Document

ribNAT0a
Natuurkunde - Bijspijker
Lesweek 03
Opleiding: Bouwkunde / Civiele
techniek
Week 02




Theorie:
Wet van Hooke
Onderwerp: Sterkte, spanning, elasticiteit
Opdracht: Bereken de in week 1 genoemde
constructie op sterkte en bepaal de
verlenging/verkorting van de
onderdelen.
Boek:
F.Vink, hst. 10, 11, 12 en 13 + opgaven
Normaalkrachten
Normaalkrachten
Een normaalkracht is een inwendige kracht, druk- of
trekkracht, die loodrecht werkt op het vlak van de doorsnede van
de constructie.
Verdeling normaalkrachten
De trekkracht:
De trekkracht wordt positief beschouwd
De drukkracht:
De drukkracht wordt negatief beschouwd
Normaalkrachten

Normaalkracht F veroorzaakt normaalspanningen
σ
+
plaats
σ = F /A
Sterkte en spanningen
Bezwijksterkte (Fu)
De uiterste weerstand die een constructie kan bieden noemen we de
bezwijksterkte (Fu).
Gebruiksbelasting (F)
De belasting die een constructiedeel moet dragen noemen we de
gebruiksbelasting F.
Veiligheid
Tussen de gebruiksbelasting F en de bezwijksterkte Fu moeten we
voldoende afstand nemen. Dit is de veiligheid.
Belastings- en materiaalfactor
De veiligheid bestaat uit een belastingsfactor γf en een
materiaalfactor γm
Belastingsfactor (γf)
De belastingsfactor γf , deze is ingevoerd vanwege;
01. benaderingen in de berekeningstheorie
02. onvolkomenheden in de uitvoering
03. het aantal mensen dat slachtoffer kan worden
04. de materiele schade die tijdens de levensduur kan ontstaan.
De rekenwaarde
De rekenwaarde Fd van belasting is gelijk aan de belastingsfactor maal de
gebruiksbelasting, Fd = γf x F.
De rekenwaarde Fd veroorzaakt in de constructie spanningen σd in
N/mm2, σd = Fd / A
Materiaalfactor (γm)
De materiaalsterkte:
De materiaalsterkte is de bezwijksterkte gedeeld door de oppervlakte
van de dwarsdoorsnede, fu = Fu / A
De materiaalfactor ,
deze is ingevoerd vanwege;
spreiding in de materiaalsterkte fu door ongelijkmatigheden in
het materiaal.
De rekenwaarde van de materiaalsterkte fd (N/mm2) is gelijk aan de
materiaalsterkte fu gedeeld door de materiaalfactor γm .
fd = fu / γm
Unity check
Nu moet gelden:
De rekenwaarde van de belasting moet kleiner of gelijk zijn aan de
rekenwaarde van de sterkte.
F;s;d ≤ F;r;d (d=design=rekenwaarde, s=sollicitation=belasting,
r=resistance=sterkte)
Of voor de spanning:
σd ≤ fd of σd / fd ≤ 1
(= UNITY CHECK)
Op eenvoudige manier kunnen we nu de spanningen σ berekenen
en pas na de materiaalkeuze toetsen we of de berekende spanning
voldoet.
De toets op sterkte:
5% van
totaal
oppervlak
Fs;m
5% van
totaal
oppervlak
vermenigvuldig
met f
delen door
Fs;rep
Fr;d Fr;re
Fs;d
m
Fr;m
p
Belasting < Sterkte
Fs;d
Of : U.C. ≤ 1
<
Fr;d
met U.C. = Belasting / Sterkte
Toetsen op stijfheid
Het toetsen of een constructie stijf genoeg is, gebeurt ook met de hiervoor
genoemde gebruiksbelastingen.
Het gaat immers om de werkelijke doorbuigingen van balken, vloeren of
bruggen die bij normaal gebruik optreden.
Stijfheidseisen zijn dikwijls bij lange of hoge constructies maatgevend.
(Er kunnen grote vervormingen optreden die hinderlijk of schadelijk zijn voor
de constructie lang voordat deze bezweken is.)
