De meting in de kwantummechanica

Universiteit Gent
Faculteit Ingenieurswetenschappen
Vakgroep
Subatomaire en stralingsfysica
Voorzitter: prof. dr. K. Heyde
De meting in de kwantummechanica
Thomas Dubois
Promotor: prof. dr. W. De Baere
Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van
burgerlijk natuurkundig ingenieur
Academiejaar 2005-2006
i
Dank aan mijn promotor, prof. dr. W. De Baere.
De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van
de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen
van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk
te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie.
ii
De meting in de kwantummechanica
Thomas Dubois
Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van
burgerlijk natuurkundig ingenieur
Academiejaar 2005-2006
Promotor: prof. dr. W. De Baere
Faculteit Ingenieurswetenschappen
Universiteit Gent
Vakgroep Subatomaire en stralingsfysica
Voorzitter: prof. dr. K. Heyde
Samenvatting
In deze scriptie wordt kwantummechanica opgebouwd in woordcombinaties die ik begrijp. In
subparagraaf 1.5.1 brengen we het begrip ervaring aan door er voorbeelden van te geven. Daarna,
in hoofdstuk 2 wordt de wiskunde van hilbertruimten nauwkeurig opgebouwd. Subparagraaf
1.5.1 en hoofdstuk 2 worden gebruikt in hoofdstuk 3, waar we kwantummechanica aanbrengen
als een bepaalde methode om bepaalde eigenschappen van toekomstige ervaringen te voorspellen
aan de hand van bepaalde eigenschappen van vroegere ervaringen. Deze methode maakt
gebruik van correspondentieregels en berekeningen. Correspondentieregels brengen ervaringen
met bepaalde eigenschappen in verband met bepaalde streepjes op een blad papier. Rekenen
wordt in deze scriptie aangebracht als het zetten van streepjes op een blad papier volgens een
bepaalde methode aan de hand van de streepjes die al op het blad papier staan. Een meting
wordt hier aangebracht als het verschijnen van een waarde op een uitleesvenster. In hoofdstuk
4 illustreren we kwantummechanica zoals hier aangebracht aan de hand van een voorbeeld. Ik
vind geen conceptuele problemen die voortkomen uit kwantummechanica zoals hier aangebracht.
Trefwoorden: kwantummechanica, meting, ervaring, correspondentieregels, hilbertruimten
Quantum Mechanics and Measurement
Thomas Dubois
Supervisor(s): prof. dr. W. De Baere
Abstract—This article is an extended abstract of [1].
Keywords— Quantum mechanics, measurement, experience, rule of
correspondence, Hilbert space
section 3.2 we introduce “to calculate” as to write some lines on
a paper according to a particular method on the basis of lines
that are already on the paper. We make use of chapter 2 when
we introduce the calculations of quantum mechanics.
I. I NTRODUCTION
U
SUALLY (non-relativistic) quantum mechanics is built up
on the basis of a few postulates (usually five) (see e.g. [2]
p. 5 for these postulates). Following mathematical terms are
used in these postulates:
– Hilbert space
– elements of Hilbert space
– linear Hermitian operators
– eigenvalues of linear Hermitian operators
– the inner product of two elements of Hilbert space
Usually the mathematics in which these terms are introduced, is
built up rather careless.
In these postulates also the following words are used:
– physical system
– state of a physical system
– physical quantity
– measurement
– probability
– time
Usually there is little or no clarification of these words.
In some books, we can find “conceptual problems” (see e.g. [3],
p. 417–445 or [4]) which follow from quantum mechanics.
In [1] quantum mechanics is built up in word combinations I
understand.
II. Q UANTUM M ECHANICS
In subsection 1.5.1 we introduce the word “experience” by
giving examples of experiences.
In chapter 2 we build up carefully the mathematics of Hilbert
space. Except for such terms as real numbers, complex numbers,
... all terms are carefully defined. For every theorem we refer
to the proof or we prove the theorem. Repeated references are
made to [3]. Axioms, definitions and theorems are numbered.
In chapter 3 quantum mechanics is built up more carefully than
usual. We introduce quantum mechanics as a particular method
for predicting particular properties of future experiences on the
basis of particular properties of past experiences. Here we make
use of the word “experience” that we introduced in subsection
1.5.1.
In section 3.1 we introduce the word combination “rule of
correspondence”. Rules of correspondence connect experiences
with particular properties with particular lines on a paper. In
In section 3.3 we introduce the method of quantum mechanics.
We make use of section 3.1 and section 3.2. This method has
the following form:
1) Build an experimental setup.
2) Apply the rules of correspondence belonging to the
experimental setup. This results in particular lines on a paper.
3) Make a particular calculation. Start from the resulting lines
from 2) and chapter 2.
4) Use rules of correspondence to connect the results of the
calculation in 3) with experiences with particular properties.
This results in the formulation of a prediction.
We don’t deduce this method because I don’t know any way
to proof that the predictions resulting from quantum mechanics
will prove mostly nearly correct. (Neither do I know any way
to proof that the predictions resulting from classical mechanics
will prove mostly nearly correct.)
In chapter 4 we give on the basis of [5] an example to illustrate
the method of chapter 3.
III. C ONCLUSIONS
I don’t find conceptual problems which follow from quantum
mechanics as is built up in [1].
In [1] the word combinations: “physical system”, “state of a
physical system”, “physical quantity” are not used. The word
“measurement” is used for the appearance of a value on a
display. The words “probability”, “time” and “electron” are not
used, but the word combinations “relative frequency of a value
in a particular column”, “look at your watch and note on a paper
what is on your watch” and “a spot on a monitor” are. The
density operator (or statistical operator) is only used as lines on
a paper which results from applying a rule of correspondence
and which you use in calculations. (The same holds for the wave
function or the state vector.)
Quantum mechanics as is built up in [1] can be applied directly.
R EFERENCES
[1] T. Dubois, De meting in de kwantummechanica, 2006
[2] M. Jammer, The Philosophy of Quantum Mechanics, Wiley, 1974.
[3] J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics,
Princeton University Press, 1955.
[4] J.A. Wheeler & W.H. Zurek, eds, Quantum Theory and Measurement,
Princeton University Press, 1983.
[5] M.D. Daybell, The New Mexico State University Stern-Gerlach Apparatus,
Am. J. Phys., 35:637-641, 1967.
Inhoudsopgave
Tabel van wiskundige symbolen
vi
Overzicht
1
1 Inleiding
1.1 Ontstaan van de kwantummechanica . . . . . . . . . .
1.2 Postulaten van de kwantummechanica . . . . . . . . .
1.3 Het meetprobleem in de kwantummechanica . . . . . .
1.3.1 Het meetprobleem in ruimere zin . . . . . . . .
1.3.2 Het meetprobleem in engere zin . . . . . . . . .
1.4 Interpretaties van de kwantummechanica . . . . . . .
1.4.1 De Kopenhagen interpretatie . . . . . . . . . .
1.4.2 Projectiepostulaat en bewustzijn . . . . . . . .
1.4.3 Veel werelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Bohm-mechanica . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Kwantummechanica zoals opgebouwd in deze scriptie .
1.5.1 Ervaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
4
5
5
5
6
7
8
9
9
9
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
15
17
19
25
29
30
30
34
39
40
42
42
2 Wiskunde van hilbertruimten
2.1 Hilbertruimten . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Orthonormale verzamelingen en gesloten
2.3 Voorbeelden van hilbertruimten . . . . .
2.4 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Projectoren . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Bracket-notatie . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Het eigenwaarde-probleem . . . . . . . .
2.7.1 Eigenwaarde-probleem 1 . . . . .
2.7.2 Eigenwaarde-probleem 2 . . . . .
2.7.3 Continue en definiete operatoren
2.7.4 Afbeeldingen van operatoren . .
2.7.5 Besluit . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Commuterende operatoren . . . . . . . .
iv
. . . . . . .
deelruimten
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
INHOUDSOPGAVE
v
2.9 Het spoor van een operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 De afgeleide van een functie van R naar R̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
45
3 Kwantummechanica
3.1 Correspondentieregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Berekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
46
51
53
4 Het New Mexico State University Stern-Gerlach apparaat als voorbeeld
57
5 Besluit
64
Appendices
A Functies
B Bewijzen bij
B.1 Bewijs 1
B.2 Bewijs 2
B.3 Bewijs 3
Bibliografie
65
hoofdstuk
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
67
68
69
71
Tabel van wiskundige symbolen
Hier een tabel van de wiskundige symbolen die gebruikt worden maar niet worden aangebracht
in de tekst:
⇒
:
⇔
:
∀
:
∃
:
∃!
:
{a, b, c}
:
{a | voorwaarde(a)} :
∈
:
∩
:
∪
:
⊂
:
A\B
:
R
C
N
Z
R+
R+
0
Rn
:
:
:
:
:
:
:
N0
[a, b]
:
:
]a, b[
:
als ... dan ...
als en slechts als
voor alle
er bestaat
er bestaat juist één
de verzameling met elementen a,b,c.
de verzameling van alle elementen a waarvoor voorwaarde(a) vervuld is.
element van
doorsnede
unie
is een deelverzameling van
verzameling van alle elementen van A die geen element zijn van B.
(met A en B verzamelingen)
de verzameling van de reële getallen
de verzameling van de complexe getallen
de verzameling met elementen 0,1,2,...
de verzameling met elementen ...,−2,−1,0,1,2,...
de verzameling van de reële getallen die groter dan of gelijk aan 0 zijn.
de verzameling van de reële getallen die groter zijn dan 0.
de verzameling van alle (r1 , ..., rn ) met r1 , ..., rn elementen van R.
(met n gelijk aan 1 of 2 of ... )
de verzameling met elementen 1,2,3,...
verzameling van alle reële getallen groter dan of gelijk aan a en kleiner
dan of gelijk aan b. (met a en b reële getallen)
verzameling van alle reële getallen groter dan a en kleiner dan b.
(met a en b reële getallen)
vi
Overzicht
Meestal wordt (niet-relativistische) kwantummechanica aangebracht aan de hand van
enkele postulaten (meestal vijf) (voor deze postulaten, zie b.v. paragraaf 1.2).
In deze postulaten komen de volgende wiskundige termen voor:
– hilbertruimte
– elementen van de hilbertruimte
– lineaire hermitische operatoren
– eigenwaarden van lineaire hermitische operatoren
– het scalair product van twee elementen van de hilbertruimte
De wiskunde waarin deze termen worden aangebracht, wordt soms nogal slordig
opgebouwd.
In deze postulaten komen ook volgende woorden voor:
– fysisch systeem
– toestand van een fysisch systeem
– fysische grootheid
– meting
– waarschijnlijkheid
– tijd
Deze woorden worden meestal weinig of niet verduidelijkt.
In sommige boeken zoals b.v. [13], p. 417–445 of [15] vindt men “conceptuele
problemen” die voortkomen uit kwantummechanica, in het bijzonder rond de meting
in de kwantummechanica. In de formulering van deze problemen komen woorden voor
als: fysisch systeem, toestand van een fysisch systeem, fysische grootheid, meting,
waarschijnlijkheid, ...
In deze scriptie zal kwantummechanica worden opgebouwd in woordcombinaties
die ik begrijp. Een woordcombinatie is een woord, een geheel van woorden, een zin of
een geheel van zinnen.
In subparagraaf 1.5.1 brengen we het begrip “ervaring” aan door er voorbeelden
van te geven. In hoofdstuk 3 zullen we hier gebruik van maken.
1
OVERZICHT
2
In hoofdstuk 2 bouwen we de wiskunde van hilbertruimten nauwkeurig op. In
hoofdstuk 3 en hoofdstuk 4 zullen we hier gebruik van maken. Sommige termen worden
als gekend verondersteld (zoals b.v. de verzameling van de complexe getallen). Alle
andere termen worden nauwkeurig gedefinieerd. Bij elke stelling geven we aan waar we
het bewijs kunnen vinden of geven we het bewijs. Voor veel van de bewijzen verwijzen
we naar [13]. Axioma’s, definities en stellingen worden genummerd. Bij definities geven
we bovenaan tussen haakjes aan, welke de nieuwe termen zijn die worden ingevoerd.
In hoofdstuk 3 wordt kwantummechanica aangebracht op een meer nauwkeurige manier
dan meestal het geval is, in woordcombinaties die ik begrijp. Kwantummechanica wordt
aangebracht als een bepaalde methode om bepaalde eigenschappen van toekomstige
ervaringen te voorspellen aan de hand van bepaalde eigenschappen van vroegere
ervaringen. Deze methode wordt uiteengezet in hoofdstuk 3. Deze methode wordt
hier nergens afgeleid, aangezien ik geen enkele manier ken om aan te tonen dat de
voorspellingen verkregen door kwantummechanica toe te passen, meestal ongeveer
uitkomen. (Ik ken ook geen enkele manier om aan te tonen dat de voorspellingen
verkregen door klassieke mechanica toe te passen, meestal ongeveer uitkomen.)
In hoofdstuk 4 illustreren we de methode van hoofdstuk 3 met een voorbeeld.
doen we aan de hand van [3].
Dit
Woordcombinaties worden vet gedrukt op de plaats waar ze worden aangebracht.
Nadat ze zijn aangebracht, zullen ze dan ook enkel worden gebruikt in de betekenis
waarin ze zijn aangebracht.
Hoofdstuk 1
Inleiding
In de paragrafen 1.1, 1.2, 1.3 en 1.4 van dit hoofdstuk komen woordcombinaties voor die
ik niet begrijp. Voor de paragrafen 1.1, 1.2, 1.3 en 1.4 van dit hoofdstuk werd o.a. gebruik
gemaakt van [4], [7], [8], [12] en [14].
1.1
Ontstaan van de kwantummechanica
Hieronder wordt in tabelvorm een overzicht gegeven van het ontstaan van de
kwantummechanica:
1900 Planck
Planck leidt een formule af voor de spectrale
distributie van een zwarte straler, hiervoor maakt hij
gebruik van energie-kwantisatie.
1905 Einstein
Einstein maakt gebruik van kwantisatie van
elektromagnetische straling bij zijn behandeling
van het foto-elektrisch effect.
1913 Bohr
atoommodel van Bohr
De vorige drie rijen in deze tabel worden soms tot de “oude kwantumtheorie” gerekend,
de volgende drie rijen worden soms tot de “nieuwe kwantumtheorie” gerekend.
1926 Born, Heisenberg, Jordan matrixmechanica
1926 Schrödinger
golfmechanica
1926 Dirac
kwantumalgebra
1926 Born
waarschijnlijkheidsinterpretatie van de golffunctie
1927 Heisenberg
onbepaaldheidsrelaties
1927 Bohr
Bohr geeft een lezing op het internationale congres over
fysica in Como. [2] is een uitwerking van deze lezing.
(vroege versie van de Kopenhagen interpretatie)
1927
5de Solvay congres
1930
6de Solvay congres
3
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
4
Tijdens het 5de en 6de Solvay congres in Brussel werd er tussen de officiële sessies in
(o.a. door Bohr en Einstein) gesproken over de interpretatie van de kwantummechanica.
In [1] doet Bohr een verslag van zijn gesprekken met Einstein.
1930 Dirac
Kwantummechanica wordt opgebouwd door Dirac in
het boek “The Principles of Quantum Mechanics”. [5]
is een latere editie van dit boek.
1932 von Neumann
Kwantummechanica wordt opgebouwd door von
Neumann in het boek “Mathematische Grundlagen
der Quantenmechanik”, hierbij wordt gebruik gemaakt
van hilbertruimten. [13] is een vertaling van dit boek.
1935 Einstein, Podolsky, Rosen “EPR-paradox” (zie [6])
1935 Schrödinger
“kat-paradox” (zie [15], p. 157)
1.2
Postulaten van de kwantummechanica
In deze paragraaf worden de postulaten van de kwantummechanica gegeven in het
geval het spectrum van A discreet is, de postulaten worden gegeven in termen van de
toestandsvector (niet in termen van de dichtheidsoperator).
In deze paragraaf geldt dat de lineaire hermitische operator A volgende spectrale
decompositie heeft:
A = a1 Pa1 + a2 Pa2 + ...
(1.1)
met Pa1 , Pa2 , ... projectie-operatoren en a1 , a2 , ... de verschillende eigenwaarden van A
Postulaat 1
• Met ieder fysisch systeem correspondeert een hilbertruimte R.
• Op elk tijdstip t correspondeert de toestand van een fysisch systeem met een element
ψ(t) van R met norm 1. ψ(t) noemen we de toestandsvector.
Postulaat 2
Met iedere fysische grootheid correspondeert een lineaire hermitische operator A. (A is
een functie van R naar R.)
Postulaat 3 (meetpostulaat)
• Bij meting van de fysische grootheid die correspondeert met de lineaire hermitische
operator A, zijn de mogelijke meetuitkomsten de eigenwaarden van A.
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
5
• De waarschijnlijkheid om op tijdstip t bij meting van de fysische grootheid die
correspondeert met de lineaire hermitische operator A, de eigenwaarde ai van A
uit te komen, is:
hψ(t), Pai ψ(t)i
(1.2)
Postulaat 4
Als er geen metingen worden gedaan, voldoet de toestandsvector ψ(t) aan:
i~
∂
ψ(t) = H(t)ψ(t)
∂t
(1.3)
met H(t) een lineaire hermitische operator die we de hamiltoniaan van het fysisch
systeem noemen. (1.3) wordt de tijdsafhankelijke schrödingervergelijking genoemd.
Postulaat 5 (projectiepostulaat)
Als de toestand van het fysisch systeem juist voor de meting correspondeert met ψ(tvoor )
en als de meetuitkomst van de meting van de fysische grootheid die correspondeert met A
de eigenwaarde ai van A is, dan correspondeert de toestand van het fysisch systeem juist
na de meting met
Pai ψ(tvoor )
(1.4)
hψ(tvoor ), Pai ψ(tvoor )i
1.3
1.3.1
Het meetprobleem in de kwantummechanica
Het meetprobleem in ruimere zin
In wat volgt, is fysisch systeem 1 een fysisch systeem en noemen we fysisch systeem 1
en het meettoestel “fysisch systeem 2”.
1) Als we de postulaten van paragraaf 1.2 toepassen met fysisch systeem 1 als
fysisch systeem (in dit geval noemen we de toestandsvector “toestandsvector 1”), dan
voldoet toestandsvector 1 aan de tijdsafhankelijke schrödingervergelijking als er geen
meting wordt gedaan en voldoet toestandsvector 1 aan het projectiepostulaat bij meting.
2) Als we de postulaten van paragraaf 1.2 toepassen met fysisch systeem 2 als
fysisch systeem (in dit geval noemen we de toestandsvector “toestandsvector 2”), dan
voldoet toestandsvector 2 aan de tijdsafhankelijke schrödingervergelijking.
