werkboek trillingen en golven

WERKBOEK
TRILLINGEN EN GOLVEN
Cursusjaar 2015 / 2016
Tom Hijmans, Ben van Linden van den Heuvell en Marcel
Vreeswijk
2
Hoofdstuk 2
Opgaven Taylor en Complexe
getallen
Opgave 2.1
Laat met behulp van Taylor-ontwikkeling zien dat voor kleine x:
√
1
1−x≈1− x
2
Opgave 2.2
Laat met behulp van Taylor-ontwikkeling zien dat voor kleine x:
1
≈ 1 + x + x2 + ...
1−x
Opgave 2.3
Laat zien dat
1
1
sin(sin θ) ≈ θ − θ3 + θ5 .
3
10
Hint: vervang de ’binnenste’ sin door zijn Taylor-ontwikkeling. Substitueer dit resultaat dan in de Taylor-expansie van de buitenste sinus en werk uit.
Opgave 2.4
Bewijs de Euler formule:
eiφ = cos φ + i sin φ,
door de Taylor-reeks van de e-macht te vergelijken met die van de cosinus en de sinus.
Opgave 2.5
Laat met behulp van de complexe rekenwijze zien dat
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
3
4
HOOFDSTUK 2. OPGAVEN TAYLOR EN COMPLEXE GETALLEN
Opgave 2.6
Laat met behulp van de complexe rekenwijze zien dat
cos α + cos β = 2 cos(
α−β
α+β
) cos(
)
2
2
Opgave 2.7
Laat met behulp van de complexe rekenwijze zien dat
cos(3φ) = cos3 φ − 3 cos φ sin2 φ
Hint: bekijk eventueel de afleiding van (2.12) uit de syllabus.
Hoofdstuk 3
Opgaven vrije trillingen
Opgave 3.1 (oplossingen van de harmonische oscillator, lineariteit)
De differentiaalvergelijking voor een massa aan een veer is
mẍ(t) + Kx(t) = 0
(a) Laat door invullen zien dat x(t) = cos(ωt + φ) een oplossing is. Aan welke
voorwaarde moet ω voldoen?
(b) Laat door invullen zien dat x(t) = sin(ωt + φ) een oplossing is.
(c) De bovenstaande differentiaalvergelijking is lineair, d.w.z. dat dat als x1 (t) en
x2 (t) allebei aan de differentiaalvergelijking voldoen, dat x3 (t) = c1 x1 (t) +
c2 x2 (t) dat ook doet voor willekeurige constanten c1 en c2 . Dit betekent dat
x(t) = A exp(iωt) ook een oplossing is. Laat dit zien door direct invullen.
(d) Waarom is de oplossing x(t) = A cos(ωt + φ) + B sin(ωt + φ) niet algemener
dan x(t) = A cos(ωt + φ)?
Opgave 3.2 (voorbeeld randvoorwaarden met getallen)
Voor een bepaald massa-veersysteem geldt: massa m = 1 kg, veerconstante K =
4 N/m, beginuitwijking x(0) = 4 m, en beginsnelheid v(0) = −6 m/s.
(a) Leidt uit het bovenstaande een formule af voor de precieze plaats als functie van
de tijd, x(t).
(b) Wat is de periode van de beweging?
(c) Teken in een grafiek de uitwijking, de snelheid en de versnelling als functie van
de tijd, voor een hele periode, beginnend bij t = 0.
Opgave 3.3
Maak uit Giancoli opgaven 14.11, 14.47, 14.73 en 14.83. Vervang bij deze laatste
opgave de getalswaarden door symbolen, d.w.z. noem de massa van het stuk klei b.v.
m, die van de tafel M en de snelheid van het stuk klei V . Druk de antwoorden dus
9
10
HOOFDSTUK 3. OPGAVEN VRIJE TRILLINGEN
uit in de gegeven grootheden. Desgewenst kun je aan het eind de getalswaarden in je
eindantwoorden invullen en zo je resultaat vergelijken met de antwoordenlijst achter in
het boek.
Opgave 3.4 (oplossingen van de harmonische oscillator, complexe getallen)
De differentiaalvergelijking voor een LC circuit is
Lq̈(t) +
q(t)
=0
C
(a) Laat door invullen zien dat
q(t) = q̃0 eiωt ,
met een complexe q̃0 een oplossing is van de differentiaalvergelijking.
(b) Laat zien dat voor een complexe oplossing q(t), de complex geconjugeerde q̄(t)
ook een oplossing is.
(c) Gebruik het bovenstaande samen met het resultaat van 3.1(c) om te laten zien dat
zowel Req(t) als Imq(t) oplossingen zijn.
Opgave 3.5 (onderweg veranderende massa)
Een mechanische harmonische oscillator met massa m en veerconstante K begint op
t = 0 zonder snelheid maar met een zekere uitwijking aan zijn oscillaties. Deze oscillator heeft als bijzonderheid dat elke keer als de uitwijking maximaal is (en de oscillator
dus stilstaat), dat er aan de bestaande massa een even grote hoeveelheid wordt toegevoegd.
(a) Wat gebeurt er met de maximale uitwijking?
(b) Wat gebeurt er met de maximale snelheid?
(c) Wat gebeurt er met de frequentie?
(d) Wat gebeurt er met de kinetische energie?
(e) Wat gebeurt er met de potentiële energie?
(f) Mocht de energie in de vorige twee antwoorden groter of kleiner worden, waar
komt deze energie dan vandaan c.q. waar blijft de energie?
