Wiskunde in de curricula van de KULeuven en
advertisement
Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Wiskunde in de curricula van de K.U.Leuven en campus Kortrijk Waarom, wat en hoe? Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur K.U.Leuven Dag van Wiskunde, 20 november 2010 Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Overzicht 1 Rol van wiskunde in de universitaire curricula 2 Inleiding tot de Hogere Wiskunde 3 Lineaire algebra 4 Zin van/voor abstractie Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Waarom wiskunde? Wiskunde op maat Geen trukendoos Rol van wiskunde in de universitaire curricula Wiskunde is “overal” aanwezig als hulpwetenschap, als studieobject op zich. Psychologie, Sociologie ( statistiek) (Toegepaste) economische wetenschappen Biomedische wetenschappen, Biologie, Farmacie Chemie, Biochemie, Geografie, Geologie, Informatica Bioingenieur, Handelsingenieur Fysica, Burgerlijk ingenieur Wiskunde Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Waarom wiskunde? Wiskunde op maat Geen trukendoos Waarom wiskunde? Wiskunde is nodig als taal en middel levert concepten en technieken Wiskunde is vormend haarscherp formuleren nauwkeurig redeneren en argumenteren problem solving attitude mentale conditietraining Wiskunde is ongemeen boeiend onvermoede nieuwe werelden op ontdekkingsreis ! Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Waarom wiskunde? Wiskunde op maat Geen trukendoos Wiskunde op maat Wiskunde: een huis in opbouw met vele kamers op meerdere verdiepingen Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Waarom wiskunde? Wiskunde op maat Geen trukendoos Wiskunde op maat Wiskunde: een huis in opbouw met vele kamers op meerdere verdiepingen in de Wetenschapsstraat . . . Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Waarom wiskunde? Wiskunde op maat Geen trukendoos Wiskunde op maat Wiskunde: een huis in opbouw met vele kamers op meerdere verdiepingen in de Wetenschapsstraat . . . Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Waarom wiskunde? Wiskunde op maat Geen trukendoos Hoe? Geen trukendoos! Twee uitgangspunten Uitgangspunt 1 Opdat wiskunde echt toepasbaar zou zijn, moet ze voldoende diepgang hebben en voldoende abstract zijn. Afhankelijkheden zijn vaak niet gekend via een expliciet functievoorschrift maar enkel kwalitatief. (bv. stijgend, convex, concaaf, homogeen, . . . ). Hoe meer concrete getallen er in een context staan, hoe minder realistisch. Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Waarom wiskunde? Wiskunde op maat Geen trukendoos Hoe? Geen trukendoos! Twee uitgangspunten Uitgangspunt 2 Opdat wiskunde diepgang zou hebben en beklijven, moet er voldoende aandacht uitgaan naar de structuur, de opbouw en de samenhang van de “theorie”. Metafoor: je plan leren trekken in een nieuwe vreemde taal. lijstje losse handige zinnen ←→ aandacht voor grammatica Aha-Erlebnis ⇒ stimulans Mentaal fitnesscentrum Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Voor wie Doelstellingen – studietips Opbouw en inhoud Onderwijsactiviteiten – aanpak hoorcolleges – examen Inleiding tot de Hogere Wiskunde Inleiding tot de Hogere Wiskunde K.U.Leuven Campus Kortrijk Wim Malfait Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Voor wie Doelstellingen – studietips Opbouw en inhoud Onderwijsactiviteiten – aanpak hoorcolleges – examen Voor wie In de faculteit Wetenschappen (1ste fase): Wiskunde Ingenieurswetenschappen Fysica Informatica Chemie Bio-ingenieurswetenschappen Biochemie Biotechnologie In de faculteit Economie en Bedrijfswetenschappen (1ste fase): Handelsingenieur Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Voor wie Doelstellingen – studietips Opbouw en inhoud Onderwijsactiviteiten – aanpak hoorcolleges – examen Doelstellingen Wiskunde als basiswetenschap met ondersteunende rol voor andere wetenschappen (en vakken) Aanbrengen van wiskundige