(ook wel `toetsmatrijs`) voor [Lineaire Algebra 1]

Lineaire Algebra 1, WI1602
Algemene leerdoelen
Aan het einde van de cursus zal de student:
 wiskundige basisvaardigheden uit de lineaire algebra systematisch toe kunnen passen;
 onderscheid kunnen maken tussen definities en stellingen en geleerd hebben hoe een
wiskundige theorie is opgebouwd
 eenvoudige bewijzen die betrekking hebben op lineaire algebra kunnen doorgronden,
reproduceren en zelf maken;
Specifieke leerdoelen
1. Oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen
Coëfficiënten- en aangevulde matrix, elementaire rijoperaties, (gereduceerde) echelonvorm,
pivot, rijreductie (vegen), Gauss-Jordan-eliminatie, vrije variabelen, consistente en
inconsistente stelsels.
Kan op een efficiënte en overzichtelijke manier met behulp van (gereduceerde)
echelonvormen bepalen hoeveel oplossingen een stelsel (eventueel met parameters) heeft en
kan, indien nodig, alle oplossingen bepalen. Hierbij gebruikt hij of zij de juiste terminologie.
2. Vectoren en lineaire combinaties in R^n
Pijltje, vector (meetkundig, algebraïsch), scalar, kental, Euclidische ruimte, optelling, scalaire
vermenigvuldiging, lineaire combinatie, lineair omhulsel (span), opspannen.
Weet dat vectoren in R^n kolommen met eindig veel getallen zijn, kan vectoren en scalairen
uit elkaar houden, kent de algebraische aspecten van vectoren en kan die gebruiken bij
meetkundig gegeven vectoren (pijltjes), kan de juiste procedures kiezen die leiden tot
antwoorden op vragen die te maken hebben met de begrippen lineaire combinatie en lineair
omhulsel (“span”) van vectoren en kan verschillende lineaire omhulsels relateren.
3. Matrixalgebra
Matrix, rijen, kolommen, afmeting, nulmatrix, vierkante matrix, diagonaalmatrix,
eenheidsmatrix, driehoeksmatrix, symmetrische matrix, inverteerbare matrix, optellen, scalair
vermenigvuldigen, vermenigvuldigen, transponeren, inverteren, rekenregels.
Weet wat matrices zijn, kan ze onderscheiden van vectoren en scalairen en kan diverse
soorten matrices benoemen, kent de algebraïsche operaties voor matrices met de
bijbehorende rekenregels en eigenschappen en kan berekeningen met matrices op zo
efficiënt mogelijke manier uitvoeren en redeneringen met matrices in afleidingen gebruiken.
4. (On)afhankelijkheid, deelruimte van R^n, basis en dimensie
(On)afhankelijkheid, deelruimte, basis, uitdunningsstelling, uitbreidingsstelling, unieke
representatiestelling, nulruimte, rijruimte, kolomruimte, rang.
Herkent of vectoren afhankelijk dan wel onafhankelijk zijn, kan deze begrippen omschrijven
en gebruiken bij afleidingen. Weet wat deelruimten zijn, kan ze herkennen en kan de
eigenschappen op de juiste momenten gebruiken. Kan bases voor en de dimensie van een
gegeven deelruimte bepalen en kan nagaan of een stel vectoren een basis vormt voor een
gegeven deelruimte. Weet bases en dimensie en hun eigenschappen toe te passen in
afleidingen. Kan de rang van matrices uitrekenen en het verband tussen rang en dimensies
van rijruimte, nulruimte en kolomruimte van een gegeven matrix op juiste momenten
toepassen.
Lineaire Algebra 1, WI1602
5. Lineaire afbeeldingen
Functie, domein, codomein, beeld (bereik), lineaire afbeelding, nulafbeelding, identieke
afbeelding, spiegeling, rotatie, projectie, matrixtransformatie, matrixrepresentatie,
compositie, inverteerbaarheid, kern en beeld.
Weet hoe functies gedefinieerd worden, kan lineaire afbeeldingen omschrijven, herkennen en
voorbeelden geven. Kan eigenschappen van lineaire afbeeldingen gebruiken bij afleidingen
en kan de (standaard)matrixrepresentatie berekenen. Kan nagaan of een lineaire afbeelding
inverteerbaar is en kan de inverse afbeelding uitrekenen. Kan uitleggen wat de kern en het
beeld van een lineaire afbeelding is en kan deze voor een gegeven lineaire afbeelding
bepalen.
