Vlakke Meetkunde Les 2 Hoeken en bogen

Vlakke Meetkunde
Les 2
Hoeken en bogen
(Deze les sluit aan bij het paragraaf 2 van Vlakke Meetkunde van
de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf
de site van de Open Universiteit. )
Cirkelsector
Een cirkelsector is een deel van een cirkel
dat begrensd wordt door twee stralen en
een cirkelboog.
Cirkelsector
Een cirkelsector is een deel van een cirkel
dat begrensd wordt door twee stralen en
een cirkelboog.
Twee cirkelsectoren zijn congruent als:
• de stralen gelijk zijn en de hoeken bij
het middelpunt gelijk zijn,
of:
• de stralen gelijk zijn en de cirkelbogen gelijk zijn.
Cirkelboog
De middelpuntshoek AMB = 129.
De grootte van de bijbehorende cirkelboog
geef je ook aan met graden.
In dit geval: bg(AB) = 129.
Cirkelboog
Voorbeeld (opgave 1a)
bg (AC) = 180
D
C
A
B
Cirkelboog
D
Voorbeeld (opgave 1b)
ABCDE is een regelmatige vijfhoek met
de hoekpunten op de cirkel.
De cirkel is verdeeld in 5 even grote bogen.
 bg(AB) = 360 : 5 = 72.
 bg(AC) = 144
C
E
A
B
Cirkelboog
Gegeven cirkel met straal r en AMB = 
Hoe lang is cirkelboog AB?
De cirkelomtrek is 2π𝑟.
𝛼
De cirkelsector AMB is 360 gedeelte van
de hele cirkel.
𝛼
𝛼π𝑟
De lengte van boog AB is 360x 2π𝑟 = 180 .
r

r
De stelling van Thales
Stelling
Cirkel met middelpunt M en middellijn AB.
Punt C ligt op de cirkel.
Dan is ACB = 90.
C
B
M
A
De stelling van Thales
Stelling
Cirkel met middelpunt M en middellijn AB.
Punt C ligt op de cirkel.
Dan is ACB = 90.
C
1 2
1
1
1
A
Bewijs
Teken hulplijn CM.
AMC en BMC zijn gelijkbenig.
 A1 = C1 en B1 = C2 .
2
M
B
De stelling van Thales
Stelling
Cirkel met middelpunt M en middellijn AB.
Punt C ligt op de cirkel.
Dan is ACB = 90.
C
1 2
1
1
1
A
Bewijs
Teken hulplijn CM.
AMC en BMC zijn gelijkbenig.
 A1 = C1 en B1 = C2 .
A1 + C1 + M1 = 180
B1 + C2 + M2 = 180 +
 2 xC1 + 2 xC2 + M12 = 360
 2 xC12 = 180
 C12 = 90
2
M
B
Stelling buitenhoek
Stelling
In een driehoek is een buitenhoek groter dan elk van de
tegenoverliggende binnenhoeken.
C 2
1
In de figuur: C2 > A en C2 > B.
Bewijs
C2 = A + B (waarom?)
A
B
Stelling buitenhoek
Stelling
In een driehoek is een buitenhoek groter dan elk van de
tegenoverliggende binnenhoeken.
C 2
1
In de figuur: C2 > A en C2 > B.
Bewijs
C2 = A + B (waarom?)
Maak het bewijs af.
A
B
De omgekeerde stelling van Thales
Stelling
Cirkel met middelpunt M en middellijn AB.
ACB = 90.
Dan ligt punt C op de cirkel.
C
D
1
1
Bewijs
Stel C ligt buiten de cirkel.
D is het snijpunt van de lijn AC met de cirkel.
 D1 = 90 (vlgs Thales)
D1 is buitenhoek van BCD.
  C < 90 (volgens hulpstelling)
 Tegenspraak met het gegeven.
M
A
B
Zelf doen
Stelling: De omgekeerde stelling van Thales.
Cirkel met middelpunt M en middellijn AB.
ACB = 90.
Dan ligt punt C op de cirkel.
C
D
1
1
Bewijs (uit het ongerijmde)
Stel C ligt buiten de cirkel.
D is het snijpunt van de lijn AC met de cirkel.
D1 = 90 (vlgs Thales)
D1 is buitenhoek van BCD.
  C < 90 (volgens hulpstelling)
 Tegenspraak met het gegeven.
M
A
Maak nu zelf het bewijs volledig. (Kies C binnen de cirkel)
B
Bewijzen met Thales
Opgave 6
AD en BE zijn hoogtelijnen in driehoek ABC.
M is het midden van AB.
Bewijs dat D en E even ver van M afliggen.
Bewijzen met Thales
Opgave 6
AD en BE zijn hoogtelijnen in driehoek ABC.
M is het midden van AB.
Bewijs dat D en E even ver van M afliggen.
Bewijs
Driehoek ADB is een rechthoekige driehoek.
 De punten A, D en B liggen op een cirkel met middelpunt M. (Thales)
Hetzelfde geldt voor driehoek AEB.
 De punten A,B,D en E liggen op één cirkel met middelpunt M.
 |EM| = |DM|.
Omtrekshoeken
A en B zijn punten op de cirkel.
P ligt op de cirkel tegenover A en B.
APB heet de omtrekshoek.
Deze omtrekshoek staat op de boog AB.
Omtrekshoeken
Maak nu opgave 9.
Omtrekshoeken
Stelling van de omtrekshoek
Gegeven een boog AB van een cirkel
met middelpunt M.
P ligt op de cirkel, tegenover A en B.
1
Dan geldt: APB = 2 bg(AB).
Omtrekshoeken
Stelling van de omtrekshoek
Gegeven een boog AB van een cirkel
met middelpunt M.
P ligt op de cirkel, tegenover A en B.
1
Dan geldt: APB = 2 bg(AB).
Bewijs (in drie stappen)
stap 1: M ligt op AP.
AMB is gelijkbenig  A = B1
M1 = 180 − A − B1 = 180 − 2xA
2
1
2
1
(1)
B ligt op de cirkel  B12 = 90 (Thales)
P = 180 − A − B12 = 90 − A
(2)
1
1
 P = 2  M1 = 2 bg(AB)
(regel (1) en (2))
Omtrekshoeken
Stelling van de omtrekshoek
Gegeven een boog AB van een cirkel
met middelpunt M.
P ligt op de cirkel, tegenover A en B.
1
Dan geldt: APB = 2 bg(AB).
Bewijs (in drie stappen)
stap 2: M ligt binnen ABP.
S
Trek hulplijn PM, deze snijdt de cirkel in S.
Pas stap 1 toe op de driehoeken APS en BPS.
Omtrekshoeken
Stelling van de omtrekshoek
Gegeven een boog AB van een cirkel
met middelpunt M.
P ligt op de cirkel, tegenover A en B.
1
Dan geldt: APB = 2 bg(AB).
2
2
Bewijs (in drie stappen)
S
stap 3: M ligt buiten ABP.
Trek hulplijn PM, deze snijdt de cirkel in S.
Pas stap 1 toe op de driehoeken APS en BPS.
1
In BPS: P12 = 2 M12.
1
1
In APS: P2 = 2 M2.
1
1
1
1
 P1 = P12 - P2 = 2 M12 − 2 M2 = 2 M1 = 2 bg(AB)
1
Omtrekshoeken
Omgekeerde stelling van de omtrekshoek
Gegeven een boog AB van een cirkel
met middelpunt M.
1
P ligt tegenover A en B zodat APB = 2 bg(AB).
Dan ligt P op de cirkel.
Omtrekshoeken
Omgekeerde stelling van de omtrekshoek
Gegeven een boog AB van een cirkel
met middelpunt M.
1
P ligt tegenover A en B zodat APB = 2 bg(AB).
Dan ligt P op de cirkel.
Bewijs (uit het ongerijmde)
Stel P ligt buiten de cirkel.
Q is het snijpunt van AP met de cirkel.
Q1 is buitenhoek van BQP.
1
 P < Q1 = 2 bg(AB). (Stelling buitenhoek)
 Tegenspraak met het gegeven.
P

