Wisselstroombruggen

Verslag proef 3:
Wisselstroombruggen
door Willem van Engen
10-13 februari 2003, id#471917
2
Samenvatting
Met behulp van een lock-in versterker zijn de weerstand en inductie gemeten van een
primaire en bijbehorende secundaire spoel. Daarna is, door twee secundaire spoelen in
tegenfase in serie te zetten, de susceptibiliteit van weekijzer en ferriet bepaald.
De susceptibiliteit van weekijzer is afhankelijk van de frequentie door magnetische hysterese. Bovendien wordt hierdoor een faseverschil bewerkstelligd. De susceptibiliteit van
ferriet is onafhankelijk van de frequentie en een verwaarloosbaar complex deel.
Van het supergeleidend materiaal Y Ba2 Cu3 O7−δ is de susceptibiliteit over een temperatuurinterval gemeten. Hieruit is een kritische temperatuur bepaald van Tc ≈ 90 K. Dit
is in overeenstemming met literatuur.
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
INHOUDSOPGAVE
3
Inhoudsopgave
1 Inleiding
4
2 Theorie
5
2.1
De spoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Wederzijdse inductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Supergeleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4
Lock-in versterker
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Experimentele opzet
7
3.1
Meting primaire spoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
Bepaling wederkerige inductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3
Bepaling f χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4
Temperatuurafhankelijkheid van Y Ba2 Cu3 O7−δ
8
. . . . . . . . . . . . . .
4 Resultaten
9
4.1
Meting primaire spoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2
Wederkerige inductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.3
Bepaling f χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.4
Temperatuurafhankelijkheid van Y Ba2 Cu3 O7−δ
12
. . . . . . . . . . . . . .
5 Discussie en conclusies
14
5.1
Meting spoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
5.2
Wederkerige inductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
5.3
Bepaling f χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
5.4
Temperatuurafhankelijkheid van Y Ba2 Cu3 O7−δ
15
Wisselstroombruggen
. . . . . . . . . . . . . .
Willem van Engen
1 Inleiding
1
4
Inleiding
Wisselstroombruggen zijn elektronische schakelingen waarmee impedanties met elkaar
kunnen worden vergeleken. Een veel gebruikte schakeling is gebaseerd op de (gelijkstroom)brug van Wheatstone. Met de wisselstroomvariant hiervan, de zgn. brug van
Maxwell, kunnen ook complexe impedanties met elkaar worden vergeleken, en kan bijvoorbeeld de zelfinductie van een spoel worden bepaald.
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
2 Theorie
2
2.1
5
Theorie
De spoel
Een ideale spoel alleen een zelfinductie. Wanneer een spoel wordt
beschouwd als een serieschakeling van een zelfinductie en een weerstand, wordt de werkelijkheid een stuk beter benaderd. Dan geldt
voor de impedantie Z = R + jωL.
Wanneer een wisselspanning over een spoel wordt gezet, onstaat ten
gevolge van de inductie een faseverschil in spanning en stroom. Dit
is zichtbaar gemaakt in figuur 1.
2.2
Wederzijdse inductie
jw LI
Vspoel
I.R
Figuur 1:
Vectordiagram
van
wisselspanning
over een spoel.
Wanneer een spoel (secundair) binnen een andere spoel (primair)
wordt geplaatst, is er sprake van wijderzijdse inductie wanneer over
de primaire spoel een wisselspanning wordt gezet. Het door deze
spoel opgewekte wisselend magnetisch veld brengt een fluxverandering in de secundaire
spoel teweeg, zodat daarover wisselspanning komt te staan. De coëfficient van wederkerige
inductie M hangt samen met fluxverandering over de secundaire spoel:
Vs = −M
dip
= jωM ip ,
dt
(1)
waarbij ip de stroom is die door de primaire spoel gaat. Voor de coëfficiënt van wederzijdse
inductie geldt bovendien dat
p
M = k Lp Ls ,
(2)
met 0 ≤ k ≤ 1, Lp de inductie van de primaire spoel en Ls de inductie van de secundaire
spoel.
Wanneer er in de spoel een preparaat wordt gebracht, verandert de wederkerige inductie.
