1 . a) Leid de transformatieformules af voor de snelheid en

1
1 . a) Leid de transformatieformules af voor de snelheid en versnelling van een puntmassa in twee
referentiestelsels die met een constante snelheid t.o.v. elkaar bewegen. b) Toon het al dan niet geldig
zijn aan van de drie wetten van Newton in alle inertiaalstelsels.
a) De liggingsvector van een punt, en zijn snelheid en versnelling hangen af van het referentiestelsel
waarin we de beweging beschrijven en zijn dus relatieve begrippen. In deze paragraaf gaan we na
welke de transformatieformules zijn voor deze grootheden in 2 referentiestelsels die met een constante
snelheid tov mekaar bewegen. Deze transformatie noemt men de galileï-transformatie.
Tekening p 1-12
Nemen we een 1ste referentiestelsel (Oxyz) en een 2de referentiestelsel (O’x’y’z’) met assen evenwijdig
aan die van het eerste, dat met een constante snelheid V beweegt tov het eerste.
De vector rO' (zie figuur) is de in de tijd veranderde liggingsvector van O’ in (Oxyz). De snelheid van
O’ in het (oxyz) referentiestelsel is drO'dt = V . Door integratie bekomen we
rO' = rO'(t=0) + V t met rO'(t=0) de liggingsvector van O’ bij t = 0.
Voor een bewegend punt P geldt voor de liggingsvectoren in de 2 referentiestelsel, zie figuur:
r= r'+ rO' met rO' = rO'(t=0) + V t
Bij de bespreking van de basis van de relativistische fysica zullen we gebruik maken van het speciale
geval waarbij (O’ x’ y’ z’ ) volgens de x-richting beweegt, zodat Vx = V, Vy = 0, Vz = 0, en waarbij
bovendien rO'(t=0) = 0. Hiervoor wordt r= r'+ rO'
X =x’ + Vt
Y = y’
Z = z’
De algemene transformatieformules voor snelheid en versnelling bekomen we door de eerste en
tweede tijdsafgeleide te nemen van de uitdrukking
dr / dt = dr’/ dt + V zodat
v= v'+ V
en
a = a’
Indien we (Oxyz) het absoluut referentiestelsel noemen, dan kunnen we dit als volgt verwoorden:
De absolute snelheid van het punt P tov (Oxyz) is gelijk aan de vectorensom van de relatieve snelheid
P tov (O’x’y’z’) en de snelheid van het 2de referentiestelsel tov het eerste (de sleepsnelheid) ; de
versnelling van het punt P is in beide referentiestelsels dezelfde.
b) inertiaalstelsels zijn referentiestelsels waarop geen kracht wordt uitgeoefend. Daaruit volgt dat
het inertiaalstelsels in rust zijn of met een constante snelheid tov mekaar bewegen. De galileïtransformatie voor de beweging van een punt beschreven in een referentiestelsel (Oxyz) en (O’x’y’z’)
, die met een constante snelheid tov mekaar bewegen, leverde
v= v'+ V
en
a = a’
Een vrij deeltje beweegt dus met een constante snelheid in beide inertiaalstelsels.
Ondergaat een deeltje met massa m een kracht, dan is
F = m. a = m . a’ = F’
1
De 2de wet van Newton gaat dus onveranderd op voor beide inertiaalstelsels, en daarom ook de derde
wet.
Toon aan. (in 2 assenstelsels schrijven):
Dus : de wetten van Newton gelden in alle inertiaalstelsels.
1
2. Leg het verschil uit tussen statische en dynamische wrijvingskracht. Geef de definities voor
hun bijhorende wrijvingscoëfficiënten. Bespreek hoe men deze kan bepalen. Geef tenslotte
het verloop weer van de Fw wanneer de ingrijpende tangentiële kracht groter wordt en
bespreek dit.
Wrijvingskrachten zijn de contactkrachten die de beweging of mogelijke beweging van oppervlakken
op elkaar tegenwerken. Deze krachten hangen af van de soorten materiaal waaruit de oppervlakken
bestaan en van de ruwheid van de contactvlakken (microscopisch gezien zijn oppervlakken nooit
perfect glad). Als symbool wordt W of Fw gebruikt.
De richting van deze kracht is steeds de richting van de mogelijke verplaatsing. Deze is uiteraard
tangentieel aan het oppervlak (volgens et). De zin is tegengesteld aan deze mogelijke verplaatsing.
Wat de grootte betreft, moeten we 2 gevallen onderscheiden:
● De statische wrijvingskracht Ws
● De dynamische wrijvingskracht Wd
De statische wrijvingskracht:
Deze treedt op als men probeert een object aan het schuiven te brengen op een oppervlak. De statische
wrijvingskracht verhindert dit. Deze is dus steeds gelijk en tegengesteld aan de tangentiële component
van de inwerkende kracht.
De statische wrijvingskracht kan echter niet onbeperkt groot worden. Ws(max) is haar maximale
of kritische waarde. Experimenteel werd vastgesteld dat deze evenredig is met de grootte van de
normaalkracht. De evenredigheidsconstante tussen ΙWs(max) Ι en ΙNΙ hangt af van de aard van de
contactvlakken en wordt de statische wrijvingscoëfficiënt µs genoemd.
Ws = - Ft
Ws(max) = -µ N et
De dynamische wrijvingskracht
Deze treedt op als 2 objecten op elkaar wrijven tijdens een beweging. Uit experimenten blijkt dat, net
als bij de maximale statische wrijvingskracht, de grootte ervan evenredig is met de normaalkracht
en afhangt van de aard van de contactvlakken. De evenredigheidsconstante is de dynamische
wrijvingscoëfficiënt µd:
W d = - µ d N et
Tekening p 2-11
Voor zeer veel combinaties van contacten (materiesoorten en graad van ruwheid) zijn µ s en µd
experimenteel bepaald en in tabellen vastgelegd.
Het verloop van de wrijvingskracht bij constante normaalkracht, zowel statisch als dynamisch, in
functie van de inwerkende tangentiële kracht, die de beweging probeert te veroorzaken of veroorzaakt,
wordt getoond in bijgaande figuur
1
Tekening
Bemerk dat µd wat kleiner is dan µs. de reden hiervoor is dat als de contactvlakken relatief tov
mekaar bewegen, de microscopisch kleine tandjes van deze vlakken minder in mekaar passen dan
wanneer er geen relatieve beweging is.
Elke macroscopisch waarneembare wrijvingskracht is de resultante (de som) van de inter-atomaire of
inter-moleculaire krachten tussen de deeltjes van beide contactoppervlakken.
Toepassing: P 2-12
1
3.a) Kromlijnige beweging van een puntmassa: leid uitdrukkingen af voor de baanversnelling
en de normaalversnelling, en b) analyseer de dynamica van een conische slinger.
a) We beschouwen een infinitesimale verplaatsing ds van een massapunt op een kromlijnige baan met
plaatselijk krommingsmiddelpunt G en bijhorende kromtestraal ρ, het middelpunt en de straal van het
stukje cirkel waarmee we het stukje gekromde baan benaderen
Figuur 2-15
De middelpuntshoek θ, is de hoek die de kromtestraal maakt met een referentielijn, hiervoor is de y-as
genomen van het vast (x,y)referentiestelsel, een inertiaalstelsel.
Er geldt: ds = ρ dθ
Om de kromlijnige beweging nader te bestuderen voeren we een tweede assenkruis in, gekoppeld
aan het bewegend punt. We kiezen een as rakend aan de baan: de tangentiële as met eenheidsvector
et in de bewegingszin, en loodrecht hierop de normale as, met eenheidsvector en , met zijn zin naar
het krommingsmiddelpunt toe. Dit tweede assenstelsel is geen inertiaalstelsel en heeft enkel tot doel
bruikbare uitdrukkingen voor de versnelling af te leiden.
Vermits v altijd raakt aan de baan kunnen we schrijven : v = v . et
Als we van deze snelheid de afgeleide nemen op de versnelling te bekomen dan is det / dt ≠ 0 vermits
de richting van et verandert als het punt een kromlijnige baan volgt.
We berekenen eerst det / dt. De hoek die et maakt met de x-as is gelijk aan de middelpuntshoek θ. De
hoek tussen en en de x-as is gelijk aan θ + π/2.
