Simon Hoebeeck de atoomfysica : de elektronenspin Hedendaagse

Hedendaagse implementatie van basisexperimenten uit
de atoomfysica : de elektronenspin
Simon Hoebeeck
Promotoren: prof. dr. Paul Matthys, dr. ir. Henk Vrielinck
Begeleiders: Dmitry Zverev, dr. ir. Henk Vrielinck
Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van
Burgerlijk natuurkundig ingenieur
Vakgroep Vaste-stofwetenschappen
Voorzitter: prof. dr. Paul Clauws
Faculteit Ingenieurswetenschappen
Academiejaar 2007-2008
Hedendaagse implementatie van basisexperimenten uit
de atoomfysica : de elektronenspin
Simon Hoebeeck
Promotoren: prof. dr. Paul Matthys, dr. ir. Henk Vrielinck
Begeleiders: Dmitry Zverev, dr. ir. Henk Vrielinck
Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van
Burgerlijk natuurkundig ingenieur
Vakgroep Vaste-stofwetenschappen
Voorzitter: prof. dr. Paul Clauws
Faculteit Ingenieurswetenschappen
Academiejaar 2007-2008
Toelating tot bruikleen
De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van
de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen
van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te
vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie.
2 juni 2008
Dankwoord
Deze masterthesis kon slechts tot stand komen dankzij de hulp van vele personen.
De belangrijkste onder hen was mijn promotor, professor Paul Matthys, die open stond voor het
idee om het Stern-Gerlach experiment nieuw leven in te blazen. Dankzij hem, konden ook zijn
collega’s en medewerkers op de Sterre warm gemaakt worden voor dit project.
Het enthousiasme waaide over naar mijn begeleiders Henk Vrielinck en Dmitry Zverev, die ik
zowel dankbaar ben voor de wetenschappelijke steun als de technologische bijstand. Daarnaast
was het menselijk contact ook een meerwaarde, en ik heb kunnen genieten van de pauze’s die we
vriendschappelijk hebben kunnen doorbrengen.
In het bijzonder wens ik Alex Colpaert te bedanken voor zijn tomeloze inzet, om samen met mij,
maar nog vaker alleen verder te speuren naar de details waarover we telkens opnieuw struikelden.
Zonder zijn technische bagage, zou het Stern-Gerlach experiment nooit binnen op één academiejaar
klaargeraakt zijn.
Ik wens ook Henk, Jutho en Jelle te bedanken voor het (veelvuldig) nalezen van mijn tekst. Hun
oog voor detail heeft ervoor gezorgd dat ik tot in de puntjes zeker kan zijn dat deze tekst af is
geraakt.
Mijn laatste woord van dank m.b.t. deze thesis gaat uit naar mijn vriendin Katrien, die uren
gespendeerd heeft aan de computer om mijn veeleisende ontwerpen voor de figuren te realiseren.
Het oog wil ook wat, en dankzij haar krijgt het dat ook.
Tot slot wens ik mijn ouders te bedanken voor de jarenlange onvoorwaardelijke steun gedurende
heel mijn studies, vooral tijdens de moeilijke eerste jaren. Ze hebben mij de kans gegeven te slagen
in waar ik naar streefde, en dat dit streven uiteindelijk gelukt is, mag de beste dankbetuiging zijn
die ik hen kan bieden.
i
Samenvatting
Deze thesis beschrijft de digitalisering van twee experimenten uit de atoomfysica: het SternGerlach experiment en het Zeeman-effect. Beide experimenten hebben in belangrijke mate bijgedragen tot de ontwikkeling van de kwantummechanica.
Het Stern-Gerlach experiment handelt over de afbuiging van een neutrale bundel kaliumatomen
door middel van een magnetisch veld. Volgens de klassieke fysica leidt dit tot een continue
distributie van afgebogen atomen, doch het resultaat is een discreet afbuigingspatroon van twee
gescheiden pieken. Dankzij deze proef was het mogelijk om het idee van ‘ruimtelijke’ kwantisatie
uit de Bohr-Sommerfeldtheorie aan te tonen. Enkele jaren na het realiseren van dit experiment,
kon een correcte verklaring worden gegeven dankzij de introductie van het concept ‘spin’.
Het doel van deze masterproef was het herhalen en moderniseren van dit experiment. De aansturing van de magneet die de bundel afbuigt en de uitlezing van de detector zijn gedigitaliseerd.
Voor de bediening is een Labview-interface gecreëerd die het experiment aanstuurt en de afbuiging
visueel maakt. Op basis van de nieuwe opstelling is het mogelijk om de waarde van het Bohrmagneton te berekenen. De berekende waarden liggen in het interval [7,5 ; 9,5] ×10−24 J/T ,
hetgeen de correcte waarde µB = 9,27×10−24 J/T goed benadert.
Het Zeeman-effect beschrijft de opsplitsing van de spectraallijnen van een atoom, in casu kwik,
onder invloed van een homogeen magnetisch veld. Het is een manifestatie van de opheffing van de
residuele ontaarding van de energieniveaus van een atoom door interactie met een extern veld. Het
werk rond de Zeeman-opstelling beperkte zich tot het digitaal aansturen van een nieuw digitaal
fototoestel en de elektromagneet. Het experiment wordt gestuurd vanuit een Labview-programma
dat de opsplitsing van het Fabry-Pérot interfererentiepatroon aanschouwelijk maakt, en tegelijk
digitale toegang tot de data verschaft.
De combinatie van het Stern-Gerlach experiment en de Zeeman-proef bieden een uniek geheel
om de theorie uit de cursussen Kwantummechanica en Atoom- en Molecuulfysica experimenteel
te staven. Dankzij de moderne uitvoering zijn deze fundamentele experimenten snel toegankelijk
voor de toekomstige studenten Natuurkunde en Burgerlijk Ingenieur.
Trefwoordenlijst
Stern-Gerlach experiment, Spin, Bohr-magneton, Zeeman-effect, Digitalisering
ii
Modern implementation of basic experiments of
atomic theory: the spin of electrons
Simon Hoebeeck
Supervisor(s): Paul Matthys, Henk Vrielinck, Dmitry Zverev
Abstract—This article describes a modern implementation of the SternGerlach experiment and the Zeeman effect. Both setups are automized and
allow for an efficient operation for a student laboratory exercise.
Keywords— Stern-Gerlach experiment, Spin, Bohr-magneton, Zeemaneffect, Digitalization
I. I NTRODUCTION
T
HIS master thesis concerned two experiments from Quantum Mechanics and Atomic Theory of Matter, more specifically the Stern-Gerlach experiment(SGE) and the Zeeman effect(ZE). The ZE involves the splitting of the atomic spectral
lines inside a homogeneous magnetic field. The SGE describes
the beam deflection of neutral particles with J~ 6= 0 using a magnetic field gradient.
The ZE was discovered in the late 19th century, and efforts to
provide an explanation of the results gave rise to new concepts
in existing atomic theories, like ‘space quantisation’ in the BohrSommerfeld theory[1]. In 1921, an experiment was performed
by Stern and Gerlach to test these concepts to distinguish between classical theories and quantum descriptions of matter. In
was not until 1927 that the role of ‘electronspin’ was identified
to explain the results in both SGE and ZE.
The objective for the SGE was threefold : making the present
equipment ready for operation, automate the experiment and
reevaluate the measurements in terms of correspondence with
the original results. A working setup for the ZE was already
present, so here the objective was limited to making the experimental data accessible in digital form. The final goal was to
provide two reproducable student experiments for demonstration purposes for future students in (applied) physics.
II. T HE S TERN -G ERLACH E XPERIMENT
A. Original setup
The SGE was developed to study the influence of a inhomogeneous magnetic field on a beam of neutral atoms. The experiment was done in a high vacuum where silver was evaporated in
an oven and sent through the field induced by an electromagnet.
The silver was deposited onto a glass plate, and the experiment
was repeated for varying field strenghts. The result obtained was
a beam splitting caused by the magnetic field, an experimental
proof of space quantization[1,2].
B. Modern setup
In the late 80’s, a Stern-Gerlach setup was bought from
Phywe. It features several improvements with respect to the
S. Hoebeeck is a student in the second year of the Master of Science in Engineering Physics (2007-2008), Ghent University (UGent), Ghent, Belgium. Email: [email protected].
Fig. 1. The Stern-Gerlach effect for different values of the magnetic field.
Measuered current for 0T (white), 0,1T . . . , 0,7T (darkblue).
original experiment[3]. A beam of potassium atoms (K) is used
since it has a lower melting point. The glass plate is replaced by
a hot-wire detector that iononizes incident atoms, thereby creating a current in an external electric circuit.
C. Results
In order to automize the experiment, several changes to
the existing setup were made. An interface with peripheral
equipment was assembled, to control the experiment from a
user interface generated in Labview. This program called
Stern-Gerlach.exe allows for a configuration of additional hardware, used for digitizing the experiment.
First, the current through the electromagnet is controlled by the
program. Secondly, the detector current is read out digitally,
and displayed at the Labview interface in order to visualize the
deflection pattern. Finally, the lateral sweep of all detector positions is obtained by a stepper motor fixed to the vacuum tube.
The step resolution is made adjustable at the Labview interface.
Stern-Gerlach.exe runs the experiment and visualizes the
detector signal. It saves all necessary data for an analysis of the
deflected beam pattern. Based on this, one can calculate the
atomic moment of potassium, a value which accidentally coincides with the Bohr-magneton µB =9,27 ×10−24 J/T. Figure
1 shows the result of 7 consecutive measurements of the SGE,
each at a different value of the applied magnetic field. The corresponding values of µB are summarized in Table I, indicating
that the results are in the right order of magnitude.
D. Discussion
The deflection of the beam into two seperate directions can
be explained when introducing spin magnetic moments. Since
TABLE I
B OHRMAGNETON FOR DIFFERENT VALUES OF THE MAGNETIC FIELD .
B [T ]
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
µB [J/T ]
n/a
n/a
9,42 ×10−24
9,15 ×10−24
9,41 ×10−24
7,20 ×10−24
8,42 ×10−24
8,59 ×10−24
in the case of K atoms, the angular momentum L = 0, the effects are due to a quantum mechanical operator with only 2 halfinteger eigenvalues: spin-up and spin-down[2].
It is important to note that for quantum theoretical reasons,
one can say that the magnetic field should have both a homogeneous and a gradient part in order to cause deflection[4]. This
contrasts strongly with the classical explanation of the net force.
There were several obstacles in order to obtain a reliable experiment. In particular, the contamination of the detector area by
the potassium played a major role in the original failing of the
experiment. A rather extensive treatment is proposed to get the
detector operational. Furher research regarding this topic might
overcome this crucial factor.
Fig. 2. Pattern of concentric rings without magnetic field applied.
III. T HE Z EEMAN EFFECT
A. Experimental setup
In the ZE the effect of a homogeneous magnetic field on the
spectral lines of an atom is investigated. The experiment is performed in the 546nm line of a low-pressure mercury lamp. A
Fabry-Prot etalon (FP) is used to seperate wavelenghts. The
interference pattern for a single wavelength is a set of concentric rings. When applying a magnetic field, each of these rings
splits up in 9, and the separation between these subrings is to
first order linear in the magnetic field[2]. This is due to lifting
of the residual degeneracy (2MJ + 1) of energy levels of the
Hg-atom in the presence of the field.
B. Results
The automation of data aquisition is achieved through a user
interface in Labview called Zeeman.exe. This program controls the current through the magnet, and controls the digital
camera, providing images of the FP interference patterns. These
images are also displayed by the user interface (Figure 2), and
a mouse-controlled line display is provided as well, facilitating
the analysis of the interference patterns(Figure 3). These data
are digitally accessible for post-processing.
C. Discussion
The ZE is fully automized in the present setup. It is considered a drawback that the intensity pattern to be saved, is controlled manually. An improvement could be made which automatically selects the right cross-section on the digital photograph, through pattern recognition software.
Fig. 3. Intensity pattern without magnetic field along the line indicated in
Figure 2.
IV. C ONCLUSIONS
The work done in this master thesis has led to an automation
of both the Stern-Gerlach experiment and the Zeeman effect.
The SGE provides data which allow a calculation of the Bohr
magneton with reasonable accuracy. The modern setups are to
be used as a supplement to the education of future students in
atomic and molecular physics at Ghent University.
R EFERENCES
[1] J. Mehra, H. Rechenberg, The Historical Development of
Quantum Theory, vol. 1, parts 1 & 2, Springer-Verlag, New
York (1982)
[2] P. Matthys, Atoom- en Molecuulfysica, course teached at
Ghent University in the year 2006-2007
[3] Phywe Stern-Gerlach-Apparatur Gottingen (edition 1988)
[4] J. Lieberman, Dept. of Physics, M.I.T., Cambridge, Massachusetts (1998)
Inhoudsopgave
1 Inleiding
1
I
2
Het Stern-Gerlach experiment.
2 Stern, Gerlach, en hun tijd.
3
2.1
Otto Stern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Walther Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Fysica anno 1900 - 1920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Theoretische beschouwingen
7
3.1
Voorgeschiedenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
Klassieke Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2.1
Interactie materie-magnetisch veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2.2
Bundeldistributie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2.3
Klassieke verwachting van het magnetisch moment . . . . . . . . . . . .
13
3.2.4
Semi-klassieke theorie van Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3
Observatie en verklaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.4
Kwantummechanische oorsprong van de opsplitsing . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.5
Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4 Experimentele Opstelling
4.1
23
Oorspronkelijke opstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
23
INHOUDSOPGAVE
4.2
4.3
4.4
iv
Hedendaagse opstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.2.1
Kalium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.2.2
Vacuümpomp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2.3
Oven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.2.4
Detector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.2.5
Magneet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Digitale aansturing
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.3.1
PC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3.2
Signaalconvertor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3.3
Aansturing digitale/analoge modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3.4
Aansturing stappenmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.3.5
Aansturing magneet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.3.6
Volledige opstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.3.7
Blokschema’s van de opstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Gebruik programma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.4.1
Instelling parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.4.2
Configuratie hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5 Analyse van de resultaten
II
39
5.1
Berekening van het Bohr-magneton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.2
Systematische analyse van de bundelopsplitsing . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.3
Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Het Zeeman-effect.
6 Het Zeeman-effect
44
45
6.1
Historische context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.2
Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.2.1
47
Het anomaal Zeeman-effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INHOUDSOPGAVE
6.2.2
Het Zeeman-effect bij kwik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Practicumopstelling van het Zeeman-effect.
v
48
50
7.1
Oorspronkelijke opstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
7.2
Gedigitaliseerde opstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
7.3
Labview-programma voor het Zeeman-effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
8 Algemeen besluit
56
A Oorsprong van de Hamiltoniaan in vergelijking (3.54)
57
B Elektrisch schema Stern-Gerlach
59
C Labview-programma
60
C.1 Stern-Gerlach.exe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
C.1.1
Algemene syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
C.1.2
SubVI’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
C.2 Zeeman.exe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
C.2.1
Algemene syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
C.2.2
SubVI’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
D Referenties
65
D.1 Literatuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
D.2 Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Hoofdstuk 1
Inleiding
In 1922 publiceerden de wetenschappers Otto Stern en Walter Gerlach een artikel over een experiment dat ze hadden uitgevoerd aan de Universiteit van Frankfurt. Het experiment behandelde
de afbuiging van een bundel neutrale zilveratomen door middel van een inhomogeen magnetisch
veld. Sindsdien wordt het Stern-Gerlach-experiment als één van de mijlpalen van de moderne
natuurkunde beschouwd, en het is anno 2008 nog steeds voer voor discussie en heranalyse. Het
experiment, en de theoretische verklaring ervan, zijn standaard geworden in zowat elk boek dat
over de beginselen van de kwantummechanica handelt. Het doel van deze masterthesis is het moderniseren van een practicumopstelling van het Stern-Gerlach experiment. De digitale technologie
en software van de 21e eeuw worden losgelaten op de oorspronkelijke set-up om de analyse te
vereenvoudigen en sneller toegankelijk te maken, zodat het toegankelijk wordt voor toekomstige
studenten Natuurkunde of Burgelijk Ingenieur tijdens een demonstratieproef.
