Roger Van nieuwenhuyze

fex
em
pla
ar
ICT Practicumboek (4e JAAR secundair onderwijs)
GeoGebra
Dit leerwerkboekje is bruikbaar
in alle klassen aso – tso – kso
van alle netten
Functieleer, meetkunde
& complexe getallen
Pr
oe
in het vierde jaar
met GeoGebra
Roger Van Nieuwenhuyze
fex
em
pla
ar
3
ICT practicumboek > inhoud
1
Het pakket GeoGebra
2 Functieleer
2.1
Functies van de tweede graad, 7
2.1.1
Practicum 1: Invloed van de parameters a, a en b > 7
2
Toepassing 1: f x = ax > 8
2.1.2
()
Toepassing 2: f ( x ) = ( x − a ) > 9
Toepassing 3: f ( x ) = x + b > 10
Toepassing 2: De vorm van een brug > 33
Toepassing 3: Een rotsblok > 33
Toepassing 4: De vergelijking van een
parabool bepalen > 33
2.5
Elementaire functies, 39
2.5.1
Practicum 7: Grafieken van elementaire
functies en hun eigenschappen > 39
Toepassing 1: Grafieken van elementaire functies > 39
Toepassing 2: Transformaties van grafieken:
horizontale verschuiving > 40
Toepassing 3: Transformaties van grafieken:
verticale verschuiving > 41
Practicum 8: Grafieken van functies spiegelen om de
assen – inkrimping en uitrekking – synthese > 42
Toepassing 1: Een grafiek van een functie
spiegelen om de x-as> 42
Toepassing 2: Inkrimping of uitrekking
evenwijdig met de y-as > 43
Toepassing 3: Uitrekking langsheen de x-as > 43
Toepassing 4: Synthese > 43
2
2
Practicum 2: Studie van de tweedegraadsfunctie > 10
Toepassing 1: Synthese: invloed van de parameters a,
a en b > 10
Toepassing 2: Opeenvolgende transformaties uitvoeren > 11
Toepassing 3: Bespreken van een tweedegraadsfunctie > 12
2.5.2
2.2
Vergelijkingen van de tweede graad,16
2.2.1
Practicum 3: Oplossen van een vierkantsvergelijking > 16
Toepassing 1: Vierkantsvergelijkingen oplossen > 16
Toepassing 2: Complexere vierkantsvergelijkingen
oplossen > 17
Toepassing 3: Som en product van de wortels van
een vierkantsvergelijking > 19
Practicum 4: Parameter m bepalen en grafisch
oplossen van ongelijkheden > 20
Toepassing 1: Vierkantsvergelijking met parameter m > 20
Toepassing 2: Grafisch oplossen van ongelijkheden > 21
Toepassing 3: Oplossen van ongelijkheden van de
tweede graad > 22
oe
2.2.2
Onderlinge ligging van krommen en rechten, 24
Pr
2.3
Practicum 5: Onderlinge ligging van een parabool en een
rechte en onderlinge ligging van twee parabolen > 24
Toepassing 1: Onderlinge ligging van een
parabool en een rechte > 24
Toepassing 2: Onderlinge ligging van twee parabolen > 25
2.4
Problemen en vraagstukken oplossen, 32
2.4.1
Practicum 6: Vraagstukken > 32
Toepassing 1: Afschieten van een projectiel > 32
2.3.1
3 Meetkunde: driehoeksmeting
3.1
Goniometrische getallen, 47
3.1.1
Practicum 9: Goniometrische getallen
sin, cos, tan en cot > 47
Toepassing 1: Radialen > 48
Toepassing 2: De goniometrische getallen
sin, cos, tan en cot > 50
Toepassing 3: De goniometrische getallen sec en csc > 50
Toepassing 4: De grondformule van de goniometrie > 50
3.1.2
Practicum 10: Goniometrische getallen
en verwante hoeken > 47
Toepassing 1: Tegengestelde hoeken > 48
Toepassing 2: Supplementaire hoeken > 50
Toepassing 3: Complementaire hoeken > 50
Toepassing 4: Antisupplementaire hoeken > 50
fex
em
pla
ar
ICT practicumboek > inhoud
3.2
Sinus- en cosinusregel. Formule van Heroon,51
4 Meetkunde: analytische meetkunde
3.2.1
4.1
Loodrechte stand,51
Practicum 11: Sinus- en cosinusregel in een willekeurige
driehoek. Oppervlakte van een driehoek en de formule
