hydrodynamica en turbulentie

INSTITUUT VOOR MARIEN EN
ATMOSPHERISCH ONDERZOEK
UTRECHT
Han van Dop
HYDRODYNAMICA EN
TURBULENTIE
D xx-xx
februari 2009
2
Inhoudsopgave
1 INLEIDING
1.1 De ruimte- en tijdschalen van bewegende vloeistoffen
1.2 Fysische tijdschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Dimensieloze getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Turbulentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 BEGRIPPEN EN DEFINITIES
2.1 Lagrangiaanse en Euleriaanse beschrijving
2.1.1 Lagrangiaanse beschrijving . . . .
2.1.2 Euleriaanse beschrijving . . . . . .
2.2 Hydrostatica . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Hydrodynamica . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Continuı̈teitsvergelijking . . . . . .
2.3.2 Vorticiteit . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Circulatie . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Het circulatietheorema van Kelvin
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
8
8
10
11
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
13
14
16
18
19
19
20
21
3 POTENTIAALSTROMINGEN
3.1 De vergelijking van Bernoulli . . . . . . . . . . .
3.2 De stroomfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 De snelheidspotentiaal . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 De complexe potentiaal . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Stroming rond een cilinder . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Stroming rond een cilinder met circulatie
3.5.2 Krachten op een cilinder . . . . . . . . . .
3.6 Conforme afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 De Joukowski transformatie . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
24
25
26
29
32
33
34
35
4 VISCEUZE STROMINGEN
4.1 Behoud van massa (continuı̈teitswet) en
van Newton) . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 De spanningstensor . . . . . . . .
4.1.2 De Navier-Stokes vergelijkingen .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
impuls
. . . .
. . . .
. . . .
(tweede wet
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
41
43
46
4
INHOUDSOPGAVE
4.2
4.3
4.1.3 O pmerkingen en benaderingen . . . . . . .
Energiebehoud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Toestands- en constitutionele vergelijkingen
Visceuze stromingen van vloeistoffen met constante
4.3.1 Parallelle stromingen . . . . . . . . . . . . .
5 NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN
5.1 Fenomenologie . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 De gegeneraliseerde Newtoniaanse vloeistof .
5.2.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Krachten en vervorming . . . . . . . .
5.2.3 De lineaire viscoelastische vloeistof . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 WARMTETRANSPORT
6.1 Warmtetransport in een stilstaand medium . . . .
6.1.1 De Laplace transformatie . . . . . . . . . .
6.1.2 De Fourier transformatie . . . . . . . . . .
6.2 Warmtetransport door convectie en geleiding . . .
6.2.1 Gedwongen convectie: Ra/Re 1, F r 1
6.2.2 Vrije convectie: Ra/Re = O(1) . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
dichtheid
. . . . . .
48
52
53
53
54
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
63
68
68
69
74
.
.
.
.
.
.
79
79
79
82
84
87
89
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 STABILITEIT VAN STROMINGEN
95
7.1 Instabiliteit van vlakke Poiseuille stroming . . . . . . . . . . . 95
7.2 Kelvin-Helmholtz instabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 De overgang naar turbulentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8 TURBULENTIE
8.1 Het spectrum van turbulentie en de energiecascade . . . . .
8.1.1 Fourier representatie van de bewegingsvergelijkingen
8.2 Statistische theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 De Autocorrelatiefunctie . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Het turbulentie spectrum . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 De correlatie tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4 Isotrope turbulentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.5 De Von Karman-Howarth vergelijking . . . . . . . .
8.2.6 Kolmogorov’s 4/5 wet . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Turbulentie en schaalinvariantie . . . . . . . . . . . . . . . .
103
. 103
. 104
. 111
. 111
. 112
. 114
. 115
. 118
. 121
. 122
9 WISKUNDIG GEREEDSCHAP
9.1 Vectoridentiteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Integraal relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Differentiaal relaties in verschillende coordinatenstelsels
9.3.1 Bolcoordinaten 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Cilindercoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
. 127
. 128
. 128
. 128
. 130
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
INHOUDSOPGAVE
9.4
9.3.3 Poolcoordinaten 2-D .
Integraal transformaties . . .
9.4.1 Laplace transformatie
9.4.2 Fourier transformatie
10 Opgaven werkcollege
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
131
133
133
134
135
6
INHOUDSOPGAVE
Hoofdstuk 1
INLEIDING
Sinds het begin van zijn bestaan is de mens met het verschijnsel stroming
geconfronteerd. Niettemin is het pas laat als wetenschap erkend. Eigenlijk
werd er pas in de Middeleeuwen en Renaissance (Leonardo da Vinci, Galileo)
vanuit een wetenschappelijke hoek naar stromingen gekeken. Voor die tijd
werd de kennis van stromingen natuurlijk allang in het voorbijgaan gebruikt
bij aanleg van waterwegen en waterleidingen in bijvoorbeeld de Romeinse
tijd. Bij de bouw van zeilschepen werd bijna intuı̈tief gebruik gemaakt van de
eigenschappen van stromingen. De theorie daarvoor werd pas aan het begin
van de 20e eeuw geformuleerd. Systematische studie van de hydrodynamica
begon in de 18e eeuw en de reden daarvan is dat in de hydrodynamica
vele bouwstenen uit de fysica en thermodynamica een rol spelen: bij het
bestuderen en beschrijven van stromingen komen zoveel aspecten aan bod
en is de complexiteit zo groot dat de stromingsleer pas laat tot ontwikkeling
is gekomen.
Een van de voorbeelden van complexe stromingen is de atmosferische- en
oceaancirculatie, die in hoge mate ons klimaat bepalen. In deze stromingen
spelen thermodynamica, straling en chaotische processen (turbulentie) een
belangrijke rol. Om deze stromingen goed te beschrijven moet een groot
aantal processen in hun onderlinge samenhang worden geformuleerd.
Een vloeistof is een continu medium dat onder invloed van een kracht in beweging kan komen. De vloeistofdynamica beschrijft de beweging van vloeistofelementjes. De afmeting van die vloeistofelementjes is zo klein gekozen
worden, dat de fijnste structuur van vloeistofbeweging kan worden ‘beschreven’. Anderzijds is het elementje niet zo klein, dat de beweging van individuele atomen en molekulen daarin een belangrijke rol gaan spelen: voor
de bestudering van stroming doen de eigenschappen van individuele atomen en molekulen niet direct ter zake. Daarom bevat een vloeistofelementje
zeer veel atomen en molekulen, waarvan alleen de statistische aspecten van
belang zijn voor de vloeistof beweging.
7
8
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
Vloeistoffen onderscheiden zich in samendrukbare (bijv. gassen) en (vrijwel)
onsamendrukbare vloeistoffen (bijv. water en ijs). Van de laatste twee is
de dichtheid ongeveer constant. Alle vloeistoffen vervormen echter als er
krachten op worden uitgeoefend.
1.1
De ruimte- en tijdschalen van bewegende vloeistoffen
Voor een goede formulering van de dynamica van stroming zullen alle significante krachten die op de vloeistof werken in beschouwing moeten worden
genomen. De kunst is om de dominante krachten te identificeren. De manier
om dat te doen is door naar de karakteristieke grootheden te kijken, bijv.
de ruimte- en tijdschalen van de stroming. Aan de hand daarvan kan men
schattingen maken van de dominante processen in het tijdsbestek waarin
men naar die stroming kijkt. De drie belangrijkste schalen van beweging
zijn: de lengteschaal (L), de snelheidsschaal (U ) en de daarmee samenhangende tijdschaal (L/U ). Bij de lengteschaal van een stroming is het duidelijk
dat deze anders is voor de stroming in een buis dan voor een stroming in
de oceaan, zo ook voor de snelheidsschaal. Als de lengte- en snelheidsschaal
zijn vastgelegd, is daarmee ook een tijdschaal van beweging vastgelegd, als
de verhouding van die twee. Hieronder worden een paar voorbeelden gegeven van hoe sterk de snelheidsschalen (m/s) uit elkaar kunnen lopen in
verschillende geofysische stromingen:
Tabel 1.1: Enkele typische snelheden in uiteenlopende turbulente media
inwendige van aarde, mantelconvectie
ijs
oceaan
atmosfeer
interstellair plasma
10−10
10−7
10−2
101
104
Uit bovenstaande getallen blijkt dat schalen zeer sterk van elkaar verschillen.
Niettemin vertonen processen in die stromingen vaak een grote onderlinge
gelijkenis (zie figuur 1.1)
1.2
Fysische tijdschalen
Naast de tijdschalen van stromingen zelf, is het ook mogelijk om tijdschalen te identificeren die gebaseerd zijn op de fysische eigenschappen van het
1.2. FYSISCHE TIJDSCHALEN
9
Figuur 1.1: Stofband in Centaurus A. De complexe turbulente structuur is
vermoedelijk het gevolg van een botsing tussen twee sterrenstelsels met veel
gasvormig materiaal.(zie http://www.eso.org/outreach). Hoewel de tijd- en
ruimteschalenschalen vele ordes van grootte verschillen is de visuele structuur niet veel verschillend van een wolkendek of een rookpluim.
medium. Daarbij moeten we denken aan de viscositeit (ν) (’stroperigheid’),
met een dimensie lengte maal snelheid zoals we straks zullen zien). Zonder
in detail in te gaan op de dynamica is het bijv. mogelijk om met behulp
van de lengteschaal van de stroming (L) en de viscositeit een tijdschaal te
schatten waarover een in beweging gebrachte vloeistof tot rust komt: de
tijdschaal van de wrijving, L2 /ν.
Er zijn meer van dit soort fysische eigenschappen zoals (moleculaire) warmtegeleiding, diffusie en magnetische eigenschappen, die alle hun eigen karakteristieke tijdschalen hebben. Bij geofysische stromingen kan de rotatie van
de aarde, (Ω), (rad/s). belangrijk zijn , afhankelijk van de tijdschaal van de
processen die we bekijken.
Dichtheidsverschillen, bijv. ontstaan door verwarming of afkoeling in een
vloeistof in een zwaartekrachtveld leiden tot zg. Archimedes krachten (’buoyancy’). Ook daar wordt een typerende tijdschaal ingevoerd waarbij de dicht-
10
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
Tabel 1.2: Tijdschalen voor een aantal fysische eigenschappen en processen.
In de derde kolom staan deze in dimensieloze vorm (in verhouding tot de
stromingstijdschaal L/U ). De afkortingen Re, Pr, Sc, Ro, Fr staan voor
respectievelijk het Reynolds-, Prandtl-, Schmidt-, Rossby- en Froudegetal.
grootheid
corresponderende dimensieloze
kental
τ
tijdschaal, τ
tijdschaal L/U
viscositeit
L2 /ν
U L/ν
Re
warmtegeleiding
L2 /κ
(U L/ν) x (ν/κ) Re × Pr
diffusie
L2 /γ
(U L/ν) x (ν/γ) Re × Sc
(aard)rotatie
Ω
U/(LΩ)
Ro
1
U2
1/2
Archimedeskracht {L/(g∆ρ/ρ)}
{ gL ∆ρ/ρ} 2
Fr
heidsverschillen en zwaartekracht een rol spelen. Hieronder hebben we bovenstaande tijdschalen samengevat.
1.3
Dimensieloze getallen
Er zijn dus verschillende karakteristieke schalen voor de stroming zelf en voor
zijn fysische eigenschappen. Uit de verhoudingen (dimensieloze getallen)
kunnen we opmaken welke processen wel en niet belangrijk zullen zijn. We
geven drie voorbeelden: om te bepalen of in een stroming de viscositeit wel
of niet belangrijk is, wordt de verhouding van de tijdschalen van viscositeit
en beweging bekeken, deze verhouding levert het Reynoldsgetal: U L/ν. Als
het Reynoldsgetal heel groot is, (viscositeit klein) zijn alleen de tijdschalen
van de beweging van belang, de viscositeit hoeft dus niet in beschouwing
genomen te worden. Is daarentegen het Reynoldsgetal heel klein dan zijn de
visceuze krachten belangrijker en zullen in de beschrijving van een proces
naar voren moeten komen. Voor geofysische stromingen geldt de vraag:
wanneer is het van belang om de rotatie van de aarde, die 2π radialen
per dag roteert (ca. 10−4 rad s−1 ), mee te nemen in de beschrijving van
een stroming? Worden de tijdschaal van de rotatie en de tijdschaalvan het
medium (oceaan, atmosfeer, aardmantel) vergeleken dan volgt daaruit een
ander dimensieloos getal, het Rossby getal.
Een dimensieloos getal dat aangeeft of er een belangrijk verschil is tussen
transport van impuls van een stroming en het transport van warmte is het
Prandtl getal. Zo zijn er nog vele andere dimensieloze getallen die het relatieve belang vastleggen van de verschillende krachten die op een vloeistof
inwerken. Als deze bepaald zijn kunnen (bij benadering) de bewegingsvergelijkingen opgesteld worden. Hierbij is de wet van Newton uitgangspunt,
en worden alle krachten in de stroming op een verstandige manier gekozen,
d.w.z. met weglating van die krachten die geen rol van betekenis spelen. Zo
blijft er uiteindelijk een beperkte, complexe differentiaal vergelijking over,
1.4. TURBULENTIE
11
waarmee de stroming bij benadering beschreven kan worden.
1.4
Turbulentie
Stromingen worden turbulent als niet lineaire krachten domineren. In de
totale afgeleide van de snelheid komen niet-lineaire termen voor, die leiden
tot onstabiliteit en uiteindelijk chaotisch gedrag. De formulering van turbulentie is nog steeds niet rond. Daarom kan turbulentie slechts bij benadering
wiskundig geänalyseerd worden.
Het is niet eenvoudig om in woorden een goede beschrijving van turbulentie
te geven zonder in tautologieën te vervallen. Ongeordende beweging, chaos
en turbulentie zijn vrijwel equivalente begrippen. Beschrijving in wiskundige
zin houdt in dat we behoudswetten en dynamische vergelijkingen voor turbulente systemen kunnen formuleren. In die zin is de turbulentie beschreven
omdat er meestal verondersteld wordt dat de Navier-Stokes vergelijkingen
een goede representatie zijn van vloeistofbeweging. De vergelijkingen zelf
tonen chaotisch gedrag, wat impliceert dat minieme veranderingen in uitgangscondities tot onevenredig sterk afwijkende situaties in het verdere verloop van de stroming aanleiding kunnen geven. De voorspellende waarde
van de vergelijkingen is dus beperkt. Daarom moeten we vaak genoegen nemen met de fenomenologische en statistische beschrijving van turbulentie.
Pas in de laatste jaren is het mogelijk om met computers rechtstreeks uit
de bewegingsvergelijkingen het gedrag van zwak turbulente stromingen te
berekenen.
We onderscheiden twee klassen vloeistofstromingen:
- de laminaire stromingen: rustige gelijkmatige bewegingen die i.h.a.
alleen in de tijd variëren als de externe condities of krachten veranderen; deze stromingen kunnen in principe wiskundig nauwkeurig worden
opgelost.
- de turbulente stromingen: chaotische bewegingen; de banen van individuele (vloeistof)deeltjes zijn niet te berekenen. Alleen statistische
eigenschappen van de stroming kunnen bepaald worden.
In de geofysica komen turbulente stromingen zeer vaak voor. Belangrijke
kenmerken van turbulentie zijn:
- turbulente stroming is onregelmatig, chaotisch en onvoorspelbaar;
- er is grote uitwisseling van impuls, warmte en massa ;
- in turbulentie zijn krachten op vaste lichamen veel groter en is de
wrijving veel groter dan in laminaire stromingen
12
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
Figuur 1.2: Opname van de ’rode vlek’ op het zuidelijk halfrond van Jupiter.
Deze wervel (doorsnede 20.000 km) is ingebed in een zonale stroming (ca.
300 km/h). Er zijn meer turbulente structuren waarneembaar die goeddeels
onverklaard zijn. (Bron: Lesieur (1994))
- er is een grote verscheidenheid in tijd- en ruimteschalen in een turbulente stroming.
In dit collegedictaat worden de fundamentele aspecten van hydrodynamica en turbulentie behandeld. Na een uiteenzetting van het begrippenkader
volgen eerst de bewegingsvergelijkingen voor een niet visceuze stroming gebaseerd op bekende klassieke behoudswetten. Voor een grote klasse van
stromingen is de potentiaaltheorie van toepassing. Deze wordt besproken aan de hand van stromingen rond objecten. Daarna wordt viscositeit
geı̈ntroduceerd. Een aantal voorbeelden van visceuze stromingen wordt gegeven. In aparte hoofdstukken wordt warmtegeleiding en stromingen van
niet-Newtoniaanse vloeistoffen behandeld. De groei van onstabiliteiten en
de overgang naar turbulentie wordt behandeld in hoofdstuk 7. Tenslotte
worden een inleiding gegeven in de theorie van volledig ontwikkelde turbulente stromingen.
Hoofdstuk 2
BEGRIPPEN EN
DEFINITIES
Bij gebruik van een orthogonaal assenstelsel zullen we aannemen dat als
we de +x-as tegen de klok in naar de +y-as draaien, de positieve z-as de
richting heeft die gegeven wordt door de kurkentrekker-regel. Het is verder
gebruikelijk om in orthogonale geofysische coordinaatsystemen de oorsprong
in een vast punt op aarde te kiezen. De +x-as loopt van west naar oost,
en de +y-as van zuid naar noord. De +z-as is dan omhoog gericht en
parallel aan de zwaartekracht. Bedenk dat in de technische stromingsleer
(in windtunnels bijv.) de y-as meestal de verticale coordinaat voorstelt.
We zullen ons hier verder beperken tot een een medium (vloeistof of gas)
dat slecht uit één component bestaat, zonder tussen vloeistof en gas een
onderscheid te maken. Verder nemen we aan dat het medium continu is, zodat positie en snelheid van individuele vloeistofelementen voldoende gladde
functies van ruimte en tijd zijn om deze te kunnen differentiëren etc.
2.1
2.1.1
Lagrangiaanse en Euleriaanse beschrijving
Lagrangiaanse beschrijving
In een Lagrangiaanse beschrijving wordt de plaats van elk vloeistofelement
gegeven in de vorm van een baan, pad of trajectorie (’trajectory’) als functie
van de tijd. Men gaat uit van een aanvangstijdstip t = t0 , waarop de plaats
van een vloeistofdeeltje door a of ai (i = 1, 2, 3) wordt gekenmerkt. De
onafhankelijke parameters zijn dus ai en t. De afhankelijke parameters zijn
deeltjeseigenschappen zoals positie en snelheid van het vloeistofelement. De
positie wordt beschreven met de coördinaten Xi . In formulevorm wordt de
baan van een vloeistofdeeltje gegeven door:
Xi (t, a )
13
(2.1)
14
HOOFDSTUK 2. BEGRIPPEN EN DEFINITIES
velocity, W(t)
2
1
0
-1
position, Z(t)
-2
0
20
40
60
80
0
20
40
time(t)
60
80
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
Figuur 2.1: De verticale snelheid (a) en positie (b) van een vloeistofdeeltje
dat op t = 0 de oorsprong verliet. Merk op dat de gemiddelde snelheid
vrijwel nul is.
met Xi = ai voor t = 0 De snelheid in de Lagrangiaanse beschrijving is
gedefinieerd als de snelheid van een vloeistofelement:
Vi (t, a ) =
dXi (t, a )
dt
(2.2)
In figuur 2.1 hebben we met een eenvoudig algoritme een ’willekeurig’ snelheids signaal geconstrueerd. (Het signaal heeft een autocorrelatie en is een
zg ’Wiener proces’). Dit signaal is geı̈ntegreerd in de onderste grafiek.
Een stroomlijn is gedefinieerd als de raaklijn aan de baan en heeft dus voor
ieder moment de richting van de snelheid.
Een strijklijn is de kromme die onstaat door alle vloeistof elementen die
eens door een bepaald punt gegaan zijn, met elkaar te verbinden. Je kan
je dit voorstellen door bijv. met een injectienaald kleurstof in de stroming
te brengen. De gekleurde lijn die dan ontstaat is een strijklijn. In een
stationaire stroming, waarbij de lokale eigenschappen van de stroming niet
van de tijd afhangen, vallen trajectorie, strijk- en stroomlijn samen.
2.1.2
Euleriaanse beschrijving
In een Euleriaans stelsel geven we op elk moment een volledige ruimtelijke
beschrijving van het stromingsveld t.o.v. een vast assenstelsel. De onaf-
2.1. LAGRANGIAANSE EN EULERIAANSE BESCHRIJVING
15
hankelijke parameters zijn de cordinaten x of xi (i = 1, 2, 3) en t. De
afhankelijke parameters zijn de eigenschappen van het stromingsveld, bijvoorbeeld de snelheid of de druk. In formulevorm wordt de beschrijving van
x, t).
het snelheidsveld op ieder tijdstip en plaats gegeven door ui (x
De Langriaanse en Euleriaanse snelheid zijn gekoppeld volgens
X (t, a ), t)
V (t; t0 ) = u (X
(2.3)
Bij de beschrijving van de dynamica van stromingen gaan we uit van stelsels
vergelijkingen voor een aantal stromingsvariabelen als functie van plaats en
tijd, zoals snelheid (3 componenten ui (i = 1, 2, 3), druk (P ), dichtheid (ρ)
en temperatuur (T ).
Materiële afgeleide
In één dimensie wordt de tijdsafgeleide van de variabele u(x, t), de versnelling, gegeven door:
du
∂u ∂u dx
=
+
(2.4)
dt
∂t
∂x dt
De eerste term rechts is de lokale versnelling, de tweede de advectieve. Vergelijking (2.4) leidt tot:
du
∂u
∂u
=
+u .
dt
∂t
∂x
De operator d/dt kan dus geschreven worden als
∂
∂
d
=
+u .
dt
∂t
∂x
In drie dimensies is de notatie voor de differentiaaloperator d/dt
d
∂
∂
=
+ ui
,
dt
∂t
∂xi
(2.5)
(2.6)
(2.7)
of in vectornotatie
d
∂
=
+ u.∇
u.∇.
(2.8)
dt
∂t
Men noemt dit de meebewogen of ook wel de materiële of convectieve afgeleide. Is f een eigenschap in de stroming dan geldt dus
df
∂f
u.∇
=
+ (u.∇
u.∇)f.
(2.9)
dt
∂t
De locale verandering van f wordt dus gegeven door ∂f
∂t . In een stationaire
u.∇
stroming is deze term 0. De term (u.∇
u.∇)f is de verandering van f als we met
u.∇
de stroom meebewegen en (u.∇
u.∇)f = 0 betekent dus dat f langs de baan
df
niet verandert. Zo betekent dt = 0 dat de eigenschap f constant is voor het
beschouwde vloeistofelementje.
16
HOOFDSTUK 2. BEGRIPPEN EN DEFINITIES
F ) op het oppervlakje
Figuur 2.2: Voor een vloeistof in rust zijn de krachten (F
∆x ∆y ter weerszijde een denkbeeldig vlak P in de vloeistof in balans.
2.2
Hydrostatica
Een kenmerkende eigenschap van vloeistoffen is dat ze vervormen als we er
krachten op uitoefenen. We onderscheiden volumekrachten, die op het hele
vloeistofelementje aangrijpen en oppervlaktekrachten die op het oppervlak
van het elementje aangrijpen (zie figuur 2.2).
Een voorbeeld van een volumekracht is de zwaartekracht:
F vol = ρ g ∆x∆y∆z,
waarin g = (0, 0, −g) de versnelling van de zwaartekracht is en ρ de dichtheid
van de vloeistof (zie figuur 2.3).
De kracht op een willekeurig oppervlakje in een vloeistof kan ontbonden
worden in een kracht loodrecht op het oppervlak, per definitie de druk p, en
een kracht evenwijdig aan het oppervlak, de spanning (’stress’), T , (beide per
2.2. HYDROSTATICA
17
Figuur 2.3: De druk in een vloeistof in rust in een zwaartekrachtsveld.
oppervlakte eenheid). In een vloeistof in rust is T gelijk aan 0, omdat anders
de vloeistof in beweging zou komen. Verder is de druk in alle richtingen even
sterk (’de bal is rond’).
In een zwaartekrachtveld moet er dus altijd een evenwicht zijn tussen drukgradiënt en zwaartekracht, dat voor een klein volume als volgt formuleerd
kan worden:
{p(z + ∆z) − p(z)}∆x∆y = −ρg∆x∆y∆z
of
∂p
= −ρg,
(2.10)
∂z
de hydrostatische vergelijking. Omdat we de zwaartekracht als de gradiënt
van de zwaartekrachtspotentiaal (geopotentiaal) φ kunnen schrijven1 , g =
∇φ, is in wat algemenere vectornotatie:
∇p = −ρ∇φ.
(2.11)
Deze vergelijking heeft in het algemeen geen oplossing omdat een willekeurig
dichtheidsveld tot een inhomogeen drukveld zou leiden dat de vloeistof in
beweging zou zetten. Alleen voor ρ is constant en ρ = ρ(p) zijn er realistische
oplossingen. (In het eerste geval is deze p + ρφ = constant). Verder zien we
uit (2.11) dat de richting van de drukgradiënt en de zwaartekracht dezelfde
is: drukvlakken en geopotentiaal vlakken samen. Nemen we de rotatie van
(2.11) dan volgt (zie de appendix voor vectordifferentiatie):
∇φ × ∇ρ = 0.
1
Als we langs een willekeurig pad in een g-veld weer naar de beginpositie
terugkeren,
H
dan hebben we energie gewonnen noch verloren. In formulevorm g .dll = 0. Met de
stelling van Stokes volgt direct ∇ × g = 0, en dus kan het veld g geschreven worden als de
gradiënt van een ander veld, het potentiaalveld: g = ∇φ.
18
HOOFDSTUK 2. BEGRIPPEN EN DEFINITIES
Figuur 2.4: Illustratie bij de afleiding van de continuiteitsvergelijking.
Ook de dichtheidsvlakken vallen samen met de geopotentiaal vlakken. We
stappen nu af van de hydrostatica en gaan over naar bewegende vloeistoffen.
2.3
Hydrodynamica
Als de krachten in een vloeistof niet in balans zijn leidt dit tot versnellingen. We nemen (2.11) als voorbeeld. De onbalans tussen de krachten
leidt weer volgens Newton2 tot een versnelling die voor een eenheidsvolume
geformuleerd kan worden als3 :
ρ
du
= −∇p − ρ∇φ.
dt
(2.12)
x, t) kunnen we uitschrijven zodat
De differentiaal van het snelheidsveld u (x
u
∇p
∂u
u.∇)u
u=−
+ (u
− ∇φ,
∂t
ρ
(2.13)
wat met gebruik making van de vectorrelaties in de appendix (zie sectie 9.1)
geschreven kan worden als
u
∂u
1
∇p
+ (∇ × u ) × u + ∇u2 = −
− ∇φ,
∂t
2
ρ
(2.14)
de Eulervergelijking.4 Deze vergelijking is nog niet oplosbaar.
2
Isaac Newton (1643-1727)
We zullen er voorlopig van uitgaan dat de viscositeit van de vloeistof verwaarloosbaar
is. We spreken dan van een ’droge vloeistof’ (waarom?). De enige krachten die op het
oppervlak van een vloeistof elementje werken zijn dus normaalkrachten (’de druk’). Een
meer rigoureuze afleiding van de bewegingsvergelijkingen voor visceuze vloeistoffen volgt
later in het diktaat.
4
Leonhard Euler (1707-1783)
3
2.3. HYDRODYNAMICA
2.3.1
19
Continuı̈teitsvergelijking
We zullen hier aannemen dat de vloeistof onsamendrukbaar (incompressibel) is, ρ is constant. Dit heeft een belangrijke consequentie want de netto
massatoename in tijdstapje ∆t, in een vast volumetje ∆x∆y∆z,
ρ(t + ∆t) − ρ(t)
∆x∆y∆z
∆t
is gelijk aan de netto instroom:
− {(ρu(x + ∆x) − ρu(x))∆y∆z
+ (ρv(y + ∆y) − ρv(y))∆z∆x
+ (ρw(z + ∆z) − ρw(z))∆x∆y}.
(zie figuur 2.4). Een Taylor-reeksontwikkeling leidt in eerste orde tot
∂ρ
u),
= −∇.(ρu
∂t
(2.15)
de continuiteitsvergelijking. De consequentie van constante dichtheid is dat
u = 0.
∇.u
(2.16)
Een stroming die aan conditie (2.16) voldoet heet divergentieloos of divergentievrij. Een niet-visceuze onsamendrukbare vloeistof wordt een ideale
vloeistof genoemd.
In dat geval hebben we een systeem van 4 vergelijkingen (2.14 en 2.16) met 4
onbekenden (p en u ), dat in principe oplosbaar is. Dit systeem staat bekend
als de Euler vergelijkingen en is (historisch gezien) een voorloper van de
Navier-Stokes vergelijkingen.
2.3.2
Vorticiteit
De vorticiteit ω is gedefinieerd als
ω = ∇ × u.