Het eerste deel van de thesis beschrijft in detail het opzet van het experiment en de theorie
die hierachter schuil gaat. Het is echter zo dat heel wat misverstanden gecreëerd zijn over de
omstandigheden waarin de proef tot stand kwam, en deze zijn tijdens de overlevering steeds
overgenomen tot in de huidige tekstboeken toe. Om enkele misvattingen aan te kaarten, wordt
het theoretisch gedeelte voorafgegaan door een schets van het historisch wetenschappelijk kader
om het experiment in het juiste daglicht te stellen. Het tweede stuk handelt over de modernisering
van de apparatuur om tot een efficiëntere proef te komen, en de slaagkans van het demopracticum
te verhogen. Het deel over Stern-Gerlach wordt afgerond met een beschrijving van het programma
dat het experiment digitaal aanstuurt, aangevuld met een analyse van een meetsessie die als
voorbeeld voor het practicum kan dienen.
Het tweede deel van de masterproef handelt over de modernisering van het Zeeman-effect. In
dit experiment wordt het effect van een magnetisch veld op de spectraallijnen van een atoom
onderzocht. Na een korte herhaling van de theorie, wordt uiteengezet hoe de digitalisering van
deze proef is gerealiseerd. Het resultaat is de digitale toegang tot de meetgegevens om de analyse
van het Zeeman-effect efficiënter door te voeren.
1
Deel I
Het Stern-Gerlach experiment.
2
Hoofdstuk 2
Stern, Gerlach, en hun tijd.
2.1
Otto Stern
Otto Stern (◦ 1888 − †1969) was een Duits fysicus geboren te
Sohrau[1,2]. In 1912 behaalde hij een doctoraat in de fysische chemie
aan de Universiteit van Breslau. Hij werd één van de eerste postdoctorale studenten van Albert Einstein, eerst in Praag en nadien
in Zürich[3]. Onder invloed van Einstein raakte hij geı̈nteresseerd in
magnetisme, statistische mechanica en de kwantisatie van licht in
fotonen. Rond die tijd kwam Stern voor het eerst in contact met het
revolutionaire atoommodel van Niels Bohr. Zoals de meeste natuurkundigen die hiermee kennis maakten, was zijn interesse in de ware
aard van de natuur en haar atomen gewekt.
Figuur 2.1: Otto Stern[A].
Toen Einstein net voor het begin van de eerste Wereldoorlog verhuisde naar Berlijn, keerde Stern
terug naar Duitsland om docent in theoretische natuurkunde te worden aan de Universiteit van
Frankfurt. Na de oorlog werd hij assistent van Max Born aan het Instituut voor Theoretische
Fysica in Frankfurt. Het was hier dat hij zijn interesse ontwikkelde voor de moleculaire bundeltechnieken. Dit principe had hij opgepikt uit de experimenten van Louis Dunoyer uit 1911. Deze
had aangetoond dat ‘moleculaire stralen’ van verdampt natrium in vacuüm rechte banen afleggen.
De simpliciteit van dit experiment intrigeerde Stern, en hij zag er een manier in om macroscopische
metingen te doen op geı̈soleerde neutrale atomen. Het was van toen af zijn doel om met deze
techniek fundamentele veronderstellingen van een theorie rechtstreeks te testen op de schaal van
de atomen[4].
Het enthousiasme van Stern werd overgenomen door zijn mentor Born, die samen met studente
Elisabeth Borman erin slaagde de vrije weglengte van een bundel zilveratomen (Ag) te bepalen[3].
Stern berekende op zijn beurt de thermische snelheidsverdeling van zo’n bundel Ag-atomen, een
distributie die door de kinetische gastheorie werd voorspeld. Beide resultaten waren een mooi platform om ook de Bohr-theorie aan een experiment te onderwerpen, hetgeen hij in 1922 realiseerde
met de hulp van Walther Gerlach.
3
HOOFDSTUK 2. STERN, GERLACH, EN HUN TIJD.
4
In 1923 werd hem een professorschap aangeboden aan de Universiteit van Hamburg, waar hij
het hoofd werd van de afdeling fysische chemie. Hij bekleedde deze functie tot de dreiging van
het Nationaal-Socialisme in Duitsland hem in 1933 deed uitwijken naar het Carnegie Institute of
Technology in Pittsburgh. Sindsdien speelde hij geen grote rol meer in de ontwikkeling van de
natuurkunde.
Otto Stern kreeg in 1943 de Nobelprijs voor de Fysica voor het meten van het magnetisch moment
van het proton met zijn moleculaire bundelmethode. Het is echter het experiment dat hij in 1922
verrichte met Walther Gerlach dat hem het meeste naam en faam opgeleverd heeft.
2.2
Walther Gerlach
Walther Gerlach (◦ 1889 − †1979) werd geboren in Biebrich in
Duitsland[2,5]. Hij studeerde natuurkunde aan de Universiteit van
Tübingen, en specialiseerde zich in straling van zwarte lichamen en
het fotoëlektrisch effect. Na zijn doctoraat bleef hij werken bij Friedrich Paschen tot hij in 1915 werd ingeschakeld bij het Duitse leger
om met Wilhelm Wien de draadloze telegrafie te helpen ontwikkelen.
In 1920 werd hij aangesteld als assistent in het Instituut voor Experimentele Fysica in Frankfurt, nabij het instituut van Max Born.
Figuur 2.2: Walther Gerlach[B].
Zowel Born als Stern vonden de komst van Gerlach een zegen voor de universiteit. De theoretici
hadden snel hun gebreken ontdekt inzake experimentele fysica. Hoewel ze ook zonder zijn hulp
de eerste moleculaire bundels konden opwekken en bestuderen, hadden ze met Gerlach een experimentator pur sang in hun rangen. Daarenboven was Gerlach reeds vertrouwd met de techniek
van Louis Dunoyer om bundels van neutrale atomen of moleculen te genereren. Zijn werkelijke
meerwaarde was echter het ontwerp van de stroomkring die het gewenste magnetisch veld voor
het Stern-Gerlach experiment kon opwekken.
Na het experimentele pionierswerk met Stern, keerde Gerlach in 1925 terug naar Tübingen om
het professorschap van Paschen over te nemen. Nog later verhuisde hij naar de Universiteit van
München om in de zetel van Wien plaats te nemen na diens dood. Deze positie bekleedde hij,
mits enkele tussenpozen, tot bij zijn pensioen in 1957.
Tijdens de tweede Wereldoorlog was hij het hoofd van het natuurkundig onderzoek in het Derde
Rijk. Hij was onder andere bevoegd voor nucleaire fysica. Op het eind van de oorlog werd hij
er door de Britten van verdacht betrokken te zijn bij het onderzoek naar atoomwapens door de
nazi’s. Hij is echter nooit lid geweest van de nazi-partij, en is ook onder het nazi-bewind een
fervent verdediger gebleven van de ‘Joodse wetenschap’, waarvan Einstein het boegbeeld was. In
tegenstelling tot zijn collega Stern, ontving Walther Gerlach nooit een Nobelprijs...
HOOFDSTUK 2. STERN, GERLACH, EN HUN TIJD.
2.3
5
Fysica anno 1900 - 1920
Aan het einde van de 19e eeuw was de opvatting dat de fysica een bijna afgerond geheel was, niet
van de lucht. Op enige anomalieën na, vond het gros van de natuurkundige verschijnselen een
verklaring binnen de bestaande theorieën. Ironisch genoeg waren het net deze laatste stuiptrekkingen van onverklaarbare effecten die de aanleiding waren voor de drastische koerswijziging in de
20e eeuw die alle waarheden van vroeger van tafel veegde.
Eén van deze overgebleven grillen van Moeder Natuur, was de verbreding van spectraallijnen van
natrium onder invloed van een magnetisch veld. Dit verschijnsel werd ontdekt en bestudeerd
door de Nederlandse natuurkundige Pieter Zeeman[6]. Men kon het effect eigenlijk opsplitsen in
een deel dat te verklaren was met een klassieke theorie, en een deel dat daar buiten viel. Dit
laatste is de geschiedenis ingegaan als het anomale Zeeman-effect, en het kruim van een generatie
wetenschappers heeft zich hierover het hoofd gebroken.
Het Zeeman-effect sterkte het geloof in het bestaan van elektronen binnenin de atomen, iets dat
al geopperd was na de ontdekking van kathode- en β-straling. Thomson was de eerste die de stap
zette naar een model van atomaire structuur, waarin een zee van positieve en negatieve ladingen
elkaar uitbalanseren[7]. Rutherford en zijn medewerkers verbeterden dit model door het bestaan
van een positief geladen kern aan te tonen, die bovendien massief was t.o.v. een uitgesmeerde
zee aan elektronen[7]. Hij ging ervan uit dat de positief geladen kern van het waterstofatoom een
elementair deeltje was, het proton1 .
Parallel met deze ontwikkelingen, kreeg ook de theorie van het elektromagnetisme een nieuwe
impuls. In een ultieme poging om het spectrum van zwarte stralers te verklaren, veronderstelde
Max Planck in 1900 dat energie uitgestraald werd in kleine pakketjes of kwanta[8]. De energie
van deze pakketjes van straling was evenredig ondersteld met de frequentie van de straling zelf.
Dit idee zorgde voor een oplossing van de ultravioletcatastrofe, en gaf een volledige verklaring
van de distributie van de energiedichtheid van de zwarte stralers. Deze theorie was de eerste
die postuleerde dat een fysische grootheid slechts in discrete waarden kon voorkomen, m.a.w. de
kwantummechanica was geboren.
Het was vrij snel duidelijk dat de eerste modellen lang niet alle problemen konden oplossen. Een vrij fundamenteel probleem zoals het
verklaren van het spectrum van waterstof was nog altijd niet opgelost, tot een tot dan toe onbekende Deen in 1913 op de proppen
kwam met een artikel ‘On the Constitution of Atoms and Molecules’[9]. Deze wetenschapper was Niels Bohr. In zijn artikel werd het
atoommodel van Rutherford op een ingenieuze wijze gecombineerd
met de kwantumtheorie van straling van Planck.
Figuur 2.3: Niels Bohr[C].
Het beeld van de atoomstructuur dat hieruit volgde was revolutionair: een mechanische grootheid
1
Het duurde nog tot 1932 vooraleer de Britse fysicus James Chadwick het bestaan van een derde atomair
deeltje ontdekte. Dit deeltje was van dezelfde grootte-orde qua massa als het proton, doch elektrisch neutraal.
Hij noemde het dan ook een ‘neutron’[7].
HOOFDSTUK 2. STERN, GERLACH, EN HUN TIJD.
6
als impulsmoment kon slechts discrete waarden aannemen. Een rechtstreeks gevolg hiervan was
kwantisatie van de orbitaalstraal2 , en daarmee ook de discretisatie van energieniveaus van de
elektronen in een atoom. De theorie verklaarde de spectraallijnen van het waterstofatoom volledig,
doch voldeed niet als model: het bleek al spoedig dat Bohr enkel waterstofachtige3 atomen en
ionen kon beschrijven. Voor helium en andere elementen met meer dan één elektron (en dus ook
meer dan één proton), gaf de theorie geen correcte verklaring[8].
Desondanks leek een uitloper van het Bohr-model een uitweg te bieden uit de impasse die het
Zeeman-effect had achtergelaten. Arnold Sommerfeld stelde in 1916 een aanpassing voor van de
Bohr-theorie, waarin de circulaire banen door elliptische werden vervangen[10]. Volgens Sommerfeld kon echter ook het vlak van de elektronbaan slechts een beperkt aantal hoeken insluiten met
de richting van een opgelegd veld. Deze veronderstelling impliceerde een bijkomende kwantisatie
die naast de positie en de vorm van de baan in de ruimte, ook de mogelijke oriëntaties van het orbitaalvlak beperkte. Van toen af werd er gebruik gemaakt van het begrip ‘ruimtelijke kwantisatie’,
hoewel dit strikt genomen niet klopt4 . Deze aanvullingen leidden tot een gedeeltelijke verklaring
van het Zeeman-spectrum, en zorgden ook voor juiste voorspellingen voor gelijkaardige effecten
met een elektrisch veld.
Toen Bohr zijn eerste atoommodel openbaar maakte, stond Otto Stern hier op zijn zachtst gezegd weigerachtig tegenover5 . Toen ruimtelijke kwantisatie toch zijn nut scheen te bewijzen,
week Stern al snel af van zijn sceptische houding. Vermits hij expert was in de moleculaire bundeltechniek, achtte hij het moment gekomen om deze fundamentele eigenschap van atomen op
te meten. Dit plan verbaasde de academische wereld, vermits kwantisatie enkel aanzien werd als
een rekentechnisch middel, en dus geen reële eigenschap van materie kon zijn. Zo dacht ook Max
Born erover, die het een zinloos idee vond. Toen Stern de experimentele fysicus Walther Gerlach
informeerde over dit concept, sprong deze wel op de kar. Het experiment zou voor eens en altijd
de klassieke natuurkunde van tafel vegen, en de vreemde eigenschappen van de kwantumwereld
op een voetstuk plaatsen.
2
Hiermee wordt bedoeld de straal van de baan van het elektron rond de kern.
Dit zijn deeltjes met 1 elektron; er wordt abstractie gemaakt van het aantal neutronen n. Onder deze
noemer vallen naast waterstof (n = 0), ook deuterium (n = 1) en tritium (n = 2), en geı̈oniseerde atomen als
He+ , Li2+ , ...
4
Het betreft een kwantisatie in de ruimte i.p.v een een kwantisatie van de ruimte zelf. Dit laatste wordt
evenwel onderzocht in de hedendaagse theorieën van kwantumzwaartekracht.
5
Stern en zijn collega Max Von Laue zouden gezworen hebben met natuurkunde te stoppen indien de
‘nonsens’ van Bohr bewaarheid zou worden[3].
3
Hoofdstuk 3
Theoretische beschouwingen
3.1
Voorgeschiedenis
Zoals uiteengezet in vorige sectie, was het beeld van een atoom in het begin van vorige eeuw dat
van een positieve kern waarrond negatief geladen elektronen cirkelen. Met deze beweging van een
~ geassocieerd worden. Anderzijds zorgt het geladen elektron
massa m kan een impulsmoment L
voor een stroomlus rond de kern, hetgeen een magnetisch moment µ
~ impliceert. Men definieert
deze grootheden als[11,12]:
~ = m~r × ~v
L
Z
1
µ
~=
~r × J~ (~r) dV
2 V
(3.1)
(3.2)
Hierin zijn ~r en ~v respectievelijk de plaats- en snelheidsvector. J~ (~r) is de plaatsafhankelijke
stroomdichteid. Voor het geval van een cirkelvormige lijnstroom in het xy-vlak herleidt het magnetisch moment zich tot:
µ
~ =
=
1
2
Z
~r × i d~l
waarin
dl = Rdϕ
(3.3)
C
i
~ez
2
Z2π
RRdϕ
(3.4)
0
= iR2 π~ez
(3.5)
Noemt men ~a = R2 π~ez de gerichte oppervlakte van de stroomlus, en beschouwt men het eenvoudige geval van één elektron waarvoor i = −ev, dan geldt voor het magnetisch moment:
µ
~ e = −ev~a
7
(3.6)
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
8
De beide momenten uit (3.1) en (3.2) zijn gebaseerd op klassieke concepten, en ze zijn gerelateerd
door de betrekking[12]:
µ
~ =−
e ~
L
2me
(3.7)
Op hetzelfde moment echter, begon het atoommodel van Niels Bohr ingang te vinden. Deze
kwantummechanische benadering van atomaire systemen postuleerde een kwantisatie van het
impulsmoment volgens[8]:
L=
nh
2π
waarbij
n = 1, 2, 3, ...
(3.8)
Hierin is h de constante van Planck. Men voert om eenvoud van de notatie ook de genormeerde
constante van Planck in volgens:
~=
h
2π
(3.9)
De elektronen konden zich in dit model slechts op een discreet aantal cirkelvormige banen bevinden
(zie Figuur 3.1), en het getal n werd het hoofdkwantumgetal genoemd. De interpretatie die Bohr
eraan gaf, was dat er een kwantisatie optrad in de positie van een elektronbaan rondom de
atoomkern[2].
Figuur 3.1: Atoommodel volgens Bohr[D].
Deze theorie kon op een zeer accurate manier het spectrum van het waterstofatoom verklaren,
maar bleef in gebreke om andere atomen te beschrijven. De kerngedachte is hier echter dat van
een ruimtelijke grootheid gezegd wordt dat ze in pakketjes of kwanta voorkomt. Dit idee werd
later door Schrödinger en Sommerfeld overgenomen. De Sommerfeldtheorie was zeer succesvol in
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
9
het verklaren van het Zeeman- en Stark-effect. Ondanks deze ogenschijnlijke kwantisatie, bestond
er grote twijfel over hoe dit fysisch diende geı̈nterpreteerd te worden1 .
