1.5 Drievoudige integralen in rechthoekige coördinaten

CALCULUS III
TWEE- EN DRIEVOUDIGE INTEGRALEN
ACHTERGROND
0.1 LIJNEN IN DE RUIMTE 1
Een lijn in de ruimte kan worden vastgesteld door een punt en een richtingsvector. Een
VECTORVERGELIJKING voor de lijn 𝐿 door 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) parallel aan 𝒗 is2
𝐫(𝑡) = 𝐫0 + 𝑡𝐯, −∞ < 𝑡 < ∞
waarin 𝒓 de POSITIEVECTOR is voor een punt 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) op lijn L en 𝒓0 de positievector van 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ).
De vectorvergelijking kan ook worden geschreven als
𝑥0
𝑣1
𝑥0 + 𝑡𝑣1
𝑥
𝑦
𝑣
(𝑦) = ( 0 ) + 𝑡 ( 2 ) = (𝑦0 + 𝑡𝑣2 )
𝑧0
𝑣3
𝑧0 + 𝑡𝑣3
𝑧
Deze vergelijking geeft ons de standaard parametrisering van de lijn. Wanneer we enkel een lijnsegment willen
parametriseren, dan begrenzen we het DEFINITIEGEBIED (DOMEIN) door te stellen dat de functie alleen geldt
voor bepaalde waarden van 𝑡.
0.2 HET UITPRODUCT 3
Het UITPRODUCT 𝒂 × 𝒃 van 2 vectoren is een vector. Wanneer 𝒂 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) en 𝒃 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), dan geldt:
𝒆1 𝒆2 𝒆3
𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2
𝑎2 𝑎3
𝑎1 𝑎3
𝑎1 𝑎2
𝒂 × 𝒃 = [ 𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 ] = |𝑏 𝑏 | 𝒆1 − |𝑏 𝑏 | 𝒆2 + |𝑏 𝑏 | 𝒆3 = |𝑎1 𝑎2 𝑎3 |
2
3
1
3
1
2
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1
e
Hoewel de 1 rij in deze laatste matrix uit vectoren bestaat, wordt de determinant uitgerekend alsof het
getallen zouden zijn.
Voor uitproducten gelden de volgende rekenregels:
 𝒂 × 𝒃 = −𝒃 × 𝒂
 (𝑐𝒂) × 𝒃 = 𝑐(𝒂 × 𝒃) = 𝒂 × (𝑐𝒃)
 𝒂 × (𝒃 + 𝒄) = 𝒂 × 𝒃 + 𝒂 × 𝒄
 (𝒂 + 𝒃) × 𝒄 = 𝒂 × 𝒄 + 𝒃 × 𝒄
 𝒂 ∙ (𝒃 × 𝒄) = (𝒂 × 𝒃) ∙ 𝒄
 𝒂 × (𝒃 × 𝒄) = (𝒂 ∙ 𝒄)𝒃 − (𝒂 ∙ 𝒃)𝒄
HOOFDSTUK 1: MEERVOUDIGE INTEGRALEN 4
1.1 DUBBELE EN HERHAALDE INTEGRALEN OVER RECHTHOEKEN
We gaan uit van een functie 𝑓(𝑥, 𝑦) die is gedefinieerd op een rechthoekig gebied 𝑅,
𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑
1
Oorspronkelijk paragraaf 12.5 van Thomas’ Calculus
Voor variabelen en functies met beeldruimte 𝑅 worden cursieve letters gebruikt. Voor vectoren en vectorfuncties worden
dikgedrukte, rechte letters gebruikt.
3 Oorspronkelijk paragraaf 12.4 van Thomas’ Calculus
4 Oorspronkelijk Hoofdstuk 15 uit Thomas’ Calculus
2
We delen 𝑅 op in 𝑛 kleine rechthoekjes door middel van een netwerk van lijnen parallel aan de 𝑥-as en de 𝑦-as.
Ieder rechthoekje heeft oppervlak ∆𝐴 = ∆𝑥∆𝑦. We kunnen nu een Riemann som vormen door in elk k de
rechthoekje een punt (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) te kiezen, de waarde van 𝑓 in dit punt te vermenigvuldigen met het oppervlak
∆𝐴𝑘 en de producten van alle rechthoekjes bij elkaar op te tellen.
𝑛
𝑆𝑛 = ∑ 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 )∆𝐴𝑘
𝑘=1
Hoe meer rechthoekjes, hoe beter de benadering. Wanneer de integraal
𝑛
lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 )∆𝐴𝑘
𝑛→∞
𝑘=1
bestaat, dan is de functie 𝑓 INTEGREERBAAR over 𝑅. Bovenstaande limiet wordt dan ook wel de DUBBELE
INTEGRAAL van 𝑓 over 𝑅 genoemd.
Wanneer 𝑓(𝑥, 𝑦) een positieve functie is over een rechthoekig gebied 𝑅 in het 𝑥𝑦-vlak, dan kan de dubbele
integraal van 𝑓 over 𝑅 geïnterpreteerd worden als het volume van het driedimensionale gebied tussen het 𝑥𝑦vlak en het oppervlak. Elke term 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 )∆𝐴𝑘 in de som 𝑆𝑛 = ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 )∆𝐴𝑘 is het volume van een
verticale balk die het volume boven de basis ∆𝐴𝑘 benadert. De som 𝑆𝑛 benadert dan het totale volume. We
definiëren het volume als
𝑛
Volume = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 )∆𝐴𝑘 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑛→∞
𝑅
𝑘=1
𝑅
waarin ∆𝐴𝑘 → 0 als 𝑛 → ∞.
STELLING VAN FUBINI (simpele variant): Wanneer 𝑓(𝑥, 𝑦) een continue functie is over het rechthoekige
gebied 𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, dan geldt
𝑑
𝑏
𝑏
𝑑
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑅
𝑐
𝑎
𝑎
𝑐
De laatste twee uitdrukkingen zijn HERHAALDE INTEGRALEN.. Je integreert eerst 𝑓(𝑥, 𝑦) ten opzichte van 𝑦
van 𝑦 = 𝑐 tot 𝑦 = 𝑑 waarbij 𝑥 blijft en vervolgens integreer je het resultaat, een uitdrukking in 𝑥, ten opzichte
van 𝑥 van 𝑥 = 𝑎 tot 𝑥 = 𝑏.
1.2 DUBBELE INTEGRALEN OVER ALGEMENE GEBIEDEN
Wanneer we een functie 𝑓(𝑥, 𝑦) integreren over niet-rechthoekig oppervlak gaat dat eigenlijk hetzelfde als bij
een rechthoekig oppervlak. Weer wordt het oppervlak verdeeld in 𝑛 kleine rechthoekjes en geldt5
𝑛
Volume = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 )∆𝐴𝑘 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑛→∞
5
𝑘=1
𝑅
Het oppervlak 𝑅 wordt benaderd, de rechthoekjes vormen niet exact 𝑅. Voor de functies die bij dit vak aan bod komen is
dit echter geen problem.
Het gebied 𝑅 in het 𝑥𝑦-vlak wordt nu echter niet meer gedefinieerd door de lijnen 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑦 = 𝑐 en 𝑦 =
𝑑, maar bijvoorbeeld door de krommen 𝑦 = 𝑔1 (𝑥) en 𝑦 = 𝑔2 (𝑥) aan de boven- en onderkant en door de lijnen
𝑥 = 𝑎 en 𝑥 = 𝑏 aan de zijkanten.