basisconcepten ⇒ kennis verdieping van bekende begrippen uit het secundair onderwijs uitbreiding naar nieuwe begrippen Basisbegrippen en bijhorende (denk/reken)technieken leren gebruiken ⇒ vaardigheden Aanleren abstracte taal van de wiskunde (zorgvuldig en correct) ⇒ abstraheren Bevorderen probleemoplossend denken (nauwkeurig redeneren, analyseren, interpreteren en formuleren) situaties herkennen waarin de onderwerpen/technieken gebruikt (kunnen) worden meer dan alleen (correct) rekenen Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Voor wie Doelstellingen – studietips Opbouw en inhoud Onderwijsactiviteiten – aanpak hoorcolleges – examen Nuttige studietips Niet van buiten leren Lees niet zomaar maar begrijp het (echt) Stel jezelf vragen: Waarom staat die voorwaarde daar? Is het omgekeerd waar? . . . Zoek eigen (tegen)voorbeelden Heb oog voor het geheel en de onderlinge verbanden Theoretisch inzicht leren toepassen Maak voldoende (verschillende types van) oefeningen The only way to learn mathematics is to do mathematics. Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Voor wie Doelstellingen – studietips Opbouw en inhoud Onderwijsactiviteiten – aanpak hoorcolleges – examen Opbouw en inhoud Deel 0: Basisbegrippen Verzamelingen, relaties en functies De getallenverzamelingen (van natuurlijke tot complexe) Reële functies van één reële veranderlijke Vlakke meetkunde Inleiding tot de logica Deel 1: Reële functies van één reële veranderlijke Transcendente functies Limieten en continuı̈teit Afgeleiden Integralen Rijen en reeksen Veeltermbenaderingen en reeksontwikkelingen Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Voor wie Doelstellingen – studietips Opbouw en inhoud Onderwijsactiviteiten – aanpak hoorcolleges – examen Opbouw en inhoud Deel 2: Reële functies van meerdere reële veranderlijken Inleidende begrippen en definities Limieten en continuı̈teit Afgeleiden Integralen Differentiaalvergelijkingen Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Voor wie Doelstellingen – studietips Opbouw en inhoud Onderwijsactiviteiten – aanpak hoorcolleges – examen Onderwijsactiviteiten Deel 0: (begeleide) zelfstudie geen (expliciete) examenstof Delen 1 en 2: hoorcolleges oefenzittingen = “werk”zittingen (gedifferentieerd volgens studierichting) Ondersteund via Toledo: na iedere les “wat moeten we onthouden uit vorige les” (in eigen woorden kunnen beantwoorden) discussieforum “vraag & antwoord” Java-applets Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Aanpak hoorcolleges Voor wie Doelstellingen – studietips Opbouw en inhoud Onderwijsactiviteiten – aanpak hoorcolleges – examen een voorbeeld Deel 1: afleidbaarheid, toepassing “lineaire benadering” Als f : R → R afleidbaar is in a, dan kan f (x) voor x in de buurt van a benaderd worden door f (a) + f (a)(x − a). ( meetkundige interpretatie van f 0 (a) als richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f ) Deel 2: van partiële naar totale afleidbaarheid Als f : R2 → R partieel afleidbaar is in (a, b), kan f (x, y ) voor (x, y ) in de buurt van (a, b) benaderd worden door . . . ? “. . . ” = f (a, b) + f 0 (a, b)·(x − a, y − b) met f 0 (a, b) = . . . . Klopt niet voor alle f ! (tegenvoorbeeld, f niet continu in (a, b) . . . ) Definitie: f is totaal afleidbaar in (a, b) ? . . . (en daaruit volgt dat f continu is in (a, b)) ( meetkundige interpretatie van (f 0 (a, b), −1) als normaalvector van het raakvlak aan de grafiek van f ) Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Voor wie Doelstellingen – studietips Opbouw en inhoud Onderwijsactiviteiten – aanpak hoorcolleges – examen Examen (Vrijblijvende) tussentijdse toets in november Examen: niet uitsluitend kennis (en zeker geen reproductie) maar vaardigheden (cfr. doelstellingen): Begrijpt de student(e) de begrippen en technieken? Kan hij/zij die toepassen om een probleem op te lossen? Gebruikt