(2.17)
In een linksom roterende stroming is, de kurkentrekker-regel volgend, de
vorticiteit positief. Een stroming met vorticiteit hoeft niet noodzakelijkerwijs te roteren. Neem als voorbeeld een uniforme 2-D schuifstroming
u(z) langs een wand, in een geofysisch coördinatensysteem. Hiervoor geldt
ω = (0, −∂u/∂z, 0), dus met een y-component ongelijk 0.
Anderzijds hoeft een roterende stroming geen vorticiteit te hebben. Neem
bijv. een 2-D lijnwervel gekarakteriseerd door u = (0, kr , 0) (in cilindercoördinaten, (r,ϕ,z)). Hiervoor vinden we ω = 0 (behalve in de oorsprong).
20
HOOFDSTUK 2. BEGRIPPEN EN DEFINITIES
De vergelijking voor de evolutie van de vorticiteit kan voor een ideale vloeistof eenvoudig afgeleid worden. Neem de rotatie van (2.14):
ω
∂ω
+ ∇ × ω × u = 0.
(2.18)
∂t
Deze vergelijking kan met behulp van de relaties in de appendix (leid dit
zelf af) worden omgeschreven als
ω
dω
ω .∇)u
u,
= (ω
dt
de vorticiteitsvergelijking. Merk op dat de druk en de zwaartekracht niet
meer in deze vergelijking voorkomen en dat het stromingsveld volledig beschreven wordt door de vergelijkingen
ω
dω
ω .∇)u
u
= (ω
dt
u = 0
∇.u
ω = ∇×u
(2.19)
(Merk de analogie van de laatste twee vergelijkingen met de Maxwell verB = 0 en µ0j = ∇ × B )
gelijkingen voor het magnetische veld B op: ∇.B
Voor een 2-D stroming u = (u(x, y, t), v(x, y, t), 0) is het rechterlid 0 in 2.19a
(leid dit af) zodat
ω
dω
= 0,
(2.20)
dt
wat betekent dat de vorticiteit langs de baan van ieder vloeistofelementje behouden is. Een stroming zonder vorticiteit wordt rotatievrij (’irrotational’)
genoemd.
Een belangrijke conclusie die we uit (2.20) kunnen trekken is dat als een 2-D
stroming initieel rotatievrij was, deze dat altijd zal blijven.
2.3.3
Circulatie
Voor latere toepassing is het nuttig het begrip circulatie in te voeren. De
circulatie, Γ, langs een gesloten kromme in de vloeistof wordt gegeven door
de lijnintegraal:
I
u .dll .
Γ=
(2.21)
C
In een rotatievrije stroming is de circulatie 0, want met het theorema van
Stokes (zie appendix) kan de lijn-integraal als een oppervlakte-integraal geschreven worden over een willekeurig oppervlak S begrensd door de kromme
C:
I
Z
Z
ndS =
n dS.
u .dll = (∇ × u ).n
ω .n
(2.22)
C
S
S
2.3. HYDRODYNAMICA
2.3.4
21
Het circulatietheorema van Kelvin
Om dit theorema af te leiden beschouwen we een gesloten materiële kromme
in de vloeistof. Een materiële kromme is een denkbeeldige curve gevormd
door ’gemerkte’ vloeistofelementjes. Zo’n kromme is niet stationair want
ieder elementje van de kromme beweegt met vloeistofsnelheid ter plekke
van dat elementje. De circulatie langs zo’n kromme kunnen we formuleren
als
I
u .dll ,
(2.23)
Γ=
C(t)
en de tijdsafgeleide als
dΓ
=
dt
I
C(t)
u
du
.dll +
dt
I
u .d
C(t)
dll
,
dt
(2.24)
omdat ook het lijnelementje met de tijd verandert5 . Voor de tweede integraal
geldt
I
I
I
1
dll
u=
u)2 = 0.
u .du
.d(u
(2.25)
u .d =
dt
C(t) 2
C(t)
C(t)
De eerste integraal van (2.24) schrijven we met de Eulervergelijking (2.13)
als
I
dΓ
∇p
=−
+ ∇φ dll .
dt
C(t) ρ
Voor constante dichtheid volgt
dΓ
= 0,
dt
het circulatietheorema van Kelvin. Een belangrijke consequentie is, dat een
stroming die initieel rotatievrij is, dat ook zal blijven. Is de dichtheid niet
constant, dan is volgens (2.14) met de stelling van Stokes
Z
dΓ
1
= − (∇ × ∇p) · n dS,
(2.26)
dt
ρ
S
het theorema van Bjerkness. Dus als druk- en temperatuurvlakken evenwijdig zijn, dan is dΓ/dt gelijk aan 0. In dat geval spreken we van een barotrope
stroming. Als ze niet evenwijdig zijn dan verandert de circulatie en dus ook
de vorticiteit! In dat geval spreken we van een barokliene stroming.
5
een meer rigoureuze afleiding wordt gegeven in bijv. Batchelor, hfdst. 3
22
HOOFDSTUK 2. BEGRIPPEN EN DEFINITIES
Hoofdstuk 3
POTENTIAALSTROMINGEN
Voor deze klasse van stromingen geldt
u = 0
∇.u
ω ≡ ∇ × u = 0.
We zullen ons beperken tot 2-D potentiaal stromingen.
3.1
De vergelijking van Bernoulli
We keren terug naar de Eulervergelijkingen (2.14). Voor een rotatievrije
stroming kan deze geschreven worden in de vorm:
u
1
p
∂u
+ ∇{ u2 + + φ} = 0,
∂t
2
ρ
(3.1)
de Bernoulli1 vergelijking. In het stationaire geval volgt dat
1 2 p
u + +φ
2
ρ
(3.2)
constant is. Op een geopotentiaalvlak reduceert de vergelijking verder tot
1 2 p
u + = constant.
2
ρ
(3.3)
Is het snelheidsveld van de stroming bekend, dan kan met (3.3) het drukveld
worden berekend. Op plaatsen in de stroming waar de snelheid 0 is (stuwpunten), is de druk het hoogst. Dit gegeven wordt gebruikt om de snelheid
in de stroming te meten. Het instrument dat hiervoor is ontworpen is de zg.
’Pitot buis’ (zoek op hoe deze werkt).
We kunnen met (3.2) uitrekenen wat de uitstroomsnelheid uit een vloeistofvat is. Langs de stroomlijn is de druk aan het vloeistofoppervlak de druk
23
24
HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN
Figuur 3.1: Uit een vat stromende vloeistof.
p0 en de snelheid 0 (zie figuur 3.1). Als in de uitstroomopening de snelheid
uuit is dan geldt volgens (3.2)
zodat uuit =
3.2
√
1
ρ g h + p0 = p0 + ρu2uit
2
2gh. (We hebben de niveaudaling verwaarloosd).
De stroomfunctie
De stroomfunctie, ψ, is gedefinieerd als
∂ψ
∂y
∂ψ
−
∂x
= u
= v,
of in vectornotatie:
∇ψ × e3 = u,
waarin e 3 = (0, 0, 1) de eenheidsvector in de z-richting is.
1
Daniel Bernoulli (1700-1782)
3.3. DE SNELHEIDSPOTENTIAAL
25
Met deze definitie is automatisch voldaan aan de continuiteitswet. De
u.∇
∇)ψ = 0. Realiseer je
stroomfunctie is constant langs een stroomlijn: (u
dat de snelheid altijd raakt aan de stroomlijn en dat de snelheid loodrecht
op de stroomlijn altijd 0 is. Volgens deze definitie is dus de begrenzing van
een vast object in de stroming tevens een stroomlijn.
Verder is de stroming rotatievrij, zodat
ωz ≡
∂u ∂v
∂2ψ ∂2ψ
−
=
+
= 0,
∂y ∂x
∂x2
∂y 2
(3.4)
dus ψ voldoet aan de Laplace vergelijking:
∆ψ = 0.
3.3
(3.5)
De snelheidspotentiaal
Omdat de stroming rotatievrij is kunnen we een tweede potentiaalfunctie
definiëren:
∇ϕ = u ,
(3.6)
de snelheidspotentiaal. Ook deze functie voldoet aan de Laplace2 vergelijking:
∆ϕ = 0.
(3.7)
Leggen we de randvoorwaarden op, dan is met de Laplace vergelijking de
stroming geheel bepaald. De Laplace vergelijking is een lineaire vergelijking:
als ϕ1 en ϕ2 oplossingen zijn, dan voldoet ook ϕ1 + ϕ2 als oplossing. Voor
deze speciale klasse van stromingen (niet-visceuze, onsamendrukbare, rotatievrije stromingen), kan een meer ingewikkelde stroming worden verkregen
door superpositie van stromingspotentialen.
Zo kan als voorbeeld de Bernoulli vergelijking (3.1) ook geschreven worden
als
∂ϕ 1
p
+ (∇ϕ)2 + + gz = constant,
(3.8)
∂t
2
ρ
waarin we voor de volumekracht de zwaartekracht hebben genomen.
De twee harmonische functies3 ϕ en ψ voldoen aan de Cauchy-Riemann4
condities:
∂ψ
∂ϕ
=
∂y
∂x
(3.9)
∂ψ
∂ϕ
=
.
−
∂x
∂y
2
Pierre-Simon Laplace (1749-1827)
Een willekeurige reëele functie u(x,y) met continue tweede afgeleiden, die voldoet aan
de Laplace vergelijking, wordt een harmonische functie genoemd
4
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
3
26
HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN
Deze speciale condities maken het arsenaal van de complexe functietheorie
toegankelijk, waarmee we een aantal aspecten van 2-D potentiaalstromingen
op een elegante manier kunnen beschrijven.
3.4
De complexe potentiaal
We definiëren een complexe functie w(z) als
w = ϕ + iψ,
√
met i = −1 en z een willekeurig punt in het complexe vlak (z = x + i y) .
Als de functies φ(x, y) en ψ(x, y) voldoen aan de Cauchy-Riemann condities
(3.9), dan is w een analytische functie, wat impliceert dat w differentieerbaar
is, en dat zijn afgeleide niet afhangt van de differentiatierichting in het zvlak. (Verifieer zelf dat differentiatie van w in de x-richting (δz = δx) en in
de y-richting (δz = i δy) hetzelfde resultaat, u − i v, oplevert.)
Het algemene bewijs gaat als volgt. Daarin wordt ook duidelijk dat ϕ
and ψ aan de Cauchy voorwaarden moeten voldoen.
De afgeleide van de functie w ≡ ϕ + iψ in het complexe vlak is gedefinieerd als
w(z + h) − w(z)
dw
= lim
,
h→0
dz
h
waarin h een complex getal is, h = j + i k. We schrijven het differentiaal
quotient uit als
ϕ(x + j, y + k) − ϕ(x, y) ψ(x + j, y + k) − ψ(x, y)
w(z + h) − w(z)
=
+i
,
h
j+i k
j+i k
en ontwikkelen ϕ en ψ in een Taylor-reeks5 ontwikkeling. Bijv. voor ϕ
ϕ(x + j, y + k) = ϕ(x, y) + j
∂ϕ
∂ϕ
+k
+ ....
∂x
∂y
Na substitutie volgt:
dw
∂ϕ
∂ϕ
∂ψ
∂ψ
= lim {j
+k
+ i(j
+k
) + . . . }.
h→0
dz
∂x
∂y
∂x
∂y
Gebruiken we nu de Cauchy-Riemann condities (3.9) en herschikken we
de termen, dan leidt dit tot
dw
1
∂ϕ
∂ψ
= lim {(j + ik)
+ i(j + ik)
+ . . . } = u − iv.
h→0 h
dz
∂x
∂x
Verder volgt uit de Cauchy-Riemann condities
∇ϕ.∇ψ =
∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ
+
= 0.
∂x ∂x
∂y ∂y
(3.10)
1
1
-1 21
3.4. DE COMPLEXE POTENTIAAL
27
Figuur 3.2: Stromingsveld van een stagnerende stroming (linksboven) en
equipotentiaalvlakken voor achtereenvolgens , een put, een vortex en een
dipool.
De gradient van de stroomfunctie staat dus overal loodrecht op de gradient
van de snelheidspotentiaal.
De functie w legt de stroming geheel vast want
dw
}
dz
dw
v(x, y) = −= { }.
dz
We zullen nu een aantal voorbeelden van potentiaal stromingen geven met de
daarbij behorende complexe potentialen (zie figuur 3.2). Niet iedere functie
w(z) zal echter een realistische potentiaal stroming opleveren.
u(x, y) = < {
• Parallel stroming
De complexe potentiaal van een uniforme stroming (snelheid U ) onder
een hoek α met de x-as is
w(z) = U ze−iα .
(3.11)
28
HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN
• stroming met een stagnatiepunt
Voor k > 0 is de complexe potentiaal
w(z) =
k 2
z
2
(3.12)
gegeven. Met z = x + iy vinden we w(x, y) = k2 (x2 − y 2 ) + ikxy. Dus
ϕ(x, y) = k2 (x2 − y 2 ) en het snelheidsveld is
u(x, y) = kx
v(x, y) = −ky
wat een stroming met een stagnatiepunt voorstelt.
• (Potentiaal)bron of -put
Voor een bron (Q > 0) in locatie z1 is
Q
ln(z − z1 ).
2π
w=
(3.13)
Dit stelt een radiale stroming voor, waarvan de stroomlijnen convergeren in z1 . De circulatie langs iedere gesloten kromme die niet z1 omvat
is 0. Ligt z1 wel binnen de kromme dan is de circulatie gelijk aan Q.
• Wervel (’vortex’)
Voor een wervel met sterkte Γ, (nb. met de klok mee is Γ < 0) en
centrum in z1 is
iΓ
w=−
ln(z − z1 ).
(3.14)
2π
Ook voor deze stroming is de circulatie die z1 uitsluit 0 en anders Γ
• Dipoolstroming
Dit is de lineaire combinatie van een bron en een put, die op afstand
2a van elkaar geplaatst zijn. Voor een dipool met bron en put (sterkte
respectievelijk +µ en −µ) op de x-as, op −a, 0 en a, 0 is de potentiaal
w=
µ
z+a
ln(
).
2π
z−a
(3.15)
• Doublet
Dit is een bijzonder geval van de dipoolstroming, waar de limiet a → 0
en µ → ∞ genomen wordt met de conditie dat het produkt 2µa eindig
(=m) is: Voor een doublet met sterkte m is
w=
m 1
.
2π z
(3.16)
(Leid af). In tabel 3.1 zijn nu een aantal voorbeelden gegeven van complexe
potentialen en de corresponderende (fysisch realistische) stromingen.
3.5. STROMING ROND EEN CILINDER
29
Figuur 3.3: Stroming rond een cilinder).
3.5
Stroming rond een cilinder
Omdat de Laplace vergelijking linear is, mogen we potentialen superponeren. We verkrijgen daarmee een nieuwe potentiaalstroming. De complexe
potentiaal
m1
w(z) = U z +
2π z
is de som van het veld van een parallelle stroming en een doublet. De
stroomlijnen vinden we uit
ψ(x, y) = =(w) = U y −
m
y
.
2π (x2 + y 2 )
(3.17)
Voor x2 + y 2 = m/(2πU ) is ψ constant (= 0). Dit stelt in het 2 D vlak de
vergelijking vanpeen cirkel voor. Er is dus een cirkelvormige gesloten stroomlijn met straal m/(2πU ). Omdat er geen vloeistof over een stroomlijn gaat
u.∇ψ = 0) kunnen we zonder de stroming te verstoren (geen wrijving!) een
(u
cilinder met deze straal in de stroming plaatsen. De stroming rond een cilinder volgt dus uit (3.17). Op grote afstand van de cilinder wordt de invloed
van het doublet steeds kleiner en de stroming convergeert naar de uniforme
30
HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN
(achtergrond)stroming. Op de snijpunten van de x-as met de cilinder is de
snelheid 0. Dit zijn de stagnatiepunten (zie figuur 3.3).
Doublet in z1 met as in positieve (m < 0)
of negatieve (m < 0) richting
Wervel met centrum in z1 ,
rechtsom (Γ < 0) of linksom (Γ > 0)
Bron (Q > 0) of put (Q < 0) in z = z1
type
Parallelle stroming onder een
hoek α met de x-as
ln(z − z1 )
m 1
2π z−z1
iΓ
− 2π
ln(z − z1 )
Q
2π
U z e−iα
complexe potentiaal
m
− 2π
h
1
z−z1
iΓ
2π(z−z1 )
Q
2π(z−z1 )
U eiα
i2
complexe snelheid
(z − z1 = r eiθ )
m y
− 2π
r2
Γ
− 2π
ln r, (z − z1 = r eiθ )
Qθ
2π ,
U {y cos α − x sin α}
stroomfunctie ψ
3.5. STROMING ROND EEN CILINDER
Tabel 3.1: Voorbeelden van potentiaal stromingen
31
32
3.5.1
HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN
Stroming rond een cilinder met circulatie
We kunnen zonder problemen de potentiaal van een wervel aan de cilinderstroming toevoegen: het
p is een louter tangentiële stroming die de gesloten
stroomlijn met straal m/(2πU ) niet aantast. De potentiaal is dan
w(z) = U z +
m1
iΓ
−
ln z
2π z 2π
(3.18)
De stroomlijnen vinden we uit
ψ(x, y) = ={w} = U y −
y
Γ
m
−
ln(x2 + y 2 )1/2
2
2
2π (x + y ) 2π
(3.19)
en we zien direct dat op de cirkel x2 + y 2 = m/(2πU ) ≡ a2 geldt dat ψ(x, y)
= constant, d.w.z. de cirkel met straal a is een (gesloten) stroomlijn.
In poolcoordinaten (x = r cos ϑ, y = r sin ϑ) wordt (3.19):
a2
Γ
ln r.
(3.20)
) sin ϑ −
r
2π
In poolcoordinaten (zie hoofdstuk 9) zijn de snelheidscomponenten ur en uθ
ψ(r, ϑ) = U (r −
ur =
1 ∂ψ
a2
= U (1 − ) cos ϑ
r ∂ϑ
r2
(3.21)
a2
Γ
∂ψ
= −U (1 + 2 ) sin ϑ +
∂r
r
2πr
Voor het schetsen van het stromingsbeeld zijn de markante punten de stuwpunten van de stroming. Daar geldt u = 0. Definiëren we B = −Γ/(2πaU )
dan zien we dat voor 0 ≤ B < 2 twee stuwpunten op de cirkel liggen. Voor
B = 2 is er precies één stuwpunt op de cirkel en voor B > 2 is er een stuwpunt in het buitengebied van de cirkel (zie kader). Het complete plaatje is
geschetst in figuur 3.4.
uθ = −
Uit ur = 0 volgt i) r = a (het stuwpunt ligt op de rand) of ii) cos ϑ =
3π/2. In het eerste geval volgt uit uϑ = 0 en de definitie van B dat
B + 2 sin ϑ = 0.
Deze vergelijking levert voor 0 ≤ B < 2 twee waarden voor ϑ dus twee
stuwpunten op de cilinder, en voor B = 2 één stuwpunt.
Uit de tweede voorwaarde volgt
0=1+
a2
a
−B ,
r2
r
een vierkantsvergelijking met reëele oplossingen voor B ≥ 2 en r ≥ a.
3.5. STROMING ROND EEN CILINDER
33
Figuur 3.4: Stroming rond een cilinder bij verschillende circulatie sterktes
(bron Acheson (1994)).
3.5.2
Krachten op een cilinder
F ) die de stroming op de cilinder uitoefent kan berekend worden
De kracht (F
als de drukverdeling op wand bekend is. In het algemeen geldt dat
Z
F = − p n dS,
S
waarin n de normaal is van het infinitesimale oppervlakje dS. Voor een
cilinderoppervlak heeft n de componenten (cos θ, sin θ, 0) zodat de kracht in
de y-richting (per lengte-eenheid) op een cilinder met straal a gegeven wordt
door
Z
2π
Fy = −
p sin θ adθ.
0
Op de stroming kunnen we de wet van Bernoulli toepassen (3.1):
2π
Z
Fy =
0
1
ρ u2θ sin θ adθ.
2
(nb. ur = 0 op de cilinder). Met de uitdrukking (3.21) volgt
Fy = −ρU Γ,
(3.22)
34
HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN
U
F
Figuur 3.5: Een honkbal in een uniforme windtunnelstroming. De stromingsrichting is van links naar rechts en de bal roteert rechtsom (’slice’). De kracht op de bal is in dit plaatje van onder naar boven. (bron:
www.physics.umd.edu/lecdem/
bekend als het Kutta Joukowski theorema6 . De lift is evenredig met de
snelheid en de circulatie. De cilinder ondervindt dus een kracht loodrecht
op de richting van de achtergrondstroming. Dit staat bekend als het ’Magnus
effect’. (Deze kracht treedt ook op bij sferische objecten, bijv. een tennisbal
die met ’slice’ of ’topspin’ wordt geslagen, zie figuur 3.5).
Berekenen we de kracht in de stromingsrichting (’drag’), Fx , dan vinden we
analoog
Fx = 0.
In de stromingsrichting ondervindt de cilinder geen kracht. Omdat dit zo
in tegenspraak met de werkelijkheid is, wordt dit resultaat de paradox van
d’Alembert7 genoemd.
3.6
Conforme afbeeldingen
De introductie van complexe variabelen heeft, behalve wat elegantere, beknopte notaties, tot nu toe niet veel meerwaarde. Bij de bestudering van
draagvlakken of vleugels (aerofoils), blijkt het echter een zeer nuttig hulpmiddel te zijn. In het complexe vlak, ζ = ξ + iη, beschouwen we weer een
6
7
Martin Wilhelm Kutta (1867-1944), Nikolai Egorovich Joukovsky (1847-1921)
Jean d’Alembert (1717-1783)
3.6. CONFORME AFBEELDINGEN
35
potentiaalstroming rond een cilinder, w(ζ). We beelden dit vlak af op het
complexe vlak z = x + iy door de transformatie
z = f (ζ),
waarin f een nader te specificeren analytische functie heeft, waarvan de
inverse bestaat:
ζ = f −1 (z).
Deze functie beeldt ieder punt van het ζ-vlak af in het z-vlak. Als f een
analytische functie is, dan is de afbeelding conform, d.w.z. hoekbehoudend.
Equipotentiaallijnen en en stroomlijnen in het ζ-vlak staan dus ook in het
z-vlak loodrecht op elkaar. De met w corresponderende functie in het z-vlak
noemen we W :
W (z) = W (z(ζ)) = w(ζ).
(3.23)
Als w(ζ) een complexe potentiaal in het ζ-vlak voorstelt dan stelt W (z)
de corresponderende (rotatievrije)stroming in het z-vlak voor. W is ook
een analytische functie die aan de Cauchy-Riemann voorwaarden voldoet.
Ook de circulatie langs willekeurige, corresponderende krommen in beide
vlakken is gelijk volgens eigenschap (3.23). De afbeelding van een cilinder,
een stroomlijn in het ζ-vlak, is dus ook een stroomlijn in het z-vlak.
3.6.1
De Joukowski transformatie
Voor stromingen rond vleugels is deze transformatie belangrijk, omdat het
cilinders afbeeldt op ’vleugelachtige’ objecten. De transformatie wordt gegeven door
c2
z=ζ+ .
(3.24)
ζ
Merk op dat voor ζ en z → ∞ de stromingen identiek zijn. De inverse
transformatie is
r
1 2
1
ζ = z+
z − c2 ,
(3.25)
2
4
waar we alleen de oplossing met het + teken kiezen zodat ζ → z voor
z → ∞. We gaan nu uitzoeken hoe deze transformatie (de doorsnede van)
een cilindervormig object afbeeldt op het z-vlak.
Neem in het ζ-vlak een cirkel met straal a, (a ≥ c), ζ = aeiθ . Deze transformeert volgens (3.24)
x + iy = (a +
c2
c2
) cos θ + i(a − ) sin θ.
a
a
(3.26)
Als we hieruit θ elimineren volgt
x2
y2
+
= 1,
(a + c2 /a)2 (a − c2 /a)2
(3.27)
36
HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN
Figuur 3.6: Vier Joukowski transformaties van een cirkel.(a = 1)
de vergelijking van een ellips. In figure 3.6 is een aantal voorbeelden gegeven
van een tranformatie van een cirkel naar een vleugelachtig object. Hierbij
zijn het middelpunt van de cirkel (ξm , ηm ) en de transformatie parameter
gevarieerd.
De algemene vergelijking van een ellips is
x2
y2
+ 2 = 1,
2
p
q
waarin p en q de assen zijn. De brandpunten op de x-as (p > q) worden
1
gegeven door ±(p2 − q 2 ) 2 . In het bovenstaande worden de brandpunten
gegeven door ±2c.
We beschouwen nu in het ζ-vlak een stroming rond de cilinder met circulatie (zie sectie 3.5.1) in het iets algemenere geval van een parallel- en een
dipoolstroming die een oriëntatie hebben van een hoek α t.o.v. de ξ-as. De
complexe potentiaal is (vergelijk (3.18)):
1
iΓ
w(ζ) = U ζe−iα + U a2 eiα −
ln ζ
ζ
2π
(3.28)
(ga dit na). Voeren we de transformatie uit volgens (3.23) met gebruikmaking van (3.25), dan volgt
r
r
a2 iα 1
1
1 2
1 2
−iα
2
W (z) = U [ z +
z − c ]e
+ U 2e [ z −
z − c2 ]
2
4
c
2
4
r
iΓ
1
1 2
− ln[ z +
z − c2 ].
2π
2
4
3.6. CONFORME AFBEELDINGEN
37
Figuur 3.7: Stroming rond een vlakke plaat. (a) circulatie 0; (b) met circulatie (Γ) −4πU a sin α (bron Acheson (1994)).
Het is nog een heel werk om hieruit de stroomfunctie (= ={W }) te berekenen. We zullen ons beperken tot het limiet geval c = a, waarin de ellips
(de doorsnede van) een vlakke plaat wordt met lengte 4a (zie 3.27). De
snelheidscomponenten in het z-vlak volgen simpel uit:
u − iv ≡
dW
dw dζ
=
.
dz
dζ dz
Uitwerken leidt tot:
2
u − iv =
U e−iα − U aζ 2 eiα −
1−
iΓ
2πζ
a2
ζ2
Uit deze vergelijking zien we direct dat snelheden oneindig groot worden voor
ζ = ±a, wat correspondeert met z = ±2a, de uiteinden van de plaat. Dit
kan dus nooit een erg realistische stroming zijn. Zo’n stroming is getekend in
figuur 3.7. De singulariteit in het stromingsveld voor ζ = a kan geëlimineerd
worden door ook de teller in de vergelijking 0 te maken:
U e−iα − U eiα −
iΓ
= 0.
2πa
Hieraan is voldaan als
Γ = −4πU a sin α,
de Kutta voorwaarde. We vinden dan voor de uitstroomrand van de plaat
u = U cos α en v = 0 (Ga dit na). Dit betekent dat de stroming bij het eind
van de plaat ongeveer parallel met de plaat is. Aan de loefzijde van de plaat
is er nog steeds een singulariteit, maar die kan ’verwijderd’ worden door de
straal en positie van het middelpunt van de cirkel in het ζ-vlak te veranderen.
Als we het middelpunt van de cirkel over de ξ-as bewegen, zodanig dat
de cirkel nog steeds door ζ = a gaat, onstaan in het z-vlak symmetrische
profielen met een stompe neus en een scherp uiteinde. Als we de straal van
de cirkel groot genoeg kiezen dan valt het singuliere punt ζ = −a binnen de
38
HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN
Figuur 3.8: Krachtverdeling rond de omtrek van een vleugel. Rechts is de
resulterende draagkracht geconstrueerd.
cilinder (en zijn afbeelding) en is (met de Kutta voorwaarde) de stroming
overal eindig.
Als we het middelpunt van de cirkel van de x-as af kiezen dan onstaan er
asymmetrische profielen. (maak je vertrouwd met de website www.efluids.com).
De vraag blijft natuurlijk wat er in werkelijkheid zal gebeuren als we een
vlakke plaat onder een kleine hoek in een stroming houden. In eerste instantie zal om het uiteinde de stroming sterk versneld en gekromd worden. De
viscositeit zal deze grote snelheidsgradiënten niet toestaan en zal vorticiteit
opwekken: er zal zich een werveltje vormen aan het uiteinde dat vervolgens
met de stroom wordt meegevoerd. Een willekeurige lijnintegraal in de rotatievrije stroming dat de vleugel en de wervel omsluit zal gelijk aan 0 zijn (en
blijven volgens het theorema van Kelvin). Dat betekent dat de afgevoerde
vorticiteit precies moet corresponderen met de circulatie rond de vleugel.
Deze circulatie maakt dat het stagnatie punt naar het uiteinde verschuift en
brengt de stroming in lijn met de vleugel. Er ontstaat dan een stationaire situatie, waarin de circulatie bepaald wordt door de Kutta voorwaarde.
De bijbehorende opwaartse kracht wordt gegeven door de Kutta-Joukowski
relatie (3.22). Uit figuur 3.11 kunnen we zien dat de theorie voor rotatievrije stromingen voor kleine invalshoeken uitstekend overeen komt met de
werkelijkheid8 .