Onderverdeling spanningen





drukspanning
trekspanning
schuifspanning
buigspanning
knik
Drukspanning
Door een drukkracht ontstaan er drukspanningen.
De drukspanning is gelijk aan de drukkracht gedeeld
door de oppervlakte van de balkdoorsnede.
σc = F / A
Drukspanning
Voorbeeld 1:
Gegeven:
Op een balk wordt een drukkracht van 63 kN uitgeoefend. De balk
heeft een dwarsdoorsnede van 9000 mm2
Gevraagd:
De drukspanning σc (compression) ?
Oplossing:
σc = F / A
σc = 63000 / 9000 = 7 N/mm2
Drukspanning
Voorbeeld 2:
Gegeven:
De doorsnede A van een balk is 8000 mm2.
De drukspanning is 7.5 N/mm2.
Gevraagd:
De drukkracht ?
Oplossing:
F = A * σc → 8000 * 7.5 = 60.000 N = 60 kN
Trekspanning
Door een trekkracht ontstaan er trekspanningen.
De trekspanning is gelijk aan de trekkracht gedeeld
door de oppervlakte van de balkdoorsnede.
σt = F / A
Trekspanning
Voorbeeld 3:
Gegeven:
Op een balk wordt een trekkracht van 72 kN uitgeoefend.
De balk heeft een dwarsdoorsnede van 8000 mm2
Gevraagd:
De trekspanning σt (t = tension) ?
Oplossing:
σt = F / A → 72000/8000 = 9 N/mm2
Trekspanning
Voorbeeld 4:
Gegeven:
De doorsnede van een balk is 9000 N/mm2.
De trekspanning is 10 N/mm2.
Gevraagd:
De trekkracht ?
Oplossing:
F = A * σt → 9000 * 10 = 90.000 N = 90 kN
Schuifspanning (τ)
Als een kracht F op vlak CDGF werkt, zal het bovenste blokje
materiaal willen afschuifen over vlak BCDE
In dit vlak ontstaat dan een gemiddelde schuifspanning.
Schuifspanning (τ)
Door een schuifkracht ontstaan er schuifspanningen.
De schuifspanning is gelijk aan de schuifkracht gedeeld door
de afschuivende oppervlakte (= l * b)
τ=F/A
(τ is de gemiddelde schuifspanning (tau))
De schuifspanning waarbij nog juist geen breuk optreedt noemen we de
schuifsterkte τB
De schuifsterkte waarmee we de waarde van τ toetsen is fv
fv = fu / γm
Schuifspanning (τ)
Voorbeeld 5
Gegeven:
Op een balk wordt een afschuifkracht van 20 kN uitgeoefend.
De afschuivende oppervlakte A bedraagt 25000 mm2
Gevraagd:
De gemiddelde schuifspanning ?
Oplossing:
τ = F / A → 20000 / 25000 = 0.8 N/mm2
Schuifspanning (τ)
Voorbeeld 6:
Gegeven:
De afschuivende oppervlakte van een balk is 15000 mm2.
De gemiddelde schuifspanning is 1.2 N/mm2.
Gevraagd:
De afschuifkracht ?
Oplossing:
F = A * τ → 15000 * 1.2 = 18 kN
Elasticiteit
Een staaf met een lengte l kan onder de inwerking van
een kracht langer (bij trek) of korter (bij druk) worden.
Werkt een kracht op een
staaf dan zal de
lengteverandering groter zijn
naarmate de staaf langer is.
Elasticiteit
De lengteverandering is binnen bepaalde grenzen recht
evenredig met de lengte van de staaf.
De lengteverandering wordt aangegeven met de griekse
letter Δ.
Onder invloed van een trekkracht zal bij een staaflengte van:
a. 1l de lengteverandering Δl bedragen
b. 2l de lengteverandering 2Δl bedragen
c. 3l de lengteverandering 3Δl bedragen
d. Etc.
Elasticiteit
F
F
F
F
=
l
Δl
l
F
F
F
F
=
2l
2l
2Δl
Elasticiteit
Voorbeeld 7:
Gegeven
Onder invloed van een kracht F rekt een staaf van 1000 mm lengte 2 mm uit.