Samengevat bestond er een klassiek model en een kwantummechanisch model voor het atoom. In
1921 stelden Otto Stern en Walter Gerlach een experiment voor dat één van beide theorieën zou
weerleggen2 . Hiertoe lieten ze zilveratomen in vacuüm doorheen een inhomogeen magneetveld
propageren. Door studie van de afbuiging van de atomaire bundel, konden ze (een component van)
het magnetisch moment meten. De resultaten gooiden het klassieke beeld van de natuurkunde
voorgoed overboord.
3.2
3.2.1
Klassieke Theorie
Interactie materie-magnetisch veld
Volgens de op dit ogenblik algemeen aanvaarde atoomtheorie, heeft een zilveratoom één elektron
in het 5s orbitaal. Vermits de valentieschil niet volledig gevuld is, bezit Ag klassiek gezien een
impulsmoment en dus ook een magnetisch moment. In een magnetisch veld heeft een atoom met
een permanent magnetisch moment een potentiële energie, van de vorm[13,14]:
~
U = −~
µ.B
(3.10)
Deze term wordt ook wel de Zeeman-potentiële energie genoemd. In dit uitwendige magneetveld
ondervindt een zilveratoom bijgevolg een kracht:
F~
~
= −∇U
~
~
~
∂~
µ.B
∂~
µ.B
∂~
µ.B
+ ~ey .
+ ~ez .
∂x
∂y
∂z
~
~
~
∂B
∂B
∂B
= ~ex µ
~.
+ ~ey µ
~.
+ ~ez µ
~.
∂x
∂y
∂z
= ~ex .
(3.11)
(3.12)
(3.13)
De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat het magnetisch moment van een atoom onafhankelijk
is van de plaats waar het zich bevindt. Deze uitdrukking leert dat een inhomogeen magnetisch
~ en zijn
veld nodig is om een atomaire bundel te laten afwijken. Wanneer men het magneetveld B
gradiënt langs de z-as kiest, dan kan men bovenstaande uitdrukking vereenvoudigen.
Er dient opgemerkt te worden dat het veld volgens de wetten van Maxwell divergentieloos dient
te zijn, en dat de constructie van een dergelijke gradiënt een tegengestelde gradiënt in een transversale richting impliceert[15]. Beide gradiënten leveren een bijdrage tot de kracht in (3.13). Een
1
De Nederlandse fysicus Peter Debye, die nauw betrokken was bij de verklaring van het Zeeman-effect,
geloofde niet dat de kwantisatie iets reëels was. Hij interpreteerde het vooral als een rekentechnisch middel[2].
2
Dat één model zou verworpen worden, was eerder een gevolg dan het eigenlijke opzet. Stern was een adept
van de Sommerfeld-theorie, en verwachtte resultaten voorspeld door deze theorie. Voor natuurkundigen kon
het echter aanzien worden als een experiment pro of contra de kwantisatieregels.
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
10
magnetisch moment in een magnetisch veld is echter onderhevig aan Larmor-precessie om de as
van het veld, en door het gemiddelde te nemen over vele perioden, middelt de transversale kracht
uit tot nul. Hieruit volgt dat enkel de z-component van F~ verschillend van nul is. Vergelijking
(3.13) wordt herleid tot:
Fz = µz
∂Bz
∂z
mits
~ = B~ez
B
(3.14)
Door gepaste constructie van de magneet kan ervoor gezorgd worden dat de gradiënt in het
symmetrievlak constant is. Hierdoor wordt de bundel aan een constante opwaartse kracht onderworpen, corresponderend met een constante opwaartse versnelling. Een atoom met snelheid v
volgens de x-as dat door een magneetveld propageert (zie Figuur 3.2) ondervindt de kracht Fz
gedurende een tijd t = vl , waarin l de lengte van de magneet is.
Figuur 3.2: Baan van de atoombundel in het magneetveld[E].
De versnelling langs de z-as is gegeven door:
az =
=
Fz
M
µz ∂Bz
M ∂z
(3.15)
(3.16)
waarin M de atoommassa voorstelt. Tweemaal integreren leert dat het traject parabolisch is in
het xz-vlak:
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
z =
t =
11
1 Fz 2
t
2M
x
v
(3.17)
(3.18)
Waaruit:
z =
=
1 Fz x 2
2M v
∂Bz
1 µz ∂z x 2
2 M
v
(3.19)
(3.20)
2
Fl
In het punt (xu , zu ) = (l, 2M
) verlaat het atoom het magneetveld en propageert het verder
v2
langs een rechtlijnige baan. De raaklijn in het uittredepunt is gegeven door:
z − zu =
F xu
(x − xu )
M v2
(3.21)
Of expliciet:
z−
F l2
Fl
=
(x − l)
2
2M v
M v2
(3.22)
Is D de afstand van het midden van de magneet tot de detector, dan wordt de uitwijking z 0 van
de bundel:
z
0
=
=
F l2
Fl
+
2
2M v
M v2
∂Bz
µz
∂z lD
M v2
l
+D−l
2
(3.23)
(3.24)
Men zou dus elke afbuiging in het interval [−z 0 , +z 0 ] kunnen verwachten. Voor een constante
snelheid v is de distributie van z 0 volledig bepaald door de distributie van µz .
3.2.2
Bundeldistributie
Er dient gezegd dat voorgaande uiteenzetting in de praktijk niet haalbaar is. Elk experiment dat
gebruik maakt van moleculaire bundeltechnieken, is gelimiteerd door het feit dat de snelheid v van
de deeltjes niet uniek bepaald is. Deeltjes in een gas op (absolute) temperatuur T volgen veeleer
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
12
een Maxwell-Boltzmann snelheidsdistributie. Dit houdt in dat het aantal atomen met een snelheid
tussen v en v + dv evenredig is met[13,14]:
v2
v exp − 2
α
2
r
dv
waarbij
α=
2kT
M
(3.25)
Om een bundel te creëren zijn verscheidene collimerende slits geplaatst die enkel de atomen met
de gewenste richting selecteren. De kans dat een atoom in de bundel een welbepaalde snelheid
heeft, is het product van voorgaande probabiliteit en de kans dat het atoom door de diafragma’s
buiten de oven treedt. Deze waarschijnlijkheid is evenredig met v, vermits het aantal botsingen
met de ovenwand evenredig is met de snelheid van de deeltjes in het gas. De snelheidsdistributie
van de bundel is dus gegeven door:
v2
fbundel (v)dv ∝ vfmaxwell (v)dv ∝ v exp − 2
α
3
dv
(3.26)
Men kan voor z 0 , die functie is van v, de probabiliteitsdichtheid bepalen. Uit (3.24) volgt dat:
z0 =
C
v2
met
C=
µz lD ∂Bz
M ∂z
(3.27)
zodat:
s C v = 0 z
en
s dv 1 C dz 0 = 2 z 03 (3.28)
Als men uitdrukt dat de kans dat v een bepaalde waarde aanneemt in het elementair interval dv
gelijk is aan de kans dat z 0 een waarde aanneemt in het elementair interval dz 0 rond z 0 = f −1 (v)
dan volgt:
fbundel (v)dv = fz 0 (z 0 )dz 0
(3.29)
Dit laat toe de probabiliteitsdichtheid voor z 0 te bepalen:
fz 0 (z 0 )dz 0 ∝
s !3
s C C 0
|C|
exp −
dz
z0 z 03 0
2
zα
(3.30)
Een detectiemaximum voor de afgebogen bundel correspondeert met een extremum van vorige
vergelijking, dus met:
d
|C|
0−3
z exp − 0 2
=0
dz 0
zα
(3.31)
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
13
Hieruit volgt tot slot, dat voor een detectiemaximum geldt dat:
z0 =
3.2.3
|C|
µz lD ∂Bz
=
2
3α
6kT ∂z
(3.32)
Klassieke verwachting van het magnetisch moment
Volgens klassieke inzichten kan het magnetisch moment µ
~ elke oriëntatie hebben in de ruimte
(zie Figuur 3.3). Vermits enkel de z-component gemeten wordt, is het verwachte patroon van de
vorm:
µz = µ cos θ
(3.33)
waarbij θ loopt van 0 tot π.
Figuur 3.3: Het klassieke model van een magnetisch moment. Het orbitaalvlak heeft geen voorkeurspositie, en de vector van
het magnetisch moment heeft een willekeurige oriëntatie.
De kans dat de hoek van het magnetisch moment t.o.v. de z-as een waarde heeft tussen θ en
θ + dθ is gelijk aan de verhouding van de oppervlakte van een sectie van de sfeer tussen deze twee
hoeken en het volledige boloppervlak[16]:
P (θ)dθ =
=
(rdθ)(2πr sin θ)
4πr2
sin θ
dθ
2
(3.34)
(3.35)
Differentiatie van (3.33) levert een relatie tussen de hoekdistributie (3.38) en de distributie van
het magnetisch moment:
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
⇒
dµz = −µ sin θdθ
1
dµz
P (µz )dµz =
2µ
14
(3.36)
(3.37)
De kansfunctie blijkt dus een constante, en is genormeerd. De klassieke voorspelling is dus dat de
z-componenten van het magnetisch moment uniform verdeeld zijn tussen −µ en +µ.
3.2.4
Semi-klassieke theorie van Sommerfeld
Arnold Sommerfeld stelde in 1916 een aanpassing voor van de Bohr-theorie, waarbij de circulaire
banen door elliptische werden vervangen (zie Figuur 3.4). Hiertoe voerde hij een azimuthaal kwantumgetal nφ in, dat de Keplerbaan van het elektron beschreef. Daarnaast was er de bijkomende
voorwaarde van ruimtelijke kwantisatie, hetgeen zich concreet vertaalde in een discreet aantal
tilthoeken van het vlak van de elektronbaan tot het vlak van een magnetisch (of elektrisch) veld.
Deze veronderstelling impliceerde een derde kwantumgetal nl dat naast de positie en de vorm van
de baan in de ruimte, ook de mogelijke oriëntaties van het orbitaalvlak beperkte.
Figuur 3.4: Het atoommodel volgens Sommerfeld.
~ dan krijgt men[2]:
Noemt men θ de hoek tussen de normaal op het orbitaalvlak en B
cos θ =
nl
nφ
nl geheel en |nl | ≤ nφ
(3.38)
Volgens deze theorie kan de component van het impulsmoment die gelegen is volgens het veld, enkel veranderen met eenheden ~.3 Omwille van de ruimtelijke kwantisatie van de elektronbanen, kan
3
Dit was gepostuleerd om de frequentieshift in het Zeeman-effect te kunnen verklaren. Dit is volledig
~ volgens de Bohr-theorie.
analoog met toegelaten eenheden van L
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
15
een elektron met azimuthaal impulsmoment pφ = ~ slechts 3 waarden aannemen, corresponderend
met de 3 hoeken uit (3.38) volgens:
cos θ =
nl
= 0, ±1
nφ
(3.39)
Bohr had echter de mogelijke waarde nl = 0 uitgesloten, omdat in dit geval het orbitaalvlak
~ zou liggen. Dit zou volgens Bohr kunnen resulteren in onstabiele bewegingen
parallel met B
van de elektronen[2].4 Op deze grond verwachtten de adepten van de kwantumtheorie dat het
magnetisch moment van een elektron slechts 2 discrete waarden zou kunnen aannemen.
3.3
Observatie en verklaring
In het experiment stuurde men een bundel neutrale zilveratomen Ag doorheen het inhomogeen
magneetveld[13]. De stralengang van de bundel is schematisch weergegeven in Figuur 3.5. Wanneer men de meting uitvoerde in afwezigheid van een magnetisch veld, observeerde men één
centrale piek. Bij aandraaien van de magneetstroom merkte men op dat de centrale piek verdwijnt, en er verschijnen twee gescheiden maxima, symmetrisch t.o.v. de centrale as. Figuur 3.6
is een afbeelding van één van deze eerste experimentele resultaten weergegeven, in de vorm van
een postkaart die aan collega fysici werd toegestuurd. Het is duidelijk dat dit niet voldoet aan
het klassieke verwachtingspatroon. De kwantisatie van het impulsmoment was met dit resultaat
ontegensprekelijk aangetoond. De resultaten zijn wel conform de kwantumtheorie van Sommerfeld.
4
Het uitsluiten van het verdwijnen van het impulsmoment was voor velen een teken aan de wand dat er
iets niet klopte aan de theorie.
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
16
Figuur 3.5: Schematische weergave van het stralengang van de zilveratomen[F]. Onderaan het meetresultaat zonder en mét
magneetveld.
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
17
Figuur 3.6: Postkaart van Gerlach aan Bohr met een een afbeelding van de bundelsplitsing, gedateerd op 8 februari 1922.
De tekst luidt: ‘Bijgevoegd is het experimentele bewijs van ruimtelijke kwantisatie. Wij feliciteren u met de
correctheid van uw theorie.’ [2,G]
Het duurde tot in 1927 tot Robert Fraser op basis van de nieuwe kwantumtheorie van Erwin
Schrödinger opmerkte dat het magnetisch moment van zilver nul is[3]. Vijf jaar na datum bleek
dat er een haar in de boter zat. De Sommerfeld-theorie gaf een foute uitleg, maar resulteerde wel
in een juiste voorspelling van het aantal pieken. Binnen de Schrödingertheorie geldt de relatie (3.7)
~ˆ en µ
~ˆ. Via deze theorie, die op
ook voor de corresponderende kwamtummechanische observabelen L
~
een andere basis dan Bohr een kwantisatie van L doorvoerde, werd voorspeld dat elke component
van deze vector (2l + 1) eigenwaarden zou vertonen, met l een geheel getal. Dit impliceerde
een gelijkaardige kwantisatie in een oneven aantal projecties van het magnetisch moment. Meer
specifiek voor atomen in een configuratie waar l=0, verwachtte men één enkele projectie van µz .
Doch bij het Stern-Gerlach experiment had men een even aantal pieken, dus er was nog iets meer
aan de hand.
Het resultaat suggereerde het bestaan van een impulsmomentoperator met halftallige eigenwaarden, en dus dat het 5s-elektron een impulsmoment ~/2 heeft:
(2l + 1) = 2
⇒
l=
1
2
(3.40)
De hypothese van Goudsmit en Uhlenbeck uit 1925 bood een uitweg uit deze impasse. Deze
stelde dat het elektron moet beschouwd worden als een lading met een eindig magnetisch dipoolmoment, dat slechts twee discrete projectiewaarden kan innemen: ‘spin up’ en ‘spin down’.
Hiermee geassocieerd werd ook gepostuleerd dat het elektron een intrinsiek impulsmoment heeft.
Deze laatste these is ‘intuı̈tief’5 te verklaren[17]. Het intrinsiek magnetisch moment van het
elektron interageert met het magnetisch veld, zodat het eveneens aan een bijkomende potentiële
energie van de vorm (3.10) wordt onderworpen. Deze interactie resulteert in een bijkomende
term in de Hamiltoniaan Ĥ van het systeem. In de kwantumtheorie vertaalt
h de iwet van beˆ
~
~ˆ = 0. Aan
houd van impulsmoment in het commuteren van deze Hamiltoniaan en L: Ĥ, L
~ˆ
deze commutatierelatie is echter niet voldaan, zodat het introduceren van ‘een impulsmoment’ S
5
Een fundamenteler bewijs wordt geleverd door de relativistische Dirac-theorie.
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
18
geassocieerd met de spin zich opdringt. Deze operator moet tweedimensionaal zijn, gezien het
~ˆ Dit
optreden van twee verschillende meetwaarden die corresponderen met de eigenwaarden van S.
kan de halftallige impulsmomentquanta verklaren, en leidt tot een overeenstemming tussen theorie
en experiment.
Binnen de kwantumtheorie van Schrödinger voert men naar analogie met (3.7) een evenredigheid
in van het impulsmoment van het elektron met zijn magnetisch moment:
~ˆ = −ge µB S
~ˆ
µ
~ˆ = C S
~
(3.41)
De term ge die hierin optreedt noemt men de gyromagnetische verhouding. De factor µB =
e~/2me noemt men het Bohr-magneton, en wordt gebruikt als eenheid van magnetisch moment.