8
De draagkracht van een cilinder (of zijn afbeelding) is uiteraard gebaseerd op het
’simpele principe’ van de tweede wet van Newton en kan dan ook eenvoudig geschat
worden uit de impulsverandering per seconde. Als de circulatie om een cilinder (straal
a) de stroming (stroomsnelheid U ) onder een (kleine) hoek α doet afbuigen, dan is de
opwaartse kracht (Fy gelijk aan impulsverandering per seconde ∝ ρU 2 aα. Dit resultaat is
op een constante na gelijk aan de theoretische waarde voor een rotatievrije stroming
3.6. CONFORME AFBEELDINGEN
39
Figuur 3.9: Vortex aan het uiteinde van een vliegtuigvleugel. (bron: NASA
Langley Research Center)
Figuur 3.10: Omdat de totale circulatie in een rotatievrije stroming nul
is (bijv langs rand ABCD) wordt de circulatie rond een vleugel (ABFE)
gecompenseerd door de circulatie van de afgesnoerde vortex (EFCD). (bron
Batchelor (1970))
40
HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN
Figuur 3.11: Waargenomen en theoretische draagkracht en wrijving van een
vleugel als functie van de invalshoek. (In het theoretische geval is de wrijving
nul. (bron Batchelor (1970))
Hoofdstuk 4
VISCEUZE STROMINGEN
Tot nu toe hebben we voornamelijk niet visceuze vloeistoffen bekeken. In
werkelijkheid zijn alle vloeistoffen in zekere mate visceus1 en we zullen nu
de gevolgen daarvan op de stroming behandelen. Het meest in het oog
springende verschil is dat bij de stroming rond een cilinder niet alleen de
normale snelheidscomponent op de cilinder nul is, maar dat ook de tangentiële snelheidscomponent nul is. In realistische stromingen is de snelheid van
de vloeistof aan het oppervlak van een vast object exact gelijk aan nul (of
zo je wilt, gelijk aan de snelheid van het object). Eerst zullen we echter een
formele afleiding van de behoudswetten in een vloeistof samenvatten.
4.1
Behoud van massa (continuı̈teitswet) en impuls (tweede wet van Newton)
De behoudswetten in een vloeistof kunnen in algemenere zin als volgt worden
afgeleid. Laat Ψ een vloeistofeigenschap zijn (bijv. dichtheid, temperatuur
etc). De verandering van Ψ in het volume V (zie figuur 4.1) tengevolge van
de in- of uitstroom wordt dan gegeven door
Z
Z
∂
n dS + S(Ψ),
Ψ dV = − Ψ u .n
∂t V
S
waarin S(Ψ) een eventuele bron- of verliesterm is. De stroom (flux) van Ψ
n. Met
door het oppervlakje dS met orientatie n wordt gegeven door Ψ u .n
behulp van de stelling van Gauss kunnen we dit herschrijven als:
Z
∂Ψ
+ ∇ .(Ψ u ) dV = S(Ψ),
V ∂t
of, met de kettingregel
Z
∂Ψ
∇Ψ + Ψ ∇ .u
u dV = S(Ψ).
+ u .∇
V ∂t
1
een uitzondering is Helium dat afgekoeld tot vlak bij het absolute nulpunt ’supervloeibaar’ wordt, een effect dat in zekere zin vergelijkbaar is met supergeleiding
41
42
HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN
u
V
dS
n
Figuur 4.1: Willekeurig volume-elementje (volume V, oppervlak S) in de
stroming.
Omdat
∂Ψ
∂t
∇Ψ ≡ dΨ/dt vinden we uiteindelijk
+ u .∇
Z
dΨ
u dV = S(Ψ),
+ Ψ ∇ .u
V dt
(4.1)
de behoudswet voor Ψ in het denkbeeldige volume V .
De continuı̈teitswet kan nu eenvoudig worden afgeleid door Ψ = ρ te kiezen.
Als we aannemen dat er geen bron of verlies termen zijn volgt uit 4.1
Z
dρ
u dV = 0,
+ ρ ∇ .u
V dt
en omdat dit moet gelden voor iedere willekeurig volume volgt
dρ
u = 0,
+ ρ ∇.u
dt
de continuı̈teitsvergelijking.
u te
De wet van behoud van impuls volgt op analoge wijze door Ψ = ρu
kiezen. Omdat er in het algemeen krachten zullen werken op een vloeistof,
zal het rechterlid van (4.1) ongelijk 0 zijn. Als we onderscheid maken tussen
krachten die op het oppervlak en het volume werken, respectievelijk Fopp en
Fvol , dan is
Z
Z
u) =
S(ρu
Fopp dS +
S
Fvol dV.
V
Passen we op de eerste term in het rechterlid de stelling van Gauss toe, dan
volgt uit 4.1
Z
Z
u
dρu
u ∇.u
u dV =
+ ρu
∇.Fopp + Fvol dV.
V
V dt
4.1. BEHOUD VAN MASSA (CONTINUÏTEITSWET) EN IMPULS (TWEEDE WET VAN NEWTON)4
Met de kettingregel kunnen we de linker integrand herschrijven als
Z
Z
u
du
dρ
u) dV =
ρ
+ u ( + ρ ∇ .u
∇.Fopp + Fvol dV.
dt
dt
V
V
Uit de continuı̈teitsvergelijking volgt dat de term tussen haakjes in de linkerintegrand 0 is, zodat,
ρ
u
du
= ∇.Fopp + Fvol ,
dt
(4.2)
de tweede wet van Newton voor een vloeistof.
4.1.1
De spanningstensor
De oppervlaktekracht verdient nadere beschouwing. In sectie 2.3 hebben we
gezien dat in niet-visceuze vloeistoffen deze kracht alleen maar loodrecht op
het oppervlak kan staan (per oppervlakte eenheid is deze gelijk aan de druk,
p). In visceuze stromingen kan deze kracht ook een component evenwijdig
aan het oppervlak hebben, de wrijvingskracht.
De kracht heeft dus in het algemeen drie componenten en is bovendien gerelateerd aan een specifiek oppervlakje, dat we kunnen karakteriseren met zijn
grootte dS (= δOABC ) en richtingsvector n (zie figuur 4.2). Voor een eenduidige definitie van de oppervlaktekracht moet er dus ook informatie zijn
n) dS.
over de stand van het oppervlak waarop de kracht werkt: Fopp = Σ (n
De vektor van oppervlaktekracht is dus afhankelijk van de oriëntatie n van
het oppervlak. Dit leidt tot de invoering van de spanningstensor zoals het
volgende voorbeeld laat zien (zie figuur 4.2): in ieder punt van de vloeistof kunnen we drie vlakjes definiëren (door hun richtingsvectoren e x , e y en
e z )(eex = (1, 0, 0) enz.) en in ieder van die vlakjes werkt een oppervlaktekracht, respectievelijk, Σ(eex ) δyδz/2, Σ(eey ) δxδz/2 en Σ(eez ) δxδy/2, waarbij
e x,y,z refereren aan het desbetreffende oppervlakje. Ieder van die oppervlakx) de componenten Σx (eex ),
tekrachten heeft drie componenten. Zo heeft Σ (x
Σy (eex ) en Σz (eex ). We definiëren de spanningstensor σij als de ie component
van de kracht per eenheid van oppervlak, op het oppervlak met normaal in
j-richting (i, j = x, y, z). Als voorbeeld geven we de y-component van de
kracht op het oppervlakje met normaal e x
σyx = Σy (eex ).
n) dS als volgt uitdrukWe kunnen nu de algemene oppervlakte kracht Σ (n
ken in de spanningstensor: Beschouw een viervlak (ABCD, zie figuur 4.2),
waarvan het vlak ABC de normaal n heeft. De x-component van de totale
kracht die op dit viervlak werkt, wordt met bovenstaande definitie gegeven
door:
n)OABC + σxx OBCD + σxy OACD + σxz OABD ,
−Σx (n
44
HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN
Figuur 4.2: Geometrie van oppervlaktekrachten op een tetraeder.
en vergelijkbare uitdrukkingen voor de y- en z-componenten. (Het minteken voor de eerste term is conventioneel omdat Σ is gedefinieerd als de
kracht uitgeoefend door de omringende vloeistof op het volume). Nu is het
oppervlak van bijv. de driehoek ABD een projectie van driehoek ABC op
het xy-vlak, zodat
OABD
= nz ,
OABC
(Voor de andere twee driehoeken ACD en BCD gelden analoge relaties, ga
dit na) zodat
n) + σxx nx + σxy ny + σxz nz } OABC ,
{−Σx (n
(4.3)
de totale oppervlaktekracht is. Als de term tussen accolades eindig blijft bij
willekeurige verkleining van het viervlak (met inachtneming van de proporties) dan zal de versnelling van de vloeistof binnen het viervlak willekeurig
groot worden (versnelling = totale kracht/massa), want haar massa (ρdV )
neemt af met de derde macht van een lineaire schaal, terwijl volgens (4.3)
de oppervlaktekracht (∝ δOABC ) slechts met de tweede macht van dezelfde lineaire schaal afneemt. Dit is fysisch niet realistisch en de term tussen
accolades moet dus gelijk aan nul zijn:
n) = σxx nx + σxy ny + σxz nz .
Σx (n
(4.4)
We maken gebruik van tensornotatie om (4.4) te schrijven als
n) = σij nj ,
Σi (n
(4.5)
4.1. BEHOUD VAN MASSA (CONTINUÏTEITSWET) EN IMPULS (TWEEDE WET VAN NEWTON)4
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Figuur 4.3: De componenten van de spanningstensor op een kubusvormigvloeistofelementje. (Alleen de x-y krachten zijn weergegeven)
waarbij i en j staan voor x,y of z, en waar we voor een efficiënte notatie
de conventie volgen dat als in een term twee gelijke indices voorkomen,
sommatie over die index inbegrepen is. Dus
X
σij nj ≡
σij nj .
j=x,y,z
In coördinaatvrije notatie kunnen we (4.5) ook schrijven als
n) = σ .n
n.
Σ (n
(4.6)
De spanningstensor heeft dus negen componenten, die echter niet allemaal
onafhankelijk zijn. Om dat te laten zien beschouwen we een klein kubusje
waarvan we de zijden parallel aan de coördinaat-assen denken (zie figuur
4.3). Als we de dimensie van de kubus klein genoeg denken zullen de spanningen σxy op boven- en ondervlak en σyx op linker - en rechterzijvlak tegengesteld en ongeveer even groot zijn. (De z-component van) het totale
koppel dat op de kubus wordt uitgeoefend is dan
(σxy − σyx ) ∆3 ,
waarbij ∆ de lineaire afmeting van de kubus is. Ook hier geldt weer een
vergelijkbare redenering als boven: als de term tussen haakjes ongelijk nul
is, dan gaat de kubus willekeurig snel om zijn centrum roteren, omdat de
46
HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN
traagheid als ∝ ∆5 naar nul gaat (de massa als ∆3 en het kwadraat van de
straal als ∆2 )2 . Dus de term tussen haakjes moet nul zijn:
σxy = σyx .
In de andere richtingen gaat het analoog zodat
σij = σji ,
voor i, j = x, y, z (i 6= j).
4.1.2
De Navier-Stokes vergelijkingen
We kunnen nu het impulsbehoud met 4.6 en 4.2 schrijven als
u
du
σ + F vol .
= ∇ .σ
(4.7)
dt
De spanningstensor in een niet visceuze vloeistof had, zoals we in sectie
2.2 zagen, alleen maar normaal-componenten, die we als de druk konden
interpreteren3 , σ = −p I , zodat
ρ
σ=−
∇.σ
∂
∂p
p δij = −
.
∂xj
∂xi
In visceuze vloeistoffen heeft de spanningstensor ook niet-diagonaal elementen en we schrijven σ dan als
σ = −p I + d ,
waarin d de tangentiële spanningstensor is met de eigenschap dii = 0.
We veronderstellen dat de wrijvingskrachten evenredig zijn met snelheidsverschillen in de vloeistof. We spreken dan van Newtoniaanse vloeistoffen.
We kunnen de tangentiële spanningstensor dan schrijven als
dij = Aijkl
∂uk
,
∂xl
(4.8)
waarin Aijkl de 81 elementen van een 4e -orde tensor zijn (voor de duidelijkheid zullen we hier de tensornotatie gebruiken). We nemen aan dat de
vloeistof isotroop is (’de vloeistof kent geen voorkeursrichting’). In dat geval
kan Aijkl slechts een lineaire combinatie van eenheidstensoren zijn:
Aijkl = λ δij δkl + µ0 δil δjk + µ00 δik δjl ,
2
(4.9)
Bedenk dat de verandering van impulsmoment ∝ N/I, waarin I de traagheid is en N
het koppel.
3
We nemen hier en in het vervolg aan dat de op deze manier gedefinieerde druk identiek
is aan de thermodynamische druk
4.1. BEHOUD VAN MASSA (CONTINUÏTEITSWET) EN IMPULS (TWEEDE WET VAN NEWTON)4
waarin λ, µ0 en µ00 coëfficiënten zijn die met de vloeistofeigenschappen samenhangen.
Omdat σ symmetrisch is, geldt Aijkl = Ajikl . Substitutie in (4.9) levert µ0 =
µ00 ≡ µ, de dynamische viscositeit. λ wordt de tweede viscositeitscoëfficient
genoemd. A wordt dan
Aijkl = λ δij δkl + µ(δik δjl + δil δjk ).
De tangentiële spanningstensor kunnen we nu schrijven als
dij = λδij
∂uk
+ 2µeij ,
∂xk
waarmee we e de vervormingsnelheid(s-tensor) hebben gedefinieerd door
∂uj
1 ∂ui
eij = {
+
}.
2 ∂xj
∂xi
Tenslotte volgt nog uit dii = 0 dat 3λ + 2µ = 0. De uiteindelijke vergelijking
voor de spanningstensor wordt dan:
1
σ = −pII + 2µ(ee − tr(ee)II ).
3
(4.10)
waar tr(ee) het spoor van e is, i.e. de som van de diagonaal elementen en
u, zodat de tweede viscosiI de eenheidsmatrix. Merk op dat tr(ee) = ∇.u
teitscoëfficient slechts van belang is voor samendrukbare vloeistoffen. Deze
uitdrukking werd, onafhankelijk van elkaar, voor het eerst geformuleerd door
Navier(1822), Poisson(1829), Saint-Venant(1843) en Stokes(1845). Ingevuld
in de behoudswet (4.7) geeft dit
ρ
u
du
1
= F − ∇p + ∇.{2µ(ee − tr(ee)II )}.
dt
3
(4.11)
Deze vergelijking staat bekend als de Navier-Stokes vergelijking. In veel
gevallen kan µ constant worden genomen. Is verder de vloeistof onsamendrukbaar dan reduceert (4.11) tot
ρ
u
du
u,
= F − ∇p + µ∆u
dt
(4.12)
met ∆ ≡ ∇2 .
Een Newtoniaanse vloeistof is perfect als µ = 0, en is ideaal als bovendien de vloeistof onsamendrukbaar is. Een perfecte vloeistof kan dus geen
tangentiaalkrachten veroorzaken op een oppervlak.
48
HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN
U(z+λ)
λ
a
U(z)
Figuur 4.4: Voorstelling van de verticale uitwisseling van impuls in een
schuifstroming τ13 = transport horizontale impuls per oppervlakte eenheid
in de verticale richting.
4.1.3
O pmerkingen en benaderingen
viscositeit
Tot slot willen we wijzen op de conceptueel belangrijke observatie dat wrijving niets ander is dan het transport van impuls, waarbij transport- en
impulsrichting loodrecht op elkaar staan. Aan de hand van de volgende
kwalitatieve redenering kunnen we dit aanschouwelijk maken: in een 1-D
stroming in de x-richting is de gemiddelde horizontale vloeistof snelheid op
niveau z, U (z). De moleculaire snelheid is gelijk aan de vloeistof snelheid
met daarop gesuperponeerd de (veel grotere) moleculaire snelheid, zeg van
ordegrootte a. De moleculaire impulsoverdracht gaat dus met snelheid a,
(a >> U ), maar gemiddeld over de vele moleculen in een vloeistofdeeltje
wordt over een verticale afstand λ (zie figuur 4.4) slechts een hoeveelheid
impuls overgedragen van de orde grootte ρ[U (z + λ) − U (z)]. Het impuls
transport (per eenheidsvolume) is dus gelijk is aan aρ[U (z + λ) − U (z)].
Ontwikkeling in een Taylor reeks leidt tot
aρλ
waarbij de lengteschaal L ≡
∂U
1λ
[1 +
+ . . . ],
∂z
2L
∂U ∂ 2 U
∂z / ∂z 2 ,
geen fysische lengteschaal is, maar een
4.1. BEHOUD VAN MASSA (CONTINUÏTEITSWET) EN IMPULS (TWEEDE WET VAN NEWTON)4
grootheid die correspondeert met de (macroscopische) turbulente stroming.
Deze is in de troposfeer en oceaan veel groter dan de vrije weglengte (L >>
λ). De impulsoverdracht is dus in goede benadering
≈ aρλ
∂U
.
∂z
We kunnen nu aρλ als de viscositeit µ interpreteren en we zien (vgl. 4.10)
dat we een element uit de spanningsmatrix , een wrijvingsterm, hebben
verkregen:
∂U
σ13 ∝ µ
.
∂z
De kinematische viscositeit is gedefinieerd als ν ≡ µ/ρ, en wordt bepaald
door de aard van de vloeistof; voorbeeld: in de atmosfeer is bij 1 atmosfeer
en 20o C de vrije weglengte λ ≈ 70 nm en a ≈ 300 ms−1 , wat leidt tot
ν=2.1 10−5 m2 s−1 , dicht bij de werkelijke waarde (1.5 10−5 m2 s−1 ). Hiermee
hebben we de relatie tussen de wrijving en de snelheidsgradiënt ook fysisch
aannemelijk gemaakt.
schaalanalyse, het Reynoldsgetal.
Zij L een karakteristieke lengte in x-richting (bijv. de koorde van de vleugel), U (de achtergrond stroming) een karakteristieke snelheid en P een
karakteristieke druk. We definiëren
u
ũ
x
x̃
=
=
u /U
x /L
t̃
=
t/(L/U )
p̃
=
p/P,
als dimensieloze, geschaalde variabelen (d.w.z. deze zijn O(1)). Om de
grootte van de verschillende termen in de impulsbalans (4.12) te bekijken
schrijven we deze in geschaalde variabelen:
u
ρU 2 dũ
P
U
u,
= F − ∇p̃ + µ 2 ∆ũ
(4.13)
L dt̃
L
L
waarin we de zwaartekracht, de enige volumekracht, desgewenst in potentiaal vorm kunnen schrijven als F = −ρ∇φ. We zien dat we de verhouding
van inertiële en visceuze termen kunnen schrijven als
ρU 2
L
µU
L2
=
UL
UL
=
≡ Re.
µ/ρ
ν
De dimensieloze grootheid Re is het Reynolds getal4 . Nu is de viscositeit
van een gas relatief klein (t.o.v. een vloeistof), µ ≈ 10−6 kgm−1 s−1 en met
4
Osborne Reynolds (1842-1912)
50
HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN
ρ∼
= 1kg m−3 zal dus gelden voor een vleugel (U L niet klein) dat Re 1.
Inertiële effecten zijn dus veel belangrijker dan visceuze en als Re 1 kunnen
we dan ook de wrijving verwaarlozen. Het gas is dan als perfect gas te
beschouwen.
onsamendrukbaarheid
Dynamisch gezien kan een gas, zoals bijv. de atmosfeer, vaak in zeer goede
benadering als onsamendrukbaar worden beschouwd. De voorwaarden van
geldigheid volgen uit onderstaande ’orde van grootte’ beschouwing. We
kiezen als uitgangssituatie een vloeistof zonder wrijving, waarin de druk
stationair is ( ∂p
∂t = 0) en waarin de zwaartekracht de enige volume kracht is
F = −gg ). De N-S vergelijking (bijv. 4.11) reduceert dan tot
(F
ρ
u
du
= −∇p − ρgg .
dt
(4.14)
Vermenigvuldiging met u en herschikking van termen geeft
1 du2
dp
u− ρ
= −ρgg .u
.
dt
2 dt
Verder nemen we aan dat de druk p een eenduidige functie is van ρ (dit is
zo voor bijv. een isotherm of
p een adiabatisch ideaal gas). Met de definitie
van de geluidssnelheid, c = dp/dρ, volgt (zie kader)
dp
dρ
= c2 .
dt
dt
Na eliminatie van dp/dt uit bovenstaande vergelijkingen volgt
1 dρ
1
1 du2
u+
= − 2 (gg .u
).
ρ dt
c
2 dt
Voor een (vrijwel) onsamendrukbare stroming moet het linkerlid van deze
vergelijking klein zijn. Dat betekent dat de twee termen rechts elk ook klein
moeten zijn. Nadat we de vergelijking ’geschaald’ hebben met U en L leidt
deze voorwaarde tot
gL
c2
U2
c2
1
1.
Het Mach-getal M wordt gedefiniëerd als M = U /c. Met een representatieve waarde voor de geluidssnelheid in de atmosfeer (c = 340 ms−1 ) bijv.,
zal altijd aan de tweede voorwaarde zijn voldaan, maar niet altijd aan de
eerste (L << 10 km).
4.1. BEHOUD VAN MASSA (CONTINUÏTEITSWET) EN IMPULS (TWEEDE WET VAN NEWTON)5
Geluidsgolven planten zich in een gas (samendrukbaar! ) voort met de
geluidssnelheid (c). Voor een ideaal gas volgt de geluidssnelheid uit de
volgende beschouwing. We verwaarlozen de viscositeit en nemen aan
dat geluid zich adiabatisch voortplant. De eerste hoofdwet luidt
0 = cp dT −
1
dp,
ρ
waarin p, ρ en T de druk, dichtheid en temperatuur zijn. Met de toestandsvergelijking, p = ρRT elimineren we de temperatuur en vinden
p ∝ ργ
(γ = cp /cv ), waaruit eenvoudig kan worden afgeleid dat
(
p
dp
)s = γ .
dρ
ρ
Het onderschrift ’s’ geeft aan dat we een adiabatisch proces beschouwen.
Dit resultaat zullen we straks gebruiken.
We wekken in het gas (in rust) een kleine verstoring op (aangegeven met
een accent) van de uitgangstoestand (index 0),
p
=
p0 + p0
ρ
=
ρ0 + ρ0
T
=
T0 + T 0 ,
die uiteraard moet voldoen aan de Euler- en continuiteitsvergelijking:
u
∂u
u
+ u .∇u
∂t
∂ρ
u)
+ ∇.(ρu
∂t
ρ
=
−∇p
=
0.
We vullen de verstoring in, nemen aan dat de uitgangstoestand aan
de vergelijkingen voldoet en behouden alleen de lineaire termen in de
verstoring. Het resultaat is
u0
∂u
∂t
=
−∇p0
∂ρ0
u0
+ ρ∇.u
∂t
=
0.
ρ0
Uit deze vergelijkingen elimineren we de snelheid en vinden
∂ 2 ρ0
− ∆p0 = 0.
∂t2
Omdat we zojuist hebben gezien dat p ∝ ργ volgt, als we hier ook de
verstoring op toepassen, in eerste orde
p0 = γ
p0 0
ρ.
ρ0
Als we dit resultaat substitueren in bovenstaande vergelijking voor de
dichtheidsverstoring dan volgt
p0
∂ 2 ρ0
− γ ∆ρ0 = 0.
∂t2
ρ0
Aan deze vergelijking voldoet een lopende golf met frequentie ω, golflengte λ = 2π/k en voortplantingssnelheid c = ω/k,
ρ0 ∝ ek .xx−ωt .
k x
Na substitutie volgt
p0
dp0
=(
)s ,
ρ0
dρ0
het resultaat dat we in de hoofdtekst hebben gebruikt.
c2 = γ
52
4.2
HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN
Energiebehoud
Omdat we nu naar stromingen kijken waarin de druk geen unieke functie van
de dichtheid hoeft te zijn en wrijving ook een rol speelt, zijn de bewegingsenergie en de thermische energie niet meer ontkoppeld: dichtheidsverschillen
leiden dan in een zwaartekrachtsveld tot beweging en anderzijds wordt beweging uiteindelijk weer omgezet in warmte door het wrijvingsproces. Verder
kunnen electromagnetisme, absorptie van straling of chemische processen
als interne warmte of bewegingsbronnen dienen. Bij het opstellen van een
behoudswet voor energie moeten met deze processen rekening worden gehouden. Hier zullen we ons echter beperken tot vloeistoffen waarin alleen
de dissipatie als interne energiebron zal dienen. Als interne energie per eenheid van massa met e wordt aangegeven dan is de verandering van de totale
energie per tijdseenheid in het volume gelijk aan de arbeid verricht door de
volumekracht, de wrijving en het transport van de energie door het omhullend oppervlak. Op de bekende manier (pas vgl.(4.1) toe met Ψ = ρ(e+ 12 u2 )
leidt dit tot
d
1
u + ∇.(u
uσ
σ ),
(e + u2 ) = −∇.qq + F .u
(4.15)
dt
2
waarin q het moleculaire warmtetransport door het oppervlak voorstelt.
We vermenigvuldigen de impulsbalans (4.7) met u en vinden we alleen de
mechanische energiebalans:
ρ
1 du2
u + u .(∇.σ
σ)
ρ
= F .u
2 dt
(4.16)
Als we (4.16) van (4.15) aftrekken vinden we de thermische energiebalans:
ρ
de
σ .∇).u
u.
= −∇.qq + (σ
dt
In deze uitdrukking substitueren we (4.10) met als resultaat
de
u − ∇.qq ,
= − p∇.u
dt
waarin , de dissipatie, in cartesische vorm gegeven wordt door
ρ
= 2µ(eij −
(4.17)
1 ∂uk
δij )2
3 ∂xk
(leid dit af). De eerste term in (4.17) is de interne energie toename( > 0) en
u>0
de tweede de interne energieverandering ten gevolge van expansie, ∇.u
u < 0. Met de eerste hoofdwet van de thermodynamica
of compressie, ∇.u
T dS = de + pdα, waarin S de entropie en α het specifiek volume is, volgt uit
(4.17) onder verwaarlozing van het warmtetransport door de wand, (∇.qq =
0):
dS
= ,
ρT
dt
4.3. VISCEUZE STROMINGEN VAN VLOEISTOFFEN MET CONSTANTE DICHTHEID53
de entropie neemt dus toe tengevolge van de wrijving. Omdat er verder geen
andere vorm van energieuitwisseling is verondersteld betekent dit volgens de
tweede hoofdwet van de thermodynamica dat het visceuze stromingsproces
onomkeerbaar is.
4.2.1
Toestands- en constitutionele vergelijkingen
Het behoud van massa, impuls en thermische energie levert 5 vergelijkingen
u, e, ρ en p). Als p een eenduidige functie van ρ is (idevoor de 6 variabelen (u
ale adiabatische gassen) dan is in een isotherm systeem (waar ρ constant is
(vloeistof)) de dynamica losgekoppeld van de thermodynamica. We houden
dan 5 variabelen over en kunnen in principe naar oplossingen zoeken.
Voor ideale gassen is de extra relatie
p = ρRT,
(4.18)
de toestandsvergelijking, waarbij R de gasconstante (R = R∗ /M , met M de
molmassa en R∗ = 8.3 JK−1 mol−1 ) is. Voor vloeistoffen is de relatie
ρ = ρ0 (1 − β(ϑ − ϑ0 )),
(4.19)
waarbij ρ0 en ϑ0 een referentie dichtheid en temperatuur zijn, en β een
(constante) uitzettingscoefficient is.
Een benadering die veel wordt toegepast is de dichtheid constant te veronderstellen, behalve in de termen met volumekrachten (één van de Boussinesq
benaderingen).
4.3
Visceuze stromingen van vloeistoffen met constante dichtheid
In het vorige hoofdstuk bekeken we stromingen waarvoor het Reynoldsgetal
groot was, zodat behalve in een grenslaag, de stroming inertieel gedomineerd
was. Hier bekijken we stromingen waarin visceuze krachten belangrijk zijn,
bijv. stromingen van vloeistoffen rond en binnen geometrische constructies,
zoals de stroming van water door een pijp. Compressibele effecten zijn te
verwaarlozen: we nemen ρ constant. De zwaartekracht is de enige volumekracht. De bewegingsvergelijkingen zijn in dit geval
u=0
∇.u
u
∂u
1
u.∇)u
u = − ∇p + ν∆u
u − gee3
+ (u
(4.20)
∂t
ρ
waarbij ν = µ/ρ de kinematische viscositeit is. In het algemeen dienen
deze vergelijkingen numeriek opgelost te worden. Er zijn echter een aantal
situaties waar analytische resultaten kunnen worden verkregen.
54
HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN
z
h
x
Figuur 4.5: Vlakke Poiseuille stroming
4.3.1
Parallelle stromingen
Voor een stationaire evenwijdige stroming zijn twee van de drie snelheidscomponenten nul en hangt de derde maar van één coordinaat af. In dat
geval reduceren de vergelijkingen (4.20) enorm.
Vlakke Poiseuille stroming
Beschouw een stationaire stroming t.g.v. een constante horizontale drukgradient tussen twee horizontale platen zoals geschetst in figuur 4.5 Er bestaat
een oplossing u = (u(z), 0, 0), p = p(x, z). De vergelijkingen (4.20) worden.