Opgave 3.6 (atoom in een gradiënt-magneetval; een anharmonische oscillator (voor de liefhebbers))
De potentiële energie van een atoom gevangen in een magneetval wordt gegeven door
Ep = µB |B|, met µB het zogenaamde Bohr magneton van het elektron: µB =
eh̄/2me , en B het magneetveld. (we laten hier de preciezere eisen aan het atoom
en het experiment even in het midden). We nemen voor de magneetval in de x richting:
B(x) = fx x. Hierbij is fx een constante waarvan we de precieze waarde later zullen
geven.
(a) Maak een grafiek van de potentiële energie als functie van x, (neem in de grafiek
ook het gebied x < 0 op!).
11
(b) Leidt een formule af voor de kracht als functie van plaats.
(c) Stel de differentiaalvergelijking op voor x(t).
(d) Is deze differentiaalvergelijking lineair? Motiveer je antwoord!
(e) Leidt door integreren een formule af voor de oscillatieperiode als functie van de
beginsnelheid v0 ; neem x0 = 0. Hint: beperk het rekenwerk altijd tot een halve
oscillatie, en gebruik het resultaat voor de volgende (halve) oscillaties.
(f) Teken de uitwijking, de snelheid en de versnelling als functie van de tijd, en
vergelijk de gevonden curves met die van de harmonische oscillator.
(g) Bij de harmonische oscillator hangt de frequentie niet van de randvoorwaarden
af, maar amplitude en fase wel. Hoe is dat hier?
(h) Bij een harmonische oscillator is de totale energie (de som van potentiële en
kinetische energie) constant. Is dat ook zo bij deze anharmonische oscillator?
Wat is de energie die in de oscillator zit, als functie van de tijd?
(i) Reken de sterkte van de kracht uit voor fx = 1 T/m.
(j) Reken de oscillatieamplitude en oscillatiefrequentie uit voor een koud Rubidium
atoom (m = 87 u, mv02 /2 = kB T met T = 100 µK).
(k) In de z richting geldt B(z) = fz z (met fz weer een constante). Bovendien
is er de zwaartekracht. Teken de potentiële energie als functie van z voor een
rubidium atoom en fz = 1 T/m. Wat is de minimale fz die nodig is om het
rubidium atoom gevangen te houden?
Opgave 3.7 (opgehangen veer)
Een ongedempte schroefveer (veerconstante K) is opgehangen aan een plafond. Onderaan de veer is een massa m bevestigd. Als de veer niet is uitgerekt of ingedrukt
bevindt de massa zich in de verticale positie y = 0 . De valversnelling is g .
(a) Hoe groot is de versnelling in de positie y = 0 ?
(b) Laat zien dat de bewegingsvergelijking geschreven kan worden als
mη̈(t) + Kη(t) = 0
(c) Druk de coördinaat η uit in de gegeven grootheden. Wat is de betekenis van
η=0?
(d) Hoe ziet y(t) er uit?
Opgave 3.8 (gedempte trilling)
De algemene oplossing voor de gedempte mechanische oscillator laat zich op twee
manieren schrijven. In complexe notatie vinden we
x(t) = e−γt (c1 eiω1 t + c2 e−iω1 t ),
12
HOOFDSTUK 3. OPGAVEN VRIJE TRILLINGEN
en met gonio:
x(t) = Ae−γt cos(ω1 t − β).
Zie ook formules (3.48) en (3.50) uit de sylabus.
(a) Laat zien door invullen in de differentiaalvergelijking (formule (3.42) uit de sylabus) dat beide vormen een oplossing zijn en dat ω1 wordt gegeven door formule
(3.47).
(b) Laat zien door invullen dat als γ > ω0 de oplossing
x(t) = c1 e−γ1 t + c2 e−γ2 t ,
p
p
met γ1 = γ + γ 2 − ω02 en γ2 = γ − γ 2 − ω02 voldoet aan de differentiaalvergelijking.
Opgave 3.9 (schokdemper)
Een motorfiets voorzien van vering en schokdemper passeert een hobbel op de weg, en
heeft op t = 0 een verticale beginsnelheid. De verticale uitwijking als functie van de
tijd is geplot in de figuur. De massa van de motorfiets bedraagt 200 kg.
80
60
y(t) (mm)
40
20
0
-20
-40
-60
-80
0
2
4
6
8
10
t (s)
(a) Bepaal uit de figuur de krachtsconstante K van de vering, in de veronderstelling
dat de demping nul is.
(b) Bepaal uit de figuur de dempingsconstante γ.
(c) Ga na of het systeem voldoet aan de voorwaarde voor zwakke demping, en leg
uit of de aanname van afwezige demping tot een grote fout in de bepaling van de
krachtsconstante heeft geleid.
Opgave 3.10 (deze opgave is vervallen)
Vergeet de opgave die in sommige edities van het werkboek te vinden is.
Opgave 3.11 (LCR-kring)
Gegeven is een LCR-kring zonder voeding, waarvan de spoel een ohmse weerstand
R heeft. Op het tijdstip t = 0 s bevat de condensator een zekere lading, terwijl de
13
stroom dan nul is. In de figuur is een deel van het verloop van de spanning V over
de condensator als functie van de tijd t getekend. De zelfinductiecoëfficiënt L van de
spoel bedraagt 1.5 H.
(a) Bepaal uit de figuur de capaciteit C van de condensator in de veronderstelling
dat R = 0 Ω.
(b) Druk het dempingsgetal γ van het systeem uit in R en L, en bepaal met behulp
daarvan uit de figuur de ohmse weerstand R van de spoel.
(c) Ga na of het systeem voldoet aan de voorwaarde voor zwakke demping, en leg
uit of de veronderstelling R = 0 Ω tot een grote fout in het antwoord voor C
heeft geleid.