van Heroon > 52
Toepassing 1: Opstellen van de sinusregel > 52
Toepassing 2: Opstellen van de cosinusregel > 54
Toepassing 3: Oppervlakte van een driehoek > 57
Toepassing 4: Formule van Heroon > 57
4.4.1
Practicum 17: Scalair product van vectoren > 86
Toepassing 1: Scalair product van twee
vectoren berekenen > 86
Toepassing 2: Criterium voor loodrechte stand > 87
Toepassing 3: Loodrechte stand van rechten > 89
3.3
Oplossen van willekeurige driehoeken,51
4.2
Allerlei oefeningen,51
3.3.1
Practicum 12: Oplossen van willekeurige
driehoeken (deel 1) > 58
Toepassing 1: Een driehoek oplossen als de
drie zijden gegeven zijn > 58
Toepassing 2: Drie zijden gegeven > 59
Practicum 13: Oplossen van willekeurige
driehoeken (deel 2) > 63
Toepassing 1: Het oplossen van een driehoek
als twee zijden en de ingesloten
hoek gegeven zijn > 63
Toepassing 2: Twee zijden en de ingesloten
hoek zijn gegeven > 66
Practicum 14: Oplossen van willekeurige
driehoeken (deel 3) > 68
Toepassing 1: Het oplossen van een driehoek
als een zijde en twee aanliggende
hoeken gegeven zijn > 68
Toepassing 2: Een zijde en twee aanliggende
hoeken gegeven > 69
Toepassing 3: Een zijde en twee aanliggende hoeken
zijn gegeven en de hoeken zijn uitgedrukt
in graden, minuten en seconden > 70
Practicum 15: Oplossen van willekeurige
driehoeken (deel 4) > 72
Toepassing 1: Het oplossen van een driehoek als
een zijde, een aanliggende hoek en de
overstaande hoek gegeven zijn > 72
Toepassing 2: Een zijde, een aanliggende en de
overstaande hoek zijn gegeven > 74
Toepassing 3: Construeren van driehoeken
waarvan een zijde en twee hoeken
aan elkaar gelijk zijn > 75
Practicum 16: Oplossen van willekeurige
driehoeken (deel 5) > 76
Toepassing 1: Een driehoek oplossen als twee zijden en
de niet-ingesloten hoek gegeven zijn > 76
Toepassing 2: A
antal oplossingen > 77
4.2.1
Practicum 18: Eenvoudige opdrachten > 91
Toepassing 1: Vergelijkingen van rechten bepalen die
aan bepaalde voorwaarden voldoen > 91
Toepassing 2: Hoogtelijnen in een driehoek > 92
Toepassing 3: Rechthoekige driehoek > 93
Toepassing 4: Middelloodlijnen in een driehoek > 94
Practicum 19: Moeilijkere opdrachten (deel 1) > 91
Toepassing 1: L
oodrechte rechten > 91
Toepassing 2: Een gelijkbenig trapezium > 92
Practicum 20: Moeilijkere opdrachten (deel 2) > 91
Toepassing 1: Vierkanten geconstrueerd op twee
zijden van een driehoek > 91
Toepassing 2: Concurrente rechten > 92
Toepassing 3: E
igenschap in een rechthoekige driehoek > 93
3.3.2
3.3.3
oe
3.3.4
Pr
3.3.5
4.2.2
4.2.3
4.3
Afstand van een punt tot een rechte –
bissectrices van twee snijdende rechten,51
4.3.1
Practicum 21: Afstand van een punt tot een rechte > 91
Toepassing 1: Formule voor de afstand van een
punt tot een rechte > 91
Toepassing 2: B
issectrices van een rechtenpaar > 92
Toepassing 3: De vergelijkingen van de bissectrices van
een aantal rechtenparen bepalen > 93
Practicum 22: Toepassingen op afstand punt rechte
en bissectrices van een rechtenpaar (deel 1) > 91
Toepassing 1: De afstand tussen twee evenwijdige
rechten a en b bepalen > 91
Toepassing 2: Binnen- en buitenbissectrices
van een driehoek > 92
Toepassing 3: Eigenschap is een parallellogram > 92
Practicum 23: Toepassingen op afstand punt rechte
en bissectrices van een rechtenpaar (deel 2) > 91
Toepassing 1: Bepalen van punten die aan
voorwaarden voldoen > 91
4.3.2
4.3.3
fex
em
pla
ar
