Eindpresentatie Nils
advertisement
GIA eindpresentatie Uncertainty, fuzzy models in GIS Nils Breunese 2 november 2004 Inhoud • Spatial vagueness • Uncertainty • Fuzzy models – Metric operations • Future work Introductie • Spatial vagueness – Uncertainty • Gebrek aan informatie over positie en vorm van een object met een bestaande grens (positional uncertainty) • Niet mogelijk object precies te meten (measurement uncertainty) – Fuzziness • Object heeft inherent geen definieerbare grens (bijv. wat is de grens tussen berg en vallei?) Uncertainty • Uncertainty != error • Error: eigenlijke waarde in principe verkrijgbaar – Inaccuracy, imprecision • Ruimer begrip: eigenlijke waarde niet per se verkrijgbaar (measurement uncertainty) • Kan ook gebrek aan informatie zijn • Begrippen vaak door elkaar gebruikt: Uncertainty, imprecision, inaccuracy, ambiguity, inexactness, vagueness, fuzziness Uncertainty • • • • Identificatie Beschrijven en modelleren Visualisatie Effecten op output voorspellen m.b.v. kennis over input uncertainty Identificatie • Waar(door) treedt uncertainty op? – Geografische abstractie en generalisatie – Data acquisitie – Geo-processing – Visualisatie – Interpretatie Geografisch perspectief • Field-based – Physical geography, environmental applications • Object-based – Cartography, facilities management • Keuze hangt af van o.a. data acquisitie methode en database implementatie • Uncertainty modellering makkelijker bij field-based, zeker bij combineren lagen met verschillende uncertainty Fields Field models Graphical representation Valid types of variables Examples Irregular points Continuous, categorical Weather station data Regular points Continuous, categorical Laser profiling data Contours Continuous Noise level data Polygons Continuous, categorical Land cover data Grids Continuous, categorical Remotely sensed data Triangulated Irregular Networks (TINs) Continuous Topographic data Objects Point (0-dimensional) Entity point Label point Area point Point Node Line segment String Arc Link Line (1-dimensional) Directed link Simple chain Area chain Network chain Chain NCDCDS (1988): National Committee for Digital Cartographic Data Standards Strings Arcs Links Chains Ring (created from) Interior area Polygon (simple or complex, i.e. with inner rings) Area (2-dimensional) Pixel Grid cell ID1 L area R area ID2 Data acquisitie • Ground-based surveying – Landmetingen met ground control points (GCPs) – Global Positioning Systems (GPS) • Photogrammetry – Stereo plotter, Digital Elevation Models (DEMs) • Remote sensing – Vliegtuig: Airborne Thematic Mapper – Satelliet: Landsat Multispectral Scanner, Landsat Thematic Mapper, SPOT HRV Beschrijven en modelleren • Fuzzy set theorie – Bekijk uncertainty als resultaat van vaagheid i.p.v. willekeurigheid (i.t.t. kansrekening) • Accuracy vs precision – Hoge precisie garandeert niet dat een meting accuraat is Fouten in objecten • NCDCDS, 1988 • Interessantst voor analyse – Attribute accuracy – Positional accuracy • Verder nog (Guptil & Morrison, 1995) – Logical consistency NCDCDS: National Committee for Digital Cartographic Data Standards • Topologische tests – Completeness • Mate waarin data alle relevante en actuele informatie bevat – Lineage • Beschrijving van gebruikt bronmateriaal, methoden, controlepunten en rekenstappen Fouten in objecten 1 n m i n i 1 1 n 2 RMSE i n i 1 • Attributen: kwalitatieve en kwantitatieve feiten over objecten, te scheiden van geometrische gegevens • Aandacht gaat uit naar positionele accuraatheid 1 n 2 std ( m ) i n i 1 Error ellipses • Positional inaccuracy van punt kan worden gerepresenteerd met ellipsen met dat punt als centrum • Probability Density Function X ( x) 2 X ( x) Y ( x) Y ( x) 2 pdf ( ( x)) exp 2 2 2 2 2 2 2( X Y XY 2 ( X Y XY ) 1 X X0 met ( x) X x x0 Y Y Y0 p ( ( x) err ) pdf ( ( x))d ( x) ( x ) err Epsilon error bands • Voorgesteld door Perkal (1956) • Een ‘gang’ met breedte 2 • Point-in-polygon operatie: zeker binnen, zeker buiten of onzeker • Probabilistisch: error band met breedte , kans dat lijn binnen error band blijft is dan 68,3% Fouten in fields – Wanneer een surface