Opgave 3.12 (kwaliteitsfactor van een oscillator)
In deze opgave lopen we vast vooruit op het volgende hoofdstuk. Daar wordt de z.g.
kwaliteitsfactor Q ingevoerd voor een zwak gedempte aangedreven oscillator. Deze Qfactor heeft ook voor een vrije gedempte oscillator betekenis. Deze factor is een maat
voor het aantal trillingsperiodes dat is uitgevoerd door de oscillator voordat de oorspronklijke energie met een factor 1/e is afgenomen. Intuitief is duidelijk dat hoe meer
oscillaties er kunnen plaatsvinden voordat de trilling uitdempt, hoe hoger de ”kwaliteit”van de oscillator. De definitie van de kwaliteitsfactor is: Q ≡ ω0 /(2γ).
(a) Laat zien dat met bovenstaande definitie geldt: Q = 2πt1/e /T . Hier is t1/e
de tijd die nodig is om de energie van de oscillator met een factor 1/e te laten
afnemen. T is de trillingstijd.
(b) Bepaal zo goed mogelijk de Q-factor van de oscillator die correspondeert met de
figuur uit opgave 3.9 (de schokdemper)en de figuur bij opgave 3.11.
Hoofdstuk 4
Opgaven gedwongen trillingen
Opgave 4.1 (gedrag amplitude in verschillende regimes)
De differentiaalvergelijking van de aangedreven harmonische oscillator kan geschreven
worden als:
ẍ + 2γ ẋ + ω02 x = D0 cos ωt
In deze vergelijking kan x zowel de plaats van een massa (bij een mechanische oscillator) als de lading q op een condensator (bij een elektrische oscillator) voorstellen. Vul
nu onderstaande tabel verder in. Voor de tweede en derde kolom heb je alleen fysische
kennis van deze twee voorbeelden nodig. De inslingerverschijnselen laten we buiten
beschouwing.
fysische betekenis
mechanisch elektrisch
x
plaats
lading
ω ω0
oscillatieamplitude
|ω − ω0 | γ ω ω0
D0
ω02
ẋ
ẍ
Opgave 4.2
Laat zien dat bij de aangedreven gedempte mechanische oscillator, voor ω = ω0 de
snelheid precies in fase is met de aandrijvende kracht.
Opgave 4.3 (waarde fase in verschillende regimes)
Dezelfde vraag als in Opgave 4.1, maar nu voor de fase in plaats van de amplitude. Om
het teken van de fase eenduidig te definieren: gebruik de differentiaalvergelijking zoals
in Opgave 4.1 en schrijf x(t), ẋ(t) of ẍ(t) als A cos(ωt − β), met A > 0. Gevraagd
wordt in de volgende tabel de waarden van β in te vullen (in radialen, modulo 2π).
15
16
HOOFDSTUK 4. OPGAVEN GEDWONGEN TRILLINGEN
ω ω0
x
fase achterstand β
|ω − ω0 | γ ω ω0
0
ẋ
ẍ
Opgave 4.4 (resonantiecurves)
Een harmonische oscillator met massa m en eigenhoekfrequentie ω0 = 10 rad/s wordt
gedempt met dempingsconstante λ en tevens aangedreven met een kracht F0 cos(ωt).
Het blijkt dat bij ω = 0 de maximale uitwijking even groot is als bij ω = ω0 .
λ
met behulp van de uit(a) Bereken uit deze gegevens het dempingsgetal γ =
2m
drukking voor de maximale uitwijking :
A = D0 p
1
(2γω)2
+ (ω02 − ω 2 )2
(4.1)
In de figuur is A voor deze waarde van γ uitgezet tegen ω (gekozen zijn F0 = 1 N en
m = 1 kg).
(b) Neem de figuur over en schets hierin een tweede curve behorend bij een iets
kleinere waarde van γ. Geef duidelijk de ligging van het maximum aan.
Opgave 4.5
Maak opgaven 30.37, 30.68 30.78 en 30.101 uit Giancoli.
Opgave 4.6 (spanningsresonantie)
Wanneer bij de LCR-kring de spanning VC als output wordt genomen blijkt dat de
maximale waarde van |G(ω)| niet precies bij ω0 ligt. De hoekfrequentie ωr waarbij het
maximum wél optreedt, volgt uit
17
d|G(ω)|
dω
=0
ω=ωr
Bij deze hoekfrequentie treedt spanningsresonantie op.
(a) Leid af dat
ωr =
r
1
)
ω02 (1 −
2Q2
(b) Hoe groot is ωr voor grote waarden van Q?
Opgave 4.7 (asymptotisch gedrag bij tweede-orde laagafsnijdend filter)
(a) Leid de overdrachtsfunctie af voor een LCR-serieschakeling waarbij het ingangssignaal de spanning over de hele schakeling is, en het uitgangssignaal de
spanning over de spoel.
(b) Laat zien dat de schakeling een laagafsnijdend filter is.
(c) Leid af dat het gedrag van de overdrachtsfunctie bij lage frequenties (ω ω0 )
beschreven kan worden met de functie
|G(ω)| =
ω2
.
ω02
Opgave 4.8 (superpositie van stationaire toestanden)
Gegeven een gedwongen mechanisch systeem dat voldoet aan de differentiaalvergelijking
mẍ(t) + 2mγ ẋ(t) + mω02 x(t) = F1 cos(ω1 t) + F2 cos(ω2 t)
(a) Wat stelt het rechterlid van deze differentiaalvergelijking voor?
