Handig rekenen
advertisement
praktijk Handig rekenen De beroemde wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777-1855) liet op jonge leeftijd zien een enorm gevoel voor getallen te hebben. Zo schijnt hij op driejarige leeftijd een rekenfout in het werk van zijn vader te hebben ontdekt en op jonge leeftijd zijn meester verbaasd te hebben door een ontzettend moeilijke som op te lossen. Ga aan de slag met de rekenformule van Gauss. Over de wiskundige Gauss gaat het verhaal dat hij als kind eens een klinkende oorvijg kreeg van zijn meester. Het ging erom dat de meester op het bord een som tevoorschijn toverde waarvan hij veronderstelde dat de leerlingen lange tijd nodig hadden om deze op te lossen. Een soort zelfstandig werken avant la lettre dus. De meester dacht genoeglijk achterover te kunnen leunen en de krant te kunnen lezen, maar daar kwam niets van, want leerling Gauss stond zeer snel met het goede antwoord bij de tafel van de meester. Optellen Om welke opgave ging het nu eigenlijk? De meester stelde de vraag ‘Welk resultaat krijg je als je de eerste 100 gehele getallen optelt?’ Gauss antwoordde: ‘5050.’ In deze bijdrage van Praktijk kijken we naar de vraag hoe je getallen gemakkelijk bij elkaar kunt optellen. Het gaat hierbij om de gehele getallen. Gauss is een mooi uitgangspunt om eens aandacht te besteden aan handig rekenen. We zullen zelfs een heuse formule introduceren die gebruikt wordt om reeksen getallen bij elkaar op te tellen. Leerlingen in de bovenbouw zouden deze wellicht kunnen begrijpen en kunnen toepassen. Maar voordat we gaan uitleggen wat de bedoeling is van deze werkbladen, kijken we eerst kort naar het leven en werk van Gauss. Wie was Gauss? Gauss was een beroemd wiskundige die reeds op jonge leeftijd liet zien een enorm gevoel voor getallen te hebben. Zo schijnt hij op driejarige leeftijd een rekenfout in het werk van zijn vader te hebben ontdekt. Zijn vader wilde dat Carl Friedrich metselaar zou worden, de wiskunde bleek zijn roeping. Maar naast de wiskunde, waarbinnen hij verschillende stellingen bewees en theorieën ontwikkelde, ontwikkelde hij zich ook in andere wetenschappelijke disciplines. Landmeting, astronomie en magnetisme zijn hiervan voorbeelden. Ook leverde hij een formule om de datum van Pasen te berekenen uit het jaartal. Zoals gezegd telde Gauss in de klas bij zijn meester vliegensvlug een lange reeks getallen bij elkaar op. In zijn uitleg aan de meester liet Gauss zien de volgende oplossingsstrategie te hebben gebruikt: als je het eerste en het laatste getal van de reeks bij elkaar optelt, dan krijg je 1 + 100 = 101. Als je het tweede getal van de reeks en het voorlaatste getal bij elkaar optelt, dan krijg je 2 + 99 = 101. Als je het derde getal uit de reeks optelt bij het op twee-na-laatste getal, dan krijg je 3 + 98 = 101. Zo kun je precies 100 getalparen maken die bij elkaar opgeteld 101 als antwoord hebben. Hier hoort de som 100 x 101 = 10100 bij. Je hebt echter de getallen uit de reeks twee keer gebruikt. Dit antwoord moet worden gehalveerd: 10100 : 2 = 5050. Hoewel het verhaal mogelijk apocrief is, spreekt het bij veel mensen tot de verbeelding. Martin Bootsma is redactievoorzitter van JSW en werkzaam op de Alan Turingschool Lees verder op pagina 28 JSW 8 april 2017 25 Kopieerblad 1 Optellen als Gauss 1. We beginnen met een makkelijke opdracht ter introductie. Als je alle ogen van een dobbelsteen bij elkaar optelt, hoeveel ogen heb je dan? Schrijf de som hieronder op: = 2. Elke dobbelsteen is op dezelfde manier bedrukt met ogen. Tegenover het getal 1 staat altijd het getal 6, tegenover het getal 2 staat op een dobbelsteen altijd het getal 5 en tegenover de 3 tref je altijd de 4 aan. Je hebt waarschijnlijk het aantal ogen van de dobbelsteen uitgerekend door de volgende som uit te rekenen: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Bij een dobbelsteen is het nog betrekkelijk eenvoudig om uit te rekenen wat het totaal is. Maar stel je nu eens voor dat je de getallen van 1 tot en met 50 bij elkaar moet optellen? Dan ben je wel even bezig. Als je nu kijkt naar de dobbelsteen en je zet de getallen die bij de ogen horen op een rij en je zet de getallen die aan de andere kant van de dobbelsteen staan eronder, dan krijg je dit: 1+2+3+4+5+6 6+5+4+3+2+1 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 42 3. Omdat je nu elke kant van de dobbelsteen dubbel hebt geteld, moet je dit antwoord door 2 delen: 42 : 2 = 21. Het aantal ogen op een dobbelsteen is dus (6x7):2. Misschien zie je niet het voordeel van deze manier van het uitrekenen van de som. Dat kan. Maar wat nu als je wordt gevraagd om de getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar op te tellen? Heb je een idee hoe je dit handig kunt aanpakken? Noteer hieronder je antwoord: Carl Friedrich Gauss kreeg eens precies deze vraag voorgelegd toen hij ongeveer net zo oud was als jij. De meester die de som opgaf, dacht een tijdje rustig de krant te kunnen lezen, maar al heel snel stond Gauss voor hem met het goede antwoord. In zijn uitleg aan de meester liet Gauss zien hoe hij het had aangepakt – en let op de vergelijking met de dobbelsteen: 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1 101 + 101 + 101 + … 101 + 101 + 101 = 100 x 101 = 10.100 Daarbij heb je elk getal dubbel geteld, aldus Gauss. Dus het antwoord moet gedeeld worden door 2: 10.100 : 2 = 5.050. 26 JSW 8 april 2017 Kopieerblad 2 Nu jij… 1. Kun jij nu op de manier die Carl Friedrich Gauss gebruikte om een lange som uit te rekenen de volgende opgaven uitrekenen? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 … 196 + 197 + 198 + 199 + 200 = Stap 1: Stap 2: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 … 996 + 997 + 998 + 999 + 1.000 = Stap 1: Stap 2: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 … 999.996 + 999.997 + 999.998 + 999.999 + 1.000.000 Stap 1: Stap 2: Uiteindelijk bedacht Gauss S = 1 + S = n + Dus optellen geeft: 2S = n + 1 + En dit betekent dus: 2S = n(n + 1) de somformule om getallen bij elkaar op te tellen. Die gaat als volgt: 2 + … + n–1 + n n–1 + … + 2 + 1 n + 1 + … + n + 1 + n+1 2. Kun jij uitleggen in eigen woorden waarom je uiteindelijk deze formule kunt formuleren als je de getallen van 1 tot en met n bij elkaar moet optellen? 2S = n(n+1) en dus dat S = 1/2n(n+1). Kijk terug naar de opgaven hierboven en probeer het in je eigen woorden te beschrijven. je un k s s . gau oaden nl/ l . n e lin ow -on n 2 d w s j e 1 w. lad ww Op pieerb ko JSW 8 april 2017 27 De somformule De formule die door Carl Friedrich Gauss is geformuleerd, is afgeleid uit pagina 25 al is toegelicht, maar die formeel als volgt wordt genoteerd: S = 1 + 2 + … + n–1 S = n + n–1 + … + 2 Dus optellen geeft: 2S = n + 1 + n + 1 + … + n + 1 En dit betekent dus: 2S = n(n + 1) Dit leidt tot de volgende somformule van Gauss: de optelling die op + + n 1 + n+1 © Christian Jensen Vervolg van pagina 25 Het verhaal over Gauss op p. 25 bevestigt op enigerlei wijze de kennis van getallen die hij op driejarige leeftijd al ten toon spreidde. En het is natuurlijk mooi om te vertellen hoe zo’n ouderwetse schoolfrik in zijn hemd werd gezet door een uitermate slimme leerling. De werkbladen Als leerkracht kun je ervoor kiezen om de les te starten met het verhaal over Gauss en hoe deze zijn meester verraste met zijn snelle antwoord. Omdat we niet weten of deze gebeurtenis werkelijk heeft plaatsgevonden, is het verstandig dit er even bij te vermelden. Google is namelijk meedogenloos voor leerkrachten die goede verhalen kennen. Als je vervolgens de som op het bord schrijft en de leerlingen met elkaar laat nadenken over de vraag wat het antwoord is, dan kun je van hieruit een geleide instructie geven over de aanpak van dit probleem. Ook kun je ervoor kiezen om dobbelstenen uit te delen en leerlingen te laten bepalen wat het totaal aantal ogen van de dobbelsteen is. De meeste leerlingen komen hier vlot uit door de volgende som uit te rekenen: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Je legt vervolgens aan de leerlingen uit dat dit gemakkelijker kan. De dobbelsteen laat heel mooi zien dat er telkens twee getallen tegenover elkaar geplaatst zijn die bij elkaar opgeteld 7 zijn. Op deze manier kun je op een simpele manier de somformule uitleggen. De leerlingen kunnen meeschrijven op het kopieerblad (op p. 26), zodat ze bij die uitleg actief bezig zijn. Vervolgens kunnen nog enkele opgaven gemaakt worden waarbij het GRIMMmodel wordt gebruikt. De leerkracht controleert of de leerlingen in staat zijn om de opgaven 28 JSW 8 april 2017 Carl Friedrich Gauss zelfstandig te maken en te doorgronden wat Gauss als jonge leerling zelf had ontdekt. Brutale leerling? Een andere mogelijkheid is dat leerlingen zelf ontdekken hoe kleine Gauss dit probleem aanpakte. Via de dobbelstenen komen ze stap voor stap verder, waarbij ze uiteindelijk worden uitgedaagd om met zeer grote getallen aan de slag te gaan en erachter te komen dat dit alleen geldt voor gehele getallen. De werkbladen (op p. 26 en p. 27) kunnen dan worden gebruikt binnen het zelfstandig werken. Nog even terug naar Gauss. Zou hij die draai om zijn oren hebben gekregen, omdat hij zich een brutale leerling toonde of kwam in de oorvijg de frustratie van de leerkracht naar boven, omdat hij in Gauss zijn meerdere moest erkennen? Ik denk het laatste.