Men bekwam hiermee voor het totaal impulsmoment de som van een baandeel en een spindeel:
µB ~ˆ
~ˆ
µ
~ˆ = −
L + ge S
~
(3.42)
In het geval van Ag is L = 0, en (3.42) herleidt zich tot het zuiver spingeval. De mogelijke
meetwaarden van µ̂z zijn dus −ge µB Ms met Ms = ± 12 . De bundel splitste dus in twee, en het
verschil tussen beide detectiemaxima was:
1
1
∂Bz lD |∆z | = −ge µB
− −
2
2
∂z 6kT ∂Bz lD = −ge µB
∂z 6kT ∂Bz lD = (µz )max
∂z 3kT 0
(3.43)
(3.44)
(3.45)
In (3.43) is de waarde ge = 2 gebruikt. Om het experiment in volledige overeenstemming te
brengen met de theorie, moet men nog een kwantumelektrodynamische correctie doorvoeren,
hetgeen leidt tot ge =2,0023193043622± 0,0000000000015[18].
3.4
Kwantummechanische oorsprong van de opsplitsing
In voorgaande sectie werd enkel het resultaat op een moderne manier geı̈nterpreteerd in termen
van de gevestigde kwantummechanica. Het is echter zeer nuttig om deze analyse uit te breiden
met een verklaring van de bundelopslitsing[19]. De Schrödingervergelijking voor spin 1/2-deeltjes
is gegeven door:
Ĥ |Ψi = i~
∂ |Ψi
∂t
(3.46)
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
19
waarbij de Hamiltoniaan gelijk is aan de som van een kinetisch energiedeel en een spinbijdrage.
Om rekening te houden met de potentialen van het elektromagnetisch veld, dient men de minimale
substitutie door te voeren volgens[20]:
~
p~ −→ p~ + eA
(3.47)
~ de vectorpotentiaal voorstelt. De Hamiltoniaan wordt hiermee:
waarin de A
2
1 ~ + gµB S
~ˆ · B(r̂)
~
p~ + eA
2me
~
gµB ~ˆ ~
S · B(r̂)
= Ĥ0 +
~
Ĥ =
(3.48)
(3.49)
~ˆ de spinoperator en B(r̂)
~
met S
het magnetisch veld in een punt met coördinaten r̂. Wegens
constructie, volstaat het opnieuw om een veld te beschouwen dat langs de z-as gericht is, m.a.w.
Bx = 0 en By = 0. Naast deze voorwaarden moet het veld ook voldoen aan de Coulombijkvoorwaarde, opgelegd aan de wetten van Maxwell[15]:
~ ·A
~=0
∇
(3.50)
Aangevuld met de definitie van de vectorpotentiaal, bekomt men een tweede voorwaarde voor het
veld:
~ ×A
~=B
~
∇
(3.51)
Een magnetisch veld dat hieraan voldoet is:
~
B(r̂)
= Cy~ey + (B0 − Cz)~ez
(3.52)
met C een kleine constante. Het homogene veld B0 wordt m.a.w. aangevuld met een gradiënt
~ · B.
~ Dit veld
volgens de z-as, en dit impliceert een even grote gradiënt volgens y omwille van ∇
levert volgende vectorpotentiaal op:
~ = (Cyz − B0 y)~ex
A
(3.53)
Echter, in het beschouwde geval is het zilveratoom als geheel elektrisch neutraal (q = 0), hetgeen
resulteert in:
Ĥ = −
1 2 2 gµB ~ˆ ~
~ ∇ +
S · B(r̂)
2me
~
(3.54)
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
20
Het is echter interessant om te onderzoeken waarom de term in het magnetisch veld deze vorm
heeft[20]. Deze uitwijding is voor wat volgt niet strikt noodzakelijk, en is daarom opgenomen in
appendix A.
De vectorruimte waarin de golfvector |Ψi is geconstrueerd, bevat door de hypothese van Goudsmit
en Uhlenbeck, naast een set van plaatscoördinaten r̂ ook een tweedimensionaal spindeel |σi =
|↑i , |↓i[17]:
Ψ(r, σ) = c1 ψ(r̂, ↑)χ↑ (σ) + c2 ψ(r̂, ↓)χ↓ (σ)
(3.55)
De golffunctie is de projectie van |Ψi naar de coördinatenruimte, en kan worden genoteerd m.b.v.
volgende spinor:
hr̂|Ψi = Ψ+ (r̂) |↑i + Ψ− (r̂) |↓i
(3.56)
Ψ+ (r̂, t)
hr|Ψi =
Ψ− (r̂, t)
(3.57)
~ˆ van de vorm:
In dit systeem is de spinoperator S
~ 0 1
~ 1 0
ˆ ~ 0 1
~
S=
~ex +
~ey +
~ez
2 1 0
2i −1 0
2 0 −1
(3.58)
waarin de Paulimatrices optreden.
~ˆ en de vorm van de golffunctie in (3.46) levert twee Schrödingervergelijkingen:
Substitutie van S
−
~2 2
gµB Cy
gµB
∂Ψ±
∇ Ψ± ±
Ψ∓ ±
(B0 − Cz)Ψ± = i~
2M
2i
2
∂t
(3.59)
Vergelijking (3.55) leert dat de spinoren niet ontkoppelen door het magnetisch veld: Ψ+ is opgemengd met termen Ψ− en omgekeerd. Het is duidelijk uit (3.58) dat de oorzaak van deze
koppeling ligt bij het deel van het veld in de y-richting. Dit leert dat de aanwezigheid van een gradiënt in het magnetisch veld schijnbaar geen voldoende reden is om de bundel in twee te splitsen.
Het conventionele beeld dat het spin 1/2 deel van de bundel niet opmengt met het spin −1/2
deel is niet geheel correct, en op kwantummechanische gronden kan niet zomaar gesteld worden
dat er ‘een kracht’ werkt op de bundel atomen met tegengestelde spin en deze in tegengestelde
richting doet afbuigen[19].
Om het experiment te verklaren, moet er dus op een andere manier een ontkoppeling gebeuren.
Dit kan door de bewegingsvergelijkingen expliciet op te lossen. In het Heisenbergbeeld geldt dat:
~ˆ
1 h ~ˆi µB g ~
dS
~ˆ
=−
Ĥ, S =
B(~r) × S
dt
i~
~
(3.60)
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
21
De tweede gelijkheid volgt door het expliciet uitrekenen van de commutator:
h
Ĥ, Ŝj
i
"
gµB X
=
Ŝi Bi , Ŝj
~
#
(3.61)
i
Nu is:
h
i X
Ŝi , Ŝj =
i~ijk Ŝk
(3.62)
k
met ijk het Levi-Civitasymbool. Hiermee wordt de x-component van (3.61):
h
~ˆ
Ĥ, S
i
x
=
=
=
=
=
i
h
Ĥ, Ŝx
h gµ i
B
Bx Ŝx + By Ŝy + Bz Ŝz , Ŝx
~
i
h
i
gµB h
By Ŝy , Ŝx + Bz Ŝz , Ŝx
~
gµB −By Ŝz + Bz Ŝy
i~
~
gµB ~ ~ˆ
−i~
B×S
~
x
(3.63)
(3.64)
(3.65)
(3.66)
(3.67)
Voor de y- en z-componenten is de werkwijze analoog. Voorvermenigvuldigen met een term −1/i~
toont de gelijkheid van tweede en derde lid in aan in (3.60).
Het vectorproduct beschrijft de precessie
~ˆ om de as van het magnetisch veld.
van S
Vermits in eerste orde benadering (C )
~ r) volgens de zkan gesteld worden dat B(~
as is gericht, is de precessie van de spinoperator dus rondom de z-as met een frequentie ω ≈ gµB B0 /~ (zie Figuur 3.7). M.a.w.
de Ŝz component blijft (eveneens in eerste
orde) onveranderd, doch Ŝy oscilleert met
hoge frequentie om de z-as. Preciezer, het
is het B0 -veld dat zorgt voor de ontkoppeling. Een analoge verklaring werd gegeven
in het klassieke geval in termen van Larmorprecessie (zie sectie 3.2).
Figuur 3.7: Precessie van de spinoperator rond het magnetisch veld.
Om dit aan te tonen, moet de Schrödingervergelijking expliciet opgelost worden. Hiertoe definieert
men een nieuwe golffunctie, die over een tijdsafhankelijke fase is verschoven[19]:
HOOFDSTUK 3. THEORETISCHE BESCHOUWINGEN
22
Ψ± (x, t) = e∓igµB B0 t/2~ Φ±
(3.68)
Vergelijking (3.59) wordt:
−
~2 2
gµB Cy ±igµB B0 t/~
gµB Cz
∂Φ±
∇ Φ± ±
e
Φ∓ ∓
Φ± = i~
2M
2i
2
∂t
(3.69)
De koppelingsterm oscilleert hier zo snel, dat hij uitmiddelt tot nul. De ontkoppelde Schrödinger
vergelijkingen voor het systeem worden ten slotte:
−
~2 2
gµB Cz
∂Φ±
∇ Φ± ∓
Φ± = i~
2M
2
∂t
(3.70)
Met het theorema van Ehrenfest kan men een uitdrukking opstellen die de tijdsafgeleide van een
verwachtingswaarde koppelt aan de commutator van die verwachtingswaarde met de Hamiltoniaan:
i
1 h
dhÂi
= h Â, Ĥ i
dt
i~
(3.71)
Men kan bewijzen dat voor de verwachtingswaarde van de impuls geldt[19]:
dh~
pi
gµB C
=±
~ez
dt
2
(3.72)
Deze laatste vergelijking heeft dezelfde vorm als de tweede wet van Newton, en drukt bijgevolg uit
dat er twee verschillende trajecten zijn voor de verschillende spintoestanden. Vergelijking (3.72)
is het kwantummechanische analogon van de klassieke bewegingsvergelijking (3.16).
3.5
Conclusie
Men kan uit het voorgaande besluiten dat Stern en Gerlach de eerste rechtstreekse observaties
gedaan hebben van de elektronspin. Het duurde enkele jaren vooraleer een fenomenologische verklaring werd gegeven van het verschijnsel, en nog wat langer eer het bestaan van spin magnetisch
moment en intrinsiek impulsmoment rigoureus kon aangetoond worden. Het resultaat was dat
een nieuwe dynamische variabele aan de set van plaatscoördinaten moest toegevoegd worden om
een correcte beschrijving te geven van atomaire, en later subatomaire systemen.
De kwantummechanische analyse legt eveneens een tekortkoming van de oorsprong van de bundelafbuiging bloot. Het is niet uitsluitend de inhomogeniteit in het magnetisch veld die aan de
basis ligt van de opsplitsing in twee pieken: de homogene bijdrage is evenzeer nodig voor de
ontkoppeling van de spintoestanden.
Hoofdstuk 4
Experimentele Opstelling
In dit hoofdstuk wordt de evolutie van de opstelling van het Stern-Gerlach experiment doorlopen.
Via het originele experiment wordt een algemeen beeld van de werkwijze aangereikt. In de volgende
sectie wordt meer in detail getreden m.b.t. de gebruikte apparatuur, en wordt ingegaan op de
verschillen tussen de originele en moderne versie van de opstelling. De laatste sectie handelt over
de intrede van de automatisering en digitalisering van de apparatuur, hetgeen tot de kern van deze
masterproef behoort.
4.1
Oorspronkelijke opstelling
De originele opstelling is eenvoudig schematisch weergegeven in Figuur 4.1. Het experiment vond
plaats in een vacuümkamer (A). Een bundel zilveratomen Ag werd gegenereerd in een oven (B) die
verhit werd tot een temperatuur van 1300K.1 De bundel passeerde verschillende stralenbegrenzers
(C,D,E) alvorens door het inhomogeen magneetveld (F) te propageren. De al dan niet afgebogen
zilveratomen konden gedetecteerd worden door de afzetting op een glasplaatje (G) te bestuderen.
Figuur 4.1: Opstelling voor het Stern-Gerlachexperiment.
Legende: A: vacuümkamer; B: oven; C,D,E: stralenbegrenzers; F: magneetveld; G: glasplaat
1
De smelttemperatuur van zuiver zilver bedraagt 1235,08 K.[21]
23
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
24
De net beschreven opstelling kent twee belangrijke nadelen. Vooreerst is er het gebruikte materiaal.
Het zilver moet tot een zeer hoge temperatuur gebracht worden om te smelten en atomen in de
gasfase te brengen. Een tweede nadeel is het detectiemechanisme: het mag duidelijk zijn dat het
macroscopisch opmeten van een atomaire afzetting geen sinecure is. In de praktijk kostte het
Stern en Gerlach acht tot tien uur per meting om het intensiteitspatroon macroscopisch waar te
~
nemen[3]. Het opmeten van het effect voor verschillende B-waarden
was dan ook een werk van
lange adem. Hierbij komt nog een hindernis onder de vorm van contaminatie: injectie van materie
in vacuüm zorgt onvermijdelijk voor vervuiling. Zilveratomen met onvoldoende kinetische energie,
kunnen zich afzetten in de vacuümbuis, of één van de stralenbegrenzers laten toeslibben. Beide
effecten hebben hun weerslag op de propagatie van de bundel, en dienen bijgevolg - ook in de
hedendaagse opstelling - onderdrukt te worden.
4.2
Hedendaagse opstelling
In de huidige setup is aan de geschetste problemen tegemoet gekomen. Hier wordt een stapsgewijze
beschrijving gegeven van alle apparatuur in de moderne opstelling. Tevens wordt een motivatie
gegeven voor de wijzigingen t.o.v. het originele experiment.
4.2.1
Kalium
In de moderne versie wordt een bundel kaliumatomen K gebruikt ter vervanging van zilver. Beide
hebben in de grondtoestand een 2 S1/2 configuratie, en men kan op basis van de theorie verwachten
dat de conclusies dezelfde zullen zijn. Voor het vormen van een bundel K-atomen is er (slechts)
een temperatuur van 430K nodig. Een korte berekening van de meest waarschijnlijke snelheid
v 0 van de bundelatomen leert dat dit geen uitgesproken effect heeft op de snelheid, vermits de
temperatuur geschaald wordt met de atoommassa:
r
0
=
MK = 39,102
0
vK
waaruit
0
vAg
en
v
=
2kB T
M
MAg = 107,868
0,98 ≈ 1
(4.1)
(4.2)
(4.3)
De berekening werd uitgevoerd zonder inachtname van isotopen. Voor kalium 39K geldt een
natuurlijke abundantie[22] van meer dan 93%, en is de abstractie van voorkomende isotopen 41K
(6,7%) en 40K (0,01%) gerechtvaardigd. Voor zilver geldt dit strikt genomen niet: er is een
opmenging van 107Ag (51,8%) en 109Ag (48,2%). Dit levert geen noemenswaardig verschil op in
de berekening (4.1).
Het gebruik van kalium heeft wel andere implicaties. Het is enerzijds zeer corrosief en dient met
de nodige omzichtigheid behandeld te worden. Anderzijds oxideert het zeer gemakkelijk tot een
kaliumoxide Kx Oy , hetgeen uiteraard ongewenst is. Om deze oxidatie tegen te gaan, gebeurt de
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
25
voorbereiding van het experiment onder argonatmosfeer (zie Figuur 4.2). Bij een lichte overdruk
van dit inert gas, wordt de oxidatie tot een minimum herleid.
Figuur 4.2: Ruimte gevuld met Argon waarin het kaliumsample wordt voorbereid.
4.2.2
Vacuümpomp
Tijdens de duur van het experiment is een hoog
vacuüm vereist. Er is een druk van minder dan
10−5 mbar (zie Figuur 4.3) nodig opdat de vrije
weglengte van de atomen groter zou zijn dan de
afmetingen van de experimenteerruimte. Bij een
dergelijk hoog vacuüm wordt storing van residuele moleculen vermeden.
Figuur 4.3: Werkingsgebied vacuümpomp.