Het opgewekte veld wordt er namelijk door beinvloedt. Dan geldt:
Vs = −M (1 + f χ)
dip
= jωM ip (1 + f χ).
dt
(3)
Hierin is χ de magnetische susceptibiliteit en f de vulfaktor, dat deel van het volume dat
het preparaat bevat. χ hangt af van het soort magnetisch materiaal.
In een paramagnetisch materiaal richten de magnetische momenten van de atomen zich
naar het extern aangelegde veld. Hierdoor wordt het veld versterkt. De susceptibiliteit
bij deze materialen varieert ongeveer van 10−5 tot 10−3 .
Bij een ferromagnetisch materiaal treedt meestal nog een ander effect op: hysterese. Dit
houdt in dat de magnetisatie van het materiaal trager gaat dan de variate van het externe
magnetische veld. Hierdoor krijgt de susceptibiliteit een imaginaire component. Een
typische waarde voor ferromagnetische materialen is χ = 104 .[1, 3]
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
2 Theorie
2.3
6
Supergeleiding
Wanneer de temperatuur van een supergeleider beneden de kritische temperatuur Tc komt,
verandert het magnetisch gedrag van het materiaal. Wanneer een supergeleider met een
temperatuur boven Tc in een magnetisch veld wordt geplaatst, is het veld in de supergeleider ongeveer even groot als het externe veld. Wanneer de temperatuur tot onder Tc daalt,
daalt het magnetisch veld in de supergeleider tot nul . Dit komt overeen met χ = −1.
2.4
Lock-in versterker
Lock-in versterkers worden gebruikt om kleine wisselspanningssignalen te detecteren.
Lock-in versterkers maken gebruik van een techniek die bekend is als fase-gevoelige detectie, waarbij alleen het deel van het signaal bij éen bepaalde frequentie en fase wordt
gemeten.
AC-amp
Signal
Input
Filter
DC-amp
mixer
(multiplier)
Osc
Output
Low-pass
filter
Output
Phase
shifter
Oscillator
Figuur 2: Blockschema van een lock-in versterker. De oscillator is niet altijd geı̈ntegreerd
met de lock-in versterker.
Bij een lock-in meting wordt een (sinusvormige) wisselspanning aan de te meten opstelling
aangeboden en de lock-in versterker meet de reactie van de opstelling op de wisselspanning.
Bij de wisselspanning hoort een blokvorming referentiesignaal met dezelfde frequentie.
Dit wordt aan de lock-in versterker aangeboden (of is ermee geı̈ntegreerd). De lock-in
versterker verschuift de fase van dit signaal (phase shifter) en vermenigvuldigt het met het
versterkte ingangssignaal (mixer/multiplier). Het resultaat is een laag- en hoogfrequent
signaal. Wanneer dit door een low-pass filter wordt gevoerd blijft het laagfrequente signaal
over:
Vout = AVin cos(φ + θin )
Hierin is Vout de uitgangsspanning, A de totale versterkingsfactor, Vin de ingangsspanning
van de lock-in versterker, en θin het faseverschil tussen ingangssignaal en referentiesignaal
en φ de op de lock-in versterker ingestelde fase. [1, 2]
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
3 Experimentele opzet
3
3.1
7
Experimentele opzet
Meting primaire spoel
Als eerste wordt de inductie en weerstand
van de primaire spoel van een spoelenstelsel
met twee secundaire spoelen met evenveel
windingen gemeten.
A
R
Osc. Out
De schakeling van figuur 3a wordt gebruikt
om de lock-in versterker zo in te stellen, dat
de fase tussen het referentiesignaal en de
stroom door het circuit (evenredig met de
spanning over de weerstand) nul is.
Vervolgens worden met de schakeling van
figuur 3b de componenten van de spanning
over de spoel gemeten die in en uit fase zijn
met de stroom.
A
L
Osc. Out
Input
Input
Lock-In
Amplifier
Lock-In
Amplifier
R
L
(a)
(b)
Figuur 3: Schakelingen voor metingen aan
een enkele spoel.
De meting wordt herhaald voor verschillende frequenties tussen 10Hz en 10kHz. Verder
wordt de inductie van de secundaire spoel op dezelfde wijze gemeten bij éen frequentie.