STELLING VAN FUBINI (sterkere variant): Wanneer 𝑓(𝑥, 𝑦) continu is over een gebied 𝑅
 en 𝑅 is gedefinieerd door 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2 (𝑥) waarbij 𝑔1 en 𝑔2 continu zijn op [𝑎, 𝑏], dan
geldt
𝑔2 (𝑥)
𝑏
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫

𝑅
𝑎
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑔1 (𝑥)
en 𝑅 is gedefinieerd door 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, ℎ1 (𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2 (𝑦) waarbij ℎ1 en ℎ2 continu zijn op [𝑐, 𝑑], dan
geldt
ℎ2 (𝑥)
𝑑
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫
𝑅
𝑐
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
ℎ1 (𝑥)
Wanneer we eerst integreren naar 𝑦, integreren we over een verticale lijn door 𝑅 en integreren we vervolgens
van links naar recht om alle verticale lijnen in 𝑅 te omvatten. Wanneer we eerst integreren naar 𝑥, integreren
we over horizontale lijnen. Beide manieren leiden altijd tot hetzelfde antwoord, maar in sommige gevallen is de
integraal op de ene manier (veel) gemakkelijker uit te werken.
De algemene werkwijze voor het uitwerken van de integraal ∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 bestaat uit drie stappen. Wanneer
we integreren over verticale lijnen gelden de volgende drie stappen:
1. Schetsen: Schets het integreergebied en label de begrenzende krommen.
2. Vind de 𝒚-limieten: Stel je een verticale lijn 𝐿 voor die 𝑅 in de richting van toenemende 𝑦 doorsnijdt.
Beschrijf de 𝑦-waarden waar 𝐿 de grenzen van het gebied overschrijdt als functie van 𝑥 of als
constante.
3. Vind de 𝒙-limieten: Kies 𝑥-limieten die alle verticale lijnen in 𝑅 omvatten.
Wanneer we integreren over horizontale lijnen gelden dezelfde stappen maar dan met 𝑥 en 𝑦 omgewisseld.
Voor dubbele integralen gelden de volgende eigenschappen:
 Constante veelvoud:
∬𝑅 𝑐𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = 𝑐 ∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
 Som en verschil:
∬𝑅(𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦))𝑑𝐴 = ∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ± ∬𝑅 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
 Ongelijkheden:
wanneer
𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 in 𝑅
∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ≥ 0
wanneer
𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦) in 𝑅
∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ≥ ∬𝑅 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
 Optelbaarheid:
∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 + ∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
1
2
wanneer 𝑅 de verzameling is van twee gebieden 𝑅1 en 𝑅2 die elkaar niet
overlappen
1.3 OPPERVLAKTE EN GEMIDDELDE WAARDE BEREKENEN DOOR DUBBELE INTEGRATIE
Wanneer we in de definitie voor de dubbele integraal over een gebied 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 invullen, dan berekenen
we in plaats van een volume een oppervlak.
𝑛
Oppervlakte = lim ∑ ∆𝐴𝑘 = ∬ 𝑑𝐴
𝑛→∞
𝑘=1
𝑅
De gemiddelde waarde van een integreerbare functie van één variabele op een gesloten interval is de integraal
van de functie over het interval gedeeld door de lengte van het interval. Voor een integreerbare functie van
twee variabelen gedefinieerd over een gesloten gebied is de gemiddelde waarde de integraal over het gebied
gedeeld door het oppervlak van het gebied.
1
𝐠𝐞𝐦𝐢𝐝𝐝𝐞𝐥𝐝𝐞 𝐰𝐚𝐚𝐫𝐝𝐞 van 𝑓 over 𝑅 =
∬ 𝑓 𝑑𝐴
oppervlakte van 𝑅 𝑅
1.4 DUBBELE INTEGRALEN IN POOLCOÖRDINATEN
Wanneer we een dubbele integraal definiëren over een gebied 𝑅 in het 𝑥𝑦-vlak, dan verdelen we het gebied in
rechthoekjes evenwijdig aan beide coördinatenassen. De rechthoekjes hebben dezelfde 𝑥- of dezelfde 𝑦waarde als de aanliggende rechthoekjes. Wanneer we gebruik maken van POOLCOÖRDINATEN, zijn niet 𝑥 en
𝑦, maar 𝑟 en 𝜃 constant. Stel je een functie 𝑓(𝑟, 𝜃) is gedefinieerd als het gebied 𝑅 dat wordt begrensd door de
stralen bij hoek 𝜃 = 𝛼 en 𝜃 = 𝛽 en door de continue krommen 𝑟 = 𝑔1 (𝜃) en 𝑟 = 𝑔2 (𝜃). Wanneer voor elke 𝜃
tussen 𝛼 en 𝛽 geldt dat 0 ≤ 𝑔1 (𝜃) ≤ 𝑔2 (𝜃) ≤ 𝑎, dan ligt 𝑅 in een waaiervormig gebied 𝑄 dat is gedefinieerd
door de ongelijkheden 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑎 en 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽.
We kunnen nu een Riemann som vormen door in elk kde rechthoekje een punt (𝑟𝑘 , 𝜃𝑘 ) te kiezen, de waarde van
𝑓 in dit punt te vermenigvuldigen met het oppervlak ∆𝐴𝑘 en de producten van alle rechthoekjes bij elkaar op te
tellen.
𝑛
𝑆𝑛 = ∑ 𝑓(𝑟𝑘 , 𝜃𝑘 )∆𝐴𝑘
𝑘=1
Hoe meer rechthoekjes, hoe beter de benadering. Wanneer de integraal
𝑛
lim ∑ 𝑓(𝑟𝑘 , 𝜃𝑘 )∆𝐴𝑘
𝑛→∞
𝑘=1
bestaat, dan is de functie 𝑓 INTEGREERBAAR over 𝑅. Bovenstaande limiet wordt dan ook wel de DUBBELE
INTEGRAAL van 𝑓 over 𝑅 genoemd. Voordat deze limiet kan worden uitgewerkt, moet ∆𝐴𝑘 worden uitgedrukt
in ∆𝑟 en ∆𝜃. We kiezen 𝑟𝑘 als gemiddelde straal van de binnenste en de buitenste boog. De straal van de
binnenste boog is dan 𝑟𝑘 − ∆𝑟⁄2 en die van de buitenste boog 𝑟𝑘 + ∆𝑟 ⁄2. De oppervlakte van een wigvormige
1
gebiedje is 𝐴 = 𝜃 ∙ 𝑟 2 . Dit volgt door de oppervlakte van een cirkel, 𝜋𝑟 2 , te delen 𝜃⁄2𝜋 . De oppervlakte van
2
de wigvormige gebieden die zijn begrensd door de bogen 𝑟𝑘 − ∆𝑟 ⁄2 en 𝑟𝑘 + ∆𝑟⁄2 is
1
∆𝑟 2
1
∆𝑟 2
(𝑟𝑘 − ) ∆𝜃
𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑒𝑣𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘
(𝑟𝑘 + ) ∆𝜃
2
2
2
2
Hieruit volgt voor het oppervlak van het door deze bogen ingesloten gebiedje
∆𝜃
∆𝑟 2
∆𝑟 2
∆𝜃
(2𝑟𝑘 ∆𝑟) = 𝑟𝑘 ∆𝑟∆𝜃
∆𝐴𝑘 =
((𝑟𝑘 + ) − (𝑟𝑘 − ) ) =
2
2
2
2
Hieruit volgt voor de eerder gedefinieerde dubbele integraal van 𝑓 over 𝑅
𝑛
𝑛→∞
𝑟=𝑔2 (𝜃)
𝜃=𝛽
lim ∑ 𝑓(𝑟𝑘 , 𝜃𝑘 )∆𝐴𝑘 = ∬ 𝑓(𝑟, 𝜃)𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∫
𝑅
𝑘=1
𝜃=𝛼
∫
𝑓(𝑟, 𝜃)𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑟=𝑔1 (𝜃)
De algemene werkwijze voor het uitwerken van de integraal ∬𝑅 𝑓(𝑟, 𝜃)𝑑𝐴 bestaat uit drie stappen.