Dat er achter 1) en 2) een verschillende tekst staat, zien sommigen als een probleem en
wordt soms “het meetprobleem in ruimere zin” genoemd.
1.3.2
Het meetprobleem in engere zin
In wat volgt, geldt:
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
6
• A: de lineaire hermitische operator die correspondeert met een fysische grootheid
(die we “fysische grootheid 1” noemen) van fysisch systeem 1.
• B: de lineaire hermitische operator die correspondeert met de fysische grootheid “de
stand van de wijzer van het meettoestel dat fysische grootheid 1 meet”.
• |a1 i en |a2 i zijn eigenvectoren van A , ze zijn elementen van de hilbertruimte die
correspondeert met fysisch systeem 1. (In deze paragraaf gebruiken we bracketnotatie)
• |b1 i en |b2 i zijn eigenvectoren van B , ze zijn elementen van de hilbertruimte die
correspondeert met het meettoestel.
1) Als we de postulaten van paragraaf 1.2 toepassen met fysisch systeem 1 als fysisch
systeem en als de toestandsvector van fysisch systeem 1 juist voor de meting gelijk is aan:
c1 |a1 i + c2 |a2 i
(1.5)
dan wordt wegens het meetpostulaat en het projectiepostulaat de toestandsvector van
fysisch systeem 1 juist na de meting |a1 i of |a2 i: |a1 i met waarschijnlijkheid |c1 |2 , |a2 i
met waarschijnlijkheid |c2 |2 .
2) Als we de postulaten van paragraaf 1.2 toepassen met fysisch systeem 2 als
fysisch systeem en als de toestandsvector van fysisch systeem 2 juist voor de meting
gelijk is aan:
(c1 |a1 i + c2 |a2 i) |b0 i
(1.6)
(met |b0 i een element van de hilbertruimte die correspondeert met het meettoestel), dan
is de toestandsvector van fysisch systeem 2 juist na de meting volgens sommigen van de
vorm:
c1 |a1 i |b1 i + c2 |a2 i |b2 i
(1.7)
Dat (1.7) verschillend is van: “|a1 i |b1 i met waarschijnlijkheid |c1 |2 , |a2 i |b2 i met
waarschijnlijkheid |c2 |2 ” zien sommigen als een probleem en wordt soms “het
meetprobleem in engere zin” genoemd.
1.4
Interpretaties van de kwantummechanica
De wiskunde van hilbertruimten en de postulaten van de kwantummechanica worden soms
“het formalisme van de kwantummechanica” genoemd. Het in verband brengen
van het formalisme van de kwantummechanica met handelingen in het laboratorium
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
7
wordt partiële interpretatie van het formalisme van de kwantummechanica
genoemd.
We spreken van “interpretaties van de kwantummechanica” in de volgende
gevallen:
• er worden aan een partiële interpretatie van het
kwantummechanica “unificerende principes” toegevoegd
formalisme
van
de
• er worden aan een partiële interpretatie
kwantummechanica “beelden” toegevoegd
formalisme
van
de
van
het
• aan de hand van een “beeld” wordt het formalisme van de kwantummechanica
gewijzigd
Hieronder worden enkele interpretaties van de kwantummechanica kort besproken.
1.4.1
De Kopenhagen interpretatie
De naam “Kopenhagen interpretatie” verwijst naar een groep van min of meer
gelijkaardige interpretaties waaronder de uitspraken en artikels van Bohr. We sommen
enkele kenmerken van deze interpretatie op:
• er wordt geen “beeld” toegevoegd:
niets in het formalisme van de kwantummechanica wordt in verband gebracht met
punten in het ruimte-tijd continuüm
• kwantummechanica is “inherent probabilistisch”:
meer gedetailleerde voorspellingen voor meetresultaten worden onmogelijk geacht
• kwantummechanica is “compleet”:
kwantummechanica kan niet onderbouwd worden door een meer gedetailleerde
theorie
• de golffunctie wordt gezien als een middel om voorspellingen te maken over
meetresultaten
• gebruik van het begrip “complementariteit”:
complementariteit wordt o.a. gebruikt om uit te drukken dat sommige fysische
grootheden (zoals b.v. plaats en impuls) horen bij verschillende experimentele
situaties, ze kunnen niet in eenzelfde experiment gemeten worden
• de resultaten van experimenten worden uitgedrukt in termen van de klassieke fysica:
zo schrijft Bohr in [1], p. 17:
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
8
“however far the phenomena transcend the scope of classical physical explanation,
the account of all evidence must be expressed in classical terms. The argument
is simply that by the word “experiment” we refer to a situation where we can
tell others what we have done and what we have learned and that, therefore, the
account of the experimental arrangement and of the results of the observations must
be expressed in unambiguous language with suitable application of the terminology
of classical physics.”
1.4.2
Projectiepostulaat en bewustzijn
In deze subparagraaf bespreken we een interpretatie die o.a. te vinden is in [13], hoofdstuk
VI. We sommen enkele kenmerken van deze interpretatie op:
• Als een waarnemer zich bewust wordt van een meetresultaat, hebben we projectie
van de toestandsvector volgens het projectiepostulaat. Als dit niet het geval is,
voldoet de toestandsvector aan de tijdsafhankelijke schrödingervergelijking.
• Bij het toepassen van de postulaten van de kwantummechanica kunnen we kiezen
wat we het fysisch systeem noemen:
– fysisch systeem 1 (zie paragraaf 1.3)
– fysisch systeem 1 en het meettoestel
– fysisch systeem 1 en het meettoestel en het licht dat reflecteert op het
uitleesvenster van het meettoestel, en het oog van de waarnemer
– fysisch systeem 1 en het meettoestel en het licht dat reflecteert op het
uitleesvenster van het meettoestel, en het lichaam van de waarnemer
welke keuze we hier ook maken, als de waarnemer zich bewust wordt van
het meetresultaat, hebben we projectie van de toestandsvector volgens het
projectiepostulaat.
Toegepast op subparagraaf 1.3.2 zou dit het volgende geven:
In geval 1) is de toestandsvector juist na dat de waarnemer zich bewust is van het
meetresultaat: |a1 i of |a2 i (afhankelijk van het meetresultaat).
In geval 2) is de toestandsvector juist na dat de waarnemer zich bewust is van het
meetresultaat: |a1 i |b1 i of |a2 i |b2 i (afhankelijk van het meetresultaat).
De waarschijnlijkheden die horen bij de mogelijke meetresultaten zijn in geval 1) en geval
2) gelijk: |c1 |2 en |c2 |2
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
1.4.3
9
Veel werelden
Enkele kenmerken van deze interpretatie:
• Het projectiepostulaat wordt weggelaten. De toestandsvector voldoet altijd aan de
tijdsafhankelijke schrödingervergelijking.
• Er wordt over de toestandsvector van het universum gesproken (binnen deze
interpretatie gebruikt men soms het woord “multiversum”).
• Tijdens een meting splitst het “multiversum” in verschillende takken. Alle mogelijke
meetuitkomsten worden bekomen, maar in verschillende takken. De termen in (1.7)
horen bij verschillende takken.
1.4.4
Bohm-mechanica
Enkele kenmerken van deze interpretatie:
• Er wordt het beeld toegevoegd van punten in het ruimte-tijd continuüm.
• Er wordt gebruik gemaakt van een “niet-lokale” “kwantumpotentiaal”.
• Het projectiepostulaat wordt weggelaten.
1.5
Kwantummechanica zoals opgebouwd in deze scriptie
In de paragrafen 1.1, 1.2, 1.3 en 1.4 komen woordcombinaties voor die ik niet begrijp.
In subparagraaf 1.5.1, hoofdstuk 2, hoofdstuk 3 en hoofdstuk 4 wordt een methode
aangebracht in woordcombinaties die ik begrijp. Voor een overzicht hiervan zie p. 1–2.
In subparagraaf 1.5.1 wordt het begrip “ervaring” aangebracht. Voorbeelden van
het gebruik hiervan in hoofdstuk 3 zijn o.a.: “het verschijnen van een waarde op een
uitleesvenster”, “het bouwen van een experimentele opstelling”, ...
1.5.1
Ervaring
Het doel van deze subparagraaf is om het begrip “ervaring” zo duidelijk mogelijk te
maken. Dit doe ik door voorbeelden te geven van ervaringen die ik reeds gehad heb:
– zien van een groene vlek op een witte achtergrond
– zien van een vallende appel
– horen van een luide knal
– iets zachts voelen
– ruiken van appelgeur
– smaken van een appelsmaak
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
een pijnscheut voelen
warmte voelen
koude voelen
honger hebben
dorst hebben
kitteling voelen
blij zijn
geı̈nteresseerd zijn
een beeld oproepen van een appel
herinneren van de smaak van de appel die ik gisteren at
willen bewegen van mijn vinger
bedenken van een wiskundig bewijs
verwachten dat een appel naar appel smaakt als ik er in bijt
bepaalde combinaties van de voorgaande lijst.
10
Hoofdstuk 2
Wiskunde van hilbertruimten
2.1
Hilbertruimten
Het woord “definitie” wordt hier gebruikt om aan te duiden dat er een nieuwe term
wordt ingevoerd door deze in verband te brengen met reeds gekende termen. Het woord
“axioma” wordt hier gebruikt om aan te duiden dat er een verband wordt gegeven
tussen nieuwe termen en reeds gekende termen. “Stelling” wordt gebruikt voor een
verband tussen reeds gekende termen dat kan worden afgeleid (volgens de manier van
afleiden die gebruikelijk is in de wiskunde) uit de hier gegeven definities en axioma’s en
uit zaken die verondersteld worden reeds gekend te zijn.
R is een verzameling. R is de verzameling van de reële getallen met bijbehorende
√
bewerkingen (optelling, vermenigvuldiging, ..., ...) en begrippen (<, >, ...) die als
gekend worden verondersteld. C is de verzameling van de complexe getallen met de
bijbehorende bewerkingen (optelling, vermenigvuldiging, complex toegevoegde, |...|, ...)
die ook als gekend worden verondersteld.
In wat volgt zullen we elementen van R meestal noteren als f, g, ..., φ, ψ, ...
complexe getallen meestal als a, b, ..., x, y, ...
en
Axioma 1
∀f, g ∈ R : f + g ∈ R
(2.1)
∀f ∈ R; ∀a ∈ C : af ∈ R
(2.2)
∀f, g ∈ R : f + g = g + f
(2.3)
∀f, g, h ∈ R : (f + g) + h = f + (g + h)
(2.4)
Axioma 2
Axioma 3
Axioma 4
11
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
12
Axioma 5
∀f ∈ R; ∀a, b ∈ C : (a + b)f = af + bf
(2.5)
∀f, g ∈ R; ∀a ∈ C : a(f + g) = af + ag
(2.6)
∀f ∈ R; ∀a, b ∈ C : (ab)f = a(bf )
(2.7)
∀f ∈ R; ∃0 ∈ R : 0f = 0
(2.8)
Axioma 6
Axioma 7
Axioma 8
0 is een complex getal. In het vervolg zal 0 ook als 0 genoteerd worden. De relaties zijn
zo, dat dit niet tot verwarring leidt.
Axioma 9
∀f ∈ R : 1f = f
(2.9)
∀f ∈ R : −f = (−1)f
(2.10)
∀f, g ∈ R : f − g = f + (−g)
(2.11)
Definitie 1 (−f, f − g)
Bij een definitie noteren we bovenaan tussen ronde haakjes de nieuwe termen die worden
ingevoerd.
Definitie 2 (f1 + f2 + ... + fk )
Als k ∈ N \ {0, 1, 2}; f1 , ..., fk ∈ R, dan:
• f1 + f2 + ... + fk = (...(f1 + f2 ) + ...) + fk
Definitie 3 (lineair onafhankelijk)
Als k ∈ N0 ; f1 , ..., fk ∈ R; a1 , ..., ak ∈ C, dan:
• f1 , ..., fk zijn lineair onafhankelijk ⇔ (a1 f1 + ... + ak fk = 0 ⇒ a1 = ... = ak = 0)
Definitie 4 (deelruimte, (A), deelruimte voortgebracht door A)
Als M, A ⊂ R, dan:
• M is een deelruimte ⇔ (∀k ∈ N0 ; ∀f1 , ..., fk ∈ M; ∀a1 , ..., ak ∈ C : a1 f1 + ... + ak fk ∈
M)
• (A) = {a1 f1 + ... + ak fk | f1 , ..., fk ∈ A en a1 , ..., ak ∈ C en k ∈ N0 }
• De deelruimte voortgebracht door A is (A).
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
13
Axioma 10
∀f, g ∈ R : hf, gi ∈ C
(2.12)
∀f, g, h ∈ R : hf + g, hi = hf, hi + hg, hi
(2.13)
∀f, g ∈ R; ∀a ∈ C : hf, agi = a hf, gi
(2.14)
∀f, g ∈ R : hf, gi = hg, f i
(2.15)
Axioma 11
Axioma 12
Axioma 13
Het complex toegevoegde van een compex getal a wordt genoteerd als a.
Axioma 14
∀f ∈ R : hf, f i ≥ 0
(2.16)
Axioma 15
∀f ∈ R :
hf, f i = 0 ⇔ f = 0
(2.17)
Definitie 5 (k...k, norm, afstand)
Als f, g ∈ R, dan:
p
• kf k = hf, f i
• De norm van f is kf k.
• De afstand tussen f en g is kf − gk.
Stelling 1
∀f, g ∈ R : | hf, gi | ≤ kf k.kgk
(2.18)
De bewijzen van de stellingen in dit hoofdstuk zijn (behalve waar aangeduid) te vinden in
“Mathematical Foundations of Quantum Mechanics” van J. von Neumann [13] p. 34–230.
Stelling 2
∀f, g ∈ R; ∀a ∈ C :
• kf k ≥ 0
• kf k = 0 ⇔ f = 0
• kaf k = |a|.kf k
• kf + gk ≤ kf k + kgk
• kf + gk = kf k + kgk ⇔ (g = 0 of ∃r ∈ R+ : f = rg)
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
14
Definitie 6 (continu, continu, continu, continu, begrensd, begrensd)
Als F een afbeelding is van A naar R; G een afbeelding is van A naar C; B ⊂ A; A ⊂ R;
f0 ∈ A, dan:
• F is continu in f0 ⇔
+
∀ ∈ R+
0 ; ∃δ ∈ R0 : (f ∈ A en kf − f0 k < δ) ⇒ kF (f ) − F (f0 )k < • G is continu in f0 ⇔
+
∀ ∈ R+
0 ; ∃δ ∈ R0 : (f ∈ A en kf − f0 k < δ) ⇒ |F (f ) − F (f0 )| < • F is continu ⇔ ∀f ∈ A : F is continu in f.
• G is continu ⇔ ∀f ∈ A : G is continu in f.
• F is begrensd in B ⇔ ∃C ∈ R; ∀f ∈ B : kF (f )k ≤ C
• G is begrensd in B ⇔ ∃C ∈ R; ∀f ∈ B : |G(f )| ≤ C
Voor afbeeldingen met meerdere variabelen gelden analoge definities. Voor de definitie
van afbeelding: zie appendix A.
Definitie 7 (convergeren, limiet)
Als f, f1 , f2 , ... ∈ R, dan:
• De rij f1 , f2 , ... convergeert naar f ⇔ de rij kf1 − f k, kf2 − f k, ... convergeert naar
0.
• f is de limiet van de rij f1 , f2 , ... ⇔ de rij f1 , f2 , ... convergeert naar f.
De convergentie van een rij van reële getallen wordt als een gekend begrip verondersteld.
Definitie 8 (limietpunt, gesloten, overal dicht)
Als A ⊂ R; f, f1 , f2 , ... ∈ R, dan:
• f is een limietpunt van A ⇔ ∃f1 , f2 , ... ∈ A : f is de limiet van de rij f1 , f2 , ...
• A is gesloten ⇔ alle limietpunten van A zijn elementen van A.
• A is overal dicht in R ⇔ de verzameling van alle limietpunten van A is R.
Axioma 16 n ∈ N
n) Er zijn n lineair onafhankelijke elementen in R, maar geen n+1.
∞) ∀m ∈ N; ∃M ∈ N; M > m; ∃f1 , ..., fM ∈ R : f1 , ..., fM zijn lineair onafhankelijk.
Van axioma 16 laten we ofwel n) voor één bepaalde n ofwel ∞) gelden. In het geval dat
n) geldt, noteren we R ook als Rn , in het geval dat ∞) geldt, noteren we R ook als R∞ .
Als het in wat volgt een verschil maakt of axioma 16 n) of axioma 16 ∞) geldt, zullen we
dit vermelden.
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
15
Axioma 17 (R is volledig)
f1 , f2 , ... ∈ R, dan:
• (∀ ∈ R+
0 ; ∃N ∈ N0 ; ∀m, n ∈ N0 ; m, n ≥ N : kfm − fn k < ) ⇒ de limiet van de rij
f1 , f2 , ... is een element van R.
Definitie 9 (eindige verzameling, oneindige verzameling, aftelbare verzameling)
Als A en B verzamelingen zijn, dan:
• A is eindig ⇔ ∃n ∈ N: het aantal elementen van A is n.
• A is oneindig ⇔ ∀n ∈ N; ∃B ⊂ A : het aantal elementen van B > n.
• A is aftelbaar ⇔ er een bijectie bestaat tussen A en een deelverzameling van N.
Voor de definitie van bijectie: zie appendix A.
Axioma 18 (R is separabel)
Er bestaat een aftelbare deelverzameling van R die overal dicht is in R.
Axioma’s 1 t.e.m. 18 leggen verbanden tussen de nieuwe termen R, af , f + g, hf, gi
en reeds gekende termen. Axioma’s 1 t.e.m. 18 met axioma 16 n) vatten we samen
als “Rn met bijbehorende bewerkingen is een n-dimensionale hilbertruimte”,
axioma’s 1 t.e.m. 18 met axioma 16 ∞) vatten we samen als “R∞ met bijbehorende
bewerkingen is een oneindig-dimensionale hilbertruimte”. De bijbehorende
bewerkingen worden “scalaire vermenigvuldiging” (af ), “optelling” (f + g) en “scalair
product” (hf, gi) genoemd.
In het geval axioma 16 n) geldt, kunnen axioma 17 en 18 uit de andere axioma’s
worden afgeleid. In het geval axioma 16 ∞) geldt, kunnen axioma 17 en 18 niet uit de
andere axioma’s worden afgeleid.