3.2
Bepaling wederkerige inductie
De wederkerige inductie M van het stelsel bestaande uit de primaire en secundaire spoel
wordt bepaald door de complexe spanning over de secundaire spoel te meten en deze te
relateren aan de stroom door de primaire spoel (zie ook formule 1).
Eerst wordt de fase van de lock-in versterker afgesteld op dezelfde wijze als bij de meting
van de primaire spoel (figuur 3a). L is hierbij nog steeds de primaire spoel. Dan wordt
de ingang van de lock-in versterker aangesloten op de secundaire spoel en de complexe
spanning daar over wordt gemeten.
De meting wordt weer herhaald voor frequenties tussen 10Hz en 10kHz.
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
3 Experimentele opzet
3.3
Bepaling f χ
Om de invloed van de aanwezigheid van bepaalde materialen in de spoel te meten worden twee secundaire spoelen gebruikt die in tegenfase in serie geschakeld zijn. Het
preparaat wordt in de ene secundaire spoel geplaatst, de
andere secundaire spoel blijft leeg. Zo wordt het door het
preparaat veroorzaakt verschil gemeten. De opstelling hiervoor is weergegeven in figuur 4.
Voordat de meting verricht wordt moet eerst de afstand
tussen de spoelen zo ingesteld worden, dat het signaal zonder preparaat zo laag mogelijk is, dus dat zoveel mogelijk
het verschil tussen met en zonder preparaat gemeten wordt.
Ook deze meting wordt gedaan bij frequenties tussen 10Hz
en 10kHz, voor ieder van de preparaten.
3.4
8
a
A
Input
P
Osc. Out
Lock-In
Amplifier
b
b
a
R
Figuur 4: Schakeling voor
het meten van de invloed
van de aanwezigheid van
preparaat P.
Temperatuurafhankelijkheid van Y Ba2 Cu3 O7−δ
Tot slot wordt de temperatuurafhankelijkheid van de susceptibiliteit van de hoge Tc supergeleider Y Ba2 Cu3 O7−δ gemeten. Hiervoor wordt dezelfde opstelling en meetmethode
gebruikt als bij de vorige meting. Aan het materiaal wordt een thermokoppel bevestigd
om de temperatuur te meten.
Met behulp van een (digitale) XY-schrijver wordt de uitgang van de lock-in versterker
gemeten als functie van de temperatuur van het preparaat. Afkoeling vindt plaats door
het preparaat te overgieten met vloeibare stikstof totdat oet net ondergedompeld is. Terwijl de stikstof verdampt stijgt de temperatuur. De meting wordt voortgezet totdat de
temperatuur zo hoog is dat het materiaal niet meer supergeleidend is.
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
4 Resultaten
4
4.1
9
Resultaten
Meting primaire spoel
De complexe spanning over de primaire spoel is gemeten bij verschillende frequenties. De
hieruit berekende weerstand en inductie van de spoel is uitgezet tegen de frequentie in
figuur 5.
Meting van de primare spoel
60.6
3.93
R
L
60.4
3.92
60.2
3.91
3.9
L = 3.893(4) mH
59.8
3.89
59.6
3.88
59.4
L [mH]
R [Ohm]
60
3.87
R = 59.263(7) Ohm
59.2
59
3.86
0.1
1
10
3.85
f [kHz]
Figuur 5: De weerstand en inductie van de primaire spoel als functie van de frequentie
4.2
Wederkerige inductie
De wederkerige inductie is bepaald en uitgezet tegen de frequentie in figuur 6. Verder
is de inductie van de secundaire spoel gemeten op 0.17551 ± 0.00006 mH. Hieruit volgt
k = 0.3996 ± 0.0009 (formule 2).
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
4 Resultaten
10
Bepaling wederkerige inductie
0.334
0.333
0.332
M [mH]
0.331
M = 0.3303(5) mH
0.33
0.329
0.328
0.327
0.326
0.01
0.1
1
10
f [kHz]
Figuur 6: M als functie van de frequentie voor het stelstel van de primaire en een secundaire spoel.