(b) Geef een uitdrukking voor de stationaire oplossing.
(c) Kies zelf getalwaarden voor alle parameters en maak een grafiek van de oplossing als functie van de tijd.
(d) Is de resulterende beweging periodiek? Kunnen van deze beweging amplitude
en fase uitgezet worden als functies van de frequentie?
Opgave 4.9 (inslingeren)
Een harmonische oscillator met massa m en eigenhoekfrequentie ω0 is vrij tot het
tijdstip t = 0; op t = 0 is de uitwijking x0 en de snelheid v0 . Op dat moment wordt
een uitwendige kracht F0 cos(ωt + φ) met een vaste hoekfrequentie ω ingeschakeld.
Neem eerst aan dat de oscillator gedempt is.
(a) Beschrijf kwalitatief het algemene gedrag van de oscillator na t = 0.
Neem nu aan dat de oscillator ongedempt is.
18
HOOFDSTUK 4. OPGAVEN GEDWONGEN TRILLINGEN
(b) Beschrijf opnieuw kwalitatief het algemene gedrag van de oscillator na t = 0.
Terwijl de oscillator ongedempt blijft, worden de waarden van F0 en φ zo gekozen
dat na t = 0 uitsluitend een harmonische beweging met hoekfrequentie ω overblijft.
(c) Druk deze waarden uit in m, ω0 , x0 , v0 en ω.
Opgave 4.10 (bijzondere frequenties)
We zijn al een groot aantal ’bijzondere frequenties’ tegengekomen. In deze opgave
zetten we de belangrijkste nog eens op een rijtje. Overal waar in deze opgave over
frequentie wordt gesproken, wordt hoekfrequentie bedoeld.
(a) Wat is de frequentie van een harmonische oscillator als er geen aandrijving is en
geen demping, dus als D0 = 0 en γ = 0?
(b) Wat is de frequentie van een harmonische oscillator als er geen aandrijving is
(dus D0 = 0), maar wel demping?
(c) Bij een gedwongen harmonische oscillatie pieken zowel de uitwijking, als de
snelheid, als de versnelling, als het extern geleverde vermogen in de buurt van
de eigenfrequentie van de harmonische oscillator. Laat zien dat de snelheid en
het extern geleverde vermogen precies bij ω = ω0 piekt.
(d) De amplitude is niet maximaal is bij ω
p= ω0 . Laat zien dat de amplitude maximaal is bij de aandrijffrequentie ω = ω02 − 2γ 2 .)
(e) In de syllabus wordt de faseachterstand van de oscillatie, β, gegeven in vergelijking (3.8b). Ten opzichte waarvan is deze faseachterstand?
(f) Geef, in analogie met de faseachterstand van de uitwijking, ook die van de snelheid en de versnelling.
(g) Bij welke aandrijffrequenties is er sprake van faseachterstand en bij elke van
fasevoorsprong, voor de uitwijking, de snelheid en de versnelling? Als het goed
is, is deze informatie op basis van het antwoord op de vorige vraag beschikbaar.
Opgave 4.11 (stationaire oplossing voor de snelheid)
Gegeven een gedwongen mechanisch systeem dat voldoet aan de differentiaalvergelijking (in complexe notatie
ẍ(t) + 2γ ẋ(t) + ω02 x(t) = D0 eiωt
met als stationaire oplossing voor de snelheid v(t) = ẋ(t):
v(t) = v0 eiωt+ψ
(a) Druk v0 en ψ uit in m, γ, ω0 , D0 en ω.
(b) Voor welke waarden van
den achter?
ω
ω0
loopt v(t) vóór op D0 exp(iωt), voor welke waar-
19
(c) Laat zien dat v0 (ω) onafhankelijk van de waarde van γ een maximum heeft bij
ω = ω0 .
(d) Zet v0 uit tegen 10 log( ωω0 ) voor ω0 = 1 en D0 = 1 op het interval van -1 tot 1
voor enkele waarden van γ.
(e) Toon aan dat de grafieken van v0 symmetrisch zijn, en die van ψ anti-symmetrisch.
Hoofdstuk 5
Opgaven gekoppelde trillingen
Opgave 5.1 (normaaltrillingen en begincondities)
Twee gelijke glijdende massa’s a en b (massa m) zijn met behulp van drie veren (veerconstantes K en K 0 ) tussen twee muren gespannen en kunnen longitudinaal bewegen.
De bewegingsvergelijkingen voor de massa’s zijn
mẍa (t) = −Kxa (t) − K 0 (xa (t) − xb (t))
mẍb (t) = −Kxb (t) − K 0 (xb (t) − xa (t))
Hierin zijn xa en xb de uitwijkingen van de massa’s a en b ten opzichte van hun evenwichtsposities.
(a) Laat zien dat de variabelen x1 = 21 (xa + xb ) en x2 = 12 (xa − xb ) ieder voldoen
aan de vergelijking voor een vrije ongedempte harmonische oscillator.
(b) Beschrijf de twee normaaltrillingen 1 en 2 van het systeem die met deze variabelen corresponderen en bepaal de eigenhoekfrequenties.
Aan het systeem kunnen vier begincondities worden opgelegd: de uitwijkingen xa en
xb en de snelheden va en vb op het tijdstip t = 0.
(c) Geef achtereenvolgens (met toelichting) voorbeelden van telkens vier begincondities waarbij
(a) alleen normaaltrilling 1 wordt geactiveerd;
(b) alleen normaaltrilling 2 wordt geactiveerd;
(c) beide normaaltrillingen met even grote amplitude worden geactiveerd.
(d) Leg uit of in het laatste geval de bewegingen van de massa’s a en b nog periodiek
zijn.