2.2
Orthonormale verzamelingen en gesloten deelruimten
Definitie 10 (⊥, orthogonaal, ⊥, orthogonaal, orthonormale verzameling,
complete orthonormale verzameling)
Als f, g ∈ R; M, N deelruimten zijn; D ⊂ R, dan:
• f ⊥g ⇔ hf, gi = 0
• f en g zijn orthogonaal ⇔ f ⊥g
• M⊥N ⇔ ∀f ∈ M; ∀g ∈ N : hf, gi = 0
• M en N zijn orthogonaal ⇔ M⊥N
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
16
• D is een orthonormale verzameling ⇔ ∀f, g ∈ D; f 6= g : hf, f i = 1 en hf, gi = 0
• D is een complete orthonormale verzameling ⇔ ((D is een orthonormale
verzameling) en (voor elke orthonormale verzameling E ⊂ R geldt:
D ⊂ E ⇒ D = E))
Definitie 11 (gesloten deelruimte, [A], gesloten deelruimte voortgebracht
door A, [f, g, ...])
Als A ⊂ R; g, h, ... ∈ R, dan:
• Een gesloten deelruimte is een deelruimte die gesloten is.
• [A] = (A) ∪ {f | f is een limietpunt van (A)}
• De gesloten deelruimte voortgebracht door A is [A]
• [g, h, ...] = [ {g, h, ...} ]
In het geval dat axioma 16 n) geldt, is [A] gelijk aan (A). Elke deelruimte is dan gesloten.
In het geval axioma 16 ∞) geldt, is dit niet het geval. Als A = {f1 , f2 , ...} een oneindige
deelverzameling van R∞ is, als a1 , a2 , ... complexe getallen zijn en als de limiet van de rij
∞
P
a1 f1 , a1 f1 + a2 f2 , ... (genoteerd als
aν fν ) bestaat, dan behoort deze tot [A] maar niet
ν=1
noodzakelijk tot (A).
Stelling 3
n) Elke orthonormale verzameling heeft ten hoogste n elementen en ze is compleet als en
slechts als ze n elementen heeft.
∞) Elke orthonormale verzameling is aftelbaar. Een orthonormale verzameling D is
compleet ⇒ D is oneindig.
Stelling 3 n) geldt als axioma 16 n) geldt, stelling 3 ∞) geldt als axioma 16 ∞) geldt.
Stelling 4 t.e.m. 8 gelden voor zover ze gaan over convergentie enkel in het geval
axioma 16 ∞) geldt en {φ1 , φ2 , ...} een oneindige verzameling is:
Stelling 4
Als {φ1 , φ2 , ...} ⊂ R een orthonormale verzameling is; f, g ∈ R, dan:
P
•
ν | hf, φν i hφν , gi | is convergent.
P
2
2
•
ν | hf, φν i | ≤ kf k
Waarbij
P
ν
(in stelling 4 t.e.m. 8) staat voor
∞
P
ν=1
resp.
k
P
als {φ1 , φ2 , ...} een oneindige
ν=1
verzameling is resp. een eindige verzameling is met k elementen.
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
17
Stelling 5
Als {φ1 , φ2 , ...} ⊂ R een orthonormale verzameling is; x1 , x2 , ... ∈ C, dan:
P
P
2
•
ν xν φν convergeert ⇔
ν |xν | convergeert.
Stelling 6
Als {φ1 , φ2 , ...} ⊂ R een orthonormale verzameling is, dan:
P
• ∀f ∈ R; ∀x1 , x2 , ... ∈ C : (f = ν xν φν ⇒ xν = hφν , f i)
Stelling 7
Als {φ1 , φ2 , ...} ⊂ R een orthonormale verzameling is, dan:
P
• ∀f ∈ R : ν hφν , f i φν is convergent.
P
• ∀f ∈ R; ∀φ ∈ {φ1 , φ2 , ...} : f − ν hφν , f i φν is orthogonaal met φ.
Stelling 8
Als φ1 , φ2 , ... ∈ R, dan:
• {φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling
⇔ [φ1 , φ2 , ...] = R
P
⇔ ∀f ∈ R : ν hφν , f i φν = f
P
⇔ ∀f, g ∈ R : ν hf, φν i hφν , gi = hf, gi
Stelling 9
Als A ⊂ R een aftelbare verzameling is; D ⊂ R een orthonormale verzameling is, dan:
• ∀A; ∃D : (D) = (A)
Stelling 10
Als M een gesloten deelruimte is; D ⊂ R een orthonormale verzameling is, dan:
• ∀M; ∃D : [D] = M
2.3
Voorbeelden van hilbertruimten
Definitie 12 (l2 (n), l2 (∞)) n ∈ N0 ;
l2 (n) = {(x
1 , ..., xn ) | x1 , ..., xn ∈ C}
2
l (∞) =
(x1 , x2 , ...) | x1 , x2 , ... ∈ C en
∞
P
2
|xν | ∈ C
ν=1
Stelling 11
Als n ∈ N0 ; a ∈ C; x1 , ..., xn , y1 , ..., yn ∈ C, dan:
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
18
• l2 (n) met de bewerkingen a(x1 , ..., xn ) = (ax1 , ..., axn ), (x1 , ..., xn ) + (y1 , ..., yn ) =
n
P
yν xν is een n-dimensionale
(x1 + y1 , ..., xn + yn ) , h(y1 , ..., yn ), (x1 , ..., xn )i =
ν=1
hilbertruimte.
Stelling 12
Als a ∈ C; x1 , x2 , ..., y1 , y2 , ... ∈ C, dan:
• l2 (∞) met de bewerkingen a(x1 , x2 , ...) = (ax1 , ax2 , ...), (x1 , x2 , ...) + (y1 , y2 , ...) =
∞
P
(x1 +y2 , xn +y2 , ...) , h(y1 , y2 , ...), (x1 , x2 , ...)i =
yν xν is een oneindig-dimensionale
ν=1
hilbertruimte.
Stelling 13
Als {φ1 , φ2 , ...} ⊂ R∞ een complete orthonormale verzameling is; F een afbeelding van
R∞ naar l2 (∞) die f afbeeldt op (hφ1 , f i , hφ2 , f i , ...), dan:
• F is een bijectie tussen R∞ en l2 (∞).
• ∀f, g ∈ R∞ : F (f + g) = F (f ) + F (g)
• ∀f ∈ R∞ ; ∀a ∈ C : F (af ) = aF (f )
• ∀f, g ∈ R∞ : hf, gi = hF (f ), F (g)i
Een analoge stelling geldt voor Rn en l2 (n).
In volgende stelling is Ω: Rn (n ∈ N0 ) of een deelverzameling hiervan zoals een
halfruimte, het binnenvolume van een kubus, het binnenvolume van een bol, het
buitenvolume van een kubus, het buitenvolume van een bol of een gekromd oppervlak
zoals het oppervlak van een bol,...
Stelling 14
Als A de verzameling is van de afbeeldingen f van Ω naar C waarvoor geldt
R
|f (x1 , ..., xn )|2 dx1 ...dxn ∈ R+ ; f, g ∈ A; a ∈ C; (x1 , ..., xn ) ∈ Ω, dan:
Ω
• De verzameling A met de bewerkingen (f +g)(x1 , ..., xn ) = f (x1 , ..., xn )+g(x1 , ..., xn ),
R
(af )(x1 , ..., xn ) = a(f (x1 , ..., xn )) en hg, f i = g(x1 , ..., xn )f (x1 , ..., xn )dx1 ...dxn
Ω
R
en de afspraak dat we f = g noteren als en slechts als
|f (x1 , ..., xn ) −
Ω
g(x1 , ..., xn )|2 dx1 ...dxn = 0, is een oneindig-dimensionale hilbertruimte.
Laatste stelling is slordig geformuleerd omdat we niet vermelden welke definitie van
integraal we gebruiken. Voor een exactere formulering en het bewijs van deze stelling
verwijzen we naar [9] p. 103–115.
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
2.4
19
Operatoren
Voor de definitie van functie, het domein van een functie, het bereik van een functie,
gelijkheid van functies, ...: zie appendix A.
Definitie 13 (operator)
• R is een operator ⇔ R is een functie van R naar R.
Operatoren zullen we meestal voorstellen door hoofdletters. (Niet enkel operatoren stellen
we voor door hoofdletters.)
Definitie 14 (Rf )
Als R een operator is; f ∈ dom(R); g ∈ R, dan:
• Rf = g ⇔ (f, g) ∈ R
Definitie 15 (R1 + R2 + ... + Rn , R − S, aR, R1 R2 ...Rn )
Als R,S,R1 , R2 , ..., Rn operatoren zijn; a ∈ C; n ∈ {2, 3, 4, ...}, dan:
• R1 + R2 + ... + Rn is de operator waarvoor geldt: dom(R1 + R2 + ... + Rn ) =
dom(R1 ) ∩ dom(R2 ) ∩ ... ∩ dom(Rn ) en
∀f ∈ dom(R1 + R2 + ... + Rn ) : (R1 + R2 + ... + Rn )f = R1 f + R2 f + ... + Rn f (2.19)
• R − S is de operator waarvoor geldt: dom(R − S) = dom(R) ∩ dom(S) en
∀f ∈ dom(R − S) : (R − S)f = Rf − Sf
(2.20)
• aR is de operator waarvoor geldt: dom(aR) = dom(R) en
∀f ∈ dom(aR) : (aR)f = a(Rf )
(2.21)
• R1 R2 ...Rn is de operator waarvoor geldt: dom(R1 R2 ...Rn ) =
{f | f ∈ dom(R1 ) en R1 f ∈ dom(R2 ) en ... en R1 (R2 (...(Rn−1 f )...)) ∈ dom(Rn )}
en
∀f ∈ dom(R1 R2 ...Rn ) : (R1 R2 ...Rn )f = R1 (R2 (...(Rn f )...))
(2.22)
Definitie 16 (
∞
P
Aν )
ν=1
Als A1 en A2 en ... operatoren zijn, dan:
•
∞
P
Aν is de operator waarvoor geldt:
ν=1
∗ f ∈ dom(
∞
P
Aν ) ⇔ (f ∈ dom(A1 ) ∩ dom(A2 ) ∩ ... en de rij A1 f, A1 f + A2 f, ...
ν=1
convergeert naar een element van R)
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
∗ ∀f ∈ dom(
∞
P
Aν ) : (
ν=1
∞
P
Aν )f =
ν=1
∞
P
20
(Aν f )
ν=1
Een complex getal a kunnen we beschouwen als een operator met domein R die elk element
f van R afbeeldt op af .
Definitie 17 (R ∼
= S)
Als R,S operatoren zijn, dan:
• R∼
= S ⇔ ∀f ∈ dom(R) ∩ dom(S) : Rf = Sf
Uit appendix A volgt dat: R = S ⇔ (dom(R) = dom(S) en ∀f ∈ dom(R) : Rf = Sf ).
Hieruit volgt dat 0R = 0 enkel geldt voor een operator R met domein R. 0R ∼
= 0 geldt
echter voor alle operatoren.
Definitie 18 (R0 , R1 , R2 , R3 , ...)
Als R een operator is, dan:
• R0 ,R1 ,R2 ,R3 ,... zijn de operatoren waarvoor geldt: R0 = 1, R1 = R, R2 = RR,
R3 = RRR, ...
Definitie 19 (R heeft een inverse, R−1 , de inverse van R)
Een operator R heeft een inverse ⇔ R een operator is die een bijectie is tussen
zijn domein en zijn bereik. In dit geval geldt:
• R−1 is de operator waarvoor geldt: dom(R−1 ) is het bereik van R en
∀f ∈ dom(R−1 ) : R−1 f = g ⇔ Rg = f
(2.23)
• De inverse van R is de operator R−1 .
Stelling 15
Als R een operator is die een inverse heeft; S een operator is die een inverse heeft; a ∈ C;
a 6= 0, dan:
• RS is een operator die een inverse heeft.
• (RS)−1 ∼
= S −1 R−1
• (aR)−1 = a1 R−1
Definitie 20 (R−2 ,R−3 ,...)
Als R een operator is die een inverse heeft, dan:
• R−2 ,R−3 ,... zijn de operatoren waarvoor geldt: R−2 = R−1 R−1 , R−3 = R−1 R−1 R−1 ,
...
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
21
Definitie 21 (lineaire operator)
Als A een operator is, dan:
• A is lineair ⇔
(dom(A) is een deelruimte en ∀f, g ∈ dom(A); ∀a, b ∈ C : A(af + bg) = aAf + bAg)
Stelling 16
Als R, S, T operatoren zijn, dan:
• (R + S)T = RT + ST
• (R − S)T = RT − ST
• Als R lineair is, dan: R(S + T ) ∼
= RS + RT en dom(RS + RT ) ⊂ dom(R(S + T ))
• Als R lineair is, dan: R(S − T ) ∼
= RS − RT en dom(RS − RT ) ⊂ dom(R(S − T ))
• (RS)T = R(ST ) = RST
In wat volgt zullen vooral operatoren voorkomen die lineair zijn en die een domein hebben
dat overal dicht is in R.
Definitie 22 (R̂)
R̂ is de verzameling van alle operatoren die lineair zijn en die een domein hebben dat
overal dicht is in R.
In het geval axioma 16 n) geldt, is R̂ de verzameling van alle lineaire operatoren met
domein Rn .
Stelling 17
Voor elke operator A ∈ R̂ bestaat er juist één operator B ∈ R̂ waarvoor geldt:
dom(B) = dom(A) en ∀f, g ∈ dom(A) : hAf, gi = hf, Bgi
In voorgaande stelling is het overal dicht zijn in R van het domein van A noodzakelijk.
Definitie 23 (A† , hermitisch toegevoegde)
Als A ∈ R̂, dan:
• A† is de operator waarvoor geldt:
dom(A† ) = dom(A) en ∀f, g ∈ dom(A) : hAf, gi = f, A† g
• De hermitisch toegevoegde van A is A† .
Stelling 18
Als A, B ∈ R̂; a ∈ C, dan:
• (A† )† = A
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
22
• (aA)† = aA†
• Als A + B ∈ R̂, dan: (A + B)† = A† + B †
• Als A − B ∈ R̂, dan: (A − B)† = A† − B †
• Als AB ∈ R̂, dan: (AB)† ∼
= B † A†
• Als A een inverse heeft, A† een inverse heeft en A−1 ∈ R̂, dan geldt: (A−1 )† ∼
= (A† )−1
Definitie 24 (hermitisch, definiet, unitair)
Als A, U ∈ R̂, dan:
• A is hermitisch ⇔ A† = A
• Als A hermitisch is, dan: (A is definiet ⇔ ∀f ∈ dom(A) : hf, Af i ≥ 0)
• U is unitair ⇔ U U † = U † U = 1
In bovenstaande definitie is hAf, f i altijd reëel omdat A hermitisch is.
Stelling 19
Als U ∈ R̂ unitair is, dan:
• U is een bijectie tussen R en R, U † is een bijectie tussen R en R.
• U −1 = U †
BEWIJS:
Gegeven: U ∈ R̂ is unitair; f, f 0 ∈ R; f 6= f 0 .
We zullen achtereenvolgens bewijzen: 1) dom(U ) = R, dom(U † ) = R, 2) U f 6= U f 0 ,
U † f 6= U † f 0 , 3) het bereik van U is R, het bereik van U † is R, 4) U −1 = U † .
Bewijs:
1) Wegens definitie 24 is het domein van U † U gelijk aan het domein van 1. Aangezien
dom(1) = R en dom(U † U ) ⊂ dom(U ), geldt: R ⊂ dom(U ). Het domein van een
operator is een deelverzameling van R. Er volgt dan dat dom(U ) = R. Het bewijs van
dom(U † ) = R verloopt analoog.
2) Stel dat U f = U f 0 = g, dan:
U † g = U † U f = f , U † g = U † U f 0 = f 0 . Dit is strijdig met het gegeven dat U een operator
is. (Volgens definitie 13 is een operator een functie.)
Hiermee is bewezen dat U f 6= U f 0 . Het bewijs van U † f 6= U † f 0 verloopt analoog.
3) Uit 1) en 2) volgt dat: U een bijectie is tussen R en het bereik van U (wat we
verder A zullen noemen), U † een bijectie is tussen R en het bereik van U † (wat we verder
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
23
B zullen noemen). Als we de notatie U C gebruiken voor de verzameling {U h | h ∈ C}
dan geldt:
U R = A, U † A = R (wegens U † U = 1)
U † R = B, U B = R (wegens U U † = 1)
Uit U B = R en U R = A en U B ⊂ U R, volgt: R = A
Uit U † A = R en U † R = B en U † A ⊂ U † R, volgt: R = B
Uit 1), 2) en 3) volgt dat U een bijectie is tussen R en R, en dat U † een bijectie
is tussen R en R.
4) dom(U −1 ) = dom(U † ) = R, U heeft een inverse en
∀f, g ∈ R : U † f = g ⇒ U U † f = U g en U U † f = U g ⇒ f = U g
∀f, g ∈ R : U g = f ⇒ U † U g = U † f en U † U g = U † f ⇒ g = U † f
Volgens definitie 17 en definitie 19 kunnen we dan besluiten dat U −1 = U † .
Hiermee is stelling 19 bewezen.
Stelling 20
Als U ∈ R̂ unitair is; f, g ∈ R, dan:
• hU f, U gi = hf, gi
• kU f k = kf k
Stelling 21
Als U ∈ R̂, dan:
• ((U is een bijectie tussen R en R) en (∀f ∈ R : kU f k = kf k)) ⇔ U is unitair.
Stelling 22
Als U ∈ R̂, dan:
• U is unitair ⇒ U is continu.
Stelling 23
Als U, V ∈ R̂ unitair zijn, dan:
• U V ∈ R̂ en U V is unitair.
• ∀z ∈ Z : U z ∈ R̂ en U z is unitair.
Definitie 25 ([A, B])
Als A, B operatoren zijn, dan:
• [A, B] = AB − BA
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
24
Voor operatoren laten we de gebruikelijke volgorde van bewerkingen gelden. Zo staat
AB − BA voor (AB) − (BA).
Stelling 24
Als A, B ∈ R̂ hermitisch zijn, dan:
• A + B ∈ R̂ ⇒ A + B is hermitisch.
• A − B ∈ R̂ ⇒ A − B is hermitisch.
• a ∈ R ⇒ aA is hermitisch.
• (AB ∈ R̂ en [A, B] ∼
= 0) ⇒ AB is hermitisch.
• ∀n ∈ N : (An ∈ R̂ ⇒ An is hermitisch.)
• ∀z ∈ Z : (A heeft een inverse en Az ∈ R̂ ⇒ Az is hermitisch.)
Stelling 25
Als A ∈ R̂ hermitisch is en X ∈ R̂, dan:
• XAX † ∈ R̂ ⇒ XAX † is hermitisch.