Toepassing 2: De parameter m bepalen > 92
Toepassing 3: Eigenschap in een driehoek > 93
5 Meetkunde: de cirkel
5.1
Koorde en apothema, middelpuntshoek
en omtrekshoek,51
5.1.1
Practicum 24: Koorde en apothema > 95
Toepassing 1: De middelloodlijn van een koorde
van een cirkel gaat door het
middelpunt van de cirkel > 95
Toepassing 2: De middellijn van een cirkel die loodrecht
staat op een koorde van die cirkel, gaat
door het midden van die koorde > 96
Toepassing 3: De middellijn van een cirkel die door
het midden van een koorde (niet
door het middelpunt) gaat, staat
loodrecht op die koorde > 96
Toepassing 4: G
elijke koorden hebben gelijke apothema’s > 96
Practicum 25: Middelpuntshoek en omtrekshoek > 95
Toepassing 1: Een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat. > 96
5.1.2
5.2
Practicum 26: Vergelijking van een cirkel bepalen > 95
Toepassing 1: Door drie niet-collineaire punten
gaat één cirkel > 95
Toepassing 2: In een koordenvierhoek zijn de
overstaande hoeken supplementair > 96
Toepassing 3: Een onderzoeksopdracht > 96
oe
5.2.1
Vergelijking van een cirkel,51
5.3.3
6Ruimtemeetkunde: doorsnede
van een lichaam met een vlak
6.1
5.3.1
Practicum 27: Toepassingen op vergelijkingen
van cirkels opstellen (deel 1) > 95
Toepassing 1: Cirkel met middelpunt en straal > 95
Toepassing 2: Middelpunt en straal van een
cirkel bepalen > 96
Toepassing 3: Vergelijking van een cirkel bepalen die
door drie gegeven punten gaat > 96
Toepassing 4: Vergelijking van een cirkel bepalen die
aan bepaalde voorwaarden voldoet > 96
Practicum 28: Toepassingen op vergelijkingen
van cirkels opstellen (deel 2) > 95
Toepassing 1: Ingeschreven cirkel van een driehoek > 95
Pr
5.3.2
7.1
Practicum 31: Bewerkingen met complexe getallen > xx
Toepassing 1: Vlak van Gauss > xx
Toepassing 2: Som, verschil, product en quotiënt
van complexe getallen > xx
7.2
Practicum 32: Het product van twee complexe getallen
construeren – het omgekeerde van een
complex getal construeren > xx
Toepassing 1: Constructie van het product van
twee complexe getallen > xx
Toepassing 2: Constructie van het omgekeerde
van een complex getal > xx
7.3
Practicum 33: Goniometrische vorm van een complex
getal en de n-de machtswortels
uit een complex getal > xx
Toepassing 1: Goniometrische vorm van een
complex getal > xx
Toepassing 2: n-de machtswortels uit een complex getal > xx
Vergelijkingen van cirkels opstellen,51
Practicum 30: Doorsnede van een lichaam met een vlak > 95
Toepassing 1: Uitgewerkt voorbeeld > 95
Toepassing 2: Doorsnede van een kubus met een vlak > 96
Toepassing 3: Doorsnede van een balk met een vlak > 96
Toepassing 4: Doorsnede van een piramide met een vlak > 96
7Ruimtemeetkunde: doorsnede
van een lichaam met een vlak
5.3
Toepassing 2: Afstand middelpunten in- en omgeschreven
cirkel van een driehoek > 96
Toepassing 3: A
angeschreven cirkels van een driehoek > 96
Practicum 29: Onderlinge ligging van cirkels en rechten > 95
Toepassing 1: Onderlinge ligging van een cirkel
en een rechte > 95
Toepassing 2: Onderlinge ligging van twee cirkels > 96
Toepassing 3: Vergelijkingen van de raaklijnen uit
een punt aan een cirkel > 96
Toepassing 4: Orthogonale cirkels > 96
fex
em
pla
ar
6
1 > Het pakket GeoGebra
GeoGebra is een wiskundepakket dat meetkunde en algebra en analyse combineert en ontwikkeld werd door Markus Hohenwarter, een Oostenrijker die momenteel in Amerika werkt.