∂p
∂2u
=µ 2
∂x
∂z
∂p
= −g.
∂z
Met u(0) = u(H) = 0 en ∂p/∂x = α = constant, volgt
u(z) =
α 2
(z − zH)
2µ
’Falling film’
Een vloeistof-film (figuur 4.6) beweegt verticaal langs een plaat onder invloed van de zwaartekracht en een schuifspanning τ (bijv. veroorzaakt door
langsstromende lucht). In dit geval bestaat een oplossing u = (0, 0, w(x)).
De vergelijkingen zijn
∂p
=0
∂x
∂p
∂2w
= µ 2 − ρg
∂z
∂x
4.3. VISCEUZE STROMINGEN VAN VLOEISTOFFEN MET CONSTANTE DICHTHEID55
L
Figuur 4.6: Geometrie van een dunne vloeistoffilm die verticaal langs een
vlakke wand beweegt onder invloed van de zwaartekracht.
met randvoorwaarden
w(0) = 0
∂w
µ
(L) = τ.
∂x
Neem
∂p
∂z
= α = constant en β = µ−1 (α + ρg) dan is de oplossing
w(x) = β(x2 /2 − Lx) + τ x/µ.
Dit geeft een familie van oplossingen geparametriseerd door α en τ .
’Stokes’ stromingen (Re < 1)
Het karakter van visceuze stromingen hangt sterk af van de relatieve grootte
u.∇)u
u en ν∇2u in (4.20). In parallelle stromingen is de term
van de termen (u
u.∇)u
u niet van invloed vanwege de geometrie van de stroming. Er zijn
(u
u.∇)u
u veel kleiner is
echter ook twee andere (belangrijke) situaties waarbij (u
2
dan ν∇ u : als het Reynolds getal Re = U L/ν klein is (kleine snelheden,
grote viscositeit), ’Stokes’ stromingen, of als in een dunne film (L klein)
56
HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN
Figuur 4.7: Een bolvormig deeltje dat onder invloed van zijn eigen gewicht
in een verticale vloeistofkolom naar beneden beweegt
u.∇)u
u te verwaarlozen is in verhouding met visceuze termen. In beide
(u
gevallen reduceren de vergelijkingen tot
u = 0
∇.u
(4.21)
1
0 = − ∇p + ν∇2u
ρ
d.w.z. drukgradiënt en wrijving zijn in balans. Omdat deze vergelijkingen
lineair zijn is er veel bekend over de oplossing van dit type stromingen.
We zullen ons beperken tot een voorbeeld van een Stokes stroming en een
grenslaagstroming
Stokes stroming om een bol
Veronderstel dat een bolletje (dichtheid ρf en straal a) zich in een verticale
kolom vloeistof (dichtheid ρ) met constante snelheid naar beneden beweegt
onder invloed van zijn eigen gewicht, zie figuur 4.7. We willen de sedimentatiesnelheid bepalen als functie van de andere parameters van het systeem.
We gaan als eerste stap het stromingsveld uitrekenen en daarna de kracht
bepalen die een stromende vloeistof vloeistof op het bolletje uitoefent .
Zet het bolletje in een stroming parallel met de z-as met snelheid U (de
sedimentatiesnelheid). Het Reynoldsgetal gebaseerd op de straal van de bol
4.3. VISCEUZE STROMINGEN VAN VLOEISTOFFEN MET CONSTANTE DICHTHEID57
is dan U a/ν. Met typische waarden: a = 10−4 m, U = 10−3 ms−1 en ν =
10−6 m2 s−1 (water) is Re = 10−1 . Veronderstellen we dat de resulterende
u = (u(r, ϑ), v(r, ϑ), 0))
stroming rondom het deeltje sferisch symmetrisch (u
is dan worden de continuiteitsvergelijking en de bewegingsvergelijkingen in
bolcoordinaten (volumekrachten afwezig)
∂u 2
1 ∂v
1
+ u+
+ v cot ϑ
∂r
r
r ∂ϑ r
∂ 2 u 2 ∂u
2
1 ∂2u
1 ∂u
= µ( 2 +
− 2u + 2 2 + 2
cot ϑ
∂r
r ∂r
r
r ∂ϑ
r ∂ϑ
2 ∂v
2
− 2
− v cot ϑ)
r ∂ϑ r2
1 ∂2v
∂ 2 v 2 ∂v
1
v+ 2 2 +
= µ( 2 +
−
2
∂r
r ∂r (r sin ϑ)
r ∂ϑ
2 ∂u
1 ∂v
cot ϑ + 2
)
2
r ∂ϑ
r ∂ϑ
0 =
∂p
∂r
1 ∂p
r ∂ϑ
(nb de snelheidsvector is hier gedefinieerd als u =
De randvoorwaarden zijn
voor r = a:
dr
dt
(4.22)
en v = r dθ
dt ).
u(a) = v(a) = 0
en voor r → ∞:
u → U cos ϑ,
v → −U sin ϑ,
p → p∞
Σ) op de bol (de weerstand) gegeven door σij nj ,
We berekenen nu de kracht (Σ
n = (1, 0, 0) in bolcoordinaten)
waarbij n de uitwendige normaal op de bol is (n
en σ de spanningstensor, met de componenten (zie (4.10 en de appendix))
∂u
∂r
∂ v 1 ∂u
= µ(r
+
)
∂r r
r ∂ϑ
= 0.
Σ1 = σ11 = −p + 2µ
Σ2 = σ21
Σ3 = σ31
De kracht is gericht in de negatieve z-richting (figuur 4.9) en vanwege symmetrie is de kracht d per oppervlakte eenheid op de rand r = a gelijk aan
58
HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN
We bepalen de oplossing van dit probleem door het invoeren van een
stroomfunctie ψ(r, ϑ) :
u
=
1 1 ∂ψ
r2 sin ϑ ∂ϑ
=
1 ∂ψ
−
,
r sin ϑ ∂r
(4.23)
v
waarmee automatisch aan (4.21a) is voldaan. Gebruik (4.23) in (4.22)
en elimineer de druk:
»
»
––2
∂2
sin ϑ ∂
1 ∂
+
ψ = 0.
∂r2
r2 ∂ϑ sin ϑ ∂ϑ
Omdat voor r → ∞ : ψ(r, ϑ) → 12 U r2 sin2 ϑ , proberen we een oplossing
te vinden van de vorm ψ(r, ϑ) = f (r) sin2 ϑ. Invullen levert
` d2
2 ´2
− 2 f = 0.
2
dr
r
Deze vergelijking heeft oplossingen f (r) ≈ rα indien
[(α − 2)(α − 3) − 2][α(α − 1) − 2] = 0 ⇒ α = −1, 1, 2, 4
en dus is de algemene oplossing
f (r) = r−1 A + Br + Cr2 + Dr4
De condities voor r → ∞ geven: C = U/2 en D = 0. De condities op
r = a bepalen de constanten A en B. De oplossing is
ψ(r, ϑ)
=
a
a
1
U (r sin ϑ)2 {2 + ( )3 − 3 },
4
r
r
waaruit het snelheidsveld volgt:
u(r, ϑ)
=
1
a
a
U cos ϑ{2 + ( )3 − 3 }
2
r
r
=
1
a
a
− U sin ϑ{4 − ( )3 − 3 }.
4
r
r
(4.24)
v(r, ϑ)
De druk wordt bepaald door terugsubstitutie in (4.22):
p(r, ϑ) = p∞ −
3µa
U cos ϑ
r2
(4.25)
Het stromingspatroon is geschetst in figuur 4.8.
d = Σ1 cos ϑ − Σ2 sin ϑ
Na substitutie van de snelheden en de druk (zie 4.24 en 4.25) volgt
d = −p∞ cos ϑ +
3 µU
2 a
4.3. VISCEUZE STROMINGEN VAN VLOEISTOFFEN MET CONSTANTE DICHTHEID59
Figuur 4.8: Stromings patroon rond een bol.
De totale kracht D is dus
Z 2π Z π
D=
d a2 sin ϑdϑdφ = 4πa2 d = 6πµaU.
0
0
Veronderstel nu dat een deeltje t.g.v. zwaartekracht (en opwaartse kracht)
naar beneden ’valt’ met een constante snelheid. Deze sedimentatiesnelheid
volgt nu uit de krachtenbalans:
(m − m0 )g = D,
waarbij m de massa van het bolletje is en m0 de hoeveelheid verplaatste
vloeistof. Met m = 4πa3 ρf /3 en m0 = 4πa3 ρ/3 volgt de bekende formule
van Stokes
2(ρf − ρ)ga 2
U=
.
9µ
(4.26)
Grenslaagstromingen
In visceuze stromingen is de vector van de vloeistofsnelheid op het oppervlak gelijk aan 0. Dit is een belangrijk verschil met potentiaalstromingen.
Visceuze krachten zorgen ervoor dat ook de tangentiële snelheidscomponent
aan het oppervlak naar nul gaat. De laag waarin die krachten een belangrijke rol spelen wordt de grenslaag genoemd. Wiskundig gezien is dit een
delicaat probleem, want de introductie van wrijving leidt tot een extra term,
de enige van de tweede orde, in de Navier-Stokes vergelijkingen.
De sterke gradiënt in de buurt van het oppervlak correspondeert ook met
een grote vorticiteit. Bij de achterrand van een vleugel ontstaan initieel
60
HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN
z
Σ1
d
θ
θ
Σ2
x
y
Figuur 4.9: Geometrie van de krachten op de bol (stippellijn)
wervels die niet door de potentiaaltheorie voorspeld worden en die maken
dat aan de Kutta voorwaarde wordt voldaan (zie hoofdstuk 3 ).
Voor een nadere beschouwing nemen we een stationaire parallelle stroming
langs een vlakke plaat (zie figuur 4.10). Aan het begin van deze plaat zal
door visceuze effecten vorticiteit gegenereerd worden die zich geleidelijk aan
omhoog zal verplaatsen door diffusieve processen: er zal zich een grenslaag vormen, waarvan de dikte (δ), gerekend vanaf het begin van de plaat,
geleidelijk zal toenemen. In een uniform stromingsveld (U ) met een coordinatenstelsel waarvan de x-as langs de plaat valt, zal op dimensionele gronden
de dikte van de grenslaag toenemen als:
p
δ = νx/U ,
zodat
r
p
δ
ν
=
≡ 1/ Rex .
(4.27)
x
Ux
Omdat Rex >> 1 zal de grenslaagdikte klein zijn ten opzichte van de (horizontale) lengteschaal. (bijv. de koorde van de vleugel). Het feit dat grenslagen ’dun’ zijn, leidt tot aanzienlijke vereenvoudigingen bij het oplossen
van stromingsproblemen. We illustreren dit aan de hand van een 2-D, onsamendrukbare stroming langs een vlakke plaat (zie boven). De lengteschaal
in de x-richting is L. De continuiteitsvergelijking is:
∂u ∂w
+
= 0.
∂x
∂z
4.3. VISCEUZE STROMINGEN VAN VLOEISTOFFEN MET CONSTANTE DICHTHEID61
z
U
u(z)
δ(x)
x
Figuur 4.10: De ontwikkeling van een grenslaag langs een vlakke plaat.
De eerste term is O(U/L) en de tweede O(w/δ), zodat w ∝ U δ/L een
’maat’ is voor de snelheid in de z-richting. De bewegings vergelijking in de
x-richting is uitgeschreven:
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
∂2u ∂2u
+u
+w
=−
+ ν( 2 + 2 ).
∂t
∂x
∂z
ρ ∂x
∂z
∂x
Als we een schaalanalyse van deze vergelijking maken, dan vinden met gebruikmaking van het resultaat (4.27) dat de laatste term O(Re−1 ) kleiner is
dan de overige termen (ga dit na). Het volledige stelsel vergelijkingen wordt
dan
∂u ∂w
+
∂x
∂z
∂u
∂u
∂u
+u
+w
∂t
∂x
∂z
∂p
∂z
= 0
= −
1 ∂p
∂2u
+ν 2
ρ ∂x
∂z
= 0,
de grenslaagvergelijkingen. De laatste vergelijking geeft aan dat in eerste
benadering de druk niet met de hoogte verandert en dat dus de horizontale
drukgradiënt ∂p/∂x in de grenslaag gelijk moet zijn aan die daarbuiten.
Deze kiezen we voor de eenvoud gelijk aan 0.
De randvoorwaarden zijn u, w = 0 voor z = 0, en voor z → ∞ convergeert de
stroming naar de achtergrondstroming, die we met de theorie uit de vorige
hoofdstukken kunnen behandelen als een wrijvingsloze potentiaal stroming.
Gezien de geringe dimensie van de grenslaag verwaarlozen we de invloed die
deze daarop heeft.
62
HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN
De grenslaagvergelijkingen reduceren dan in het stationaire geval tot
∂u ∂w
+
∂x
∂z
∂u
∂u
u
+w
∂x
∂z
= 0
= ν
∂2u
.
∂z 2
De vorm van de continuiteitsvergelijking vraagt om de invoering van een
stroomfunctie. We definiëren eerste de dimensieloze (gelijkvormigheids)variabele
η als:
z
η=
,
δ(x)
p
met δ = νx/U . We voeren nu de dimensieloze stroomfunctie f (η) in:
1
ψ = (νU x) 2 f (η) in. De functie f moet dan voldoen aan
d3 f
d2 f
1
+
=0
f
2
dη 3
dη 2
(4.28)
(leid dit af). Met deze substitutie reduceert de grenslaag vergelijking tot een
’gewone’ differentiaal vergelijking. Overigens kan (4.28) slechts numeriek
worden opgelost. Zo volgt voor de oppervlaktespanning τ ≡ (µdu/dz)z=0
r
ν
2
,
τ = 0.33ρU
Ux
waar de coefficiënt uit de numerieke resultaten volgt. Als we tenslotte de
dikte van de grenslaag definiëren als de waarde van z waarvoor u(z)/U =
0.99 dan volgt uit de numerieke resultaten
r
ν
δ/x = 5
.
Ux
Hoofdstuk 5
NIET-NEWTONIAANSE
VLOEISTOFFEN
Dit hoofdstuk vormt een inleiding tot de stromingsleer van niet-Newtoniaanse
vloeistoffen. Voorbeelden van niet-Newtoniaanse vloeistoffen, d.w.z. vloeistoffen waarvoor de relatie tussen spanning en vervorming gegeven door (4.8)
geen goed model is, zijn polymeeroplossingen, (stop)verf, ijs etc. Deze vloeistoffen vertonen zowel visceuze als elastische (en nog andere) eigenschappen
veroorzaakt door de moleculaire structuur van die vloeistoffen.
Hier beperken we ons tot de continuum theorie van isotherme, incompressibele vloeistoffen. In 5.1 laten we een aantal voorbeelden zien van typische
experimenten, die het verschil tussen Newtoniaanse en niet-Newtoniaanse
vloeistoffen illustreren. De kinematica van niet-Newtoniaanse vloeistoffen
zal voor een aantal eenvoudige stromingen bekeken worden in 5.2.1. In 5.2
wordt het model van de gegeneraliseerde Newtoniaanse vloeistof ingevoerd
en in 5.2.3 bekijken we modellen voor een lineaire viscoelastische vloeistof.
5.1
Fenomenologie
In het eerste experiment bekijken we twee identieke vertikale cilinders waarvan de bodem tot het tijdstip t = 0 bedekt is met een plaat. De ene cilinder
is gevuld met een Newtoniaanse vloeistof (bijvoorbeeld een water-glycerine
oplossing), de andere met een polymeer oplossing. Deze polymeer oplossing
is zo gekozen dat de viscositeit van de oplossing dezelfde is als die van de
Newtoniaanse vloeistof bij klein Reynolds getal. De stationaire valsnelheid
van een kleine bol is bijvoorbeeld in beide vloeistoffen gelijk.
Op t = 0 wordt de bodemplaat verwijderd. Als de rechter cilinder veel sneller
leegstroomt dan de linker noemen we de polymeeroplossing pseudoplastisch.
Bedenk dat in het Newtoniaanse geval het debiet omgekeerd evenredig is
met de (constante) viscositeit. Bij een pseudoplastische vloeistof neemt dus
de ’viscositeit’ af bij toenemende schuifspanning. Veel polymeeroplossingen
63
64
HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN
A
B
Figuur 5.1: In een bak wordt een vloeistof door een draaiende staaf in
beweging gebracht. (links) een Newtoniaanse vloeistof en (rechts) een viscoelastische vloeistof. A en B verwijzen naar het integratiepad in de tekst.
met een spanningsafhankelijke ’viscositeit’ zijn pseudoplastisch.
Er zijn echter niet-Newtoniaanse vloeistoffen waarvoor de rechter cilinder
minder snel leegstroomt dan de linker. Deze vloeistoffen worden dilatant
genoemd. Voor een dilatante vloeistof neemt de ’viscositeit’ toe bij een
grotere schuifspanning.
Dan zijn er nog vloeistoffen die helemaal niet gaan stromen tenzij er een
kritische schuifspanning is overschreden. Dit is de zogenaamde vloeigrens
(’yield stress’). Deze vloeistoffen worden viscoplastisch genoemd. Bij een
parallelle stroming met snelheidsveld u = (0, 0, w(r)) in een cilinder t.g.v.
de zwaartekracht wordt de balans van krachten gegeven door schuifspanning
σ 31 gegeven door
1 d
σ 31 )
ρg =
(rσ
(5.1)
r dr
waar de schuifspanning σ 31 is, ρ de dichtheid van de vloeistof, g de zwaartekrachtsversnelling en r de radiële coördinaat. Integratie geeft
1
ρgr = σ 31
2
Als voor zekere r0 < R (R de straal van de cilinder) de vloeigrens is bereikt
dan zal de vloeistof voor r < r0 als een prop stromen en varieert de snelheid
met r alleen in het gebied r0 < r < R. Als de vloeigrens groter is dan
ρgR/2, dan zal de vloeistof niet gaan stromen.
In het tweede experiment (zie figuur 5.1 en 5.2) bekijken we de stroming
veroorzaakt door een roterende cilinder. In de linker beker bevindt zich een
glycerine oplossing, in de rechter een polymeer oplossing. Het stromingspatroon in de Newtoniaanse vloeistof is zoals verwacht: de vloeistof nabij de
draaiende cilinder wordt naar buiten gedrukt door de centrifugale kracht en
5.1. FENOMENOLOGIE
65
Figuur 5.2: Illustratie van het ’Weissenberg’ effect. De vloeistof heeft zich
opgehoopt rond de draaiende staaf. bron: ”Rheological Phenomena in Focus”van D.V.Boger en K.Waters
het vloeistofpeil is maximaal aan de rand van de cilinder. Het gedrag van de
polymeeroplossing is echter totaal anders: de vloeistof klimt omhoog tegen
de cilinder. Dit fenomeen wordt het Weissenberg-effect genoemd.
Bekijken we de impulsbalans in radiële richting voor een stationaire axisymmetrische stroming met snelheidsveld u = (0, v(r), 0),
ρv 2
1 ∂
σ 11 ] − σ 22
−
=
[rσ
r
r ∂r
(5.2)
dan volgt door integratie van A naar B (zie figuur 5.2)
Z
rB
σ 11 (rB ) − σ 11 (rA ) = −
rA
ρv 2 1
σ 11 − σ 22 ) dr
+ (σ
r
r
(5.3)
66
HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN
Bedenk dat in een cilindrisch assenstelsel (r, θ, z), de tangentiële krachten die op een klein volume elementje werken niet parallel zijn (zie de
figuur in deze box). De resultante (normaal) stress op de oppervlakjes
drdz is −σ22 dθ (een min-teken omdat de kracht binnen is gericht). De
kracht per volume elementje rdrdθdz is dan
−
σ22 dθ drdz
σ22
=−
.
rdrdθdz
r
In de radiële richting is de resultante kracht σ11 (r + dr) (r + dr)dθdz −
σ11 (r) rdθdz. Na een Taylor reeks ontwikkeling volgt dat de resultante
kracht gelijk is aan
∂σ11 r
dθdzdr,
∂r
en dus per volume eenheid
1 ∂σ11 r
.
r ∂r
Als we veronderstellen dat deze krachten en de centrifugale kracht
(ρv 2 /r) balanceren, dan volgt direct (5.2).
dr
r
dθ
σ22 dθ
σ22
σ22
dθ
σ22
σ22 dθ
σ22
σ11(r+dr)
Voor een Newtoniaanse vloeistof bestaat de integrand in het rechterlid (bedenk dat voor de parallelstroming σ 11 = σ 22 = −p) alleen uit de centrifugale
kracht en daarom is het rechter lid negatief en dus pA < pB .
Het experiment met de polymeer oplossing geeft aan dat in dit geval het
rechterlid positief is en daarom moet dus σ 11 − σ 22 negatief zijn en groter
dan de centrifugale term. Er treden dus merkwaardige normaalkrachten op.
Het derde experiment betreft een vloeistof die vanuit een groot reservoir door
een cylindrische buis met lengte L en diameter D geperst wordt (figuur 5.3).
Als een Newtoniaanse vloeistof (bijvoorbeeld een siliconen olie) stroomafwaarts in een groot reservoir uitstroomt (de vloeistof heet dan geëxtrudeerd)
dan is de uittredende diameter De kleiner dan D. Voor een polymeer oplossing is in het algemeen De groter dan D; dit wordt ’extrudate swell’ of ’jet
5.1. FENOMENOLOGIE
67
Figuur 5.3: Uitstroom van een viscoelastische vloeistof; (boven) schematisch: door de schuifspanning langs de wand in de buis treedt elastische
uitrekking op. bij het uittredende ’veert’ de vloeistof terug (lengterichting)
waardoor ten gevolge van continuiteit verdikking optreedt; (onder) een fotoopname laat zien dat de plaats waar de verdikking optreedt verschuift
afhankelijk van de uitstroomsnelheid. (bron: Luca Brandt & Christophe
Duwig, http://www2.mech.kth.se / luca/html lib/dieswell.html
swell’ genoemd.
Men kan het verschijnsel ten dele verklaren door aan te nemen dat de vloeistof de capaciteit heeft om de intree regio van de cilinder te ’herinneren’.
Als de lengte van cilinder niet te lang is, dan zal de vloeistof bij stroming
uit de cilinder zijn oorspronkelijke vorm aannemen. De diameter verhouding
De /D wordt inderdaad kleiner bij grotere L. De verhouding nadert echter
niet naar 1 voor L/D → ∞ en de ’geheugen’ eigenschap van de vloeistof is
niet voldoende om het totale verschijnsel te verklaren.
Het belang van deze ’jet swell’ in de plastic- en vezelindustrie is enorm. Als
rayon wordt gesponnen, neemt de diameter van de vezel met ongeveer 10%
toe (afhankelijk van procescondities).
Beschouw in het volgende experiment een stilstaande polymeer oplossing
in een horizontale bak. Een hoeveelheid actieve kool wordt vertikaal in de
vloeistof aangebracht. Op t = 0 wordt een drukgradiënt aangelegd zodat de
vloeistof gaat stromen. Na enige tijd wordt deze gradient opgeheven. Waargenomen wordt dat de actieve kool zich terugtrekt (figuur 5.4, de drukgradient wordt opgeheven net voor t4 ); de vloeistof springt dus terug (’recoils’).
De twee belangrijkste eigenschappen die naar voren komen uit dit experiment zijn elasticiteit (net zoals vaste stoffen gaat het medium terug naar de
68
HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN
Figuur 5.4: Een paar schetsen van een ’terugspringend’ vloeistoffront ten
gevolge van het opheffen van de drukgradiënt.
onvervormde toestand, als de spanning wordt opgeheven) en een vervagend
geheugen (’fading memory’). Dit laatste impliceert dat de vloeistof herinnert
waar het vandaan kwam, maar dat het geheugen recente configuraties beter
herinnert dan degene daarvoor. Vanwege dit vervagend geheugen springt de
vloeistof niet helemaal terug naar de begintoestand.
Samenvattend hebben we gezien dat niet-Newtoniaanse vloeistoffen zich nogal anders gedragen dan Newtoniaanse vloeistoffen. Deze vloeistoffen bezitten
elastische eigenschappen, een (vervagend) geheugen, merkwaardige normaalkrachten en een afhankelijkheid van ’viscositeit’ en schuifspanning.
5.2
5.2.1
De gegeneraliseerde Newtoniaanse vloeistof
Inleiding
Een grondige beschouwing van de kinematica van een algemene niet- Newtoniaanse vloeistof valt buiten dit college; een grondige kennis van tensorrekening is noodzakelijk. We zullen ons hier en de volgende paragrafen
beperken tot enkele simpele reologische modellen die toegepast worden op
een beperkte klasse van stromingen en vloeistoffen.
Eerder hebben we gezien dat een incompressibele, isotherme Newtoniaanse vloeistof gekarakteriseerd wordt door twee grootheden, de dynamische
viscositeit µ en de dichtheid ρ. Deze karakterisatie is onafhankelijk van het
stromingsveld en de geometrie; voor elk experiment vindt men dezelfde waarde van ρ en µ. Voor niet-Newtoniaanse vloeistoffen is deze situatie afwezig
en leidt elk experiment tot zogenaamde materiaalfuncties die afhangen van
schuifspanning en bijvoorbeeld tijd. Deze materiaalfuncties worden gebruikt
om vloeistoffen te klassificeren en om constanten in reologische modellen te
bepalen. In deze paragraaf worden een aantal standaard stromingstypen
besproken die hiervoor worden gebruikt.
5.2. DE GEGENERALISEERDE NEWTONIAANSE VLOEISTOF
69
a
Figuur 5.5: Geometrie van de deformatie van het lijnsegment AB.
5.2.2
Krachten en vervorming
Voor niet-Newtoniaanse vloeistoffen is de relatie tussen krachten uitgeoefend
op de vloeistof en de daarop volgende vervorming complexer. Dat kan het
geval zijn voor normaalkrachten en voor schuifkrachten. Alvorens we op een
aantal toepassingen ingaan, zullen we dit proces eerst in wat meer detail
bekijken.
De vervorming kunnen we definiëren als de verschilvector tussen de vectoren
die twee gemerkte punten, zeg A en B, met elkaar verbinden op twee opeena,
volgende tijdstippen (zie figuur 5.5). De (infinitesimale) verschilvector, da
kunnen we in een cartesisch coordinatensysteem in eerste orde schrijven als
a=
da
a
∂a
dxj ,
∂xj
dai =
∂ai
dxj .
∂xj
of in componenten als
Deze uitdrukking kunnen we formeel herschrijven als
∂aj
∂aj
∂ai
1 ∂ai
1 ∂ai
=
+
+
−
.
∂xj
2 ∂xj
∂xi
2 ∂xj
∂xi
De eerste term in deze relatie staat voor de vervorming en de tweede voor
70
HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN
de rotatie. De vervormingstensor is dus gedefinieerd als
∂aj
1 ∂ai
+
.
2 ∂xj
∂xi
De diagonaaltermen leiden tot strekking of opeenpersing, de overige termen
tot afschuiving (’shearing’). Nemen we de afgeleide naar de tijd dan vinden
we de vervormingssnelheidstensor, e ,
∂uj
1 ∂ui
eij =
+
,
2 ∂xj
∂xi
die in sectie 4.1.1 al was ingevoerd. Voor het vervolg voeren we de ’deviante’
spanningstensor, τ , in als
1
σ )II
τ = σ − tr(σ
3
en op overeenkomstige wijze de ’deviante’ vervormingssnelheid:
1
γ̇ = e − tr(ee)II
3
waarin γ̇γ ≡ dγγ /dt. Merk op dat tr(ττ ) en tr(γ̇ ) gelijk aan nul zijn.
We beschouwen een reologisch model van een niet-Newtoniaanse vloeistof
dat in staat is de schuifspanningsafhankelijke viscositeit te beschrijven: de
gegeneraliseerde Newtoniaanse vloeistof. Hiervoor formuleren we algemene
relatie tussen de vervormingssnelheid en de schuifspanning als
τ = η γ̇ ,
waar η een scalaire functie is, die van een nog nader te speciferen aantal factoren afhankelijk kan zijn. Deze functie legt een relatie tussen twee tensoren
die ongeacht de keuze van het coordinatensysteem steeds dezelfde moet zijn.
Voor Newtoniaanse vloeistoffen is η alleen gerelateerd aan de materiaaleigenschappen en dus een (temperatuurafhankelijke) constante voor een bepaalde
vloeistof. Voor niet-Newtoniaanse vloeistoffen variëert η enorm met de afschuifspanning, soms wel met een factor 1000. Het is duidelijk dat dit soort
effecten niet verwaarloosd kunnen worden. Als η afhangt van τ of γ̇ , kan
dat alleen maar zijn via de invarianten van die tensoren, want die blijven
bij een coordinatentransformatie onveranderd. Voor een gegeneraliseerde
Newtoniaanse vloeistof geldt dan
τ = −η (Iγ̇ , IIγ̇ , IIIγ̇ ) γ̇
De functie η is dus een functie van de invarianten van de tensor γ̇
5.2. DE GEGENERALISEERDE NEWTONIAANSE VLOEISTOF
71
1.