19
20
HOOFDSTUK 5. OPGAVEN GEKOPPELDE TRILLINGEN
Opgave 5.2 (demping bij een gekoppeld systeem)
Beschouw de differentiaalvergelijkingen
mẍa (t) = −Kxa (t) − λẋa (t) − K 0 (xa (t) − xb (t))
mẍb (t) = −Kxb (t) − λẋb (t) − K 0 (xb (t) − xa (t))
(a) Wat stellen deze vergelijkingen voor?
(b) Vul in: xa (t) = x1 (t) + x2 (t) en xb (t) = x1 (t) − x2 (t); wat stellen x1 (t) en
x2 (t) voor?
(c) Neem van de differentiaalvergelijkingen de halve som en het halve verschil; wat
is het resultaat?
Stel nu dat gegeven zijn m = 1, K = 5, λ =
x1 (0) = 1, x2 (0) = 1, ẋ1 (0) = 0 en ẋ2 (0) = 0.
1
10
en K 0 = 1 en de beginwaarden
(d) Geef de oplossingen x1 (t) en x2 (t) van het nieuwe stelsel voor deze getalwaarden en bepaal hieruit de oplossingen xa (t) en xb (t).
(e) Maak grafieken van beide oplossingen en verklaar wat er te zien is.
Opgave 5.3 (een asymetrisch gekoppeld systeem)
Beschouw een asymmetrisch systeem van twee massa’s en drie veren tussen twee muren (zie figuur). Neem ma = 2, mb = 10, Ka = 10, Kb = 48, K 0 = 2.
(a) Verwacht je zwevingen in dit systeem? Geef argumenten voor deze verwachting.
(b) Stel de differentiaalvergelijkingen voor de uitwijkingen xa (t) en xb (t) van de
massa’s a en b op.
(c) Bepaal de eigenhoekfrequenties van het systeem en de bijbehorende verhoudingen van de twee uitwijkingen. Geef ook antwoorden in twee decimalen.
(d) Geef uitdrukkingen voor de normaaltrillingen en voor de algemene oplossingen
xa (t) en xb (t) van de bewegingsvergelijkingen.
21
(e) Kies zelf getalwaarden voor de constanten A en φ in beide normaaltrillingen en
maak grafieken van xa (t) en xb (t). Onderzoek het effect als de verhouding van
A1 en A2 wordt gevarieerd, en leg uit dat de zwevingen voor de massa’s a en b
in het algemeen niet gelijkvormig zijn.
Opgave 5.4 (uitwendige kracht bij een gedempt gekoppeld systeem)
Beschouw de differentiaalvergelijkingen
mẍa (t)
= −Kxa (t) − λẋa (t) − K 0 (xa (t) − xb (t)) + 2F0 cos ωt
mẍb (t)
= −Kxb (t) − λẋb (t) − K 0 (xb (t) − xa (t))
(a) Wat stellen deze vergelijkingen voor?
(b) Vul in: xa (t) = x1 (t) + x2 (t) en xb (t) = x1 (t) − x2 (t), en neem van de
differentiaalvergelijkingen de halve som en het halve verschil.
(c) Leid uit het resultaat kwalitatief af hoe bij voldoend kleine λ amplitudes en faseachterstanden van de stationaire oplossingen xa (t) en xb (t) er uit zien als functies van ω.
(d) Probeer ook aan te geven hoe amplitudes en fase-achterstanden van de stationaire
oplossingen x1 (t) en x2 (t) er uit zien als functies van ω.
Hoofdstuk 6
Opgaven Fourieranalyse
Opgave 6.1 (Fourierreeks van een driehoek)
Gegeven is een periodieke functie f (x) met ’driehoekvorm’; in de figuur is één periode
(grootte 2π) getekend.
(a) Leg langs grafische weg uit dat voor de Fouriercoëfficiënten a0 , an en bn van
f (x) geldt:
a0 = 0; an = 0 (voor n > 0); bn = 0 (voor even n).
(b) Leg eveneens langs grafische weg uit dat
Z π2
4
x sin nx dx (voor oneven n)
bn =
π 0
(c) Geef de Fourierreeks van f (x).
R
Aanwijzing: gebruik de integraal y sin y dy = sin y − y cos y.
Opgave 6.2 (Fourierreeks van een ’gelijkgericht signaal’)
Gegeven de periodieke functie
1
f (t) = | sin t|.
2
23
24
HOOFDSTUK 6. OPGAVEN FOURIERANALYSE
(a) Bepaal de periode van f (t).
(b) Bepaal de Fourrierreeks van f (t).
(c) Beschouw de benaderingen
fN (t) = a0 +
N
X
(an cos nt + bn sin nt).
n=1
Teken in één figuur van f (t), f1 (t) en f2 (t) over enkele perioden.
Opgave 6.3 (Fourierreeks van een zweving)
Gegeven het signaal
f (t) = sin 17t − sin 20t.
(a) Geef alle Fouriercoëfficiënten van f (t).
(b) Bepaal de hoekfrequentie ω van:
• de zwevingen van f (t);
• de modulaties van f (t);
• het gemoduleerde signaal;
• f (t).
(c) Maak een grafiek van f (t) over één periode, en geef hierin de andere drie periodes aan.
Opgave 6.4 (een orthogonaal stelsel)
Laat zien dat bij gebruik van het inproduct
< f (x), g(x) >=
1
π
Z
π
f (x)g(x) dx
−π
de oneindige verzameling functies
{v0 , v1 , w1 , v2 , w2 , . . .} = {
1√
2, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . .}
2
orthonormaal is, d.w.z.