1. Schetsen: Schets het integreergebied en label de begrenzende krommen.
2. Vind de 𝒓-limieten: Stel je een straal 𝐿 voor vanuit de oorsprong die 𝑅 in de richting van toenemende
𝑟 doorsnijdt. Beschrijf de 𝑟-waarden waar 𝐿 de grenzen van het gebied overschrijdt als functie van 𝜃 of
als constante.
3. Vind de 𝜽-limieten: Vind de kleinste en grootste waarde voor 𝜃 die het gebied 𝑅 begrenzen.
1.5 DRIEVOUDIGE INTEGRALEN IN RECHTHOEKIGE COÖRDINATEN
Wanneer 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) een functie is gedefinieerd op een gesloten, begrensd gebied 𝐷 in de ruimte, dan kan de
integraal van 𝐹 over 𝐷 bepaald worden door 𝐷 in 𝑛 kleine, rechthoekige blokjes te delen. Elk blokje heeft
volume ∆𝑉 = ∆𝑥∆𝑦∆𝑧. We kunnen nu een Riemann som vormen door in elk k de blokje een punt (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 ) te
kiezen, de waarde van 𝐹 in dit punt te vermenigvuldigen met het volume ∆𝑉𝑘 en de producten van alle blokjes
bij elkaar op te tellen.
𝑛
𝑆𝑛 = ∑ 𝐹(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 )∆𝑉𝑘
𝑘=1
Hoe meer blokjes, hoe beter de benadering.
Wanneer 𝐹 continu is en het gebogen oppervlak van 𝐷 wordt gevormd uit een eindig aantal vloeiende
oppervlaktes die aan elkaar zijn verbonden langs vloeiende krommen, dan is 𝐹 INTEGREERBAAR. De limiet
𝑛
lim ∑ 𝐹(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 )∆𝑉𝑘
𝑛→∞
𝑘=1
wordt dan ook wel de DRIEVOUDIGE INTEGRAAL van 𝐹 over 𝐷 genoemd.
𝑛
lim ∑ 𝐹(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 )∆𝑉𝑘 = ∭ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑛→∞
𝐷
𝑘=1
Wanneer 𝐹 een constante is met waarde 1, dan kan bovenstaande integraal gereduceerd worden tot
𝑛
lim ∑ ∆𝑉𝑘 = ∭ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∭ 𝑑𝑉
𝑛→∞
𝑘=1
𝐷
𝐷
Dit is het volume van het gesloten, begrensde gebied 𝐷.
De algemene werkwijze voor het uitwerken van de integraal ∭𝐷 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 bestaat uit vier stappen. De
werkwijze lijkt op die van tweevoudige integralen en is gebaseerd op een driedimensionale versie van de
stelling van Fubini. Het maakt niet uit in welke volgorde je integreert. Wanneer we eerst integreren naar 𝑧, dan
naar 𝑦 en dan naar 𝑥 gelden de volgende vier stappen:
1. Schetsen: Schets het integreergebied 𝐷 en zijn ‘schaduw’ 𝑅 in het 𝑥𝑦-vlak. Label de begrenzende
oppervlaken van 𝐷 en de begrenzende krommen van 𝑅.
2. Vind de 𝒛-limieten: Stel je een lijn 𝑀 voor door een punt (𝑥, 𝑦) evenwijdig aan de 𝑧-as in de richting
van toenemende 𝑧. De punten 𝑧 = 𝑓1 (𝑥, 𝑦) en 𝑧 = 𝑓2 (𝑥, 𝑦) waar 𝑀 de grenzen van het gebied 𝐷
overschrijdt, beschrijven de 𝑧-limiet.
Vind de 𝒚-limieten: Stel je een lijn 𝐿 voor door een punt (𝑥, 𝑦) evenwijdig aan de 𝑦-as in de richting
van toenemende 𝑦. De punten 𝑦 = 𝑔1 (𝑥) en 𝑦 = 𝑔2 (𝑥) waar 𝐿 de grenzen van het oppervlak 𝑅
overschrijdt, beschrijven de 𝑧-limiet.
4. Vind de 𝒙-limieten: Kies 𝑥-limieten die alle lijnen in 𝑅 evenwijdig aan de 𝑦-as omvatten. Dit zijn de 𝑥limieten.
De integraal is
3.
𝑦=𝑔2 (𝑥)
𝑥=𝑏
∫
𝑥=𝑎
∫
𝑧=𝑓2 (𝑥,𝑦)
∫
𝑦=𝑔1 (𝑥)
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑧=𝑓1 (𝑥,𝑦)
De gemiddelde waarde van een integreerbare functie van drie variabelen binnen een gesloten gebied is de
integraal van de functie over het interval gedeeld door het volume van het gebied
1
𝐠𝐞𝐦𝐢𝐝𝐝𝐞𝐥𝐝𝐞 𝐰𝐚𝐚𝐫𝐝𝐞 van 𝐹 over 𝐷 =
∭ 𝐹 𝑑𝑉
volume van 𝐷
𝐷
1.6 MOMENTEN EN MASSAMIDDELPUNTEN
Wanneer 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) de dichtheid is van een object ter grootte van een bepaald gebied 𝐷, dan geeft de integraal
van 𝛿 over 𝐷 de MASSA van het object. Dit volgt uit onderstaande figuur waar een object is verdeeld in kleine
elementjes.
𝑛
𝑛
𝑀 = lim ∑ ∆𝑚𝑘 = lim ∑ 𝛿(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 )∆𝑉𝑘 = ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝑛→∞
𝑘=1
𝑛→∞
𝐷
𝑘=1
Het EERSTE MOMENT van het object rondom een bepaald vlak is gedefinieerd als de drievoudige integraal
over 𝐷 van de afstand van een punt (𝑥, 𝑦, 𝑧) in 𝐷 tot het vlak vermenigvuldigd met de dichtheid in dat punt. De
eerste momenten rondom respectievelijk het 𝑦𝑧-, het 𝑥𝑧- en het 𝑥𝑦-vlak zijn
𝑀𝑦𝑧 = ∭ 𝑥 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝐷
𝑀𝑥𝑧 = ∭ 𝑦 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝐷
𝑀𝑥𝑦 = ∭ 𝑧 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝐷
De coördinaten van het MASSAMIDDELPUNT (𝑥̅ , 𝑦̅, 𝑧̅) kunnen aan de hand van bovenstaande momenten en
de massa worden berekend.
𝑀𝑦𝑧
𝑀𝑥𝑦
𝑀𝑥𝑧
𝑥̅ =
𝑦̅ =
𝑧̅ =
𝑀
𝑀
𝑀
Wanneer de dichtheid constant is, wordt het massamiddelpunt ook wel het ZWAARTEPUNT genoemd.
De formules voor de massa, de eerste momenten en het massamiddelpunt van een tweedimensionaal object
volgen uit die van een driedimensionaal object simpelweg door het 𝑧-coördinaat weg te laten.