Uit de definitie van γ̇ volgt dat Iγ̇ = 0. De afhankelijkheid van de derde
variant wordt verwaarloosd zodat
τ = η (IIγ̇ ) γ̇
(5.4)
In de hierna volgende toepassingen gaan we uit van een uniforme schuifstroming (u(z), 0, 0). Dan is
IIγ̇ = 2γ̇ 2 = 2(
du 2
) ,
dz
en vereenvoudigt (5.4) tot
τ = −η (γ̇) γ̇
(5.5)
De relatie tussen de niet-Newtoniaanse viscositeit η en γ̇ wordt meestal via
empirische weg vastgelegd. We introduceren twee veel gebruikte modellen.
’Power-law’ vloeistof
Dit model is gemotiveerd door resultaten zoals in figuur 5.6, waar voor grote
afschuifsnelheden een log − log plot van η tegen γ̇ een rechte lijn geeft. Voor
η veronderstellen we
η(γ̇) = m γ̇ n−1
waarbij m en n constanten zijn die van het type vloeistof en de procescondities afhangen. Hiermee wordt (5.5)
τ = m γ̇ n−1 γ̇ .
De inverse relatie staat in de glaciologie bekend als de wet van Glen. Voor
n < 1 is de vloeistof pseudoplastisch en voor n > 1 is de vloeistof dilatant
(’uitzettend’). In het geval m = µ en n = 1 is de vloeistof Newtoniaans.
’Bingham’ vloeistof
Dit is een model voor een vloeistof met een vloeigrens τ0 . Voor de viscositeit
geldt
1
Een tweede orde tensor τ met componenten τij , i, j = 1, . . . , 3 heeft drie invarianten
Iτ , IIτ en IIIτ , d.w.z. de waarden van deze grootheden hangen niet af van de keuze van
het coördinatenstelsel. Zij zijn gedefinieerd als
Iτ = tr(τ ) =
X
τii
i
IIτ = tr(τ × τ ) =
XX
i
IIIτ = tr(τ × (τ × τ )) =
τij τji
j
XXX
i
j
τij τjk τki .
k
Vaak worden combinaties van deze invarianten ook gebruikt.
det (τ ) = 61 (I3τ − 3Iτ IIτ + 2IIIτ ).
Zo is bijvoorbeeld
72
HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN
Figuur 5.6: log-log plot van η als functie van de vervormingssnelheid γ̇ .
η(γ̇) = ∞
voor τ < τ0
η(γ̇) = µ + τ0 /γ̇
voor τ > τ0
Om inzicht te krijgen in deze modellen behandelen we nu twee simpele voorbeelden.
Vlakke Couette/Poiseuille stroming van een ’Power-law’ vloeistof
Beschouw een stroming tussen twee vlakke platen waarvan de bovenste met
snelheid U naar rechts beweegt. De stroming wordt tevens aangedreven door
de constante horizontale drukgradient (pL − p0 )/L = −α. Een stationaire
parallelle stroming met snelheidsveld u = (u(z), 0, 0) is het gevolg.
De impulsbalans in x-richting (met σ = −pII + τ ) is
−
∂p ∂τ13
+
= 0,
∂x
∂z
met als oplossing
τ13 = αz − λ,
waarbij λ een integratieconstante is. Voor een ’Power-law’ vloeistof geldt
τ13 = −η(γ̇) γ̇ = −mγ̇ n = −m (
∂u n
) ,
∂z
zodat
m(
∂u n
) = λ − αz
∂z
(5.6)
5.2. DE GEGENERALISEERDE NEWTONIAANSE VLOEISTOF
73
Hieruit blijkt dat we onderscheid moeten maken tussen twee gevallen:
I. u(z) heeft geen extreem op z ∈ (0, H).
II. u(z) heeft een extreem op z ∈ (0, H).
In het eerste geval kunnen we (5.6) rechtstreeks integreren en vinden we
m
u(z) = β −
α(s + 1)
λ
z
−α
m
m
s+1
(5.7)
met s = 1/n en β een tweede integratieconstante. Deze constanten worden
bepaald door de randvoorwaarden u(0) = 0, u(H) = U en we vinden
λs+1 − (λ0 − Hz )s+1
u(z)
, met λ0 = λ/αH,
= 0s+1
U
λ0 − (λ0 − 1)s+1
waar de constante λ0 volgt uit
αH
m
H
U
1/s
=
s+1
s+1
λ0 − (λ0 − 1)s+1
1/s
.
Voor het geval II moeten we het interval splitsen en krijgen we eenzelfde
type resultaat.
Stroming van een ’Bingham vloeistof ’ tussen twee vertikale platen
Beschouw een Bingham vloeistof die zich tussen twee platen bevindt die op
een afstand d van elkaar zijn geplaatst. De stroming tussen de platen wordt
veroorzaakt door de zwaartekracht; een axiale drukgradient is afwezig. De
impulsbalans in x-richting wordt
∂τ31
= ρg
∂x
met als oplossing
τ ≡ τ31 = ρgx + λ,
waar λ een integratieconstante is. Vanwege symmetrie moet gelden dat
τ (d/2) = 0 en dus wordt λ = −ρgd/2; we hoeven ook alleen maar de situatie
op (d/2, d) te bekijken.
Veronderstel dat de vloeigrens gegeven wordt door τ0 . Indien dan de vergelijking
d
(5.8)
τ0 = ρg(x − )
2
geen oplossing heeft voor x ∈ (d/2, d) dan zal de vloeistof niet gaan stromen:
de maximale schuifspanning τmax = τ (d) = ρgd/2 < τ0 .
Indien de vergelijking wel een oplossing x∗ ∈ (d/2, d) heeft dan wordt het
snelheidsprofiel op het interval (x∗ , d) bepaald door
74
HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN
Figuur 5.7: Snelheids- en schuifspanningsprofiel van een ’Bingham’ stroming
tussen twee vlakke platen
−τ + τ0 = −µ
∂w
∂x
(5.9)
waaruit volgt
ρg 2
(x − dx) − τ0 (x − d)/µ.
(5.10)
2µ
Het stromings- en schuifspanningspatroon is geschetst in figuur 5.7.
w(x) =
5.2.3
De lineaire viscoelastische vloeistof
Hoewel het model van de gegeneraliseerde Newtoniaanse vloeistof erg waardevol is voor toepassingen in stromingen waar grote deformaties optreden,
is het formeel alleen toepasbaar op stationaire afschuifstromingen. Het reologische model is niet in staat om een tijdafhankelijke effecten, zoals een
elastische respons, te beschrijven. In deze paragraaf wordt een reologisch
model behandeld dat enkele temporele effecten kan beschrijven; het is echter alleen toepasbaar voor stromingen waarin kleine deformaties optreden.
Dit is het model van de viscoelastische vloeistof.
5.2. DE GEGENERALISEERDE NEWTONIAANSE VLOEISTOF
75
Als we een ring van rubber strekken en het daarna loslaten, zal het rubber
na een korte tijd terugkeren in de oorspronkelijke toestand. Het rubber is
elastisch en kan de oorspronkelijke toestand goed ’herinneren’. Polymeeroplossingen hebben ook elastische- en geheugen-eigenschappen,
Een simpel model om deze elastische- en geheugen-eigenschappen te beschrijven is het ’Maxwell-model’. Beschouwen we de spanning in een materiaal dat vrij kan bewegen tussen twee horizontale platen dan vinden we
voor een Newtoniaanse vloeistof
τ13 = −µ
∂u
= −µ γ̇(t).
∂z
(5.11)
Anderzijds geldt voor een elastische vaste stof (de wet van Hooke) in deze
eenvoudige geometrie
τ13 = −G
∂a
,
∂z
waarin a deR uitwijking is in de x-richting t.o.v. een evenwichtstoestand op
t
t = t0 , a = t0 u(z)dt. Hieruit volgt voor de gradiënt van a in de z-richting:
∂a
∂
=
∂z
∂z
Z
t
Z
t
u(z)dt =
t0
t0
∂u
dt ≡
∂z
Z
t
γ̇(t) dt ≡ γ(t, t0 ),
t0
zodat
τ13 = −G γ(t, t0 ).
(5.12)
We hebben hier gebruikt dat γ de (hoek)vervorming is (nb. γ̇(t) = ∂γ/∂t).
G is de glijdingsmodulus van het materiaal.
Het ’Maxwell-model’ is een lineaire combinatie van de vergelijkingen (5.11,
5.12):
µ ∂τ13
τ13 +
= −µγ̇(t)
(5.13)
G ∂t
In het stationaire geval reduceert bewegingen reduceert (5.13) tot (5.11).
Voor snel veranderende spanningen domineert de tijdafgeleide in het linkerlid en (na integratie) volgt (5.12) . Dus (5.13) modelleert een vloeistof met
zowel visceuze als elastische eigenschappen.
We stellen nu η0 = µ en λ0 = µ/G (λ0 is hiermee een tijdconstante) en
schrijven (5.13) als
∂τ
τ + λ0
= −η0 γ̇(t),
∂t
een eerste orde differentiaalvergelijking in t die na integratie
Z
t
τ (t) = −
−∞
η0
exp[−(t − s)/λ0 ] γ̇(s) ds
λ0
76
HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN
oplevert. De uitdrukking tussen accolades is de relaxatiemodulus G(t − s).
Partiële integratie geeft:
Z t η0
τ (t) =
2 exp[−(t − s)/λ0 ] γ(t, s) ds,
−∞ λ0
waarin de term tussen accolades bekend staat als de geheugenfunctie M (t −
s). Hierbij is verondersteld dat de τ eindig is voor t → −∞.
De gegeneraliseerde lineaire viscoelastische vloeistof wordt voorgesteld door
Z
t
G(t − s)γ̇ij (s) ds
τij = −
(5.14)
−∞
of
Z
t
M (t − s)γij (t, s) ds
τij =
−∞
waarvan het Maxwell-model een speciaal geval is.
Het reologisch model (5.14) is bruikbaar voor afschuifstromingen, rekstromingen en elk ander type stroming zolang de deformaties t.o.v. de referentietoestand klein zijn. Het is het correcte startpunt voor de beschouwing
van niet-lineaire effecten. Tot slot behandelen we twee voorbeelden m.b.t.
dit algemene model.
Stationaire afschuifstroming
Als een vloeistof een lange tijd tussen twee platen heeft gestroomd met
afschuifsnelheid γ̇13 constant, dan wordt (5.14)
Z
t
τ13 = −
Z
G(t − s)γ̇13 ds = −γ̇13
−∞
∞
G(σ) dσ = −η0 γ̇13
0
Hieruit zien we dat de viscositeit η0 gelijk is aan de integraal over de relaxatiemodulus. Via het model van de lineaire viscoelastische vloeistof vinden
we in dit geval alleen de viscositeit voor kleine afschuifsnelheden.
Terugspringen van een vloeistof
Beschouw weer een vloeistof tussen twee horizontale platen die een stationaire afschuifstroming ondergaat tot t = 0 met constante afschuifsnelheid
γ̇ (figuur 5.8). Op t = 0 wordt de spanning opgeheven en springt de vloeistof terug. We willen de vervorming γ(0, t) volgen als functie van de tijd.
Door de afstand tussen de platen klein genoeg te kiezen blijft gedurende
het terugspringen het lineaire snelheidsprofiel gehandhaafd (inertie is niet
belangrijk). Laat γ∞ de uiteindelijke vervorming zijn, d.w.z.
Z ∞
γ∞ = lim γ(0, t) =
γ̇(s) ds.
(5.15)
t→∞
0
5.2. DE GEGENERALISEERDE NEWTONIAANSE VLOEISTOF
77
τ13
·γ∞
γ·o
Δz
α
Figuur 5.8: Horizontale stroming met constant snelheidsprofiel.
We bepalen γ∞ met (5.14) voor t > 0. Uit τ (t) = 0 volgt:
Z 0
Z t
0=−
G(t − s)γ̇0 ds −
G(t − s)γ̇(s) ds
−∞
0
of met σ = t − s
∞
Z
0 = −γ̇0
G(σ) dσ −
G(σ)γ̇(t − σ) dσ
t
Laat nu Gn =
R∞
0
t
Z
(5.16)
0
G(σ)σ n dσ dan volgt
Z
−γ̇0 G0 + γ̇0
t
Z
0
t
G(σ)γ̇(t − σ) dσ.
G(σ) dσ =
0
Voer de Laplace getransformeerden Ḡ(p) = L{G(t)} en ḡ(p) = L{γ̇(t)} in.
Transformatie van bovenstaande vergelijking leidt tot (zie sectie 6.1.1)
−
γ̇0 G0 γ̇0 Ḡ(p)
+
= Ḡ(p) ḡ(p)
p
p
en dus
ḡ(p) =
1
p
γ̇0 −
γ̇0 G0
Ḡ(p)
.
We ontwikkelen Ḡ(p) in een Taylor reeks,
Ḡ(p) = G0 − G1 p + O(p2 )
zodat
ḡ(p) = γ̇0
G1
+ O(p2 ) .
G0 + G1 (p)
78
HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN
Uit (5.15) vinden we
Z
γ∞ = lim pL
p→0
t
γ̇(s) ds
0
zodat tenslotte
γ∞ = lim ḡ(p) = −γ̇0
p→0
= lim ḡ(p),
p→0
G1
.
G0
Op deze manier hebben we de integraalvergelijking (5.16 ) voor γ̇ niet
expliciet opgelost, maar de uiteindelijke vervorming als integraal via deze
integraalvergelijking berekend. Men kan deze uiteindelijke vervorming expliciet uitrekenen door een uitdrukking voor de relaxatiemodulus te nemen,
bijvoorbeeld die van het Maxwell-model met als resultaat γ∞ = −γ̇0 λ0 .
Als we het model van een lineaire viscoelastische vloeistof proberen toe te
passen op stromingen waar de deformaties niet klein zijn, komen we in moeilijkheden. Er is dan namelijk een afhankelijkheid van zowel de spanning als
de rotatie van een vloeistofdeeltje in de stroming, d.w.z. het model is niet
objectief. Meer algemene modellen beschouwen dan ook de spanning in een
coördinatenstelsel dat meeroteert met de stroming.
Hoofdstuk 6
WARMTETRANSPORT
6.1
Warmtetransport in een stilstaand medium
We zullen eerst ingaan op een bewegingsloze vloeistof. We laten interne
warmteproductie (zoals wrijving, straling of chemische processen) buiten beschouwing. Dan vindt het transport van warmte alleen plaats door middel
van (moleculaire) diffusie, die we evenredig nemen met de temperatuurgradiënt, q = −k∇T . Dan volgt uit (4.17):
∂T
= ∇.(k∇T ).
∂t
We hebben hierbij aangenomen dat e = cv T , waarbij ρ en cv de dichtheid en
de warmtecapaciteit van de vloeistof zijn en k de warmtegeleidingscoëfficiënt.
In vele gevallen (waaronder vaste stoffen) kunnen ρ, cv en k als constanten
worden beschouwd. In dit geval is de thermische diffusiecoëfficiënt κ =
k/(ρcv ) constant, zodat
ρcv
∂T
= κ∇2 T.
(6.1)
∂t
Deze vergelijking kan met geschikte rand- en beginvoorwaarden worden opgelost. Als voorbeelden geven we twee veel gebruikte methoden: de Laplace
transformatie en de Fourier transformatie. Uit de voorbeelden zal blijken
welke methodiek geschikt is voor een bepaald type probleem.
6.1.1
De Laplace transformatie
We beschouwen voor reële s > 0 de integraal
Z ∞
F (s) =
e−st f (t)dt.
0
De functie F (s) is gedefiniëerd voor die waarden van s waarvoor de integraal
bestaat en heet de ’Laplace getransformeerde’ van f , ook wel aangeduid als
79
80
HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT
L(f ). Het gaat om een lineaire transformatie, d.w.z. voor twee functies
f1 , f2 waarvoor geldt
L(c1 f1 + c2 f2 ) = c1 Lf1 + c2 Lf2 .
Een aantal rekenregels kan relatief gemakkelijk worden afgeleid. Als F (s) =
L{f (t)} dan geldt
L{f (at)} = a−1 F (sa−1 ),
L{e−at f (t)} = F (s + a)
(a > 0)
L{f 0 (t)} = sF (s) − f (+0)
L{f (n) (t)} = sn F (s) − sn−1 f (+0) − . . . − sf (n−2) (+0) − f (n−1) (+0)
waarin f (+0) = limt↓0 f (t).
Een laatste belangrijke regel betreft de Laplace getransformeerde van het
convolutie product f ∗ g, gedefiniëerd voor t > 0 door
Z t
f ∗g =
f (τ )g(t − τ )dτ,
0
met de eigenschap
L{f ∗ g(t)} = F (s)G(s)
waarbij G(s) = L{g(t)}. In de appendix zijn een aantal veel voorkomende
functies en hun Laplace getranformeerde gepresenteerd.
De belangrijkste toepassing van de Laplace transformatie vinden we bij het
oplossen van beginwaarde problemen voor lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coefficiënten, zoals bijvoorbeeld (6.1). We zullen deze
toepassing geven aan de hand van een voorbeeld.
Warmtegeleiding in een half-oneindige staaf
Beschouw een half-oneindig dikke staaf, die op t = 0 een temperatuur T0
heeft, terwijl bij x = 0 voor t > 0 de temperatuur een constante waarde
T1 heeft (T1 6= T0 ). Als we bovendien aannemen dat de staaf uit homogeen
materiaal bestaat en dat deze geen warmte verliest aan de omgeving, wordt
de formulering van het probleem gegeven door (6.1):
∂T
∂2T
=κ 2,
∂t
∂x
met begin- en randvoorwaarden,
voor t = 0:
T (x, 0) = T0 (x > 0),
voor x = 0:
T (0, t) = T1 (t > 0)
6.1. WARMTETRANSPORT IN EEN STILSTAAND MEDIUM
81
Figuur 6.1: Temperatuurverloop bij drie verschillende tijdstippen als functie
van de afstand tot de wand.
en voor x → ∞
T (x, t) < ∞.
De Laplace getransformeerde, Θ(s, x), van T (t, x) is
Z ∞
Θ(s, x) =
e−st T (t, x)dt.
0
Met behulp van de rekenregels vinden we
κ
∂2Θ
= sΘ − T0
∂x2
De oplossing van deze gewone differentiaalvergelijking is (T0 is constant)
Θ(s, x) = A(s) exp{−x(s/κ)1/2 } + B(s) exp{x(s/κ)1/2 } + T0 s−1
(6.2)
Uit de randvoorwaarden volgt dat B(s) = 0 en A(s) = (T1 − T0 )s−1 zodat
Θ(s, x) = (T1 − T0 )s−1 exp{−x(s/κ)1/2 } + T0 s−1 .
Terugtransformatie geeft (zie appendix)
T (t, x) = (T1 − T0 ) Erfc{ √
x
} + T0
4κt
Ercf(x) is de complementaire error-functie gedefinieerd als
Z x
2
exp −z 2 dz, x ∈ [0, ∞)
Erfc(x) = 1 − Erf(x) = 1 − √
π 0
met Erf(∞) = Erfc(0)= 1.
82
HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT
T
T
T
Figuur 6.2: Definitie van de indringdiepte, δ
Voor T1 > T0 is het temperatuurverloop als functie van x geschetst in figuur
6.1 voor verschillende waarden van t.
De warmteflux op x = 0 op tijdstip t > 0 wordt gegeven door
q(t) = −ρcv κ
∂T
(t, 0)
∂x
(6.3)
Laat L{q(t)} = Q(s) dan volgt
κ
Q(s) = ρcv κA(s)(s/κ)1/2 = ρcv (T1 − T0 )( )1/2
s
Na terugtransformatie (zie appendix) volgt dat
h κ i1/2
q(t) = ρcv (T1 − T0 )
πt
(6.4)
(6.5)
Definiëren we de warmteoverdrachtscoëfficiënt α(t) door α(t) (T1 −T0 ) = q(t)
dan volgt α(t) = ρcv (κ/(πt)1/2 . Dit resultaat wordt vaak in de praktijk gebruikt.
Een maat voor het interval op de x-as waarover de verandering van temperatuur op x = 0 merkbaar is, is de penetratiediepte of indringdiepte δ. Deze
is gedefiniëerd als het snijpunt van de raaklijn aan het temperatuurprofiel
op x = 0 met de lijn T = T0 (zie figuur 6.2). Dit snijpunt heeft x -coördinaat
δ = (T1 − T0 )k/q(t) = (κπt)1/2 .
6.1.2
De Fourier transformatie
Indien een functie niet meer periodiek is zullen we alle frequenties moeten toelaten in de representatie in Fourier componenten. We definiëren de
6.1. WARMTETRANSPORT IN EEN STILSTAAND MEDIUM
83
Fourier getransformeerde F(f ) van f als
Z ∞
ˆ
F{f (x)} = f (k) =
f (x) e−ikx dx,
−∞
met de inverse transformatie:
1
f (x) =
2π
Z
∞
fˆ(k)eikx dk,
−∞
met de eigenschappen:
F{f (n) (x)} = (ik)n fˆ(k)
F{xn f (x)} = in fˆ(n) (k)
F{f (x) ∗ g(x)} = fˆ(k)ĝ(k)
F{f (bx)eiax } = b−1 fˆ(b−1 (k − a))
waarbij f ∗ g het convolutieproduct is gedefiniëerd door
Z ∞
f (x) ∗ g(x) =
f (u)g(x − u)du.
(6.6)
−∞
Ook van de Fourier transformatie zullen we een toepassing geven.
Warmtegeleiding in een onbegrensd medium
Beschouw het volgende proces (x, t) op respectievelijk ∈ (−∞, ∞) en [0, ∞),
∂T
∂2T
=κ 2,
∂t
∂x
met de rand- en beginvoorwaarden
lim T (x, t) = 0
x→±∞
T (x, 0) = T0 (x),
dat de warmtegeleiding door een onbegrensd medium t.g.v. de beginverdeling T0 (x) beschrijft. We definiëren de Fourier getransformeerde Θ(t, k)
door
Z ∞
F{T (x, t)} = Θ(k, t) =
T (x, t)e−ikx dx
−∞
Invullen en gebruik maken van een van de eigenschappen geeft Θt = −k 2 κΘ,
zodat
Θ(k, t) = A(k) exp(−k 2 κt)
De coëfficiënten A(k) volgen uit de beginvoorwaarde
Z ∞
A(k) = Θ(k, 0) =
T0 (x)e−ikx dx
−∞
84
HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT
Figuur 6.3: Diffusie van warmte vanuit een puntbron. De drie curves corresponderen met de tijdstippen t = 0.1, 0.5 en 1.0.
De algemene oplossing volgt nu door de inverse transformatie toe te passen
Z ∞
1
T (x, t) =
Tˆ0 (k)eikx exp(−k 2 κt) dk.
2π −∞
Indien T0 (x) =
Q
ρcp δ(x),
de Dirac deltafunctie, wat een puntbron in de oorsprong voorstelt, dan geldt Tˆ0 (k) = ρcQp , zodat
T (x, t) =
Q
(4πκt)−1/2 exp{−x2 /(4κt)}.
ρcp
De oplossing voor een paar willekeurige tijdstippen is geschetst in figuur 6.3
Het meer algemene probleem met T0 (x) willekeurig kan worden opgelost
door superpositie; de oplossing is dan
Z ∞
−1/2
T0 (ξ) exp{−(x − ξ)2 /(4κt)} dξ.
(6.7)
T (x, t) = (4πκt)
−∞
6.2
Warmtetransport door convectie en geleiding
Stromingen waar temperatuurveranderingen optreden zijn van groot praktisch belang. Gedacht moet worden aan warmtewisselaars gebaseerd op
stromende vloeistoffen, kristallisatieprocessen, circulatie van lucht/warmte
in gebouwen etc. Andere voorbeelden zijn de warmtetransportprocessen in
de atmosfeer en oceaan.
In deze sectie zullen we alleen vloeistoffen beschouwen met constante dynamische viscositeit µ en constante thermische diffusiecoëfficiënt κ. Tevens
6.2. WARMTETRANSPORT DOOR CONVECTIE EN GELEIDING 85
nemen we aan dat de dichtheidsveranderingen t.g.v. temperatuurverschillen
klein zijn t.o.v. de gemiddelde dichtheid. Dichtheidsveranderingen hebben
alleen invloed op de dynamica in combinatie met de zwaartekracht, de enige
volumekracht. Bovendien bekijken we alleen situaties zonder warmtebronnen/putten.
Onder deze benaderingen reduceren de balansen tot
u = 0
∇.u
u
du
ρ0
= −ρgee3 + µ∇2u − ∇p
dt
dT
= k∇2 T + ρ0 cv
dt
(6.8)
met de toestandsvergelijking ρ = ρ0 (1−β(T −θ0 )), waarbij ρ0 en θ0 referentie
waarden van de dichtheid en temperatuur voorstellen en β ≡ 1/θ0 . De warmte productie door dissipatie is . Zoals bekend zijn β[K −1 ], cv [Jkg−1 K −1 ]
en k[W m−1 K −1 ] de volume expansie coëfficiënt, de warmtecapaciteit en de
thermische geleidingscoëfficiënt; κ = k/(cv ρ0 )[m2 s−1 ] is de thermische diffusiecoëfficiënt.
Met U en L als een snelheid en een lengte die de stroming globaal karakteriseren, definiëren we de dimensieloze variabelen
t̃ = tU/L
u = u /U
ũ
x = x /L
x̃
T − θ0
T̃ =
∆T
p
p̃ =
ρ0 U 2
L2
˜ = µU 2
waarbij ∆T een karakteristiek temperatuurverschil is. De vergelijkingen
worden dan in dimensieloze variabelen (de ’tilde’ is weggelaten)
u = 0
∇.u
u
du
dt
= e 3 (−Re Fr−1 + Ra T ) + ∇2u − Re∇p
dT
dt
= ∇2 T + Br Re
P r Re
We zullen situaties bekijken waarbij Br 1, zodat visceuze dissipatie te
verwaarlozen is. Het Prandtlgetal is een vloeistofeigenschap, onafhankelijk
86
HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT
Tabel 6.1: Enige dimensieloze getallen met hun definities.
Ra
βgρ0 L2 ∆T
µU
Rayleighgetala
Re
ρ0 LU
µ
Reynoldsgetal
Pr
µ
ρ0 κ
Prandtlgetalb
Fr
U2
gL
Froudegetalc
Br
µU 2
k∆T
Pé
Gr
a
P r Re =
Ra P r−1 =
Brinkmangetal
LU
κ
gL2 α∆T ρ20 κ
µ2 U
Pécletgetald
Grashofgetale
John William Strutt (Lord Rayleigh), 1842-1919
Ludwig Prandtl (1875-1952)
c
William Froude (1810-1879)
d
Jean Claude Eugene Péclet (1793-1857)
e
Franz Grashof (1826-1893)
b
6.2. WARMTETRANSPORT DOOR CONVECTIE EN GELEIDING 87
T1
T0
r
R
p1
z
p2
L
Figuur 6.4: Geometrie van een geforceerde pijpsstroming.
van het type stroming. Het zegt iets over de relatieve sterkte van transport
van impuls en warmte t.g.v. moleculaire diffusie. Voor gassen is Pr < 1,
voor water geldt Pr ∼
= 7 en, bijvoorbeeld voor kwik, geldt Pr ∼
= 0.025.
Het Péclet getal geeft de verhouding van convectief transport en transport
door diffusie; voor P e 1 is convectie het dominante transportmechanisme,
voor P e 1 diffusie.
Stromingen met convectief warmte transport kunnen grofweg worden verdeeld in drie categorieën; gedwongen convectie, vrije convectie en gemengde
convectie.
6.2.1
Gedwongen convectie: Ra/Re 1, F r 1
Bij gedwongen convectie zijn de traagheidseffecten veel groter dan Archimedeskrachten (’buoyancy’). De temperatuurverdeling heeft dan geen invloed op het stromingsveld en in dit geval zijn thermodynamica en dynamica
ontkoppeld. De snelheidsverdeling u wordt niet door dichtheidsverschillen
beı̈nvloed. Is u bekend, dan kan het temperatuurveld afzonderlijk worden
uitgerekend. In het volgende voorbeeld wordt dit geı̈llustreerd
Warmtetransport bij gedwongen laminairepijpstroming
Een constante drukgradient (βp ) genereert een stationaire stroming in een
cilinder met straal R en lengte 2L, (L R), zie figuur 6.4 Voor z < 0
is de temperatuur aan de wand (r = R) gelijk aan T0 , voor z > 0 neemt
deze lineair toe met z en is T1 op z = L. De resulterende stroming wordt
parallel verondersteld (eindeffecten verwaarloosd) en het temperatuurprofiel
heeft geen invloed op het stromingsprofiel.
Het snelheidsveld u = (0, 0, w(r)) volgt uit (6.8b):
∂ 2 w 1 ∂w
+
) = βp .
∂r2
r ∂r
Met randvoorwaarden |w(0)| < ∞ en w(R) = 0 is de oplossing
µ(
w(r) =
βp 2
(r − R2 )
4µ
88
HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT
Figuur 6.5: Rayleigh-Bénard convectie voor een vloeistof tussen twee vlakke
platen waarbij de onderste verhit wordt.