hij/zij daarbij de abstracte taal van de wiskunde op een correcte, zorgvuldige en doordachte manier? Open boek Geen onderscheid qua moeilijkheidsgraad naar gelang studierichting Examenvorm: “mondeling examen met schriftelijke voorbereiding van beperkte duur” zowel open vragen, meerkeuzevragen als mondeling meer dan alleen rekenen, gebruik ZRM niet toegestaan Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Voor wie Doelstellingen – studietips Opbouw en inhoud Onderwijsactiviteiten – aanpak hoorcolleges – examen Een voorbeeld van een mondelinge examenvraag Het aantal forellen in een visvijver wordt beschreven door de functie f : (x, y ) 7→ f (x, y ) waarbij x de wekelijkse hoeveelheid voer beschrijft en y is het aantal reigers dat wekelijks een bezoekje brengt aan de vijver. Deze week bedraagt de hoeveelheid voer 500 kg en het aantal reigers is 20. Wat zal het teken zijn van de partiële afgeleiden van f in (500, 20)? ∂f ∂f Stel dat ∂x = . . . 30 en ∂y = . . . 4. Hoe ga je te werk om een schatting te maken van de verandering in het forellenbestand als de hoeveelheid voer verlaagd wordt tot 490 kg en het aantal reigers stijgt tot 21? Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Voor wie Doelstellingen – studietips Opbouw en inhoud Onderwijsactiviteiten – aanpak hoorcolleges – examen Contact Vragen? E-mail: [email protected] Adres: K.U.Leuven campus Kortrijk E. Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk, lokaal B430 Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Correct (formeel) rekenen, redeneren en formuleren Kennen en kunnen Lineaire Algebra: praktische info studenten WinFy+Chemie+BIR+HIR Ba1, Sem2; per week: 2.5u Hoorcollege; 2u Oef Hoorcolleges gemeenschappelijk; Differentiatie naar publiek in oefeningen; 6 hoofdstukken Stelsels en matrices Determinanten Vectorruimten Lineaire afbeeldingen en lineaire transformaties Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonaliseerbaarheid In-producten en Euclidische ruimten Examen: deels gesloten boek, deels open boek; deels open vragen; deels meerkeuzevragen Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Correct (formeel) rekenen, redeneren en formuleren Kennen en kunnen Lineaire Algebra: officieel Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Correct (formeel) rekenen, redeneren en formuleren Kennen en kunnen Inhoud Stelsels en matrices uit vele conteksten Gauss-eliminatie, oplosbaarheid kwaliteit van de oplossingenverzameling meer over ERO en matrixrekenen LU - ontbinding Determinanten elementaire matrices ↔ ERO naar determinant via ERO eigenschappen en betekenis belangrijk toepassingen Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Correct (formeel) rekenen, redeneren en formuleren Kennen en kunnen Inhoud Vectorruimten vele voorbeelden van (bijna uitsluitend) reële vectorruimten lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid basis en dimensie vectorruimten geassocieerd aan een matrix: rijruimte, kolomruimte, nulruimte Lineaire afbeeldingen en lineaire transformaties vele voorbeelden; tegenvoorbeelden; matrixvoorstelling van een lineaire afbeelding; rekenen met lineaire afbeeldingen en rekenen met matrices; invloed van het veranderen van basis op de matrixvoorstelling deelruimten horend bij een lineaire afbeelding en de dimensiestelling vorm en oplossing van een lineair probleem (o.a. stelsels, ...) Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Correct (formeel) rekenen, redeneren en formuleren Kennen en kunnen Inhoud Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonaliseerbaarheid probleemstellingen uit de praktijk, b.v. populatie-evolutie, Google’s PageRank, ... spectrum van een lineaire transformatie diagonaliseerbaarheid In-productruimten en Euclidische ruimten in-producten en meetkunde orthogonale en orthonormale basissen transformaties met een symmetrische matrix orthogonale matrices singuliere waarden decompositie van een matrix wat als een stelsel AX = B niet oplosbaar is Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Correct (formeel) rekenen, redeneren en formuleren Kennen en kunnen Oefening: Beschouw de reële vectorruimte (R, R4×4 , +) en de afbeelding < . , . >: R4×4 × R4×4 → R : (A, B) 7→< A, B >= Sp(AT.B) P waarin Sp(A) = 4i=1 ai,i (= soms ook tr(A)). 