𝑀 = ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝑅
𝑀𝑥 = ∬ 𝑥 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝑅
𝑀𝑦 = ∬ 𝑦 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝑀𝑦
𝑥̅ =
𝑀
𝑅
𝑦̅ =
𝑀𝑥
𝑀
1.7 DRIEVOUDIGE INTEGRALEN IN CILINDER- EN BOLCOÖRDINATEN
CILINDERCOÖRDINATEN (𝑟, 𝜃, 𝑧) geven een punt 𝑃 in de ruimte aan door middel van een combinatie van de
poolcoördinaten in het 𝑥𝑦-vlak en het gebruikelijke 𝑧-coördinaat. De waardes van 𝑥, 𝑦, 𝑟 en 𝜃 zijn aan elkaar
gerelateerd via de relaties
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ,
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
𝑦
2
2
2
𝑟 =𝑥 +𝑦 ,
tan 𝜃 =
𝑥
Het volume van een wigvormig elementje ∆𝑉𝑘 kan worden verkregen door het in paragraaf 1.4 bepaalde
oppervlakte-elementje ∆𝐴𝑘 te vermenigvuldigen met de hoogte ∆𝑧. De Riemann som van 𝑓 over 𝐷 heeft de
vorm
𝑛
𝑆𝑛 = ∑ 𝑓(𝑟𝑘 , 𝜃𝑘 , 𝑧𝑘 ) ∆𝑧𝑘 𝑟𝑘 ∆𝑟𝑘 ∆𝜃𝑘
𝑘=1
De limiet van deze functie is de drievoudige integraal van 𝑓 over 𝐷.
lim 𝑆𝑛 = ∭ 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑛→∞
𝐷
Deze integraal kan worden uit via het in paragraaf 1.5 gegeven stappenplan voor herhaalde integralen.
1. Schetsen: Schets het integreergebied 𝐷 en zijn ‘schaduw’ 𝑅 in het 𝑥𝑦-vlak. Label de begrenzende
oppervlaken van 𝐷 en de begrenzende krommen van 𝑅.
2. Vind de 𝒛-limieten: Stel je een lijn 𝑀 voor door een punt (𝑟, 𝜃) evenwijdig aan de 𝑧-as in de richting
van toenemende 𝑧. De punten 𝑧 = 𝑔1 (𝑟, 𝜃) en 𝑧 = 𝑔2 (𝑟, 𝜃) waar 𝑀 de grenzen van het gebied 𝐷
overschrijdt, beschrijven de 𝑧-limiet.
Vind de 𝒓-limieten: Stel je een lijn 𝐿 voor door een punt (𝑟, 𝜃) vanuit de oorsprong. De punten 𝑟 =
ℎ1 (𝜃) en 𝑟 = ℎ2 (𝜃) waar 𝐿 de grenzen van het oppervlak 𝑅 overschrijdt, beschrijven de 𝑧-limiet.
4. Vind de 𝜽-limieten: Wanneer je 𝐿 om de 𝑧-as wentelt maakt het zodanig dat het gebied 𝐷 er net in
past, dan loopt de hoek 𝜃 die 𝐿 maakt met de 𝑥-as van 𝜃 = 𝛼 tot 𝜃 = 𝛽. Dit zijn de limieten van 𝜃.
De integraal is
3.
𝑟=ℎ2 (𝜃)
𝜃=𝑏
∭ 𝑓(𝜌, 𝜑, 𝜃)𝑑𝑉 = ∫
𝐷
∫
𝜃=𝑎
𝑧=𝑔2 (𝑟,𝜃)
∫
𝑟=ℎ1 (𝜃)
𝑓(𝑟, 𝜃, 𝑧)𝑑𝑧 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑧=𝑔1 (𝑟,𝜃)
BOLCOÖRDINATEN (𝜌, 𝜑, 𝜃) geven een punt 𝑃 in de ruimte aan door middel van een combinatie van de
afstand van 𝑃 tot de oorsprong, 𝜌, de hoek die ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 maakt met de positieve 𝑧-as, 𝜑, en het cilindercoördinaat 𝜃.
Er geldt 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 en 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. De vergelijking 𝜌 = 𝑎 beschrijft een bol met radius 𝜌 rondom de
oorsprong, 𝜑 = 𝜑0 beschrijft een kegel met zijn top in de oorsprong en 𝜃 = 𝜃0 beschrijft het halfvlak dat de 𝑧as bevat en ee hoek 𝜃0 maakt met de positieve 𝑥- as. Poolcoördinaten, cilindercoördinaten en poolcoördinaten
zijn aan elkaar gerelateerd via de volgende relaties.
𝑟 = 𝜌 sin 𝜑
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 𝜌 sin 𝜑 cos 𝜃 ,
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 = 𝜌 sin 𝜑 sin 𝜃 ,
𝑧 = 𝜌 cos 𝜑
2
2
2
2
2
𝜌 = √𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = √𝑟 + 𝑧
Het volume van een wigvormig elementje ∆𝑉𝑘 is ∆𝑉𝑘 = 𝜌𝑘2 sin 𝜑𝑘 ∆𝑟𝑘 ∆𝜑𝑘 ∆𝜃𝑘 voor een punt (𝜌𝑘 , 𝜑𝑘 , 𝜃𝑘 ) in het
elementje. De Riemann som van 𝑓 over 𝐷 heeft de vorm
𝑛
𝑆𝑛 = ∑ 𝑓(𝜌𝑘 , 𝜑𝑘 , 𝜃𝑘 ) 𝜌𝑘2 sin 𝜑𝑘 ∆𝜌𝑘 ∆𝜑𝑘 ∆𝜃𝑘
𝑘=1
De limiet van deze functie is de drievoudige integraal van 𝑓 over 𝐷.
lim 𝑆𝑛 = ∭ 𝑓(𝜌, 𝜑, 𝜃) 𝜌2 sin 𝜑 𝑑𝜌 𝑑𝜑 𝑑𝜃
𝑛→∞
𝐷
Deze integraal kan worden uit via het in paragraaf 1.5 gegeven stappenplan voor herhaalde integralen.
1. Schetsen: Schets het integreergebied 𝐷 en zijn ‘schaduw’ 𝑅 in het 𝑥𝑦-vlak. Label de begrenzende
oppervlaken van 𝐷 en de begrenzende krommen van 𝑅.
2. Vind de 𝝆-limieten: Stel je een lijn 𝑀 voor vanuit de oorsprong die een hoek 𝜑 maakt met de positieve
𝑧-as. Stel je ook de projectie van 𝑀 op het 𝑥𝑦-vlak voor en noem deze projectie 𝐿. De straal 𝐿 maakt
een hoek 𝜃 met de positieve 𝑥-as. Wanneer 𝜌 toeneemt overschrijdt het de grenzen van 𝐷 in de
punten 𝜌 = 𝑔1 (𝜑, 𝜃) en 𝜌 = 𝑔2 (𝜑, 𝜃). Dit zijn de limieten voor 𝜌.
3. Vind de 𝝋-limieten: Voor een gegeven 𝜃 loopt hoek 𝜑 die 𝑀 maakt met de 𝑧-as van 𝜑 = 𝜑𝑚𝑖𝑛 tot
𝜑 = 𝜑𝑚𝑎𝑥 . Dit zijn de limieten voor 𝜑.
4. Vind de 𝜽-limieten: Wanneer je 𝐿 om de 𝑧-as wentelt maakt het zodanig dat het gebied 𝐷 er net in
past, dan loopt de hoek 𝜃 die 𝐿 maakt met de 𝑥-as van 𝜃 = 𝛼 tot 𝜃 = 𝛽. Dit zijn de limieten van 𝜃.