Omdat L R, is de axiale geleiding (de term ∂ 2 T /∂z 2 ) veel kleiner dan
de radiale en daarmee wordt het probleem voor de temperatuur onder verwaarlozing van de dissipatie (6.8c)
w
∂T
∂2T
1 ∂T
= κ( 2 +
).
∂z
∂r
r ∂r
(6.9)
In het linkerlid staat het warmtetransport door convectie, en in het rechterlid door geleiding. In een stationaire toestand zijn deze in balans. De
randvoorwaarden zijn voor r = 0, z ≥ 0 : |T | < ∞, en voor r = R, z > 0 :
z
Tw = T0 + (T1 − T0 ) ,
L
waardoor T (r, z) de volgende vorm kan hebben:
T (r, z) = Tw + Θ(r),
(6.10)
voor een zekere functie Θ(r) met Θ(R) = 0 en |Θ(0)| < ∞. Invullen in de
bewegingsvergelijking (6.9) geeft
∂ 2 Θ 1 ∂Θ
+
= γ(r2 − R2 ),
∂r2
r ∂r
waarin γ =
βp (T1 −T0 )
4µκL .
De oplossing is
Θ(r) =
γR4 h r 4
r i
( ) + 3 − 4( )2 .
16
R
R
6.2. WARMTETRANSPORT DOOR CONVECTIE EN GELEIDING 89
Van de door een bepaalde doorsnede van de buis stromende vloeistof kan
een gemiddelde temperatuur TF worden gedefiniëerd volgens
RR
T wrdr
2πρ0
TF = R R
=
Gm
0 wrdr
0
Z
R
T wrdr
(6.11)
0
waarbij Gm de totale massa is, die per tijdseenheid door de buis stroomt. De
reden waarom de snelheid in deze definitie is betrokken, is dat het centrum
van de stroming het meest bijdraagt (snelheid het grootst) tot de warmtestroom door een dwarsdoorsnede.
Ook in dit geval kan een partiële warmte-overdrachtscoëfficiënt α∗ worden
gedefiniëerd als
∂T
α∗ (Tw − TF ) = κ(
)r=R
∂r
waarbij Tw = T0 + z(T1 − T0 )/L de wandtemperatuur is. Gebaseerd op
α∗ wordt een dimensieloos kental gedefiniëerd dat de extra overdracht door
convectief transport (t.o.v. geleiding) aangeeft. Dit is het Nusselt getal, N u
gegeven door N u = α∗ D/κ, waar D = 2R de diameter van de buis is.
Voor bovenstaande oplossing vinden we dat N u onafhankelijk is van z (vanwege het verwaarlozen van eindeffecten) en gelijk aan N u = 48
11 = 4.364.
6.2.2
Vrije convectie: Ra/Re = O(1)
Bij vrije convectie (ook wel natuurlijke convectie genoemd) zijn alleen dichtheidsverschillen verantwoordelijk voor de stroming van de vloeistof. Ook
hiervoor zullen we volstaan met een voorbeeld.
Rayleigh -Bénard convectie
In dit bekende voorbeeld gaat het om een vloeistof tussen twee vlakke horizontale platen, waarvan de onderste warmer is dan de bovenste. Bekijk
een vloeistof element bij de onderste plaat dat een iets hogere temperatuur
heeft dan de omgeving. Ten gevolge van de opwaartse kracht zal het element
gaan stijgen. Als deze beweging niet te zeer wordt gedempt door visceuze
effecten, en als het temperatuurverschil niet te snel wordt vereffend door
diffusie, dan zal er een opwaartse stroming optreden die bij de bovenste
plaat in zijwaartse richting wordt afgebogen. Door continuiteit zal er ook
een neerwaartse beweging onstaan, en dus een volledige circulatie die de oorspronkelijke verstoring versterkt. Of zo’n circulatie ontstaat hangt af van de
verhouding van de sterkte van de opwaartse kracht en de dempende effecten
van diffusie van impuls en warmte, het Rayleighgetal. De formulering gaat
als volgt. Beschouw een horizontaal onbegrensde laag vloeistof met dikte H
tussen twee horizontale platen, waarvan de onderste op temperatuur T1 en
de bovenste op temperatuur T0 wordt gehouden, met T1 > T0 (figuur 6.5).
Veronderstel dat de vloeistof initieel bewegingsloos is. Door geleiding zal er
90
HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT
een lineair temperatuurprofiel ontstaan
T̄ = T1 − (∆T )
z
H
(6.12)
met bijbehorend dichtheid
ρ̄ = ρ0 [1 − β(T̄ − T1 )],
(6.13)
met β = 1/T0 , zie (4.19), en drukveld:
p̄(z) = p0 − ρ0 gz −
1β
∆T ρ0 gz 2 .
2H
(6.14)
∆T staat voor T1 −T0 . De vraag is of dit temperatuurprofiel stabiel is, d.w.z.
of het de stroming wel of niet in beweging brengt. Een noodzakelijke conditie
voor instabiliteit is dat storingen waarvan de amplitude initieel willekeurig
klein is, aangroeien. Uit een lineaire storingsanalyse (zie kader) resulteren
de volgende vergelijkingen
∂ ũ ∂ w̃
+
∂x
∂z
∂ ũ
P r−1
∂t
∂
w̃
P r−1
∂t
∂ T̃
− w̃
∂t
= 0
∂ p̃
∂ 2 ũ ∂ 2 ũ
+( 2 + 2)
∂x
∂x
∂z
∂ p̃
∂ 2 w̃ ∂ 2 w̃
= −
+( 2 +
) + Ra T
∂z
∂x
∂z 2
∂ 2 T̃
∂ 2 T̃
= ( 2 +
).
∂x
∂z 2
= −
(6.15)
Na eliminatie van de druk laat het stelsel vergelijkingen (6.15) oplossingen
toe van de vorm
ũ(x, z, t) = nπΨ0 cos nπz eik(x−ct)
w̃(x, z, t) = −ikΨ0 sin nπz eik(x−ct)
T̃ (x, z, t) = Θ0 sin nπz e
ik(x−ct)
(6.16)
,
waarin Ψ0 en Θ0 nog willekeurige constanten zijn. Het getal c is de complexe
groeifactor, c = cR + icI , waarbij cR de fase snelheid is van de verstoring en
cI de aangroeifactor. Indien cI > 0 voor zekere k, dan groeit een verstoring
met golfgetal k en de basisoplossing is instabiel; indien cI < 0 voor alle
golfgetallen k dan is de basistoestand lineair stabiel.
Het is dus interessant om te kijken naar die waarden van Ra en k waarvoor
cI = 0. Men kan bewijzen dat c volledig imaginair is, d.w.z. indien cI = 0
dan is c = 0. Vullen we de oplossing (6.16) in (6.15) dan volgt
6.2. WARMTETRANSPORT DOOR CONVECTIE EN GELEIDING 91
De afleiding gaat als volgt. We bekijken (in 2-D (x,z)) de verstoringen,
die we met een ’tilde’ aangeven:
p
=
p̄(z) + p̃
(6.17a)
ρ
=
ρ̄(z) + ρ̃
(6.17b)
T
=
T̄ (z) + T̃
(6.17c)
u
=
0 + ũ
(6.17d)
w
=
0 + w̃
(6.17e)
We gaan uit van de Navier Stokes vergelijkingen in de vorm (6.8), waarin
we voor de volumekracht de zwaartekracht substitueren en de dissipatie
verwaarlozen
∂u
∂w
+
∂x
∂z
du
ρ0
dt
dw
ρ0
dt
dT
dt
=
=
=
=
0
∂p
∂2u
∂2u
+ µ( 2 +
)
∂x
∂x
∂z 2
2
2
∂p
∂ w
∂ w
−
+ µ( 2 +
) − ρg
∂z
∂x
∂z 2
2
2
∂ T
∂ T
κ( 2 +
),
∂x
∂z 2
−
waarin
∂
∂
∂
d
=
+u
+w .
dt
∂t
∂x
∂z
We substitueren nu (6.17), verwijderen de termen die alleen de gemiddelde stroming beschrijven en verder alle termen die kwadratisch zijn in
de verstoring. We houden dan een vergelijking over die lineair is in de
verstoring:
∂ ũ
∂ w̃
+
∂x
∂z
∂ ũ
ρ0
∂t
∂ w̃
ρ0
∂t
∂ T̃
∂ T̄
+ w̃
∂t
∂z
=
0
=
−
∂ p̃
∂ 2 ũ
∂ 2 ũ
+ µ( 2 +
)
∂x
∂x
∂z 2
∂ p̃
∂ 2 w̃
∂ 2 w̃
−
+ µ( 2 +
) − ρ̃g
∂z
∂x
∂z 2
∂ 2 T̃
∂ 2 T̃
κ( 2 +
)
∂x
∂z 2
=
=
Met behulp van (6.13) en (6.12) vinden we voor ρ̃ en
ρ̃
∂ T̄
∂z
=
=
∂ T̄
∂z
ρ − ρ̄ = −ρ0 β T̃
∆T
−
H
zodat
∂ ũ
∂ w̃
+
∂x
∂z
∂ ũ
∂t
∂ w̃
∂t
=
0
=
−
∂ T̃
∆T
− w̃
∂t
H
=
=
1
ρ0
1
−
ρ0
κ(
∂ p̃
∂ 2 ũ
∂ 2 ũ
+ ν( 2 +
)
∂x
∂x
∂z 2
∂ p̃
∂ 2 w̃
∂ 2 w̃
) + βg T̃
+ ν( 2 +
∂z
∂x
∂z 2
∂ 2 T̃
∂ 2 T̃
+
)
∂x2
∂z 2
Als we aannemen dat op de horizontale platen de schuifspanning nul is,
dan zijn de randvoorwaarden voor z = 0 en z = H: ∂∂zũ , w en T = 0. We
maken de (lineaire) vergelijkingen dimensieloos door een snelheidsschaal
κ/H, een tijdschaal H 2 /κ, een lengteschaal H en een drukschaal µκ/H 2
in te voeren. De resulterende vergelijkingen zijn dan (6.15).
92
HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT
Figuur 6.6: Stabiliteits diagram voor Rayleigh-Bénard convectie.
(k 2 + (nπ)2 )2 Ψ0 − ikRa Θ0 = 0
ikΨ0 + (k 2 + (nπ)2 )Θ0 = 0,
twee homogene vergelijkingen voor de constanten Ψ0 en Θ0 met alleen een
niet-triviale oplossing indien de coëfficiënten determinant nul is. Dit geeft
Ra = k −2 (k 2 + (nπ)2 )3 .
De laagste waarden van Ra waarvoor cI = 0 wordt gevonden bij n = 1. Deze
curve is geschetst in figuur 6.6. Bij het minimum van de curve hoort het
kritieke Rayleighgetal Rac en het kritieke golfgetal kc , gegeven door Rac =
27π 4 /4 en kc = (π 2 /2)1/2 . Als Ra groter is dan Rac dan groeien verstoringen
aan, in eerste instantie exponentieel (volgens de voorgaande theorie), maar
later worden niet-lineaire termen belangrijk en voor niet te grote waarden
van Ra organiseert de stroming zich in celpatronen, de zogenaamde rolcellen.
Een voorbeeld van een celpatroon is geschetst in figuur 6.7.
Afhankelijk van de waarden van Ra en P r en de geometrie kunnen verschillende stationaire stromingspatronen maar ook tijdsafhankelijke stromingen
ontstaan. Voor Pr >> 1 is er een groot gebied met toenemende Ra waarin
de stroming zich ontwikkelt van twee dimensionale rolcellen via drie dimensionale rolcellen en tijdsafhankelijke patronen naar uiteindelijk turbulent
gedrag.
6.2. WARMTETRANSPORT DOOR CONVECTIE EN GELEIDING 93
Figuur 6.7:
Illustratie van Rayleigh-Bénard
psc.edu/science/Gunton/gunton.html).
convectie
(bron:
94
HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT
Hoofdstuk 7
STABILITEIT VAN
STROMINGEN
Een beroemd geworden experiment van Reynolds (1983) betreft de stroming van een visceuze vloeistof door een pijp bij verschillende (constante)
drukgradiënten. Bij lage snelheden is de stroming stationair en laminair,
de z.g. Poiseuille stroming, waar bij alle stroomlijnen evenwijdig zijn aan
de as van de pijp. Kleurstof die met een holle naald in de vloeistof wordt
ingebracht maakt dit goed zichtbaar (figuur 7.1. Bij het opvoeren van de
druk komt er plotseling een moment dat de stroming destabiliseert. Bij een
zeker Reynoldsgetal, gevormd door de snelheid U , de diameter d van pijp
en de viscositeit van de vloeistof, wordt de beweging chaotisch. Bij welk
Reynoldsgetal dit precies gebeurt bleek nog niet zo eenvoudig vast te stellen
(hoe minder initiële turbulentie de vloeistof bevatte hoe hoger het kritische
Reynoldsgetal was), suggererend dat pijpstroming stabiel is onder infinitesimale verstoringen. Een ander voorbeeld is Rayleigh-Bénard convectie (zie
sectie 6.2.2), waar bij het opvoeren van het temperatuurverschil de stroming
(in stapjes) steeds chaotischer wordt.
We zullen aan de hand van vlakke Poiseuillestroming laten zie hoe we met
de Navier-Stokes vergelijkingen een stabiliteitsanalyse kunnen uitvoeren.
7.1
Instabiliteit van vlakke Poiseuille stroming
We gaan uit van de vergelijkingen voor een visceuze, divergentievrije stroming tussen twee vlakke platen. We maken deze op de bekende manier
dimensieloos en schrijven
u
du
= −∇p + Re−1 ∆u.
dt
We veronderstellen homogeniteit in de zijwaarste richting en kiezen de z-as
loodrecht op de platen en de x-as in de stromingsrichting. De schuifstroming
95
96
HOOFDSTUK 7. STABILITEIT VAN STROMINGEN
Figuur 7.1: Herhaling van het beroemde experiment (1883) van Reynolds
met de originele apparatuur. Van boven naar beneden neemt het Reynolds
getal toe. (bron: Dyke (1982)
U = (U(z),0,0), is een exacte oplossing van deze vergelijkingen. We brengen
nu in het druk- en snelheidsveld een kleine verstoring aan (in het x−z vlak) :
p = P + p en u = (U (z) + u, 0, w), waarin p, u en w functie van x, z en t zijn.
we voeren een lineaire analyse uit dus termen waarin producten van u en w
voorkomen worden verwaarloosd. Substitutie in de bewegingsvergelijkingen
geeft
n ∂2u ∂2u o
∂u
∂u
∂p
+U
+ wU 0 = −
+ Re−1
+ 2
∂t
∂x
∂x
∂x2
∂z
n ∂2w ∂2w o
∂w
∂w
∂p
+U
= −
+ Re−1
+
∂t
∂x
∂z
∂x2
∂z 2
∂u ∂w
+
= 0,
∂x
∂z
waar we kortheidshalve de notatie ∂U/∂z ≡ U 0 hebben gebruikt. We voeren
de stroomfunctie ψ in, u = ∂ψ/∂z en w = −∂ψ/∂x en elimineren de druk.
De vergelijking voor de stroomfunctie wordt:
∂∆ψ
∂∆ψ
∂ψ
+U
− U 00
= Re−1 ∆2 ψ,
∂t
∂x
∂x
2
2
∂ψ
∂
∂
waarin ∆ = ∂x
2 + ∂z 2 met de randvoorwaarden dat ψ en ∂z nul zijn. De
coëfficienten in deze vergelijking zijn alleen functies van z. Daarom substi-
7.1. INSTABILITEIT VAN VLAKKE POISEUILLE STROMING
97
Figuur 7.2: (bron: Acheson)
tueren we oplossingen van de vorm
ψ(x, z, t) = ψ̂(z)ei(kx−ωt) ,
(7.1)
met de Orr-Sommerfeld vergelijking als resultaat:
iRe−1 (ψ̂ 0000 − 2k 2 ψ̂ 00 + k 4 ψ̂) + (U k − ω)(ψ̂ 00 − k 2 ψ̂) − U 00 k ψ̂ = 0.
(7.2)
Het hiermee corresponderende eigenwaardeprobleem leidt tot een relatie tussen ω, k en Re, zeg F(ω, k, Re) = 0. Als =(ω) > 0 dan groeit (7.1) exponentieel en zal de verstoring tot instabiliteit leiden en in het geval =(ω) < 0 zal
de verstoring uitdempen. De voorwaarde =(ω) = 0 geeft dus de overgang
van stabiel naar onstabiel. De functie F(ω = 0, k, Re) = 0 is geschetst in
figuur 7.2. In het gearceerde gebied is =(ω) > 0. Beneden het kritische
Reynoldsgetal, Recr is de stroming stabiel voor alle golfgetallen. Daarboven
wordt de stroming onstabiel voor een golfgetallen in het bereik dat gegeven
wordt door de snijpunten van een verticale lijn met de curve. De kritische
waarde Recr = 57721 .
In een niet visceuze stroming reduceert (7.2) tot
ψ̂ 00 − k 2 ψ̂ −
1
U 00 k ψ̂
= 0,
Uk − ω
(7.3)
Bedenk dat dit een lineaire stabiliteits analyse is, die ervan uitgaat dat de verstoringen
klein zijn. Er komt dus een moment dat door de (ongelimiteerde) groei de verstoring zo
groot wordt dat niet meer aan de uitgangspunten van de analyse wordt voldaan
98
HOOFDSTUK 7. STABILITEIT VAN STROMINGEN
met de randvoorwaarden ψ̂(0), ψ̂(1) = 0. Vermenigvuldig (7.3) met ψ̂ ∗ , de
complex toegevoegde van ψ̂, en integreer over z:
Z 1 n
U 00 ∗ o
ψ̂ ψ̂ dz = 0,
ψ̂ ∗ ψ̂ 00 − k 2 ψ̂ ∗ ψ̂ −
U −c
0
waarin we tevens de fasesnelheid c ≡ ω/k hebben ingevoerd. De eerste term
in de integraal integreren we partieel en we schrijven
Z 1
1 Z 1 n
o
U 00
0 2
2
2
∗ 0
|ψ̂ | + k |ψ̂| dz +
ψ̂ ψ̂ −
|ψ̂|2 dz = 0.
U −c
0
0
0
De eerste term is nul door de randvoorwaarden en de eerste integraal is reëel.
Het imaginaire gedeelte van de tweede integraal moet dus nul zijn:
Z 1
U 00
|ψ̂|2 dz = 0.
=(c)
2
|U
−
c|
0
Een noodzakelijke voorwaarde voor instabiliteit, =(c) > 0, is dus dat deze
integraal nul moet zijn. Dat kan alleen als U 00 van teken wisselt, ofwel de
functie U (z) heeft op het interval [0,1] minstens één buigpunt, het Theorema
van Rayleigh.
Een niet visceuze, vlakke Poiseuille stroming (parabolisch snelheidsprofiel)
is dus altijd stabiel en blijkbaar werkt de viscositeit destabiliserend op de
stroming: kleine verstoringen groeien door visceuze effecten aan de plaat
oppervlakken en diffunderen naar het inwendige van de vloeistof. Aan de
andere kant speelt de viscositeit ook een dempende rol, want bij toenemende
viscositeit neemt ook de kritische snelheid toe waarbij de stroming instabiel
wordt: Ucr = ν/dRecr .
7.2
Kelvin-Helmholtz instabiliteit
Deze vorm van instabiliteit ontstaat op een grensvlak tussen twee ideale
vloeistoffen die in dichtheid verschillen. Neem twee vloeistoffen (dichtheid ρ1
en ρ2 ) met respectievelijk uniforme basisstroming U1 op het interval (0, ∞)
en U2 op het interval (0, −∞). (zie figuur 7.3). Op het grensvlak (z =
0) veronderstellen we een verstoring in het snelheidsveld, zodat de totale
snelheidspotentiaal
ϕi = Ui x + ϕ0i
(i = 1, 2),
(7.4)
wordt voor z > 0 en z < 0. Het scheidingsvlak is een wervelvlak, (’vortex
sheet’), en dus een materieel oppervlak in de stroming. Door de verstoring
verandert zijn positie, die we met de functie η(x, t) zullen weergeven. (Omdat het stromingsveld parallel is met het xz-vlak verwachten we in eerste
instantie dat de verstoring ook in dat vlak het belangrijkst zal zijn, en laten
de eventuele y-afhankelijkheid weg).
7.2. KELVIN-HELMHOLTZ INSTABILITEIT
99
Figuur 7.3: schets van een Kelvin Helmholtz instabiliteit.
We veronderstellen nu dat op het grensvlak (z = η) zowel de druk als de
verticale snelheid continu moeten zijn: p1 = p2 en w1 = w2 . De eerste
voorwaarde schrijven we, gebruikmakend van de vergelijking van Bernoulli
(3.8) als
ρ1 (
∂ϕ1 1
∂ϕ2 1
+ (∇ϕ1 )2 + gη) = ρ2 (
+ (∇ϕ2 )2 + gη),
∂t
2
∂t
2
en de tweede, omdat de verticale snelheid op z = η, ∂ϕ/∂z, gelijk is aan de
beweging van het scheidings vlak, dη/dt:
∂ϕ1
∂z
=
∂η ∂ϕ1 ∂η
+
∂t
∂x ∂x
∂ϕ2
∂z
=
∂η ∂ϕ2 ∂η
+
.
∂t
∂x ∂x
We substitueren (7.4) en kijken slechts naar de eerste orde verstoring met
als resultaat
ρ1 (
∂ϕ01
∂ϕ0
∂ϕ0
∂ϕ0
+ U1 1 + gη) = ρ2 ( 2 + U2 2 + gη)
∂t
∂x
∂t
∂x
∂η
∂η
∂ϕ01
=
+ U1
∂z
∂t
∂x
∂ϕ02
∂η
∂η
=
+ U2 .
∂z
∂t
∂x
(7.5)
100
HOOFDSTUK 7. STABILITEIT VAN STROMINGEN
We veronderstellen een periodieke verstoring van de vorm:
ϕ01 = A1 e−kz ei(kx−ωt)
ϕ02 = A2 ekz ei(kx−ωt)
η = a ei(kx−ωt) .
De snelheidspotentialen van het verstorende snelheidsveld zijn rotatievrij en
zo gekozen dat het totale stromingsveld convergeert naar de basisstroming
voor z → ± ∞. Substitutie in (7.5) levert op z = 0 een stelsel van drie
homogene vergelijkingen in A1 , A2 en a. De voorwaarde dat de determinant
van coëfficienten nul moet zijn geeft de dispersie relatie:
g
(ρ1 − ρ2 ) + ρ1 (c − U1 )2 + ρ2 (c − U2 )2 = 0,
k
waarin we weer de fasesnelheid c ≡ ω/k hebben ingevoerd. We lossen hier c
uit op:
r
ρ1 ρ2
ρ1 U1 + ρ2 U2
g ρ1 − ρ2
±
−
(U2 − U1 )2 .
c=
ρ1 + ρ2
k ρ1 + ρ2 (ρ1 + ρ2 )2
Als de term onder het wortelteken negatief wordt,
(U2 − U1 )2 >
g ρ22 − ρ21
,
k ρ1 ρ2
is c imaginair en groeit de storing exponentieel. Voor kleine dichtheidsverschillen en met λ = 2π/k (λ is de golflengte van de verstoring) volgt, met
1
de notatie g 0 ≈ g ρ2ρ−ρ
, als voorwaarde voor onstabiliteit:
1
(U2 − U1 ) 2
1
> ,
0
gλ
π
waarmee een kritisch Froude getal gedefinieerd is gebaseerd op de golflengte
van de verstoring2 .
7.3
De overgang naar turbulentie
Het mechanisme van het ontstaan van turbulentie en de daarmee samenhangende wiskundige beschrijving zijn nog niet ontrafeld. Uitgaande van de
Navier-Stokes vergelijkingen zijn er twee hoofdvisies:
• De oplossingen van de N-S vergelijkingen worden voor Re >> 1 singulier in eindige tijd.
2
De invloed van de oppervlaktespanning, die een stabiliserende werking heeft vooral
voor kleine golflengtes, is hier buiten beschouwing gelaten
7.3. DE OVERGANG NAAR TURBULENTIE
101
Figuur 7.4: Bifurcatie diagram.
De verticale as geeft een eigenschap(oplossing) van de stroming als functie van een stabiliteitsparameter
(λ).
• Voor grote Re ontstaan ’strange attractors’ met een complexe geometrische structuur in de faseruimte.
De 1-D Navier-Stokes vergelijking (De ’Burgers vergelijking’) vertoont (bij
niet-stochastische randvoorwaarden) geen turbulent gedrag. In 2-D is aangetoond dat ’gladde’ oplossingen voor t = 0 glad blijven voor t → ∞. In
3-D is dit nog niet aangetoond.
In de tweede visie wordt verondersteld dat een stroming een aantal overgangen doormaakt voordat deze volledig turbulent wordt. We kunnen dat
als volgt schetsen. In een bifurcatiediagram (zie figuur 7.4) wordt een maat
voor de verstoring uitgezet tegen een stabiliteitsparameter. Tot een zekere
waarde is de basisstroming stabiel. Bij het eerste bifurcatiepunt zijn er twee
stabiele oplossingen die bij grotere waarden van de stabiliteitsparameter zelf
weer instabiel worden totdat uiteindelijk volledig ontwikkelde turbulentie
ontstaat. Van dit proces is nog geen sluitende wiskundige theorie bekend.
102
HOOFDSTUK 7. STABILITEIT VAN STROMINGEN
Hoofdstuk 8
TURBULENTIE
Het wordt algemeen aangenomen dat de Navier-Stokes vergelijkingen de wiskundige basis is voor de beschrijving van turbulente stromingen. Uit eigen
waarneming kan iedereen constateren dat de natuur een dusdanige complexiteit aan stromingen kan genereren dat de wiskundige simulatie daarvan
geen eenvoudige en zelfs geen gewenste opgave zal zijn. De bestudering van
turbulentie heeft dan ook een sterk experimentele achtergrond en de wiskundige beschrijving beperkt zich meestal tot statistische aspecten van de
stroming. In dit diktaat zullen we ons beperken tot een paar belangrijke
ontwikkelingen en statistische concepten.
8.1
Het spectrum van turbulentie en de energiecascade
Turbulentie is in feite nog steeds een onopgelost probleem in de vloeistofmechanica en kan slechts in benadering geänalyseerd worden. Het is niet
eenvoudig een goede beschrijving van turbulentie te geven zonder in tautologieën te vervallen. Ongeordende beweging, chaos en turbulentie zijn
vrijwel equivalente begrippen. Belangrijke kenmerken van turbulentie zijn:
- turbulente stroming is onregelmatig, chaotisch en onvoorspelbaar;
- er is grote uitwisseling van impuls, warmte en massa ;
- in turbulentie zijn krachten op vaste lichamen veel groter en is de
wrijving veel groter dan in laminaire stromingen
- er is een grote verscheidenheid in tijd- en ruimteschalen
Voor het laaste aspect vormt de Fourieranalyse is een belangrijk hulpmiddel.
Daarmee kunnen we meer inzicht te krijgen in hoe turbulente bewegingsenergie over ruimtelijke schalen is verdeeld.
103
104
8.1.1
HOOFDSTUK 8. TURBULENTIE
Fourier representatie van de bewegingsvergelijkingen
Hier gaan we dieper in op de structuur van de dynamica van een 3-D turbulente stroming. We gaan nu een Fourieranalyse maken van de Navier-Stokes
vergelijking voor een incompressibele stroming (ρ = ρ0 ). We incorporeren de
(constante) dichtheid in de druk, laten volumekrachten buiten beschouwing
en herschrijven (4.20) als
∂
∂ ∂2 x, t) = −
ui (x
pδij + ui uj ,
−ν
∂t
∂xj ∂xj
∂xj |{z} |{z}
|{z}
| {z }
III
IV
I
(8.1)
II
die samen met de continuı̈teitsvergelijking,
∂ui
=0
∂x
|{z}i
(8.2)
V
een volledig stelsel vergelijkingen vormt. We introduceren de Fourier-getransformeerde
u(kk , t) als
snelheid, û
u(kk , t) ≡
û
1
(2π)3
Z
+∞
k.x
x, t)dx
x.
e−ik.x
u (x
−∞
Hier zullen we echter gebruik maken van de discrete transformatie:1
x, t) =
u (x
k =+∞
X
k.x
u(kk , t).
eik.x
û
(8.3)
k =−∞
Substitutie van (8.3) in de termen I-V van (8.1 en 8.2) levert achtereenvolgens
I:
X
∂ui
∂ X ik.x
k.x ∂ ûi
=
e k.x ûi (kk , t) =
eik.x
,
∂t
∂t
∂t
k
k
1
Dit is een sterk verkorte notatie van een complexe sommatie; het is een drievoudige
sommatie over de componenten kx , ky en kz . In een richting zou de sommatie over een
eindig interval L er als volgt uitzien:
u(x, t) =
n=+N
X
e
2πi n x
L
û(k(n), t),
n=−N
waarbij de relatie tussen de sommatie index n en het golfgetal k gegeven wordt door
k = 2πn/L en de sommatiegrens N bepaald wordt door de discretisatie: N = L/(∆x ).
Als we nu de sommatie in drie richtingen uitvoeren en de limiet voor L → ∞ nemen,
ontstaat de transformatie aangegeven in 8.3.