Schrijven we nu et en en in functie van hun projecties op de x-as en de y-as:
detdt= ex dcosθdt+ ey dsinθdt
detdt= ex -sinθdθdt+ey cosθ dθdt
detdt=(-ex sinθ+ ey cosθ) dθdt
= endθdt
De versnelling is dus: a=dvdt= d ( v. et)dt=v.d etdt +dvdt .et
a= v. endθdt+ dvdt .et
= an + at
Hieruit blijkt dat de versnelling a steeds kan ontbonden worden in 2 componenten, die loodrecht op
elkaar staan
● De normaalversnelling
an=vdθdten
Deze vector staat loodrecht op de baan. uit hierboven blijkt dat de normale component van de
versnelling steeds naar het krommingsmiddelpunt gericht is. Vandaar de alternatieve benaming
middelpuntzoekende of centripetale versnelling.
1
We kunnen an ook uitdrukken in functie van de kromtestraal ρ van de plaatselijke kromming:
dθ=dsρ
Zodat dθdt=1ρdsdt=vρ
dus
an = v²/ρ
●
De tangentiële versnelling = de baanversnelling
Naast de centripetale versnelling, die er altijd is bij een kromlijnige beweging, kan er ook een
tangentiële versnelling zijn gegeven door
at=dvdt et
Deze vector raakt aan de baan, en de algebraïsche waarde is gelijk aan de tijdsafgeleide van de
algebraïsche waarde van de snelheid.
Uiteraard geldt : a² = an² + at²
b) de conische slinger:
de conische slinger bestaat uit een puntmassa m, via een verbinding (lengte l en verwaarloosbare
doorsnede en massa) opgehangen aan een vast punt O, die een eenparige cirkelbeweging met
hoeksnelheid ω en straal R uitvoert in een stationair horizontaal vlak (z = const). Er is een vast
verband tussen de hoek φ die de draad maakt met de verticale, waarbij R = l .sin∅, en de hoeksnelheid
van de slinger.
Tekening p 2-19
De resultante van de krachten op de massa is gelijk aan de centripetale kracht nodig voor de
cirkelbeweging rond C. we onderstellen wrijvingsloze beweging. De inwerkende krachten zijn de
zwaartekracht en de spankracht door de verbinding uitgeoefend. We kunnen deze laatste ontbinden in
een verticale component Sz en een radiale component Sr door C.
Er is geen versnelling in de verticale richting dus is:
G + Sz=0
mg – S cos φ = 0
De centripetaal kracht is Sr. De bewegingsvergelijking in het vast (Oxyz) assenstelsel is dus
m. acp = Fcp = Sr
algebraïsch geeft dit, met Fcp = m ω² R:
m ω² lsin∅=Sr=Ssin∅
Uit mg – S cos φ = 0 en m ω² lsin∅=Sr=Ssin∅ volgt dat de hoek φ gegeven wordt door:
cos∅=gl. ω²
De omlooptijd van de slinger T = 2π/ω = 2π. lcos∅g en is dus onafhankelijk van m!
1
4. (a)Definieer een conservatieve kracht. (b)Toon met een voorbeeld aan waarom een
puntmassa in een centraal krachtveld potentiële energie bezit, en maak duidelijk waarom er
een unieke relatie is tussen arbeid en potentiële energie
(a)Een kracht is conservatief als de arbeid door de kracht verricht niet afhangt van de gevolgde weg,
maar enkel van de plaatscoördinaten van beginpunt en eindpunt.
(1) ABFcons.dr=2ABFcons.dr
Tekening:
Dit impliceert dat de arbeid over een gesloten kromme steeds nul is:
W(kring) = Fcons .dr=0
Bemerk dat elke constante kracht Fr een conservatieve kracht is vermits W(A
B) = F. (rb – ra)
(b) een massa m die zich in een conservatief krachtveld bevindt, d i waarop een conservatieve krachtin
werkt, bezit naast energie omwille van haar eventuele beweging, ook energie omwille van de plaats
waar de massa zich bevindt in dit krachtveld. Deze plaatsafhankelijke energie wordt de potentiële
energie Ep (r) genoemd.
- de potentiele-energieverandering en arbeid door conservatieve kracht
Vooraleer de potentiële energie precies te definiëren tonen we de plaatsafhankelijke energie eerst aan
met een voorbeeld, nl. een massa m in het zwaartekrachtveld van de aarde.
● Om deze massa met constante snelheid te verplaatsen van een punt A naar een hoger gelegen
punt B moeten we hefarbeid leveren (positieve arbeid) door een hefkracht Fh gelijk en
tegengesteld aan de zwaartekracht
tekening p 3-7
●
●
Vermits arbeid equivalent is met energie, heeft de hefkracht energie geleverd aan de massa in
het zwaartekrachtveld. De plaatsafhankelijke energie van de massa in het punt B zal dus groter
zijn dan in het punt A
Tegelijk wordt door de zwaartekracht die op deze massa inwerkt arbeid ontvangen, gelijk in
absolute waarde, maar negatief
WG = - WFh
Hieruit volgt dat arbeid ontvangen (negatief) door de zwaartekracht overeenkomt met een
toename (positief) van de plaatsgebonden energie van de massa; analoog geldt dat de arbeid
geleverd (positief) door de zwaartekracht overeenkomt met de afname (negatief) van de
plaatsafhankelijke energie van de massa
Nu is de arbeid verricht door een conservatieve kracht F die inwerkt op een massa m, bij
verplaatsing van die massa tussen 2 punten enkel afhankelijk van de coördinaten van begin
en eindpunt en niet van de gevolgde weg. We kunnen daarom een plaatsafhankelijke scalaire
functie Ep (x,y,z) of Ep(r) definiëren die de potentiële energie is van de massa op de plaats
met liggingsvector r(x,y,z). deze moet omwille van de equivalentie van arbeid en energie, en
1
omwille van het tegengesteld teken van de arbeid verricht door de conservatieve kracht en de
verandering van de energie van m (zie ), voldoen aan :
W(A B) = ABF.dr=EpA- EpB= - ∆Ep
de differentiaalvorm van de definitie van potentiële energie is bijgevolg dW = F. dr = - dEp
zodat F.dr= -Ep+const.
Bemerkt dat alleen het verschil in potentiële energie tussen 2 plaatsen helemaal bepaald is; de
Ep is dus slechts op een constante na bepaald.
1
5. energiewetten
totale mechanische energie en mechanische energiewetten:
een puntmassa m in een conservatief krachtveld (CKV), dus o i v een conservatieve kracht F kan
zowel kinetische als potentiële energie bezitten; dit zijn 2 vormen van mechanische energie. De totale
mechanische energie van de puntmassa (symbool Etot.mech. afgekort tot Et) is dus
Et = Ek + Ep
Werkt er nog een andere kracht in op de massa, dan is het systeem {m – CKV} een niet-geïsoleerd
systeem. Noemen we deze kracht Fus (de kracht verricht door een uitwendig systeem, of kortweg
uitwendige kracht) dan is de resulterende kracht die inwerkt op de massa:
Fr = F + Fus
De versnellingsarbeid verricht door deze resulterende kracht is
WFr (A B) = Ek (B) – Ek(A)
Deze is ook WFr (A B) = ABF.dr+ AbFus .dr=EpA- EpB- Wus
Hieruit volgt
Wus=EkB+ EpB- EkA- EpA= ∆Ek+ ∆Ep
Wus=EtB- Et(A)
De arbeid verricht door een uitwendige kracht op een puntmassa in CKV is gelijk aan de verandering
van de totale mechanische energie van de massa
Dit wordt de wet van mechanische energie van een puntmassa in een CKV genoemd.
Als er geen uitwendige kracht inwerkt op het systeem {m-CKV} dan is dit een geïsoleerd systeem. De
arbeid verricht door de conservatieve kracht bij de beweging van de massa is dan
W(A B) = Ek (B) – Ek(A)
W(A B) = Ep(A) – Ep(B)
Zodat Ek(B) + Ep(B) = Ek(A) + Ep(A)
of Et(B) = Et (A)
Dus Fus = 0
ΔEk + ΔEp = ΔEt = 0
Een massa alleen o i v een conservatieve kracht behoudt zijn mechanische energie.