6. Het standaard inwendig product op R^n en orthogonaliteit
Standaard inwendig product (dot product), lengte (norm), driehoeksongelijkheid,
eenheidsvector, afstand, orthogonale vectoren, ongelijkheid van Cauchy Schwarz, hoek,
orthogonaal complement, orthogonale verzameling, orthogonale basis, Gram-Schmidt,
orthogonale matrix, QR-ontbinding.
Kan omgaan met het standaard inwendig product in R^n en zijn rekenregels, weet de
definities van lengte (norm) van een vector, afstand tussen vectoren en orthogonaliteit van
vectoren, evenals de hoek tussen vectoren en kan deze uitrekenen en de definities en
eigenschappen gebruiken bij afleidingen. Hetzelfde geldt voor de begrippen orthogonaal
complement van een deelruimte, orthogonale/orthonormale verzameling en orthogonale
matrix. Ook moet uit een gegeven basis een orthogonale basis geconstrueerd kunnen
worden en van een matrix de QR-ontbinding.
7. Orthogonale projecties, orthogonale matrices en de kleinste kwadraten methode
Orthogonale projectie van een vector op een deelruimte, beste benadering, kleinste
kwadraten probleem, -oplossing en –fout, matrix van orthogonale projectie, projectiematrix.
Weet wat de orthogonale projectie van een vector op een deelruimte is, kan deze op diverse
manieren berekenen, kent de kleinste kwadraten methode en kan deze toepassen op een
eenvoudig model. Weet wat met een projectiematrix bedoeld wordt, kan de eigenschappen
gebruiken in redeneringen en kan een projectiematrix berekenen.
8. Determinanten en uitwendig product
Determinant, cofactorontbinding, ontwikkelen naar rij of kolom, uitwendig product,
oppervlakte parallellogram, inhoud parallellepipedum.
Kan determinanten uitrekenen via een combinatie van het veegproces en cofactorontbinding
en weet dat in dit geval ook met kolommen geveegd mag worden. Kent de rekenregels van
een determinant en kan die op de juiste manier gebruiken. Kan de oppervlakte van een
parellogram en de inhoud van ee parallepipedum met behulp van determinanten bepalen.
Kent de definitie en eigenschappen van het uitwendig product tussen twee vectoren uit R^3
en kan dit uitrekenen.
9. Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonaliseerbaarheid
Eigenwaarde, eigenvectoren, eigenruimte, karakteristiek polynoom, algebraïsche en
meetkundige multipliciteit, (reële) diagonaliseerbaarheid, orthogonale diagonaliseerbaarheid,
gelijkvormig.
Kan vertellen wat eigenwaarden, eigenvectoren en eigenruimten van een matrix zijn, kan ze
voor kleine matrices berekenen, weet wat bedoeld wordt met diagonaliseerbaarheid, kan
nagaan of een matrix diagonaliseerbaar is en kan een eventuele diagonalisering vinden. Weet
dat de symmetrische matrices precies de orthogonaal diagonaliseerbare matrices zijn en kan
de gevolgen van de vormen van diagonaliseerbaarheid toepassen.
Lineaire Algebra 1, WI1602
10. Abstracte vectorruimten
Reële vectorruimte, complexe vectorruimte, coördinatisering, isomorfisme, oneindige
dimensie, coördinatentransformatie.
De leerdoelen van dit onderdeel zijn gelijk aan die van de leerdoelen 2, 4 en 5, met dit
verschil dat vectoren nu op een algemenere gedefinieerd worden, dat er nu ook oneindige
dimensionale deelruimten bestaan en dat bij een lineaire afbeelding diverse
matrixrepresentaties bestaan. Kan, via coördinatentransformaties, aangeven hoe al deze
representaties in het eindig dimensionale geval samenhangen.
Wijze waarop leerdoelen worden getoetst
Tijdens contacturen oefeningen
(zelftoetsing)
De onderwijsvorm is college en instructie. Tijdens de
instructie krijgen ze de tijd om zelfstandig of in
groepjes te werken aan opgaven.
Tijdens contacturen met tussentoetsen Eens in de 3 a 4 weken is er een toets van 20 minuten.
Er worden twee a drie opgaven gegeven die lijken op
opgaven uit het huiswerk.
Huiswerkopdrachten
Studenten krijgen een lijst met opgaven. Enkele
daarvan worden geselecteerd voor de instructie. De
rest is huiswerk.
