Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de

Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de beschrijving en het begrip
van interacties tussen elementaire deeltjes. Interacties zullen plaats grijpen voor zover
ze kinematisch toegelaten zijn en voor zover een aantal behoudswetten gelden, zoals
behoud van lading, van energie en impuls, van impulsmoment. Daarboven zijn er nog
een aantal behoudswetten die niet noodzakelijk gelden voor alle soorten interacties.
Deze behoudswetten zijn het gevolg van de invariantie van de hamiltoniaan van een
systeem onder bepaalde (unitaire) transformaties. Met deze behoudswetten kan men
kwantumgetallen associëren die al dan niet behouden zijn, en een deeltje
j
kwantumgetallen
g
werden in de loop
p der
karakteriseren. De behoudswetten en bijhorende
jaren opgesteld als gevolg van experimentele observaties, zoals het al dan niet plaats
grijpen van bepaalde interacties.
In dit hoofdstuk wordt eerst besproken wat bedoeld wordt met symmetrie en
behoudswetten, en dit aan de hand van twee voorbeelden: symmetrie onder translaties
en behoud van impuls, en symmetrie onder rotaties en behoud van impulsmoment.
Nadien bespreken we ruimte-inversie (P, pariteit), ladingstoevoeging (C-pariteit),
tijdsinversie (T transformatie), en de gezamelijke transformaties CPT en CP.
Nadien worden isospin en G-pariteit ingeleid, symmetrieën die enkel betrekking hebben
op hadronen en de sterke wisselwerking.
Het hoofdstuk wordt afgesloten met een herhaling van baryon en leptongetal en
vreemdheid, en met een overzicht van alle gezien behoudswetten.
1
2
Voorbeelden van continue tranformaties zijn: translaties en rotaties.
Voorbeelden van discrete transformaties zijn: ruimte inversie, ladingstoevoeging,
tijdsinversie.
Voorbeelden van additief behouden kwantumgetallen zijn: leptongetal, baryongetal,
vreemdheid en andere flavours (charme …).
Voorbeelden van multiplicatief behouden kwantumgetallen zijn: pariteit, C-pariteit.
Pariteit en C-pariteit zijn behouden in de sterke en elektromagnetische wisselwerkingen,
maar zijn niet behouden in de zwakke wisselwerkingen
wisselwerkingen. Het product CP is echter wel
behouden in de zwakke wisselwerkingen, op een klein effect in het neutraal kaon
systeem na.
Het product CPT is behouden in alle wisselwerkingen (theorema).
Isospin symmetrie komt overeen met een invariantie voor rotaties in een abstracte
ruimte. De beschrijving van isospin symmetrie is volledig analoog als de beschrijving en
het formalisme voor impulsmoment, dat besproken werd in hoofdstuk II.
Voor de
V
d studie
t di van d
de b
behoudswetten
h d
tt zullen
ll we kkwantummechanische
t
h i h operatoren
t
gebruiken. Deze staan beschreven in hoofdstuk II.
3
Operatoren en de Schrödinger vergelijking zijn beschreven in hoofdstuk II, en kunnen
gevonden worden in elk boek over kwantummechanica.
De hamiltoniaan operator stelt de totale energie voor: kinetische + potentiële energie.
Voor een vrij (geïsoleerd) deeltje is V(r)=0.
Men spreekt van een behouden grootheid indien de hamiltoniaan en de golffunctie
invariant blijft onder de geässocieerde symmetrie operatie.
4
Een gesloten systeem is een systeem waarop geen externe potentiaal werkt.
De metingen en resultaten van een experiment zijn niet afhankelijk van waar men
de opstelling plaatst, voor zover het verband tussen de lokaties translaties zijn.
5
Op blz 4 hebben we gezien dat een grootheid behouden is indien zijn operator
commuteert met de hamiltoniaan.
6
Het impulsmoment werd besproken in hoofdstuk II. Men kiest meestal de
impulsvector als z-as.
