carport 02

Beginnen met Construeren
Module ribBMC01c
Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek / ROP
Propadeuse, kernprogramma 1e kwartaal
Week 02
Theorie:
Wet van Hooke
Onderwerp: Sterkte, spanning, elasticiteit
Opdracht: Bereken de in week 1 genoemde constructie op sterkte en bepaal de
verlenging/verkorting van de onderdelen.
Boek:
F.Vink, hst. 10, 11, 12 en 13 + opgaven
Normaalkrachten
Een normaalkracht is een inwendige kracht, druk- of trekkracht, die loodrecht werkt op het
vlak van de doorsnede van de constructie.
Verdeling normaalkrachten
01. De trekkracht:
De trekkracht wordt positief beschouwd
02. De drukkracht:
De drukkracht wordt negatief beschouwd
Sterkte en spanningen
De uiterste weerstand die een constructie kan bieden noemen we de bezwijksterkte (Fu).
De belasting die een constructiedeel moet dragen noemen we de gebruiksbelasting F.
Tussen de gebruiksbelasting F en de bezwijksterkte Fu moeten we voldoende afstand nemen.
Dit is de veiligheid.
De veiligheid bestaat uit een belastingsfactor γf en een belastingsfactor
De belastingsfactor γF , deze ingevoerd vanwege;
- benaderingen in de berekeningstheorie
- onvolkomenheden in de uitvoering
- het aantal mensen dat slachtoffer kan worden
- de materiele schade die tijdens de levensduur kan ontstaan.
De rekenwaarde Fd van belasting is gelijk aan de belastingsfactor maal de gebruiksbelasting
Fd = γF x F.
De rekenwaarde Fd veroorzaakt in de constructie spanningen σd in N/mm2
σd = Fd / A
1 van 11
M.J.Roos
19-7-2017
Beginnen met Construeren
Module ribBMC01c
Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek / ROP
Propadeuse, kernprogramma 1e kwartaal
De materiaalsterkte:
De materiaalsterkte is de bezwijksterkte gedeeld door de oppervlakte van de dwarsdoorsnede
fu = Fu / A
De materiaalfactor γM , deze is ingevoerd vanwege;
- spreiding in de materiaalsterkte fu door ongelijkmatigheden in het materiaal.
De rekenwaarde van de materiaalsterkte fd (N/mm2) is gelijk aan de materiaalsterkte fu
gedeeld door de materiaalfactor γM .
fd = fu / γ M
Nu moet gelden:
De rekenwaarde van de belasting moet kleiner of gelijk zijn aan de rekenwaarde van de
sterkte.
σd ≤ fd of σd / fd ≤ 1
= UNITY CHECK
Op eenvoudige manier kunnen we nu de spanningen σ berekenen en pas na de materiaalkeuze
toetsen we of de berekende spanning voldoet.
σ / f ≤ 1 of σ ≤ f
In het vervolg berekenen we dus met de gebruiksbelasting, de daaruit
volgende spanningen vergelijken we dan met de sterktewaarden waarin
zowel γF als γM al zijn verwerkt.
Tabel 1
Stijfheid
Het toetsen of een constructie stijf genoeg is, gebeurt ook met de hiervoor genoemde
gebruiksbelastingen. Het gaat immers om de werkelijke doorbuigingen van balken, vloeren of
bruggen die bij normaal gebruik optreden.
Stijfheidseisen zijn dikwijls bij lange of hoge constructies maatgevend.
(Er kunnen grote vervormingen optreden die hinderlijk of schadelijk zijn voor de constructie
lang voordat deze bezweken is.)
2 van 11
M.J.Roos
19-7-2017
Beginnen met Construeren
Module ribBMC01c
Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek / ROP
Propadeuse, kernprogramma 1e kwartaal
Onderverdeling verschillende soorten spanning.
- drukspanning
- trekspanning
- schuifspanning
- buigspanning
- knik
Drukspanning
Door een drukkracht ontstaan er drukspanningen.
De drukspanning is gelijk aan de drukkracht gedeeld door de oppervlakte van de
balkdoorsnede.
σc = F / A
Voorbeeld 1:
Gegeven:
Op een balk wordt een drukkracht van 63 kN uitgeoefend. De balk heeft een dwarsdoorsnede
van 9000 mm2
Gevraagd:
De drukspanning σc
Oplossing:
σc = F / A
σc = 63000 / 9000 = 7 N/mm2
Voorbeeld 2:
De doorsnede A van een balk is 8000 mm2. De drukspanning is 7.5 N/mm2.
De drukkracht: F = A * σc → 8000 * 7.5 = 60.000 N = 60 kN
3 van 11
M.J.Roos
19-7-2017
Beginnen met Construeren
Module ribBMC01c
Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek / ROP
Propadeuse, kernprogramma 1e kwartaal
Trekspanning
Door een trekkracht ontstaan er trekspanningen.