Men kan als volgt een afschatting maken van de vrije weglengte van de kaliumatomen[23]. Noemt
men d1 de diameter van een kaliumatoom en d2 de diameter van een luchtmolecule, dan is de
werkzame doorsnede voor botsingen gelijk aan:
σ = π d21 + d22
(4.4)
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
26
In een tijd t legt deze oppervlakte een afstand vt af, waarbij v de gemiddelde snelheid is van de
K-atomen. De doorsnede voor botsingen beschrijft een cilinder met volume V gelijk aan:
V = σv rel t
(4.5)
waarin v rel de relatieve snelheid is t.o.v. de residuele luchtmoleculen. In de kinetische gastheorie
bewijst men dat[23]:
v rel =
√
2v
(4.6)
De vrije weglengte λ van een atoom is gedefinieerd als de lengte van de cilinder (4.5), gedeeld
door het aantal botsingen. Noemt men nv het aantal moleculen per eenheid van volume, dan
geldt voor λ:
λ =
=
vt
2σvtnv
1
√
2π d21 + d22 nv
√
(4.7)
(4.8)
Het aantal moleculen nv kan bepaald worden door combinatie van de ideale gaswet en het getal
van Avogadro NA :
nv =
=
=
nNA
V
nNA
nRT
P
NAP
RT
(4.9)
(4.10)
(4.11)
Mits invoering van de constante van Boltzmann kB = R/NA , wordt (4.8) tot slot:
λ= √
kT
2π d21 + d22 P
(4.12)
De grootteorde van de straal van de botsende deeltjes is 10−10 m. Hiermee kan een afschatting
gemaakt worden van λ. Men verkrijgt voor een druk van P =10−5 mbar:
λ ≈ 5m
(4.13)
Dit vacuüm wordt geleverd door de combinatie van een rotatiepomp en een turbomoleculaire
pomp. Dit is standaard in vacuümtechnologie. Bij laminaire gasstroom (bij een druk hoger dan
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
27
10−1 mbar) wordt de werking van de turbopomp bijna volledig gecompenseerd door onderlinge
botsingen. Vandaar dat een turbomoleculaire pomp steeds gekoppeld wordt met een andere pomp
(in dit geval de rotatiepomp), die ervoor zorgt dat de gasstroom moleculair is. In dit regime (bij
een druk onder 10−3 mbar) is het pompeffect maximaal. Een alternatieve opstelling zou gebruik
maken van een diffusiepomp in het moleculaire regime, doch dit is minder aangewezen gezien het
risico op vervuiling door het gebruik van olie of kwik bij het pompen.
4.2.3
Oven
Als atoomstraalbron wordt een oven gebruikt die
gevuld is met het zuivere kalium. Aan deze oven
is een eerste begrenzer bevestigd die de gewenste straalrichting regelt. De temperatuur van de
oven wordt bepaald via een thermokoppel dat digitaal uitgelezen wordt (zie Figuur 4.4). Om contaminatie van de vacuümkamer tegen te gaan, is
er een eenvoudige afsluiter nabij de oven gemonteerd. Om deze afsluiter elektronisch te bedienen, is er een spanning voorzien die de sluiter
enkel opent tijdens de duur van het experiment.
Op deze wijze kan men het vacuüm en de detector voor kaliumafzetting behoeden tussen de
verschillende meetsessies in. De kans is echter
niet onbestaande dat de ovenuitgang dichtslibt
bij langdurig meten zonder reiniging van de slits.
4.2.4
Figuur 4.4: Digitale ovenuitlezing.
Boven: huidige temperatuur.
Onder: gewenste temperatuur
Detector
Om het signaal te registreren, wordt een zogenaamde Langmuir-Taylor detector gebruikt. Die
bestaat uit een wolfraamdraadje van 0,3mm dikte die in het vacuüm geplaatst is, opnieuw om
oxidatie tegen te gaan. Het voor- en zijaanzicht van de detector zijn afgebeeld in Figuren 4.5 en
4.6. Doorheen de slit van de detector is de wolfraamdraad duidelijk zichtbaar.
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
Figuur 4.5: Zijaanzicht van de detector.
28
Figuur 4.6: Vooraanzicht van de detector.
Kaliumatomen die in aanraking komen met het wolfraam dringen door tot in de korrelgrenzen van
het wolfraam. Deze draad voert echter een gelijk- of wisselstroom van 3,5 à 4A, en wordt hierdoor
verhit tot een temperatuur van 800 à 1000◦ C. De atomen verlaten het oppervlak als positieve
ionen. Tussen het wolfraam en een uitwendig geplaatste elektrode wordt een gelijkspanning van
50 Volt aangelegd. Hierdoor worden de kaliumionen aangetrokken tot de kathode die de draad
omringt, zoals geschetst in Figuur 4.7. Dit transport van lading zorgt voor een stroompje (orde
100pA) dat, mits versterking, kan uitgelezen worden met een elektrometer. Deze stroom is dan
proportioneel met de intensiteit van de K-deeltjesstroom op die plaats. Er dient rekening gehouden
te worden met een donkerstroom van 5 à 10pA. De hele constructie is op een zwenkbaar statief
geplaatst, dat afstelling van de meetpositie toelaat m.b.v. een micrometer.
Figuur 4.7: Elektronisch circuit van detector.
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
29
Deze aanpassingen t.o.v. het gebruik van een glasplaat betekenen een enorme vooruitgang. Tevens
is de lagere ionisatiepotentiaal van K t.o.v. Ag een bijkomende motivering om dit materiaal te
gebruiken. De bundel kan nu continu gesampled worden, en de duur van de meting wordt tot een
minimum herleid. Dit type detector verhoogt de meetgevoeligheid aanzienlijk en digitale opslag
van de resultaten wordt mogelijk.
De toestand van de detector is cruciaal voor het slagen van
het experiment. Het valt aan te raden om de binnenzijde
van de omhullende anode voorzichtig te proper te maken
met schuurpapier, om eventueel aanwezige (kalium-)oxiden
te verwijderen. De draad zelf moet goed opgespannen zijn.
Daarnaast dient het draad voldoende zuiver te zijn. Om het
wolfraam in ideale toestand te brengen, gebruikt men best
de analoge uitlezing op de opstelling (zie Figuur 4.8). De
meter dient stabiel te zijn rond de oorsprong alvorens de
metingen starten. De ervaring leert dat een licht negatieve
donkerstroom tot de beste meetresultaten leidt.
Figuur 4.8: Analoge ampèremeter.
Om de draad in ideale omstandigheden te brengen, is het nodig om gedurende 1 à 2 dagen een
wisselstroom van 5A door de draad te laten lopen. Tijdens deze periode moet de draad meermaals
(minimum een 10 à 20 keer) verhit worden met een wisselstroom van 8A gedurende een tiental
seconden. Dit leidt tot een plotse ontgassing van het kalium dat op de detector aanwezig is. Het
plots vrijkomen van dit kalium is merkbaar in de vacuümdruk. Men dient deze procedure met enige
omzichtigheid te volgen, gezien het risico bestaat dat de draad doorbrandt als de wisselstroom
van 8A te lang wordt aangehouden.
4.2.5
Magneet
De magneetpoolschoenen zijn zo gevormd dat ze het veld benaderen van twee evenwijdige geleiders
op een afstand 2a (a=2,5 10−3 m) van elkaar, waardoor een tegengestelde stroom loopt van gelijke
intensiteit[14]. De poolschoenen en het gegenereerde veldlijnenpatroon zijn afgebeeld in Figuur
4.9. Door het juist afstellen van de bundelbegrenzers, treedt de atomaire bundel het inhomogene
magneetveld binnen bij y = 0, z =1,3a. Bij deze localisatie van de bundel is de gradı̈ent ongeveer
constant. De magneetstroom wordt ingesteld d.m.v. de stroom I. Het omzetten naar de B-velden
gebeurt via Tabel 4.1.
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
30
Figuur 4.9: Links: poolschoenvorm. Rechts: verloop van de veldlijnen.[H]
Tabel 4.1: Conversie magneetstroom-sterkte magneetveld.[14]
I[A]
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
B[T]
0,10
0,20
0,32
0,43
0,54
0,64
0,72
0,80
0,86
0,89
De afmetingen van de magneet zijn groot genoeg om inhomogeniteiten aan de rand te verwaarlozen. Figuur 4.10 geeft een schematischer weergave van de elektromagneet in het yz-vlak.
Figuur 4.10: Veldlijnenpatroon[I].
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
31
Bij constructie geldt dat Bz veel groter is dan Bx en By . Er geldt in goede benadering dat:
~ ≈ Bz ~ez
B
(4.14)
De component van het magnetisch veld langs de z-as wordt steeds positief ondersteld. De doorsnede van de poolschoenen is constant in het yz-vlak. Dit impliceert dat Bz onafhankelijk moet
zijn van x. Verder is ervoor gezorgd dat het xz-vlak een symmetrievlak is van de magneet, hetgeen
Bz een even functie van y maakt. Beide voorwaarden combineren tot:
∂Bz
∂x
∂Bz
∂y
= 0
(4.15)
= 0
in het xz-vlak
(4.16)
Laat men de bundel in dit symmetrievlak intreden, dan is aan alle voorwaarden voldaan uit de
theoretische beschouwing in hoofdstuk 2. De afbuiging van een atomaire bundel in het veld van
deze elektromagneet wordt beschreven door (3.14):
Fz = µz
∂Bz
∂z
Voor het detectiemaximum geldt conform (3.32):
z0 =
|C|
µz lD ∂Bz
=
2
3α
6kT ∂z
(4.17)
Om hieruit het magnetisch moment µz te bepalen, moet nog de gradı̈ent van het B-veld bepaald
worden. Steunend op het model van de twee geleiders, kan men door toepassing van de wet van
Biot-Savart bewijzen dat:
∂Bz
2z
0,97
=− 2
B≈
B
∂z
a + z2
a
(4.18)
De uiteindelijke formule voor µz wordt dan:
µz =
4.3
6 a kT 0
z
0,97 lD B
(4.19)
Digitale aansturing
Om de moderne opstelling geschetst in vorige paragrafen de 21e eeuw binnen te loodsen, wordt
vrijwel het hele experiment digitaal aangestuurd. Hiervoor is een gebruikersinterface gecreëerd
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
32
in Labview, die de communicatie regelt tussen de apparatuur en gebruiker of experimentator.
Er is extra hardware vereist om de conversie tussen de digitale signalen en analoge aansturing
te regelen. Alle toestellen werken op een gelijkspanning van 15 Volt. Ze worden gevoed door
eenzelfde spanningsbron. Er volgt een overzicht van de werking van de verschillende modules
om het geheel in goede banen te leiden. Op het einde van deze sectie worden alle componenten
gebundeld in een regelschema.
4.3.1
PC
Het grootste deel van de set-up wordt aangestuurd via pc. De computer bevat tevens het programma dat geschreven is in Labview. Dit wordt uitgevoerd als ‘stand-alone’-applicatie. De broncode
is eveneens beschikbaar indien wijzigingen noodzakelijk zijn.
Het mag triviaal lijken, doch het is van het grootste belang voor de werking van de software dat de
computer het decimaalteken als een komma weergeeft, en niet als een punt. Verkeerde instelling
zal leiden tot het foutief verwerken van de data in Labview. Deze instelling kan desgewenst
gewijzigd worden in het besturingssysteem via:
Configuratiescherm 7→ Landinstellingen 7→ Indelingen
Voor het programma gestart wordt, moet de computer verbonden worden met de USB-kabel van
de opstelling.
4.3.2
Signaalconvertor
Het zenden van commando’s en de verwerking van de gegevens gebeurt met een computer die
communiceert via USB-poorten. Alle analoge modules worden echter via seriële poorten aangestuurd. Vermits dit type voor pc-doeleinden verouderd is, werd er een convertor gemonteerd
nabij de computer om de signaalconversie te verzorgen tussen USB en RS-485. Deze interface
wordt vaak gebruikt in data acquisitie en is (een) standaard in besturingstoepassingen met seriële
modules. De converter bevat twee van deze analoge poorten. Eén ervan wordt gebruikt om de
metingen te sturen en uit te lezen, de andere om te communiceren met een stappenmotor die
nodig is om de micrometer mechanisch i.p.v. handmatig te regelen. Deze convertor wordt niet
extern gevoed, dit gebeurt via de USB-poort.
4.3.3
Aansturing digitale/analoge modules
De conversie tussen digitale en analoge signalen wordt verzorgd door een tweetal modules. De
eerste module genereert op basis van een digitaal commando een spanningsoutput voor de positieve
input van een opamp-schakeling (zie sectie 4.3.5). Deze output is begrepen tussen 0 en 10 Volt, die
aangewend wordt om de magneet van de gewenste stroom te voorzien. Via een feedback systeem
wordt de werkelijke stroom gemeten en vergeleken met de gewenste waarde. De bijstelling is
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
33
geı̈mplementeerd in Labview, en deze is zelf-regulerend. Op de details wordt ingegaan in paragraaf
(4.4.2).
De tweede digitaal/analoge module krijgt input van de experimentele setup, die voor verwerking
wordt doorgestuurd naar de pc-interface. Enerzijds wordt hier de magneetstroom uitgelezen en
aan de gebruiker gemeld. Anderzijds is er het signaal van de elektrometer die deel uitmaakt van
de detector.
4.3.4
Aansturing stappenmotor
De stappenmotor wordt bediend via de andere seriële poort van de USB naar RS-485 converter.
De stapresolutie kan door de gebruiker ingesteld worden. Er kan gevarieerd worden tussen een
volledige stap, halve stap en 4-, 8- of 16-delige microstappen. De motor is voorzien van twee
schakelaars die de eindpunten van de meting signaliseren (zie Figuur 4.11). Deze optie wordt
aangewend om het einde van een meetsessie te detecteren en de apparatuur te resetten voor
volgende metingen.
Figuur 4.11: Schema van de eindloopschakelaars.
4.3.5
Aansturing magneet
De stroom door de wikkelingen van de spoel is aanstuurbaar gemaakt. Eén van de modules uit
vorige sectie zorgt voor een uitgangsspanning, die aangelegd wordt aan een analoge schakeling.
Deze schakeling is geconstrueerd met een operationele versterker die de spanning aanwendt om de
gewenste magneetstroom op te wekken. Voor de details van de elektronica wordt doorverwezen
naar het elektronisch schema van de opstelling in Appendix B. Het geheel van digitaal/analoogconvertor en opampschakeling is een alternatief voor een (dure) aanstuurbare spanningsbron om
de magneet van de gewenste stroom te voorzien.
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
4.3.6
34
Volledige opstelling
Figuur 4.12 is het paneel weergegeven waarop de gebruiker enkele parameters manueel kan sturen.
De betekenis van de schakelaars en meters zijn samengevat in Tabel 4.2. De lokale bediening laat
toe om het experiment te testen zonder dat het volledige programma moet doorlopen worden.
Het is in het bijzonder handig om snel na te gaan of de bundel perfect uitgelijnd is.
Tabel 4.2: Functionaliteiten van het meetpaneel.
Schemanummer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Functionaliteit
On/Off
Schakelaar Lokaal - Computergestuurd
Analoge uitlezing magneetstroom
Analoge stroombron voor magneet (enkel indien Lokaal)
Analoge uitlezing wisselstroom
Schakelaar om detector te ontgassen
On/Off schakelaar voor 8 + draaiknop om range aan te passen
Analoge uitlezing signaal
Analoge uitlezing drukpomp
Digitale uitlezing oventemperatuur
Wisselsstroombron voor detector
Figuur 4.12: Regelschema van het geautomatiseerde deel van de opstelling.
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
4.3.7
35
Blokschema’s van de opstelling
In Figuur 4.13 is het regelschema van de aanstuurbare opstelling afgebeeld. Het betreft het
schema van de dataflow die gestuurd en uitgelezen wordt door de computer. Figuur 4.14 is een
uitbreiding hiervan, met toevoeging van de niet-regelbare parameters, zoals oventemperatuur en
vacuümdruk. Dit schema leunt nauwer aan bij de experimentele opstelling. Het gedetailleerde,
elektronisch circuit is bijgevoegd in Appendix B voor snelle identificatie van de componenten en
signaaldraden in geval van storing of ongewenste effecten op het circuit.
Figuur 4.13: Regelschema van het geautomatiseerde deel van de opstelling.
Figuur 4.14: Regelschema van het Stern-Gerlachexperiment. Legende: Groen: dataflow van PC naar hardware, Rood: dataflow van hardware naar PC, Zwart: niet-aanstuurbare hardware.
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
4.4
4.4.1
36
Gebruik programma
Instelling parameters
De aansturing van de experimentele set-up is geprogrammeerd in Labview. Om de code te beschermen, is een zogenaamd ‘stand alone’ programma gegenereerd met de naam ‘Stern-Gerlach.exe’.
De gebruikersinterface (zie Figuur 4.15) laat een vlotte bediening van het experiment toe. Voor
de metingen aangevat kunnen worden, moet de gebruiker verifiëren of de gewenste druk en temperatuur bereikt zijn. Deze parameters laten geen digitale afstelling toe.
Figuur 4.15: Interface in Labview.