7
8
O(ε2) wordt verwaarloosd.
9
Ruimte-reflectie is een discrete transformatie. Het effect ervan op de golffunctie van een
deeltje is dat een linkshandig deeltje transformeert
f
in een rechtshandig deeltje. Het
wijzigt het teken van de impuls, maar laat het impulsmoment onveranderd. sommige
deeltjes komen voor in eigentoestanden van ruimte-inversie, of pariteitstransformatie. Ze
hebben een intrinsieke pariteit.
In dit deel wordt het effect van de P operatie op de golffunctie besproken evenals de
bepaling van de pariteit van een aantal deeltjes. We zullen zien dat P behouden is in de
sterke en elektromagnetische wisselwerkingen. Dit laat ons toe om experimenteel de
pariteit van deeltjes te bepalen
bepalen. P is maximaal geschonden in de zwakke
wisselwerkingen. Dit wordt op het einde van deel 2 besproken.
10
(x1,x2,x3) vormen een rechtshandig assenstelsel. (x’1,x’2,x’3) vormen een
linkshandig assenstelsel.
Vermits de impuls van teken verandert en het impulsmoment niet, transformeert
men van een rechtshandig (heliciteit +1) naar een linkshandig (heliciteit -1)
deeltje.
Indien de hamiltoniaan invariant is voor ruimte-inversie, of een
pariteitstransformatie, dan commuteert de hamiltoniaan operator met de
pariteitsoperator Beide operatoren hebben een stel gezamelijke eigenfuncties
pariteitsoperator.
eigenfuncties.
11
Wanneer men de pariteits operator tweemaal laat opereren bekomt men terug de
originele golffunctie.
ff
De operator P2 is bijgevolg de eenheidsoperator I.
We hebben gezien in hoofdstuk II dat de bolfuncties Ylm eigenfuncties zijn van orbitaal
impulsmoment. Men kan veronderstellen dat een systeem van deeltjes invariant is onder
rotaties en bijgevolg sferisch symmetrisch. Bijgevolg kan men het ruimtelijk deel van de
golffunctie afzonderen van het hoekafhankelijk deel. De eigenfuncties van orbitaal
impulsmoment zijn enkel afhankelijk van de hoeken.
12
Het feit dat pariteit behouden is in de sterke en elektromagnetische interacties (of
vervallen)) betekent dat men de pariteit van deeltjes kan bepalen uit het experiment. Dit
wordt met enkele voorbeelden aangetoond verder in dit deel van het hoofdstuk. Zwakke
wisselwerkingen kunnen niet gebruikt worden om de experimenteel de pariteit van
deeltjes te bepalen.
De schending van behoud van pariteit in de zwakke wisselwerkingen was een
belangrijke mijlpaal in de deeltjesfysica. Dit wordt later in dit deel besproken.
13
14
Baryonen zijn fermionen.
Historisch gezien werd pariteit ingevoerd in de jaren 1950 vòòr het quark model.
De pariteiten van proton, neutron en lambda hyperon werden ad hoc ingevoerd.
De waarden komen overeen met wat men bekomt vertrekkend van gebonden
quark systemen.
15
Het deuteron is een gebonden (p+n) systeem in de grondtoestand (A=0). De
pariteit van het deuteron is bijgevolg Pd=(+1)(+1)(-1)0=+1.
De spin van het pion werd besproken in hoofdstuk II, p30 e.v.
16
De twee neutronen bevinden zich in posities (r1,r2), zodat de ruimtelijke
golffunctie is f(r1,r2). Verwisseling van neutron-1 met neutron-2 betekent dat de
golffunctie transformeert in f(r2,r1)= f(-r1,-r2), wat een ruimte-inversie inhoudt.
17
De verschillende vormen van de α golffuncties worden bekomen door spins
samen te stellen met de Clebsch Gordan tabellen.
