Persoonlijke leerdoelen
• Wat wil je vandaag te weten komen?
In deze sessie bespreken we welke doelen we beogen in een
wiskundeles en is er ook aandacht voor je persoonlijke leerdoelen
Einddoelen
• Expliciteren van de eigen visie over goed
wiskundeonderwijs (persoonlijk interpretatiekader)
• Stimuleren van communicatie op school over waarden
en normen van goed wiskundeonderwijs
• Afstemmen van de context op de gezamenlijke visie
• Context:
• Leerlingen
• VVKBaO en leerplannen
• Overheid en OD/ET
• Ouders
• Schoolbestuur
• Scholengemeenschap
• …
•
•
•
•
Directeurs
Gangmakers voor wiskunde (rekencoördinatoren)
Nieuwe begeleiders
…
Tweegesprek op tijd
Doel van deze oefening?
• Voorkennis activeren
• Kennismaken met de werkvorm
Hoe werkt het?
•
•
•
•
1 minuut denktijd
A krijgt 1 minuut spreektijd, B luistert.
B krijgt 1 minuut spreektijd, A luistert.
Nadien: kunnen navertellen wat je gehoord hebt.
Vraag: Wat is voor jou goed wiskundeonderwijs?
Algemene doelen
leerplan wiskunde
• Neem je leerplan op p. 19 e.v.
• Vergelijk met je eigen mening.
• Wat zijn overeenkomsten/verschillen?
AD1
AD2
AD3
AD4
AD5
AD6
Fundamentele wiskundige kennis, inzichten en vaardigheden
verwerven kennis, inzichten en vaardigheden in verband
Wiskundige
brengen met en gebruiken in betekenisvolle situaties, ook in
andere
leergebieden
en buiten
de school
De nodige
wiskundetaal
begrijpen
en gebruiken, zowel in de
wiskundeactiviteiten en -lessen als daarbuiten
Een onderzoeksgerichte ingesteldheid ontwikkelen
Zoekstrategieën (heuristieken) ontwikkelen om (wiskundige)
problemen op te lossen en de vaardigheid verwerven om na te
denken over eigen (wiskundige) denk- en leerprocessen en om
die te sturen
Een juiste opvatting over en waardevolle houdingen bij
wiskunde verwerven
Flexibel inzetbaar
kennisbestand
(AD1 – AD2 en
AD3)
Zoekstrategieën
of heuristieken
(AD5)
Metacognitieve
kennis (AD5)
Houding en
overtuigingen
(AD4 en AD6)
Kennisbestand
•
•
•
•
Getallenkennis
Bewerkingen
Meten en metend rekenen
Meetkunde
Heuristieken, metacognitie en
opvattingen
• Domeinoverschrijdende doelstellingen
Symbool
activiteit van de
leerling
activiteit van de
leerkracht
termen
kennismaking
aanzetten geven
tijdelijk andere
geschikte omschrijving
of hulpterm
doel beheersen
systematisch aan het doel
werken
termen kennen en
kunnen gebruiken
verworvenheden
verder integreren
herhalingen, trainen,
verdiepings- en
verbredingsactiviteiten
opzetten
termen vlot en correct
gebruiken
voortdurend meenemen
als aandachtspunt in
onderwijsactiviteiten
G42
LP p. 23 e.v.
Actieve leerprocessen stimuleren
•
•
•
•
Hoe doen we dat?
Wat geeft het grootste leereffect?
Wanneer leren kinderen het meest?
Wanneer hebben we met het schoolteam met het eerste deel
van het leerplan gewerkt?
Het huis van Eline
Dit is Eline. Ze is negen jaar.
Eline denkt dat haar huis wel 20
meter hoog is.
Wat denken jullie, hoe hoog is het
huis van Eline?
Je moet niet alleen maar een getal
opschrijven.
Leg het ook uit!
Welke vraag stellen jullie aan leerlingen om het
denkwerk bij hen te leggen?