Schriftelijk tentamen
Halverwege een tussentoets met vragen (gedeeltelijk
multiple choice) over stof uit het eerste kwartaal. Aan
het eind een tentamen met open vragen over de stof
uit het tweede kwartaal (mogelijk bestaat ook dit
gedeeltelijk uit multiple choice vragen).
Bijdrage van leerdoelen aan academische competenties1
Is kundig in een of meer
wetenschappelijke discipline(s).
Is bekwaam in onderzoeken.
Is bekwaam in ontwerpen.
Heeft een wetenschappelijke
benadering.
Beschikt over intellectuele
basisvaardigheden.
Is bekwaam in samenwerken en
communiceren.
Houdt rekening met de temporele en
maatschappelijke context.
Lineaire Algebra 1 is een basisvak dat bij diverse
wiskundevakken en toepassingen wordt gebruikt. Na
afloop is de student voorbereid op het inzetten van
matrixrekening en een eerste aanzet tot theoretische
lineaire algebra in deze gebieden.
Eerste stappen: zelfstandig theorie bestuderen en
eenvoudige bewijzen bedenken.
Eerste stappen: vertaling van algemeen gestelde
problemen in stelsels van vergelijkingen
De student ontdekt dat door abstractie een dieper
inzicht in lineaire vergelijkingen kan worden bereikt
Abstraheren en logisch redeneren
-
Deze zijn ontleend aan “Criteria voor Academische Bachelor en Master Curricula”, een gezamenlijke
uitgave van TUD, TUE en UT, © TU/e, 2005. Het is de bedoeling dat in de tabel de bijdrage van het
betreffende theorievak aan de genoemde competenties wordt beschreven. Niet elke competentie komt
noodzakelijkerwijs aan de orde. Zie ook voorbeeld.
1
Specificatietabel2 (ook wel ‘toetsmatrijs’) voor [Lineaire Algebra
1]
Een specificatietabel is een matrix met enerzijds te toetsen onderwerpen en anderzijds het cognitieve
niveau van de toetsvragen. De specificatietabel weerspiegelt de doelen van het vak.
Het gebruik van de specificatietabel is noodzakelijk om de toets zo representatief mogelijk te laten zijn. In
de cellen komt te staan hoeveel vragen gewijd gaan worden aan een bepaald onderwerp, gegeven een
bepaald niveau. Als u van mening bent dat een bepaald onderwerp erg belangrijk is, dan maakt u daar
relatief veel vragen over.
Bij gelijkblijvende leerdoelen en inhoud over de jaren heen mag de specificatietabel niet wijzigen. Dit
zorgt voor een onderlinge vergelijkbaarheid van de toetsen.
Vak: Lineaire Algebra 1
Vakcode: wi1602
Leerstof / niveau
Oplossen van stelsels
lineaire vergelijkingen
Vectoren en Lineaire
combinaties
Matrixalgebra
Feitenkennis
(leerstof kunnen
reproduceren)
Inzicht (leerstof
kunnen uitleggen
in eigen
woorden)
Toepassing
(leerstof kunnen
gebruiken in
vergelijkbare
situatie)
Totaal
4%
2%
6%
4%
4%
4%
4%
8%
(On)afhankelijkheid,
deelruimte van R^n,
Basis en Dimensie
Lineaire afbeeldingen
4%
8%
4%
16%
8%
2%
10%
Het standaard
inwendig product op
R^n en
orthogonaliteit
Orthogonale
projecties,
Orthogonale matrices
en De kleinste
kwadraten methode
Determinanten en
Uitwendig product
4%
2
4%
4%
8%
2%
4%
4%
16%
6%
Berkel, H.van: (1999) Zicht op toetsen, toetsconstructie in het hoger onderwijs. Van Gorcum, Assen p.7882.
Eigenwaarden,
Eigenvectoren en
Diagonaliseerbaarheid
2%
Abstracte
vectorruimten
Totaal
20%
8%
4%
14%
12%
4%
16%
60%
20%
100%
Invulinstructie: Keuze tussen cijfers en percentages:
Cijfers: U geeft 1 (beetje belangrijk), 2 (gemiddeld belangrijk) en 3 (zeer belangrijk) per onderwerp en
(eventueel meerdere) niveau. Bij een 3 stelt u drie keer zoveel vragen over dit onderwerp op het
aangegeven niveau.
Percentages: U verdeelt percentages over de onderwerpen en niveaus. Als u zich strikt houdt aan de
percentages kan het lastig worden deze om te zetten in (hele) aantallen vragen.