Nadat de USB-kabel van de opstelling met de computer is verbonden, kan het programma worden
opgestart. Voor de metingen aanvatten, moet de gebruiker de seriële poorten specifieren op het
frontpanel. Er verschijnt een lijst met de beschikbare poorten. Deze instelling kan geen ’default‘waarde aannemen, vermits het nummer van deze poorten zowel afhangt van de computer, als van
mogelijke andere apparatuur die aan de computer verbonden is. Voor de opstelling zoals ze op dit
moment bestaat, zijn de juiste parameters gegeven in Tabel 4.3.
Tabel 4.3: Instelling seriële poorten.
COM MOTOR
COM4
COM ADAM
COM5
Het aantal metingen is instelbaar op het frontpanel. Het is mogelijk tot 12 verschillende metingen
per sessie te verrichten, die elk gevisualiseerd worden op de grafiek. De x-as is uitgezet in eenheden [mm] verplaatsing van de detector. Elke meting binnen dezelfde sessie gebruikt een vaste
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
37
stapresolutie. Deze grootheid is eveneens instelbaar in Labview. Het betreft hier de ruimtelijke
resolutie aan de detector. De gebruiker geeft een waarde op in eenheden [10−4 m], gezien dit de
grootteorde is waarop de beoogde effecten zichtbaar zijn. De mogelijkheid bestaat om decimale
getallen op te geven om de resolutie te verhogen. De waarde wordt omgerekend en afgerond naar
het benodigde aantal (micro-)stappen voor de stappenmotor. Vermits de motor gemonteerd is
nabij de oven, is ook rekening gehouden met een hevelverhouding van 1,8 om de laterale verplaatsing van de detector de correcte resolutie te geven. Bij een stapresolutie van 0,1 mm zijn de
effecten reeds nauwkeurig te bestuderen.
Na bevestiging van de waarden is er de mogelijkheid om een file (.txt file) met de meetwaarden
te benoemen. Hiernaar worden alle gegevens weggeschreven, gaande van de parameters van de
meting tot alle meetwaarden van de sessie. De gegevens zijn geordend in rijen om gemakkelijk
ingelezen te kunnen worden in een elektronisch rekenblad zoals Excel voor verdere verwerking.
Vervolgens kan het programma gestart worden door op de -toets van Labview te klikken. Er
verschijnt een scherm (zie Figuur 4.16) om bij het begin van een nieuwe meting de magneetstroom
op te geven in eenheden [10−1 A]. Decimale waarden zijn toegelaten. Er is een begrenzing
ingesteld om deze stroom te beperken tot het interval [0;1] Ampère. De beoogde effecten zijn
het best te bestuderen bij een magneetveld van [0;0,6] Tesla, en hiervoor volstaat de opgelegde
stroombeperking.
Figuur 4.16: Scherm om magneetstroom te definiëren.
4.4.2
Configuratie hardware
In de volgende stap configureert Labview de hardware in de gewenste vorm. Teneinde elke meting
op hetzelfde beginpunt te starten, wordt aan de stappenmotor het commando gegeven om naar de
startpositie te roteren. Het is immers nog steeds mogelijk om de apparatuur manueel te bedienen,
en dit kan leiden tot een verkeerde beginpositie.
Vervolgens wordt de magneetstroom via een feedbacksysteem ingesteld op de gewenste waarde
Iuser . Om dit te verwezenlijken wordt eerst een geschatte spanningsoutput Vin aangelegd aan
de positieve opampklem, waarna de werkelijke magneetstroom Im wordt uitgelezen. De magneet
wordt per meting2 aanzien als een component met een bepaalde (lineaire) weerstand R. Gezien
2
Binnen het tijdsbestek van 1 meting kan de weerstand van de magneet als temperatuursonafhankelijk
beschouwd worden
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
38
de spanning Vin gekend is, evenals de werkelijke stroom Im na een eerste meting, is de waarde
van deze weerstand uit te rekenen met de wet van Ohm. Deze waarde Rm wordt vermenigvuldigd
0
met de gewenste stroom Iuser , en de inputspanning wordt aangepast tot Vin om deze stroom op
te leggen:
Vin = Iuser R
Vin
Rm =
Im
0
Vin = Iuser Rm
(4.20)
(4.21)
(4.22)
Wanneer de gewenste configuratie is bereikt, wordt de exacte waarde van de magneetstroom
aan de gebruiker gemeld (zie Figuur 4.17). Deze kan licht afwijken van de gewenste waarde (orde
0,01A), vermits de opampschakeling gebouwd is met weerstanden met een tolerantie van 10%. Op
dit ogenblik moet de gebruiker de shutter van de oven openen, om de stralengang te deblokkeren.
Teneinde deze stap te automatiseren, wordt een spanningspuls van 10 V aangeboden via een
signaaldraad net voor de meting start. Het is de bedoeling dat deze aangewend wordt om de
shutter te openen, dit is echter in de huidige opstelling nog niet gerealiseerd. Na het aanklikken
van de ‘start meting’-knop, wordt de meetlus aangevat.
Figuur 4.17: Melding aan gebruiker met effectieve magneetstroom.
De meetlus bestaat uit het meten van de detectorstroom, aanvullen van het logbestand, de meetwaarde toevoegen in een grafiek op het frontpanel en nagaan of de eindpositie van de motor is
bereikt. Indien de motor het hele bereik nog niet is afgegaan, wordt naar de volgende positie
geroteerd. Zoniet wordt het signaal gegeven dat de meting is beëindigd, en de apparatuur wordt
gereset tot zijn begintoestand.
Wanneer een ongewenst effect optreedt, kan de meetlus onderbroken worden door op de knop
‘STOP Huidige Meting’ te klikken op het frontpanel. Deze functie zorgt voor een reset van de
apparatuur, en biedt de mogelijkheid de parameters voor de volgende meting op te geven. Indien
nodig, kan het vervolg van het programma geannuleerd worden door op de -toets te klikken.
Het geniet de voorkeur om een meting volgens dit procédé te stoppen. Meteen indrukken van de
-toets onderbreekt het programma onmiddellijk, en dit kan leiden tot een ongekende toestand
van de apparatuur.
Voor details aangaande de syntax van de Labview-code, wordt verwezen naar Appendix C.
Hoofdstuk 5
Analyse van de resultaten
5.1
Berekening van het Bohr-magneton
Het doel van de experimenten is finaal het berekenen van het Bohr-magneton µB . Dit kan
gebeuren aan de hand van een analyse van de Labview-gegevens en formule (3.43):
lD
∂B
z
|∆z | = (µz )max
∂z 3kT 0
(5.1)
Met de gegevens over de magneet uit het vorige hoofdstuk, kan deze formule omgevormd worden
tot:
0,97B lD |∆z | = (µz )max
a 3kT 0
(5.2)
Bemerk dat enkel de laterale splitsing als parameter optreedt, en niet de intensiteit van de deeltjesstroom. De parameters die optreden in deze formule zijn weergegeven in Tabel 5.1.
Tabel 5.1: Experimentele parameters en constanten.
Parameter
B
l
D
a
k
Numerieke waarde
via Tabel 4.1
7,0 ×10−2 m
42,6 ×10−2 m
2,5×10−3 m
1,3806504 ×10−23 J/K
Een voorbeeld van een meetsessie is gegeven in Figuur 5.1. De centrale piek is opgemeten in
afwezigheid van een magnetisch veld. De opsplitsing wordt bekomen door een magnetisch veld
van B = 0, 2T en B = 0, 5T . Deze meting werd uitgevoerd bij een temperatuur van 169◦ C, en
een vacuümdruk van 3 × 10−6 mbar.
39
HOOFDSTUK 5. ANALYSE VAN DE RESULTATEN
40
Figuur 5.1: Meting van de bundelintensiteit bij B=0T , B=0, 2T en B=0, 5T
Op basis van elk van de opsplitsingen kan het Bohr-magneton berekend worden. Voor de meting
bij B =0,2 T resulteert dit in µB1 =9,80×10−24 J/T en voor de meting bij B = 0, 5T in
µB2 =8,20×10−24 J/T . Vergeleken met de werkelijke waarde van het µB =9,27×10−24 J/T leert
dat de resultaten in de juiste grootteorde liggen, doch dat het aantal correcte beduidende cijfers
beperkt is.
Inspectie van (5.2) leert dat het foutief inschatten van de bundelopsplitsing weinig invloed heeft
vermits het om fracties van millimeters gaat. De meting uitvoeren bij een hogere resolutie, kan
de grootte van de afwijking niet opheffen. De parameter die het meest invloed heeft, is de waarde
van B. De numerieke waarde van deze parameter is 100 maal groter dan ∆z 0 . De nauwkeurigheid
van B is beperkt tot twee decimalen. Een afronding van B±0,01 op de getabelleerde waarden
heeft een duidelijk effect op µB :
µB1 = [9, 35 × 10−24 ; 10, 29 × 10−24 ]J/T
(5.3)
−24
(5.4)
µB2 = [8, 08 × 10
−24
; 8, 38 × 10
]J/T
De experimentele fout is vermoedelijk toe te schrijven aan de onnauwkeurigheid van B. Enerzijds
heeft de beperkte kennis van het aantal beduidende cijfers van B een rol. Anderzijds is het ook
HOOFDSTUK 5. ANALYSE VAN DE RESULTATEN
41
mogelijk dat de bundel niet precies afgelijnd staat, m.a.w. lichtjes afwijkt van de x-as. Vermits
de getabelleerde waarden enkel geldig zijn voor punten op deze as, is de onnauwkeurigheid van
bovenstaande meting mogelijks toe te schrijven aan een slechte uitlijning van de optische as van
het experiment.
In Figuren 5.2 en 5.3 is het effect van slechte uitlijning van de ovenslit weergegeven. Het blijkt
dat ook de vorm van de piek onderhevig is aan de oriëntatie van de oven. Het is door middel van
onderstaande procedure mogelijk de detectiepieken meer symmetrisch te maken, hetgeen ook een
esthetisch effect heeft.
Figuur 5.2: Asymmetrische piek t.g.v. slecht uitlijnen.
Figuur 5.3: Asymmetrische pieken t.g.v. slecht uitlijnen.
Volgens de fabrikant Phywe kan de positie geoptimaliseerd worden door de detector in het maximum te plaatsen in de afwezigheid van het magnetisch veld voor de huidige configuratie[24].
Vervolgens dient men de cilinder van de oven te roteren om zijn symmetrie-as, om manueel een
maximum waarde te vinden van de detectiepiek. Tot slot moet bij deze laatste positie ook de
tilthoek gevonden worden van de symmetrie-as die een maximum van de detectorstroom oplevert.
In dit punt is de ovenslit perfect opgelijnd met de detector.
5.2
Systematische analyse van de bundelopsplitsing
In Figuur 5.4 is de sterkte van het magneetveld systematisch opgedreven van 0 T tot 0,7T . De
parameters van deze meetsessie zijn dezelfde als in het experiment uit sectie 5.1. De berekende
waarden van het Bohr-magneton op basis van dit experiment zijn samengevat in Tabel 5.2.
HOOFDSTUK 5. ANALYSE VAN DE RESULTATEN
42
Figuur 5.4: Het Stern-Gerlach effect bij verschillende veldsterktes.
Detectorstroom voor achtereenvolgens 0T (wit); 0,1T . . . ; 0,7T (donkerblauw).
Tabel 5.2: Bohr-magneton voor verschillende waarden van het magneetveld.
B [T ]
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
µB [J/T ]
n.v.t
n.v.t.
9,42 ×10−24
9,15 ×10−24
9,41 ×10−24
7,20 ×10−24
8,42 ×10−24
8,59 ×10−24
De opsplitsing van de pieken is het best zichtbaar bij lagere veldsterkten. Deze metingen lenen
zich het best tot nauwkeurig identificeren van de piekwaarde. Figuur 5.4 visualiseert op een
kwalitatieve manier hoe de bundel van K-atomen interageert met de verschillende veldsterkten,
en heeft hierom ook didactische waarde.
In Figuur 5.5 is de afbeelding weergegeven die meegeleverd werd met de apparatuur. In deze
begeleidende documenten werden op basis van deze meetsessies waarden met een gelijkaardige
nauwkeurigheid (7 à 8×10−24 J/T ) berekend voor het Bohr-magneton. Dit laat toe te besluiten
dat de opstelling erin slaagt de effecten op te wekken waarvoor ze bedoeld is.
HOOFDSTUK 5. ANALYSE VAN DE RESULTATEN
43
Figuur 5.5: Het Stern-Gerlach effect bij verschillende veldsterktes volgens fabrikant Phywe.[J]
5.3
Conclusie
De uitvoering van het Stern-Gerlach experiment, zoals beschreven in voorgaande hoofdstukken,
resulteert in het opwekken van de beoogde effecten, nl. de opsplitsing van een bundel kaliumatomen
in een inhomogeen magnetisch veld. Dit laat toe het atomair moment van K te berekenen, een
waarde die voor dit atoom overeenstemt met het Bohr-magneton. Op basis van de experimentele
gegevens, verkrijgt men zo een behoorlijke schatting van deze constante. De resulterende fout op
de exacte waarde is van de grootte-orde 10%.
De afwijking van de juiste waarde is wellicht voornamelijk toe te schrijven aan het traject van de
bundel. Volgens de theorie, zou deze perfect langs de x-as moeten propageren, om een berekening
van het Bohr-magneton toe te laten. Een bijkomende reden is dat de waarde van het magnetisch
veld slechts gekend is op deze as. Vermits de numerieke waarde uiterst gevoelig blijkt aan deze
parameter, is het juist afstellen van de optische as een absolute vereiste.
Deel II
Het Zeeman-effect.
44
Hoofdstuk 6
Het Zeeman-effect
6.1
Historische context
Zoals in Hoofdstuk 2 aangehaald, bestond al sinds halverwege de 19e eeuw de overtuiging dat
materie een inwendige structuur heeft met o.a. elektronen als elementaire geladen deeltjes. Hoewel
de ontdekking van kathodestraling en β-stralen duidelijk suggereerde dat er elektronen aanwezig
waren in atomen, was dit nog geen sluitend bewijs van de hypothese. De doorbraak kwam uit een
andere hoek, nl. de effecten van een magnetisch veld op de spectraallijnen die door de atomen
worden uitgezonden.
De eerste die in deze richting onderzoek deed, was Michael Faraday
in 1862. Hij had geprobeerd om aan te tonen dat de frequenties van
het uitgezonden licht van een vlam konden beı̈nvloed worden door
magnetisme, echter zonder succes[2]. De eerste die erin slaagde om
een meetbaar effect op te wekken was Pieter Zeeman in 1896. Als
assistent van Hendrik Lorentz aan de Universiteit van Leiden, bestudeerde hij de verbreding van spectraallijnen van een natriumvlam
door inwerking van een elektromagneet[2].
Figuur 6.1: Pieter Zeeman.
Lorentz zocht een verklaring voor dit effect binnen de elektronentheorie van de materie. Hij veronderstelde dat de elektronen elastisch gebonden waren in de atomen. Hij ontbond hun beweging
in componenten evenwijdig met en transversaal aan het magnetisch veld, en stelde dat enkel de
transversale component een frequentieverschuiving zou ondergaan. De reden hiervoor was dat
de elektromagnetische Lorentzkracht enkel werkt op de loodrechte component van de beweging
van het geladen deeltje. Met ν0 de frequentie van de (ongestoorde) evenwijdige component van
de elektronenbeweging, berekende hij dat de frequentie van de transversale componenten zou
verschuiven met een waarde[2]:
ν = ν0 ±
45
eB
4πme
(6.1)
HOOFDSTUK 6. HET ZEEMAN-EFFECT
46
Deze uitdrukking beschreef de geobserveerde effecten voor variërende waarden van de sterkte van
het magnetisch veld B. (6.1) gaf ook een waarde van me /e die dezelfde grootte-orde had als bij
kathodestraling. Zeeman en medewerkers aan andere Europese universiteiten1 ontdekten ook dat
het licht van de verschoven lijnen circulair gepolariseerd was. De observatie dat de component
met de kortere golflengte een circulaire polarisatie had in dezelfde zin als waarin de stroom van de
elektromagneet liep, liet toe te concluderen dat de ‘objecten’ die de straling uitstuurden negatief
geladen waren. Al deze beschouwingen leken te bevestigen dat materie inderdaad opgebouwd was
uit elektronen die elastisch gebonden waren aan de atomen.
Ongeveer terzelfdertijd bestudeerde Joseph Larmor een andere invalshoek van de elektrontheorie.