Dit is de wet van behoud van mechanische energie van een puntmassa in een geïsoleerd systeem {mCKV} en verklaart de naamgeving “conservatieve” kracht. Het enige wat kan gebeuren is omzetting
van kinetische energie in potentiële energie en omgekeerd.
Deze wet kan ook rechtstreeks afgeleid worden uit Wus = Et door Fus = 0 te stellen zodat Wus = 0.
Uit de wet van mechanische energie volgt meer algemeen dat
Wus = 0
Et = const.
Een puntmassa in een CKV behoudt zijn mechanische energie indien de krachten door een uitwendig
systeem op de massa uitgeoefend geen arbeid verrichten.
Dit is de wet van behoud van mechanische energie van een puntmassa in een CKV. Herinneren we
eraan dat bijvoorbeeld normaalkrachten geen arbeid verrichten.
Wet van behoud van energie:
Combineren we de wet van mechanische energie van een puntmassa met de relatie tussen de verrichte
arbeid en de energieverandering van het uitwendig systeem (ΔEus = - Wus) dan bekomen we:
ΔEt + ΔEus = 0
Dit is de wet van behoud van energie voor een puntmassa plus interagerend systeem.
Afhankelijk van de soorten krachten die arbeid verrichten zal de grootte van verschillende soorten
energie veranderen.
We kunnen dit verder uitschrijven:
1
ΔEt + ΔEus.mech + ΔQ + ΔEandere Evormen = ΔEmech + ΔEnm = 0
Waarin we de mechanische energie van de massa en het uitwendige systeem samengebracht hebben
onder het symbool Emech en alle andere energie onder Enm.
Deze wet van behoud van energie is 1 van de meest belangrijke behoudswetten van de fysica. We
hebben deze wet hier afgeleid a h v een puntmassa in een CKV. De wet van behoud van energie is
algemeen geldig zoals we ook verder in de cursus zullen bespreken.
De globale energie van interagerende systemen blijft steeds behouden als alle energiereservoirs en alle
energievormen in rekening gebracht worden.
Alleen een energietransfer van 1 systeem naar een ander, of een omzetting van 1 energievorm naar een
andere is mogelijk.
Indien uitsluitend conservatieve krachten aanwezig zijn, blijft de totale mechanische energie van
interagerende systemen behouden. Als dissipatieve krachten actief zijn, wordt steeds een gedeelte van
de mechanische energie omgezet in niet-mechanische energie door warmte.
1
6. (a) Definieer het massamiddelpunt, (b) de impuls en het impulsmoment van een stelsel van
deeltjes, (c) en leid af en interpreteer: de bewegingsvergelijking van het massamiddelpunt en
(d) de rotationele vorm van de bewegingsvergelijking van een stelsel (5.2).
(a) Het massacentrum (ook massamiddelpunt genoemd , symbool mc) van een stelsel definiëren we als
het punt met liggingsvector:
rmc=1m imi. ri
Tekening 4-1
Uit de definitie volgt dat voor een stelsel van 2 deeltjes het mc steeds op de verbindingslijn van deze
2 massa’s gelegen is, en er tussenin, waarbij m1d1 = m2d2 met d1 en d2 de afstanden van het mc tot
beide deeltjes.
Als het stelsel een symmetrie-as of een symmetriecentrum bezit, dan ligt het massacentrum op die as
of in dat centrum.
(b) een referentiesysteem (Oxyz), waarvan de oorsprong een vast punt is van het
waarnemingslaboratorium noemt met een L-systeem. In het L-systeem geldt:
p=imi vi= imi .dridt=ddtimi ri=ddtm . rmc
p=m . vmc in het L-systeem. (Oxyz)
Tekening p 4-2
In het L-systeem is de totale impuls van een stelsel steeds gelijk aan de impuls van zijn
massamiddelpunt, waarin de totale massa geconcentreerd gedacht wordt.
Het blijkt vaak nuttig om de relatieve beweging van de deeltjes van een stelsel tov het
massamiddelpunt van het stelsel te beschouwen. Een referentiesysteem waarvan het massamiddelpunt
de oorsprong is noemen we een M-systeem. Als we van een L-systeem (Oxyz) naar een M-systeem
(O’x’y’z’) overgaan, veranderstellen we steeds dat de assen van beide systemen twee aan twee
dezelfde richting en zin hebben. Vermits de oorsprong nu in het massamiddelpunt ligt, is rmc = 0 zodat:
1
p'=imi vi'= imi .dri'dt=ddtimi ri'=ddtm . r'mc
Dus p'=0 in het M-systeem
De impuls van een stelsel in zijn M-systeem is steeds nul!
(c) bewegingsvergelijking:
De bewegingsvergelijking van het mc vinden we door de impuls af te leiden naar de tijd.
dpdt =imi ddtvi= imi ai= iFi
En vermits p = m vmc
dpdt =ddtm vmc=m amc
In de som van alle Fi zitten zowel uitwendige als inwendige krachten vervat. Vermits de vectoriële
som van alle inwendige krachten gelijk is aan nul, blijft de som beperkt tot alle uitwendige krachten,
en geldt dus: Fuitw = iFi,uitw=m amc
en
Fuitw=ddtp
Het massamiddelpunt van een stelsel beweegt alsof het een deeltje is, met massa gelijk aan de totale
massa van het stelsel, en waarop een kracht werkt, gelijk aan de vectoriële som van alle uitwendige
krachten die op het stelsel uitgeoefend worden.
Wet van behoud van impuls:
Deze volgt onmiddellijk uit de bewegingsvergelijking;
Als de vectoriële som van de uitwendige krachten nul is, blijft de impuls van een stelsel constant in de
tijd.
De beweging van het mc wordt dus niet beïnvloed door het optreden van inwendige krachten
Fuitw = 0
p = ipi=const.
Inwendige krachten kunnen de impuls pi van de deeltjes veranderen , maar niet de grootte, richting en
zin van de totale impuls, dus hebben geen invloed op de beweging van het mc!!!
(d) rotationele vorm:
Om de rotationele vorm van de bewegingvergelijking van een stelsel af te leiden berekenen we de
tijdsafgeleide van het impulsmoment. Het impulsmoment van een stelsel is L= iLi
Voor elk deeltje geldt, M0 = dL0/dt, waarbij de resulterende kracht op elk deeltje nu zowel uitwendig
als inwendige krachten kan bevatten;
dLidt=ddtri∧mi vi=ri ∧Fi=ri ∧Fi, uitw+Fi,inw=Mi,inw+Mi,uitw)
Sommatie voor alle deeltjes van het stelsel geeft
idLidt=ddtiLi=iMi,inw+iMi,uitw
De inwendige krachten komen echter steeds in paren voor die op dezelfde drager liggen, zoals voor 2
deeltjes voorgesteld op bijgaande figuur, met
F1(2),inw = - F2(1),inw op drager (r1 – r2)
Tekening p 5-8
Daarom is:
MF12,inw+ MF21,inw=r1 ∧F12,inw+ r2 ∧F21,inw=r1-r2∧F12,inw=0
1
Dit geldt voor het krachtmoment van alle paren inwendige krachten zodat de totale vectoriële som van
de momenten van de inwendige krachten nul is: iMi,inw=0, en in de bewegingsvergelijking alleen het
resulteren moment van de uitwendige krachten overblijft:
MO,uitw= iMO,i,uitw =dLodt
Hieruit volgt onmiddellijk voor de momenten t o c een as, noemen we deze de z-as:
Mz,uitw = dLz/dt
Deze bewegingsvergelijking kunnen als volgt verwoord worden:
Het resulterend moment van alle uitwendige krachten t o v een punt of een as, i gelijk aan de
tijdsafgeleide van het impulsmoment van het stelsel t o v hetzelfde punt of dezelfde as.
1
7. Leid af: de dynamische bewegingsvergelijking van de relatieve beweging in een
tweedeeltjes stelsel o.i.v. inwendige krachten, interpreteer en (b) pas dit toe op de klassieke
beschrijving van de dynamica van diatomische moleculen.
Bij een geïsoleerd stelsel van 2 deeltjes m1 en m2 gaat de interesse dikwijls uit naar de relatieve
beweging van 1 deeltje tov het ander o i v de inwendige krachten (Finw) die ze op elkaar uitoefenen.