Wiskundige problemen leren oplossen
• DO1 Een algemene strategie
• DO2 Zoekstrategieën ontwikkelen
• DO3 Nadenken over eigen oplossingsproces en dat
proces sturen
• DO4 Doeltreffende opvattingen over en houdingen
tegenover het oplossen van wiskundige problemen,
ontwikkelen
Wiskundige leertaken leren aanpakken
Leren communiceren over wiskunde
Niet elk vraagstuk is een probleem
Zoekstrategieën in de kijker plaatsen
Proces belangrijker dan product
Rol van taal in de wiskundeles
Uitproberen en
bespreken
• Meer lezen?
zie
Commentaar en suggesties
bij IDP4 wiskunde 2012 en
School en Visie augustus
2012
• Nederlandse leerkrachten constateren dat de CITOtoetsen rekenen voor veel leerlingen problemen
opleveren. Zij zien vooral het talige karakter van
deze toets als de oorzaak van deze problemen.
• CECIEL BORGHOUTS biedt leerkrachten een
didactisch hulpmiddel: de vertaalcirkel. Zij beschrijft
wat de vertaalcirkel is en hoe u er mee kunt werken.
omzetten van een praktisch probleem (contextopgave)
naar een bewerking
het uitvoeren van de bewerking(en)
de terugkoppeling van het resultaat van de
bewerking(en) naar het oorspronkelijke probleem
(5) wat heb ik
geleerd?
de situatie concreet uitspelen
weergegeven in een verhaal
de handeling uitvoeren met blokken / fiches
de situatie tekenen/schetsen
weergeven op de getallenlijn
weergeven in een bewerking
Mogelijk om een
probleem van de ene
vorm naar de andere
‘vertalen’
Werkwijze die
leerlingen zich
langzaam maar zeker
eigen maken en bij
elke nieuwe stuk
leerstof toepassen.
Geen apart hoofdstuk binnen het
rekenonderwijs waarmee je op een
zeker moment klaar bent.
Doel: opbouwen van een
scherp beeld van de
situatie
In een bewerking gegevens
en gevraagde weergeven,
maar ook de uitkomst
1. Meerdere (zoveel mogelijk) vertalingen bij één
probleem
• Het gaat niet om een óf-óf, maar om een én-én benadering.
2. De kinderen maken de vertalingen
• In groepjes of alleen
• Alle leerlingen alle vertalingen of in groepjes verschillende vertalingen
3. In de nabespreking de verschillende vertalingen
verbinden
Er varen 5 bootjes op het meer. In elk bootje zitten 4 kinderen.
Hoeveel kinderen zitten er in totaal in de bootjes?
1. Teken of schets het verhaal
2. Geef daarna het verhaal weer met blokken
3. Beeld het verhaal uit op een lege getallenlijn
4. Bedenk een formule bij dit vraagstuk en reken die uit
Merk op: het spelen van het verhaal wordt weggelaten, maar
indien nodig kan je dat altijd nog toevoegen.
• Honderdveld.
• voorstellingen uit ‘Singapore rekenen’
(Commentaar en suggesties IDP6 2010).
Een bakkersbedrijf maakte 300 taarten. Daarvan werd 3/4 verkocht
aan bakkerijen in de buurt. 1/3 van wat overbleef werd later door
klanten opgehaald.
Hoeveel taarten bleven er die dag over?
• een andere voorstelling.
Er varen 5 bootjes op het meer. In elk bootje zitten 4 kinderen.
Hoeveel kinderen zitten er in totaal in de bootjes?
1. Teken of schets het verhaal.
2. Geef daarna het verhaal weer met blokken.
3. Beeld het verhaal uit op een lege getallenlijn.
4. Bedenk een formule bij dit vraagstuk en reken die uit.
Merk op: het spelen van het verhaal wordt weggelaten, maar
indien nodig kan je dat altijd nog toevoegen.
Welke oplossingen verwacht je te zien bij de leerlingen?
Hoe pak je de nabespreking aan?
In de nabespreking koppeling leggen tussen de verschillende
vertalingen (zie hiervoor)
Noteer vragen die je kan stellen.
• Uit ‘Wat werkt in de klas’ blijkt dat het grootste
leereffect optreedt bij het zoeken naar
overeenkomsten en verschillen.