De trekspanning is gelijk aan de trekkracht gedeeld door de oppervlakte van de
balkdoorsnede.
σt = F / A
Voorbeeld 3:
Gegeven:
Op een balk wordt een trekkracht van 72 kN uitgeoefend. De balk heeft een dwarsdoorsnede
van 8000 mm2
Gevraagd;
De trekspanning σt
Oplossing;
σt = F / A → 72000/8000 = 9 N/mm2
Voorbeeld 4:
De doorsnede van een balk is 9000 N/mm2. De trekspanning is 10 N/mm2.
De trekkracht: F = A * σt → 9000 * 10 = 90.000 N = 90 kN
De schuifspanning
Als een kracht F op vlak CDGF werkt, zal het bovenste blokje materiaal willen afschuifen
over vlak BCDE
In dit vlak ontstaat dan een gemiddelde schuifspanning.
4 van 11
M.J.Roos
19-7-2017
Beginnen met Construeren
Module ribBMC01c
Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek / ROP
Propadeuse, kernprogramma 1e kwartaal
Door een schuifkracht ontstaan er schuifspanningen.
De schuifspanning is gelijk aan de schuifkracht gedeeld door
de afschuivende oppervlakte (= l * b)
τ=F/A
(τ is de gemiddelde schuifspanning)
De schuifspanning waarbij nog juist geen breuk optreedt noemen we de schuifsterkte τB
De schuifsterkte waarmee we de waarde van τ toetsen is fv
fv = f u / γ M
Voorbeeld 5
Gegeven:
Op een balk wordt een afschuifkracht van 20 kN uitgeoefend.
De afschuivende oppervlakte A bedraagt 25000 mm2
Gevraagd:
De gemiddelde schuifspanning
Oplossing:
τ = F / A → 20000 / 25000 = 0.8 N/mm2
Voorbeeld 6:
De afschuivende oppervlakte van een balk is 15000 mm2. De gemiddelde schuifspanning is
1.2 N/mm2.
De afschuifkracht: F = A * τ → 15000 * 1.2 = 18 kN
5 van 11
M.J.Roos
19-7-2017
Beginnen met Construeren
Module ribBMC01c
Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek / ROP
Propadeuse, kernprogramma 1e kwartaal
Elasticiteit
Een staaf met een lengte l kan onder de inwerking van een kracht langer (bij trek) of korter
(bij druk) worden.
Werkt een kracht op een staaf dan zal de lengteverandering groter zijn naarmate de staaf
langer is.
De lengteverandering is binnen bepaalde grenzen recht evenredig met de lengte van de staaf.
De lengteverandering wordt aangegeven met de griekse letter Δ
Onder invloed van een trekkracht zal bij een staaflengte van;
1l de lengteverandering Δl bedragen
2l de lengteverandering 2Δl bedragen
3l de lengteverandering 3Δl bedragen
Etc.
Voorbeeld 7:
Onder invloed van een kracht F rekt een staaf van 1000 mm lengte 2 mm uit.
Wat zal de uitrekking zijn als de staaf 2000 mm is.
Δl = (2000 / 1000) * 2 = 4 mm
Voorbeeld 7:
Voor een staaf geldt dat bij een lengte van 1200 mm de lengteverandering 2 mm is.
Bij een lengte van 1800 mm is de lengteverandering:
Δl = (1800 / 1200) * 2 = 3 mm
6 van 11
M.J.Roos
19-7-2017
Beginnen met Construeren
Module ribBMC01c
Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek / ROP
Propadeuse, kernprogramma 1e kwartaal
Behalve de lengte is ook de staafdoorsnede van invloed op de lengteverandering bij een
inwerkende kracht F.
Een grote kracht geeft dus een grotere lengteverandering bij een kleinere doorsnede en een
kleinere kracht geeft een kleinere lengteverandering bij die zelfde doorsnede.
Een lengteverandering is dus groter als de kracht groter en/of de doorsnede kleiner is.
Nemen we σ = F / A hierbij in ogenschouw, dan kunnen we ook zeggen;
Een lengteverandering is groter als de spanning groter is.
Onder invloed van een kracht zal de spanning:
σ de uitrekking Δl zijn
2σ de uitrekking 2Δl zijn
3σ de uitrekking 3Δl zijn
Etc.
Tot een bepaalde spanning (evenredigheidspanning) is de lengteverandering Δl recht
evenredig met de optredende spanning.
Boven de evenredigheidspanning neemt de lengteverandering meer toe dan de spanning
toeneemt. Hierbij ontstaan ontoelaatbare vervormingen. Daarom moet in de praktijk de
toelaatbare spanning vaak veel kleiner dan de evenredigheidspanning zijn.