In vele gevallen zijn de massa’s van de 2 deeltjes van dezelfde grootteorde en bewegen beide t o v het
mc, bv. De atomen van diatomische moleculen of het stelsel aarde-maan.
Voor een geïsoleerd stelsel van 2 deeltjes geldt, in een IS, voor de inwendige krachten:
F = m1 a1 = m1 dv1dt en
- F = m2 a2 = m2 dv2dt
Met F de krachten op deeltje 1 door 2 uitgeoefend. .
De liggingsvector van 1 relatief tov 2 is rr = r1 – r2
De relatieve snelheid van 1 tov 2 is : vr = v1 – v2
Tekening p4-7
En haar relatieve versnelling is dus ar=dvrdt=dv1dt-dv2dt=a1-a2=1m1+1m2F
Definiëren we de gereduceerde massa van het stelsel als:
µ = m1m2m1+m2
dan is F = µ ar
deze vergelijking heeft de vorm van de 2de wet van Newton.
Interpretatie:
Tekening p 4-7
De relatieve beweging van 1 tov 2 is dezelfde als de beweging van een hypothetisch deeljte 1* met
massa µ waarop een kracht F wordt uitgeoefend door een hypothetisch deeltje 2* met oneindige
massa (zodat we een referentiestelsel verbonden aan 2* als een IS kunnen beschouwen). Dit is een
beschrijving in het gereduceerde massa-systeem.
(b) toepassing:
De 2 atomen in een diatomisch molecule bevinden zich op een gemiddelde afstand van mekaar, de
evenwichtsafstand, tengevolge van eletrostatische terugroepkrachten. De atomen bewegen rond het mc
van het molecule, in eerste benadering op cirkelbanen, analoog aan het stelsel {A—M}. de relatieve
beweging van 1 atoom tov het andere kan dus analoog beschreven worden. Een andere formulering
van deze beweging is dat de moleculen, beschouwd als (bijna) vaste objecten, roteren rond een as door
het mc van het molecule.
Voor kleine uitwijkingen van de atomen tov hun evenwichtspositie zijn de terugroepkrachten in
goede benadering elastisch. De atomen zullen dan een harmonische trilling uitvoeren volgens hun
1
verbindingslijn, en dit met dezelfde pulsatie. Het molecule vibreert langs zijn as. Deze beweging,
en de overeenkomstige energie, kan beschreven worden als deze van 1 harmonische oscillator in het
RMS!
Figuur 4-9
De frequentie van deze harmonische oscilator is bijgevolg gelijk aan :
F = (1/2π)Katµ
Met µ de gereduceerde massa van het molecule
Kat = de krachtsconstante van de interatomaire kracht.
1
8. Bespreek de volkomen inelastische botsing.
Zoals reeds eerder vermeld zijn dit botsingen waarbij de 2 deeltjes na de botsing bij mekaar blijven en
verder bewegen met dezelfde snelheid: v2f= v1f= vf
-algemeen:
● Behoud van impuls:
m1vx1 i+ m2 vx 2 i=m1+m2vxf
m1vy1 i+ m2 vy 2 i=m1+m2vyf
Behoud van energie:
Ek,i+ Enm, i= Ek, f+ Enm, f
12m1v²1 i+12m2 v² 2 i=12m1+m2 v2xf+ v2yf+ Enm,f
dit levert een stelsel van 3 vgl waaruit de 3 onbekenden kunnen bepaald worden.
-volkomen-inelastische centrale botsing
● Eindsnelheid:
Behoud van impuls levert onmiddellijk :
vf= m1v1 i+m2 v 2 im1+m2
●
●
●
●
●
Geproduceerde niet-mechanische energie:
Behoud van energie met eindsnelheid en vyf = 0 levert:
Enm,f=m1m22(m1+m2) (v1 i- v 2 i)²
Bijzonder geval van v2 i = 0
De eindsnelheid is in dit geval: vf=m1m1+m2v1 i
Het relatief kinetisch energieverlies, dit is de fractie van de initiële kinetische energie die
tijdens de botsing omgezet wordt in niet-mechanische energie volgt uit geproduceerde nietmechanische energie:
Enm,fEk,i=1(1+m1m2)
Toepassing: voor het breken van objecten is vervormingsenergie vereist, en een efficiënte
manier van breken is dus deze waarbij het relatief kinetisch energieverlies groot is. Onderstel
een baksteen op een veer (of in de hand). Gebruikt men voor het breken van de steen best een
lichte of een zware hamer?
En lichte, dan is er 100% energieomzet door spierkracht gecreëerd (m1<m2)
1
9.a) Definieer het traagheidsmoment van een vast lichaam. B) Leid een uitdrukking af (waar
het traagheidsmoment expliciet in voorkomt) voor het impulsmoment van een vast lichaam
dat roteert rond een as door een vast punt. C) Toon een voorwaarde aan waarvoor de grootte
van het impulsmoment evenredig is met dat van het traagheidsmoment. Vermeld dimensie en
eenheden.
(a) Het traagheidsmoment t o v een as, van een vormvast object, is de som van de traagheidsmomenten
van alle deeltjes t o v de as, in overeenstemming met de definitie van fysische grootheden van stelsels.
Dus met Ri ’s zoals op bijgaande figuur
Figuur 5-10
I= imi Ri ² met Ri de ⊥ -afstand van het i-de deeltje tot de as
Fysische betekenis: deze is dezelfde als voor puntmassa’s, nl. het traagheidsmoment van een object
t o v een as is een maat voor het zich verzetten (inertie of traagheid) tegen een verandering van zijn
rotatiebeweging rond die as.
Het gebruik van deze fysische grootheid vereenvoudigt sterk de beschrijving van de rotatiebeweging
van objecten, zoals we verder zullen aantonen. Voor samengestelde objecten is het traagheidsmoment t
o v een as uiteraard de som van de traagheidsmomenten van de elementen t o v die as.
- berekening traagheidsmoment van homogene objecten t o v een as
Is de massa van het object continu verdeeld over het volume V, dan volgt uit de definitie met volgende
vervangingen:
i→ V
, Ri→ Rxyz en mi→dmxyz ==> I= VR² dm
Hiermee kunnen de I’s t o v bepaalde assen berekend worden van homogene objecten met allerlei
vormen.
-parallelle-assen stelling
Deze stelling, ook de stelling van steiner genoemd, geeft het verband tussen het traagheidsmoment Ir t
o v een R-as en het traagheidsmoment t o v een parallelle as door het massacentrum Ir(mc).
Tekening p 5-11
1
De stelling kan bewezen worden steunend op de definitie van traagheidsmoment en liggingsvector van
het mc, en luidt:
Ir=m d²+Ir(mc)
Waarbij d de loodrechte afstand is tussen beide assen
Deze uitdrukking kan als volgt aangetoond worden. Als een object roteert rond de (R)-as, bijvoorbeeld
de cilinder op de figuur, dan bestaat deze beweging ui
Een rotatie van het mc, waarin alle massa geconcentreerd gedacht wordt, rond de R-as, met de inertie
van de massa m met rotatiestraal d, en tegelijkertijd
Een rotatie van het object rond de R(mc) as, met als inertie de 2de term
(b) Het doel van deze paragraaf is de eerste stap om voor de uitdrukking van het impulsmoment
van een roterend vormvast object, zijnde Lo = iLi,O met de som lopend over alle deeltjes van het
object, een veel eenvoudiger en bruikbaarder uitdrukking af te leiden om uiteindelijk te komen tot
een eenvoudige uitdrukking voor de rotationele vorm van de bewegingsvergelijking van het object.
We beschouwen eerst het impulsmoment t o v een herleidingscentrum dat op de rotatieas gelegen is.
Dik kan ontbonden worden in 2 componenten; 1 volgens de rotatieas en 1 loodrecht hierop. Voor de
component volgens de R-as kan een heel eenvoudige uitdrukking afgeleid worden t o v deze rotatieas
expliciet voorkomen. Kiezen we als referentiestelsel een assenstelsel (Oxyz) met als oorsprong O het
herleidingscentrum op de as en de z-as volgens de rotatieas R.