< vi , wj >= 0
en
< vi , vj >=< wi , wj >= δij .
Toelichting: per definitie geldt δij = 0 als i 6= j en δij = 1 als i = j.
25
Opgave 6.5 (even en oneven functies)
Gegeven is een periodieke functie F (t); in de figuur zijn twee perioden T1 = 4 getekend.
(a) Leg uit dat de functie f (x) uit de substitutie
F (t) = f (
2πt
) = f (ω1 t) = f (x)
T1
een periode 2π heeft.
(b) Laat langs grafische weg zien dat voor de Fouriercoëfficiënten moet gelden:
an = 0 voor oneven n
en bn = 0 voor even n.
(c) Laat, uitgaande van de algemene formules voor de Fouriercoëfficiënten a0 , an
en bn van f (x), langs grafische weg zien dat in dit geval
a0
an
bn
=
=
=
2
π2
Z
4
π2
Z
4
π2
Z
π/2
x dx,
0
π/2
x cos(nx) dx (even n ≥ 1),
0
π/2
x sin(nx) dx (oneven n).
0
(d) Bepaal alle van 0 verschillende an en bn , inclusief a0 .
(e) Ga na dat F (t) te schrijven is als de som van een even en een oneven deel:
F (t) = Feven (t) + Foneven (t) =
1
1
[F (t) + F (−t)] + [F (t) − F (−t)]
2
2
en teken grafieken van F (t), Feven (t) en Foneven (t) in één figuur.
(f) Schrijf de Fourierreeksen voor F (t), Feven (t) en Foneven (t) op.
Hoofdstuk 7
Opgaven golven in 1D
Opgave 7.1 (energiestroom in een lopende golf in een snaar)
In een half-oneindig lange snaar zonder dispersie of demping wordt door een harmonische oscillator in het punt z = 0 een transversale sinusvormige golf y(z, t) opgewekt
die in de positieve z-richting loopt met fasesnelheid v. De oscillator heeft een hoekfrequentie ω en voert een transversale beweging uit met een amplitude A. De massa per
lengte-eenheid van de snaaris µ; de spankracht in de snaar is F .
(a) Leg uit dat de golf voldoet aan
∂y(z, t)
1 ∂y(z, t)
=−
.
∂z
v ∂t
(b) Laat zien dat de door de oscillator op de snaar uitgeoefende kracht steeds dezelfde richting heeft als de transversale snelheid van de snaar in het punt z = 0,
en gelijk is aan
∂y(z, t) p ∂y(z, t) Fosc = −F
= µF
.
∂z
∂t
z=0
z=0
(c) Bereken de maximale waarde van Fosc met de getalwaarden uit de opgave ’lopende golf in oneindig lange snaar’, en verklaar waarom het antwoord veel groter uitvalt dan de maximale resulterende kracht op het stukje snaar met lengte
∆z = 1 mm.
(d) Laat zien dat het door de oscillator aan de snaar geleverde vermogen gelijk is aan
p ∂y(z, t) 2
Pin = µF
.
∂t
z=0
(e) Leg uit dat in een willekeurig vast punt z0 de energie per lengte-eenheid en het
passerende vermogen als functies van de tijd wordt gegeven door
∂y(z, t) 2
= µ
∂t
z=z0
p ∂y(z, t) 2
P =
µF
.
∂t
z=z0
29
30
HOOFDSTUK 7. OPGAVEN GOLVEN IN 1D
(f) Toon aan dat voor de tijdsgemiddelden over een periode
2π
ω
geldt:
< Pin >=< P > .
Opgave 7.2 (reflectie en transmissie van een transversale golf in een touw)
We bekijken in deze opgave het touw dat wordt beschreven in sectie 7.4 van de syllabus. Een half-oneindig stuk touw met massa per lengte-eenheid µ1 is op plaats z = 0
verbonden met een ander touw met µ2 (zie ook fig 7.5 in de syllabus). De spankracht
is F . Een golf die van links binnenkomt refecteert aan de verbinding en wordt gedeeltelijk doorgeven in het tweede touw.
(a) Leg uit waarom de hoekfrequentie ω dezelfde moet zijn voor de inkomende,
gereflecteerde en doorgegeven golf.
(b) In uitdrukkingen (7.30) - (7.32) is gekozen voor een cosinus. We hadden ook
een sinus kunnen kiezen of b.v. een cosinus met een fase. Waarom is de gekozen
vorm toch de meest algemene oplossing?
(c) In de syllabus wordt gesteld dat er bij dit probleem twee randvoorwaarden zijn:
continuiteit van de uitwijking en continuiteit van de afgeleide naar z van de oplossingen links en rechts van de verbinding. De eerste eis is duidelijk, het betekent gewoon dat de touwen aan elkaar vast zitten. Wat is de fysiche reden voor
de tweede eis die zegt dat er geen knik is?
(d) Laat zien dat de amplitudes voldoen aan (7.33) en (7.34). Hint gebruik de twee
randcondities.
(e) Laat met behulp van de resultaten van sectie 7.5 uit de syllabus en met (7.33) en
(7.34) zien dat de energie die per eenheid van tijd wordt aangevoerd via de inkomende golf in het punt z = 0, gelijk is aan de totale energie die per tijdseenheid
wordt afgevoerd uit dit punt door de gereflecteerde en de doorgelaten golf.
