Complexe getallen Inleiding Afspraak

Complexe getallen
© WISNET-HBO
update juli 2013
Inleiding
Een korte inleiding bij het oplossen van vergelijkingen.
Bij kwadratische vergelijkingen heb je wel eens meegemaakt dat er geen oplossingen
zijn in de verzameling van de Reële getallen.
Reële getallen
Meestal reken je met de Reële getallen. Deze getallen liggen op de zogenoemde
getallenrechte. In het midden het getal 0 en links de negatieve getallen en rechts de
positieve getallen. De Reële getallenrechte licht "dicht". Dat wil zeggen dat er geen
"gaten" zitten. Tussen iedere twee getallen ligt altijd nog een Reëel getal in. Reële
getallen kunnen geheel zijn, het kunnen ook breuken (rationale getallen) zijn of
decimale getallen. Ook de getallen die niet als breuken te schrijven zijn (de irrationale
getallen zoals of
) hebben een plaats op de Reële getallenrechte.
Als je nu afspreekt dat er een denkbeeldig getal i bestaat waarvoor de volgende
afspraak geldt:
Afspraak:
dan is er opeens veel meer mogelijk:
Ga na dat bij de vergelijking
geen oplossing bestaat in de Reële getallen, maar met de bovengenoemde afspraak
kun je de vergelijking anders schrijven:
Vervang nu
en schrijf daarvoor
in de plaats:
Nu is gemakkelijk in te zien wat de oplossing is van deze vergelijking:
of
Er zijn dus nu voor deze tweedegraads vergelijking tóch twee oplossingen.
Deze oplossingen noemen we imaginair omdat ze puur bestaan uit een veelvoud van
het denkbeeldige (imaginaire) getal i waarvoor bovengenoemde afspraak geldt..
Als de oplossing behalve imaginaire getallen ook nog reële getallen bevat, dan noemen
we zo'n combinatiegetal een complex getal.
Zie in Het complexe vlak hoe een dergelijk getal een plaats krijgt in het complexe vlak.
Imaginaire getallen
Afspraak:
Het getal i is de imaginaire eenheid.
Dit denkbeeldige getal heeft helemaal géén plaats op de Reële getallenrechte.
De Reële getallenrechte ligt immers "dicht".
Het betekent dat er geen plaats meer is voor nog andere getallen ergens "tussen"
bestaande reële getallen in.
Er moet dus een nieuwe as gemaakt worden die vol ligt met imaginaire getallen.
Deze nieuwe as noemen we dan de Imaginaire as en daarop kunnen we alle
imaginaire getallen kwijt.
Dus ook de getallen
,
en
en
en
en
en dergelijke,
kunnen allemaal een plaats krijgen op deze Imaginaire as.
Al deze imaginaire getallen hebben dan op de Imaginaire as een volgorde van klein
naar groot, net als op de Reële getallenrechte (Reële as).
Zie in de volgende paragraaf een plaatje van het complexe vlak waarin de Reële as
en de Imaginaire as een plaats krijgen en waar om practische (rekentechnische)
redenen deze assen loodrecht op elkaar zijn geplaatst.
Het complexe vlak
De horizontale as is de Reële as (Re-as) en de verticale as is nu gereserveerd voor
de Imaginaire as (Im-as).
Elk complex getal (dat bestaat uit een reëel deel en een imaginair deel) kan dan
een plaats krijgen in het complexe vlak.
Het getal
bijvoorbeeld heeft als Reëel deel het getal 3 (afgepast op de
horizontale as) en als Imaginair deel het getal 4 (afgepast op de verticale as).