De integraal is
𝜃=𝑏
∭ 𝑓(𝜌, 𝜑, 𝜃)𝑑𝑉 = ∫
𝐷
𝜃=𝑎
𝜌=𝑔2 (𝜌,𝜑,𝜃)
𝜑=𝜑𝑚𝑎𝑥
∫
𝜑=𝜑𝑚𝑖𝑛
∫
𝜌=𝑔1 (𝜌,𝜑,𝜃)
1.8 SUBSTITUTIE IN MEERVOUDIGE INTEGRALEN
𝑓(𝜌, 𝜑, 𝜃) 𝜌2 sin 𝜑 𝑑𝜌 𝑑𝜑 𝑑𝜃
De substitutie van polaire coördinaten in paragraaf 1.4 is een speciaal geval van een algemene
substitutiemethode voor dubbele integralen. Stel je een gebied 𝐺 in het 𝑢𝑣-vlak voor dat één-op-één wordt
getransformeerd naar het gebied 𝑅 op het 𝑥𝑦-vlak door de vergelijkingen
𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣),
𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣)
𝑅 is nu de AFBEELDING van 𝐺 en 𝐺 de VOORAFBEELDING van 𝑅. Elke functie 𝑓(𝑥, 𝑦) kan worden geschreven
als 𝑓(𝑔(𝑢, 𝑣), ℎ(𝑢, 𝑣)). Wanneer 𝑓, 𝑔 en ℎ continue partiële afgeleides hebben en 𝐽(𝑢, 𝑣) nul is in enkel
geïsoleerde punten, dan geldt
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑢, 𝑣), ℎ(𝑢, 𝑣)) |𝐽(𝑢, 𝑣)| 𝑑𝑢 𝑑𝑣
𝑅
𝐺
De factor 𝐽(𝑢, 𝑣) is de JACOBIAAN van de coördinatentransformatie 𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣), 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣).
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝐽(𝑢, 𝑣) = |𝜕𝑢 𝜕𝑣 | =
−
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕𝑢 𝜕𝑣
Dit wordt ook wel genoteerd als
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝐽(𝑢, 𝑣) =
𝜕(𝑢, 𝑣)
De substitutie van cilinder- en bolcoördinaten in paragraaf 1.7 zijn speciale gevallen van een algemene
substitutiemethode voor drievoudige integralen. Stel je een gebied 𝐺 voor in de 𝑢𝑣𝑤-ruimte dat één-op-één
wordt getransformeerd nar het gebied 𝐷 in de 𝑥𝑦𝑧-ruimte door de vergelijkingen
𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣, 𝑤),
𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣, 𝑤),
𝑧 = 𝑘(𝑢, 𝑣, 𝑤)
Elke functie 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) kan nu worden geschreven als
𝐹(𝑔(𝑢, 𝑣, 𝑤), ℎ(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑘(𝑢, 𝑣, 𝑤)) = 𝐻(𝑢, 𝑣, 𝑤)
Wanneer 𝑔, ℎ en 𝑘 continue partiële afgeleides hebben, dan is de integraal van 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) over 𝐷 gerelateerd
aan de integraal van 𝐻(𝑢, 𝑣, 𝑤) over 𝐺 volgens de volgende vergelijking
∭ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∭ 𝐻(𝑢, 𝑣, 𝑤) |𝐽(𝑢, 𝑣, 𝑤)| 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑤
𝐷
𝐺
De Jacobiaan is nu de absolute waarde van de volgende determinant
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤
|
| 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝐽(𝑢, 𝑣, 𝑤) =
=
𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)
|𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤 |
𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤
Deze determinant geeft aan hoe veel het volume bij een punt in 𝐺 wordt uitgerekt of samengedrukt tijdens de
transformatie van (𝑢, 𝑣, 𝑤) naar (𝑥, 𝑦, 𝑧) coördinaten.
HOOFDSTUK 2: INTEGRATIE IN VECTORVELDEN 6
2.1 LIJNINTEGRALEN
Wanneer we integreren over een kromme 𝐶 in plaats van over een interval [𝑎, 𝑏] is er sprake van een
LIJNINTEGRAAL of PADINTEGRAAL.
Stel je een reële waarde-functie 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) voor die je wilt integreren over de kromme 𝐶 in het domein van 𝑓
die wordt geparametriseerd door 𝒓(𝑡) = 𝑔(𝑡)𝒊 + ℎ(𝑡)𝒋 + 𝑘(𝑡)𝒌, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. De waardes van 𝑓 langs de
kromme worden gegeven door de samengestelde functie 𝑓(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡), 𝑘(𝑡)). Wanneer we deze functie
integreren over de booglengte van 𝑡 = 𝑎 tot 𝑡 = 𝑏 moet de kromme 𝐶 verdeeld worden in 𝑛 subkrommes met
lengte ∆𝑠𝑘 . We kunnen nu een Riemann som vormen door in elk k de subkromme een punt (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 ) te
kiezen, de waarde van 𝑓 in dit punt te vermenigvuldigen met de lengte ∆𝑠𝑘 en de producten van alle
rechthoekjes bij elkaar op te tellen.
𝑛
𝑆𝑛 = ∑ 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 )∆𝑠𝑘
𝑘=1
Hoe meer subkrommes, hoe beter de benadering. De integraal
6
Oorspronkelijk Hoofdstuk 16 uit Thomas’ Calculus
𝑛
lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 )∆𝑠𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠
𝑛→∞
𝐶
𝑘=1
bestaat wanneer 𝐶 een vloeiende kromme is voor 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 en 𝑓 een continue functie is op 𝐶. De functie 𝑓 is
dan integreerbaar over 𝐶. Bovenstaande limiet wordt dan ook wel de LIJNINTEGRAAL van 𝑓 over 𝐶 genoemd.7
Aangezien geldt 𝑑𝑠 = |𝒗(𝑡)| 𝑑𝑡 kan deze integraal ook worden geschreven als
𝑏
∫ 𝑓(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡), 𝑘(𝑡)) |𝒗(𝑡)| 𝑑𝑡
𝑎
Lijnintegralen hebben de nuttige eigenschap dat wanneer een kromme 𝐶 bestaat uit een eindig aantal
verbonden vloeiende deelkrommes 𝐶1 , 𝐶2 , …, 𝐶𝑛 , dan is de integraal van een functie over 𝐶 de som van de
integralen over de deelkrommes.
∫ 𝑓 𝑑𝑠 = ∫ 𝑓 𝑑𝑠 + ∫ 𝑓 𝑑𝑠 + ⋯ + ∫ 𝑓 𝑑𝑠
𝐶
𝐶1
𝐶2
𝐶𝑛
De massa van een draadje dat het pad van een kromme 𝐶 in de ruimte beschrijft kan berekend worden door
middel van integratie. door het Wanneer de kromme 𝐶 is geparametriseerd door 𝒓(𝑡) = 𝑔(𝑡)𝒊 + ℎ(𝑡)𝒋 +
𝑘(𝑡)𝒌, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 dan zijn 𝑥, 𝑦 en 𝑧 funties van 𝑡 en kan de dichtheid beschreven worden door de functie
𝛿(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)). De booglengtedifferentiaal is dan
𝑑𝑠 = √(
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 2
𝑑𝑧 2
) + ( ) + ( ) 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Voor de massa geldt
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 2
𝑑𝑧 2
√
𝑀 = ∫ 𝛿 𝑑𝑠 = ∫ 𝛿(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) ( ) + ( ) + ( ) 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐶
𝑎
Op basis van deze vergelijking kunnen de vergelijkingen voor de eerste momenten om de coördinatenassen, de
coördinaten van het massamiddelpunt bepaald worden.
𝑏
𝑀𝑦𝑧 = ∫ 𝑥 𝛿 𝑑𝑠 ,
𝑀𝑥𝑧 = ∫ 𝑦 𝛿 𝑑𝑠 ,
𝐶
𝐶
𝑀𝑦𝑧
𝑥̅ =
,
𝑀
𝑀𝑥𝑧
𝑦̅ =
,
𝑀
𝑀𝑥𝑦 = ∫ 𝑧 𝛿 𝑑𝑠
𝑀𝑥𝑦
𝑧̅ =
𝑀
𝐶
2.2 VECTORVELDEN EN LIJNINTEGRALEN: ARBEID, CIRCULATIE EN FLUX
Een VECTORVELD is een functie die een vector voor elk punt van zijn domein een vector voorschrijft. In een
driedimensionaal domein kan de formule er als volgt uitzien 8
𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒊 + 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒋 + 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒌
Het veld is continu wanneer de componentfuncties 𝑀, 𝑁 en 𝑃 continu zijn en differentieerbaar wanneer de
componentfuncties differentieerbaar zijn. De tangentiele vectoren 𝑻 en de normaalvectoren 𝑵 van een
kromme in de ruimte vormen beide vectorvelden langs de kromme. Langs een kromme 𝒓(𝑡) hebben ze een
componentformule gelijk aan de uitdrukking van een snelheidsveld
𝒗(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝒊 + 𝑔(𝑡)𝒋 + ℎ(𝑡)𝒌
De gradiëntvector ∇𝑓 van een differentieerbare scalaire functie 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) in een punt geeft de richting van de
grootste toename van de functie. De gradiëntvectoren van alle punten binnen een bepaald gebied vormen een
GRADIËNTVELD.