Opgave 7.3 (pianosnaar)
kg
Men wil een pianosnaar maken van staal met een dichtheid van 7.85 × 103 m
3 . De
spankracht moet 1000 N bedragen; het trillende snaardeel moet 513 mm lang zijn en
een grondtoon met een frequentie van 523 Hz (toonhoogte: c”) voortbrengen. Neem
eerst aan dat de trillingen van de snaar voldoen aan de klassieke golfvergelijking:
∂ 2 y(z, t)
F ∂ 2 y(z, t)
=
∂t2
µ ∂z 2
met y de uitwijking, t de tijd, z de coördinaat langs de voortplantingsrichting, F de
spankracht en µ de massa per lengte-eenheid van de snaar.
(a) Bereken de diameter d die men de snaar moet geven.
De snaar heeft in werkelijkheid een zekere stijfheid tegen buiging (bovenstaande golfvergelijking geldt niet exact). De hoekfrequenties van de mogelijke trillingen blijken
te voldoen aan de niet-lineaire dispersierelatie
s
F
ω=
k + αk 3 ,
µ
31
waarin F en µ de hierboven gekozen waarden hebben; we houden ook de lengte van
de snaar hetzelfde. De correctieterm voor de stijfheid bevat een constante α = 4.6 ×
10−3 m/s. Een tweede snaar op de piano heeft een één octaaf hogere grondtoon, d.w.z.
met de dubbele frequentie (toonhoogte: c”’).
(b) Hoeveel zwevingen per seconde zijn er tussen de tweede harmonische van de
c”-snaar en de grondtoon (= de eerste harmonische) van de c”’-snaar? Beargumenteer je antwoord!
Opgave 7.4 (watergolven)
De dispersierelatie voor diepwatergolven is
ω 2 = gk +
σ 3
k .
ρ
Hierin is g de versnelling van de zwaartekracht (9.8 sm2 ), ρ de dichtheid van water (1.0×
kg
−2 N
103 m
3 ) en σ de oppervlaktespanning van water (7.2 × 10
m ).
(a) Maak in één figuur grafieken van de fasesnelheid en van de groepssnelheid als
functies van de golflengte.
(b) Leg uit dat er dispersie optreedt.
(c) Bepaal de minimale waarde van de fasesnelheid.
Hoe groot zijn bij deze fasesnelheid de golflengte, de frequentie en de groepssnelheid?
Opgave 7.5 (snaar versus kralensnoer)
Gegeven een snaar en een kralensnoer, beide van lengte L, tweezijdig ingeklemd en
gespannen met een kracht F . De snaar is homogeen met massa per lengte-eenheid µ.
Het kralensnoer is massaloos, maar gelijkmatig bezet met 5 kralen van massa µL
6 .
(a) Schrijf de dispersierelatie van de homogene snaar op.
(b) Leid af dat de dispersierelatie van het kralensnoer gegeven wordt door
s
kL
12 F
sin
.
ω=
L µ
12
(c) Hoe onderscheidt een transversale normaaltrilling zich van een willekeurige transversale bewegingstoestand?
(d) De hoekfrequenties van de normaaltrillingen in het kralensnoer zijn uit te drukken in de hoekfrequentie ω1 van de traagste normaaltrilling volgens de opsomming
ω1 , 1.93ω1 , 2.73ω1 , 3.35ω1 , 3.73ω1
Laat zien hoe de 4 gegeven verhoudingsgetallen met behulp van de gegeven dispersierelatie zijn af te leiden.
32
HOOFDSTUK 7. OPGAVEN GOLVEN IN 1D
(e) Geef de 4 verhoudingsgetallen voor de overeenkomstige opsomming van de
hoekfrequenties van de eerste 4 normaaltrillingen van de tweezijdig ingeklemde
homogene snaar.
(f) Zet de dispersierelaties van snaar en snoer uit in één diagram en geef daarin voor
beide de normaaltrillingen aan.
Opgave 7.6 (lopende golf in oneindig lange snaar)
In een oneindig lange snaar zonder dispersie of demping wordt een transversale sinusvormige lopende golf y(z, t) opgewekt door een harmonische oscillator die in het punt
z = 0 geplaatst is. De oscillator heeft een frequentie van 4.0 Hz en voert een transversale beweging uit met een amplitude van 2.0 cm. De massa per lengte-eenheid van de
g
; de spankracht in de snaar is 10 N.
snaar is 70 m
(a) Bepaal de fasesnelheid en de golflengte van de lopende golf.
(b) Geef uitdrukking(en) voor y(z, t) voor het geval dat op het tijdstip t = 0 de
uitwijking van de oscillator maximaal is.
(c) Bereken de maximale snelheid en de maximale impuls van een stukje van de
snaar ter lengte van 1.0 mm.
(d) Bereken de maximale waarde van de resulterende kracht op het stukje snaar met
lengte 1.0 mm op twee manieren: via differentiëren van y(z, t) naar t, maar ook
via differentiëren van y(z, t) naar z.
(e) Hoe groot is het vermogen dat gemiddeld per periode door deze resulterende
kracht aan het stukje snaar wordt geleverd?
Opgave 7.7 (vormverandering van periodieke lopende golven)
Van zeker ééndimensionaal medium is de (numerieke) dispersierelatie gegeven door
ω = k 0.9 .
(a) Maak een grafiek en vergelijk met ω = k.
Gegeven zijn twee periodieke signalen, die in het medium worden opgewekt in z = 0:
een ’driehoekvorm’ met Fourierreeks
F (0, t) =
10
4 X cos(2n − 1)t
1
+ 2
2 π n=1 (2n − 1)2
en een ’rechthoekige pulsvorm’ met Fourierreeks
100
G(0, t) =
1 X 2 sin 16 nπ
+
cos nt.