18
De 3 (nn) toestanden komen overeen met wat toegelaten is wegens behoud van
totaal impulsmoment. De samenstelling van het impulsmoment van de (n+n)
toestand moet berekend worden met behulp van de tabellen van Clebsch-Gordan
coëfficiënten. Dit wordt besproken in appendix VII.A.
De symmetrie van de golffunctie Ψ onder verwisseling van de 2 neutronen hangt
af van de symmetrie van het ruimtelijk deel f en van het spin deel α. De
verschillende mogelijkheden worden in de kader gegeven.
19
20
21
22
Bij een pariteitstransformatie zal de linkerfiguur transformeren in de rechterfiguur.
De spin van de cobalt kern blijft ongewijzigd (zie begin deel 2) en de impulsvector
van het elektron transformeert in zijn spiegelbeeld. Pariteitsbehoud in dit zwak
verval betekent dat beide figuren even frequent voorkomen.
Aangezien de Co-kernen gepolariseerd zijn kan men de richting van de Co
spinvector kiezen als z-as. Bij behoud van pariteit zijn er evenveel elektronen
geproduceerd bij een hoek q met de z-as als bij een hoek (p-q). Dat heeft tot
gevolg dat de hoekverdeling isotroop moet zijn en men evenveel elektronen
verwacht in de voorwaartse als de achterwaartse hemisfeer (ten opzichte van de
Co spinvector). Het experiment van Wu toonde echter een asymmetrie in de
hoekverdeling, wat wijst op schending van pariteitsbehoud. De elektronen zijn bij
voorkeur geproduceerd in de achterwaartse hemisfeer.
23
Heliciteit is de projectie van de spinvector op de impulsvector (hoofdstuk II, Dirac
theorie).
In plaats van het experiment te baseren op elektron detectie kon men proberen
om het anti-neutrino te detecteren. Dit is niet haalbaar omwille van de extreem
lage werkzame doorsnede voor neutrino interactie. Men zou waargenomen
hebben dat het anti-neutrino enkel voorwaarts (0 graden) geproduceerd wordt.
24
De ladingstoevoeging operatie, of C operator, transformeert een deeltje in zijn
anti-deeltje. Enkel deeltjes die hun eigen anti-deeltje zijn (zoals het neutraal pion)
hebben een intrinsieke C-pariteit. De sterke en elektromagnetische
wisselwerkingen zijn invariant onder een C-transformatie. De zwakke
wisselwerkingen zijn niet invariant onder C-transformatie. De intrinsieke C-pariteit
van neutrale hadronen kan bepaald worden in experimenten die verlopen
volgens de sterke of elektromagnetische wisselwerkingen.
In de zwakke wisselwerkingen is er zowel schending van behoud van pariteit P
als van ladingstoevoeging C. Deze wisselwerkingen zijn echter invariant onder
gecombineerde CP transformaties. Er is hierop een uitzondering in het neutraal
kaon systeem. Daarin is er evidentie voor een klein CP-schendend effect.
Schending van CP-symmetrie werd ook waargenomen in het neutrale B-meson
systeem (mesonen met B quark, zie hdst VIII).
25
De C-operatie transformeert de golffunctie Ψ in de golffunctie Ψ’, waarin de deeltjes
vervangen worden door anti-deeltjes. De golffunctie
ff
is deze van een systeem van
deeltjes, of van een individueel deeltje. Niet alle deeltjes kunnen voorkomen in een
eigentoestand van de C-operator. De minimum vereiste om een intrinsieke C-pariteit te
bezitten is dat het deeltje neutraal is. Het neutraal pion is een C eigentoestand. Het
neutron niet omdat het een magnetisch moment heeft dat van teken verandert bij Ctransformatie.
In de kader links stellen de deeltjes a deeltjes voor die geen intrinsieke C-pariteit
bezitten en de deeltjes α zijn deeltjes met intrinsieke C
bezitten,
C-pariteit.
pariteit
Het feit dat de sterke en elektromagnetische wisselwerkingen invariant zijn onder Ctransformaties betekent dat hun hamiltoniaan invariant is en commuteert met de Coperator.