8.1. HET SPECTRUM VAN TURBULENTIE EN DE ENERGIECASCADE105
II:
ν
X
X
∂2
∂ 2 ui
k.x
k.x
=ν
ûi (kk , t)
eik.x
=−ν
ûi (kk , t) k 2 eik.x
,
∂xj ∂xj
∂xj ∂xj
k
k
III:
Definieer
p≡
X
k.x
eik.x
p̂(kk , t),
k
zodat
X
∂p
k.x
eik.x
ki p̂(kk , t),
=i
∂xi
k
IV:
x, t)uj (x
x, t) =
ui (x
X
p.x
eip.x
ûi (pp, t)
X
p
q.x
eiq.x
uˆj (qq , t),
q
zodat
∂
ui uj
∂xj
=
X
=
X
ûi (pp, t)ûj (qq , t)
p,q
∂ i(p+q).x
e (p+q).x
∂xj
(p+q).x
ûi (pp, t)ûj (qq , t) i(pj + qj )ei(p+q).x
.
p,q
Deze uitdrukking kunnen we formeel herschrijven als
X
X
∂
k.x
ûi (pp, t)ûj (qq , t) ikj δ(kk − p − q ),
ui uj =
eik.x
∂xj
p,q
k
waarbij we gebruik gemaakt hebben van de eigenschap 2 :
X
ap =
δ(k − p) ak .
k
V:
∂ui
=0
∂xi
leidt tot
X
k
2
ûi (kk , t)
∂ ik.x
e k.x = 0
∂xi
k − p − q ) is gelijk aan 1 als k = p + q en overigens 0.
δ(k
106
HOOFDSTUK 8. TURBULENTIE
en dus tot
X
k.x
ki ûi (kk , t)eik.x
= 0.
k
Uit
van Fourierreeksen:
P de orthogonaliteitseigenschap
k.x
ik.x
= 0 → ak = 0 ∀ k ,
k ak e
volgt dus
ki ûi (kk , t) = 0,
(8.4)
de continuı̈teitsvergelijking in de k-ruimte.
I, II, III, IV invullen in (8.1) geeft
0
X
e
k
k.x
ik.x
X
∂ ûi
ûi (pp, t)ûj (qq , t) = 0
+ νk 2 ûi + iki p̂(kk , t) + ikj
∂t
p,q
Het accent boven de tweede sommatie geeft aan dat deze alleen betrekking
heeft op waarden van k , p en q die voldoen aan k − p − q = 0 en derhalve
is de Kronecker delta functie weggelaten. Uit de orthogonaliteit van de
Fourierreeks volgt
0
X
∂ ûi
+ νk 2 ûi + iki p̂(kk , t) + ikj
ûi (pp, t)ûj (qq , t) = 0
∂t
p,q
(8.5)
Met behulp van de continuı̈teitsvergelijking (8.4) kunnen we de druk uit het
stelsel vergelijkingen elimineren. Vermenigvuldig (8.5) met ki en gebruik de
continuı̈teitsvergelijking (8.4):
0
2
ik p̂ + iki kj
X
ûi ûj = 0.
p,q
Hieruit volgt voor de druk
0
ki kj X
p̂ = − 2
ûi ûj .
k p,q
(8.6)
Verander in deze uitdrukking de sommatie index i in m, en herschrijf de
laatste term in (8.5) (nb. de verwisseling van de sommatie indices p en q is
toegestaan) als
ikj
0
0
X
X
ûi (pp, t)ûj (qq , t) = ikm δij
p,q
ûm (pp, t)ûj (qq , t)
p,q
en substitueer dit tenslotte in (8.5):
∂
∂t
+ νk
2
0
n
ki kj o X
ûi + ikm δij − 2
ûm (pp, t)ûj (qq , t) = 0,
k
p,q
(8.7)
8.1. HET SPECTRUM VAN TURBULENTIE EN DE ENERGIECASCADE107
een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden dat als uitgangspunt
dient voor verdere studie van de structuur van turbulentie. (Zie bijvoorbeeld
Kraichnan, J. Fluid Mech., 5 , 1959, 497).
Om wat meer gevoel te krijgen voor wat (8.5 of 8.7) precies voorstelt,
moeten we bedenken dat we met behulp van de Fourier analyse een ’ontbinding’ van de snelheid u hebben gemaakt in periodieke bewegingen (of
’wervels’,’eddies’) met afmetingen of ’golflengte’ ∼ k −1 . De bijbehorende
u geven de intensiteit (energie) die bij de desbetreffende golfamplitudes û
lengte (wervel) hoort. De vergelijkingen (8.5 of 8.7) kunnen dus worden
opgevat als dynamische vergelijkingen voor de energie van turbulente wervels van verschillende afmetingen. De viscositeit en druk hebben bepaalde
effecten op deze wervels. Bovendien beı̈nvloeden de wervels elkaar. Dit komt
uitstekend tot uitdrukking in (8.5). We bekijken deze vergelijking daarom
term voor term.
(a) drukloze stroming, geen interactie
Uit (8.5):
∂
+ νk 2 ûi = 0,
∂t
met als oplossing
2
ûi (kk , t) = ûi (kk , 0)e−νk t ,
(8.8)
volgt dat de viscositeit, de wervel met afmeting k −1 exponentieel dempt.
Hoe groter k, hoe sneller de wervel dempt. Dissipatie is dus het meest effectief voor kleine wervels.
(b) geen viscositeit, geen interactie
Wederom uit (8.5):
∂ ûi
+ iki p̂ = 0.
∂t
Als we (8.9) met ûi vermenigvuldigen, volgt (8.4)
1 ∂ û2i
= 0.
2 ∂t
(8.9)
(8.10)
Dus û2i is constant. In 8.9 wordt de energie van wervels (met afmeting k −1 )
niet aangetast door de term iki p̂ . Toch verandert ûi i.h.a. volgens (8.9).
Dit kan alleen maar betekenen dat als bijvoorbeeld û1 afneemt, û2 of û3
moeten toenemen, om aan conditie (8.10) te kunnen blijven voldoen (De
u roteert slechts). Hiervoor zorgt de drukterm. Deze term verdeelt
vector û
de energie dus over drie vrijheidsgraden. Als er geen voorkeursrichting in
de stroming is, dan moeten we wel aannemen dat in een evenwichtssituatie
de energie gelijkmatig verdeeld is over de drie ruimtelijke vrijheidsgraden.
Op basis van dit maximale entropiebeginsel zal de druk er dus voor zorgen
108
HOOFDSTUK 8. TURBULENTIE
dat de aanwezige energie gelijkmatig over de drie vrijheidsgraden verdeeld
wordt.
(c) alleen interactie
Wederom uit (8.5):
0
X
∂ ûi
ûi (pp, t)ûj (qq , t) = 0.
+ ikj
∂t
p,q
Deze term zorgt voor de interactie tussen wervels met afmeting k −1 en wervels met andere afmetingen. Er vindt dus energietransport plaats onder de
conditie k = p + q (De grotere wervels voeden de kleinere, tot aan schalen
waar de dissipatie gaat overheersen). Deze niet lineaire term zorgt voor het
onvoorspelbare, onstabiele gedrag van turbulentie.
De dissipatie ()
Als we (8.1) met u i vermenigvuldigen dan volgt met gebruikmaking van de
continuiteitsvergelijking
!
d 12 u2i
∂ 12 u2i
∂
∂ui 2
=−
uj p − ν
−ν
.
dt
∂xj
∂xj
∂xj
De tweede term is een transportterm die bij integratie over het volume van
de stroming wegvalt (we nemen aan dat er geen transport over de rand
van de stroming plaatsvindt). De laatste term is altijd ≥ 0 en staat voor
de afname van de turbulente bewegingsenergie ten gevolge van wrijving, de
visceuze dissipatie, . De definitie hievan is dus
=ν
∂ui
∂xj
2
.
(8.11)
Stellen we q = 12 u2i en negeren we de transportterm dan volgt
dq
= −.
dt
In stationaire,(quasi-) homogene en isotrope turbulentie is voor Re >> 1 de
dissipatie een constante, kenmerkende eigenschap van de turbulentie.
Energiecascade
Turbulentie kan beschouwd worden als een verzameling wervels van verschillende omvang die initieel hun oorsprong hebben op de schaal van de stroming
zelf. Uit de Fourieranalyse (8.8) hebben we al gezien dat de viscositeit het
snelst de kleine schalen dempt. In een evenwichtssituatie moet er dus in
een turbulente stroming een netto transport van energie van grotere naar
8.1. HET SPECTRUM VAN TURBULENTIE EN DE ENERGIECASCADE109
Figuur 8.1: Schets van het energiespectrum van een turbulente stroming
(uit Hinze (1959)).
kleinere schalen plaatsvinden: de stroming voedt de turbulentie op schalen
die corresponderen met de afmeting van de stroming (macroschaal). De
grote wervels zijn instabiel en breken op in wervels van diverse afmetingen.
Dit proces herhaalt zich vele malen. De kleinste wervels verliezen uiteindelijk hun energie door moleculaire viscositeit. Het netto effect is dat wervels
energie doorgeven van grote naar kleine schalen, de energiecascade.
De Kolmogorov hypothesen
Kenmerkende parameters in homogene en isotrope turbulentie op de kleinste schalen zijn en ν. (eerste Kolmogorov hypothese). Met dimensieanalyse
kunnen uit de dissipatie en de viscositeit de volgende lengte-, tijd- en snelheidsschalen worden afgeleid:
Met deze schalen correspondeert een Reynoldsgetal, ReK = uKνlK = 1.
Zij karakteriseren dus de kleinste turbulente schalen. Op nog kleinere schaal
overheerst de wrijving en is de stroming niet meer turbulent maar laminair.
Overigens zijn deze schalen nog veel groter dan de moleculaire schalen: als
we bedenken dat de karakteristieke schalen voor moleculaire processen de
110
HOOFDSTUK 8. TURBULENTIE
Tabel 8.1:
lengteschaal
snelheidsschaal
tijdschaal
3
1
( ν ) 4
1
(ν) 4
1
( ν ) 2
lK
uK
tK
geluidssnelheid c en de vrije weglengte λ zijn, zodat de viscositeit ν ∝ cλ,
dan volgt voor de verhouding λ/lK :
ν/c
uK
λ
=
=
.
lK
ν/uK
c
Aangezien uK /c << 1 voor de meeste geofysische stromingen, is de schaal
voor moleculaire processen nog vele ordes kleiner dan de kleinste turbulente
schalen.
Het opwekken van turbulentie zal in het algemeen een niet-isotroop proces zijn. De grote turbulente schalen zullen daarom ook niet isotroop zijn.
Bij het ’vervalproces’ zal de herinnering aan het opwekkingsproces geleidelijk vervagen en op kleine schalen wordt de turbulentie isotroop (’locally
isotropic turbulence’). Dit kan alleen als Re >> 1, zodat er een grote verscheidenheid van schalen bestaat, wat we als volgt kunnen inzien: uit de
turbulente kinetische energievergelijking kunnen we afleiden dat als productie en dissipatie ongeveer met elkaar in evenwicht zijn de orde grootte van
gelijk is aan u3 /l, waarin l de schaal is waarop turbulentie geproduceerd
wordt. De verhouding van de Kolmogorov microschaal tot l is dus
3
lK
= Re− 4
l
(8.12)
(leid af!). Voor Re >> 1 leidt dit tot een groot verschil in schalen waarop de
turbulentie geproduceerd en gedissipeerd wordt. Definieer een inertiaal gebied (’inertial subrange’) als het gebied met golfgetallen ki , waarvoor geldt:
1/l << ki << 1/lK (zie figuur 8.1). In dit gebied wordt voornamelijk energie getransporteerd (netto van grote naar kleine schaal) en de dissipatie is
verwaarloosbaar klein.
In het inertiaal gebied zijn alleen en k de dominerende parameters (tweede
Kolmogorov hypothese). Er is geen externe energiebron en dissipatie is verwaarloosbaar; alleen doorgave van energie vindt plaats. Hoe ziet nu E(k)
eruit in de inertial subrange? Ook hier levert dimensieanalyse met bepalende
parameters en k het resultaat
2
5
E(k) = CK 3 k − 3 .
(8.13)
8.2. STATISTISCHE THEORIE
8.2
111
Statistische theorie
Voor grote Reynoldsgetallen kunnen we de dynamische structuur van de
stroming niet meer uitrekenen (nog los van de vraag of je dat ook zou willen). Hoe de stroming zich in statistische zin gedraagt blijft nog steeds
relevant. De statistische vloeistofmechanica heeft zich dan ook sterk ontwikkeld. We zullen dit in de volgende secties, aan de hand van een paar
simpele voorbeelden, toelichten
8.2.1
De Autocorrelatiefunctie
Deze scalaire functie is gedefinieerd als
ρ(τ ) ≡
3
u(t)u(t + τ )
u(t)2
.
(8.14)
Met de streep boven de grootheden duiden we een middelingsproces aan.
Als de stroming stationair is, volgt uit de definitie ρ(0) = 1. Overige eigenschappen van de correlatiefunctie zijn:
• |ρ(τ )| 5 1 (bewijs!)
R∞
• 0 ρ(τ ) dτ bestaat en is > 0; ρ(τ ) moet dus voldoende snel naar 0
gaan.
• ρ(τ ) is een even functie van τ . (bewijs!)
We onderzoeken het gedrag van de autocorrelatiefunctie voor kleine τ . Maak
een Taylorreeks ontwikkeling:
∂ρ 1 2 ∂2ρ +
τ
+ ...
∂τ 0 2
∂τ 2 0
De tweede term rechts in (8.15) is 0 omdat ρ(τ ) even is zodat
ρ(τ ) = ρ(0) + τ
1
∂2ρ ρ(τ ) = 1 + τ 2
+ ...
2
∂τ 2 0
(8.15)
(8.16)
Hiermee definiëren we als volgt een ’tijdschaal’, λτ , als de waarde van τ
waarvoor ρ(τ ) in (8.16) gelijk 0 is (zie 8.14):
λτ =
−
1
2
2
∂2ρ ∂τ 2
.
0
De uitdrukking
∂u(t1 ) ∂u(t2 )
∂t1
∂t2
3
Voor de eenvoud van notatie is de plaatscoordinaat weggelaten.
(8.17)
112
HOOFDSTUK 8. TURBULENTIE
autocorrelation,ρ(τ)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-2
-1
0
tijdsverschil, τ
1
2
Figuur 8.2: De autocorrelatiefunctie. De getrokken lijn geeft de exponentiële
correlatiefunctie weer (zie vgl.(8.21). De gestippelde lijn is de (numeriek
bepaalde) autocorrelatie van W uit figuur 2.1.
kan met de benoeming van de nieuwe variabele, τ = t1 − t2 geschreven
worden als
∂u(t1 ) ∂u(t2 )
∂2
∂2
u(t1 )u(t2 ) = −u(t)2 2 ρ(τ ).
=
∂t1
∂t2
∂t1 ∂t2
∂τ
Voor τ → 0 wordt deze uitdrukking
∂u 2
∂t
= −u(t)2
∂2ρ ∂τ 2
τ =0
=2
u2
.
λ2τ
waarbij gebruik gemaakt is van (8.17) (en stationariteit).
Een tweede tijdschaalkan gedefinieerd worden als
Z ∞
ρ(τ ) dτ ≡ T,
(8.18)
0
waarin T de correlatietijd of macroschaal genoemd wordt.
We concluderen dat de autocorrelatiefunctie informatie bevat over de structuur van turbulentie.
8.2.2
Het turbulentie spectrum
Een turbulent snelheidsveld bestaat uit een superpositie van fluctuaties met
sterk uiteenlopende tijd- en ruimteschalen. Willen we nu de bijdrage van de
8.2. STATISTISCHE THEORIE
113
verschillende schalen nader analyseren, dan kunnen we dat doen door een
Fourier-analyse. Definieer het energiespectrum S(ω) als
u2
S(ω) ≡
2π
+∞
Z
e−iωτ ρ(τ ) dτ,
(8.19)
eiωτ S(ω) dω,
(8.20)
−∞
en zijn inverse:
u2 ρ(τ )
Z
+∞
≡
−∞
R +∞
Uit (8.20) volgt direct u2 ≡ −∞ S(ω) dω, zodat duidelijk is waarom S het
energiespectrum wordt genoemd. S(ω) is de bijdrage van frequenties tussen
ω en ω + dω aan (tweemaal) de turbulente kinetische energie, (u2 ). Enige
eigenschappen van S zijn
• S(ω) = S(−ω)
• S(ω) is reëel en ≥ 0 (bewijs zelf).
• Verder volgt uit de definitie en (8.18): S(0) =
1
2
π (u T )
u2
π
R∞
0
ρ(τ ) dτ =
• De volgende notatie volgt (voor even correlatiefuncties) uit (8.19):
R
u2 ∞
1
E(ω) = 2π
0 cos ωτ ρ(τ ) dτ , met E(ω) ≡ 2 S(ω), en wordt ook vaak
gehanteerd.
Een veel gekozen uitdrukking voor de correlatiefunctie is
ρ(τ ) = e−|τ |/T .
(8.21)
Het bijbehorende spectrum is
S(ω) =
u2 T /π
.
1 + (ωT )2
(8.22)
Vgl.(8.21) is geen realistische correlatiefunctie voor kleine τ , want de afgeleide heeft een discontinuı̈teit in τ = 0 en niet het parabolische gedrag
van (8.16). Voor τ >> λτ voldoet (8.21) wel. Het spectrum dat bij deze
correlatie functie hoort heeft een ω −2 gedrag (zie figuur(8.3). Voor de Lagrangiaanse snelheid van een vloeistof deeltje in isotrope turbulentie, UL (t)
kan d.m.v. dimensieanalyse worden ’afgeleid’ dat het energie spectrum (dat
dan alleen van en ω afhangt) de vorm heeft
EL (ω) ∝ ω −2 .
(8.23)
Hieruit volgt dus dat de autocorrelatiefunctie van de snelheid van een Lagrangiaans vloeistofdeeltje in goede benadering een exponentieel gedrag vertoont (Merk op dat het Euleriaanse spectrum (in de k-ruimte) in isotrope
turbulentie zich op dimensionele gronden afwijkend gedraagt, zie(8.13)).
114
HOOFDSTUK 8. TURBULENTIE
spectrum, S(ω)
10.00
1.00
0.10
0.01
-10
-5
0
frequentie,ω
5
10
Figuur 8.3: De spectra van de curves uit figuur 8.2.De getrokken lijn correspondeert met vgl.(8.22). De sterretjes corresponderen met het (numeriek
bepaalde spectrum van W uit figuur(2.1).
8.2.3
De correlatie tensor
Tot nu toe hebben we steeds naar de autocorrelatiefunctie van één component gekeken. We generaliseren nu naar drie dimensies, bijvoorbeeld voor
ui (t), i = 1, 2, 3:
ρij ≡ ui (t)uj (t + τ )
(8.24)
met als Fourier-partner het ’cross spectrum’ Fij
1
Fij (ω) =
2π
Z
+∞
ρij (τ )e−iωτ dτ.
(8.25)
−∞
Fij is hermitisch (Fij (ω) = Fji∗ (ω) (bewijs!)) en i.h.a. complex. Het rëeele
deel van Fij wordt het co-spectrum genoemd (of co-fase spectrum). Het
imaginaire deel van Fij wordt het quadratuur-spectrum genoemd.
We hebben nu variabelen van de stroming op een vaste plaats als functie
van de tijd bekeken. De ruimtelijke structuur op vaste tijd kan geanalyseerd
worden met
x)uj (x
x + r ).
x, r ) = ui (x
Rij (x
(8.26)
Rij is de correlatietensor. Er is gemiddeld over een ensemble van experimenten waarin de snelheid op x en x + r wordt gemeten. In homogene
turbulentie is Rij alleen afhankelijk van r (De tensor is dan invariant voor
8.2. STATISTISCHE THEORIE
115
translatie in alle richtingen). Ook hier wordt Fourier-analyse toegepast:
Z +∞
Rij (rr ) ≡
φij (kk )eikk .rr dkk .
(8.27)
−∞
en
1
(2π)3
φij (k) ≡
+∞
Z
Rij (rr )e−ik.rr drr .
(8.28)
−∞
Bedenk dat Rii (0) gelijk is aan 2 x de turbulente kinetische energie. Het
energiespectrum is gedefinieerd door
Z Z Z
Z ∞
1
1
E(k) dk.
Rii (0) =
φii (kk )dkk ≡
2
2
0
zodat
Z
2π
Z
E(k) =
π
1
2
0
φii (kk ) k 2 sin θdθdφ.
(8.29)
0
Deze 3-D spectra worden al gauw ingewikkeld en moeilijk om mee te werken.
We beperken ons meestal tot 1-dimensionale spectra en isotrope turbulentie.
Eén-dimensionale spectra
Om de ruimtelijke structuur van turbulentie te bestuderen zijn simultane
metingen gewenst op minimaal twee locaties. Bij de analyse nemen we
aan dat de ruimtelijke separatie gegeven wordt door r, die we gemakshalve langs de x-as kiezen, zodat Rij (r, 0, 0) = ui (0, 0, 0) uj (r, 0, 0) (zie figuur
8.4). Het bijbehorende één-dimensionale spectrum Fij (k1 ) ontstaat door
integratie over k2 en k3 :
Z Z
κ)dkk2 dkk3
Fij (k1 ) =
φij (κ
(8.30)
’Aliasing’
De prijs voor 1-D correlatie beschouwingen is dat we informatie van turbulente structuren die 3-D zijn, ’weg integreren’. Een golfbeweging die zich
bijvoorbeeld in het x − y vlak voortplant onder een hoek van 45o met de
x-as en een golflengte van 2π/k
√ , zal zich langs de x-as manifesteren als een
beweging met golflengte 2π 2/k. Dit effect staat bekend als ’aliasing’.
8.2.4
Isotrope turbulentie
Isotrope turbulentie4 is invariant voor (i) translaties in alle richtingen (homogeniteit), (ii) reflecties en (iii) rotaties. Variabelen van de stroming hangen
4
Isotrope turbulentie is automatisch homogeen omdat een willekeurige translatie uitgevoerd kan worden door twee rotaties. Turbulentie die invariant is onder een rotatie is
die ook invariant voor translatie.
116
HOOFDSTUK 8. TURBULENTIE
z
R11(r,0,0)
y
x
r
z
R33(r,0,0)
y
x
r
z
R23(r,0,0)
r
y
x
Figuur 8.4: De longitudinale-, transversale- en kruiscorrelatie.
in dat geval niet meer af van vectoren, maar uitsluitend van scalaire grootheden. Isotropie legt (samen met continuı̈teit) zware beperkingen op aan de
functionele vormen van correlatiefuncties.
Correlatiefuncties
De correlatietensor Rij (r, 0, 0) bijvoorbeeld moet invariant zijn onder reflectie en rotatie; bijv. bij rotatie over 180o om de y-as:
−u1 (0, 0, 0)u2 (r, 0, 0, ) = u1 (0, 0, 0)u2 (r, 0, 0, ),
of R12 = −R12 , dus R12 = 0. Analoog volgt Rij = 0 voor alle overige i 6= j.
Blijven over de diagonaal elementen,waarvan er wederom twee identiek zijn
en die we definiëren als R11 ≡ f (r) en R22 = R33 ≡ g(r). Er kan op basis van
symmetrieoverwegingen bewezen worden dat de algemene gedaante van een
8.2. STATISTISCHE THEORIE
117
2e orde tensor voor isotrope turbulentie de volgende gedaante moet hebben
(zie Tensoranalyse of Hinze (1959), hfdst. 3)5
ri rj
(8.31)
Rij (rr ) = {f (r) − g(r)} 2 + g(r)δij .
r
In isotrope turbulentie leggen f (r) (longitudinaal) en g(r) (transversaal) de
correlatietensor vast. De ruimtelijke structuur wordt dus vastgelegd door
slechts twee functies, f (r) en g(r). Bijbehorende integrale en microschalen
kunnen worden bepaald zoals in (8.35 en 8.18) is aangegeven.
Voor een incompressibele stroming geldt ∂ui /∂xi = 0, zodat voor de correlatietensor geldt ∂Rij (rr )/∂ri = 0. Toegepast op (8.31) geeft dit
r
∂f
+ 2(f − g) = 0
∂r
(8.32)
(leid af! Bedenk dat ∂/∂ri = (ri /r)∂/∂r, ∂ri /∂rj = δij en ∂ri /∂ri = 3). Er
bestaat dus een verband tusen f en g, ten gevolge van incompressibiliteit.
Als we (8.32) integreren:
Z
Z ∞
1 ∞
f (r) dr.
(8.33)
g(r) dr =
2 0
0
De transversale correlatielengte is dus gelijk aan de helft van de longitudinale
lengteschaal. De structuur van isotrope incompressibele turbulentie wordt
dus met een enkele functie beschreven (zie Monin and Yaglom (1975)). Dank
zij deze simplificaties kunnen we op een relatief eenvoudige manier de relatie
tussen de dissipatie en energiespectrum afleiden. Uit de definitie van de
dissipatie (zie 8.11) volgt
≡ν
∂u 2
i
∂xj
= −ν
∂2R ii
∂rj2
r=0
.
(8.34)
Op analoge wijze als in sectie 8.2.1 kunnen we voor de plaatscoordinaat in
een homogene, isotrope stroming afleiden dat
∂ 2 R (r) ∂ui 2
u2
ii
,
=−
=
2
∂xj
∂rj 2
λ2r
r=0
(8.35)
waarin λr de Taylor microlengteschaal genoemd wordt en Rij (r) de ruimtelijke correlatie tensor (zie 8.2.3). Dit belangrijke resultaat laat zien dat de
orde grootte van dit soort termen niet geschat kan worden met de karakteristieke afmeting L van de stroming. (Reken m.b.v. schaalanalyse, waarbij
we aannemen dat productie=dissipatie, de verhouding λr /L uit).
Introductie van de Fourierpartner van Rij , (8.27) differentiatie en (8.29)
geven
Z
∞
k 2 E(k) dk.
= 2ν
0
5
de definitie hier scheelt een factor u2 met die van Hinze.
(8.36)
118
HOOFDSTUK 8. TURBULENTIE
Deze uitdrukking bevestigt dat de dissipatie op de kleine schalen dominant
is: in de integraal wordt het energiespectrum ’gewogen’ met k 2 , zodat de
belangrijkste bijdrage voor grote k geleverd wordt. Bovenstaande relaties
geven ook een weg aan om de dissipatie experimenteel te bepalen. Uit (8.31)
en (8.34) volgen
#
"
∂2
(f + 2g)
(8.37)
= −ν
∂rj2
r=0
Als we (8.32) gebruiken om g te elimineren, als differentiatievariabele r
kiezen en de limiet nemen, dan volgt
"
#
∂2f
= −15ν
.
(8.38)
∂r2
r=0
Uit de definitie van f volgt
"
∂2f
∂r2
#
= −(
r=0
∂u 2
)
∂x
zodat uiteindelijk
∂u 2
)
(8.39)
∂x
De experimentele bepaling van de gradiënt in (8.39) zou een meting op twee
lokaties in de vloeistof vereisen. In sommige omstandigheden (losweg ’als de
vloeistof voldoende snel stroomt t.o.v. het meetpunt’) kunnen we met één
enkele puntmeting volstaan van een tijdreeks van een snelheidscomponent,
als we aannemen dat de Taylor-hypothese:6 (∂/∂t = U ∂/∂x) geldt:
15ν ∂u 2
= 2
(8.40)
U
∂t
= 15ν(
8.2.5
De Von Karman-Howarth vergelijking
De dynamica van tweede orde correlatiefuncties is een belangrijk onderwerp
van studie in turbulentie. We zullen hiervan een typisch voorbeeld geven.
We gaan uit van een homogene, isotrope turbulente vloeistof met constante
dichtheid. We gaan uit van de correlatietensor (8.26):
x) u j (x
x + r ),
Rij = u i (x
6
Als de gemiddelde advectie in de stroming groot genoeg is, kunnen we aannemen dat
de turbulente structuren a.h.w. ongewijzigd aan het meetpunt voorbij trekken (’bevroren
turbulentie’). Zijn de karakteristieke afmeting en snelheid van turbulente wervels respectievelijk l en u, dan is de corresponderende tijdschaal(τwervel ≈ l/u. Een dergelijke
structuur trekt in l/U (≈ τadvectie seconden langs een vast meetpunt (advectie snelheid
U ). Als de wervel in die tijd nauwelijks verandert, is aan de voorwaarde van bevroren turbulentie voldaan. In formulevorm luidt de voorwaarde voor bevroren turbulentie:
τwervel >> τadvectie , dus l/u >> l/U , of u/U << 1, de ’Taylor hypothese’. We kunnen
dan resultaten van tijdspectra gebruiken om ruimtelijke structuren te bestuderen.
8.2. STATISTISCHE THEORIE
119
Figuur 8.5: Large Eddy simulatie van 3-D isotrope turbulentie. Wat zichtbaar gemaakt is, zijn gebieden (’buisjes’) waar de druk verlaagd is en de
vorticiteit verhoogd. (Bron: Lesieur (1994)).
en leiden voor deze grootheid een dynamische vergelijking af. Het uitgangspunt is:
∂ui ∂ui uj
∂p
∂ 2 ui
+
=−
+ν 2 .