1 2 3 4 Toon aan dat < ., . > een in-product definieert op de vectorruimte R4×4 . Bijgevolg is (R, R4×4 , +, < ., . >) een . . . . Toon aan dat U = {A ∈ R4×4 | AT = A} een deelruimte is van R4×4 en bepaal een basis voor deze deelruimte. Is het een orthonormale basis? Bepaal het orthogonaal complement U ⊥ van de deelruimte U en de dimensie van U ⊥ . Klopt het dat R4×4 = U ⊕ U ⊥ ? Wat betekent dit voor een willekeurig element A ∈ R4×4 ? Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Correct (formeel) rekenen, redeneren en formuleren Kennen en kunnen Oefening: Veronderstel dat (R, V , +) een reële vectorruimte is met basis α = {v1 , v2 , v3 , v4 }. Voor elke waarde van k ∈ R wordt een lineaire transformatie Tk van V gedefinieerd als volgt: Tk (v1 ) Tk (v2 ) Tk (v3 ) Tk (v4 ) 1 2 3 = = = = (1 − k)v2 + (2 − k)v3 + (k − 1)v4 v2 v1 + v2 + v3 − v4 (2 − k)v2 + (2 − k)v3 + (k − 1)v4 Ga na, voor alle waarden van k, wat de eigenwaarden van Tk en de bijhorende eigenruimten zijn. Geef voor die ruimten telkens een basis. In welke situaties is Tk diagonaliseerbaar? Verifieer dat β = {v1 − v2 − v3 , v2 + v3 − v4 , v1 − v3 , v2 − v4 } ook een basis van V is. Bepaal, in de gevallen dat Tk diagonaliseerbaar is, de coördinaten van de basisvectoren voor de eigenruimten ten opzichte van basis β. Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Correct (formeel) rekenen, redeneren en formuleren Kennen en kunnen Oefening: Welke van de volgende beweringen, over een matrix A ∈ Rn×n van rang gelijk aan n, zijn altijd correct? A: als λ1 en λ2 eigenwaarden zijn van A, dan ook λ1 + λ2 ; B: 0 is geen eigenwaarde van A; C: als v1 en v2 eigenvectoren van A zijn, dan ook v1 + v2 ; D: enkel voor de vector v = 0 geldt dat A.v = v Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Correct (formeel) rekenen, redeneren en formuleren Kennen en kunnen Oefening: Veronderstel dat U, W en Z deelruimten van een Euclidische vectorruimte (R, V , +, < ., . >) zijn. Welke van de volgende verzamelingen zijn dan in het algemeen ook altijd deelruimten van V ? A: U ⊥ + W ; B: (U ∩ W ) + (W ∩ Z ); C: (U + W ) ∩ Z ⊥ ; D: (U ⊥ ∩ W ) ∪ W ; Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Zin van/voor abstractie. Voorbeeld: Analyse I Leerlijn: van R naar metrische ruimten R als eerste “topologische speeltuin”: intuı̈tief vertrouwd, maar toch . . . – limieten van rijen – volledigheid, Bolzano-Weierstraß . . . – open en gesloten delen . . . Continue functies van R naar R: intuı̈tief vertrouwd, maar toch . . . – nauwkeurige formulering(en) voor continuı̈teit vinden – eigenschappen, stellingen (verrassend of niet?) – limieten van rijen van (continue) functies Doe-het-zelf-hoofdstuk: Welke van de hierboven geziene begrippen en resultaten blijven mutatis mutandis zinvol/geldig in de context van Rn en functies van Rn naar Rm ? Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula Rol van wiskunde in de universitaire curricula Inleiding tot de Hogere Wiskunde Lineaire algebra Zin van/voor abstractie Zin van/voor abstractie. Voorbeeld: Analyse I Leerlijn: van R naar metrische ruimten Het IFS-experiment: “convergentie” voor rijen van “figuren” !!?? Unificerend kader: metrische ruimten Aha-Erlebnis – weelde van nieuwe voorbeelden – welke van de vroeger geziene begrippen en resultaten blijven zinvol/geldig? – quid Bolzano-Weierstraß? compactheid – quid tussenwaardestelling? samenhangendheid – contractiestelling – en later ??? Paul Igodt, Wim Malfait, Johan Quaegebeur Wiskunde in de universitaire curricula