Stelling 26
Als R ∈ R̂, dan:
• R is continu
⇔ R is continu in 0 ∈ R
⇔ ∃C ∈ R+ ; ∀f ∈ R : kRf k ≤ Ckf k
⇔ ∀f ∈ dom(R); ∀g ∈ R : | hg, Rf i | ≤ C.kgk.kf k
Stelling 27
Als R ∈ R̂ hermitisch is, dan:
• R is continu
⇔ ∀f ∈ dom(R) : | hf, Rf i | ≤ C.kf k2
⇔ ∀f ∈ dom(R) : −C.kf k2 ≤ hf, Rf i ≤ C.kf k2
In voorgaande stelling is hf, Rf i een reëel getal omdat R hermitisch is.
Stelling 28
Als R ∈ R̂ hermitisch en definiet is; f, g ∈ dom(R), dan:
p
• |hg, Rf i | ≤ hf, Rf i hg, Rgi
• hf, Rf i = 0 ⇒ Rf = 0
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
Stelling 29
Als R, S, T lineaire operatoren zijn; [R, S] ∼
= 0; [R, T ] ∼
= 0, dan:
• ∀n ∈ N : [R, S n ] ∼
=0
• Als S een inverse heeft, dan: ∀z ∈ Z : [R, S z ] ∼
=0
• ∀a ∈ C : [R, aS] ∼
=0
• [R, ST ] ∼
=0
• [R, S + T ] ∼
=0
• [R, S − T ] ∼
=0
2.5
Projectoren
Definitie 26 (M + N + ...)
Als M, N , ... gesloten deelruimten zijn, dan:
• M + N + ... = [M ∪ N ∪ ...]
In voorgaande stelling is {M, N , ...} een eindige of aftelbare oneindige verzameling.
Definitie 27 (N − M, gesloten deelruimte complementair met M)
Als M, N gesloten deelruimten zijn; M ⊂ N , dan:
• N − M = {f ∈ N | ∀g ∈ M : hf, gi = 0}
• De gesloten deelruimte complementair met M is R − M.
Stelling 30
Als M een gesloten deelruimte is, dan:
• ∀f ∈ R; ∃! g ∈ M; ∃! h ∈ R − M : f = g + h
Definitie 28 (de projectie van f op M)
Als M een gesloten deelruimte is; f, g, h ∈ R, dan:
• De projectie van f op M is g ⇔ (g ∈ M en ∃h ∈ R − M : f = g + h)
Definitie 29 (PM , de projectie-operator van M, de projector van M)
Als M een gesloten deelruimte is, dan:
• PM is de operator met domein R waarvoor geldt:
∀f ∈ R : PM f is de projectie van f op M
• De projectie-operator van M is PM .
25
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
26
• De projector van M is PM .
Stelling 31
Als M een gesloten deelruimte is; f ∈ R, dan:
• PM is lineair.
• PM is hermitisch.
• PM 2 = PM
• Het bereik van PM is M.
• PM f = f ⇔ f ∈ M
• PM f = 0 ⇔ f ∈ R − M
Definitie 30 (projector)
Als E een operator is, dan:
• E is een projector ⇔ ∃ een gesloten deelruimte M waarvoor geldt: PM = E
Stelling 32
Als E een operator is, dan:
• (E is een projector en E heeft als bereik M)⇔(M is een gesloten deelruimte en E
is de projector van M)
Stelling 33
Als E een operator is met domein R, dan:
• E is een projector ⇔ (E is hermitisch en E 2 = E)
Stelling 34
Als M een gesloten deelruimte is, dan:
• PR = 1
• P[0] = 0
• PR−M = 1 − PM
• M = R − (R − M)
Stelling 35
Als E een operator is, dan:
• E is een projector ⇔ 1 − E is een projector.
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
Stelling 36
Als M een gesloten deelruimte is; f ∈ R, dan:
• kPM f k2 = hf, PM f i
• kPM f k ≤ kf k
• kPM f k = 0 ⇔ f ∈ R − M
• kPM f k = kf k ⇔ f ∈ M
• PM is continu.
Stelling 37
Als M, N gesloten deelruimten zijn, dan:
• PM PN is een projector ⇔ [PM , PN ] = 0
• [PM , PN ] = 0 ⇒ PM PN = PM∩N
• PM + PN is een projector
⇔ M⊥N
⇔ PM PN = 0
⇔ PN P M = 0
• M⊥N ⇒ PM + PN = PM+N
• PM − PN is een projector
⇔N ⊂M
⇔ PM PN = PN
⇔ PN P M = PN
• N ⊂ M ⇒ PM − PN = PM−N
Definitie 31 (≤, ≥)
Als M, N gesloten deelruimten zijn, dan:
• PN ≤ PM ⇔ N ⊂ M
• PM ≥ PN ⇔ N ⊂ M
Stelling 38
Als de operatoren E, F, G projectoren zijn, dan:
• 0≤E≤1
• (E ≤ F en F ≤ E) ⇒ E = F
• (E ≤ F en F ≤ G) ⇒ E ≤ G
27
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
28
Definitie 32 (PM ⊥PN )
Als M, N gesloten deelruimten zijn, dan:
• PM ⊥PN ⇔ M⊥N
Stelling 39
Als de operatoren E, F, E 0 , F 0 projectoren zijn, dan:
• E≤F
⇔1−E ≥1−F
⇔E ⊥1−F
• (E 0 ≤ E en F 0 ≤ F en E⊥F ) ⇒ E 0 ⊥F 0
Definitie 33 (M commuteert met N )
Als M,N deelruimten zijn, dan:
• M commuteert met N ⇔ [PM , PN ] = 0
Stelling 40
Als de operatoren E, F projectoren zijn, dan:
• E ≤ F ⇔ ∀f ∈ R : kEf k ≤ kF f k
Stelling 41
Als M1 , ..., Mk gesloten deelruimten zijn; k ∈ N0 , dan:
• PM1 + ... + PMk is een projector
⇔ ∀m, l ∈ {1, ..., k} ; m 6= l : Mm ⊥Ml
⇔ ∀f ∈ R : kPM1 f k2 + ... + kPMk f k2 ≤ kf k2
• Als ∀m, l ∈ {1, ..., k} ; m 6= l : Mm ⊥Ml , dan:
∗ PM1 + ... + PMk = PM1 +...+Mk
∗ [M1 ∪ ... ∪ Mk ] = (M1 ∪ ... ∪ Mk )
Stelling 42
Als de operatoren E1 , E2 , ... projectoren zijn; {E1 , E2 , ...} een oneindige verzameling is;
E1 ≤ E2 ≤ ...; E een operator is, dan:
• ∃! projector E : (∀f ∈ R : de rij E1 f, E2 f, ... convergeert naar Ef )
• Als E een projector is; ∀f ∈ R : de rij E1 f, E2 f, ... convergeert naar Ef , dan:
∀n ∈ N : En ≤ E
Als we in voorgaande stelling “≤” overal vervangen door “≥” bekomen we opnieuw een
geldige stelling.
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
29
Stelling 43
Als M1 , M2 , ... gesloten deelruimten zijn; {M1 , M2 , ...} een oneindige verzameling is;
∀m, l ∈ N0 ; m 6= l : Mm ⊥Ml , dan:
• ∀f ∈ R : (
∞
P
PMν )f = PM1 +M2 +... f
ν=1
Stelling 44
Als φ ∈ R; kφk = 1; E een operator is met domein R waarvoor geldt:
(∀f ∈ R : Ef = hφ, f i φ), dan:
• E = P[φ]
BEWIJS:
1)
∀f, g ∈ R : hEf, gi = hhφ, f i φ, gi
(2.24)
= hf, φi hφ, gi
(2.25)
= hf, hφ, gi φi
(2.26)
= hf, Egi
(2.27)
In bovenstaande afleiding werd gebruik gemaakt van axioma 12 en axioma 13.
2)
∀f ∈ R : E 2 f = E(hφ, f i φ)
(2.28)
= hφ, hφ, f i φi φ
(2.29)
= hφ, f i hφ, φi φ
(2.30)
= hφ, f i φ
(2.31)
= Ef
(2.32)
In bovenstaande afleiding werd gebruik gemaakt van axioma 12 en kφk = 1.
Uit 1) en 2) volgt dat E hermitisch is en dat E 2 = E. Volgens stelling 33 is E
dan een projector. Aangezien het bereik van E gelijk is aan [φ], is volgens stelling 32
E = P[φ] . Hiermee is stelling 44 bewezen.
2.6
Bracket-notatie
In deze paragraaf geldt: f, g, φ ∈ R; A ∈ R̂; kφk = 1 en R is de operator met domein R
waarvoor geldt: (∀h ∈ R : Rh = hg, hi f ).
In bracket-notatie (zoals gebruikt in [5]) noteren we f als |f i, hf, gi als hf |gi,
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
30
hf, Agi als hf |A|gi en R als |f ihg|.
Hieruit volgt:
• In bracket-notatie geldt: f |A† |g = hg|A|f i
• In bracket-notatie noteren we hAf, gi als f |A† |g of als hg|A|f i.
• In bracket-notatie noteren we P[φ] als |φihφ|.
• In bracket-notatie geldt: ∀h ∈ R : (|f ihg|) |hi = hg|hi |f i
2.7
2.7.1
Het eigenwaarde-probleem
Eigenwaarde-probleem 1
Definitie 34 (eigenvector van A, eigenwaarde van A)
Als A ∈ R̂, dan
• φ is een eigenvector van A ⇔ (φ ∈ dom(A) \ {0} en ∃λ ∈ C : Aφ = λφ)
• λ is een eigenwaarde van A ⇔ (λ ∈ C en ∃φ ∈ dom(A) \ {0} : Aφ = λφ)
Stelling 45
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; a ∈ C \ {0}, dan:
• φ is een eigenvector van A ⇒ aφ is een eigenvector van A.
• λ is een eigenwaarde van A ⇒ λ ∈ R
• (φ1 , φ2 ∈ dom(A) \ {0} en λ1 , λ2 ∈ R en Aφ1 = λ1 φ1 en Aφ2 = λ2 φ2 en λ1 6= λ2 ) ⇒
hφ1 , φ2 i = 0
Definitie 35 (A is gesloten)
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
• A is gesloten ⇔
((f1 , f2 , ... ∈ dom(A) en de rij f1 , f2 , ... convergeert naar f ∈ R en de rij Af1 , Af2 , ...
convergeert naar f ∗ ∈ R) ⇒ (f ∈ dom(A) en Af = f ∗ ))
Stelling 46
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; A gesloten is, dan:
• ∀λ ∈ R : ({φ ∈ dom(A) | Aφ = λφ} is een gesloten deelruimte)
Definitie 36 (multipliciteit)
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; A gesloten is; n ∈ N0 , dan:
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
31
• λ is een eigenwaarde van A met multipliciteit n ⇔
(λ is een eigenwaarde en ∃ een orthonormale verzameling D met n elementen
waarvoor geldt: [D] = {φ ∈ dom(A) | Aφ = λφ})
• λ is een eigenwaarde van A met multipliciteit ∞ ⇔
(λ is een eigenwaarde en ∃ een oneindige orthonormale verzameling D waarvoor
geldt: [D] = {φ ∈ dom(A) | Aφ = λφ})
Definitie 37 (een oplossing van eigenwaarde-probleem 1 van A)
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
• {(φ1 , λ1 ), (φ2 , λ2 ), ...} is een oplossing van eigenwaarde-probleem 1 van A ⇔
∗ {φ1 , φ2 , ...} ⊂ R en
∗ {φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling en
∗ {λ1 , λ2 , ...} ⊂ R en
∗ Aφ1 = λ1 φ1 en Aφ2 = λ2 φ2 en ...
Opmerking: De notatie {a, b, ...} wordt gebruikt voor eindige en oneindige verzamelingen.
Stelling 47
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
• V is een oplossing van eigenwaarde-probleem 1 van A ⇒ V is aftelbaar.
BEWIJS:
Als V = {(φ1 , λ1 ), (φ2 , λ2 ), ...}, dan:
1) De afbeelding die (φ1 , λ1 ) afbeeldt op φ1 , (φ2 , λ2 ) afbeeldt op φ2 ,... is een bijectie tussen
V en {φ1 , φ2 , ...}.
2) Uit stelling 3 volgt dat {φ1 , φ2 , ...} aftelbaar is, er bestaat dus (volgens definitie 9) een
bijectie tussen {φ1 , φ2 , ...} en een deelverzameling van N.
3) De bijectie van 2) na de bijectie van 1) is een bijectie van V naar een deelverzameling
van N. Volgens definitie 9 is V dan aftelbaar. Hiermee is stelling 47 bewezen.
Stelling 48
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; V een oplossing is van eigenwaarde-probleem 1 van A, dan:
• λ is een eigenwaarde van A ⇒ ∃φ ∈ R : (φ, λ) ∈ V
BEWIJS:
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; V = {(φ1 , λ1 ), (φ2 , λ2 ), ...} een oplossing is van eigenwaardeprobleem 1 en λ een eigenwaarde is van A, dan:
1) Stel dat ∀φ ∈ R : (φ, λ) ∈
/V
– Omdat λ een eigenwaarde van A is, bestaat er een φ0 ∈ dom(A) \ {0} met norm 1
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
32
waarvoor geldt: Aφ0 = λφ0
– Uit het gestelde volgt dat λ verschillend is van λ1 , λ2 , ...
Uit stelling 45 volgt dan dat ∀ i ∈ {1, 2, ...} : hφ0 , φi i = 0 zodat {φ, φ1 , φ2 , ...} een
orthonormale verzameling is. Uit definitie 10 van complete orthonormale verzameling
volgt dan dat {φ1 , φ2 , ...} = {φ, φ1 , φ2 , ...}. Maar φ ∈
/ {φ1 , φ2 , ...}. Uit het gestelde volgt
dus een tegenstrijdigheid.
2) Aangezien uit het gestelde in 1) een tegenstrijdigheid volgt, is de negatie ervan bewezen.
Hiermee is stelling 48 bewezen.
Stelling 49
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; V en V 0 oplossingen zijn van eigenwaarde-probleem 1 van
A, dan:
• {λ | ∃φ ∈ R : (φ, λ) ∈ V } = {λ | ∃φ ∈ R : (φ, λ) ∈ V 0 }
BEWIJS:
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; V en V 0 oplossingen zijn van eigenwaarde-probleem 1 van A,
dan:
1) Als r ∈ {λ | ∃φ ∈ R : (φ, λ) ∈ V }, dan is r een eigenwaarde van A. Volgens stelling 48
is r dan een element van {λ | ∃φ ∈ R : (φ, λ) ∈ V 0 }.
2) Als r0 ∈ {λ | ∃φ ∈ R : (φ, λ) ∈ V 0 }, dan is r0 een eigenwaarde van A. Volgens stelling
48 is r0 dan een element van {λ | ∃φ ∈ R : (φ, λ) ∈ V }.
3) Volgens definitie A.6 zijn twee verzamelingen V1 en V2 gelijk als en slechts als elk
element van V1 een element van V2 is en elk element van V2 een element van V1 is. Uit
1) en 2) volgt dan dat {λ | ∃φ ∈ R : (φ, λ) ∈ V } = {λ | ∃φ ∈ R : (φ, λ) ∈ V 0 }. Hiermee is
stelling 49 bewezen.
Definitie 38 (de verzameling van alle eigenwaarden van A)
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; V een oplossing is van eigenwaarde-probleem 1 van
A, dan:
• De verzameling van alle eigenwaarden van A is {λ | ∃φ ∈ R : (φ, λ) ∈ V }
Stelling 50
∃A ∈ R̂ : (A is hermitisch en eigenwaarde-probleem 1 van A heeft geen oplossing.)
Opmerking: Als eigenwaarde-probleem 1 van een hermitische operator A ∈ R̂ een
oplossing heeft, dan is de verzameling van alle oplossingen van eigenwaarde-probleem
1 van A oneindig.
Als b.v. {(φ1 , λ), (φ2n, λ), (φ3 , λ0 ), (φ4 , λ00 ), ...} een oplossing is
2i
−3i φ
2i
−3i φ
2
2
√
√
van eigenwaarde-probleem 1 van A, dan is ( e φ1 +e
, λ), ( e φ1 −e
, λ), (e5i φ3 , λ0 ),
2
2
o
(e5i φ4 , λ00 ), ... ook een oplossing van eigenwaarde-probleem 1 van A.
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
33
Definitie 39 (een oplossing van eigenwaarde-probleem 10 van A)
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; A gesloten is, dan:
• {(P1 , λ1 ), (P2 , λ2 ), ...} is een oplossing van eigenwaarde-probleem 10 van A ⇔
∗ eigenwaarde-probleem 1 van A heeft een oplossing en
∗ {λ1 , λ2 , ...} is de verzameling van alle eigenwaarden van A en
∗ ∀i ∈ {1, 2, ...} : Pi is de projector van de gesloten deelruimte
{φ ∈ dom(A) | Aφ = λi φ}
Stelling 51
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; A gesloten is, dan:
• (V is een oplossing van eigenwaarde-probleem 10 van A en V 0 is een oplossing van
eigenwaarde-probleem 10 van A) ⇒ V = V 0
Stelling 51 is een gevolg van stelling 49.
Stelling 52
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; A gesloten is, dan:
• {(φ11 , λ1 ), (φ12 , λ1 ), ..., (φ21 , λ2 ), (φ22 , λ2 ), ..., ...} is een oplossing van eigenwaarde
probleem 1 van A ⇒ (P[φ11 ,φ12 ,...] , λ1 ), (P[φ21 ,φ22 ,...] , λ2 ), ... is de oplossing van
eigenwaarde-probleem 10 van A.
BEWIJS:
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; A gesloten is; {(φ11 , λ1 ), (φ12 , λ1 ), ..., (φ21 , λ2 ), (φ22 , λ2 ), ..., ...}
een oplossing is van eigenwaarde-probleem 1 van A; i ∈ N0 , dan:
1) Als φ een element is van [φi1 , φi2 , ...], dan bestaan er a1 , a2 , ... ∈ C waarvoor geldt:
P
φ = ν aν φiν . Omdat
– a1 φi1 , a1 φi1 + a2 φi2 , ... ∈ dom(A) en
– de rij a1 φi1 , a1 φi1 + a2 φi2 , ... convergeert naar φ ∈ R en
– de rij A(a1 φi1 ), A(a1 φi1 + a2 φi2 ), ... convergeert naar λi φ ∈ R en omdat A gesloten is,
geldt:
– φ ∈ dom(A) en
– Aφ = λi φ.
φ is dus een element van {φ ∈ dom(A) | Aφ = λi φ}.
2) Als φ een element is van {φ ∈ dom(A) | Aφ = λi φ}, dan:
P P
Volgens stelling 8 is φ =
Uit stelling 45 volgt dan dat
j
ν hφjν , φi φjν .
P
φ = ν hφiν , φi φiν . φ is dus een element van [φi1 , φi2 , ...].
3) Uit 1) en 2) volgt dat [φi1 , φi2 , ...] = {φ ∈ dom(A) | Aφ = λi φ}.
Stelling 52 is een gevolg hiervan.
