2 Exponentiele functies

IBB
ribwis1
Toegepaste wiskunde –
Exponentiele functies
Lesweek 5
Opleiding: Bouwkunde / Civiele
techniek Propedeuse, kernprogramma
2e kwartaal
1
Exponentiele functies
Een bioloog heeft gedurende een aantal jaren onderzoek
gedaan naar het aantal konijnen in een duinrijk gebied. In het
onderstaande tabel worden zijn waarnemingen weergegeven.
2
Jaar
1960
1964
1968
1972
1976
1980
Aantal
konijnen op
1 sept.
15000
30000
60000
120000
240000
480000
Exponentiele functies
De beginwaarde van de exponentiele functie is gelijk aan
15000, voor x = 0.
De functiewaarde bij x = 0 is gelijk aan 15000
De functie is voor elke waarde van x positief
De functie vertoont een stijgend verloop.
Bij toenemende x wordt de mate van stijgen steeds groter.
Per eenheid van x neemt de y-waarde steeds een factor 2
toe.
In de functie zien we dat de verandering exponentieel
toeneemt, de verandering verdubbeld zich steeds
Grafiek (aantallen * 1000)
3
y = 15000 * 2x
Exponentiele functies
Dezelfde bioloog heeft gedurende een aantal jaren onderzoek
gedaan naar het aantal konijnen in tweede duinrijk gebied. In het
onderstaande tabel worden zijn waarnemingen weergegeven.
4
Jaar
1960
1964
1968
1972
1976
1980
Aantal
konijnen op
1 sept.
480000
240000
120000
60000
30000
15000
Exponentiele functies
De beginwaarde van deze exponentiele functie is gelijk aan
480000, voor x = 0.
De functie is voor elke waarde weer positief.
De functie vertoond een dalend verloop.
Bij toenemende x wordt de mate van dalen steeds kleiner:
Per eenheid x neemt de y-waarde steeds met een factor ½
af.
Grafiek (aantallen * 1000)
5
K = 480000 * ½ x
Exponentiele functies






6
De functie y = b * gx wordt een exponentiele functie
genoemd.
Hierin wordt g het grondtal genoemd.
Het grondtal is de groeifactor per eenheid van x;
b wordt de beginwaarde bij x = 0 genoemd.
Als het grondtal g > 1, dan is de grafiek van de
functie stijgend.
Als 0 < g < 1, dan is de functie dalend.
Exponentiele functies
Beschouw de functies y= 2x en y = ½ x, in onderstaande grafiek.
7
Exponentiele functies
Het domein van beide functies is R.
Beide grafieken snijden de x-as nergens: y = 2x nadert tot nul als we x een
steeds hogere negatieve waarde toekennen en
y = 1/2x nadert tot nul als we x een steeds hogere positieve waarde
toekennen.
y = 2x is op het gehele domein een stijgende functie,
y = 1/2x is een op het gehele domein een dalende functie.
De grafieken van y = 2x en y = 1/2x zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. de y-as
8
De x-as is de horizontale asymptoot voor de functie met de vergelijking
y = b * gx
Exponentiele functies
Opstellen functievoorschrift.
 In de bovenstaande grafieken met konijnen
berekenen we de opeenvolgende quotienten.
 Indien de quotienten weinig of niets van elkaar
verschillen mogen we uitgaan van exponentiele
groei.
 Voor de groeifactor neem je dan het gemiddelde van
de verschillende quotienten.
 Het punt b is het startpunt vanaf waar we de
vergelijking voor de functie opstellen.
9
Exponentiele functies
Voorbeeld.
 Een geldbedrag van 1000 euro staat
gedurende langere tijd op een spaarrekening
tegen een vaste rente van 5% per jaar. De
rente wordt jaarlijks bijgeschreven op
dezelfde spaarrekening.
10
Exponentiele functies




11
Met de volgende formule kunnen we de grootte van
het gespaarde geld na x jaar vaststellen.
y = 1000 * 1,05x
Hoelang moeten we nu sparen voor het
beginkapitaal van 1000 euro zich heeft verdubbeld ?
We moeten dus de waarde x berekenen als het
kapitaal 2000 euro is geworden, dus gaat het om de
vergelijking: 1000 * 1,05x = 2000
Exponentiele functies






12
Hieruit volgt: 1,05x = 2
Deze vergelijking kan logaritmisch worden opgelost.
gx = a → gloga = x
1.05Log2 = x
10Log2 / 10Log1,05 = 14,21
Na circa 15 jaar heeft een geldbedrag van 1000 euro
zich bij een vaste rente van 5% verdubbeld.
Exponentiele functies
13
Exponentiele functies
Transformaties

De grafiek van de standaard exponentiele functie, y = b * gx, kunnen we
verschuiven in horizontale en verticale richting.