6 n=1
nπ
(b) Bepaal van beide signalen de amplitudes van de termen met cos t, cos 2t, cos 3t,
cos 4t en cos 5t.
33
(c) Maak grafieken van F (0, t) en G(0, t) voor −10 < t < 10.
Beide signalen planten zich in het medium voort als in de positieve z-richting lopende
golven F (z, t) en G(z, t).
(d) Schrijf somformules op voor F (z, t) en G(z, t).
(e) Wat verwacht je op grond van de amplitudespectra over de vervorming van deze
golven, d.w.z. welk van de twee signalen F (z0 , t) en G(z0 , t) in een vast punt
z0 > 0 zal het meest veranderd zijn ten opzichte van F (0, t), respectievelijk
G(0, t)?
(f) Staaf je verwachting met grafieken van F (z0 , t) en G(z0 , t) voor verschillende
waarden van z0 (neem bijvoorbeeld z0 = 1 en ook z0 = 5).
(g) Bekijk tenslotte het effect op de vervorming als de dispersierelatie verandert in
ω = k.
Opgave 7.8 (samenstellen van pulsen)
Gegeven zijn de volgende vier periodieke signalen:
x1 (t)
=
17
14
X
cos 4nt
n=10
x2 (t)
=
17
5
X
cos 16nt
n=1
x3 (t)
=
5
56
X
cos nt
n=40
x4 (t)
=
5
20
X
cos 4nt
n=4
(a) Teken op schaal onder elkaar de amplitudespectra van deze signalen.
(b) Teken op schaal onder elkaar duidelijke grafieken van de signalen voor 0 < t <
8.
(c) Controleer grafisch dat de signalen ook te schrijven zijn als
xi (t) = Amod,1 (t) cos 48t (i = 1, 2, 3, 4)
met
sin 10t
sin 2t
sin 40t
Amod,2 (t) = 17
sin 8t
sin 17
2 t
Amod,3 (t) = 5
sin 12 t
sin 34t
Amod,4 (t) = 5
sin 2t
Amod,1 (t)
=
17
34
HOOFDSTUK 7. OPGAVEN GOLVEN IN 1D
(d) Teken de grafieken van Amod,i (t) bij die van xi (t).
(e) Formuleer enkele vuistregels over het verband tussen de amplitudespectra en de
grafieken van de signalen, en ga na of deze overeenstemmen met de theorie.
Opgave 7.9 (tsunami)
Op tweede kerstdag 2004 was er een zware aardbeving voor de kust van Sumatra. Dit
veroorzaakte een golf met bescheiden amplitude, die over de Indische oceaan propageerde en op veel plaatsen aan de kust tot een verwoestende golf leidde. Voor het
begrip van dit fenomeen is de dispersierelatie cruciaal.
De dispersie van watergolven is
s
σk 3
tanh (kd).
ω=
gk +
ρ
Hierin zijn ω en k de gebruikelijke hoekfrequentie en k-vector van de golf. Verder zijn
g de versnelling door de zwaartekracht, ρ de dichtheid van water, σ de oppervlaktespanning van het water en d de diepte van het water. Voor de tangens hyperbolicus
geldt
ex − e−x
tanh (x) = x
e + e−x
(a) Laat zien dat voor grote diepte de dispersierelatie overgaat in de uitdrukking
bij opgave 7.4 in dit hoofdstuk. Geef aan ten opzichte van wat de diepte groot
moet zijn, en geef deze voorwaarde weer in termen van symbolen, die in de
dispersievergelijking zijn gebruikt.
(b) Wat wordt de dispersievergelijking als de rol van de oppervlaktespanning verwaarloosd kan worden?
In het vervolg kan inderdaad de oppervlaktespanning σ steeds verwaarloosd worden.
(c) Laat zien dat het hierboven gevonden resultaat overgaat in
p
ω = gd k
voor het geval dat kd 1. Hint: gebruik de reeksontwikkeling van ex voor
kleine x.
(d) Wat betekent de eis kd 1 in termen van de golflengte van de golven ?
De diepte van de Indische oceaan is gemiddeld zo’n 3800 m. Uit satellietwaarnemingen weten we dat de amplitude van de tsunami op open water zo’n 80 cm was. De
golflengte was ongeveer 360 kilometer.
(e) Bereken de snelheid en de trillingstijd van de tsunami.
(f) Laat aan de hand van de dispersievergelijking zien dat op open water de vorm
van een tsunami behouden blijft en die van een normale golf (met een “normale”
golflengte) niet.
35
(g) Bereken de snelheid van de golf als de diepte verminderd is tot 1m.
Omdat er tijdens de propagatie geen energie kan verdwijnen of tevoorschijn kan komen,
neemt de energiedichtheid van de golf met dezelfde factor toe als waarmee de snelheid
is afgenomen. We hebben gezien dat de energie van een golf evenredig is met het
kwadraat van de amplitude.
Als de tsunami een kust nadert, wordt de diepte van de oceaan minder. Onze lineaire beschrijving gaat fout als de diepte van het water niet meer groot is ten opzichte
van de amplitude van de golf.
(h) Bereken, binnen onze lineaire benadering, de amplitude van de golf als de waterdiepte tot 1 m is afgenomen.
36
VERANTWOORDING
Dit werkboek is gebaseerd op eerdere versies van de opgavenverzameling bij Trillingen
en Golven door Jan Dekker met tekstbijdragen van Cor Tuijn, bewerkt door Klaasjan
van Druten en Ben van Linden van den Heuvell.
Verdere tekstbijdragen en eindredactie: Tom Hijmans, Ben van Linden van den Heuvell
en Marcel Vreeswijk.
37