Elasticiteitsmodulus:
De lengteverandering is ook afhankelijk van het soort materiaal.
De mate waarin het materiaal weerstand bied tegen een lengteverandering onder de inwerking
van krachten noemt men de elasticiteit van het materiaal.
De elasticiteit van een materiaal drukt men uit in de Elasticiteitsmodulus E.
7 van 11
M.J.Roos
19-7-2017
Beginnen met Construeren
Module ribBMC01c
Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek / ROP
Propadeuse, kernprogramma 1e kwartaal
In de elasticiteitsmodulus van een materiaal zijn 2 factoren verwerkt;
- De verhouding tussen de lengteverandering en de oorspronkelijke lengte, oftewel de
rek. ε = Δl /l
-
De optredende spanning σ, mits kleiner dan de evenredigheidspanning.
De verlenging per lengte-eenheid noemt men dus rek (relatieve verlenging), aangeduid met ε.
ε = ∆l / l
Het verband tussen ε en σ dus het verband tussen rek en spanning is aangegeven door de wet
van Hooke:
ε = σ / E, waarin E de elasticiteitsmodulus van het materiaal is.
Dus : E = σ / ε
8 van 11
M.J.Roos
19-7-2017
Beginnen met Construeren
Module ribBMC01c
Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek / ROP
Propadeuse, kernprogramma 1e kwartaal
E is een rekengrootheid (geen echte spanning) die iets zegt over de aard van het materiaal.
E in N/mm2.
Als de elasticiteitsmodulus groot is, dan wil dit zeggen:
- Het materiaal is weinig rekbaar.
- Een grote spanning σ
- Een kleine rek ε
Staal: E = 210.000 N/mm2
De wet van Hooke
In de formule E = σ / ε, kunnen we voor σ de formule F/A substitueren en voor ε kunnen we
de formule Δl / l substitueren.
We vinden dan;
E = (F * l) / (Δl * A)
Deze kunnen we ook schrijven als:
Δl = (F * l) / (E * A)
= de wet van Hooke
De lengteverandering is dus omgekeerd evenredig met de elasticiteitsmodulus.
De wet van Hooke geldt alleen voor het gedeelte OP in de hieronder weergegeven diagram.
9 van 11
M.J.Roos
19-7-2017
Beginnen met Construeren
Module ribBMC01c
Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek / ROP
Propadeuse, kernprogramma 1e kwartaal
Voorbeeld 8:
Een drukkracht veroorzaakt in een kolom een lengteverandering van 4 mm.
Als de elasticiteitsmodulus 8x zo groot wordt dan zal de lengteverandering maar;
4/8 = 0.5mm bedragen.
Voorbeeld 9:
De elasticiteitsmodulus van staal; E = 210.000 N/mm2
Op een stalen staaf met een lengte van 3 meter en een doorsnede van 1 cm2 laat men een
kracht van 14 kN werken.
De lengteverandering is dan;
Δl = 14000 * 3000 / 210000 * 100 (LET OP DE EENHEDEN)
Δl = 2 mm
Lineaire uitzetting
Een staaf zal langer worden bij hoge temperatuur en korter worden bij lagere temperatuur.
Een temperatuurverandering geven we aan met: ΔT
Voor een staaf geldt dat bij een bepaalde temperatuurverandering de lengteverandering groter
zal zijn naarmate de staaf langer is.
Bij een temperatuurverandering zal bij
- een lengte l de lengteverandering Δl zijn
- een lengte 2l de lengteverandering 2Δl zijn
- een lengte 3l de lengteverandering 3Δl zijn.
- Etc.
Een temperatuurverandering:
- ΔT geeft een lengteverandering Δl
- 2ΔT geeft een lengteverandering 2Δl
- Etc.
Lineaire uitzettingscoefficient
De lengteverandering is ook afhankelijk van het soort materiaal.
De lineaire uitzettingscoefficient van een materiaal is de lengteverandering per eenheid van
lengte per 1º C temperatuurverschil.
De lineaire utzettingscoefficient is een rekengrootheid en wordt aangegeven met α.
De eenheid is: m / (m * ºC) = 1/ºC.
Bij een temperatuurverandering geeft een lineaire uitzettingscoefficient:
10 van 11
M.J.Roos
19-7-2017
Beginnen met Construeren
Module ribBMC01c
Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek / ROP
Propadeuse, kernprogramma 1e kwartaal
-
α een lengteverandering van Δl
2α een lengteverandering van 2Δl
3α een lengteverandering van 3Δl
Etc.
De lengteverandering Δl kan bij een temperatuursverandering ΔT dus bepaald worden met de
formule:
Δl = l * α * ΔT
11 van 11
M.J.Roos
19-7-2017