Ook kunnen we de grafiek verticaal vermenigvuldigen t.o.v de x-as.

Als de grafiek y=gx bij een positieve p horizontaal p eenheden naar links wordt
geschoven, dan heeft de grafiek het functievoorschrift y = gx+p.

Als de grafiek van y=gx bij positieve p horizontaal p eenheden naar rechts wordt
verschoven, dan heeft de grafiek het functievoorschrift y = gx-p

Als de grafiek y=gx met een positieve factor t.o.v. de x-as wordt
vermenigvuldigd, dan heeft de grafiek het functievoorschrift y = p * gx

Als de grafiek y=gx bij positieve p verticaal p eenheden naar boven wordt
geschoven, dan heeft de grafiek het functievoorschrift y = p + gx

Als de grafiek van y=gx bij positieve p verticaal p eenheden naar beneden wordt
verschoven, dan heeft de grafiek het functievoorschrift y = -p + gx
14
y = 5 * 2x
y = 2x+5
y=5+
y = 2x-5
2x
y=2x
y = -5 + 2x
Exponentiele functies
16
Exponentiele functies
Gevraagd: Teken de grafiek y = 1+ 1,5 * 2x+2
 De standaardfunctie is: y = 2x
 Deze wordt met een factor 1,5 t.o.v x-as vermenigvuldigd, zodat: y =
1,5 * 2x
 Vervolgens wordt de grafiek 2 eenheden naar links verschoven, zodat:
y = 1,5 * 2x+2
 Daarna schuiven we de grafiek één eenheid omhoog, zodat:
y = 1 + 1,5 * 2x+2
Stappen:
 grondtal met een factor vermenigvuldigen
 het grondtal met een extra exponent tot macht verheffen
 de gehele factor met een getal vermeerderen of verminderen.
17
Exponentiele functies
18
Exponentiele functies
Voor een grafiek met de functie:
 y = p * g ax+b + q herschrijven we deze tot:
 y = p * (ga)x + b/a + q
19
Exponentiele functies





20
Het berekenen van het snijpunt van twee exponentiele functie
komt neer op het oplossen van een exponentiele vergelijking.
Exponentiele vergelijkingen worden opgelost met de
eigenschap:
gp = g q → p = q
We moeten er dus voor zorgen dat het linker- en het rechterlid
wordt geschreven als één macht, beide met hetzelfde grondtal.
Indien een exponentiele vergelijking geen gelijke grondtallen
heeft gebruiken we logaritmen om een oplossing te vinden.
Exponentiele functies
Voorbeelden:
5x = 25√5 →
5x = 52 * 5 ½ → x = 2 ½
3 * ( ½ )x + 4 = 28 →
( ½ )x = 8 → 2-1* x = 23 → x = 3 / -1 → x = -3
3x = 4 →
Log3x = Log4 → x * Log3 = Log4 → x = Log4 / Log3 → x = 1,26
3x + 2 + 3x = 810 →
3x * 32 + 3x = 810 → 9 * 3x + 3x = 810 →
10 * 3x = 810 → 3x = 81 → 3x = 34 → x = 4
21
Exponentiele functies
Exponentiele ongelijkheden
Grafische oplossing
 Teken de grafieken van de functies uit het linker – en het rechterlid van
de ongelijkheid.
 Bereken de snijpunten van de beide grafieken.
 Lees de oplossing af uit de tekening




22
Algebraïsche oplossing
Schrijf linker- en rechterlid als één macht, beide met hetzelfde
grondtal.
Gebruik de volgende eigenschappen:
a.
als g > 1 geldt:
ga > gb ↔ a > b
b.
als 0 < g < 1 geldt:
ga > gb ↔ a < b
Exponentiele functies





23
Voorbeeld:
½ x-1 ≤ ½ 3x -5
Oplossing
½ x-1 ≤ ½ 3x -5 ↔ x – 1 ≥ 3x – 5 ↔
(0 < g < 1, teken klapt om)
-2x ≥ -4 ↔ x ≤ 2
(merk op dat het teken twee keer is omgeklapt)
Exponentiele functies
24
EINDE
Docent: M.J.Roos
WWW.HRO.MROOS.COM
25