Q
1
Omtrekshoeken
Omgekeerde stelling van de omtrekshoek
Gegeven een boog AB van een cirkel
met middelpunt M.
1
P ligt tegenover A en B zodat APB = 2 bg(AB).
Dan ligt P op de cirkel.
Bewijs vervolg (uit het ongerijmde)
Stel P ligt binnen de cirkel.
Q is het snijpunt van AP met de cirkel.
P is buitenhoek van BQP.
1
 P > Q = 2 bg(AB).
 Tegenspraak met het gegeven.
 P ligt op de cirkel.
Q

P
Stelling van de omtrekshoek
Gegeven een cirkel met daarop een boog.
• Elke omtrekshoek is half zo groot als
de bijbehorende boog.
• Als de hoek bij de boog de helft is van de boog,
dan ligt het hoekpunt op de cirkel.
Omtrekshoeken
Opgave 14:
Laat zien dat Thales een speciaal geval is van
de stelling van de omtrekshoek.
Raaklijn en koorde
Stelling
Gegeven:
• cirkel met middelpunt M en lijn l.
• De afstand van l tot M is gelijk aan de straal
van de cirkel.
Dan is l een raaklijn.
Raaklijn en koorde
Stelling
Gegeven:
• cirkel met middelpunt M en lijn l.
• De afstand van l tot M is gelijk aan de straal
van de cirkel.
Dan is l een raaklijn.
Bewijs
MP is de loodlijn vanuit M op l.
Omdat |MP| gelijk is aan de straal, ligt P op de cirkel.
Kies een punt Q op l, willekeurig.
Volgens de stelling van Pythagors is |MQ| > |MP|.
Dus Q ligt buiten de cirkel en P is het enige punt van l op de cirkel.
Raaklijn en koorde
Stelling
Gegeven:
• cirkel met middelpunt M en lijn l.
• De afstand van l tot M is gelijk aan de straal
van de cirkel.
Dan is l een raaklijn.
Bewijs
MP is de loodlijn vanuit M op l.
Omdat |MP| gelijk is aan de straal, ligt P op de cirkel.
Kies een punt Q op l, willekeurig.
Volgens de stelling van Pythagors is |MQ| > |MP|.
Dus Q ligt buiten de cirkel en P is het enige punt van l op de cirkel.
Gevolg:
De raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt
Raaklijn en koorde
Lijn l is raaklijn aan de cirkel in punt P.
  l,MP = 90
Punt A ligt op de cirkel.
AMP is gelijkbenig, dus A = P
 AMP = 180 − 2 x A
 l,AP = 90 − P = 90 − A
1
1
  l,AP = 2 AMP = 2 bg(AP)
Conclusie
De hoek tussen de raaklijn en een koorde is de helft
van de bijbehorende boog.
P
l
M
A
Oefenen
Bestuderen: In ieder geval de theorieblokjes van paragraaf 2.
Maken: De opgaven van paragraaf 2 maar in ieder geval
de opgaven 18 tot en met 22.
Huiswerk
Inleveren: opgaven 23,24 en 25