De huidige versie van GeoGebra is GeoGebra 3.2.
De vertaling naar het Nederlands gebeurde door Bea Versichel, Pedro Tytgat en Ivan Dewinne.
GeoGebra is een open-sourcepakket en mag dus gratis gedownload worden.
Dit kan heel eenvoudig gebeuren door op Google, GeoGebra in te typen of rechtstreeks te
surfen naar: http://www.geogebra.org/.
Klik op download en het volgende scherm opent zich:
oe
Kies voor GeoGebra Webstart, want dan zul je steeds met de meest recente versie werken.
Er is ook een gebruikersforum: www.geogebra.org/forum
en een soort materialenbank:
www.geogebra.org/en/wiki
Iemand die de basistechnieken van GeoGebra nog niet onder de knie heeft, kan best het ICT Practicumboek voor de 1e graad
doornemen. Een strikte noodzaak is dit niet, want het boekje voor het vierde jaar is zo opgevat dat er heel vaak een stappenplan voorzien is om de nodige constructies uit te voeren.
Pr
Dit boekje bestaat uit 33 practicums. Elk practicum kan in principe in één les uitgewerkt worden. Als dat niet lukt, dan
kunnen de resterende toepassingen als persoonlijk werk meegegeven worden.
Als sommige practica niet voorkomen op het leerplan van een bepaald onderwijstype, dan kunnen deze uiteraard weggelaten
worden.
Bij dit boekje horen meer dan 100 bestanden en meer dan 25 applets.
2 > Functieleer
2.1
Functies van de tweede graad
2.1.1  Practicum 1: Invloed van de parameters a, a en b
oe
Toepassing 1: f ( x ) = ax 2
Stappenplan:
•Teken een schuifknop a die varieert van -10 tot 10 met stappen van 1.
•Teken via het commandovenster de functie f ( x) = x 2 en de functie g( x) = ax 2 (laat bij het typen een blanco tussen de
letters a en x 2 ).
•Breng de tekst “We hebben een dalparabool” en “We hebben een bergparabool” op het scherm.
Pr
•Klik met de rechtermuisknop op de tekst “We hebben een dalparabool”, ga naar Eigenschappen en kies dan voor
Geavanceerd. Vul hier a > 0 in. Voor de andere tekst vul je a < 0 in.
•Versleep a en formuleer je bevindingen:
Is a > 0, dan is de opening van de parabool naar _______________ gericht, we hebben dan een ______________________________________
7
fex
em
pla
ar
l deel 2 > Basisbegrippen van de meetkunde l
Is a < 0, dan is de opening van de parabool naar _______________ gericht, we hebben dan een ______________________________________
Ter controle kun je in de map Functies van de tweede graad het bestand f ( x ) = x 2 openen.
8
fex
em
pla
ar
| deel 2 > Functieleer |
Toepassing 2: f ( x ) = ( x − a )
Stappenplan:
2
• Teken een schuifknop a die varieert van -10 tot 10 met stappen van 0,1.
• Teken via het commandovenster de functie f ( x) = x 2 en de functie g( x) = ( x − a )2.
• Breng de tekst:
“We verschuiven naar rechts met ”+ a + “eenheden” op het scherm.
Het feit dat a tussen twee plustekens staat, zorgt ervoor dat de waarde van a zal veranderen als aan de schuifknop wordt
getrokken.
• K
lik met de rechtermuisknop op de tekst die je krijgt, ga naar Eigenschappen en kies dan voor Geavanceerd. Vul hier
a > 0 in.
• Brend de tekst: “We verschuiven naar links met “+a+”eenheden” op het scherm en werk verder af.
oe
• Teken de symmetrie-as x = a en de top T (a, 0). Typ hiervoor in het commandovenster x = a en T = (a, 0) in.
• Versleep a en formuleer je bevindingen:
Pr
Is a > 0 dan verschuiven we naar ________________ met _________ – eenheden.
Is a > 0 dan verschuiven we naar ________________ met _________ – eenheden.