Er dient hier opgemerkt te worden dat de keuze om het elektron een ‘deeltje’ te noemen
louter een conventie is.
26
De notatie |q,B,s,…> = ψ(q,B,s,…), staat voor de golffunctie van het deeltje, en is
de Dirac notatie. Deze notatie is eenvoudiger en geeft formules in een meer
overzichtelijk wijze weer.In deze Dirac haakjes noteert men enkel de
waarneembare grootheden.
27
Het kwadraat (ηCγγ)2 is +1 welke ook de C-pariteit van het foton weze (+1 of -1).
Onder een C-pariteitsoperatie veranderen alle geladen deeltjes hun lading van
teken, en flipt bijgevolg ook de potentiaal van teken.
28
Het foton is een vector deeltje met spin 1, en wordt beschreven door de
vectorpotentiaal A.
29
30
Het gedrag van de golffunctie onder pariteits transformatie wordt besproken op p
12. Het (pi+,pi-) systeem is in een eigentoestand met orbitaal impulsmoment ℓ.
Mesonen zijn bosonen en deeltje en anti-deeltje hebben dezelfde intrinsieke Cpariteit.
Voor systemen met spin kan men de golffunctie schrijven als een product
Ψ=Φ(r)α(spin), wat leidt tot de factor (-1)(ℓ +S) .
31
De symmetrie van een systeem van 2 fermionen (n+n) werd besproken onder de
pariteit van het pion, dit hdst p 16 e.v. de symmetrie van de spin golffunctie wordt
daar uitvoerig besproken.
Voor fermionen geldt dat het deeltje en het antideeltje een tegengestelde Cpariteit hebben. Dit betekent dat het product altijd -1 is. De exponent +2 werd
weggelaten omdat een even exponent een factor +1 geeft en geen verschil
maakt.
32
De heliciteit van een deeltje wordt besproken in H II. De heliciteit van het neutrino
werd besproken in deel 2 van dit hoofdstuk (pariteit in zwakke wisselwerkingen).
33
34
35
36
37
38
De T operator heeft een effect op de hamiltoniaan van het systeem en op de
golffunctie. Voor de sterke en elektromagnetische wisselwerkingen is de
hamiltoniaan invariant onder T-operaties. Voor de zwakke wisselwerkingen is dat
meestal ook het geval, behalve in systemen als het neutraal kaon.
39
Het matrix element, of transitie amplitude, M wordt besproken in hoofdstuk V
(interacties) en VI (werkzame doorsnede).
De probabiliteiten voor optreden van de reacties a+b->c+d en c+d->a+b zijn gelijk
(zelfde transitieamplitudes) maar de rates zullen verschillend zijn omdat de
kinematische factoren (massa’s enz) in begin- en eindtoestand verschillend zijn.
Invariantie onder T-operatie werd gebruikt om de spin van het pion te bepalen
(hdst III).
40
De figuur toont 2 curven. De schaal links en onder heeft betrekking op de eerste
reactie (punten) en de schaal boven en rechts op de tweede reactie (volle lijn).
Statistische methodes, zoals bvb de Kolmogorov test, laten toe beide curven te
vergelijken en een bovenlimiet te plaatsen op de afwijking tussen beide, rekening
houdend met de fouten op de metingen.
41
In de formule voor het magnetisch moment voor een spin ½ puntdeeltje is s de
spin van het deeltje en q zijn lading. De massa van het neutron is mn.
Het magnetisch dipoolmoment van het neutron wordt verder besproken in
hoofdstuk VIII bij de testen van het quark model.
We hebben in hoofdstuk II gezien dat nucleonen typisch een grootte hebben van
1fm = 10-15m.
In de formule voor het elektrisch dipoolmoment staat d voor de lengte van de
dipool.
42
De enige ruimtelijke voorkeurrichting in het neutron is de spin richting.