Hij zag elektronen niet als elastisch gebonden, maar als roterende deeltjes in de atomen. Hij
toonde aan dat het effect van een magnetisch veld op roterende deeltjes tot een bijkomende
precessiebeweging om de as van het veld leidt. De hoeksnelheid van deze beweging, bleek van de
vorm[2]:
ωL = 2πνL =
eB
2me
(6.2)
De frequentieverschuiving νL die hiermee gepaard gaat, bleek identiek aan de verschuiving van
de spectraallijnen in het Zeeman-effect. De oorzaak van de spectraallijnen kon m.a.w. op 2
manieren verklaard worden: ze werden uitgezonden door oscillerende elektronen, of door roterende
elektronen. Er bleek nood aan nieuwe modellen van de atomaire structuur om de knoop te
ontwarren. De toekomst zou moeten uitwijzen welke van beide hypothesen de correcte was.
Hoewel de oorpsrong van de uitgezonden straling mogelijks gekend was, hetzij door de theorie
van Lorentz, hetzij door die van Larmor, was het probleem van de complexiteit van het spectrum
hiermee nog niet opgelost. Men observeerde voor elementen als natrium, cadmium en kwik een
opsplitsing in complexe multipletten. Het bleek al snel dat een gedeelte van het spectrum binnen
verschillende voorzichtige theorieën een verklaring kende, maar er was sprake van anomaliën2 .
Tot Lorentz’ grote ontgoocheling, bleek al snel dat deze anomale effecten niet konden verklaard
worden op basis van zijn theorie van oscillerende elektronen. Hetzelfde kon echter gezegd worden
van de Larmor-theorie, doch het atoommodel van Niels Bohr leek een kentering te brengen.
Het was Arnold Sommerfeld die Bohr ertoe aanzette om met zijn theorie aan de slag te gaan
om het Zeeman-effect te verklaren[2]. Samen herwerkten ze het atoommodel en ze slaagden erin
een correcte beschrijving te geven van de spectra van waterstof-achtige atomen, het enige type
elementen dat ze met hun theorie konden beschrijven. Ook dit model struikelde echter over de
anomaliën die in de meer complexe spectra naar boven kwamen. Hoewel de theorie succesvol was
in het beschrijven van een aantal atomaire fenomenen, was het ironisch genoeg het onvermogen
om het effect te verklaren waarvoor de theorie in het leven werd geroepen, dat zijn doodvonnis
tekende. De ideeën van de Bohr-Sommerfeld-theorie waren wel een rechtstreeks aanleiding voor
het baanbrekende concept ‘ruimtelijke kwantisatie’, en betekenden een nieuwe impuls in de richting
van wat nu moderne kwantummechanica genoemd wordt. Het was uiteindelijk nog wachten op de
1
Er waren heel wat wetenschappers die meteen op de kar sprongen na de ontdekking van het experiment.
Degenen die de belangrijkste bijdragen leverden in de beginfase waren: Alfred Cornu (Parijs), Thomas Preston
(Dublin), Woldemar Voigt (Göttingen) en Walter König.
2
Het is omwille van deze onkunde om het hele spectrum te verklaren, dat men nu nog steeds spreekt van
een ‘normaal’ en een ‘anomaal’ Zeeman-effect.
HOOFDSTUK 6. HET ZEEMAN-EFFECT
47
introductie van het concept spin in 1925 (zie Hoofdstuk 2) om het zwarte beest dat het anomale
Zeeman-effect geworden was, voorgoed het zwijgen op te leggen.
6.2
Theorie
Elk atoom is gekarakteriseerd door een discrete set van energieniveaus, die residuele ontaarding
vertonen in de afwezigheid van externe velden. Wanneer een atoom licht uitzendt, correspondeert
dit met elektronenovergangen tussen deze toestanden. Het opsplitsen van de spectraallijnen van
een atoom in een (homogeen) magnetisch veld is een gevolg van het feit dat de interactie van
het atoom met het externe veld afhangt van de toestand waarin het zich bevindt. Door het veld
worden meer spectraallijnen zichtbaar, hetgeen impliceert dat ontaarde toestanden opsplitsen en
nieuwe3 transities mogelijk maken.
6.2.1
Het anomaal Zeeman-effect
Zoals uiteengezet in sectie 3.3 bezitten atomen magnetische momenten t.g.v. hun orbitaal- en
spinmoment. De interactie van deze momenten met het magnetisch veld zijn verschillend, en de
resulterende energieshifts in het spectrum zijn hier de weergave van. Indien men zich beperkt tot
spinloze toestanden S = 0, spreekt men van het normaal Zeeman-effect. Strikt genomen is dit
het speciale geval, vermits S 6= 0 vaker voorkomt.
De meest algemene vorm van de Hamiltoniaan voor een atoom in een magnetisch veld B gericht
volgens de z-as is gegeven door[13]:
Ĥ = −
X ~2
X Ze2
X e2
~ˆ · S
~ + µB (L̂z + 2Ŝz )B
∇i −
+
+ ξ(r)L
2me
4π0 ri
4π0 rij
~
i
i
(6.3)
i6=j
µB
= Ĥ0 +
(L̂z + 2Ŝz )B
~
(6.4)
Voor de berekening wordt er onmiddellijk uitgegaan van de Russell-Saunders benadering waarbij
de spin-baan koppelingsterm veel kleiner is dan de residuele, niet sferisch-symmetrische repulsie
tussen de elektronen. In het geval van het Zeeman-effect is de magnetische interactie veel kleiner
dan de kleinste term in Ĥ0 , hier dus de spin-baan koppeling, zodat deze term als een perturbatie
op het energiespectrum van Ĥ0 beschouwd worden. De correcties op de originele energieniveaus
worden gegeven door de eigenwaarden van de operator (binnen de ontaarde ruimte) die aan de
basis ligt van de storing. De magnetisch term in (6.4) is diagonaal in de basis opgespannen door
~ˆ
het veralgemeende impulsmoment J:
(L̂z + 2Ŝz )B = gSLJ Jˆz B
3
waarbij
g =1+
J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)
2J(J + 1)
‘Nieuw’ betekent hier: bijkomende golflengten treden op t.o.v. het originele spectrum
(6.5)
HOOFDSTUK 6. HET ZEEMAN-EFFECT
48
In (6.5) is gSLJ de Landé g-factor. Indien men rekening houdt met de beperkingen voor elektrische
dipoolovergangen, bekomt men volgende selectieregels voor een 2S+1 LJ -niveau[13,25]:
∆S = 0
(6.6)
∆L = 0, ±1
(6.7)
∆J
= 0, ±1 tenzij
(J = 0 → J = 0)
∆M
= 0, ±1 tenzij
(M = 0 → M = 0) als
(6.8)
∆J = 0
(6.9)
De energiesplitting die gepaard gaat met de magnetische storingsterm is van de vorm:
∆EZeeman = gµB BMJ
6.2.2
(6.10)
Het Zeeman-effect bij kwik
Gasvormig kwik heeft verschillende scherpe transities in het ultraviolet en zichtbaar spectrum. De
belangrijkste lijnen zijn gesitueerd bij 254, 312, 365, 404, 436, 546, 579 en 614nm[25]. Wanneer
men een magnetisch veld aanlegt aan de 546nm lijn, bekomt men een opsplitsing in 9 verschillende
lijnen. De configuratie van de grondtoestand van Hg is ([Xe]f 14 5d10 )6s2 . De 546nm spectraallijn
correspondeert met een 6s7s naar 6s6p-transitie, meer bepaald 3 S1 →3 P2 (in spectroscopische
notatie). Dit stemt overeen met een verval van de tweede naar een eerste aangeslagen toestand
van Hg.
Aanleggen van een magnetisch veld zorgt voor een opsplitsing van de ontaarde energieniveaus van
3 S en 3 P in 3 resp. 5 componenten. De Landé-factor herleidt zich in dit geval tot[13]:
1
2
g( S = 1, L = 0, J = 1) = 2
3
g( S = 1, L = 1, J = 2) =
2
(6.11)
(6.12)
Het energieschema van de opsplitsing is afgebeeld in Figuur 6.2. Noemt men E0 het energieniveau
corresponderend met de 546nm lijn in de afwezigheid van het magnetisch veld, dan berekent men
de 9 equidistante energieniveaus van het Zeeman-effect[13]:
3
E = E0 + 2µB B, E0 + µB B, . . . , E0 − 2µB B
2
(6.13)
De intensiteit van deze overgangen is gerelateerd aan de overgangswaarschijnlijkheid van de transitie, en bijgevolg niet voor alle spectraallijnen dezelfde. De berekening van deze intensiteiten
komt uitgebreid aan bod in de oefeningen bij de cursus Atoom- en Molecuulfysica[13].
HOOFDSTUK 6. HET ZEEMAN-EFFECT
Figuur 6.2: Energieschema van de opsplitsing van de 546nm spectraallijn van kwik in een extern magneetveld.[E]
49
Hoofdstuk 7
Practicumopstelling van het
Zeeman-effect.
7.1
Oorspronkelijke opstelling
Het Zeeman-effect wordt bestudeerd door een kwiklamp te plaatsen tussen de poolschoenen van
een elektromagneet[25]. In Figuur 7.1 is de experimentele opstelling schematisch weergegeven
(aangevuld met het geautomatiseerde deel). Er wordt een telescoop (6) gebruikt om bundel te
verbreden en de intensiteit van het ringenpatroon te vergroten. Het interferentiefilter (5) is een
smalbandfilter dat enkel het groene licht doorlaat om de spectraallijn van 546nm te filteren uit
het spectrum. (4) is een plaatje matglas, dat gebruikt wordt om de lichtbundel uit te spreiden,
zodat de interferentieringen over hun gehele omtrek dezelfde intensiteit vertonen. Op de optische
bank (2) bevindt zich ook een Fabry-Pérot étalon (3) dat ervoor zorgt dat er een scherp interferentiespectrum ontstaat van concentrische ringen. Het verband tussen de voedingsstroom en de
sterkte van het magneetveld wordt gegeven in Tabel 7.1[25].
Tabel 7.1: Conversie magneetstroom-sterkte magneetveld voor het Zeeman-effect.
I[A]
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
B[T]
0,340
0,620
0,850
1,100
1,320
1,500
1,680
1,800
1,900
50
HOOFDSTUK 7. PRACTICUMOPSTELLING VAN HET ZEEMAN-EFFECT.
PC
51
DAC
Figuur 7.1: Opstelling voor het Zeeman-effect.
Legende: 1. Analoge camera; 2. Optische bank; 3. Fabry-Pérot étalon; 4. Mat glas; 5. Smalbandfilter; 6.
Telescoop; 7. Kwiklamp; 8. Magneet; 9,10. Voedingen.[K]
Onder: toegevoegde hardware voor automatisatie; Groen: dataflow van PC naar hardware; Rood: dataflow van
hardware naar PC.
7.2
Gedigitaliseerde opstelling
De beschreven opstelling heeft een belangrijk nadeel, nl. dat de analyse van het ringenpatroon
moet gebeuren op basis van een analoge opname. De foto’s worden geprojecteerd op een witte
achtergrond en de stralen van de ringen dienen met een lineaal opgemeten te worden. De komst
van het digitale tijdperk kan de analyse sneller maken, en vooral vereenvoudigen. In zijn huidige
opstelling is de analoge camera vervangen door een digitaal fototoestel en ook de magneetsturing
werd geautomatiseerd (zie onderste deel Figuur 7.1). Beide functionaliteiten zijn gekoppeld in een
Labview-programma.
Digitale camera
Voor de toepassing is een Nikon D40 digitale camera aangekocht. Dit toestel laat controle vanuit
een interface in Labview toe. Hiervoor is het noodzakelijk dat de datatransfer van het toestel is
ingesteld in zogenaamde PTP-mode, een protocol dat standaard is voor vele types van camera’s.
Voor de compatibiliteit met Labview is echter meer nodig dan de standaard PTP-mode. In
het bijzonder is de mogelijkheid om afbeeldingen te maken vanuit Labview niet voor alle PTPstandaarden toegankelijk. De Nikon D40 voldoet aan alle vereisten opgelegd door het experiment
en de aansturing.
Het digitaal toestel kan op het statief van de analoge camera gemonteerd worden. Men schakelt
vervolgens het toestel in Manuele Focus. Bij afwezigheid van omgevingslicht, dient de focus
manueel bijgesteld te worden totdat het ringenpatroon scherp in beeld komt. Er dienen nog
verscheidene parameters manueel ingesteld te worden om de compatibiliteit met Labview en de
optimale beeldkwaliteit te garanderen.
HOOFDSTUK 7. PRACTICUMOPSTELLING VAN HET ZEEMAN-EFFECT.
52
1. De belichtingstijd moet beperkt worden tot 6 seconden om saturatie te vermijden.
2. Het diafragma heeft haar maximale opening (waarde: 5,6).
3. Het bestandstype moet ingesteld worden als JPEG FIJN).
Deze laatste instelling is als volgt toegankelijk:
Opnamemenu 7→ Beeldkwaliteit 7→ JPEG (FIJN)
Voor het nemen van foto’s, dienen alle bestanden van het apparaat verwijderd te worden. Nog
aanwezige bestanden die niet in het juiste formaat op de geheugenkaart staan, zorgen voor een
foute communicatie tussen Labview en de camera.
Aansturing voeding
De spanningsbron uit de oude opstelling is vervangen door een aanstuurbare voeding die het
gevraagde vermogen kan leveren (grootte-orde 7A bij een spanning van 40V ≈ 280W ). Om de
communicatie tussen de computer en de voeding te verzorgen, is een digitaal/analoog-convertor
gemonteerd. Deze DAC-module zet een digitaal signaal om in een uitgangsspanning. De mogelijke
spanningen zijn waarden in het interval [0;5] Volt. Deze spanning dient als input voor de voeding
die deze waarden gebruikt om de stroom door de elektromagneet te sturen. De stroombron is
hiervoor in constante stroommodus (REMOTE CC en OUTPUT ON) geschakeld. De converter zelf
wordt gevoed via een USB-poort.
7.3
Labview-programma voor het Zeeman-effect
De vereisten voor het software gedeelte van het Zeeman-effect liggen beduidend lager dan bij het
Stern-Gerlach-programma. Labview dient enkel de communicatie te voorzien tussen de stroombron
en de camera enerzijds en de pc anderzijds. Wanneer de opstelling klaar is (camera gefocuseerd,
lichten gedimd) dan kan het programma gestart worden door de -toets aan te klikken. Via
een dialoogvenster is het mogelijk om voor de volgende beeldopname de magneetstroom in te
stellen. Nuttige metingen bevinden zich in het stroomvenster 3A-6A. Onder de 3A zijn de
verschillende deelfranjes niet geresolveerd, en voor I groter dan 6A beginnen de opgesplitste
ringen van verschillende orde elkaar te overlappen. Daarom is een begrenzing ingesteld om de
stroom te beperken tot maximaal 7A. De ingestelde waarde kan ook afgelezen worden op de
display van de stroombron.
Vervolgens wordt de foto genomen met de ingestelde waarde van de sluitertijd. Het kan tot 10
seconden duren vooraleer de afbeelding op het scherm verschijnt, ten gevolge van enkele ingebouwde delays. Deze zijn nodig om de camera de tijd te gunnen de afbeelding weg te schrijven
naar zijn geheugenkaart. Op het computerscherm verschijnt de foto van het ringenpatroon. Wanneer de gebruiker met de muis over de afbeelding beweegt, is op de grafiek het intensiteitspatroon
weergegeven langsheen de horizontale op die plaats. Het is de bedoeling om manueel het centrum
HOOFDSTUK 7. PRACTICUMOPSTELLING VAN HET ZEEMAN-EFFECT.
53
van de concentrische ringen te vinden en aan te klikken. Bij de muisklik verschijnt een dialoogvenster om de bestanden (foto + tekstbestand met intensiteiten) te benoemen. Tot slot kan de
gebruiker bepalen om een bijkomende meting te verrichten. Indien dit niet gewenst is, eindigt het
Labview-programma met de stroom doorheen de magneet naar nul te brengen.
De Labview-interface bestaat slechts uit een afbeelding en een grafiek. De afbeelding bevat zo’n
3000 pixels, elk met een bepaalde grijswaarde. Op het intensiteitspatroon is enkel het groene
deel van het kleurenspectrum afgebeeld. Om zo goed mogelijk de franjes op de grafiek te zien,
neemt deze een groot deel van het scherm in. Het is om die reden niet zinvol om hier een volledig
screenshot van het Labview programma af te beelden.
