Lang leve lineaire algebra
advertisement
Lang leve lineaire algebra André Ran Lang leve lineaire algebra André Ran – 1 Waarom is Lineaire Algebra zo belangrijk? Inleiding Storing van eigenwaarden Toepassingen (alleen maar een snelle greep) Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 2 Waarom is Lineaire Algebra zo belangrijk? Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Toepassingen (alleen maar een snelle greep) • Computer graphics Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 2 Waarom is Lineaire Algebra zo belangrijk? Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Toepassingen (alleen maar een snelle greep) • Computer graphics Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen • Markov ketens en Google’s Page Rank algorithme Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 2 Waarom is Lineaire Algebra zo belangrijk? Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Toepassingen (alleen maar een snelle greep) • Computer graphics Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje • Markov ketens en Google’s Page Rank algorithme • Image compression Lang leve lineaire algebra André Ran – 2 Waarom is Lineaire Algebra zo belangrijk? Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Toepassingen (alleen maar een snelle greep) • Computer graphics Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje • Markov ketens en Google’s Page Rank algorithme • Image compression • Imaging van (bijvoorbeeld) CT data Lang leve lineaire algebra André Ran – 2 Waarom is Lineaire Algebra zo belangrijk? Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Toepassingen (alleen maar een snelle greep) • Computer graphics Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje • Markov ketens en Google’s Page Rank algorithme • Image compression • Imaging van (bijvoorbeeld) CT data • Numerieke berekeningen van oplossingen van partiële differentiaalvergelijkingen Financiële wiskunde Lang leve lineaire algebra André Ran – 2 Waarom is Lineaire Algebra zo belangrijk? Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Toepassingen (alleen maar een snelle greep) • Computer graphics Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje • Markov ketens en Google’s Page Rank algorithme • Image compression • Imaging van (bijvoorbeeld) CT data • Numerieke berekeningen van oplossingen van partiële differentiaalvergelijkingen Financiële wiskunde • Netwerken en incidentie matrices Lang leve lineaire algebra André Ran – 2 Waarom is Lineaire Algebra zo belangrijk? Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Toepassingen (alleen maar een snelle greep) • Computer graphics Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje • Markov ketens en Google’s Page Rank algorithme • Image compression • Imaging van (bijvoorbeeld) CT data • Numerieke berekeningen van oplossingen van partiële differentiaalvergelijkingen Financiële wiskunde • Netwerken en incidentie matrices • en nog een bijna oneindige lijst... Lang leve lineaire algebra André Ran – 2 Waarom is Lineaire Algebra zo leuk? Inleiding Storing van eigenwaarden • Elementen zijn al in eerste jaar goed te leren Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 3 Waarom is Lineaire Algebra zo leuk? Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring • Elementen zijn al in eerste jaar goed te leren • Maar er blijft genoeg voor uitbreidingen en juist die zijn handig bij veel toepassingen Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 3 Waarom is Lineaire Algebra zo leuk? Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring • Elementen zijn al in eerste jaar goed te leren • Maar er blijft genoeg voor uitbreidingen en juist die zijn handig bij veel toepassingen Opmerkingen Conclusies Vraagje • Problemen vaak zo te formuleren dat een 2de jaars ze begrijpt Lang leve lineaire algebra André Ran – 3 Waarom is Lineaire Algebra zo leuk? Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring • Elementen zijn al in eerste jaar goed te leren • Maar er blijft genoeg voor uitbreidingen en juist die zijn handig bij veel toepassingen Opmerkingen Conclusies Vraagje • Problemen vaak zo te formuleren dat een 2de jaars ze begrijpt maar soms (erg) moeilijk te behandelen Lang leve lineaire algebra André Ran – 3 Verstoring van eigenwaarden Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 We bekijken een stukje lineaire algebra dat vaak voorkomt. Gegeven is een (soms heel grote) matrix A, en de opdracht is: bereken de eigenwaarden van een matrix A. Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 4 Verstoring van eigenwaarden Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 We bekijken een stukje lineaire algebra dat vaak voorkomt. Gegeven is een (soms heel grote) matrix A, en de opdracht is: bereken de eigenwaarden van een matrix A. Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Wat nu als we A maar bij benadering kennen? Dat doet zich nogal eens voor. Hoe betrouwbaar zijn dan de berekende eigenwaarden? Lang leve lineaire algebra André Ran – 4 Verstoring van eigenwaarden Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 We bekijken een stukje lineaire algebra dat vaak voorkomt. Gegeven is een (soms heel grote) matrix A, en de opdracht is: bereken de eigenwaarden van een matrix A. Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Wat nu als we A maar bij benadering kennen? Dat doet zich nogal eens voor. Hoe betrouwbaar zijn dan de berekende eigenwaarden? Ter herinnering: een (complex) getal λ heet een eigenwaarde van de matrix A als er een niet-nul vector x is zo dat Ax = λx. Lang leve lineaire algebra André Ran – 4 Voorbeeld 1 Inleiding Storing van eigenwaarden 1 0 0 A= 0 0 0 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 6 Wat zijn de eigenwaarden van A? Lang leve lineaire algebra André Ran – 5 Voorbeeld 1 Inleiding Storing van eigenwaarden 1 0 0 A= 0 0 0 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 6 Wat zijn de eigenwaarden van A? Natuurlijk! De getallen 1, 2, 3, 4, 5 en 6! Lang leve lineaire algebra André Ran – 5 Voorbeeld 1 Inleiding Storing van eigenwaarden 1 0 0 A= 0 0 0 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 6 Wat zijn de eigenwaarden van A? Natuurlijk! De getallen 1, 2, 3, 4, 5 en 6! Hoe betrouwbaar kunnen we die uitrekenen? Lang leve lineaire algebra André Ran – 5 Voorbeeld 1 Inleiding Storing van eigenwaarden 1 0 0 A= 0 0 0 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 6 Wat zijn de eigenwaarden van A? Natuurlijk! De getallen 1, 2, 3, 4, 5 en 6! Hoe betrouwbaar kunnen we die uitrekenen? Verstoor A met een random 6 bij 6, normaal verdeeld met variantie 1/100. Noem die nieuwe matrix Apert. 1 (In Matlab termen: Apert = A + 100 randn(6, 6).) Lang leve lineaire algebra André Ran – 5 Voorbeeld 1 Inleiding Storing van eigenwaarden 1 0 0 A= 0 0 0 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 6 Wat zijn de eigenwaarden van A? Natuurlijk! De getallen 1, 2, 3, 4, 5 en 6! Hoe betrouwbaar kunnen we die uitrekenen? Verstoor A met een random 6 bij 6, normaal verdeeld met variantie 1/100. Noem die nieuwe matrix Apert. 1 (In Matlab termen: Apert = A + 100 randn(6, 6).) Hoe dicht liggen de eigenwaarden van Apert bij de getallen 1 tot en met 6? Lang leve lineaire algebra André Ran – 5 De eigenwaarden van Apert Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 eig(Apert) = 0.9959, 6.0068, 1.9994, 4.9855, 3.9867, 2.9986. Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring 1 Opmerkingen Conclusies Vraagje 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 Lang leve lineaire algebra 0 1 2 3 4 5 6 7 André Ran – 6 De eigenwaarden van Apert Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 eig(Apert) = 0.9959, 6.0068, 1.9994, 4.9855, 3.9867, 2.9986. Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring 1 Opmerkingen 0.8 Conclusies 0.6 Vraagje 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 Mooi toch? Lang leve lineaire algebra André Ran – 6 De eigenwaarden van Apert Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 eig(Apert) = 0.9959, 6.0068, 1.9994, 4.9855, 3.9867, 2.9986. Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring 1 Opmerkingen 0.8 Conclusies 0.6 Vraagje 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 Mooi toch? Fouten in de eigenwaarde zijn van dezelfde orde van grootte 1 . als de verstoring van de matrix: ruwweg 100 Lang leve lineaire algebra André Ran – 6 Voorbeeld 2 Inleiding Storing van eigenwaarden Vorige voorbeeld was wat al te mooi: Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 7 Voorbeeld 2 Inleiding Storing van eigenwaarden Vorige voorbeeld was wat al te mooi: de ongestoorde matrix heeft daar eigenvectoren die mooi loodrecht op elkaar staan. Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 7 Voorbeeld 2 Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Vorige voorbeeld was wat al te mooi: de ongestoorde matrix heeft daar eigenvectoren die mooi loodrecht op elkaar staan. Bekijk Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra 1 0 0 A2 = 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 3 0 0 0 1 1 1 4 0 0 1 1 1 1 5 0 1 1 1 1 1 6 André Ran – 7 Voorbeeld 2 Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Vorige voorbeeld was wat al te mooi: de ongestoorde matrix heeft daar eigenvectoren die mooi loodrecht op elkaar staan. Bekijk 1 0 0 A2 = 0 0 0 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje 1 2 0 0 0 0 1 1 3 0 0 0 1 1 1 4 0 0 1 1 1 1 5 0 1 1 1 1 1 6 Deze heeft dezelfde eigenwaarden: 1 tot en met 6, maar geen orthogonale eigenvectoren. Lang leve lineaire algebra André Ran – 7 Voorbeeld 2 Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Vorige voorbeeld was wat al te mooi: de ongestoorde matrix heeft daar eigenvectoren die mooi loodrecht op elkaar staan. Bekijk 1 0 0 A2 = 0 0 0 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje 1 2 0 0 0 0 1 1 3 0 0 0 1 1 1 4 0 0 1 1 1 1 5 0 1 1 1 1 1 6 Deze heeft dezelfde eigenwaarden: 1 tot en met 6, maar geen orthogonale eigenvectoren. Verstoor A2 met dezelfde random 6 bij 6 matrix. Noem die nieuwe matrix Apert2. Lang leve lineaire algebra André Ran – 7 Voorbeeld 2 Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Vorige voorbeeld was wat al te mooi: de ongestoorde matrix heeft daar eigenvectoren die mooi loodrecht op elkaar staan. Bekijk 1 0 0 A2 = 0 0 0 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje 1 2 0 0 0 0 1 1 3 0 0 0 1 1 1 4 0 0 1 1 1 1 5 0 1 1 1 1 1 6 Deze heeft dezelfde eigenwaarden: 1 tot en met 6, maar geen orthogonale eigenvectoren. Verstoor A2 met dezelfde random 6 bij 6 matrix. Noem die nieuwe matrix Apert2. Hoe dicht liggen de eigenwaarden van Apert2 bij die van A2? Lang leve lineaire algebra André Ran – 7 Eigenwaarden van Apert2 Inleiding Storing van eigenwaarden eig(Apert2) = 1.0127, 6.0465, 4.9502, 1.9780, 3.9879, 2.9975. Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 1 0.8 Voorbeeld 3 Verklaring 0.6 Opmerkingen 0.4 Conclusies 0.2 Vraagje 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 Lang leve lineaire algebra 0 1 2 3 4 5 6 7 André Ran – 8 Eigenwaarden van Apert2 Inleiding Storing van eigenwaarden eig(Apert2) = 1.0127, 6.0465, 4.9502, 1.9780, 3.9879, 2.9975. Voorbeeld 1 1 Voorbeeld 2 0.8 Voorbeeld 3 0.6 Verklaring Opmerkingen 0.4 Conclusies 0.2 Vraagje 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 Nog wel redelijk: rode rondjes zijn de eigenwaarden van de verstoorde matrix, blauwe kruisjes de precies correcte eigenwaarden. Lang leve lineaire algebra André Ran – 8 Eigenwaarden van Apert2 Inleiding Storing van eigenwaarden eig(Apert2) = 1.0127, 6.0465, 4.9502, 1.9780, 3.9879, 2.9975. Voorbeeld 1 1 Voorbeeld 2 0.8 Voorbeeld 3 0.6 Verklaring Opmerkingen 0.4 Conclusies 0.2 Vraagje 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 Nog wel redelijk: rode rondjes zijn de eigenwaarden van de verstoorde matrix, blauwe kruisjes de precies correcte eigenwaarden. Er is wel wat meer afwijking, maar de orde van grootte is nog steeds dezelfde. Lang leve lineaire algebra André Ran – 8 Voorbeeld 3 Inleiding Storing van eigenwaarden Nog maar een voorbeeld Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 9 Voorbeeld 3 Inleiding Storing van eigenwaarden Nog maar een voorbeeld 0 0 0 A3 = 0 0 0 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 Wat is de enige eigenwaarde? Lang leve lineaire algebra André Ran – 9 Voorbeeld 3 Inleiding Storing van eigenwaarden