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
34
Opmerking: Als A ∈ R̂, A hermitisch is en A gesloten is, dan:
Eigenwaarde-probleem 1 van A heeft een oplossing als en slechts als eigenwaarde-probleem
10 van A juist één oplossing heeft.
2.7.2
Eigenwaarde-probleem 2
Definitie 40 (verdeling, k(Λ0 , ..., Λk )k,
Rb
f (x)dg(x), Stieltjes-integraal,
a
+∞
R
f (x)dg(x))
−∞
Als a, b, Λ0 , ..., Λk ∈ R; k ∈ N; f, g afbeeldingen zijn van R naar C, dan:
• (Λ0 , ..., Λk ) is een verdeling van het interval [a, b] ⇔ a ≤ Λ0 < ... < Λk ≤ b
• Als (Λ0 , ..., Λk ) een verdeling is van [a, b], dan:
∗ k(Λ0 , ..., Λk )k is het maximum van de verzameling
{Λ0 − a, Λ1 − Λ0 , ..., Λk − Λk−1 , b − Λk }
• Als F een afbeelding is van de verzameling van alle verdelingen van [a, b] naar C
k
P
waarvoor geldt: F ((Λ0 , ..., Λk )) =
f (Λν ) [g(Λν ) − g(Λν−1 )]; V een verdeling van
ν=1
het interval [a, b] is; F0 ∈ C, dan:
∗
Rb
+
f (x)dg(x) = F0 ⇔ ∀ ∈ R+
0 ; ∃δ ∈ R0 : kV k < δ ⇒ |F (V ) − F0 | < a
• De Stieltjes-integraal van f met betrekking tot g en [a, b] is
Rb
f (x)dg(x).
a
•
+∞
R
−∞
f (x)dg(x) = 0 lim
lim
Rb0
a →−∞ b0 →+∞ a0
f (x)dg(x)
De definitie van lim f (x) voor functies f van R naar C wordt als gekend verondersteld.
x→x0
Definitie 41 ( lim f (λ))
λ→λ0
Als f een functie is van R naar R; λ0 ∈ R; ∀r ∈ R+
0 :]λ0 − r, λ0 + r[ ∩ dom(f ) 6= {};
f0 ∈ R, dan:
+
0
0
0
• lim f (λ) = f0 ⇔ ∀ ∈ R+
0 ; ∃δ ∈ R0 ; ∀λ ∈ dom(f ) : |λ − λ0 | < δ ⇒ kf (λ ) − f0 k < λ→λ0
Definitie 42 ( lim f (λ))
λ→+∞
Als f een functie is van R naar R; ∀r ∈ R : {r0 ∈ R | r0 > r} ∩ dom(f ) 6= {}; f0 ∈ R,
dan:
+
0
0
0
• lim f (λ) = f0 ⇔ ∀ ∈ R+
0 ; ∃δ ∈ R0 ; ∀λ ∈ dom(f ) : λ > δ ⇒ kf (λ ) − f0 k < λ→+∞
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
35
Definitie 43 ( lim f (λ))
λ→−∞
Als f een functie is van R naar R; ∀r ∈ R : {r0 ∈ R | r0 < r} ∩ dom(f ) 6= {}; f0 ∈ R,
dan:
+
0
0
0
• lim f (λ) = f0 ⇔ ∀ ∈ R+
0 ; ∃δ ∈ R0 ; ∀λ ∈ dom(f ) : λ < −δ ⇒ kf (λ ) − f0 k < λ→−∞
Definitie 44 (
lim
λ→λ0 ,λ>λ0
f (λ))
Als f een functie is van R naar R; λ0 ∈ R; ∀r ∈ R+
0 : [λ0 , λ0 + r[ ∩ dom(f ) 6= {}; f0 ∈ R,
dan:
•
lim
f (λ) = f0 ⇔
λ→λ0 ,λ>λ0
∀ ∈ R+
0 ; ∃δ
Definitie 45 (
0
0
0
∈ R+
0 ; ∀λ ∈ dom(f ) : λ0 < λ < λ0 + δ ⇒ kf (λ ) − f0 k < lim
λ→λ0 ,λ<λ0
f (λ))
Als f een functie is van R naar R; λ0 ∈ R; ∀r ∈ R+
0 :]λ0 − r, λ0 ] ∩ dom(f ) 6= {}; f0 ∈ R,
dan:
•
lim
f (λ) = f0 ⇔
λ→λ0 ,λ<λ0
∀ ∈ R+
0 ; ∃δ
0
0
0
∈ R+
0 ; ∀λ ∈ dom(f ) : λ0 − δ < λ < λ0 ⇒ kf (λ ) − f0 k < Definitie 46 (resolutie van de identiteit, resolutie van de identiteit van A,
oplossing van eigenwaarde-probleem 2 van A)
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; λ0 ∈ R, dan:
• E is een resolutie van de identiteit ⇔
∗ E is een afbeelding van R naar de verzameling van alle operatoren die
projectoren zijn en
∗ ∀f ∈ R : lim E(λ)f = 0 en
λ→−∞
∗ ∀f ∈ R : lim E(λ)f = f en
λ→+∞
∗ ∀f ∈ R :
lim
λ→λ0 ,λ>λ0
0
E(λ)f = E(λ0 )f en
∗ ∀λ0 , λ00 ∈ R : (λ ≤ λ00 ⇒ E(λ0 ) ≤ E(λ00 ))
• E is een resolutie van de identiteit van A ⇔
∗ E is een resolutie van de identiteit en
+∞
R 2
∗ dom(A) = {f ∈ R |
λ d(kE(λ)f k2 ) ∈ R} en
−∞
∗ ∀f ∈ R; ∀g ∈ dom(A) : hf, Agi =
+∞
R
λd hf, E(λ)gi
−∞
• E is een oplossing van eigenwaarde-probleem 2 van A ⇔
E is een resolutie van de identiteit van A.
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
36
Stelling 53
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
• (E is een oplossing van eigenwaarde-probleem 2 van A en E 0 is een oplossing van
eigenwaarde-probleem 2 van A) ⇒ E = E 0
• Als eigenwaarde-probleem 2 van A een oplossing heeft, dan is A gesloten.
Definitie 47 (H is continu in λ0 , H is continu, H is discontinu in λ0 )
Als H een functie is van R naar R̂; λ0 ∈ dom(H), dan:
• H is continu in λ0 ⇔ ∀f ∈ dom(H(λ0 )) : lim H(λ)f = H(λ0 )f
λ→λ0
• H is continu ⇔ ∀r0 ∈ dom(H) : H is continu in r0
• H is discontinu in λ0 ⇔ H is niet continu in λ0 .
Definitie 48 (E is constant in λ0 )
Als E een afbeelding is van R naar de verzameling van alle operatoren die projectoren
zijn; λ0 ∈ R, dan:
• E is constant in λ0 ⇔ ∃a, b ∈ R; a < λ0 < b : (∀r, r0 ∈]a, b[: E(r) = E(r0 ))
Stelling 54
Als E een afbeelding is van R naar de verzameling van alle operatoren die projectoren
zijn; λ0 ∈ R, dan:
• E is constant in λ0 ⇒ E is continu in λ0
Definitie 49 (spectrum(A), spectrum van A, discreet spectrum van A)
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; E de oplossing is van eigenwaarde-probleem 2 van
A, dan:
• spectrum(A) = {λ ∈ R | E is niet constant in λ}
• Het spectrum van A is spectrum(A).
• Het discreet spectrum van A is {λ ∈ R | E is discontinu in λ}.
Stelling 55
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; eigenwaarde-probleem 2 van A een oplossing heeft, dan:
• Het discreet spectrum van A is aftelbaar.
Definitie 50 (E (1) (λ0 ))
Als E een resolutie van de identiteit is; λ0 ∈ R, dan:
• E (1) (λ0 ) =
lim
λ→λ0 ,λ<λ0
E(λ)
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
37
Stelling 56
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; λ0 ∈ R; E de oplossing is van eigenwaarde-probleem 2 van
A, dan:
• E is discontinu in λ0 ⇔ λ0 is een eigenwaarde van A.
• E is discontinu in λ0 ⇒ E(λ0 ) − E (1) (λ0 ) = P{φ∈dom(A) | Aφ=λ0 φ}
Stelling 57
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; E de oplossing is van eigenwaarde-probleem 2 van A;
λ1 , λ2 , ... ∈ R; E discontinu is in λ1 , λ2 , ...; M1 , M2 , ... ⊂ R gesloten deelruimten zijn
waarvoor geldt: PM1 = E(λ1 ) − E (1) (λ1 ), PM2 = E(λ2 ) − E (1) (λ2 ), ..., dan:
• Eigenwaarde-probleem 1 van A heeft een oplossing ⇔ M1 + M2 + ... = R
Stelling 58
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; E de oplossing is van eigenwaarde-probleem 2 van A, dan:
• (∃λ ∈ R : E is continu en niet constant in λ) ⇒
eigenwaarde-probleem 1 van A heeft geen oplossing.
Definitie 51 (puur discreet spectrum)
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
• A heeft een puur discreet spectrum ⇔
(A is gesloten en eigenwaarde-probleem 1 van A heeft een oplossing.)
Stelling 59
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; A gesloten is, dan:
• Eigenwaarde-probleem 1 van A heeft een oplossing ⇒
eigenwaarde-probleem 2 van A heeft een oplossing.
• {(φ1 , λ1 ), (φ2 , λ2 ), ...} is een oplossing van eigenwaarde-probleem 1 van A ⇒
(voor de oplossing E van eigenwaarde-probleem 2 van A geldt:
P
∀λ ∈ R : E(λ) =
P[φν ] )
λν ≤λ
Met E(λ) = 0 als
P
P[φν ] nul termen heeft.
P
Uit stelling 43 volgt: ∀f ∈ R : (
P[φν ] )f ∈ R
λν ≤λ
λν ≤λ
Definitie 52 (puur continu spectrum)
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; eigenwaarde-probleem 2 van A een oplossing heeft, dan:
• A heeft een puur continu spectrum ⇔ het discreet spectrum van A is {}
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
38
Definitie 53 (een uitbreiding)
Als A, B ∈ R̂, dan:
• B is een uitbreiding van A ⇔ A ⊂ B
Uit appendix A volgt: A ⊂ B ⇔ (dom(A) ⊂ dom(B) en ∀f ∈ dom(A) : Af = Bf )
Stelling 60
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
• (f1 , f2 , ... ∈ dom(A) en
de rij f1 , f2 , ... convergeert naar f ∈ R en
de rij Af1 , Af2 , ... convergeert naar f ∗ ∈ R en
g1 , g2 , ... ∈ dom(A) en
de rij g1 , g2 , ... convergeert naar f ∈ R en
de rij Ag1 , Ag2 , ... convergeert naar g ∗ ∈ R) ⇒ f ∗ = g ∗
e
Definitie 54 (A)
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
e is de operator waarvoor geldt:
• A
e ⇔
∗ f ∈ dom(A)
(f ∈ R en (∃f1 , f2 , ... ∈ dom(A) : de rij f1 , f2 , ... convergeert naar f en de rij
Af1 , Af2 , ... convergeert naar een element van R))
∗ (f1 , f2 , ... ∈ dom(A) en
de rij f1 , f2 , ... convergeert naar f ∈ R en
e = f∗
de rij Af1 , Af2 , ... convergeert naar f ∗ ∈ R) ⇒ Af
Stelling 61
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
e ∈ R̂ en A
e is hermitisch en A
e is gesloten.
• A
e
• A⊂A
Stelling 62
Als A, B ∈ R̂; A hermitisch is; B hermitisch is, dan:
e⊂B
• (A ⊂ B en B is gesloten) ⇒ A
Definitie 55 (maximaal)
Als A, B ∈ R̂; A hermitisch is; B hermitisch is, dan:
• A is maximaal ⇔ (A ⊂ B ⇒ A = B)
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
39
Stelling 63
∀ hermitische A ∈ R̂; ∃B ∈ R̂ : (A ⊂ B en B is hermitisch en B is maximaal)
Stelling 64
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
• A is gesloten en niet maximaal ⇒
{B ∈ R̂ | A ⊂ B en B is hermitisch en B is maximaal } is oneindig.
Stelling 65
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
• A is maximaal ⇒ A is gesloten.
Stelling 66
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
• Eigenwaarde-probleem 2 van A heeft een oplossing ⇒ A is maximaal.
Stelling 67
∃A ∈ R̂ : (A is hermitisch en A is maximaal en eigenwaarde-probleem 2 van A heeft geen
oplossing.)
Definitie 56 (hypermaximaal)
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
• A is hypermaximaal ⇔ eigenwaarde-probleem 2 van A heeft een oplossing.
Stelling 68
∃A ∈ R̂ : (A is hermitisch en A is hypermaximaal en eigenwaarde-probleem 1 heeft geen
oplossing.)
2.7.3
Continue en definiete operatoren
Stelling 69
Als A, B ∈ R̂; A en B hermitisch zijn, dan:
• (A is discontinu en A ⊂ B) ⇒ B is discontinu.
Stelling 70
Als A ∈ R̂; A hermitisch is, dan:
e is continu en dom(A)
e = R)
• A is continu ⇒ (A
Stelling 71
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; A gesloten is, dan:
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
40
• A is continu ⇔ dom(A) = R
Stelling 72
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; A gesloten is, dan:
• A is continu ⇒ eigenwaarde-probleem 2 van A heeft een oplossing.
Stelling 73
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; A gesloten is; eigenwaarde-probleem 2 van A een oplossing
heeft, dan:
• A is continu ⇔ ∃C ∈ R : (∀λ ∈ spectrum(A) : −C ≤ λ ≤ C)
Stelling 74
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; A definiet is, dan:
• ∃B ∈ R̂ : (A ⊂ B en B is hermitisch en B is hypermaximaal)
2.7.4
Afbeeldingen van operatoren
Definitie 57 (
+∞
R
r(λ)dE(λ))
−∞
Als r een afbeelding is van R naar C; A ∈ R̂; A hermitisch is; E de oplossing is van
eigenwaarde-probleem 2 van A, dan:
•
+∞
R
r(λ)dE(λ) is de operator waarvoor geldt:
−∞
∗ dom
+∞
R
r(λ)dE(λ) : zie [10]
−∞
+∞
R
∗ ∀f ∈ R; ∀g ∈ dom
r(λ)dE(λ) :
−∞
+∞
+∞
R
R
f,
r(λ)dE(λ) g =
r(λ)d hf, E(λ)gi
−∞
Voor het domein van
−∞
+∞
R
r(λ)dE(λ) verwijzen we naar [10], paragrafen 126–128. Als
+∞
+∞
+∞
R
R
R
r = {(a, a) | a ∈ R}, dan geldt:
r(λ)dE(λ) =
λdE(λ) en dom
λdE(λ) =
−∞
−∞
{f ∈ R |
+∞
R
−∞
−∞
λ2 d(kE(λ)f k2 ) ∈ R}.
−∞
Stelling 75
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; E de oplossing is van eigenwaarde-probleem 2 van A, dan:
• A=
+∞
R
−∞
λdE(λ)
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
41
Definitie 58 (r(A))
Als r een afbeelding is van R naar C; A ∈ R̂; A hermitisch is; E de oplossing is van
eigenwaarde-probleem 2 van A, dan:
• r(A) =
+∞
R
r(λ)dE(λ)
−∞
Bovenstaande definitie is in overeenstemming met definitie 18.
Stelling 76
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; A gesloten is; {(φ1 , λ1 ), (φ2 , λ2 ), ...} een oplossing is van
eigenwaarde-probleem 1 van A; {(P1 , λ01 ), (P2 , λ02 ), ...} de oplossing is van eigenwaardeprobleem 10 van A; r een afbeelding van R naar C is, dan:
P
• A = λν P[φν ]
ν
• A=
P
λ0µ Pµ
µ
• r(A) =
P
r(λν )P[φν ]
ν
• r(A) =
P
r(λ0µ )Pµ
µ
Waarbij
P
staat voor
ν
∞
P
ν=1
resp.
k
P
als {(φ1 , λ1 ), (φ2 , λ2 ), ...} een oneindige verzameling
ν=1
is resp. een eindige verzameling is met k elementen en waarbij
P
staat voor
µ
k
P
∞
P
resp.
µ=1
als {(P1 , λ01 ), (P2 , λ02 ), ...} een oneindige verzameling is resp. een eindige verzameling
µ=1
is met k elementen.
Stelling 77
Als A ∈ R̂; A hermitisch is; E de oplossing is van eigenwaarde-probleem 2 van A;
n ∈ N0 ; r1 , ..., rn , λ0 , ..., λn ∈ R; F de afbeelding is van R naar R waarvoor geldt:
F (r) = λ0 als r ≤ r1 en F (r) = λ1 als r1 < r ≤ r2 en ... en F (r) = λn als rn < r, dan:
• Eigenwaarde-probleem 1 van F (A) heeft een oplossing.
• De verzameling van alle eigenwaarden van F (A) is {λ0 , ..., λn }.
• Als λ0 6= λ1 en λ0 6= λ2 en ... en λn−1 6= λn , dan:
∗ {(E(r1 ), λ0 ), (E(r2 ) − E(r1 ), λ1 ), ..., (1 − E(rn ), λn )}
eigenwaarde-probleem 10 van A.
is
de
oplossing
van
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
2.7.5
42
Besluit
In wat volgt in deze paragraaf is A een hermitische lineaire operator met een domein
overal dicht in R.
– Als A niet gesloten is, dan heeft eigenwaarde-probleem 2 van A geen oplossing maar
e
kan men A uitbreiden tot de gesloten operator A.
– Als A gesloten is maar niet maximaal, dan heeft eigenwaarde-probleem 2 van A geen
oplossing maar kan men A altijd op verschillende manieren uitbreiden tot een maximale
operator.
– Als A maximaal is, dan heeft eigenwaarde-probleem 2 van A juist één of geen oplossing.
Als eigenwaarde-probleem 2 van A een oplossing heeft, noemen we A hypermaximaal.
– Als A hypermaximaal is, kan eigenwaarde-probleem 1 van A oplossingen of geen
oplossingen hebben. In het geval eigenwaarde-probleem 1 van A oplossingen heeft, zeggen
we dat A een puur discreet spectrum heeft. In het geval eigenwaarde-probleem 1 van A
geen oplossing heeft, kunnen we een operator F (A) (zie stelling 77) construeren waarvoor
eigenwaarde-probleem 1 van A wel oplossingen heeft.
– Als eigenwaarde-probleem 1 van een gesloten A oplossingen heeft, heeft eigenwaardeprobleem 10 van A juist één oplossing en heeft eigenwaarde-probleem 2 van A juist één
oplossing.
– Als A gesloten en continu is, dan is A hypermaximaal. Een gesloten A is continu als
en slechts als het domein van A gelijk is aan R en als en slechts als het spectrum van A
begrensd is.