Figuur 5-12
Voor elk deeltje van het object geldt:
Li = ri ∧pi met pi ⊥rotatieas
Nu is ri= zi+ Ri mer Ri ⊥rotatieas
Zodat
Li = zi ∧pi+ Ri ∧pi
Eerste deel van som staat loodrecht op R-as
2de deel is evenwijdig aan de R-as: Li = Li ,n+ Li,z met Li ,z= Ri ∧pi=Ri mi vi ez
1
Verder is vi = Ri. ω zodat
Li ,z= mi . Ri² ω ez =mi .Ri² . ω
Voor het totale object bekomen we:
L= iLi= iLi,n+iLi,z =Ln+ imi Ri² ω
Het impulsmoment tov een punt O op de rotatieas is dus, met imi Ri² =I
L= L+ I. ω
(c) over het algemeen is Ln ≠ 0 .
Bemerk:
i. Ln precesseert rond de R-as met een hoeksnelheid ω , en is afhankelijk van de keuze van het
hc op de as
ii. Voor een vlak object rond een as loodrecht op dit vlak en met het snijpunt van het vlak met de
as als hc, is Ln = 0
we zien echter dat de component van L volgens de R-as steeds gegeven wordt door
Lr=I. ω
deze is onafhankelijk van het herleidingscentrum op de as, zoals het trouwens hoort te zijn
volgens de definitie van moment van een vector t o v een as
1
10. Rotatie van een vormvast object om een vaste as in een inertiaalstelsel: (a) formuleer
de wet van behoud van impulsmoment en (b) toon met een voorbeeld naar keuze aan dat
inwendige krachten de rotatie-energie kunnen veranderen.
(a) Uit bewegingsvergelijking Mz,uitw=dLzdt volgt onmiddellijk:
als Mz,uitw=0=>Lz=const.
Dus als het uitwendig krachtmoment t o v de vaste rotatie-as nul is impliceert dit
● Voor een niet-samengesteld of onvervormbaar samengesteld object: ω = const
● Voor een vervormbaar samengesteld systeem: als door inwendige krachten I verandert, ω zo
zal veranderen dat hun product constant blijft!
(b)
Behoud van impulsmoment en arbeid verricht door inwendige krachten: halterman
De eerste vorm van een systeem dat roteert rond een vaste as is voorgesteld in fig a. door inwendige
krachten wordt de 2de vorm fig b bekomen met I2< I1.
Tekening p . 5-18
Uit de bewegingsvergelijking:
Mz=dLzdt=0
Volgt behoud van impulsmoment t o v de z-as:
Lz=const=I1 ω1=Irωr= I2. ω2
Hierin is I(r) = 2 m r²+ I(M) waarbij de halters als puntmassa’s beschouwd worden en de massa van de
armen verwaarloosbaar is.
Door de actie van de Finw wordt het traagheidsmoment verkleind zodat de hoeksnelheid evenredig
vergroot: ω2=I1I2 ω1 dus ω2> ω1
Toename kinetische rotatie-energie en arbeid verricht door inwendige krachten:
De toename van de kinetische rotatie-energie:
Ek,1=12I1 ω1² en Ek,2=12I2 ω2²
Dus
ΔEk=12I2ω2 ω2- ω1>0
Is afkomstig van de arbeid geleverd (positief) door de inwendige krachten bij de verplaatsing van de
massa’s m: deze zijn de centripetale krachten op elk van de massa’s uitgeoefend.
⃒Finw ⃒= ⃒Fcp ⃒ = m. ω² r
De geleverde arbeid is, met dr < 0:
dW=2 . Fcp .dr= -2 Fcp dr= -2 m ω² r dr
Dus
1
W1→2= 12dW= -2 m 12ω² r dr
Vermits ω verandert als r verandert, moeten we deze integraal eerst uidrukken in 1 variabele.
Vertrekkend van
I ω=2 m r2+ IMω=I2 ω2 zodat m r²+IM2=12I2 ω21ω
Levert dit door differentiatie: 2 m r dr=-12I2 ω2dωω2 .zodat de geleverde arbeid
W1→2=12I2 ω2 ω2- ω1
De geleverde arbeid door de inwendige krachten verricht is dus inderdaad gelijk aan de verandering
van kinetische energie. Overeenkomstig de wet van behoud van energie moet deze toename van Ek
gepaard gaan met een afname van Enm:
W1→2= - ΔEnm= ΔEk zodat ΔEnm+ ΔEk=0
1
11. Beschrijf de bewegingsvergelijking van een roterend vormvast object zonder vaste rotatieas en bewijs dat de wetten van Newton nog steeds gelden.
Opdat de wetten van Newton geldig zouden zijn, moeten we een IS als referentiestelsel gebruiken. We
kunnen dus voor de beschrijving van de rotatie van objecten geen referentiestelsel gebruiken waarvan
bv de z-as vast verbonden is aan de rotatieas indien deze een versnelling ondergaat. We moeten in
dit geval beroep doen op de algemeen geldige rotationele vorm van de bewegingsvergelijking van
stelsels, met O een vast punt in een IS
MO,uitw=dLodt
Het impulsmoment van een object tov een hc O, dat een vast punt is in een IS, is de som van het
impulsmoment van het mc (waarin alle massa geconcentreerd gedacht wordt) en het impulsmoment
(van de relatieve beweging van het object) tov het mc:
Lo = Lo(mc) + Lmc
Bemerk dat hierin de beknopte notatie gebruikt werd
Figuur p 6-1
In deze cursus wordt de bespreking van bewegingen waarbij de rotatieas geen vaste as is, meestal
beperkt tot objecten die roteren rond een symmetrieas (altijd door het massacentrum). We zullen dit in
de formules aanduiden met (S). voor dit geval kan Lmc meer gespecificeerd worden:
Lmc=Lr=Ir ωr
Waarbij het subscript Ir duidt expliciet aanduidt dat we I tov de rotatieas R bedoelen.
De bewegingsvergelijking is dus:
Mo,uitw=ddt(Lomc+ Lmc)
Toepassingsgebieden van de bewegingsvergelijking:
● Rotatie-as met 1 vast punt O: hc = het vast punt O
bewegingsvergelijking is dan toepasbaar met O het vast punt. Deze wordt gebruikt bij de
beschrijving van de tolbeweging en zgn. gyroscopische effecten.
● Volledig vrije rotatie-as: M-systeem:
De beschrijving van de beweging in een IS, dus met een vast punt O als hc opdat de wetten
van Newton zouden opgaan, is in dit geval dikwijls complex vermits Mo,uitw meestal
voortdurend verandert t g v de beweging van het object. Alhoewel het M-stelsel een niet-IS is
indien amc ≠0
De rotationele vorm van de 2de wet van Newton is altijd geldig in het M-systeem.
De reden hiervoor is dat de overgang van een IS naar een versnellend M-stelsel we voor elke
massa mi een pseudokracht moeten invoeren, maar de som van de krachtsmomenten tov het
mc van deze schijnkrachten is echter steeds nul. Verder is het impulsmoment van mc (waarin
alle massa geconcentreerd gedacht wordt) nul in het M-systeem: Lmc(mc) = 0.
De bewegingsvergelijking luidt dus in dit geval:
Mmc, uitw=dLmcdt=ddt(Ir ωr )
En als het object onvervormbaar is, wordt dit : Mmc,uitw = Ir αr
De eenvoud van deze bewegingsvergelijking, toepasbaar op complexe bewegingen, illustreert tenvolle
het nut van rotationele fysische grootheden.
1
1
12. Analyseer de beweging van een horizontale tol en gebruik deze analyse om de werking
van een gyroscoop uit te leggen en gyroscopische effecten te verklaren.
De behoudswet vormt het principe van een gyroscoop. Een gyroscoop is een mechanisch systeem
dat bestaat uit een object dat roteert rond zijn symmetrieas door het mc, en waarvan de as zodanig
is opgehangen dat de ophangkrachten geen resulterend krachtmoment tov het mc bezitten zodat
Mmc,uitw = 0. De rotatieas zal dus zijn oriëntatie in de ruimte behouden, onafhankelijk van de
beweging van het mc. Gyroscopen zijn oa belangrijk navigatie-instrumenten.