Gevraagd:
Wat zal de uitrekking zijn als de staaf 2000 mm is ?
Oplossing:
Δl = (2000 / 1000) * 2 = 4 mm
Elasticiteit
Voorbeeld 7
Gegeven:
Voor een staaf geldt dat bij een lengte van 1200 mm de
lengteverandering 2 mm is.
Gevraagd:
De lengteverandering bij een lengte van 1800 mm ?
Oplossing:
Δl = (1800 / 1200) * 2 = 3 mm
Elasticiteit
Behalve de lengte is ook de staafdoorsnede van
invloed op de lengteverandering bij een inwerkende
kracht F.
Een grote kracht geeft dus een grotere
lengteverandering bij een kleinere doorsnede
Een kleinere kracht geeft een kleinere
lengteverandering bij die zelfde doorsnede.
Een lengteverandering is dus groter als de kracht groter en/of de
doorsnede kleiner is.
Elasticiteit
Toename lengteverandering bij gelijkblijvende spanning en
een grotere kracht.
F
F
F
F
=
l
Δl
l
2F
2F
2F
2F
=
l
l
2Δl
Elasticiteit
Toename lengteverandering bij gelijkblijvende spanning en
een kleinere doorsnede
F
F
d=A
F
=
F
d=A
l
Δl
l
F
F
d=1/2A
l
F
=
F
d=1/2A
l
2Δl
Elasticiteit
Nemen we σ = F / A hierbij in ogenschouw, dan kunnen we
ook zeggen;
Een lengteverandering is groter als de spanning groter is.
Onder invloed van een kracht zal de spanning:
a. σ de uitrekking Δl zijn
b. 2σ de uitrekking 2Δl zijn
c. 3σ de uitrekking 3Δl zijn
d. Etc.
Elasticiteit - evenredigheidspanning
Tot een bepaalde spanning (evenredigheidspanning) is de
lengteverandering Δl recht evenredig met de optredende spanning.
Boven de evenredigheidspanning
neemt de lengteverandering meer
toe dan de spanning toeneemt.
Hierbij ontstaan ontoelaatbare
vervormingen.
Daarom moet in de praktijk de
toelaatbare spanning vaak veel
kleiner dan de
evenredigheidspanning zijn.
Elasticiteitsmodulus (E)
De lengteverandering is ook afhankelijk van het soort
materiaal.
De mate waarin het materiaal weerstand bied tegen
een lengteverandering onder de inwerking van
krachten noemt men de elasticiteit van het materiaal.
De elasticiteit van een materiaal drukt men uit in de
Elasticiteitsmodulus E.
Elasticiteitsmodulus (E)
In de elasticiteitsmodulus van een materiaal zijn 2 factoren verwerkt;
1. De verhouding tussen de lengteverandering en de oorspronkelijke
lengte, oftewel de rek. ε (epsilon)
2. De optredende spanning σ, mits kleiner dan de evenredigheidspanning.
De verlenging per lengte-eenheid noemt men dus rek (relatieve verlenging),
aangeduid met ε.
ε = ∆l / l
Elasticiteitsmodulus (E)
Het verband tussen ε en σ, dus het verband tussen rek en spanning,
is aangegeven door de wet van Hooke:
E=σ/ε
Elasticiteitsmodulus (E)
E is een rekengrootheid (geen echte spanning) die iets
zegt over de aard van het materiaal.
E in N/mm2.
Als de elasticiteitsmodulus groot is, dan wil dit zeggen:
a. Het materiaal is weinig rekbaar.
b. Een grote spanning σ
c. Een kleine rek ε
Staal: E = 210.000 N/mm2
De Wet van Hooke
In de formule E = σ / ε, kunnen we voor σ de formule F/A
substitueren
Voor ε kunnen we de formule Δl / l substitueren.
We vinden dan:
E = (F * l) / (Δl * A)
Deze kunnen we ook schrijven als:
Δl = (F * l) / (E * A)
(de wet van Hooke)
Spannings/rekdiagram
Sterk
De lengteverandering is dus
omgekeerd evenredig met de
elasticiteitsmodulus.
De wet van Hooke geldt alleen
voor het gedeelte OP in het
hiernaast weergegeven
diagram.