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝛁𝑓 =
𝒊+
𝒋+
𝒌
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Stel je een vectorveld 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒊 + 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒋 + 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒌 voor met continue componenten en
een kromme 𝐶 met een vloeiende parametrisering 𝒓(𝑡) = 𝑔(𝑡)𝒊 + ℎ(𝑡)𝒋 + 𝑘(𝑡)𝒌, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. De
paramtrisering 𝑟(𝑡) definieert een VOORWAARTSE RICHTING of oriëntatie langs 𝐶. In elk punt langs het pad 𝐶
7
De waarde van een lijnintegraal langs een pad tussen twee punten kan veranderen wanneer het pad verandert. Dit is het
verschil van padfuncties ten opzichte van toestandsfuncties.
8
Het veld van tweedimensionale vectoren kan worden beschreven door de functie
𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝒊 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝒋
is de tangentvector 𝑻 = 𝑑𝒓⁄𝑑𝑠 = 𝒗⁄|𝒗| een eenheidsvector evenwijdig aan het pad en in voorwaartse
richting. De lijnintegraal van het vectorveld is de lijnintegraal van de tangentiële component van 𝑭 langs 𝐶.
Deze tangentiële component wordt gegeven door het volgende inproduct
𝑑𝒓
𝑭∙𝑻= 𝑭∙
𝑑𝑠
De lijnintegraal van 𝐹 langs 𝐶 is nu
𝑑𝒓
∫ 𝑭 ∙ 𝑻 𝑑𝑠 = ∫ (𝑭 ∙ ) 𝑑𝑠 = ∫ 𝑭 ∙ 𝑑𝒓
𝑑𝑠
𝐶
𝐶
𝐶
Het uitwerken van lijnintegralen ven vectorvelden gaat op dezelfde manier als bij lijnintegralen van scalaire
functies.
1. Druk het vectorveld 𝐹 uit in dezelfde variabelen als de kromme 𝐶 door de componenten 𝑥 = 𝑔(𝑡),
𝑦 = ℎ(𝑡) en 𝑧 = 𝑘(𝑡) van 𝒓 in te vullen in de scalaire componenten 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧) en 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)
van 𝑭, oftewel, bepaal 𝐹(𝑟(𝑡)).
2. Bepaal de afgeleide vector 𝑑𝒓⁄𝑑𝑡.
3. Werk de lijnintegraal uit met betrekking tot de parameter 𝑡
𝑏
𝑑𝒓
∫ 𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = ∫ 𝑭(𝒓(𝑡)) ∙
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐶
𝑎
Soms is het nuttig om een lijnintegraal van een scalaire functie te schrijven met betrekking tot een van de
coördinaten, zoals ∫𝐶 𝑀 𝑑𝑥 . We specificeren een vectorveld 𝑭 = 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒊 over de kromme 𝐶 die is
geparametriseerd door 𝒓(𝑡) = 𝑔(𝑡)𝒊 + ℎ(𝑡)𝒋 + 𝑘(𝑡)𝒌, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. In deze notatie geldt 𝑥 = 𝑔(𝑡) en 𝑑𝑥 =
𝑔′ (𝑡)𝑑𝑡. Invullen levert
𝑑𝒓
𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = 𝑭 ∙
𝑑𝑡 = 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑔′ (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥
𝑑𝑡
Hieruit volgt voor de lijnintegraal van 𝑀 over 𝐶 ten opzichte van het 𝑥-coördinaat
𝑏
∫ 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 = ∫ 𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = ∫ 𝑀(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡), 𝑘(𝑡))𝑔′ (𝑡)𝑑𝑡
𝐶
𝐶
𝑎
Op dezelfde manier kunnen de integralen ∫𝐶 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 en ∫𝐶 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 bepaald worden op basis van de
vectorvelden 𝑭 = 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒋 en 𝑭 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒌.
𝑏
∫ 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 = ∫ 𝑁(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡), 𝑘(𝑡))ℎ′ (𝑡) 𝑑𝑡
𝐶
𝑎
𝑏
∫ 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 = ∫ 𝑃(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡), 𝑘(𝑡))𝑘 ′ (𝑡)
𝐶
𝑎
Een kromme in het 𝑥𝑦-vlak is simpel wanneer hij zichzelf niet kruist. Wanneer een kromme in hetzelfde punt
begint en eindigt, is het een gesloten kromme.
Wanneer 𝐶 een vloeiende kromme is geparametriseerd door 𝒓(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 en 𝑭 een continu krachtveld is
over een gebied dat 𝐶 bevat, dan is de ARBEID die verricht wordt om een object van punt 𝐴 = 𝒓(𝑎) naar punt
𝐵 = 𝒓(𝑏) te verplaatsen langs 𝐶
𝑏
𝑑𝒓
𝑊 = ∫ 𝑭 ∙ 𝑻 𝑑𝑠 = ∫ 𝑭(𝒓(𝑡)) ∙
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐶
𝑎
Wanneer 𝐶 een vloeiende kromme is geparametriseerd door 𝒓(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 en 𝑭 een continu snelheidsveld is
over een gebied dat 𝐶 bevat, dan is de STROMING tussen punt 𝐴 = 𝒓(𝑎) en punt 𝐵 = 𝒓(𝑏) langs 𝐶
𝐹𝑙𝑜𝑤 = ∫ 𝑭 ∙ 𝑻 𝑑𝑠
𝐶
Wanneer de kromme eindigt en begint in hetzelfde punt, dan spreken we van CIRCULATIE.
Wanneer 𝐶 een vloeiende kromme is in het domein van een continu vectorveld 𝑭 = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝒊 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝒋 in het
vlak en wanneer 𝑛 de naar buiten wijzende eenheidsnormaalvector van 𝐶 is, dan is de FLUX van 𝐹 op 𝐶
𝑓𝑙𝑢𝑥 = ∫ 𝑭 ∙ 𝒏 𝑑𝑠 = ∮ 𝑀 𝑑𝑦 − 𝑁 𝑑𝑥
𝐶
𝐶
De flux geeft aan hoe snel een medium een gebied binnenkomt of uitgaat.
2.3 PADONAFHANKELIJKHEID, CONSERVATIEVE VELDEN EN POTENTIAALFUNCTIES
Stel 𝐹 is een vectorveld gedefinierd op een open gebied 𝐷 in de ruimte. Wanneer voor twee willekeurige
punten 𝐴 en 𝐵 in 𝐷 de lijnintegraal ∫𝐶 𝑭 ∙ 𝑑𝒓 langs een pad 𝐶 hetzelfde is langs elke pad tussen 𝐴 en 𝐵, dan is
de integraal ∫𝐶 𝑭 ∙ 𝑑𝒓 PADONAFHANKELIJK in 𝐷 en is het veld 𝑭 CONSERVATIEF op 𝐷.9 Een veld 𝑭 is
conservatief dan en slechts dan als het de gradiëntvector van een scalaire functie 𝑓 is, oftewel wanneer 𝑭 =
𝛁𝑓 (bewijs volgt). De functie 𝑓 is de POTENTIAALFUNCTIE van 𝑭. Wanneer we een potentiaalfunctie 𝑓 voor
een veld 𝐹 hebben gevonden, kunnen we de lijnintegraal in het domein van 𝐹 over elk pad tussen 𝐴 en 𝐵 heel
gemakkelijk bereken.