-precessiebeweging van een horizontale tol:
Een tol is een object dat roteert rond zijn symmetrie-as waarvan 1 punt vast is. We kunnen dus dit vast
punt O als hc nemen in de rotationele vorm van de bewegingsvergelijking
Tekening p 6-4
De zwaartekracht grijpt aan in het mc en levert dus een MO= rmc ∧G, met rmc de afstand tussen het
vast punt O en het mc. Dit is het enige uitwendig krachtmoment tov O vermits de krachten die het
punt O vasthouden door dit punt gaan; stel dat de roterende tol op t = 0 wordt losgelaten met zijn
symmetrieas horizontaal en met het mc initieel in rust, L0(mc) = 0 zodat
LO= Lmc=Lr=Ir ωr
Een vector is volgens de rotatieas. Volgens de bewegingsvergelijking is:
dLo = dLr = Mo dt
Mo staat loodrecht op het vlak (rmc, G) en is dus horizontaal en loodrecht op Lr. Hetzelfde geldt dus
volgens dLo = dLr = Mo dt voor dLr, zoals voorgesteld op de figuur, dus Lr verandert niet in grootte
maar enkel in richting in horizontaal vlak!
Het resultaat is dat Lr en dus de tol-as gaat roteren rond de z-as.
Deze rotatie van de tol rond de z-as wordt de precessie van de tol genoemd.
We berekenen nu de precessie-hoeksnelheid. Algebraïsch geeft relatie dLr = Mo dt
En uit het bovenzicht van de figuur volgt: dLr = Lr dθ
Zodat de precessie-hoeksnelheid:
Ω=dθdt=M0Lr=rmc GIr ωr
-krachten door het steunpunt uitgeoefend op de tol
De bewegingsvergelijking van het mc is
Fuitw = m amc
Het massacentrum beweegt niet in de verticale richting, dus moet de verticale component van de
kracht Fs door het steunpunt op de tol uitgeoefend in grootte gelijk zijn aan het gewicht van de tol:
Fs,z = - G
1
Vermits het mc verder een cirkelbeweging met hoeksnelheid Ω uitvoert in een horizontaal vlak moet
er een horizontale kracht zijn die op de tol werkt die de centripetale kracht is waardoor het mc de
cirkelbeweging maakt, dus is de grootte van de horizontale Fs-component: Fs,h = m Ω² rmc
De kracht Fs is dus essentieel voor de precessiebeweging van de tol!
Tekening p 6-5
-de gyroscoop en gyroscopische effecten
Een gyroscoop is een tol die zo is opgehangen dat de ophangkrachten geen resulterend krachtmoment
tov het mc bezitten. Dit kan via steunpunt in het mc of mbv een speciale constructie waardoor de
rotatieas volledig vrij kan bewegen tov het mc.
Is het mc een vast punt dan is de gyroscoop een speciaal geval van vorige toepassing waarbij O ≡mc.
De bewegingsvergelijking wordt in dit geval vermits Lmc(mc) = :
Mmc,uitw=dLmcdt=dLrdt=Ir .dωrdt
Is het mc geen vast punt, dus is het mc vrij te bewegen o i v de resulterende Fuitw, dan blijft deze
bewegingsvergelijking toch geldig zoals we besproken hebben in vorige paragraaf.
Tekening p 6-6
In beide gevallen is Mmc,uitw = , vermits de ophangkrachten geen krachtmoment leveren tov het mc
of er geen ophangkrachten zijn, en vermits Mmc,G = 0, zodat uit de bewegingsvergelijking behoud van
impulsmoment volgt
Vermits Mmc,uitw = 0
Lmc = Ir ωr = constant!
Deze gyroscoop zal dus niet precesseren: de oriëntatie van Lr (en ωr) blijft constant in de ruimte,
onafhankelijk van de eventuele beweging van het mc!
-gyroscopische effecten:
1
Stel nu dat we een Mmc,uitw uitoefenen door een Fuitw . intuïtief zouden we verwachten dt de rotatieas
van de gyroscoop zou beginnen roteren in het vlak (Fi, O) en deze rotatie zou verdergaan als we de
kracht wegnemen.
Tekening p 6-6
Experimenteel stellen we echter vast dat de rotatieas precesseert in een blak loodrecht F i (de
corresponderende precessie-hoeksnelheden zijn aangeduid op de figuur), en dit alleen zolang we de
kracht uitoefenen. Deze bewegingen worden gyroscopische effecten genoemd.
Deze gyroscopische effecten worden verklaard door bewegingsvergelijking die leert dat dL r dezelfde
richting en zin heft als Mmc,uitw (loodrecht op Fuitw, zie figuur) en dus dat de rotatieas inderdaad
loodrecht op Fuitw moet precesseren!
1
13. Rotatie van een vormvast object. a) Vertrek van de definitie van elementaire translatiearbeid om de rotatie-energie van een object af te leiden. b) Toon aan hoe in het algemeen
de globale beweging van een vormvast object kan beschreven en geanalyseerd worden, en
gebruik dit om de totale rotatie-energie van een object af te leiden, vertrekkende van deze van
een stelsel van deeltjes. Maak een figuur om de argumentatie te verduidelijken.
-globale beweging
Onderstel een object waarop een uitwendige kracht F inwerkt
Figuur p 6-10
Voegen we 2 krachten toe door het mc zodanig dat –F” = F’ = F en er dus niets aan de situatie
veranderd is. Wat is het effect van de 3 krachten?
i. De kracht F’ bepaalt de beweging van het mc, maar heeft geen effect op de rotatie rond het mc
vermits Mmc,F’ = 0
ii. De evenwijdige krachten F en F”, met gelijke grootte en tegengestelde zin vormen een
krachtenkoppel. Vermits F+ F” = 0 kunnen we deze de beweging van het mc niet
beïnvloeden.
ze veroorzaken dus alleen een zuivere rotatie rond het mc t g v Mmc = Mmc,F vermits
F” door het mc gaat. Noot: het krachtmoment van een krachtenkoppel wordt soms zelf
krachtenkoppel genoemd.
Werken er meerdere krachten in op het object dan kunnen we deze procedure herhalen voor
alle inwerkende krachten Fi (dus ook de eventuele bindingskrachten op een vast punt of vaste as
uitgeoefend.) we kunnen dan alle Fi’ (door mc) samenstellen tot 1 resulterende kracht Fuitw (door mc),
die een zuivere translatie veroorzaakt en alle momenten Mmc,i tot 1 krachtmoment Mmc,uitw dat een
zuivere rotatie rond het mc veroorzaakt.
Uit deze redenering volgt, samen met de gepaste bewegingsvergelijkingen:
De globale beweging van een vormvast object bestaat uit een translatie, beschreven met de
bewegingsvergelijking van het massamiddelpunt:
Fuitw=m amc
Plus
Een rotatie om een as door het massamiddelpunt, met als bewegingsvergelijking
Mmc,uitw=ddtLmc=ddtIr ωr= Ir . αr
-totale energie:
● Translatie- en rotatie-energie
Voor elk stelsel van deeltjes geldt
Ek = Ek (mc) + Ek’
met
Ek(mc) = ½ m v²mc
en Ek’ = imivi'22.
De term Ek(mc), de bewegingsenergie van het massamiddelpunt (waarin alle massa
geconcentreerd gedacht wordt), wordt ook de kinetische translatie-energie genoemd. Het is de
kinetische energie die een object bezit indien het een zuivere translatie uitvoert:
Ek,transl = Ek (mc) = ½ m v²mc
De term Ek’ is de energie van de relatieve beweging tov het mc, hier een rotatie rond een as (R)
door het mc zodat Ek’ de kinetische rotatie energie is. Deze kan berekend worden naar analogie
met Ek,rot = ½ Ir ωr².
1
Waarin Ir en ωr het traagheidsmoment en de hoeksnelheid zijn tov een ogenblikkelijke rotatieas
door het mc. De totale kinetische energie is dus
Ek = ½ m vmc² + ½ Ir ωr².
De totale kinetische energie van een VO is de som van de kinetische energie van de translatie van het
mc, waarin alle massa geconcentreerd gedacht, plus de kinetische energie van de rotatie rond een as
door het mc
-totale mechanische energie, totale energie en energiewetten:
Herhalen we nogmaals dat een VO een stelsel van deeltjes is, en dus alle eigenschappen en wetten
ivm stelsels van deeltjes toepasbaar zijn. Bevindt het object zich in een CKV, dan kunnen we hieraan
dus uitwendige potentiële energie verbinden. Daarnaast kan het VO ook inwendige potentiële energie
bezitten verbonden met de inwendige conservatieve krachten. De totale mechanische energie ban een
object is dus:
Emech = ½ m v²mc +1/2 Ir ωr²+Ep
Verder kan het VO ook niet-mechanische energie bevatten. Vanzelfsprekend blijven de energiewetten
en de wet van behoud van energie hier evenzeer van toepassing.