Stug
Zwak
Slap
Bros
Taai
Elasticiteitsmodulus
Voorbeeld 8:
Gegeven:
Een drukkracht veroorzaakt in een kolom een lengteverandering van 4 mm.
Gevraagd:
Als de elasticiteitsmodulus 8x zo groot wordt, hoe groot bedraagt dan de
lengteverandering ?
Oplossing:
De lengteverandering is omgekeerd evenredig met de Elasticiteitsmodulus.
(wet van Hooke)
De lengteverandering bedraagt dan:
4/8 = 0.5mm bedragen.
Elasticiteitsmodulus
Voorbeeld 9:
Gegeven:
De elasticiteitsmodulus van staal; E = 210.000 N/mm2
Op een stalen staaf met een lengte van 3 meter en een doorsnede van 1
cm2 laat men een kracht van 14 kN werken.
Gevraagd:
De lengteverandering ?
Oplossing:
Oppervlakte = 1cm2=100mm2
Wet van Hooke
Δl = 14000 * 3000 / 210000 * 100 = 2 mm
Lineaire uitzetting
Een staaf zal langer worden bij hoge temperatuur en korter worden
bij lagere temperatuur.
Een temperatuursverandering geven we aan met: ΔT
Voor een staaf geldt dat bij een bepaalde temperatuurverandering
de lengteverandering groter zal zijn naarmate de staaf langer is.
Lineaire uitzetting
Bij een temperatuursverandering zal bij:
a. een lengte l de lengteverandering Δl zijn
b. een lengte 2l de lengteverandering 2Δl zijn
c. een lengte 3l de lengteverandering 3Δl zijn.
d. Etc.
Een temperatuurverandering van:
a. ΔT geeft een lengteverandering Δl
b. 2ΔT geeft een lengteverandering 2Δl
c. Etc.
Lineaire uitzettingscoefficient
Bij een temperatuursverandering geeft een lineaire uitzettingscoefficient:
a. α een lengteverandering van Δl
b. 2α een lengteverandering van 2Δl
c. 3α een lengteverandering van 3Δl
d. Etc.
Lineaire uitzettingscoefficient
De lengteverandering is ook afhankelijk van het soort materiaal.
De lineaire uitzettingscoefficient van een materiaal is de lengteverandering
per eenheid van lengte per 1º C temperatuurverschil.
De lineaire utzettingscoefficient is een rekengrootheid en wordt aangegeven
met α.
De eenheid is: m / (m * ºC) = 1/ºC.
De lengteverandering Δl kan bij een temperatuursverandering ΔT dus
bepaald worden met de formule:
Δl = l * α * ΔT
Lineaire uitzettingscoefficient
Voorbeeld 10
Gegeven:
Een spoorrail is 15 m lang bij 0°C. Bij deze temperatuur zijn
de voegen (ruimten tussen de raildelen) 6 mm breed.
α = 0,000 012 /°C, E = 2,1 * 105 N/mm2
Gevraagd:
a. Bij welke temperatuur zijn de voegen juist gesloten ?
b. Hoe groot is de spanning in de rail bij 40°C ?
Lineaire uitzettingscoefficient
Oplossing:
Deel a:
Δl = 6 – 0 = 6mm
Formule:
Δl = l * α * ΔT  ΔT = 6 / (15000 * 0,000 012
ΔT = 33,3 °C
T = 0°C + 33,3 °C = 33,3 °C, hierbij is de raillengte 15006 mm
Lineaire uitzettingscoefficient
Oplossing:
Deel b:
Formule:
Δl = l * α * ΔT  Δl = 15000 * 0,000 012 * (40 – 0) = 7,2 mm
De rail heeft maar een tussenruimte van 6 mm, hij kan dus niet verder
uitzetten.
Dit levert spanning op in het materiaal.
De verkorting van de rail is dan 7,2 – 6 = 1,2 mm
Wet van Hooke
Δl = F * l / E * A  Δl = σ * l / E  1,2 = σ * 15006 / 2,1 * 105 N/mm2
σ = 16,8 N/mm2
EINDE
Docent: M.J.Roos