• Vergelijk de volgende nabespreking met de
nabespreking van je groepje.
• Duid de elementen aan die jullie ook hadden
(overeenkomsten)
• Verschil in abstractieniveau in de tekeningen
• Inhoudelijke verschillen met de blokken
sommige leerlingen leggen 5 groepjes van 4 blokken, andere leggen
4 groepjes van 5 blokken. Dat is echt iets anders.
• Ditzelfde op de getallenlijn
5 bogen van 4 of 4 bogen van 5
• En bij de formule
5 x 4 of 4 x 5
• Laat tijdens het werken al enkele vertalingen op het bord
tekenen om het tempo bij de nabespreking erin te houden.
• Laat de tekening toelichten en stel vragen
•
•
•
•
Waar in de tekening zie je de bootjes? (die hokken).
Waar zie je de kinderen? (die kruisjes).
Waar zie je hoeveel kinderen er in 1 bootje zitten?
Hoeveel bootjes zie je? (5)
• Verwoorden bij de blokken
De blaadjes zijn de bootjes, in elk bootje 4 kinderen,
bij elkaar 20 kinderen.
• Stel vragen als
Wat stelt elke boog voor?
Waar zie ik op de lijn de kinderen?
En waar op de lijn zie ik de kinderen in één bootje?
Dat blaadje met die 4 blokken, waar zie ik dat op de lijn?
En waar zie ik dat in de tekening?’
• Stel vragen bij de formule 5 x 4
Wat betekent die 5 in de formule?
(5 bootjes).
Waar zit die 5 van de formule in het verhaal?
(5 bootjes).
En in de tekening? (5 hokken, die hokken staan voor bootjes).
En waar zie ik die bij de blokken
(5 blaadjes staan voor bootjes).
En op de getallenlijn?
(5 bogen geven bootjes weer).
En betekent die 4 in de formule?
(kinderen)
…
• Ik zag ook groepjes die 4 blaadjes hadden neergelegd
met op elk blaadje 5 blokken.
Welk verhaal met de bootjes hoort daar dan bij? En welke
tekening? De leerlingen komen er snel uit. Dan is het verhaal
anders: 5 kinderen in 1 bootje en 4 bootjes. Je moet dan 4
bootjes tekenen en geen 5.
• Je hebt de overeenkomsten aangeduid.
• Wat zijn de verschillen?
• Wat leer je hieruit?
Karel wil een garage bouwen met een betonnen vloer.
De rechthoekige garagevloer wordt 8 meter lang, 3 meter
breed en 15 cm dik.
Hoeveel m³ beton heeft Karel nodig? (IDP6 2011)
Op welke manier en met welk materiaal kunnen we bij dit vraagstuk
de vertaalcirkel maken.
• Meer info Pedagogische Mededelingen (gele blaadjes) en
op www.vvkbao.be
Waarom kiezen we voor coöperatieve werkvormen?
Getallenkennis
LP vanaf p. 39
Toelichtingen bij het leerplan Getallenkennis
Recente studies wijzen uit dat een goede wiskundige ontwikkeling
bepalend is voor het succes van je verdere studieloopbaan, meer dan
taalontwikkeling…
‘Wij kunnen heel ver tellen. Luister maar. Eén, twee, drie, vier, vijf,
zes, zeven, acht, negen, tien, elf en de rest gaat vanzelf.’
Wat oefenen we met dit spelletje?
Welke vragen kan je hierbij stellen?
Getallenkennis
houdt zich
bezig met de
eigenschappen
van getallen.
Getallen zijn onmisbaar in alle
leerdomeinen van wiskunde.
In bewerkingen bij
rekentechnieken als
hoofdrekenen,
schattend rekenen,
cijferen en de
zakrekenmachine.
Bij metend en metend
rekenen, meetkunde en
domeinoverschrijdende
doelen als onmisbare
hulp om situaties te
verwiskundigen.