Nog maar een voorbeeld 0 0 0 A3 = 0 0 0 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 Wat is de enige eigenwaarde? Juist ja! NUL! Lang leve lineaire algebra André Ran – 9 Voorbeeld 3 Inleiding Storing van eigenwaarden Nog maar een voorbeeld 0 0 0 A3 = 0 0 0 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 Wat is de enige eigenwaarde? Juist ja! NUL! Verstoor A3 met dezelfde random 6 bij 6 matrix. Noem die nieuwe matrix Apert3. Lang leve lineaire algebra André Ran – 9 Voorbeeld 3 Inleiding Storing van eigenwaarden Nog maar een voorbeeld 0 0 0 A3 = 0 0 0 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 Wat is de enige eigenwaarde? Juist ja! NUL! Verstoor A3 met dezelfde random 6 bij 6 matrix. Noem die nieuwe matrix Apert3. Hoe dicht liggen de eigenwaarden van Apert3 bij nul? Lang leve lineaire algebra André Ran – 9 De eigenwaarden van Apert3 Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 eig(Apert3) = −0.4798, −0.2482 + 0.4451i, −0.2482 − 0.4451i, Voorbeeld 3 Verklaring 0.2295 + 0.3877i, 0.2295 − 0.3877i, 0.4899. Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 10 De eigenwaarden van Apert3 Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 eig(Apert3) = −0.4798, −0.2482 + 0.4451i, −0.2482 − 0.4451i, 0.2295 + 0.3877i, 0.2295 − 0.3877i, 0.4899. Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Bummer! Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 10 De eigenwaarden van Apert3 Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 eig(Apert3) = −0.4798, −0.2482 + 0.4451i, −0.2482 − 0.4451i, 0.2295 + 0.3877i, 0.2295 − 0.3877i, 0.4899. Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Bummer! De fouten in de eigenwaarden zijn nu 50 keer zo groot als de storing van de matrix. Lang leve lineaire algebra André Ran – 10 De eigenwaarden van Apert3 Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 eig(Apert3) = −0.4798, −0.2482 + 0.4451i, −0.2482 − 0.4451i, 0.2295 + 0.3877i, 0.2295 − 0.3877i, 0.4899. Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Bummer! De fouten in de eigenwaarden zijn nu 50 keer zo groot als de storing van de matrix. Waardoor komt dat nou? Lang leve lineaire algebra André Ran – 10 In een plaatje Inleiding Storing van eigenwaarden 1 0.8 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 0.6 0.4 Verklaring Opmerkingen Conclusies 0.2 0 Vraagje −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1 Lang leve lineaire algebra −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 André Ran – 11 In een plaatje Inleiding Storing van eigenwaarden 1 0.8 Voorbeeld 1 0.6 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 0.4 Verklaring 0.2 Opmerkingen Conclusies 0 Vraagje −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Mooi symmetrisch rond nul, maar wel met een ERG grote afstand tot nul. Lang leve lineaire algebra André Ran – 11 Verklaring? Inleiding Storing van eigenwaarden Wat is de reden hierachter? Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 12 Verklaring? Inleiding Storing van eigenwaarden Wat is de reden hierachter? Bekijk de n × n matrix Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra 0 1 0 0 0 1 Jn (ε) = ... . . . . . . 0 ε 0 ··· ··· .. . 0 ··· 0 0 .. . 1 0 André Ran – 12 Verklaring? Inleiding Storing van eigenwaarden Wat is de reden hierachter? Bekijk de n × n matrix 0 1 0 0 0 1 Jn (ε) = ... . . . . . . 0 ε 0 ··· Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje ··· .. . 0 ··· 0 0 .. . 1 0 Voor ε = 0 is de enige eigenwaarde nul. Lang leve lineaire algebra André Ran – 12 Verklaring? Inleiding Storing van eigenwaarden Wat is de reden hierachter? Bekijk de n × n matrix 0 1 0 0 0 1 Jn (ε) = ... . . . . . . 0 ε 0 ··· Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje ··· .. . 0 ··· 0 0 .. . 1 0 Voor ε = 0 is de enige eigenwaarde nul. Voor ε > 0 is de karakteristieke vergelijking det(λ · In − Jn (ε)) = λn − ε = 0. Lang leve lineaire algebra André Ran – 12 En dus.... Inleiding Storing van eigenwaarden De eigenwaarden zijn dan de getallen Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 √ n εe kπ i n , met k = 0, 1, . . . , n − 1. Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 13 En dus.... Inleiding Storing van eigenwaarden De eigenwaarden zijn dan de getallen √ n Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen εe kπ i n , met k = 0, 1, . . . , n − 1. √ Keurig in een cirkeltje om nul, met straal n ε. Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 13 En dus.... Inleiding Storing van eigenwaarden De eigenwaarden zijn dan de getallen √ n Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen εe kπ i n , met k = 0, 1, . . . , n − 1. √ Keurig in een cirkeltje om nul, met straal n ε. Conclusies Vraagje 1 wordt dat Voor n = 6, en ε = 100 Lang leve lineaire algebra q 6 1 100 = 0.4642. André Ran – 13 Ter vergelijking Inleiding Storing van eigenwaarden 1 0.8 Voorbeeld 1 0.6 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 0.4 Verklaring 0.2 Opmerkingen Conclusies 0 Vraagje −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 ), rode rondjes de Blauwe kruisjes zijn de eigenwaarden voor J6 ( 100 1 eigenwaarden voor de random storing J6 (0) + 100 randn(6, 6). Lang leve lineaire algebra André Ran – 14 Voor grotere waarden van n Inleiding Storing van eigenwaarden Voor elke ε > 0 weten we natuurlijk nog wel limn→∞ √ n ε = 1. Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 15 Voor grotere waarden van n Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 √ Voor elke ε > 0 weten we natuurlijk nog wel limn→∞ n ε = 1. √ 128 Voor J128 (ε) worden de eigenwaarde van de grootte-orde ε, Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 15 Voor grotere waarden van n Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring √ Voor elke ε > 0 weten we natuurlijk nog wel limn→∞ n ε = 1. √ 128 Voor J128 (ε) worden de eigenwaarde van de grootte-orde ε, en voor ε = 10−8 (zogenaamde “single precision”) komt dat op 16√1 ≈ 0.8660, 10 wat dus een factor 107 en meer er naast zit. Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 15 Voor grotere waarden van n Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies √ Voor elke ε > 0 weten we natuurlijk nog wel limn→∞ n ε = 1. √ 128 Voor J128 (ε) worden de eigenwaarde van de grootte-orde ε, en voor ε = 10−8 (zogenaamde “single precision”) komt dat op 16√1 ≈ 0.8660, 10 wat dus een factor 107 en meer er naast zit. n = 128, ε = 10−4 . Vraagje 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 Lang leve lineaire algebra −1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 André Ran – 15 Opmerkingen Inleiding Storing van eigenwaarden Dit is allemaal ouwe koek, Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 16 Opmerkingen Inleiding Storing van eigenwaarden Dit is allemaal ouwe koek, het gaat terug op Wilkinson, de “Godfather” van de numerieke lineaire algebra. Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 16 Opmerkingen Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Dit is allemaal ouwe koek, het gaat terug op Wilkinson, de “Godfather” van de numerieke lineaire algebra. Diepere verklaringen maken gebruik van Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 16 Opmerkingen Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Dit is allemaal ouwe koek, het gaat terug op Wilkinson, de “Godfather” van de numerieke lineaire algebra. Diepere verklaringen maken gebruik van Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies • theorie van pseudo-spectra, Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 16 Opmerkingen Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Dit is allemaal ouwe koek, het gaat terug op Wilkinson, de “Godfather” van de numerieke lineaire algebra. Diepere verklaringen maken gebruik van Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje • theorie van pseudo-spectra, • eindige sectie methoden in de operatorentheorie, Lang leve lineaire algebra André Ran – 16 Opmerkingen Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Dit is allemaal ouwe koek, het gaat terug op Wilkinson, de “Godfather” van de numerieke lineaire algebra. Diepere verklaringen maken gebruik van Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje • theorie van pseudo-spectra, • eindige sectie methoden in de operatorentheorie, • Szegö limiet stellingen. Lang leve lineaire algebra André Ran – 16 Conclusies Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 17 Conclusies Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 • Eigenwaarden kun je prima uitrekenen als er geen dubbele eigenwaarden zijn, of eigenwaarden die erg dicht bij elkaar liggen. Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 17 Conclusies Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 • Eigenwaarden kun je prima uitrekenen als er geen dubbele eigenwaarden zijn, of eigenwaarden die erg dicht bij elkaar liggen. Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen • Zelfs dat laatste is niet erg, als de eigenvectoren dan maar loodrecht op elkaar staan. Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 17 Conclusies Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 • Eigenwaarden kun je prima uitrekenen als er geen dubbele eigenwaarden zijn, of eigenwaarden die erg dicht bij elkaar liggen. Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen • Zelfs dat laatste is niet erg, als de eigenvectoren dan maar loodrecht op elkaar staan. Conclusies Vraagje • Het leven wordt minder fraai als de eigenvectoren een kleine hoek met elkaar maken, Lang leve lineaire algebra André Ran – 17 Conclusies Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 • Eigenwaarden kun je prima uitrekenen als er geen dubbele eigenwaarden zijn, of eigenwaarden die erg dicht bij elkaar liggen. Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen • Zelfs dat laatste is niet erg, als de eigenvectoren dan maar loodrecht op elkaar staan. Conclusies Vraagje • Het leven wordt minder fraai als de eigenvectoren een kleine hoek met elkaar maken, • of als er deficiënties optreden: de multipliciteit van de eigenwaarde is niet de dimensie van de bijbehorende eigenruimte. Lang leve lineaire algebra André Ran – 17 Conclusies Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 • Eigenwaarden kun je prima uitrekenen als er geen dubbele eigenwaarden zijn, of eigenwaarden die erg dicht bij elkaar liggen. Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen • Zelfs dat laatste is niet erg, als de eigenvectoren dan maar loodrecht op elkaar staan. Conclusies Vraagje • Het leven wordt minder fraai als de eigenvectoren een kleine hoek met elkaar maken, • of als er deficiënties optreden: de multipliciteit van de eigenwaarde is niet de dimensie van de bijbehorende eigenruimte. • En in dat geval kan het ook complete nonsens opleveren. Lang leve lineaire algebra André Ran – 17 Reclame en vraag Inleiding Storing van eigenwaarden 14–18 Juli: Vijfde European Congress of Mathematics in Amsterdam 5ECM Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 18 Reclame en vraag Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 14–18 Juli: Vijfde European Congress of Mathematics in Amsterdam 5ECM website http://www.5ecm.nl Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 18 Reclame en vraag Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring 14–18 Juli: Vijfde European Congress of Mathematics in Amsterdam 5ECM website http://www.5ecm.nl Zoeken nog hulp van (master) studenten wiskunde/BWI/SFM die week. Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 18 Reclame en vraag Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen 14–18 Juli: Vijfde European Congress of Mathematics in Amsterdam 5ECM website http://www.5ecm.nl Zoeken nog hulp van (master) studenten wiskunde/BWI/SFM die week. Meld je aan bij ondergetekende! Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 18 Tot besluit Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra André Ran – 19 Tot besluit Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra NOU BEN IK UITGE***D, André Ran – 19 Tot besluit Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje Lang leve lineaire algebra NOU BEN IK UITGE***D, EN HEB IK DORST! André Ran – 19 Tot besluit Inleiding Storing van eigenwaarden Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verklaring Opmerkingen Conclusies Vraagje NOU BEN IK UITGE***D, EN HEB IK DORST! BARMAN, HOE LAAT GAAT DE BAR OPEN? Lang leve lineaire algebra André Ran – 19