∂t
∂xj
∂xj
∂xj
We formuleren deze vergelijkingen zowel voor de plaats x als de plaats
x 0 = x + r (De tijdafhankelijkheid van snelheid en druk laten we voor de
duidelijkheid van notatie weg). Variabelen die van x 0 afhangen geven we
aan met een accent. De N-S vergelijkingen luiden dan
∂p
∂ 2 ui
+ν 2
∂xj
∂xk
∂ui ∂ui uk
+
∂t
∂xk
= −
∂u0j
∂u0j u0k
+
∂t
∂x0k
∂ 2 u0j
∂p0
= − 0 + ν 02
∂xj
∂x k
De eerste vergelijking vermenigvuldigen we met u0j en de tweede met ui .
Optelling van het resultaat en middelling geeft
∂Rij
∂ =
ui uk u0j − ui u0k u0j −
∂t
∂rk
∂pu0j
∂p0 ui
−
∂ri
∂rj
!
+ 2ν
∂ 2 Rij
∂rk2
(8.41)
120
HOOFDSTUK 8. TURBULENTIE
De differentiatie naar x en x 0 is vervangen door de differentiatie naar r :
∂
∂xk
∂
∂x0k
∂
∂rk
∂
.
∂rk
= −
=
We hebben gezien dat in isotrope turbulentie Rij slechts een functie van r
is en volledig bepaald door longitudinale correlatie functie
f (r) ≡ u1 (0, 0, 0) u1 (r, 0, 0).
Uit (8.31) en (8.32) volgen:
1 ∂f ri rj
1 ∂f
Rij (rr ) = {− r } 2 + {f + r
}δij ,
2 ∂r r
2 ∂r
(8.42)
zodat er een eenduidige relatie is tussen het spoor van Rij en f :
Rii = (3 + r
∂
) f.
∂r
We kunnen dus verder volstaan met de evolutievergelijking voor Rii :
∂Rii
∂
∂
∂
∂ 2 Rii
= (3 + r ) f =
(Siki (rr ) − Siki (−rr )) + 2ν
.
∂t
∂t
∂r
∂rk
∂rk2
De divergentie van de drukterm,
∂pu0i
∂ri
(8.43)
is nul omdat
x)ui (x
x0 )
x0 )
∂pu0i
∂p(x
∂ui (x
x
=
=
p(x
)
,
∂ri
∂x0i
∂x0i
en de laatste uitdrukking is gelijk aan nul wegens continuiteit. Een zelfde
argument geldt voor de andere drukterm. De derde orde correlatiefuncties
in (8.43) zijn bijzondere vormen van de algmene derde orde correlatietensor
x, r ) = ui (x
x) uj (x
x) uk (x
x + r)
Sijk (x
Ook deze tensor is door de symmetrieën in de turbulentie beperkt tot de
vorm
Sijk (rr ) = A(r)ri rj rk + B(r) (ri δjk + rj δki ) + C(r)rk δij .
De functies A, B en C zijn niet onafhankelijk: de continuiteits-eis
∂Sijk
= 0,
∂rk
(8.44)
8.2. STATISTISCHE THEORIE
121
en de voorwaarde dat Siil = 07 , maakt dat we deze functies in een enkele
functie kunnen uitdrukken. We kiezen hiervoor de correlatiefunctie
k(r) ≡ S111 (r, 0, 0),
waardoor (8.44) reduceert tot:
ri δjk + rj δki
rk δij
∂k ri rj rk
∂k
Sijk = k − r
−k
+ 2k + r
. (8.45)
3
∂r
2r
∂r
4r
2r
De term
∂
∂rk
(Siki (rr ) − Siki (−rr )) in (8.43) wordt hiermee:
∂
∂
4
∂
r
r
k.
(Siki (r ) − Siki (−r )) = rk r
+3
+
∂rk
∂r
∂r r
Als we dit substitueren in (8.43) dan volgt na enige algebra
∂
∂2
∂f
4
4 ∂ =
+
k + 2ν
+
f,
∂t
∂r r
∂r2 r ∂r
(8.46)
de Von Karman-Howarth vergelijking (zie Hinze (1959)), een vergelijking
die vooralsnog twee onbekenden bevat en dus niet oplosbaar is, maar die
wel een belangrijke relatie geeft tussen een derde en tweede orde correlatie
in isotrope turbulentie.
8.2.6
Kolmogorov’s 4/5 wet
We kunnen (8.46) gebruiken om een van de weinige exacte relaties voor
structuurfuncties in isotrope turbulentie af te leiden. Structuurfuncties zijn
gedefinieerd als:
Dn (r) = [u(x + r) − u(x)]n
In het inertiaalgebied schrijft de tweede Kolmogorov hypothese voor dat
deze functies slechts van de dissipatie () en r (∼ 1/k) afhankelijk kunnen
zijn. Dus bijv. voor n = 3:
D3 (r) = [u(x + r) − u(x)]3 = C3 r,
waarin C3 een nader te bepalen constante is. Nu is [u(x + r) − u(x)]3 gelijk
aan 6k(r) (toon dit aan) waaruit volgt dat
C3 =
6 ∂k
.
∂r
(8.47)
7
Siil is evenredig met rl . Een enkelvoudige vectorafhankelijkheid is in isotrope turbulentie niet mogelijk en dus moet deze term nul zijn.
122
HOOFDSTUK 8. TURBULENTIE
In stationaire turbulente wordt de Von Karman-Howarth vergelijking:
0=
∂
∂2
4 ∂ 4
+
+
k + 2ν
f,
∂r r
∂r2 r ∂r
een relatie die voor r → 0 reduceert tot
∂k
∂2f
= −2ν 2
∂r
∂r
(bewijs dit). Tenslotte wisten we al dat
#
"
∂2f
= −15ν
∂r2
(8.48)
,
(8.49)
r=0
zie (8.39). Uit de combinatie van (8.49),(8.48) en (8.47) volgt dan
4
C3 = ,
5
de beroemde 4/5 wet van Kolmogorov(1941) uit de isotrope turbulentieleer.
Een minder restrictieve afleiding kan in de literatuur worden gevonden.
8.3
Turbulentie en schaalinvariantie
Over dit onderwerp wordt tegenwoordig veel gepubliceerd. We zullen hier
kort wat elementaire zaken aanstippen.
Het is vaak niet eenvoudig om in turbulentie structuren te ontdekken, d.w.z.
gebieden of verschijnselen die een zekere regelmaat of karakteristieke afmeting hebben (in tegenstelling tot bijv. golfbewegingen). Het ontbreken van
die structuren heeft geleid tot het begrip ‘schaalinvariantie’, waarmee we hier
bedoelen dat we in sommige turbulente stromingen geen ‘schaal’ of karakteristieke afmeting kunnen ontdekken. Als dat het geval zal bijv. een foto van
een (zichtbaar gemaakte) turbulente stroming bij achtereenvolgende uitvergrotingen (en op het zelfde formaat afgedrukt) er steeds hetzelfde uitblijven
zien. Een vergelijking met de theorie van ‘fractals’ (fractale objecten) ligt
dan voor de hand. Een ‘fractal’ is een structuur met schaalinvariantie. We
kunnen dat simpel illustreren aan de hand van een simpel voorbeeld, de Von
Koch ‘fractal’ (zie figuur(8.6). Dit 1-D patroon ontstaat door een (eindig)
recht lijnstuk (oneindig vaak herhaald) in drie stukken te knippen en met
vier van deze stukjes een nieuwe geometrie te maken op de in de figuur
aangegeven wijze. Bij het meten van de lengte van de fractal onstaat er
een probleem omdat vooralsnog niet duidelijk is tot op welke hoogte we de
fijnstructuur bij de meting betrekken of, in andere woorden, met welk oplossend vermogen (resolutie) we de lengtemeting uitvoeren. (nb.: Hetzelfde
probleem doet zich voor bij het opmeten van de kustlijn op een landkaart).
8.3. TURBULENTIE EN SCHAALINVARIANTIE
123
Figuur 8.6: De eerste vier stappen in de constructie van de Von Koch ‘fractal’.
Als we de resolutie aanduiden met r, dan volgt uit het voorbeeld hier dat
de lengte van de kromme (Λ) toe zal nemen als we met grotere resolutie
(kleinere r) gaan meten. Λ is dus een functie van r. Bij de Von Koch fractal
geldt dat bij 3 maal hogere resolutie de lengte met 4/3 zal toenemen, of in
formulevorm:
Λ(r/3) = 4/3Λ(r).
(8.50)
Als we aannemen dat er een algebraisch verband bestaat tussen de lengte
en de resolutie: Λ ∼ rα dan volgt met vgl.(8.50) dat
(r/3)α = 4/3rα .
(8.51)
en dus dat α = 1 − ln 4/ ln 3. Dus hier geldt voor het verband tussen de
lengte en de resolutie
Λ ∼ r1−ln 4/ ln 3 .
(8.52)
In het algemeen geldt:
r
Λ = L( )d−D ,
L
(8.53)
waarbij L de lengte van het oorspronkelijke lijnstuk is, d de ruimtelijke
dimensie van het object is en D de ‘fractale dimensie’ genoemd wordt. (In
het specifieke voorbeeld dus 1 en ln 4/ ln 3, respectievelijk. Voor een 2-D
124
HOOFDSTUK 8. TURBULENTIE
oppervlak geldt analoog:
r
Λ = L2 ( )2−D .
(8.54)
L
Het is verleidelijk om deze theorie op turbulentie, waar ook een zekere schaal
invariantie kan voorkomen (bijv. wolkenranden) toe te passen. Als we ervan
uitgaan dat het ‘omhulsel’ van een wolk gevormd wordt door turbulentie
dan zijn daarin alle schalen (van de Kolmogorov schaal tot de schaal van de
wolk (L)) aanwezig. Een op schaalinvariantie gebaseerde schatting van het
oppervlak van het wolkomhulsel is
Λ = L2 (
lK 2−D
)
.
L
(8.55)
D heeft de waarde 7/3 zodat voor groot Reynoldsgetal (lK /L << 1) het
effectieve oppervlak van een wolk zeer veel groter is dan L2 . De verdamping of condensatie bij een dergelijk oppervlak (een moleculair proces) is dus
veel effectiever dan op basis van het nominale oppervlak verwacht mag worden. Een vergelijkbare redenering gaat op voor menging van, en chemische
reacties tussen vloeistoffen.
Bibliografie
Acheson, D. (1994). Elementary Fluid Dynamics. Clarendon press, Oxford.
Batchelor, G. (1970). An introduction to Fluid Dynamics. Cambridge Univ.
Press.
Dyke, M. V. (1982). An Album of Fluid Motion. Parabolic Press, Stanford.
Frisch, U. (1995). Turbulence. Cambridge University Press.
Hinze, J. O. (1959). Turbulence. McGraw-Hill. 586 pp.
Lesieur, M. (1994). La Turbulence. Kluwer. (In French).
Monin, A. S. and Yaglom, A. M. (1975). Statistical fluid mechanics, volume 2. Massachusetts.
Nieuwstadt, F. (1992). Atmospheric Turbulentie. Epsilon.
Nieuwstadt, F. and van Dop, H. (1982). Atmospheric Turbulence And Air
Pollution Modelling. Kluwer.
Tennekes, H. and Lumley, J. (1972). A First Course In Turbulence. Kluwer.
125
126
BIBLIOGRAFIE
Hoofdstuk 9
WISKUNDIG
GEREEDSCHAP
9.1
Vectoridentiteiten
u ,vv en w zijn vectorvelden en φ is een scalair veld:
1
u.u
u) − u ×(∇ × u )
u = ∇(u
u .∇u
2
u) = φ∇.u
u + u .∇φ
∇.(φu
u) = φ∇ × u + (∇φ) × u
∇ × (φu
u) − (∇.∇)u
u
∇ × (∇ × u ) = ∇(∇.u
u.w
w )vv − (vv .w
w )u
u
u × v × w = (u
∇.(vv × u) = u .(∇ × v ) − v .(∇ × u )
∇ × ∇φ = 0
∇.(∇ × u ) = 0
u.∇)vv − u (∇.vv ) − (vv .∇)u
u + v (∇.u
u)
∇ × (vv × u) = (u
v.u
u) = (u
u.∇)vv + (vv .∇)u
u + u ×(∇ × v ) + v ×(∇ × u )
∇(v
127
128
9.2
HOOFDSTUK 9. WISKUNDIG GEREEDSCHAP
Integraal relaties
Theorema van Stokes
Als u een vectorveld is, S een willekeurig oppervlak met rand l dan geldt
Z
Z
S
u dll = (∇ × u ) dS
S
l
Theorema van Gauss
Is V een willekeurig volume omsloten door het oppervlak S dan geldt
Z
Z
S
u dS
∇ u dV =
S
V
S = n dS)
(nb dS
9.3
Differentiaal relaties in verschillende coordinatenstelsels
We geven de vorm van een aantal differentiaaloperatoren en de Navier-Stokes
vergelijkingen in cilindrische- en bolcoordinaten. We gaan uit van een divergentieloze stroming zonder volume krachten. De vergelijkingen daarvoor
luiden
u
du
1
u.
= − ∇p + ν∆u
dt
ρ
9.3.1
Bolcoordinaten 3-D
x = (r, ϑ, ϕ), u = (ur , uϑ , uϕ ) v = (vr , vϑ , vϕ )
∇φ =
∂φ 1 ∂φ
1 ∂φ
,
,
∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ
(
u.∇)vv =
(u
u.∇)vr −
(u
uϕ vϕ
uϑ vϑ uϕ vϕ
uϑ vr
u.∇)vϑ −
−
, (u
cot ϑ +
,
r
r
r
r
)
uϕ vr
uϕ vθ
u.∇)vϕ +
(u
+
cot ϑ)
r
r
9.3. DIFFERENTIAAL RELATIES IN VERSCHILLENDE COORDINATENSTELSELS129
u=
∇.u
2
1 ∂(uϑ sin ϑ)
1 ∂uϕ
∂ur
+ ur +
+
∂r
r
r sin ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
1
∇×u = 2
r sin ϑ
∆φ =
(
∂(ruϕ sin ϑ) ∂ruϑ r∂ur
r∂(ruϕ sin ϑ)
−
,
−
,
∂ϑ
∂ϕ
∂ϕ
∂r
)
∂(ruϑ ) ∂ur
−
)r sin ϑ
(
∂r
∂ϑ
1 ∂ 2 ∂φ
1
∂
∂φ
1
∂2φ
(r
)
+
(sin
ϑ
)
+
r2 ∂r
∂r
r2 sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r2 sin2 ϑ ∂ϕ2
Vervormingssnelheidstensor
e 11 =
e 22 =
e 33 =
1 ∂uϑ ur
+
r ∂ϑ
r
1 ∂uϕ ur
uϑ cos ϑ
+
+
r sin ϑ ∂ϕ
r
r sin ϑ
e 12 = e 21 =
e 13 = e 31 =
e 23 = e 32 =
Bewegingsvergelijkingen
∂ur
∂r
r ∂ uϑ
1 ∂ur
( )+
2 ∂r r
2r ∂ϑ
1
∂ur
r ∂ uϕ
+
( )
2r sin ϑ ∂ϕ
2 ∂r r
sin ϑ ∂ uϕ
1
∂uϑ
(
)+
2r ∂ϑ sin ϑ
2r sin ϑ ∂ϕ
130
HOOFDSTUK 9. WISKUNDIG GEREEDSCHAP
∂uϕ o
∂(uϑ sin ϑ)
dur u2ϑ + u2ϕ
1 ∂p n
2ur
2
2
−
=−
+ν ∆ ur − 2 − 2
− 2
dt
r
ρ ∂r
r
r sin ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
duϑ ur uϑ u2ϕ cot ϑ
1 ∂p n
2 ∂ur
uϑ
2 cos ϑ ∂uϕ o
+
−
=−
+ν ∆ uϑ + 2
− 2 2 − 2 2
dt
r
r
ρr ∂ϑ
r ∂ϑ r sin ϑ r sin ϑ ∂ϕ
duϕ ur uφ uϕ uϑ cot ϑ
∂p
1
+
−
=−
+
dt
r
r
ρr sin θ ∂ϕ
n
uϕ
∂ur
2
2 cos ϑ ∂uϑ o
ν ∆ uϕ + 2
− 2 2 + 2 2
r sin ϑ ∂ϕ
r sin ϑ r sin ϑ ∂ϕ
9.3.2
Cilindercoordinaten
x = (z, r, ϑ), u = (uz , ur , uϑ ), v = (vz , vr , vϑ )
∇φ =
n ∂φ ∂φ 1 ∂φ o
,
,
∂z ∂r r ∂ϑ
(
u.∇)vv =
(u
u=
∇.u
)
∂uz
1 ∂(rur ) 1 ∂uϑ
+
+
∂z
r ∂r
r ∂ϑ
(
∇×u =
∆φ =
u v
u v
u.∇)vz , (u
u.∇)vr − ϑ ϑ , (u
u.∇)vϑ + ϑ r
(u
r
r
1 ∂ruϑ ∂ur
∂uz
1 ∂(ruϑ ) 1 ∂ur 1 ∂uz
−
,
−
,
−
r ∂r
r ∂ϑ r ∂ϑ
r ∂z
∂z
∂r
∂ 2 φ 1 ∂ ∂φ
1 ∂2φ
+
(r
)
+
∂z 2
r ∂r ∂r
r2 ∂ϑ2
)
9.3. DIFFERENTIAAL RELATIES IN VERSCHILLENDE COORDINATENSTELSELS131
Vervormingssnelheidstensor
e zz =
∂uz
∂z
e rr =
∂ur
∂r
eϑϑ =
1 ∂uϑ ur
+
r ∂ϑ
r
e zr = e rz =
1 ∂ur
1 ∂uz
+
2 ∂z
2 ∂r
e zϑ = e ϑz =
1 ∂uz
1 ∂uϑ
+
2r ∂ϑ
2 ∂z
e rϑ = e ϑr =
r ∂ uϑ
1 ∂ur
( )+
2 ∂r r
2r ∂ϑ
Bewegingsvergelijkingen
duz
1 ∂p
=−
+ ν∆ uz
dt
ρ ∂z
n
u2
dur
1 ∂p
ur
2 ∂uϑ o
− ϑ =−
+ ν ∆ ur − 2 − 2
dt
r
ρ ∂r
r
r ∂ϑ
n
duϑ ur uφ
1 ∂p
2 ∂ur
uϑ o
+
=−
+ ν ∆ uϑ + 2
− 2
dt
r
ρr ∂ϑ
r ∂ϑ
r
9.3.3
Poolcoordinaten 2-D
x = (r, ϕ), u = (ur , uϕ ), v = (vr , vϕ )
n ∂φ 1 ∂φ o
,
∇φ =
∂r r ∂ϕ
132
HOOFDSTUK 9. WISKUNDIG GEREEDSCHAP
(
u.∇)vv =
(u
u=
∇.u
uϕ vϕ
uϕ vr
u.∇)vϕ +
u .∇vr −
, (u
r
r
1 ∂(rur ) 1 ∂uϕ
+
r ∂r
r ∂ϕ
(
(∇ × u )z =
∆φ =
)
1 ∂(ruϕ ) 1 ∂ur
−
r ∂r
r ∂ϕ
)
1 ∂2φ
1 ∂ ∂φ
(r ) + 2
r ∂r ∂r
r ∂ϕ2
Vervormingssnelheidstensor
e rr =
e ϕϕ =
e rϕ = e ϕr =
∂ur
∂r
1 ∂uϕ ur
+
r ∂ϕ
r
r ∂ uϕ
1 ∂ur
( )+
2 ∂r r
2r ∂ϕ
Bewegingsvergelijkingen
n
u2ϕ
1 ∂p
ur
2 ∂uϕ o
dur
−
=−
+ ν ∆ ur − 2 − 2
dt
r
ρ ∂r
r
r ∂ϕ
n
duϕ ur uφ
uϕ o
1 ∂p
2 ∂ur
+
=−
+ ν ∆ uϕ + 2
− 2
dt
r
ρr ∂ϕ
r ∂ϕ
r
9.4. INTEGRAAL TRANSFORMATIES
9.4
9.4.1
133
Integraal transformaties
Laplace transformatie
R∞
De Laplace transformaties gedefinieerd als F (s) =
onder voor een paar elementaire functies gegeven.
f (t)
1
s>0
s−2
s>0
s−n
s>0
s−1/2
s>0
t
(n − 1)!
at
te , a ∈ R
−1 at
(a − b) (e − ebt )
−1
(a − b)
(πt)
2
(s −
a)−1
s>a
(s − a)−2
a)−1 (s
s>a
b)−1
(s −
−
at
bt
(ae − be ) s−1 (s − a)−1 (s − b)−1
a−1 sin at , a ∈ R
−1/2
f (t) e−st dt, is hier-
F (s) = L{f (t)}
s−1
tn−1
(πt)−1/2
eat , a ∈ R
0
(s2 + a2 )−1
s>0
a2 )−1
s>0
cos at
s(s2
−1/2
(s1/2
− a exp{a t} Erfc{at
}
k
Erfc( t−1/2 ), k > 0
2
2
exp{a t} Erf{at−1/2 }
+
+
a)−1
s−1 exp{−ks1/2 }
s>0
s−1/2 (s1/2 + a)−1
sinh(at)
a(s2 − a2 )−1
s >| a |
cosh(at)
s(s2
a2 )−1
s >| a |
−
134
9.4.2
HOOFDSTUK 9. WISKUNDIG GEREEDSCHAP
Fourier transformatie
R∞
De Fourier transformatie gedefinieerd als fˆ(k) = −∞ f (x) e−ikx dx, is
hieronder voor een paar elementaire functies gegeven.
f (x)
1 |x|<b
0 |x|<b
2 −1
fˆ(k) = F{f (x)}
2k −1 sin bk
(x2 + b )
πb−1 exp{−bk}
x(x2 + b2 )−1
−πikb−1 exp{−bk}
exp{−bx2 } (πb−1 )1/2 exp{−k 2 /(4b)}
Z x
g(t)dt (ik)−1 ĝ(k) + cδ(k), c ∈ R
0
g(x − d)
eixd g(x)
e−ikd ĝ(k)
−x2 /2
(2π)−1/2 e−k
e
ĝ(k − d)
2 /2
Hoofdstuk 10
Opgaven werkcollege
1. Hoofdstuk 1
1. Geef een schatting van de ’lengteschaal’ van de volgende geofysische stromingen:
•
•
•
•
•
mantel convectie in de aarde
een alpen gletscher
de atlantische oceaan
een depressie
een interstellaire gasnevel
geef met behulp van tabel 1.1 de bijbehorende tijdschalen.
2. Bezoek de site www.eso.org/outreach en probeer vergelijkbare
kosmologische structuren te ontdekken als gegeven in fig 1.1
3. Noem een paar kenmerken van turbulentie.
2. Hoofdstuk 2
1. Schrijf de totale differentiaal van een drukveld p(x, t) in
• Vectornotatie
• Tensor notatie in een rechthoekig assenstelsel
• Tensornotatie in bol coordinaten (zie appendix)
Waarom is een bal rond?
Een vloeistof zonder viscositeit wordt wel een ’droge vloeistof’
genoemd. Waarom?
135
136
HOOFDSTUK 10. OPGAVEN WERKCOLLEGE
2. Laat stap voor stap zien dat uit 2.11 volgt dat dichtheidsvlakken
met equipotentiaal vlakken samenvallen.
3. Leid 2.14 uit af 2.12.
4. Leid de vorticiteitsvergelijking (vgl 2.18) af uit 2.14en laat zien
dat het rechterlid 0 is voor een 2-D stroming.
5. Leid 2.26 af.
3. Hoofdstuk 3
1. Bepaal voor de complexe potentialen 3.12, 3.13, 3.15, 3.16:
• De stroomfunctie
• De snelheids potentiaal
• De snelheidscomponenten u en v
2. Leid 3.16 af uit 3.15
3. Bereken de kracht in de stromingsrichting op een bol uitgaande
van een stromingsveld gegeven door 3.21.
4. Bereken de circulatie van een doublet (3.16) langs een cirkel met
het doublet als middelpunt.
5. Bezoek de website
http://www.efluids.com
en start daar de ’potential flow machine’ op. Maak een simulatie
van een stroming rond een cilinder, met as in de oorsprong. Kies
de parameters zo dat je fig 3.4 kunt reproduceren. Maak met de
Joukowski transformatie (3.24) een afbeelding van deze circulatie. (op de website allemaal voorgeprogrammeerd, je hoeft alleen
maar de parameters te kiezen en mapping aan te klikken). Kies
a=c. Herhaal dit experiment voor de volgende gevallen:
• Kies de cilinder as buiten de oorsprong, maar op de xi-as.
• Kies de cilinder as op een willekeurige plaats in het zeta (ξη)
-vlak.
maak een printje van de resultaten
4. Hoofdstuk 4
1. Leid de continuteitsvergelijking (2.15) af. Begin met m =
R
ρdV .
2. Voer de afleiding die tot 4.7 leidt volledig in tensornotatie uit.
Gebruik een rechthoekig assenstelsel.
3. Formuleer 4.7 in bol coordinaten (zie appendix)
137
4. Leid 4.17 af en en verifieer de uitdrukking voor de dissipatie die
daaronder staat.
5. Breng (het water in) een bakje water in beweging door erin te
roeren. Na enige tijd komt de vloeistof tot stilstand en is alle
kinetische energie omgezet in warmte. Geef een schatting van
het temperatuurverschil met de uitgangstoestand. (soortelijke
warmte van water is 4200 J kg−1 K−1 .
6. Stel met behulp van de relaties uit de appendix de bewegingsvergelijkingen (4.22) op.
7. Laat zien dat u en v uit 4.23 voldoen aan de continuiteitsvergelijking
8. Bepaal uit de randvoorwaarden de constanten A,B,C, en D van
de functie f (r) (blz 58)
9. Maak een schaalanalyse van de grenslaagvergelijking (blz. 61).
Voer de dimensieloze variabelen x0 = x L, z 0 = z δ en u0 = u U
in, waarin L, δ horizontale en verticale lengteschalen zijn, en U
de horizontale snelheidsschaal. Bepaal eerst m.b.v. de continuiteitsvergelijking wat de verticale snelheidsschaal moet zijn. Pas
dit resultaat toe op de grenslaagvergelijking en laat zien dat de
vergelijking onderaan de blz ontstaat.
10. Leid 4.28 af.
5. Hoofdstuk 5
1. Leid uit 4.10 de betrekking onderaan blz 72 af.
2. De twee dimensionale tensor Aij heeft de elementen a, b, c, d. Verifieer dat 2Det(A) = I2−II, waarbij I en II de twee invarianten
van A zijn
3. Gebruik 5.15 om de voorlaatste relatie op blz 78 af te leiden.
6. Hoofdstuk 6
1. Leid de eigenschappen van de Fouriertransformatie af (midden
blz 83).
2. Leid 6.5 uit 6.3 af met gebruik making van de Laplace transformatie formules. Doe hetzelfde direct door differentiatie van de
oplossing T (x, t). (zoek de afgeleide van Erfc(x) in een boek op)
3. Maak een schaalanalyse van het probleem van het warmtetransport door een ijzerenstaaf (lengte L) Schat de tijd die het duurt
voordat je een staaf van 1 meter, die je aan een einde vasthoudt
138
HOOFDSTUK 10. OPGAVEN WERKCOLLEGE
terwijl je het andere eind in het vuur houdt, moet loslaten (wamtegeleidingscoefficient κ = 10−4 m2 s−1 )
4. Leid stap voor stap de vergelijking onderaan blz 88 af.
5. Leid voor het probleem in 6.2.1 af dat het Nusselt getal gelijk is
aan 48/11.
6. Leid de vergelijking af van de curve uit figuur 6.6
7. Hoofdstuk 7
1. Leid eerst de set bewegingsvergelijkingen in sectie 7.1 af.
2. Voer de stroomfunctie in en verifieer dat na substitutie vgl 7.2
volgt.
3. Ga de volledige afleiding van de Kelvin Helmholtz instabiliteit na
(sectie 7.2).
8. Hoofdstuk 8
1. Noem drie kenmerkende eigenschappen van turbulentie
2. Maak een schaal analyse van de energievergelijking op blz 8.1.1.
(negeer de transportterm). Geef op basis hiervan een schatting
van de lengteschaal in de dissipatie term.
3. Leid 8.12 af.
4. Bewijs de eigenschappen van de correlatiefunctie die genoemd
staan tussen 8.14. en 8.15.
5. Als de produktie en dissipatie van turbulentie elkaar in evenwicht
houden, maak dan een schatting van de Taylormicroschaal in termen van de turbulentieschaal L en het Reynoldsgetal
6. Bewijs dat het spectrum S gedefinieerd door vgl 8.19 reeel is.
7. ’Bewijs’ dat met de tweede Kolmogorov hypothese uit dimensieanalyse vgl 8.24 (verkeerde referentie) moet volgen.
8. Leid 8.33 af. (gebruik de aanwijzingen op diezelfde bladzijde).