1.2.1
Hoeveelheden vergelijken en ordenen
1.2.2
Tellen
1.2.3
Hoeveelheden herkennen en vormen
1.2.4
Natuurlijke getallen
1.2.5
Breuken
1.2.6
Kommagetallen
1.2.7
Percenten
1.2.8
Negatieve getallen
1.2.9
Delers en veelvouden
1.2.10
Andere talstelsels
1.2.11
Getallen schatten en afronden
1.2.12
Toepassingen
subiteren
tellen
hoeveelheden
herkennen
getalbegrip
De meeste peuters zijn in staat om hoeveelheden
globaal te vergelijken met termen als ‘meer’, ‘minder’
en ‘evenveel’.
Voor je een hoeveelheid kunt tellen, moet je die
hoeveelheid eerst zien als opgebouwd uit aparte
stukjes.
A
l
s
j
e
w
e
e
t
d
a
t
een getal verwijst naar een verzameling als geheel.
de volgorde van het tellen geen rol speelt.
getelde voorwerpen niet identiek hoeven te zijn.
hoe de voorwerpen liggen niet van belang is.
een getal betrekking heeft op absolute hoeveelheid.
een telgetal een eigen plaats in de getallenrij heeft.
‘vernesteling’.
Video 1: Dropjes tellen
Video 2: Racespel
Beschrijf de verschillen
Akoestisch tellen
Asynchroon
Synchroon
Structurerend
Resultatief
Verkort
resultatief of
doortellen
Flexibel
Sprongsgewijs
Terugtellen
http://www.talentenkracht.nl/?pid=59
Marijn en Maurits
en de knikkers
Kinderen kunnen
meer dan je
denkt of meer
dan het leerplan
vraagt
• Subiteren is de aangeboren eigenschap om kleine
hoeveelheden in één oogopslag te zien, waardoor een
intuïtief getalgevoel ontstaat.
• Je herkent en benoemt in één oogopslag een kleine
hoeveelheid voorwerpen zonder expliciet te hoeven tellen.
• Gestructureerde hoeveelheden zijn makkelijker dan
ongestructureerde (getalbeelden),
De telkast
De
cijferfee
Mijn
boekje
van…
verschillende vakjes met
concrete
spullen en afbeeldingen van
voorwerpen te vinden
bijvoorbeeld dobbelstenen,
cijferstempels, cijferkaartjes
en stippenkaartjes
五
Mijn boek over 5
V
Waar denken jullie aan bij het
getal…
3
100
10 000
1 000
1 000 000
000
Een eerste schatting?
Hoe pak je dat aan om
dat uit te rekenen?
1 000 000 000 zandkorrels
7.000.000.000
Geef elk groepje een getal
Laat een kind op ware grootte
schilderen
Het moet evenveel dingen dragen
als het gekregen getal
Uitbreiden naar monsters met 6
ogen, 6 voeten, 6 vingers, 6 oren
Een trui met een patroon: elk kind
tekent een rij met een 6-patroon
Gebruik figuurtjes van
inpakpapier,
tijdschriften,stickers
Maak een veter vast
Op hoeveel verschillende
manieren kun je de voorwerpen
in 2 (of 3) delen verdelen?
Heb je alle mogelijkheden
gevonden?
Grote tekeningen in
vilt
Zelfklevende
stippen
Plaats zoveel
stippen als je wilt
Vorm de som
• Laat je leerlingen bedenken welke formules bij dat getal
passen
• Doel?
• Voordelen?
4
• Tellen is iets voor kleuters en het eerste leerjaar.
• Hoe kan je deze vraag inzetten in je schoolteam?
Eindterm
• 1.13 De leerlingen voeren
opgaven uit het hoofd uit
waarbij ze een doelmatige
oplossingsweg kiezen op basis
van inzicht in de eigenschappen
van bewerkingen en in de
structuur van getallen
• Optellen en aftrekken tot 100;
• Optellen en aftrekken met grote
getallen met eindnullen;
• Vermenigvuldigen met en delen
naar analogie met de tafels
Leerplan wiskunde
• B9 De correcte resultaten bij de
elementaire optellingen paraat
kennen:
• A) som ≤ 10
• B) som ≤ 20
• B10 Optellen volgens
standaardprocedures en de
optelling verwoorden en noteren:
• A) som ≤ 20
• B) som ≤ 100
• B11 Bij eenvoudige optellingen
flexibel een doelmatige
oplossingsmethode kiezen op basis
van inzicht in de structuur van de
getallen en in de eigenschappen
van de optelling en de optellingen
correct uitvoeren, verwoorden en
noteren
• A) som ≤ 20
• B) som ≤ 100
Reken zelf uit volgens
• Standaardprocedure
• Flexibel
• Anders
Hoeveel leerlingen kiezen voor die aanpak?