– Als R een n-dimensionale hilbertruimte is (n ∈ N), dan is A gesloten, maximaal,
hypermaximaal en continu en dan geldt: A heeft een discreet spectrum, het domein van
A is Rn en de verzameling van alle eigenwaarden van A heeft niet meer dan n elementen.
2.8
Commuterende operatoren
Definitie 59 (R commuteert met S)
Als R, S ∈ R̂; R en S hermitisch zijn; E de resolutie van de identiteit van R is; F de
resolutie van de identiteit van S is, dan:
• R commuteert met S ⇔ ∀λ, λ0 ∈ R : E(λ)F (λ0 ) = F (λ0 )E(λ)
Definitie 60 (A1 , A2 , ... commuteren)
Als A1 , A2 , ... ∈ R̂; A1 en A2 en ... hermitisch en hypermaximaal zijn, dan:
• A1 , A2 , ... commuteren ⇔
(A1 commuteert met A2 en A1 commuteert met A3 en A2 commuteert met A3 en ...)
Stelling 78
Als R, S ∈ R̂; R en S hermitisch, gesloten en continu zijn, dan:
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
43
• R commuteert met S
⇔ RS = SR
⇔ [R, S] = 0
Stelling 79
Als r een afbeelding van R naar R is; R, r(R) ∈ R̂; R hermitisch en hypermaximaal is,
dan:
• r(R) is hermitisch.
Stelling 80
Als r en s afbeeldingen van R naar R zijn; R, r(R), s(R) ∈ R̂; R hermitisch is;
R, r(R), s(R) hypermaximaal zijn, dan:
• r(R) commuteert met s(R).
Stelling 81
Als A1 , A2 , ... ∈ R̂; A1 , A2 , ... hermitisch en hypermaximaal zijn; A1 , A2 , ... commuteren,
dan:
• ∃R ∈ R̂; ∃f1 , f2 , ... : (R is hermitisch en hypermaximaal en f1 , f2 , ... zijn afbeeldingen
van R naar R en A1 = f1 (R) en A2 = f2 (R) en ... )
In voorgaande stelling is {A1 , A2 , ...} een eindige of een oneindige verzameling.
Stelling 82
Als A1 , ..., An ∈ R̂; n ∈ N \ {0, 1}; A1 , ..., An hermitisch zijn; A1 , ..., An een puur discreet
spectrum hebben; A1 , ..., A2 commuteren, dan:
• ∃φ1 , φ2 , ... ∈ R :
∗ {φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling en
∗ ∀i ∈ {1, ..., n} ; ∀φ ∈ {φ1 , φ2 , ...} : φ is een eigenvector van Ai .
2.9
Het spoor van een operator
In wat volgt staat dim(R) voor:
– n als R met bijbehorende bewerkingen een n-dimensionale hilbertruimte is
– ∞ als R met bijbehorende bewerkingen een oneindig-dimensionale hilbertruimte is.
Definitie 61 (Tr(A), het spoor van A) Als A ∈ R̂; c ∈ C; ∀φ1 , φ2 , ... ∈ dom(A) : {φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale
dim(R)
P
verzameling ⇒
hφν , Aφν i = c , dan:
ν=1
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
44
• Tr(A) = c
• Het spoor van A is Tr(A).
Stelling 83
Als A ∈ R̂; A hermitisch, definiet en gesloten is; ∃φ1 , φ2 , ... ∈ dom(A) : {φ1 , φ2 , ...} is
dim(R)
P
een complete orthonormale verzameling en
hφν , Aφν i ∈ C , dan:
ν=1
• ∀φ01 , φ02 , ... ∈ dom(A) :
{φ01 , φ02 , ...} is een complete orthonormale verzameling ⇒
dim(R)
dim(R)
P
P
hφν , Aφν i
hφ0ν , Aφ0ν i =
ν=1
ν=1
• A is continu.
• A heeft een puur discreet spectrum.
Stelling 84
Als A, B ∈ R̂; A en B hermitisch, definiet en gesloten zijn; ∃φ1 , φ2 , ... ∈ dom(A) :
dim(R)
P
{φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling en
hφν , Aφν i ∈ C ;
ν=1
0
0
0
0
∃φ1 , φ2 , ... ∈ dom(B) : {φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling en
dim(R)
P
0
0
hφν , Bφν i ∈ C , dan:
ν=1
• Tr(A) ∈ R
• ∀a ∈ C : Tr(aA) = aTr(aA)
• Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B)
• Tr(A − B) = Tr(A) − Tr(B)
• Tr(A) ≥ 0
• Tr(A) = 0 ⇔ A = 0
• {(f1 , λ1 ), (f2 , λ2 ), ...} is een oplossing van eigenwaarde-probleem 1 van A ⇒
dim(R)
P
Tr(A) =
λν
ν=1
Stelling 85
Als A, B
∈
R̂; A en B hermitisch, definiet en hypermaximaal zijn;
∃φ1 , φ2 , ... ∈ dom(AB) : {φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling en
dim(R)
P
hφν , ABφν i ∈ C , dan:
ν=1
HOOFDSTUK 2. WISKUNDE VAN HILBERTRUIMTEN
• ∀φ01 , φ02 , ... ∈ dom(AB) :
45
{φ01 , φ02 , ...} is een complete orthonormale verzameling
dim(R)
dim(R)
P
P
hφν , ABφν i
⇒
hφ0ν , ABφ0ν i =
ν=1
ν=1
Stelling 86
Als A, B, C ∈ R̂; A,B en C hermitisch, definiet en hypermaximaal zijn, dan:
• ∃φ1 , φ2 , ... ∈ dom(AB) : {φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling en
dim(R)
P
hφν , ABφν i ∈ C ⇒ Tr(AB) ∈ R
ν=1
•
•
•
•
∃φ1 , φ2 , ... ∈ dom(AB) : {φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling en
dim(R)
P
hφν , ABφν i ∈ C ⇒ Tr(AB) = Tr(BA)
ν=1
∃φ1 , φ2 , ... ∈ dom(A(B + C)) :
{φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale
dim(R)
P
verzameling en
hφν , A(B + C)φν i ∈ C ⇒ Tr(A(B+C)) = Tr(AB)+Tr(AC)
ν=1
∃φ1 , φ2 , ... ∈ dom((A + B)C) :
{φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale
dim(R)
P
verzameling en
hφν , (A + B)Cφν i ∈ C ⇒ Tr((A+B)C) = Tr(AC)+Tr(BC)
ν=1
∃φ1 , φ2 , ... ∈ dom(AB) : {φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling en
dim(R)
P
hφν , ABφν i ∈ C ⇒ (Tr(AB) = 0 ⇔ AB ∼
= 0)
ν=1
2.10
De afgeleide van een functie van R naar R̂
Definitie 62 (DU (t0 ), de afgeleide van U in t0 )
Als t1 , t2 ∈ R; t1 < t2 ; U een afbeelding is van [t1 , t2 ] naar de verzameling van alle
operatoren met domein R; t0 ∈ [t1 , t2 ]; V een lineaire operator is, dan:
• DU (t0 ) = V ⇔
U (t0 )f −U (t0 )f
t0 −t0
t →t0
∈R
U (t0 )f −U (t0 )f
t0 −t0
t →t0
=Vf
∗ f ∈ dom(V ) ⇔ lim
0
∗ ∀f ∈ dom(V ) : lim
0
• V is de afgeleide van U in t0 ⇔ DU (t0 ) = V
Hoofdstuk 3
Kwantummechanica
Kwantummechanica is een bepaalde methode om bepaalde eigenschappen van
toekomstige ervaringen te voorspellen aan de hand van bepaalde eigenschappen van
vroegere ervaringen. (Hier maken we al gebruik van hypothese 1.) In dit hoofdstuk
wordt deze methode aangebracht in woordcombinaties die ik begrijp.
Hypothese 1
Het is handig om ervaringen te beschrijven in termen van vroeger en later.
Hypothese 2
Het is handig om sommige ervaringen te beschrijven in termen van voorwerpen die op
elkaar staan, achter elkaar liggen, ... en die ik kan vastnemen en bewegen.
3.1
Correspondentieregels
Correspondentieregels zijn regels van de volgende vorm: “Als je dit ervaart, zet dan
deze streepjes op een blad papier.” M.a.w.: correspondentieregels brengen ervaringen
met bepaalde eigenschappen in verband met bepaalde streepjes op een blad papier.
We zeggen ook: correspondentieregels laten ervaringen met bepaalde eigenschappen
corresponderen met bepaalde streepjes op een blad papier.
Meestal gebruiken we kwantummechanica m.b.t. een bepaalde experimentele opstelling.
Deze opstelling kunnen we beschrijven door aan te geven hoe we ze gebouwd hebben, met
welke onderdelen, hoe we aan die onderdelen kunnen geraken, ... (Hier maken we gebruik
van hypothese 2.) Bij elke experimentele opstelling waarbij we kwantummechanica willen
gebruiken, hebben we correspondentieregels (deze brengen b.v. eigenschappen van de
experimentele opstelling in verband met streepjes op een blad papier) nodig van de
volgende vorm:
Correspondentieregel 1 (d)
46
HOOFDSTUK 3. KWANTUMMECHANICA
47
• Ervaringen met bepaalde eigenschappen brengen we in verband met een bepaalde d.
• d ∈ N ∪ {∞}
Correspondentieregel 2 (ρ0 )
• Ervaringen met bepaalde eigenschappen brengen we in verband met een bepaalde ρ0 .
• (ρ0 ∈ R̂d ) en (ρ0 is hermitisch, definiet en gesloten) en (∃φ1 , φ2 , ... ∈ dom(ρ0 ) :
d
P
{φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling en
hφν , ρ0 φν i = 1)
ν=1
Correspondentieregel 3 (∆t1 )
• Ervaringen met bepaalde eigenschappen brengen we in verband met een bepaalde ∆t1 .
• ∆t1 ∈ R+
0
Correspondentieregel 4 (H1 )
• Ervaringen met bepaalde eigenschappen brengen we in verband met een bepaalde H1 .
• (H1 is een afbeelding van [0, ∆t1 ] naar de verzameling van alle lineaire operatoren
die een domein hebben dat overal dicht is in Rd en die hermitisch en hypermaximaal
zijn) en (H1 is continu)
Correspondentieregel 5 (A)
• Ervaringen met bepaalde eigenschappen brengen we in verband met een bepaalde A.
• (A ∈ R̂d ) en (A is hermitisch) en (A heeft een puur discreet spectrum) en (de
verzameling van alle eigenwaarden van A is eindig)
Correspondentieregel 6 (a1 , ..., an )
• Ervaringen met bepaalde eigenschappen brengen we in verband met een bepaalde a1 ,
een bepaalde a2 , ... en een bepaalde an .
• {a1 ..., an } is de verzameling van alle eigenwaarden van A.
• Het aantal elementen van de verzameling van alle eigenwaarden van A is n.
Correspondentieregel 7 (p(a1 ), ..., p(an ))
• Ervaringen met bepaalde eigenschappen brengen we in verband met een bepaalde
p(a1 ), een bepaalde p(a2 ), ... en een bepaalde p(an ).
• p(a1 ), ..., p(an ) ∈ [0, 1]
HOOFDSTUK 3. KWANTUMMECHANICA
•
n
P
48
p(aν ) = 1
ν=1
Correspondentieregel 8 (∆t2 )
• Ervaringen met bepaalde eigenschappen brengen we in verband met een bepaalde ∆t2 .
• ∆t2 ∈ R+
0
Correspondentieregel 9 (H2 )
• Ervaringen met bepaalde eigenschappen brengen we in verband met een bepaalde H2 .
• (H2 is een afbeelding van [0, ∆t2 ] naar de verzameling van alle lineaire operatoren
die een domein hebben dat overal dicht is in Rd en die hermitisch en hypermaximaal
zijn) en (H2 is continu)
Correspondentieregel 10 (B)
• Ervaringen met bepaalde eigenschappen brengen we in verband met een bepaalde B.
• (B ∈ R̂d ) en (B is hermitisch) en (B heeft een puur discreet spectrum) en (de
verzameling van alle eigenwaarden van B is eindig)
Correspondentieregel 11 (b1 , ..., bm )
• Ervaringen met bepaalde eigenschappen brengen we in verband met een bepaalde b1 ,
een bepaalde b2 , ... en een bepaalde bm .
• {b1 ..., bm } is de verzameling van alle eigenwaarden van B.
• Het aantal elementen van de verzameling van alle eigenwaarden van B is m.
Correspondentieregel 12 (p(b1 ), ..., p(bm ))
• Ervaringen met bepaalde eigenschappen brengen we in verband met een bepaalde
p(b1 ), een bepaalde p(b2 ), ... en een bepaalde p(bm ).
• p(b1 ), ..., p(bm ) ∈ [0, 1]
•
m
P
p(bν ) = 1
ν=1
In correspondentieregels 1 t.e.m. 12 staan d, ρ0 , ∆t1 , H1 , A, a1 , ..., an , p(a1 ), ..., p(an ),
∆t2 , H2 , B, b1 , ..., bm , p(b1 ), ..., p(bm ) voor bepaalde streepjes op een blad papier b.v.:
– d staat b.v. voor “2” of “5” of “∞”.
– ρ0 staat b.v. voor “0.5P[φ1 ] + 0.3P[φ2 ] + 0.2P[φ3 ] met {φ1 , φ2 , ...} een complete
∞
P
1
orthonormale deelverzameling van R∞ ” of b.v. voor “
P
met {φ1 , φ2 , ...} een
ν+1 [φν ]
ν=1
HOOFDSTUK 3. KWANTUMMECHANICA
49
complete orthonormale deelverzameling van R∞ ”.
√
– ∆t1 staat b.v. “2.7” of “2.3333...” of “ 29 ” of “ 2”.
√
– H1 staat b.v. voor “ t2 12 + tP[φ] | t ∈ [0, 2.7] met φ ∈ R∞ ”.
– A staat b.v. voor “1P[φ1 ] + 2P[φ2 ,φ4 ,φ6 ,...] + 3P[φ3 ] met {φ1 , φ2 , ...} een complete
orthonormale deelverzameling van R∞ ”.
– a1 staat b.v. voor “1”.
– p(a1 ) staat b.v. voor “0.5”.
Correspondentieregel 2 brengt een deel van de experimentele opstelling in verband
met een bepaalde ρ0 . Dit deel van de opstelling noemen we het preparatietoestel.
Correspondentieregel 5 brengt een deel van de experimentele opstelling in verband
met een bepaalde A. Dit deel van de opstelling noemen we een meettoestel. Een
meettoestel heeft steeds een uitleesvenster (in ruime betekenis). Als op het uitleesvenster
iets verschijnt, spreken we (onder bepaalde voorwaarden) van een meting. Wat op het
uitleesvenster verschijnt, kunnen we meestal in verband brengen met een eigenwaarde
van A (correspondentieregel 6). Deze eigenwaarde noemen we de uitkomst van de
meting.
p(ai ) van correspondentieregel 7 (met i gelijk aan 1 of ... of n) kunnen we als
volgt bepalen:
– doe 100 000 metingen met het meettoestel dat correspondeert met A zonder de
experimentele opstelling te veranderen.
– bepaal het aantal keer dat ai de uitkomst was van deze metingen.
– deel dit aantal door 100 000.
(M.a.w.: bepaal de relatieve frequentie van ai in 100 000 metingen.)
Men kan ook een ander aantal dan 100 000 metingen doen. Hoe groter dit aantal, hoe
nauwkeuriger de voorspellingen van de kwantummechanica meestal zijn.
Voorbeeld: In [11] werd het meettoestel beschreven als opgebouwd uit de volgende
onderdelen: “fluorescent film”, “fiber plate”, “photo cathode”, “electrostatic lens”,
“multichannel plate”, “sensor”, “image processor”, “monitor”. Het uitleesvenster is de
monitor. Als er een vlekje op de monitor verschijnt, spreken we van een meting. De
uitkomst van een meting kunnen we b.v. als volgt bekomen:
1. Neem een lat met de getallen 0, 1, ..., 100 op.
2. Plaats de lat horizontaal tegen de monitor met de 0 aan de zijkant van de monitor
en bepaal het getal op de lat dat het dichtste bij het vlekje ligt. Noteer dit getal op
een blad papier.
3. Plaats de lat verticaal tegen de monitor met de 0 aan de onderkant van de monitor
HOOFDSTUK 3. KWANTUMMECHANICA
50
en bepaal bepaal het getal op de lat dat het dichtste bij het vlekje ligt. Noteer dit
getal op een blad papier.
4. Bepaal volgens “(0, 0) → 0, (0, 1) → 1, (0, 2) → 2, ..., (0, 100) → 100, (1, 0) → 101,
(1, 1) → 102, ...” het getal dat hoort bij het getal bepaald in 2. en het getal bepaald
in 3. Dit getal nemen we als uitkomst van de meting.
Bij sommige experimentele opstellingen kunnen we wat op het uitleesvenster van het
meettoestel dat correspondeert met A verschijnt niet in verband brengen met een
bepaalde ai . In dit geval kunnen we p(ai ) niet bepalen aan de hand van een relatieve
frequentie. Bij correspondentieregel 6 en 7 hoort dan een andere uitleg dan hierboven
werd gegeven. Voor een voorbeeld verwijzen we naar hoofdstuk 4.
Bij een bepaalde experimentele opstelling kan men soms verschillende reeksen
correspondentieregels gebruiken om kwantummechanica toe te passen.
(Waarbij
b.v. een bepaalde reeks meestal leidt tot meer nauwkeurige voorspellingen dan een
bepaalde andere.)
Sommige preparatietoestellen hebben een uitleesvenster (in ruime betekenis). Als
op het uitleesvenster iets verschijnt, spreken we (onder bepaalde voorwaarden) van een
preparatie. ∆t1 van correspondentieregel 3 kunnen we in dit geval als volgt bepalen:
– Als er iets op het uitleesvenster van het preparatietoestel verschijnt, kijk dan op je
horloge en noteer op een blad papier wat op je horloge staat.
– Als er iets op het uitleesvenster van het meettoestel dat correspondeert met A
verschijnt, kijk dan op je horloge en noteer op een blad papier wat op je horloge staat.
– Bereken hoeveel seconden verschil er is tussen deze twee waarden.
(Als het preparatietoestel geen uitleesvenster heeft, brengt correspondentieregel 3
bepaalde eigenschappen van de experimentele opstelling in verband met een bepaalde
∆t1 .)
Het gebruik van correspondentieregels 8, 9, 10 en 11 is analoog aan dat van
correspondentieregels 3, 4, 5 en 6. Voor het gebruik van correspondentieregel 12
zie methode 2 7. van paragraaf 3.3.