De as is de rechte x = _________ en het punt T (_________ , _________) is de top van de parabool.
Ter controle kun je in de map Functies van de tweede graad het bestand f ( x ) = ( x − alpha)2 openen.
fex
em
pla
ar
9
Toepassing 3: f ( x ) = x 2 + b
Realiseer dit volledig zelf.
Besluit:
Is b > 0 dan verschuiven we naar ________________ met _________ – eenheden.
Is b < 0 dan verschuiven we naar ________________ met _________ – eenheden.
oe
De as is de rechte x = _________ en het punt T (_________ , _________) is de top van de parabool.
Pr
Ter controle kun je in de map Functies van de tweede graad het bestand f ( x ) = x 2 + beta openen.
| deel 2 > Functieleer |
fex
em
pla
ar
10
2.1.2 Practicum 2: Studie van de tweedegraadsfunctie
Toepassing 1: Synthese: invloed van de parameters a, a en b
Schematische weergave van een mogelijk stappenplan:
• Schuifknoppen a, a en b die variëren van –5 tot 5 met stappen van 0,1.
• f ( x) = x 2
• g( x) = a * x 2
• A = (a, 0)
• B = (a, b)
oe
• O = (0, 0)
• h = verschuiving [g, vector[O, A]]
• j = verschuiving [h, vector[A, B]]
• b = –2a * a
• c = a * a 2 + b
• k (x) = a * x 2 + b * x + c
• k verbergen
Pr
• Tekst invoeren: “f ( x )“ + j
• Tekst invoeren: “f ( x )“ + k
• Vier teksten invoeren (geavanceerd gebruiken voor de eerste twee).
Op de eerste tekst (We hebben een dalparabool.) klik je met de rechtermuisknop, nadien ga je naar Eigenschappen en bij
Geavanceerd vul je a > 0 in.
Op de tweede tekst (We hebben een bergparabool.) klik je met de rechtermuisknop, nadien ga je naar Eigenschappen en bij
Geavanceerd vul je a < 0 in.
fex
em
pla
ar
11
De twee andere teksten die ingevoerd moeten worden, zijn:
Dus: “De top is” + B + “.”
“De vergelijking van de symmetrie-as is x = “ + a + “.”
Ter controle kun je in de map Functies van de tweede graad het bestand tweedegraadsfuncties in stappen openen.
Open in de map Applets ook eens het html-bestand tweedegraadsfuncties_in_stappen.
Toepassing 2: Opeenvolgende transformaties uitvoeren
Open in de map Applets het html-bestand transformaties_ parabool .
Er opent zich een applet. Werk hier nu vier oefeningen uit. Klik op het blauwe icoontje
een nieuwe opgave te krijgen.
bovenaan rechts in het scherm om
Toepassing 3: Bespreken van een tweedegraadsfunctie
f ( x) = x 2 − 5 x + 6
g( x) = 2 x 2 + 5 x + 2
h( x) = − x 2 − 4 x + 5
i( x ) = 6 x − x 2
j( x ) = − x 2 + 2 x − 3
Vul onderstaande tabel in voor deze vijf functies.
Werkwijze:
• Teken de tweedegraadsfunctie.
• Bepaal de nulpunten met het commando: nulpunten[ f ].
• B
epaal het snijpunt met de y-as (klik op het tweede icoontje, kies nadien voor Snijpunt(en) van twee objecten en klik op
de parabool en de y-as).
oe
• Bepaal het domein van de functie.
• Bepaal het beeld van de functie. Merk hiervoor op:

 − b2 + 4ac
a > 0 dan is bldf = 
, +∞ 
4a




− b2 + 4ac 
a < 0 dan is bldf =  − ∞,

4a


Bereken dus via het commandovenster
− b2 + 4ac
en de waarde van m wordt in het algebravenster afgedrukt.
m=
4a
Pr

| deel 2 > Functieleer |
fex
em
pla
ar
12
• Stel de tekentabel op.
Functie
Domein
Beeld
Snijpunt
y-as
Tekentabel
Open in de map Functies van de tweede graad het bestand bespreking tweedegraadsfunctie en controleer aan de hand
hiervan of je antwoorden correct zijn!
Pr
oe
Open in de map Applets ook eens het html-bestand bespreken_tweedegraadsfunctie.