43
Isospin en G-pariteit zijn nauw met elkaar verwant. Het zijn symmetrieën van de sterke
wisselwerkingen wat betekent dat de isospin en G-pariteit
G
kwantumgetallen enkel
betekenis hebben voor hadronen.
Het formalisme dat isospin beschrijft is volledig analoog aan het formalisme dat spin
beschrijft (zie dit hoofdstuk deel 1). Men kan isospin symmetrie, net zoals spin
symmetrie, mathematisch beschrijven aan de hand van de groep SU(2). Invariantie van
de sterke wisselwerkingen onder isospin transformatie betekent invariantie onder
rotaties in een abstracte isospin ruimte. De transformatie matrices vormen een SU(2)
groep de isospin SUI(2) groep.
groep,
groep
Toen men de vreemde deeltjes ontdekt heeft in 1947 leek het evident om isospin
symmetrie uit te breiden naar een driedimensionale symmetrie gebaseerd op isospin en
vreemdheid. Deze transformaties vormen de SU(3) groep SUF(3), flavour SU(3). De
symmetrie van de sterke wisselwerkingen onder SUF(3) transformaties heeft geleid tot
de hypothese van het quark model. Dit wordt in het volgend hoofdstuk (VIII) besproken.
44
Indien men de zwakke en elektromagnetische wisselwerkingen zou kunnen afzetten dan
stellen het proton en het neutron dezelfde
f energietoestand voor, en bezitten bijgevolg
dezelfde massa.
Het isospin kwantumgetal heeft geen betekenis voor de zwakke en elektromagnetische
wisselwerkingen. Deze processen zijn niet gevoelig aan isospin.
Een deeltje met spin J=½ kan voorkomen in 2 toestanden overeenkomend met Jz=+1/2
(spin up) en Jz=-1/2 (spin down). De twee toestanden van het deeltje (spin up en spin
down) hebben dezelfde massa. Analoog heeft het nucleon isospin I=1/2 en kan het
voorkomen
k
iin 2 ttoestanden
t d overeenkomend
k
d mett I3=+1/2(p)
1/2( ) en I3=-1/2(n).
1/2( ) D
De ttwee
toestanden van het nucleon hebben dezelfde massa (op elektromagnetische effecten
na).
45
De spiegelkernen hebben hetzelfde aantal nucleonen maar verschillen in zoverre dat
een neutron in de ene kern overeenkomt met een proton in de andere kern. 3H=(pnn)
(
) en
3He=(ppn).
Behoud van spin (zie deel 1, dit hoofdstuk) is het gevolg van invariantie van de
bewegingsvergelijkingen onder rotaties in de ruimte. Analoog is behoud van isospin het
gevolg van invariantie onder rotaties in een abstracte, interne isospin ruimte. Daarom
gebruikt men de componenten I1,I2,I3 ipv Ix,Iy,Iz.
46
Geassocieerde vreemde deeltjes productie wordt besproken in hoofdstuk III. We zullen
in hoofdstuk
f
VIII (quark
(
model)) zien dat men hadronen met eenzelfde
f spin-pariteit kan
schikken in SU(3) multipletten van isospin en hyperlading.
47
Men kan deeltjes groeperen in isospin multipletten. Dit betekent dat een transformatie (in
abstracte isopsin ruimte)) van de ene toestand ((deeltje)) naar een andere toestand
(deeltje) de sterke wisselwerking invariant laat (bvb zelfde werkzame doorsnedes).
Het Δ(1236) baryon bvb bestaat in 4 toestanden, alle 4 met dezelfde massa, spinpariteit, hyperlading en isospin. Elke toestand komt overeen met een verschillende I3
waarde gaande van –I tot +I. Voor de sterke wisselwerkingen zijn de 4 toestanden
volledig gelijk. Enkel de elektromagnetische wisselwerkingen onderscheiden de 4
toestanden die een verschillende lading, en bijgevolg I3, hebben.