Om kwantummechanica toe te passen hebben we niet altijd alle correspondentieregels
nodig. We kunnen b.v. kwantummechanica toepassen zonder gebruik te maken van
correspondentieregels 8, 9, 10, 11 en 12.
Correspondentieregels 1 t.e.m. 12 kunnen nog verder aangevuld worden door ervaringen
met bepaalde eigenschappen in verband te brengen met een bepaalde ∆t3 , een bepaalde
H3 , een bepaalde C, een bepaalde c1 , ..., een bepaalde cl , een bepaalde p(c1 ), ..., een
HOOFDSTUK 3. KWANTUMMECHANICA
51
bepaalde p(cl ), een bepaalde ∆t4 , ...
3.2
Berekeningen
Rekenen is het zetten van streepjes op een blad papier volgens een bepaalde methode aan
de hand van streepjes die al op het blad papier staan. Berekenen is bepalen door rekenen.
In deze paragraaf bespreken we de berekeningen van de kwantummechanica.
Bij de berekeningen geven we steeds aan welke streepjes al op het blad papier
staan. De methode die gebruikt wordt om tot nieuwe streepjes te komen, is de methode
die gebruikelijk is in de wiskunde.
Berekening 1
• Streepjes die al op het blad papier staan:
– een bepaalde d die voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 1,
– een bepaalde ρ0 die voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 2,
– een bepaalde ∆t1 die voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 3,
– een bepaalde H1 die voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 4,
– een bepaalde A die voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 5,
– hoofdstuk 2, appendix A.
1. Bepaal U1 (∆t1 ) zodat geldt:
• U1 is een afbeelding van [0, ∆t1 ] naar de verzameling van alle lineaire operatoren
met domein Rd die unitair zijn.
• U1 (0) = 1
• ∀t ∈ [0, ∆t1 ]: i~DU1 (t) = H1 (t)U1 (t)
2. Bepaal ρ1 zodat geldt:
• ρ1 = U1 (∆t1 )ρ0 (U1 (∆t1 ))†
3. Bepaal n, a1 , ..., an , E1 , ..., En zodat geldt:
• {(E1 , a1 ), ..., (En , an )} is de oplossing van eigenwaarde-probleem 10 van A.
4. Bepaal p(a1 ), ..., p(an ) zodat geldt:
• p(a1 ) = Tr(ρ1 E1 )
...
• p(an ) = Tr(ρ1 En )
HOOFDSTUK 3. KWANTUMMECHANICA
52
Berekening 2
• Streepjes die al op het blad papier staan:
– een bepaalde d die voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 1,
– een bepaalde ρ1 die voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 2,
– een bepaalde Ei waarvoor geldt: Ei ∈ R̂d , Ei is een projector en ρ1 Ei 6= 0,
– een bepaalde ∆t2 die voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 8,
– een bepaalde H2 die voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 9,
– een bepaalde B die voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 10,
– hoofdstuk 2, appendix A.
1. Bepaal ρ1 0 zodat geldt:
• ρ1 0 =
Ei ρ1 Ei
Tr(ρ1 Ei )
2. Bepaal U2 (∆t2 ) zodat geldt:
• U2 is een afbeelding van [0, ∆t2 ] naar de verzameling van alle lineaire operatoren
met domein Rd die unitair zijn.
• U2 (0) = 1
• ∀t ∈ [0, ∆t2 ]: i~DU2 (t) = H2 (t)U2 (t)
3. Bepaal ρ2 zodat geldt:
• ρ2 = U2 (∆t2 )ρ1 0 (U2 (∆t2 ))†
4. Bepaal m, b1 , ..., bm , F1 , ..., Fm zodat geldt:
• {(F1 , b1 ), ..., (Fm , bm )} is de oplossing van eigenwaarde-probleem 10 van B.
5. Bepaal p(b1 ), ..., p(bm ) zodat geldt:
• p(b1 ) = Tr(ρ1 F1 )
...
• p(bm ) = Tr(ρ1 Fm )
Opmerkingen bij berekening 1 1.:
1. Voor de definitie van DU1 (t): zie hoofdstuk 2, definitie 62.
2. i is de imaginaire eenheid.
3. Voor elke H1 die voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 4 geldt: ∃!
U1 die voldoet aan de voorwaarden van berekening 1 1. Deze U1 is continu. (Voor
de definitie van continuı̈teit voor functies van R naar R: zie hoofdstuk 2, definitie
47.)
HOOFDSTUK 3. KWANTUMMECHANICA
53
4. Als ∃H; ∀t ∈ [0, ∆t1 ] : H1 (t) = H, dan is U1 (∆t1 ) gelijk aan exp(− ~i ∆t1 H) (met
exp de exponentiële functie). (Voor de definitie van exp(− ~i ∆t1 H): zie hoofdstuk 2,
definitie 58.)
5. Als we de gebruikelijke correspondentieregels gebruiken, is ~ gelijk aan het reëel
getal 1.0546 × 10−34 .
Zie in verband met opmerkingen 3 en 4 ook [13], p. 208.
In appendix B bewijzen we dat ρ1 van berekening 1 2. voldoet aan de voorwaarden van
correspondentieregel 2.
Uit definitie 51, stelling 52 en stelling 51 volgt dat eigenwaarde-probleem 10 van A
(van berekening 1 3.) juist één oplossing heeft.
In appendix B bewijzen we dat ρ1 E1 , ..., ρn En van berekening 1 4. voldoen aan
de voorwaarden van de definitie van het spoor van een operator (definitie 61).
In appendix B bewijzen we dat p(a1 ), ..., p(an ) van berekening 1 4. voldoet aan de
voorwaarden van correspondentieregel 7.
In appendix B bewijzen we dat ρ1 0 van berekening 2 1. voldoet aan de voorwaarden van
correspondentieregel 2.
Berekening 1 en berekening 2 kunnen nog verder aangevuld worden door berekening 3
waar we ρ2 0 , U3 (∆t3 ), ρ3 , l, c1 , ..., cl , G1 , ..., Gl , p(c1 ), ..., p(cl ) bepalen, berekening 4
waar we ρ3 0 , ... bepalen, ...
3.3
Methode
In paragraaf 3.1 brachten we de correspondentieregels van de kwantummechanica aan.
In paragraaf 3.2 brachten we de berekeningen van de kwantummechanica aan. In
deze paragraaf geven we aan hoe we aan de hand van deze correspondentieregels en
berekeningen volgens de kwantummechanica voorspellingen kunnen maken.
Methode 1
1. Bouw een experimentele opstelling.
2. Neem een blad papier, kies een bepaalde ∆t1 ∈ R+
0 en pas correspondentieregels 1, 2,
4 en 5 toe die bij de experimentele opstelling horen die je gebouwd hebt. Het resultaat
hiervan is dat op het blad het volgende staat: een bepaalde d, een bepaalde ρ0 , een
bepaalde ∆t1 , een bepaalde H1 en een bepaalde A.
HOOFDSTUK 3. KWANTUMMECHANICA
54
3. Doe berekening 1. Vertrek van de streepjes die je gezet hebt in 2., hoofdstuk 2 en
appendix A. Het resultaat hiervan is dat op het blad het volgende staat: een bepaalde
a1 , ..., een bepaalde an , een bepaalde p(a1 ), ..., een bepaalde p(an ).
4. Formuleer een voorspelling door a1 , ..., an , p(a1 ), ..., p(an ) van 3. in verband te
brengen met ervaringen met bepaalde eigenschappen d.m.v. correspondentieregel 6
en correspondentieregel 7 die bij de experimentele opstelling horen die je gebouwd
hebt:
Als je 4.(a) tot en met 4.(d) volgt, zal de relatieve frequentie van a1 in de kolom
(zoals bepaald in 4.(d)) ongeveer gelijk zijn aan p(a1 ) (zoals bepaald in 3.), ..., de
relatieve frequentie van an in de kolom (zoals bepaald in 4.(d)) ongeveer gelijk zijn
aan p(an ) (zoals bepaald in 3.).
Met 4.(a), ..., 4.(d):
(a) Kijk naar het uitleesvenster van het preparatietoestel. Als daar iets op
verschijnt, kijk dan op je horloge en noteer op een blad papier wat op je horloge
staat.
(b) Kijk naar het uitleesvenster van het meettoestel dat correspondeert met A. Als
daar iets op verschijnt, kijk dan op je horloge en noteer op het blad wat op je
horloge staat.
(c) Bereken hoeveel seconden verschil er is tussen de twee waarden op het blad. Als
dit verschil niet gelijk is aan ∆t1 (van 2.), ga dan naar 4.(a). Als dit verschil
gelijk is aan ∆t1 , zet dan het resultaat van deze meting in een kolom op het
blad en ga naar 4.(a) als er minder dan 100 000 waarden in de kolom staan,
ga naar 4.(d) als er 100 000 waarden in de kolom staan.
(d) Bepaal de relatieve frequentie van a1 in de kolom (dit is het aantal keer dat a1
voorkomt in de kolom gedeeld door 100 000), ..., bepaal de relatieve frequentie
van an in de kolom.
Als je 4.(a) tot en met 4.(d) uitvoert, kan je zien of de voorspelling uitkomt of niet.
4.(a) tot en met 4.(d) is voor sommige experimentele opstellingen anders dan hier
besproken. Voor een voorbeeld verwijzen we naar hoofdstuk 4.
In sommige gevallen volgt ∆t1 (d.m.v. correspondentieregel 3) uit de experimentele
opstelling. ∆t1 wordt dan niet gekozen. Voor een voorbeeld hiervan verwijzen we naar
hoofdstuk 4.
Methode 2
1. Bouw een experimentele opstelling.
HOOFDSTUK 3. KWANTUMMECHANICA
55
2. Neem een blad papier, kies een bepaalde ∆t1 ∈ R+
0 en pas correspondentieregels 1, 2,
4 en 5 toe die bij de experimentele opstelling horen die je gebouwd hebt. Het resultaat
hiervan is dat op het blad het volgende staat: een bepaalde d, een bepaalde ρ0 , een
bepaalde ∆t1 , een bepaalde H1 en een bepaalde A.
3. Doe berekening 1. Vertrek van de streepjes die je gezet hebt in 2., hoofdstuk 2 en
appendix A. Het resultaat hiervan is dat op het blad het volgende staat: een bepaalde
ρ1 , een bepaalde n, een bepaalde a1 , ..., een bepaalde an , een bepaalde E1 , ..., een
bepaalde En , een bepaalde p(a1 ), ..., een bepaalde p(an ).
4. Kies een bepaalde i uit {1, ..., n} waarvoor geldt: p(ai ) 6= 0.
5. Kies een bepaalde ∆t2 ∈ R+
0 en pas correspondentieregels 9 en 10 toe die bij de
experimentele opstelling horen die je gebouwd hebt. Het resultaat hiervan is dat op
het blad het volgende staat: een bepaalde ∆t2 , een bepaalde H2 en een bepaalde B.
6. Doe berekening 2. Vertrek van d uit 2., ρ1 en Ei uit 3. (met i uit 4.), ∆t2 , H2
en B uit 5., hoofdstuk 2 en appendix A. Het resultaat hiervan is dat op het blad
het volgende staat: een bepaalde b1 , ..., een bepaalde bm , een bepaalde p(b1 ), ..., een
bepaalde p(bm ).
7. Formuleer een voorspelling door b1 , ..., bm , p(b1 ), ..., p(bm ) van 6. in verband te
brengen met ervaringen met bepaalde eigenschappen d.m.v. correspondentieregel 11
en correspondentieregel 12 die bij de experimentele opstelling horen die je gebouwd
hebt:
Als je 7.(a) tot en met 7.(f ) volgt, zal de relatieve frequentie van b1 in de kolom
(zoals bepaald in 7.(f )) ongeveer gelijk zijn aan p(b1 ) (zoals bepaald in 6.), ..., de
relatieve frequentie van bm in de kolom (zoals bepaald in 7.(f )) ongeveer gelijk zijn
aan p(bm ) (zoals bepaald in 6.).
Met 7.(a), ..., 7.(f ):
(a) Kijk naar het uitleesvenster van het preparatietoestel. Als daar iets op
verschijnt, kijk dan op je horloge en noteer op een blad papier wat op je horloge
staat.
(b) Kijk naar het uitleesvenster van het meettoestel dat correspondeert met A. Als
daar iets op verschijnt en de uitkomst van deze meting is ai , kijk dan op je
horloge en noteer op het blad wat op je horloge staat. Als de uitkomst van deze
meting niet ai is, ga dan naar 7.(a).
(c) Bereken hoeveel seconden verschil er is tussen de twee waarden op het blad. Als
dit verschil niet gelijk is aan ∆t1 (van 2.), ga dan naar 7.(a). Als dit verschil
gelijk is aan ∆t1 , ga dan naar 7.(d).
HOOFDSTUK 3. KWANTUMMECHANICA
56
(d) Kijk naar het uitleesvenster van het meettoestel dat correspondeert met B. Als
daar iets op verschijnt, kijk dan op je horloge en noteer op het blad wat op je
horloge staat.
(e) Bereken hoeveel seconden verschil er is tussen de waarde van 7.(b) en de waarde
van 7.(d). Als dit verschil niet gelijk is aan ∆t2 , ga dan naar 7.(a). Als dit
verschil gelijk is aan ∆t2 , zet dan het resultaat van deze meting in een kolom
op het blad en ga naar 7.(a) als er minder dan 100 000 waarden in de kolom
staan, ga naar 7.(f ) als er 100 000 waarden in je kolom staan.
(f ) Bepaal de relatieve frequentie van b1 in de kolom, ..., bepaal de relatieve
frequentie van bm in de kolom.
Als je 7.(a) tot en met 7.(f) uitvoert, kan je zien of de voorspelling uitkomt of niet.
7.(a) tot en met 7.(f) is voor sommige experimentele opstellingen anders dan hier
besproken.
In 4.(a), 4.(b) en 4.(c) van methode 1 en in 7.(a), 7.(b) en 7.(c) van methode 2
gebruiken we correspondentieregel 3. In 7.(b), 7.(d) en 7.(e) van methode 2 gebruiken we
correspondentieregel 8.
Methode 1 geldt enkel als de experimentele opstelling niet verandert gedurende
het uitvoeren van 4.(a) tot en met 4.(d). Methode 2 geldt enkel als de experimentele
opstelling niet verandert gedurende het uitvoeren van 7.(a) tot en met 7.(f). Methode 1
geldt enkel als H1 dezelfde afbeelding is in de 100 000 keer dat we een waarde in de kolom
zetten. Methode 2 geldt enkel als H1 dezelfde afbeelding is en H2 dezelfde afbeelding
is in de 100 000 keer dat we een waarde in de kolom zetten. Methode 1 en methode 2
gelden niet als we de 100 000 waarden vinden door b.v. de 100 000 grootste waarden te
nemen uit een grotere kolom.
Methode 1 en methode 2 kunnen nog verder aangevuld worden met methode 3
waar we ook correspondentieregels 13, 14, 15, 16, 17 en berekening 3 gebruiken, methode
4 ...
Ik ken geen enkele manier om aan te tonen dat de voorspellingen verkregen door
kwantummechanica toe te passen, meestal ongeveer uitkomen. Ik ken geen enkele manier
om aan te tonen dat de voorspellingen verkregen door klassieke mechanica toe te passen,
meestal ongeveer uitkomen.
Hoofdstuk 4
Het New Mexico State University
Stern-Gerlach apparaat als voorbeeld
In dit hoofdstuk geven we een voorbeeld van het gebruik van kwantummechanica zoals
aangebracht in hoofdstuk 3. We doen dit aan de hand van [3]. De figuren in dit hoofdstuk
zijn overgenomen uit [3].
Methode 1 (van paragraaf 3.3) wordt voor dit voorbeeld:
1. Bouw een experimentele opstelling. Dit is uitgevoerd in [3].
Figuur 4.1 geeft aan hoe de experimentele opstelling is gebouwd en met welke
onderdelen. Figuur 4.2 is een foto van de experimentele opstelling. Figuur 4.3
geeft de experimentele opstelling schematisch weer.
2. Hier gebruiken we volgende reeks van correspondentieregels die bij de experimentele
opstelling in [3] horen:
• Correspondentieregel 1: de experimentele opstelling brengen we in verband met
“2”.
• Correspondentieregel 2: het deel van de experimentele opstelling dat in figuur
4.3 wordt aangeduid met A,B,C en D, brengen we in verband met “ 21 P[φ1 ] + 12 P[φ2 ]
met φ1 , φ2 ∈ R2 en {φ1 , φ2 } een complete orthonormale verzameling”. Het deel
van de experimentele opstelling dat in figuur 4.3 wordt aangeduid met A,B,C
en D, noemen we het preparatietoestel.
• Correspondentieregel 3 en correspondentieregel 4: de experimentele opstelling
brengen we in verband met een ∆t1 en een H1 (die voldoen aan de voorwaarden
van correspondentieregel 3 en correspondentieregel 4) waarvoor geldt dat ∆t1
zo klein is dat we voor U1 (∆t1 ) (uit berekening 1 1.) 1 kunnen gebruiken.
• Correspondentieregel 5: het deel van de experimentele opstelling dat in figuur
4.3 wordt aangeduid met E en F, brengen we in verband met “1P[φ1 ] − 1P[φ2 ] ”.
57
HOOFDSTUK 4. HET NEW MEXICO STATE UNIVERSITY STERN-GERLACH APPARAAT
Het deel van de experimentele opstelling dat in figuur 4.3 wordt aangeduid met
E en F, noemen we het meettoestel.
3. Hier doen we berekening 1:
d=2
(4.1)
φ1 , φ2 ∈ R2 en {φ1 , φ2 } is een complete orthonormale verzameling
1
1
ρ0 = P[φ1 ] + P[φ2 ]
2
2
U1 (∆t1 ) = 1
A = 1P[φ1 ] − 1P[φ2 ]
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
1. U1 (∆t1 ) = 1 wegens (4.4)
2.