𝐵
𝐵
∫ 𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = ∫ 𝛁𝑓 ∙ 𝑑𝒓 = 𝑓(𝐵) − 𝑓(𝐴)
𝐴
𝐴
Wanneer 𝑓 een functie is van één variabele is bovenstaande formule gelijk aan de tweede hoofdwet van de
calculus.
𝐵
∫ 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝐵) − 𝑓(𝐴)
𝐴
Voor een punt A met coördinaten (x0 , y0 , z0 ) in D geldt f(A) = 0. Uitgaande van een conservatief vectorveld
𝐅 = M𝐢 + N𝐣 + P𝐤 moet de waarde van f in elk ander punt B met coördinaten (x, y, z)in D gelijk zijn aan
∫C 𝐅 ∙ d𝐫, waarin C een willekeurig vloeiend pad is van A naar B. Om te bewijzen dat geldt 𝛁f = 𝐅 moeten we
aantonen dat ∂f⁄∂x = M, ∂f⁄∂y = N en ∂f⁄∂z = P. De waarde van de functie f in een nabijgelegen punt B0
met coördinaten (x0 , y, z) is ∫C 𝐅 ∙ d𝐫, waarin C0 het pad is van punt A naar punt B0 . Pad C wordt nu gevormd
0
door pad C0 en pad L, het pad tussen punt B0 en punt B. Voor de waarde van f in punt B geldt
f(x, y, z) = ∫ 𝐅 ∙ d𝐫 = ∫ 𝐅 ∙ d𝐫 + ∫ 𝐅 ∙ d𝐫
C
C0
L
Wanneer we dit differentiëren naar x volgt de vergelijking
∂
∂
f(x, y, z) = (∫ 𝐅 ∙ d𝐫 + ∫ 𝐅 ∙ d𝐫)
∂x
∂x C0
L
Alleen de laatste term is afhankelijk van x.
∂
∂
f(x, y, z) = ∫ 𝐅 ∙ d𝐫
∂x
∂x L
Wanneer we L parametriseren als 𝐫(t) = t𝐢 + y𝐣 + z𝐤, x0 ≤ t ≤ x, dan geldt d𝐫⁄dt = 𝐢. Hieruit volgt
∂
∂ x
f(x, y, z) = ∫ M(t, y, z)dt = M(x, y, z)
∂x
∂x x0
Op dezelfde manier kan worden afgeleid dat geldt ∂f⁄∂y = N en ∂f⁄∂z = P. Hiermee is bewezen dat voor een
conservatief vectorveld 𝐅 geldt 𝐅 = 𝛁f.
We weten nu hoe je een lijnintegraal kunt uitwerken door middel van potentiaalfuncties wanneer een
vectorveld conservatief is. De vraag is hoe je weet of een vectorveld conservatief is en hoe je in dat geval de
potentiaalfunctie van het vectorveld bepaalt. Een vectorveld 𝐅 = 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐢 + 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐣 + 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐤 is
conservatief dan en slechts dan als geldt 10
𝜕𝑃 𝜕𝑁
𝜕𝑀 𝜕𝑃
𝜕𝑁 𝜕𝑀
=
,
=
,
en
=
𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Deze relatie volgt uit de relaties ∂f⁄∂x = M, ∂f⁄∂y = N en ∂f⁄∂z = P voor potentiaalfuncties.
∂P
∂ ∂f
∂2 f
∂2 f
∂ ∂f
∂N
= ( )=
=
= ( )=
∂y ∂y ∂z
∂y ∂z ∂z ∂y ∂z ∂y
∂z
De potentiaalfunctie kan vervolgens op basis van de partiële afgeleiden worden bepaald. Eerst integreer je één
van de partiële afgeleiden, bijvoorbeeld die naar 𝑥. De constante in deze afgeleide mag niet meer afhankelijk
zijn van 𝑥.11
𝜕𝑓
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫
𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦, 𝑧)
𝜕𝑥
9
Voor een conservatief veld 𝑭 geldt dat elke integral over een gesloten pad in 𝐷 nul is.
Wanneer het veld 𝐹 conservatief is, is het ook exact.
11 De formules in dit verhaal maken het allemaal niet veel duidelijker. Het bepalen van de potentiaalfunctie kun je het best
leren door gewoon te oefenen.
10
Vervolgens moet je deze vergelijking kloppend maken met één van de andere partiële afgeleiden, bijvoorbeeld
die naar 𝑦. Dit doe je door ∫
𝜕𝑓
𝑑𝑥 te differentiëren naar 𝑦 en 𝑔(𝑦, 𝑧) nader te bepalen zodat geldt
𝜕 𝜕𝑓
𝜕𝑔 𝜕𝑓
∫
𝑑𝑥 +
=
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑦
De constante in de nieuwe uitdrukking voor 𝑓 mag alleen nog afhankelijk zijn van 𝑧.
𝜕𝑓
𝜕𝑔
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫
𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑦 + ℎ(𝑧)
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Maak tot slot de vergelijking kloppend voor de laatste partiële afgeleide, in dit geval die naar 𝑧. Dit doe je door
𝜕
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑔
∫ (𝜕𝑦 ∫ 𝜕𝑥 𝑑𝑥) 𝑑𝑦 + ∫ 𝜕𝑦 𝑑𝑦 te differentiëren naar 𝑧 en ℎ(𝑧) nader te bepalen zodat geldt
𝜕 𝜕𝑓 𝜕 𝜕𝑔
𝜕ℎ 𝜕𝑓
∫
+ ∫
𝑑𝑦 +
=
𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑧
Hieruit volgt voor 𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑔
𝜕ℎ
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫
𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑦 + ∫ 𝑑𝑧 + 𝐶
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Voor krommen, oppervlakken, domeinen en vectorvelden worden een aantal aannames gedaan om de
gebruikte formules te doen gelden. Tenzij anders vermeld gelden deze aannames voor alle opgaven. De krommen zijn
STUKSGEWIJS VLOEIEND. Dit wil zeggen dat ze bestaan uit een eindig aantal krommes die aan de uiteinden
aan elkaar verbonden zijn. De componenten van de vectorvelden 𝑭 heeft continue eerste partiële afgeleiden.
De domeinen 𝐷 zijn open gebieden in de ruimte, oftewel, elk punt in 𝐷 is het middelpunt van een open bal die
volledig in 𝐷 ligt. Ook is aangenomen dat 𝐷 verbonden is, wat wil zeggen dat twee willekeurige punten in 𝐷
kunnen worden VERBONDEN door een vloeiende kromme in het gebied. Tot slot nemen we aan dat 𝐷
EENVOUDIG VERBONDEN is, wat wil zeggen dat elke lus in 𝐷 kan worden ingekrompen tot een punt in 𝐷
zonder 𝐷 te verlaten.
2.4 OPPERVLAKTE VAN EEN OPPERVLAK 12
Stel je een vectorfunctie
𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑔(𝑢, 𝑣)𝐣 + ℎ(𝑢, 𝑣)𝐤
voor die is gedefinieerd op een gebied 𝑅 in het 𝑢𝑣-vlak. Het bereik van 𝐫 is het oppervlak 𝑆. De vectorfunctie 𝐫
moet één-op-één binnen zijn 𝑅, wat betekent dat het oppervlak zichzelf niet kruist. De vectorfunctie 𝐫 en het
gebied 𝑅 vormen de parametrisering van het oppervlak. De variabelen 𝑢 en 𝑣 zijn de PARAMETERS en 𝑅 is het
PARAMETERDOMEIN. Om het makkelijk te houden wordt 𝑅 gedefinieerd als een rechthoek door de
ongelijkheden 𝑎 ≤ 𝑢 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑣 ≤ 𝑑.