D isospin
De
i
i van andere
d
hadronen
h d
kan
k men vinden
i d iin d
de PDG d
deeltjestabellen.
ltj t b ll
48
We gebruiken hoofdletters I,I3 voor de operatoren en kleine letters i,i3 voor de
eigenwaarden.
Om de notaties te vereenvoudigen gebruiken we Dirac haakjes als voorstelling van de
golffunctie.
De splitsing van de golffunctie in een product van 3 onafhankelijke delen is enkel
toegelaten omdat we de benadering maken dat de deeltjes niet-relativistisch zijn.
Een multiplet met gegeven isospin i bevat (2i+1) eigentoestanden met verschillende i3,
gaande van –i tot +i.
g
49
De operator I2 commuteert met elke projectie operator Ij. We kiezen hieruit I3. Bijgevolg
hebben de operatoren I2 en I3 een gezamelijk stel eigentoestanden die een multiplet
vormen: |i,i3>, met i3=-i, … +i.
50
De afleiding is analoog als deze voor impulsmoment in deel 1 van dit hoofdstuk (zie p9).
In elektromagnetische interacties is lading behouden, evenals vreemdheid en
baryongetal. Volgens de Gell-Mann-Nishijima relatie (zie p44) moet I3 dan ook behouden
zijn.
51
Voor de duidelijkheid gebruiken we hier m ipv i3. De coëfficiënten C zijn de ClebschG
Gordan
coëfficiënten,
ff
gegeven op blz 29 van hoofdstuk
f
II.
Samenstelling van spin werd besproken in hoofdstuk II.
De golffunctie χ beschrijft enkel het isospin gedrag van het deeltje.
52
De symmetrie van de ruimte golffunctie f staat beschreven op blz 12 van dit hoofdstuk.
De symmetrie van de spin golffunctie α staat beschreven op blz 18 van dit hoofdstuk
(pariteit pion). Daar hebben we gezien dat men een neutron met spin up en neutron
met spin down, en vice versa, kon combineren tot een spin triplet dat symmetrisch
was onder verwisseling van de 2 neutronen, en een singlet dat anti-symmetrisch
was.
Om een totaal anti-symmetrische golffunctie y te bekomen kan men 2 combinaties
maken:
1. Spin 1 (S) en isospin 0(A)
2. Spin 0(A) en isospin 1(S)
Vermits het deuteron spin 1 heeft, moet zijn isospin 0 zijn.
53
De werkzame doorsnedes verhouden zich als het kwadraat van de
transitieamplitudes. We beschouwen hier enkel het isospin afhankelijk deel en
veronderstellen dat de reactie plaats grijpt op een bepaalde plaats met bepaalde
spin.
54
55
We hebben gezien in deel 3 (C-operator) dat enkel mesonen die hun eigen antideeltje
zijn een intrinsieke C-pariteit
C
hebben. Dit kan enkel indien hun lading, en alle andere
additieve kwantumgetallen, nul zijn. G-pariteit geeft de mogelijkheid om C-symmetrie uit
te breiden naar deeltjes die niet neutraal zijn. G-pariteit heeft enkel betekenis voor de
sterke wisselwerkingen. Behoud van G-pariteit laat toe na te gaan of bepaalde sterke
wisselwerkingen toegelaten zijn, en laat tevens toe na te gaan van welk type een
interactie is. Dit wordt verder in dit deel besproken. De G-pariteit van de hadronen staat
vermeld in de PDG tabellen.
56
de G-pariteit van het pion werd als volgt bepaald: de eigenfuncties van isospin
zijn de bolfuncties (zie orbitaal impulsmoment in hoofdstuk II). Een onderzoek
van het gedrag van deze eigenfuncties onder een G-transformatie toont dat de
G-pariteit van het pion -1 is.
57
De reactie (1) is elektromagnetisch omdat er in de eindtoestand enkel fotonen optreden.
De pariteit van het η meson werd besproken op de vorige blz.
58
59
60
61
62
63
64