ρ1 = U1 (∆t1 )ρ0 (U1 (∆t1 ))†
1
1
= 1.( P[φ1 ] + P[φ2 ] ).1
2
2
1
=
(P[φ1 ] + P[φ2 ] )
2
(4.6)
(4.7)
(4.8)
Wegens stelling 37 en omdat [φ1 ]⊥[φ2 ], geldt dan:
1
P[φ ,φ ]
2 1 2
1
=
PR
2 2
ρ1 =
(4.9)
(4.10)
Wegens stelling 34 geldt dan:
ρ1 =
1
2
(4.11)
3. Aangezien
(1P[φ1 ] − 1P[φ2 ] )φ1 = 1φ1
(4.12)
(1P[φ1 ] − 1P[φ2 ] )φ2 = −1φ2
(4.13)
is wegens definitie 37 en stelling 52 (P[φ1 ] , 1), (P[φ2 ] , −1) een oplossing van
eigenwaarde-probleem 10 van 1P[φ1 ] − 1P[φ2 ] . Hieruit volgt:
n = 2, a1 = 1, a2 = −1, E1 = P[φ1 ] en E2 = P[φ2 ]
(4.14)
4. Wegens (4.11) en (4.14) geldt:
1
p(a1 ) = Tr( P[φ1 ] )
2
(4.15)
HOOFDSTUK 4. HET NEW MEXICO STATE UNIVERSITY STERN-GERLACH APPARAAT
Wegens definitie 61 volgt hieruit:
1
1
p(a1 ) = φ1 , P[φ1 ] φ1 + φ2 , P[φ1 ] φ2
2
2
(4.16)
Omdat {ρ1 , ρ2 } een complete orthonormale verzameling is (zie (4.2)), volgt
hieruit:
1
hφ1 , φ1 i + 0
2
1
=
2
p(a1 ) =
(4.17)
(4.18)
Analoog vinden we:
1
p(a2 ) = Tr( P[φ2 ] )
2
1
1
=
φ1 , P[φ2 ] φ1 + φ2 , P[φ2 ] φ2
2
2
1
= 0 + hφ2 , φ2 i
2
1
=
2
(4.19)
(4.20)
(4.21)
(4.22)
4. Hier formuleren we een voorspelling door p(a1 ) en p(a2 ) van 3. in verband te
brengen met ervaringen met bepaalde eigenschappen. Hiervoor maken we gebruik
van correspondentieregel 7 die hoort bij de experimentele opstelling in [3].
Als je 4.(a) tot en met 4.(l) volgt, zal
ongeveer gelijk zijn aan 12 .
A1
A
ongeveer gelijk zijn aan
1
2
en zal
A−1
A
Met 4.(a), ..., 4.(l):
(a) Breng de experimentele opstelling in werking.
(b) Schakel de elektromagneet uit.
(c) Zet de detector op verschillende verticale posities. Lees telkens wat op het
uitleesvenster staat. Kies de posities zo dat de uitleeswaarden horend bij
opeenvolgende posities niet zo veel verschillen. Doe dit totdat op de uiterste
posities de uitleeswaarden zeer klein worden ten opzichte van de uitleeswaarden
die horen bij posities meer in het midden.
(d) Zet in een grafiek de uitleeswaarden uit ten opzichte van de verticale positie
van de detector (uitgedrukt in mils, 1 mil is 0.001 inch).
(e) Trek een vloeiende lijn die ongeveer door de punten van de grafiek gaat.
(f) Bepaal de positie die hoort bij de grootste uitleeswaarde.
(g) Schakel de elektromagneet aan.
HOOFDSTUK 4. HET NEW MEXICO STATE UNIVERSITY STERN-GERLACH APPARAAT
(h) Zet de detector op verschillende verticale posities. Lees telkens wat op het
uitleesvenster staat. Kies de posities zo dat de uitleeswaarden horend bij
opeenvolgende posities niet zo veel verschillen. Doe dit totdat op de uiterste
posities de uitleeswaarden zeer klein worden ten opzichte van de uitleeswaarden
die horen bij posities meer in het midden.
(i) Zet in een grafiek de uitleeswaarden uit ten opzichte van de verticale positie
van de detector (uitgedrukt in mils).
(j) Trek een vloeiende lijn die ongeveer door de punten van de grafiek gaat.
(k) Bereken de oppervlakte A onder de vloeiende lijn getrokken in (e). Bereken
de oppervlakte A−1 onder het deel van de vloeiende lijn getrokken in (e) dat
hoort bij posities kleiner dan de positie bepaald in (f). Bereken de oppervlakte
A1 onder het deel van de vloeiende lijn getrokken in (e) dat hoort bij posities
groter dan de positie bepaald in (f).
(l) Bepaal
A1
A
en
A−1
.
A
In [3] werd 4.(a) tot en met 4.(l) uitgevoerd. In figuur 4.4 zien we dat
is aan 21 en dat AA−1 ongeveer gelijk is aan 21 .
A1
A
ongeveer gelijk
Figuur 4.1: Deze figuur geeft aan hoe de experimentele opstelling is gebouwd en met welke
onderdelen, overgenomen uit [3].
HOOFDSTUK 4. HET NEW MEXICO STATE UNIVERSITY STERN-GERLACH APPARAAT
Figuur 4.2: Foto van de experimentele opstelling, overgenomen uit [3].
HOOFDSTUK 4. HET NEW MEXICO STATE UNIVERSITY STERN-GERLACH APPARAAT
Figuur 4.3: Schematische voorstelling van de experimentele opstelling, overgenomen uit [3].
HOOFDSTUK 4. HET NEW MEXICO STATE UNIVERSITY STERN-GERLACH APPARAAT
Figuur 4.4: Grafiek van de uitleeswaarden ten opzichte van de verticale positie van de detector,
overgenomen uit [3].
Hoofdstuk 5
Besluit
Ik vind geen conceptuele problemen die voortkomen uit kwantummechanica zoals hier
aangebracht.
In deze scriptie hebben we geen gebruik gemaakt van de woordcombinaties: “fysisch
systeem”, “toestand van een fysisch systeem” en “fysische grootheid”. Het woord
“meting” wordt hier gebruikt voor het verschijnen van een waarde op een uitleesvenster
(een ervaring met bepaalde eigenschappen). Het woord “waarschijnlijkheid” komt niet
voor, wel de woordcombinatie “de relatieve frequentie van een bepaalde waarde in een
bepaalde kolom”. De dichtheidsoperator of statistische operator (hetzelfde geldt voor de
golffunctie of de toestandsvector) komt hier enkel voor als streepjes op een blad papier
die je zet bij bepaalde ervaringen en waarmee je rekent. Het woord “tijd” komt niet
voor, wel de woordcombinatie “Kijk op je horloge en noteer op een blad papier wat op
je horloge staat.” Het woord “elektron” komt hier nergens voor, wel de woordcombinatie
“vlekje op een monitor”.
Kwantummechanica zoals hier aangebracht, kan rechtstreeks worden toegepast.
Aanwijzingen voor verder onderzoek:
– Het verzamelen van correspondentieregels bij experimentele opstellingen en zoeken
naar regels die helpen bij het vinden van correspondentieregels die horen bij een bepaalde
experimentele opstelling.
– Het nauwkeurig opbouwen van b.v. relativistische kwantumveldentheorie, klassieke
mechanica, ...
64
Appendix A
Functies
Definitie A.1 (A × B)
Als A en B verzamelingen zijn, dan:
• A × B = {(a, b) | a ∈ A en b ∈ B}
Definitie A.2 (functie van A naar B)
Als A en B verzamelingen zijn, dan:
• f is een functie van A naar B ⇔
∗ f ⊂ (A × B) en
∗ ((a, b) ∈ f en (a, c) ∈ f ) ⇒ b = c
Definitie A.3 (dom(f ), domein van f , bereik van f )
Als A en B verzamelingen zijn; f een functie is van A naar B, dan:
• dom(f ) = {a ∈ A | ∃b ∈ B : (a, b) ∈ f }
• Het domein van f is dom(f ).
• Het bereik van f is {b ∈ B | ∃a ∈ A : (a, b) ∈ f }
Definitie A.4 (f (a), het beeld van a onder f )
Als A en B verzamelingen zijn; f een functie is van A naar B; a ∈ dom(f ); b ∈ B, dan:
• f (a) = b ⇔ (a, b) ∈ f
• b is het beeld van a onder f ⇔ f (a) = b
Definitie A.5 (afbeelding van A naar B, bijectie van A naar B)
Als A en B verzamelingen zijn, dan:
• f is een afbeelding van A naar B ⇔
∗ f is een functie van A naar B en
65
APPENDIX A. FUNCTIES
∗ dom(f ) = A
• f is een bijectie van A naar B ⇔
∗ f is een afbeelding van A naar B en
∗ ∀b ∈ B; ∃!a ∈ A : (a, b) ∈ f
Stelling A.1
Als A en B verzamelingen zijn, dan:
• f is een functie van A naar B ⇒ f is een afbeelding van dom(f ) naar B.
Definitie A.6 (V = V 0 , V is (gelijk aan) V 0 )
Als V en V 0 verzamelingen zijn, dan:
• V = V 0 ⇔ (∀a ∈ V : a ∈ V 0 en ∀a0 ∈ V 0 : a0 ∈ V )
• V is (gelijk aan) V 0 ⇔ V = V 0
Definitie A.7 ((a, b) = (c, d), (a, b) is (gelijk aan) (c, d))
Als (a, b), (c, d) ∈ A × B, dan:
• (a, b) = (c, d) ⇔ (a = c en b = d)
• (a, b) is (gelijk aan) (c, d) ⇔ (a, b) = (c, d)
Stelling A.2
Als A en B verzamelingen zijn; f en g functies zijn van A naar B, dan:
• f = g ⇔ (dom(f ) = dom(g) en ∀a ∈ dom(f ) : f (a) = g(a))
Stelling A.2 is een gevolg van definitie A.6 en definitie A.7.
66
Appendix B
Bewijzen bij hoofdstuk 3
B.1
Bewijs 1
Gegeven:
– d voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 1.
– ρ voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 2: (ρ ∈ R̂d ) en (ρ is hermitisch,
definiet en gesloten) en (∃φ1 , φ2 , ... ∈ dom(ρ) : {φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale
d
P
verzameling en
hφν , ρφν i = 1)
ν=1
– U ∈ Rd is unitair.
Te bewijzen:
– U ρU † voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 2.
Bewijs:
1) Uit wat gegeven is en stelling 83 en stelling 71 volgt:
dom(ρ) = Rd
(B.1)
Omdat U unitair is, geldt wegens stelling 19:
dom(U ) = Rd en dom(U † ) = Rd
(B.2)
dom(U ρU † ) = Rd
(B.3)
Uit (B.1) en (B.2) volgt:
Hieruit volgt dat U ρU † ∈ R̂d en dat U ρU † gesloten is.
2) (U ρU † )† is wegens stelling 18 gelijk aan U ρ† U † . Omdat ρ hermitisch is, volgt hieruit
dat U ρU † hermitisch is.
3)
∀φ ∈ Rd : φ, U ρU † φ = U † φ, ρU † φ
(B.4)
†
U φ, ρU † φ is een reëel getal groter dan of gelijk aan 0 omdat ρ definiet is. U ρU † is dus
definiet.
4) Uit wat gegeven is, volgt:
67
APPENDIX B. BEWIJZEN BIJ HOOFDSTUK 3
68
∃U † φ01 , U † φ02 , ... ∈ dom(ρ) : U † φ01 , U † φ02 , ... is een complete orthonormale verzameling en
d P
U † φ0ν , ρU † φ0ν = 1
ν=1
Wegens stelling 20 volgt dan:
∃φ01 , φ02 , ... ∈ dom(ρ) : {φ01 , φ02 , ...} is een complete orthonormale verzameling en
d P
φ0ν , U ρU † φ0ν = 1
ν=1
Hiermee is bewezen dat U ρU † voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 2.
B.2
Bewijs 2
Gegeven:
– d voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 1.
– ρ voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 2.
– A voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 5.
– {(E1 , a1 ), ..., (En , an )} is de oplossing van eigenwaarde-probleem 10 van A.
– {(φ11 , a1 ), (φ12 , a1 ), ..., ..., (φn1 , an ), (φn2 , an ), ...} is een oplossing van eigenwaardeprobleem 1 van A.
– ∀i ∈ {1, ..., n}: gi is het aantal elementen van {(φi1 , ai ), (φi2 , ai ), ...} als deze verzameling
eindig is, gi is ∞ als {(φi1 , ai ), (φi2 , ai ), ...} een oneindige verzameling is.
Te bewijzen: ∀i ∈ {1, ..., n}:
• ρEi voldoet aan de voorwaarden van de definitie van het spoor van een operator (definitie
61):
– ρEi ∈ R̂d
– ∃c ∈ C; ∀φ1 , φ2 , ... ∈ dom(ρEi ) :
d
P
{φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling ⇒
hφν , ρEi φν i = c
ν=1
• Tr(ρE1 ), ...,Tr(ρEn ) voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 7:
– Tr(ρEi ) ∈ [0, 1]
n
P
–
Tr(ρEν ) = 1
ν=1
Bewijs: ∀i ∈ {1, ..., n}
1) Omdat het domein van ρEi gelijk is aan Rd geldt: ρEi ∈ R̂d .
2) Ei is volgens stelling 36 definiet en wegens stelling 71 en stelling 72 hypermaximaal.
3)
gj
gi
n X
X
X
hφjk , ρEi φjk i =
hφik , ρφik i
(B.5)
j=1 k=1
Wegens stelling 83 is
gi
P
k=1
hφik , ρφik i gelijk aan 1. Omdat ρ definiet is, is elke term hφik , ρφik i
k=1
groter dan of gelijk aan 0. Hieruit volgt dat
gj
n P
P
j=1 k=1
hφjk , ρEi φjk i ∈ [0, 1].
APPENDIX B. BEWIJZEN BIJ HOOFDSTUK 3
69
4) Uit 2) en 3) volgt wegens stelling 85:
∃c ∈ [0, 1]; ∀φ1 , φ2 , ... ∈ Rd :
d
P
{φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling ⇒
hφν , ρEi φν i = c
ν=1
5) Uit 1) en 4) volgt dat ρEi voldoet aan de voorwaarden van definitie 61.
6) Uit 4) en definitie 61 volgt dat Tr(ρEi ) ∈ [0, 1].
7)
n
X
Tr(ρEν ) =
ν=1
=
gj
n X
n X
X
hφjk , ρEν φjk i
ν=1 j=1 k=1
gν
n X
X
hφνk , ρφνk i
(B.6)
(B.7)
ν=1 k=1
= 1
(B.8)
(B.7) is 1 omdat ρ voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 2 en wegens
stelling 83.
B.3
Bewijs 3
Gegeven:
– d voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 1.
– ρ voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 2.
– E ∈ R̂d , E is een projector en ρE 6= 0.
Te bewijzen:
EρE
voldoet aan de voorwaarden van correspondentieregel 2:
Tr(ρE)
EρE
– Tr(ρE)
∈ R̂d
EρE
– Tr(ρE) is hermitisch, definiet en gesloten.
EρE
):
– ∃φ1 , φ2 , ... ∈ dom( Tr(ρE)
{φ1 , φ2 , ...} is een complete orthonormale verzameling en
d D
P
ν=1
E
EρE
φν , Tr(ρE)
φν = 1
Bewijs:
1) Wegens stelling 84 is Tr(ρE) 6= 0. Uit bewijs 2 van dit hoofdstuk volgt dan dat
Tr(ρE) ∈]0, 1].
2) Omdat
dom(ρ) = Rd en dom(E) = Rd
(B.9)
geldt:
dom (EρE) = Rd
(B.10)
APPENDIX B. BEWIJZEN BIJ HOOFDSTUK 3
70
3) Uit 1) en 2) volgt:
EρE
EρE
∈ R̂d en
is gesloten
Tr(ρE)
Tr(ρE)
(B.11)
4) Uit stelling 18 volgt:
EρE
Tr(ρE)
†
=
EρE
Tr(ρE)
(B.12)
EρE
omdat ρ en E hermitisch zijn. Tr(ρE)
is dus hermitisch.
5) ∀φ ∈ Rd :
EρE
1
φ,
φ =
hEφ, ρEφi
Tr(ρE)
Tr(ρE)
(B.13)
EρE
definiet is.
Omdat ρ definiet is en omdat Tr(ρE) ∈]0, 1] volgt hieruit dat Tr(ρE)
6) Voor de complete orthonormale verzameling {φ01 , φ02 , ..., φ11 , φ12 , ...} met P[φ11 ,φ12 ,...] =
E geldt:
gj gj
1 X
1 X
X
X
EρE
1
φjk ,
φjk
=
hEφjk , ρEφjk i
Tr(ρE)
Tr(ρE) j=0 k=1
j=0 k=1
(B.14)
g1
X
1
hφ1k , ρφ1k i
=
Tr(ρE) k=1
1
gj
XX
1
=
hφjk , ρEφjk i
Tr(ρE) j=0 k=1
1
Tr(ρE)
Tr(ρE)
= 1
=
(B.15)
(B.16)
(B.17)
(B.18)
waarbij ∀i ∈ {1, 2}: gi is het aantal elementen van {φi1 , φi2 , ...} als deze verzameling eindig
is, gi is ∞ als {φi1 , φi2 , ...} een oneindige verzameling is.
Bibliografie
[1] N. BOHR. Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics. In
J.A. WHEELER & W.H. ZUREK, editor, Quantum Theory and Measurement. Princeton
University Press, Princeton, 1983.
[2] N. BOHR. The Quantum Postulate and the Recent Development of Atomic Theory. In
J.A. WHEELER & W.H. ZUREK, editor, Quantum Theory and Measurement. Princeton
University Press, Princeton, 1983.
[3] M.D. DAYBELL. The New Mexico State University Stern-Gerlach Apparatus. Am. J.
Phys., 35:637–641, 1967.
[4] W. DE BAERE. Grondslagen van de kwantummechanica. UGent, 2004.
[5] P.A.M. DIRAC. The Principles of Quantum Mechanics. Fourth Edition. Oxford University
Press, 1958.
[6] A. EINSTEIN & B. PODOLSKY & N. ROSEN. Can quantum-mechanical description of
physical reality be considered complete? In J.A. WHEELER & W.H. ZUREK, editor,
Quantum Theory and Measurement. Princeton University Press, Princeton, 1983.
[7] J. HILGEVOORD. Grondslagen van de quantummechanica. Universiteit Utrecht, 2001.
[8] M. JAMMER. The Philosophy of Quantum Mechanics. Wiley, New York, 1974.
[9] E. PRUGOVECKI. Quantum Mechanics in Hilbert Space. Academic Press, New York,
1971.
[10] F. RIESZ & B. SZ.-NAGY. Functional Analysis. F. Ungar Publishing Co., New York, 1955.
[11] A. TONOMURA, J. ENDO, T. MATSUDA, T. KAWASAKI & H. EZAWA. Demonstration
of single-electron buildup of an interference pattern. Am. J. Phys., 57:117–120, 1989.
[12] H. VERSCHELDE. Niet-relativistische kwantummechanica en beginselen van de relativistische kwantummechanica. UGent, 2004.
[13] J. VON NEUMANN. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton University Press, Princeton, 1955.
71
BIBLIOGRAFIE
72
[14] M. WAROQUIER. Kwantummechanica I. UGent, 2003.
[15] J.A. WHEELER & W.H. ZUREK, eds. Quantum Theory and Measurement. Princeton
University Press, Princeton, 1983.