Het oppervlak 𝐫(𝑢, 𝑣) is vloeiend wanneer 𝐫𝑢 en 𝐫𝑣 continu zijn en 𝐫𝑢 × 𝐫𝑣 nooit nul binnen het
parameterdomein.13 Hierin zijn 𝐫𝑢 en 𝐫𝑣 de partiële afgeleiden van 𝐫 naar 𝑢 en 𝑣.
𝜕𝐫 𝜕𝑓
𝜕𝑔
𝜕ℎ
𝐫𝑢 =
=
𝐢+
𝐣+
𝐤
𝜕𝑢 𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝐫 𝜕𝑓
𝜕𝑔
𝜕ℎ
𝐫𝑣 =
=
𝐢+
𝐣+
𝐤
𝜕𝑣 𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
De eigenschap dat 𝐫𝑢 × 𝐫𝑣 nooit nul is, betekent dat de vectoren 𝐫𝑢 en 𝐫𝑣 nooit langs dezelfde lijn liggen,
oftewel, ze vormen samen altijd een vlak dat raakt aan het oppervlak 𝑆 in een bepaald punt.
De oppervlakte van het oppervlak 𝑆 kan worden bepaald door het oppervlak te verdelen in 𝑛 oppervlakteelementjes. Deze elementjes ∆𝑠𝑢𝑣 worden begrensd door de lijnen 𝑢 = 𝑢0 , 𝑢 = 𝑢0 + ∆𝑢, 𝑣 = 𝑣0 en 𝑣 = 𝑣0 +
∆𝑣. De oppervlakte van één zo’n oppervlakte-elementje ∆𝑠𝑢𝑣 wordt benaderd door de oppervlakte van het
paralellogram dat wordt gevormd door de vectoren ∆𝑢𝐫𝑢 en ∆𝑣𝐫𝑣 . De oppervlakte van dit parallellogram is
|∆𝑢𝐫𝑢 × ∆𝑣𝐫𝑣 | = |𝐫𝑢 × 𝐫𝑣 | ∆𝑢 ∆𝑣
De oppervlakte van het oppervlak 𝑆 wordt benaderd door de som
∑|𝐫𝑢 × 𝐫𝑣 | ∆𝑢 ∆𝑣
𝑛
12
13
Oorspronkelijk paragraaf 15.5 van Thomas’ calculus.
Aan de rand van het domein mag wel gelden 𝑟𝑢 × 𝑟𝑣 = 0.
De werkelijke oppervlakte wordt bereikt wanneer ∆𝑢 en ∆𝑣 oneindig klein zijn en 𝑛 oneindig groot.
Bovenstaande som wordt dan een dubbele integraal. Wanneer 𝐫 is gedefinieerd als 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑢, 𝑣)𝐢 +
𝑔(𝑢, 𝑣)𝐣 + ℎ(𝑢, 𝑣)𝐤, 𝑎 ≤ 𝑢 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑣 ≤ 𝑑 geldt voor de oppervlakte van het geparametriseerde oppervlak
𝑑
𝑏
𝐴 = ∬ |𝐫𝑢 × 𝐫𝑣 | 𝑑𝐴 = ∫ ∫ |𝐫𝑢 × 𝐫𝑣 | 𝑑𝑢 𝑑𝑣 = ∬ 𝑑𝜎
𝑅
𝑐
𝑎
𝑆
2.5 OPPERVLAKTE-INTEGRALEN 14
Wanneer we integreren over een oppervlak 𝑆 is er sprake van een OPPERVLAKTTE-INTEGRAAL. Stel je een
reële waarde-functie 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) voor die je wilt integreren over het oppervlak 𝑆 in het domein van 𝑓 dat wordt
geparametriseerd door 𝒓(𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑢, 𝑣)𝒊 + 𝑔(𝑢, 𝑣)𝒋 + ℎ(𝑢, 𝑣)𝒌, (𝑢, 𝑣) ∈ 𝑅. Wanneer we deze functie
integreren over het oppervlak moet het oppervlak verdeeld worden in 𝑛 deeloppervlakjes met oppervlakte
∆𝜎𝑘 . We kunnen nu een Riemann som vormen door in elk kde deeloppervlak een punt (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 ) te kiezen, de
waarde van 𝐺 in dit punt te vermenigvuldigen met het oppervlak ∆𝑠𝑘 en de producten bij elkaar op te tellen.
𝑛
∑ 𝐺(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 )∆𝜎𝑘
𝑘=1
Hoe meer deeloppervlakjes, hoe beter de benadering. De integraal
𝑛
lim ∑ 𝐺(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 )∆𝜎𝑘 = ∬ 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜎
𝑛→∞
𝑆
𝑘=1
bestaat wanneer 𝐺 continu is over 𝑆. De functie 𝐺 is dan integreerbaar over 𝑆. Bovenstaande limiet wordt dan
ook wel de OPPERVLAKTE-INTEGRAAL van 𝐺 over 𝑆 genoemd. Aangezien geldt 𝑑𝜎 = |𝐫𝑢 × 𝐫𝑣 | 𝑑𝑢 𝑑𝑣 kan deze
integraal ook worden geschreven als
∬ 𝐺(𝑓(𝑢, 𝑣), 𝑔(𝑢, 𝑣), ℎ(𝑢, 𝑣)) |𝐫𝑢 × 𝐫𝑣 | 𝑑𝑢 𝑑𝑣
𝑆
Een vloeiend oppervlak 𝑆 is ORIËNTEERBAAR of TWEEZIJDIG wanneer het mogelijk is om een veld 𝐧 van
eenheidsnormaalvectoren op 𝑆 te definiëren. Oftewel, wanneer 𝐧 gedefinieerd kan worden, hebben we te
maken met een oriënteerbaar veld. De vector 𝐧 in elk punt geeft de positieve richting in dat punt. Een
voorbeeld van een oppervlak dat niet-oriënteerbaar is, is een Möbiusband.
De integraal van 𝐅 ∙ 𝐧 over S is de flux van 𝐅 langs 𝑆 in de positieve richting. Oftewel, de flux is de integraal over
𝑆 van de scalaire component van 𝐅 in de richting van 𝐧.
𝑓𝑙𝑢𝑥 = ∫ 𝑭 ∙ 𝒏 𝑑𝜎
𝐶
Wanneer 𝐅 het snelheidsveld is van een driedimensionale vloeistofstroom, dan is de flux van 𝐅 langs 𝑆 de netto
snelheid waarmee de vloeistof 𝑆 doorkruist in de positieve richting.
De massa en het massamiddelpunt van een dunne schaal (‘shell’) kunnen berekend worden op dezelfde manier
als in paragraaf 2.1, waar de formules voor de massa en het massamiddelpunten van een draadje in de ruimte
werden afgeleid.
𝑀 = ∬ 𝛿 𝑑𝜎
𝑆
𝑀𝑦𝑧 = ∬ 𝑥 𝛿 𝑑𝜎 ,
𝑆
14
𝑀𝑥𝑧 = ∬ 𝑦 𝛿 𝑑𝜎 ,
𝑀𝑦𝑧
𝑥̅ =
,
𝑀
Oorspronkelijk paragraaf 16.6 uit Thomas’ Calculus.
𝑆
𝑀𝑥𝑧
𝑦̅ =
,
𝑀
𝑀𝑥𝑦 = ∬ 𝑧 𝛿 𝑑𝜎
𝑀𝑥𝑦
𝑧̅ =
𝑀
𝑆