1
14. Bespreek (a) de kinematica van de zuivere rolbeweging en (b) de kinetische energie, en
analyseer (c) de dynamica van een zuivere rolbeweging op een hellend vlak .
(a) “zuiver” rollen betekent dat de snelheid van het contactpunt of de contactlijn (K) van het object
steeds nul is. Tijdens de zuivere rolbeweging gaat er dus telkens een ander punt (of lijn van punten)
van het object de rol van K vervullen.
Tekening p 6-14
Voor ieder punt geldt:
vi= v mc+ vi'
Met vi’ de relatieve snelheid tov het mc
We kiezen een assenstelsel zoals aangegeven op de figuur: vmc ligt volgens de positieve x-as en ωr
volgens de positieve z-as, cfr. de draaizin van de hoeksnelheid, dus ωr is hier positief. Voor het punt K
is met deze keuze algebraïsch: v’k = - R ωR
Voor zuiver rollen is, zie definitie,
vK= vmc+ v'K=0
De rolvoorwaarde is dus: vmc = R ωR
Zodat ook ddtvmc=Rdωrdt
dus amc = R αR met αR de hoekversnelling van de rotatie rond het
mc.
(b) volgens Ek = ½ m vmc² + ½ Ir ωr² is, gebruik makend van de rolvoorwaarde:
Ek=12m+Irr2vmc²=12mR2+ IRω²R
Nu is volgens de parrallelle-assenstelling Ip = m R² + Ir
Zodat ook Ek = ½ Ip ωp²
(c) zuiver rollen met Mmc,F=0. Een object (bol of cilinder) rolt zuiver over een horizontaal vlak,
terwijl een constante horizontale kracht F wordt uigeoefend op het mc. Hierbij zal a mc ≠ 0, dus moet de
hoekversnelling: αR = amc/R ≠ 0.
Figuur 6-15
1
Vermits F geen krachtmoment bezit tov de rotatieas door het mc, moet er noodzakelijk een
wrijvingskracht aanwezig zijn (met een krachtmoment tov de rotatieas) die deze α veroorzaakt. Deze
statische (crf vK = 0) wrijvingskracht Fs zal altijd tegengesteld zijn aan de zin waarin K zou bewegen
indien de wrijvingskracht te klein is om die beweging van K te verhinderen en het object dus slippend
zou rollen. De zin van Fs is hier dus tegengesteld aan deze van F.
De bewegingsvergelijkingen zijn:
Fuitw= F+ Fs=m. amc
F – Fs = m. amc
Mmc,uitw=R∧ Fs=Ir . αr
R Fs = IR . αR = IR . amcR
Hieruit volgen de resulterende versnellingen (ifc de gekende grootheden):
amc=Fm+Ir/R² en αR=amcR
Waardoor ook Fs gekend is: Fs = (Ir/R²). amc
Het mc voert een eenparige versnelde translatiebeweging uit met een versnelling die kleiner is dan
wanneer het object uit rust vertrekt dan is de snelheid na een tijd t dus vmc = amc t en is de afgelegde
weg Δsmc = amc t²/2. Tegelijk voert het object een eenparige versnelde rotatiebeweging uit rond een as
door het mc.
Vermits de statische wrijvingskracht maximaal Fs (max) = m g µs, impliceert dit, opdat het object
zuiver zou rollen, dat F gelimiteerd is tot
F(max)=1+mR2Ir Fs(max)
(c) op een hellend vlak:
Een homogene volle bol (Ir = 2 m R²/5), initieel in rust, rolt (zuiver) van een helling
Figuur p 6-16
Dus met steeds vmc : R ωR , en hoogteverschil h. buiten de zwaartekracht, de normaalkracht en de
statische wrijvingskracht werkt er geen andere kracht op de bol in.
De beschrijving van de beweging mbv de dynamische bewegingsvergelijkingen gebeurt analoog aan
deze van het vorige voorbeeld waarbij Gt, nu de rol van F vervul.
In dit voorbeeld is er behoud van mechanische energie dus:
12m v²mc+12Ir ωR2=m g h
De eindsnelheid van de bol is dus na zuiver rollen:
Vmc = 107g h
Indien de helling perfect glad was, zou de bol naar beneden glijden, dus
12m vmc²=m g h en was de eindsnelheid na glijden vmc = 2 g h
15. Verklaar de evenwichtsvoorwaarden van de statica en pas deze ook toe op de
zwaartekracht (geef weer met een figuur).
De statica is dat deel van de mechanica waarin de eigenschappen van mechanische systemen in
statisch evenwicht worden behandeld. Hierin worden de evenwichtsvoorwaarden (EVW) voor statisch
evenwicht en de krachten op en in vormvaste stelsels (objecten) in statisch evenwicht onderzocht. Het
laatste deel van dit hoofdstuk geeft alleen een korte inleiding tot de statica.
1
Een vormvast object of een mechanisch systeem is in een toestand van statisch evenwicht als het
in rust is in een inertiaalstelsel., d i niet transleert en niet roteert. Vermits deze toestand slechts een
bijzondere vorm van bewegingstoestand is, steunt de analyse van de EVW en de krachten op alle
beschrijvingen, eigenschapen en wetten van de dynamica.
Een vormvast object of een mechanisch systeem is in evenwicht als
i. De versnelling van het massamiddelpunt nul is, en
ii. De hoekversnelling bij rotatie rond een willekeurige as nul is,
Of anders geformuleerd, als de snelheid van het mc en de hoeksnelheid constant zijn.
De rusttoestand of toestand van statisch evenwicht is dus hiervan een bijzonder geval.
Bovenstaande praktische definitie van evenwicht is afgeleid van een meer fundamentele definitie nl.
een object is in evenwicht in een IS als zijn impuls en impulsmoment constant zijn in de tijd:
p = m . vmc = constant en Lo = constant
uit de bewegingsvergelijkingen voor de globale beweging van vormvaste stelsels van deeltjes, volgen
uit deze definitie de evenwichtsvoorwaarden
Fuitw =m amc= iFi,uitw=0 en MO,uitw=dLOdt= iMO,i,uitw=0
Indien aan de eerste voorwaarde, d i de som van de uitwendige krachten gelijk aan nul, voldaan
is, is MO,uitw onafhankelijk van het hc O, zodat dan bij het berekenen van de krachtmomenten –
voorwaarde het hc willekeurig gekozen mag worden! We komen uiteindelijk tot volgende EVW voor
statisch evenwicht:
Een object dat in rust is, blijft in rust als simultaan voldaan is an de EVW
iFi,uitw=0 en iMO,i,uitw=0 (voor een willekeurig hc O)
- berekening van de evenwichtsvoorwaarden
De 2 vectorvergelijkingen voor de EVW zijn uiteraard equivalent met 6 scalaire vergelijkingen
volgens de projecties op de x- y- en z-as:
iFi,x=0
iFi,y=0
iFi,z=0
iMi,x=0
iMi,y=0
iM,i,z=0
Door de bijzondere aard van bepaalde krachtsystemen kunnen een aantal van de EVW automatisch
voldaan zijn, zodat het aantal EVW beperkt wordt. Bijvoorbeeld: liggen alle Fi in 1 vlak (Oxy)-vlak
dan is altijd voldaan aan iFi,z=0
en
iMi,y=0 , iM,i,x=0
Zodat overblijft als EVW: iFi,x=0 , iFi,y=0
en iMi,z=0
-aangrijpingspunt van de zwaartekracht:
De resulterende zwaartekracht op het object:
imi . g=m g= G
Is een kracht die inwerkt op het mc.
Tekeing p 6-19
Om dit te bewijzen berekenen we de krachtmomenten van mi . g t o c een willekeurig hc O
ir i ∧ mi . g=imi r i ∧ g= m. rmc ∧ g= rmc ∧G
We merken dus dat voor een willekeurig hc het resulterend moment van de zwaartekrachten op elk
van de deeltjes het krachtmoment is van G op het mc uitgeoefend. Vandaar dat het mc van een stelsel
van deeltjes ook soms zwaartepunt genoemd wordt vermits de resulterende zwaartekracht in dat punt
aangrijpt.