Figuur 7.2 en 7.4 zijn voorbeelden van opnamen van het intensiteitspatroon. Figuren 7.3 en 7.5
beelden de bijhorende intensiteitspatronen langs een lijn af. Er is duidelijk te zien dat het eerste
patroon satureert bij een waarde van 256, de maximale grijswaarde van een pixel. Om die reden
is het nodig de sluitertijd te beperken. Bij het tweede patroon is een sluitertijd van 6 seconden
gebruikt. Bij deze waarde satureert de CCD net niet.
Figuur 7.2: Ringenpatroon bij 0A.
HOOFDSTUK 7. PRACTICUMOPSTELLING VAN HET ZEEMAN-EFFECT.
Figuur 7.3: Intensiteitspatroon bij 0A.
Figuur 7.4: Ringenpatroon bij 3A.
54
HOOFDSTUK 7. PRACTICUMOPSTELLING VAN HET ZEEMAN-EFFECT.
55
Figuur 7.5: Intensiteitspatroon bij 3A.
Op basis van metingen als deze kan men de afstand tussen de opgesplitste lijnen bepalen, en
hiermee de verschuivingen in de golflengte berekenen t.g.v. het magnetisch veld.
Hoofdstuk 8
Algemeen besluit
Het resultaat van een jaar werk is dat de practicumopstellingen van het Stern-Gerlach en het
Zeeman-effect gemoderniseerd zijn. Beide opstellingen worden computergestuurd en maken gebruik van digitale opslag van informatie. Dit draagt in belangrijke mate bij tot het efficiënter
analyseren van de experimenten.
Het Stern-Gerlach experiment is in zijn huidige opstelling zo goed als klaar om als demopracticum
aan het curriculum van studenten Natuurkunde en Toegepaste Natuurkunde toe te voegen. Er
kan nog bijkomend onderzoek verricht worden naar de precieze oorzaak van het falen bij sommige meetsessies. Er zijn al concrete stappen ondernomen om het effect van kaliumvervuiling
verder tegen te gaan. Deze zullen echter niet beëindigd worden binnen het tijdsbestek van huidig
academiejaar. De toekomst zal uitwijzen of het experiment voor 100% betrouwbaar wordt.
Het Zeeman-effect is in een modern jasje gestoken, zodat de analyse van de practicumgegevens in
het volgend academiejaar vlotter kan verlopen. Vermits het doel beperkt bleef tot het digitaliseren
van de opstelling, is dit deel van de masterproef afgerond. Er rest de studenten enkel nog zich
vertrouwd te maken met de huidige opstelling.
De combinatie van het Stern-Gerlach experiment en de Zeeman-proef biedt een uniek geheel om
de theorie uit de cursussen Kwantummechanica en Atoom- en Molecuulfysica experimenteel te
staven. Het biedt een direct venster op de structuur van atomen, en de vreemde eigenschappen van
de kwantumwerkelijkheid, en biedt in die zin een meerwaarde voor elke beginnende natuurkundige.
56
Bijlage A
Oorsprong van de Hamiltoniaan in
vergelijking (3.54)
Het uitgangspunt is de Hamiltoniaan voor een elektron in een magnetisch veld:
Ĥ =
2
1 ~
p~ + eA
2me
(A.1)
~ geldt:
Mits inachtname van p~ = −i~∇
Ĥ =
=
=
1
2me
1
2me
1
2me
~
p~ + eA
2
(A.2)
h
i
~ + eA
~ · p~
p2 + (eA)2 + p~ · eA
h
i
~ · eA
~ + eA
~ · i~∇
~
−~2 ∇2 + (eA)2 − i~∇
(A.3)
(A.4)
De kwadratische term in de vectorpotentiaal is verwaarloosbaar voor kleine magnetische velden[20].
De operatoren in (A.2) werken in op een golffunctie Ψ. De derde term kan men uitdrukken als:
~ · (AΨ)
~
~ ·A
~+A
~ · ∇Ψ
~
∇
= Ψ∇
(A.5)
~ ·A
~ = 0 wegens de keuze van de Coulomb-ijk.
De term ∇
Hiermee kan men Ĥ herschrijven als:
Ĥ0 =
i
1 h 2 2
~·∇
~
−~ ∇ − 2i~eA
2me
Men kan bewijzen dat voor een uniform magnetisch veld geldt[20]:
57
(A.6)
BIJLAGE A. OORSPRONG VAN DE HAMILTONIAAN IN VERGELIJKING (3.54)
~
~ = − 1 [~r × B]
A
2
58
(A.7)
~·∇
~ in Ĥ kan hiermee herschreven worden als[20]:
De operator A
~·∇
~ = − 1 [~r × B]
~ ·∇
~
A
2
1
~ ·B
~
[~r × ∇]
=
2
1 ~ˆ ~
= −
L·B
2i~
(A.8)
(A.9)
(A.10)
~ˆ expliciet op in de Hamiltoniaan:
Op deze manier treedt het impulsmoment L
1 2 2
~ ∇ +
2me
1 2 2
= −
~ ∇ +
2me
Ĥ = −
e ~ˆ ~
L·B
2me
µB ~ˆ ~
L·B
~
(A.11)
(A.12)
Vermits de hypothese van Goudsmit en Uhlenbeck het bestaan van een intrinsiek impulsmoment
~ˆ vooropstelt,vereist dit een gelijkaardige term in de Hamiltoniaan:
S
Ĥ = −
1 2 2 µB ~ˆ ~ gµB ~ˆ ~
~ ∇ +
L·B+
S · B(r̂)
2me
~
~
(A.13)
In deze uitdrukking is de analogie tussen de spin en het baanmoment duidelijk zichtbaar. De
~ˆ · B
~ heeft ertoe geleid om de vorm S
~ˆ · B
~ te postuleren voor het impulsmoment
specifieke vorm L
dat met de spin geassocieerd werd. De factor g is ingevoerd om de theorie met het experiment te
laten overeenstemmen.
Bijlage B
Elektrisch schema Stern-Gerlach
Het elektrisch schema is verkleind afgebeeld om een indruk te geven van de opbouw. Het dinA4formaat van deze thesis laat geen weergave van de details toe. Het originele bestand van het
elektronisch circuit is in elektronische versie beschikbaar op de vakgroep, en kan desgewenst
geraadpleegd worden.
Figuur B.1: Elektrisch schema van Stern-Gerlach opstelling.
59
Bijlage C
Labview-programma
Een programma in Labview bestaat uit één hoofdbestand Main VI en verschillende subbestanden
of SubVI ’s. In deze bijlage wordt de syntax van het programma gedetailleerd uitgelegd, en wordt
ook duiding gegeven bij de verschillende SubVI’s die worden opgeroepen. Aan de hand hiervan
kan de werking van de programma’s snel geanalyseerd worden, en kunnen wijzigingen met een
minimum aan inspanning aangebracht worden.
C.1
C.1.1
Stern-Gerlach.exe
Algemene syntax
Het programma bevat twee instelbare variabelen op het frontpanel, nl. het aantal metingen N en de
stapresolutie S. Beide zijn integers. Daarnaast wordt nog gebruik gemaakt van de toestand van de
schakelaars m.b.v. boolean variabelen BEGIN en EIND. Het programma is schematisch opgebouwd
als volgt:
60
BIJLAGE C. LABVIEW-PROGRAMMA
61
Geef naam logbestand op
Voer N keer uit:
Vraag magneetstroom M voor volgende meting
Configureer hardware
1) Vraag status EIND
Als EIND=True:
Roteer motor naar begin tot BEGIN=True
Stop motor
Als EIND=False:
Roteer motor naar einde tot EIND=True
Stop motor
Roteer motor naar begin tot BEGIN=True
Stop motor
2) Configureer magneetstroom M
3) Meet effectieve magneetstroom M’
4) Herconfigureer tot correcte stroom M
5) Open ovenshutter
Meetlus
1) Meet detectorstroom en vul logbestand aan
2) Plot het logbestand
3) Vraag status EIND
Als EIND=False:
Roteer naar volgende positie
Als EIND=True:
Stop meetloop
Reset hardware
1) Sluit ovenshutter
2) Reset steppermotor:
Roteer motor naar begin tot BEGIN=True
Stop motor
Op enkele plaatsen is in het hoofdprogramma een Delay ingebouwd om het antwoord van de
hardware af te wachten. Verwijderen van deze blokken resulteert mogelijks in het niet meer
reageren van de stappenmotor.
C.1.2
SubVI’s
Alle SubVI’s die met de hardware communiceren, ontvangen een commando-string als ingang. In
het geval van de stappenmotor, is dit een hexadecimale string. Voor de syntax van de commando’s
wordt doorverwezen naar hetzij de handleiding van de ADC-DAC blokken, hetzij het bestand
SilverPakT-Commands-Guide.pdf, beschikbaar in digitale vorm op de vakgroep.
Naast een commando string, ontvangen ze ook een COM poort als ingang. De overige parameters
(baud rate, aantal data bits, pariteitsbit, stop bits, flow control) kunnen gewijzigd worden, maar dit
is niet noodzakelijk voor de toepassing. De ingebouwde Delay is geoptimaliseerd om de tijdsduur
BIJLAGE C. LABVIEW-PROGRAMMA
62
van het experiment zo kort mogelijk te houden. In het geval van de stappenmotor, valt het af te
raden om de Delay lager in te stellen dan de huidige waarde, vermits de motor niet meer reageert
op commando’s als de waarde lager dan 50ms bedraagt.
Legt de uitgangsspanning aan voor de opamp. Ontvangt een string als
input met een ‘.’ als decimaalteken.
Leest de magneetstroom. Heeft als output een string met een ‘,’ als
decimaalteken.
Meet de detectorstroom 5 maal, verwijdert de extremale waarden en
schrijft een gemiddelde waarde van de overige 3 metingen naar het logbestand.
Zet de waarden uit het logbestand rij per rij uit in grafiek. Ontvangt een
maximum aantal van 12 rijen meetwaarden als input.
Registreert of begin- of eindschakelaar is ingedrukt.
Stuurt het commando STOP naar de stappenmotor.
Roteert de stappenmotor met constante snelheid in de richting van de
eindschakelaar.
Roteert de stappenmotor met constante snelheid in de richting van de
beginschakelaar.
BIJLAGE C. LABVIEW-PROGRAMMA
63
Zet een digitale output van de stappenmotor op 1. Deze logische 1 wordt
gebruikt om de ovenshutter te openen.
Zet een digitale output van de stappenmotor op 0. Deze logische 0 wordt
gebruikt om de ovenshutter te sluiten.
Roteert de stappenmotor 1 stap in de richting van de eindschakelaar,
met een resolutie opgegeven door de gebruiker. Deze stap bevat ook een
berekening van de hexadecimale checksum, bepaald door de resolutie.
C.2
C.2.1
Zeeman.exe
Algemene syntax
Het frontpanel van het Zeeman-programma is beperkt tot een afbeelding, een grafiek en de naam
van de DAC-module (Dev1/ao0). Er is slechts 1 globale variabele, nl. de boolean variabele STOP
METINGEN. Het programma is schematisch opgebouwd als volgt:
Initialiseer DAC
Voer uit zo lang STOP METINGEN=False:
Vraag magneetstroom M voor volgende meting
Initialiseer DAC opdat stroombron M levert voor magneet
Neem foto
Delay 10 seconden
Transfer foto naar Labview
Filter de pixelgrijswaarde tot enkel het groene spectrum overblijft
Zo lang muisknop niet ingedrukt:
Plot het spectrum van de afbeelding langs een horizontale op die positie
Vraag naam voor logbestand en afbeelding
Sla het intensiteitspatroon op in logbestand
Dialoogvenster STOP METINGEN
Reset DAC
Op enkele plaatsen is in het hoofdprogramma een Delay ingebouwd om het antwoord van de
hardware af te wachten.
BIJLAGE C. LABVIEW-PROGRAMMA
C.2.2
64
SubVI’s
Het hoofdprogramma maakt slechts gebruik van 1 subprogramma dat de communicatie met de
digitale camera regelt.
Neemt foto, downloadt alle beschikbare afbeeldingen naar de computer
en verwijdert vervolgens de afbeeldingen van de geheugenkaart van de
camera. Heeft als output de afbeelding voor het frontpanel.
Bijlage D
Referenties
D.1
Literatuur
[1] World Wide Web, http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1943/
stern-bio.html
[2] J. Mehra, H. Rechenberg, The Historical Development of Quantum Theory, vol. 1, parts 1 &
2, Springer-Verlag, New York (1982)
[3] B. Friedrich, D. Herschbach, Stern and Gerlach: How a Bad Cigar Helped Reorient Atomic
Physics, Phys. Today (Dec. 2003)
[4] O. Stern, The method of molecular rays, Nobel Lecture (1946)
[5] World Wide Web, http://en.wikipedia.org/wiki/Walter_Gerlach
[6] P. Zeeman, Over den invloed eener magnetisatie op den aard van het door een stof uitgezonden
licht, Versl. Kon. Akad. Wetensch, 1897
[7] B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche, Particles and Nuclei, An Introduction to the Physical
Concepts, Fifth Edition, Springer-Verlag, New York(2006)
[8] M. Waroquier, Kwantummechanica I, cursus gedoceerd aan de Universiteit Gent in het academiejaar 2003-2004
[9] N. Bohr, On the Constitution of Atoms and Molecules, Phil. Mag. 1913
[10] A. Sommerfeld, Zur Quantentheorie der Spektrallinien, Annalen der Physik 51 (1916)
[11] F. Cantrijn, Klassieke Mechanica, cursus gedoceerd aan de Universiteit Gent in het academiejaar 2003-2004
[12] P. De Visschere, Materialen & Velden, cursus gedoceerd aan de Universiteit Gent in het
academiejaar 2004-2005
65
BIJLAGE D. REFERENTIES
66
[13] P. Matthys, Atoom- en Molecuulfysica, cursus gedoceerd aan de Universiteit Gent in het
academiejaar 2006-2007
[14] F. Maes, Practicumnota’s Stern-Gerlach (datum onbekend)
[15] S. Singh, N.K. Sharma, Comment on “Paradox in the classical treatment of the Stern-Gerlach
experiment”, American Journal of Physics, Vol. 52 (1984)
[16] Advanced Laboratory, Physics 407, University of Wisconsin, Stern-Gerlach (2006)
[17] M. Waroquier, Kwantummechanica II, cursus gedoceerd aan de Universiteit Gent in het
academiejaar 2004-2005
[18] World Wide Web, http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gem|search_for=g+
facor
[19] J. Lieberman, Dept. of Physics, M.I.T., Cambridge, Massachusetts(1998)
[20] F. Schwabl, Quantum Mechanics, third edition, Springer Verlag, New York(2002)
[21] World Wide Web, http://www.kitco.com/jewelry/meltingpoints.html
[22] Brucker Almanac 2002
[23] R. Schoonheydt, Algemene Thermodynamica, cursus gedoceerd aan de Katholieke Universiteit
Leuven in het academiejaar 2007-2008
[24] Phywe Stern-Gerlach-Apparatur Gottingen (editie 1988)
[25] Practicum Atoom- en Molecuulfysica: het Zeeman-effect
D.2
Figuren
[A] World Wide Web, http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/88/Otto_Stern.
jpg
[B] World Wide Web, http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/f/f5/Walter_Gerlach.
jpg
[C] World Wide Web, http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Niels_Bohr.
jpg
[D] J. Rees Stenson, Representations for Understanding the Stern-Gerlach Effect, Brigham Young
University (2005)
[E] P. Matthys, Atoom- en Molecuulfysica, cursus gedoceerd aan de Universiteit Gent in het
academiejaar 2006-2007
[F] Figuur bewerkt uit: Advanced Laboratory, Physics 407, University of Wisconsin, Stern-Gerlach
(2006)
BIJLAGE D. REFERENTIES
67
[G] World Wide Web, http://bp2.blogger.com/_ArDoWzECXSo/RgjCb-CtiqI/AAAAAAAAAJU/
Z2jLfPrK9hE/s1600-h/STERN+GERLACH+2.jpg
[H] Figuur bewerkt uit: F. Maes, Practicumnota’s Stern-Gerlach (datum onbekend)
[I] M. Waroquier, Kwantummechanica II, cursus gedoceerd aan de Universiteit Gent in het academiejaar 2004-2005
[J] Phywe Stern-Gerlach-Apparatur Gottingen (editie jaren 1988)
[K] Figuur bewerkt uit: Practicum Atoom- en Molecuulfysica: het Zeeman-effect