65
• Standaardprocedure
8 x 1,5 = 12
12 x 12,5 = 12 x 12 + 12 x 0,5 = 150
37%
73%
8 x 1,5 = 12
12 x 12,5 = 10 x 12,5 + 2 x 12,5 = 150
15%
88%
8 x 12,5 = 100
100 x 1,5 = 150
16%
91%
8 x 1,5 = 4 x 3 = 12
12 x 12,5 = 6 x 25 = 150
3%
100%
• Anders
30%
6%
Totaal
100%
59%
• Flexibel
66
Paraat kennen
• Wat? Wanneer?
Standaardprocedure beheersen
• Welke standaardprocedure gebruiken we? → vastleggen in
SWP
• Waarom is dit van belang?
Flexibel rekenen
• Geef voorbeelden uit je eigen leerjaar
• Wat betekent dit onderscheid voor sterke/zwakke rekenaars?
67
E
e
r
s
t
e
L
e
e
r
j
a
a
r
G13 Natuurlijke getallen herstructureren om vlot bewerkingen
uit te voeren en de (her)structureringen paraat kennen van
a) Getallen ≤ 10
b) Getallen > 10 waar wenselijk
B9 De correcte resultaten bij de elementaire optellingen paraat
kennen
a) Som ≤ 10
b) Som ≤ 20
B10 Optellen volgens standaardprocedure
a) Som ≤ 20
B11 Flexibel optellen
a) Som ≤ 20
Ik onthoud: herstructureren is meer dan splitsen
t
w
e
e
d
e
L
e
e
r
j
a
a
r
G13 Natuurlijke getallen herstructureren om vlot bewerkingen
uit te voeren en de (her)structureringen paraat kennen van
b) Getallen > 10 waar wenselijk
B9 De correcte resultaten bij de elementaire optellingen paraat
kennen
b) Som ≤ 20
B10 Optellen volgens standaardprocedure
a) Som ≤ 100
B11 Flexibel optellen
a) Som ≤ 20
b) Som ≤ 100
B17 De vermenigvuldigingstafels tot en met 10 paraat kennen
B21 De delingstafels die horen bij de vermenigvuldigingstafels
tot en met 10 paraat kennen
Ik onthoud: herstructureren is meer dan splitsen
d
e
r
d
e
L
e
e
r
j
a
a
r
G13 Natuurlijke getallen herstructureren om vlot bewerkingen
uit te voeren en de (her)structureringen paraat kennen van
b) Getallen > 10 waar wenselijk
B9 De correcte resultaten bij de elementaire optellingen paraat
kennen
b) Som ≤ 20
B10 Optellen volgens standaardprocedure
a) Som ≤ 100
B11 Flexibel optellen
a) Som ≤ 100
b) Som ≤ 1 000
B17 De vermenigvuldigingstafels tot en met 10 paraat kennen
B21 De delingstafels die horen bij de vermenigvuldigingstafels
tot en met 10 paraat kennen
Ik onthoud: herstructureren is meer dan splitsen
• Neem je leerplan en zoek B52
• Wat zegt die doelstelling?
• Waarmee hangt die keuze samen?
• Welke consequenties heeft die doelstelling voor de aanpak op
school?
Het ijsbergmodel
Actueel aanbod in
de klas
lukt niet
Investeren in
drijfvermogen
Zie Commentaar
en suggesties bij
IDP6 2012
wiskunde
Oogst
Wat wil ik
daarmee
doen?
Wat heb ik
vandaag
geleerd?
Plan
Verwachtingen
Wat zie ik wel zitten?
Waar verwacht ik problemen?