1
1
16. Geef de wetten van Kepler (beweging van planeten)
Kepler gebruikte begin 17de eeuw de astronomische waarnemingen van Brahe om zijn 3 beroemde
wetten te formuleren. M b v de Newton-mechanica kan de juistheid van deze 3 wetten aangetoond
worden.
Merken we vooraf op dat deze wetten geldig blijven voor alle “zonnestelsels” in de brede
betekenis, dus ook voor het stelsel waarin de aarde de rol van de “zon” vervult en de maan en alle
satellieten “planeten” van de aarde zijn.
1ste wet: alle planeten bewegen op elliptische banen met de zon in 1 van de brandpunten
2de wet: de voerstraal van de zon tot een planeet beschrijft gelijke oppervlakken in gelijke
tijdsintervallen
De gravitatiekrach is centraal zodat
MO= r ∧ F=dLOdt=0
LO= r ∧m v=const.
Tekening p 7-3
De grootte van het impulsmoment is dus
LO=r mdrdtsin∅=const
De oppervlakte dS door de voerstraal r overlopen in een tijd dt is
dS=12r drsin∅
Hieruit volgt:
dSdt=12Lom=const
Dus waar de planeet zich ook op haar baan bevindt, de voerstraal zal steeds per eenheid van tijd een
even groot oppervlak overlopen.
3de wet: de verhouding van het kwadraat van de omlooptijden tot de 3de macht van de grote symmetrieas van de baan is dezelfde voor alle planeten.
We bewijzen deze wet voor cirkelvormige banen. We noemen R de baanstraal en R de omlooptijd van
een planeet, en Mz de massa van de zon.
De gravitatiekracht F is de centripetale kracht (Fcp = m v²/R) die de planeet dwingt de cirkelvormige
baan te beschrijven, dus
F=G Mz .mR2=m v2R=mR 2 π RT 2 zodat T2R3= 4 π²G Mz
Met het rechterlid gelijk voor alle planeten van hetzelfde zonnenstelsel. Dit bewijst dat voor al deze
planeten de verhouding T²/R³ gelijk zijn.
Veralgemenen we zonder bewijst tot elliptische banen met grote symmetrie-as L (L = 2 R)
T2L3= π²2 G Mz
1
1
17. (a) Geef de algemene wetmatigheden van satellieten en (b) geef hun totale mechanische
energie ifv de baanstraal.
(a)
-lancering van een satelliet
De banen van satellieten (zonder eigen voortstuwing) zijn ellipsen of cirkels, dus gesloten banen.
Daardoor kan 1 enkele korte krachtstoot een satelliet niet op een baan om de aarde brengen: de
satelliet zou na 1 omloop op zijn vertrekpunt inslaan. Bij de lancering zal een draagraket dus minstens
2 krachtstoten in verschillende richtingen moeten leveren, 1 van de redenen voor het gebruik van
meertrapsraketten. Minimalisatie van de vereiste energie is ook een reden.
-baanstraal van een communicatiesatelliet op een geostationaire baan
Communicatiesatellieten worden meestal op geostationaire banen geplaatst. Dit zijn banen waarbij de
satelliet exact 1 omwenteling per dag rond de aardas maakt zodat de satelliet steeds dezelfde relatieve
positie t o v het aardoppervlak behoudt, wat het gebruik van gerichte zenders en ontvangers mogelijk
maakt.
Een geostationaire baan impliceert dus volgende relatie tussen baanstraal R en de baansnelheid:
v = 2 π R /T
met
T = 24 uur
onderstellen een satelliet met massa m
tekening p 7-4
De centripetale kracht nodig voor de cirkelbeweging is de gravitatiekracht:
mv2R=GmAmR2
Hieruit volgt dat de baanstraal R = 42 200 km die onafhankelijk is van de massa van de satelliet, dus
voor alle communicatiesatellieten dezelfde
(b) totale mechanische energie ifv de baanstraal
Een bewegende puntmassa m in het systeem {m – GRV(m0) } bezit ook kinetische energie.
Werkt op de massa m nog een kracht in, uitwendig aan het systeem, dan is
Wus= ∆ Et= ∆Ek+ ∆Ep
Is het systeem {m – GRV(m0) } een geïsoleerd systeem, dan blijft de totale mechanische energie
behouden en is dus
mv22- G momr=const
1
(b) energie van satellieten:
Voor een cirkelbaan met straal R is
Fcp=mv2R=F=Gm0 mR2
Hieruit volgt de kinetische energie:
Ek=mv22=G . m0 m2 R
En vermits de potentiële energie
Ep= -Gm0 mR
Is Etot= -Gm0 m2R
Tekening p 7-9
De totale energie van een satelliet op een cirkelvormige baan is gelijk aan de helft van de potentiële
energie
Algemeen kan voor een elliptische baan met grote symmetrie-as L aangetoond worden dat
Etot= -Gm0 mL
Tekening 7-10
De totale energie is altijd negatief (Ep(r = ∞) = 0) dus satellieten zijn gebonden objecten. Hoe groter
de grote as van de baanellips (of hoe groter de straal van de cirkelbaan), hoe dichter de totale energie
bij nul komt, zoals bij cometen.
Bemerk dat Et van 2 satellieten, zie figuur, de ene op cirkelbaan met straal R en de andere op
elliptische baan met grote symmetrie-as L = 2R, evenals hun omlooptijd dezelfde zijn
18. Bewijs dat de algemene gravitatiekracht een conservatieve kracht is en leidt daarvan het
verband met potentiële energie af.
- een gravitatiekrachtveld is een conservatief krachtveld:
De zwaartekracht, met een constante valversnelling g is een CKV. We tonen hier aan dat de universele
gravitatiekracht een conservatieve kracht is. Daartoe moeten we bewijzen dat de arbeid verricht door
1
de gravitatiekracht uitgeoefend door m0 bij verplaatsing van een massa m van een punt A naar een
punt B onafhankelijk is van de gevolgde weg. We nemen een IS met de oorsprong in m0, en noemen
de radiale afstand van m0 tot m de afstand R, dus R = ΙrΙ = r
dW= Fdr= -G m0 m R² dR
Het scalair product er.dr=dR is de verandering in radiale afstand bij verandering van r naar r + dr, zie
figuur 7-7
Zodat
dW= -Gm0mR2dR
↓
WA→B= -G m0 m rAr>BdRR2
= G.m0 .m 1rB-1rA
Deze arbeid is onafhankelijk van de gevolgde weg, zodat F een conservatieve kracht is, en het
gravitatieveld GRV dus een CKV is. Merk op dat deze arbeid niet afhangt van de begin en eindoriëntatie van r maar slechts van de grootte van de liggingsvectoren van begin- en eind-punt. Het
gravitiatieveld van meerdere puntmassa’s is ook een CKV.
-potentiële energie van een massa in een GRV
De gravitatiekracht is conservatief, dus kunnen we aan deze kracht potentiële energie verbinden nl.
gravitationele potentiële energie. We hebben te maken met een systeem {m—GRV(m0)}
dW=F.dr= -dEp en
WA→B= EpA- Ep(B)
Potentiële energie is maar op een constante na bepaald. Stellen we:
Ep r= ∞= 0
Dan volgt:
W∞→B= Gm0mrB= -Ep(rB)
Zodat de potentiële energie van m gelijk is aan:
Epr= - Gm0mr met Epr= ∞= 0
Met conventie Ep r= ∞= 0 is de Ep van een massa in de ruimte rond m0 altijd negatief; dit is bij
deze conventie typisch voor elk gebonden deeltje. De gravitatie-potentiële energie daalt als m nadert
naar m0 en stijgt als m zich van m0 verwijdert. Blijft de radiale afstand tot m0 constant dan blijft de
potentiële energie constant.
1
19.a) Bereken het verloop van de elektrische potentiaal in een ruimte waarin zich een geladen
vlakke condensator bevindt.
b) Bespreek de kromtestraalafhankelijkheid van de ladingsverdeling en van het elektrische
veld aan het grensvlak met vacuüm van een geleide met willekeurige vorm.