in essentie continu is, levert bijvoorbeeld Kriging een variantie surface, waarmee voor elk punt een maat van uncertainty verkregen wordt: 2std z ( x) P( Z ( x) z ( x) std z ( x)) 0,683 – Voor categorical variables is het genoeg om te kijken of label of classificatie juist is of niet Fuzziness • Ruimtelijke data in GIS traditioneel met duidelijke grenzen: ‘crisp’ objects • Realiteit: grenzen die niet bepaald kunnen worden door conceptuele vaagheden: ‘fuzzy’ objects • Hoe daarmee om te gaan? (Metric operations zoals oppervlakte, lengte bepalen) Fuzzy objects • Fuzzy set theorie extensie en generalisatie van Boolean set theorie – Grens wordt overgangszone – Membership wordt degree of membership • Fuzzy regions, fuzzy lines, fuzzy points Fuzzy regions • Attribuutwaarden binnen region en overgangen kunnen continu en geleidelijk verdeeld zijn • Fuzzy region = regular open fuzzy set • Membership functie is overwegend continu, een eindig aantal continuïteitsgaten is toegestaan F : R [0,1] 2 -level regions • Fuzzy region F, tussen 0 en 1 • F is regular crisp set van punten met membership >= • F kan gaten bevatten voor 1 1 2 n n 1 0 n F 1 F 2 F n F n 1 Fuzzy lines • Fuzzy line l is een continue curve met geleidelijke verandering van membership tussen eindpunten • Begin- en eindpunt mogen samenvallen: lussen • Zelfdoorsnijding niet toegestaan Metric operations • Metric operations leveren numerieke waarde voor meestal 1 of 2 objecten – Oppervlakte, lengte, omtrek, etc. • Bekend, duidelijk en simpel voor crisp objects • Uitkomst: crisp of fuzzy getal? • Beide varianten wenselijk • 3D visualisatie van membership functies maakt begrip makkelijker Visualisatie membership ( x, y) exp( x y ) 2 2 Crisp-valued operations • Oppervlakte vereist integreerbaarheid van membership function – Tenminste piecewise continuous, dus geen probleem ~ area ( F ) ~ F ( x, y )dxdy ( x , y )R 2 ( x, y )dxdy ~ F ~ ( x , y )supp( F ) n ( x, y )dxdy ~ fi i 1 ( x , y )supp( ~f ) i Crisp-valued operations ~ height ( F ) max xR yR ~ width( F ) ( x, y )dy 1 2 ~ F max ( x, y )dx yR xR • 1 2 ~ F Exponent 0,5 essentieel voor verwachting dat hoogte x breedte >= oppervlakte ~ area ( F ) ~ F ( x, y )dxdy ( x , y )R yR 1 2 ~ F ( x, y )dy ( x, y )dx xR max yE 1 2 ~ F xR 1 2 ~ F ( x, y )dy xR 1 2 ~ F max ( x, y )dx yR ~ ~ height ( F ) width( F ) • Zonder exponent 0,5 zou hoogte x breedte minstens even groot zijn als het kwadraat van de oppervlakte van een fuzzy region Crisp-valued operations ~ outerDiameter ( F ) max uR max uR vR ~ innerDiame ter ( F ) max2 min P ,QR PQ 1 2 ~ F (u, v)du ( x , y ) 1 2 ~ F ( x, y )dxdy PQ • Voor convex crisp regions geldt outerDiameter = innerDiameter • Voor convex fuzzy regions geldt outerDiameter>=innerDiameter Crisp-valued operations min uR ~ elongatedness ( F ) 1 max uR vR 1 2 ~ F (u , v)du ~ outerDiameter ( F ) ~ ~ roundness ( F ) 1 elongatedness ( F ) 2 ~ perimeter ( F ) ( x , y )R 2 n 2 12 12 F~ F~ dxdy x y i 1 ( x , y )R 2 2 2 2 2 12 12 ~f ~f dxdy x i y i 12 12 ~ x F~ y F~ dxdy ( x , y )supp( l ) n ~ ~ length( L ) length( li ) ~ length( l ) i 1 ~ strength( L ) min ~ ( x , y )supp( L ) L~ (( x, y )) Fuzzy-valued operations • Fuzzy number is convex normalised fuzzy set van R f ( x) 1 A~ g ( x) 0 abc x [ a, b] xb x [b, c] x a, x c • f is piecewise continuous toenemend tot 1 bij b, g is piecewise continuous afnemend vanaf 1 Fuzzy-valued operations • Beschouw twee beperkte soorten fuzzy numbers – Zonder f functie: alleen right-sided membership function – Zonder g functie: alleen left-sided membership function • Wat blijkt? Area, perimeter, height, width, diameter en length uit te drukken als fuzzy numbers met right-sided membership functie en strength met leftsided membership function! – Bewijs buiten scope presentatie Future work • Fuzzy spatial query language • Binary metric operations – fuzzy distance en fuzzy direction • Discreet model – Eindige representaties, algoritmen • Elongatedness en roundness kunnen niet als fuzzy numbers met rightsided membership functions behandeld worden – Twijfelachtig of ze überhaupt als fuzzy numbers gerepresenteerd kunnen worden, open issue Einde