4.3
Bepaling f χ
Van ferriet en weekijzer is bij verschillende frequenties f χ gemeten met samples van
verschillende grootte. De resultaten zijn weergegeven in figuur 7.
Reeele susceptibiliteit van weekijzer
f*Chi
0.0001
1e-05
1e-06
f=0.016
f=0.027
f=0.043
1
10
f [kHz]
(a)
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
4 Resultaten
11
Imaginaire susceptibiliteit van weekijzer
1e-07
f=0.016
f=0.027
f=0.043
f*Chi
1e-08
1e-09
1e-10
1
10
f [kHz]
(b)
Reeele susceptibiliteit van ferriet
f*Chi
0.0001
1e-05
1e-06
f=0.017
f=0.031
f=0.047
1
10
f [kHz]
(c)
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
4 Resultaten
12
Imaginaire susceptibiliteit van ferriet
2e-10
1.5e-10
1e-10
f*Chi
5e-11
0
-5e-11
-1e-10
f=0.017
f=0.031
f=0.047
-1.5e-10
-2e-10
1
10
f [kHz]
(d)
Figuur 7: Meting van f χ van ferriet en weekijzer bij verschillende frequenties en sample
groottes. De berekende vulfaktor f is erbij vermeld.
4.4
Temperatuurafhankelijkheid van Y Ba2 Cu3 O7−δ
De output van de lock-in versterker en de temperatuur zijn gemeten bij de opwarming
van Y Ba2 Cu3 O7−δ . De temperatuur en susceptibiliteit zijn uitgezet in figuur 8 en 9.
Omdat de thermokoppel een grote spreiding in meetresultaten geeft, zijn de meetseries
ook gemiddeld in de grafieken weergegeven.
Reeele susceptibiliteit als functie van de temperatuur
0.014
Raw data
50-point average
0.012
f.Re(chi)
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
T [K]
Figuur 8: Reëele susceptibiliteit van Y Ba2 Cu3 O7−δ bij f = 1kHz.
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
4 Resultaten
13
Imaginaire susceptibiliteit als functie van de temperatuur
0.0002
Raw data
50-point average
0
f.Im(chi)
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
-0.001
-0.0012
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
T [K]
Figuur 9: Imaginaire susceptibiliteit van Y Ba2 Cu3 O7−δ bij bij f = 1kHz.
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
5 Discussie en conclusies
5
5.1
14
Discussie en conclusies
Meting spoel
De inductie van de primaire spoel is gemeten op 3.89 ± 0.02 mH, dit is niet in overeenstemming met de uit de afmetingen berekende inductie van 3.3 ± 0.4 mH, maar de waarden liggen zeer dicht bij elkaar. De met de lock-in versterker gemeten weerstand van
59.26 ± 0.007 Ω is consistent met de met de ohmmeter gemeten waarde van 59.4 ± 0.1 Ω.
Wat opvalt in figuur 5 is dat de inductie (met een bepaalde spreiding) constant blijft over
het hele frequentieinterval, terwijl de weerstand duidelijk toeneemt bij frequenties boven
de 2 kHz. Dit is het gevolg van kringstroompjes in de windingen van de spoel, die ervoor
zorgen dat de stroom aan de buitenkant van de windingen loopt. Dit effect neemt toe bij
hogere frequenties, waardoor de weerstand effectief groter wordt. Dit is zichtbaar in de
meting.
5.2
Wederkerige inductie
De coëfficiënt van wederkerige inductie is gemeten M = 0.330 ± 0.001 mH. Wanneer het
berekend wordt met de afmetingen en windingen van de spoelen, komt de wederkerige
inductie op M = 0.24 ± 0.03 mH. Dit is niet strict consistent, maar benadert elkaar wel.
De resultante k-waarde van 0.3996 ± 0.0009 ≤ 1 en is daarmee in overeenstemming met
de theorie.
5.3
Bepaling f χ
De reëele susceptibiliteit van ferriet (figuur 7(c)) heeft een constante waarde van 0.5 ± 0.2 ·
10−3 . De in de grafiek uitgezette f ∗χ is gedeeld door f , maar hiermee is de afhankelijkheid
van f niet opgeheven. Een oorzaak hiervoor kan zijn dat verkeerde waarden voor de
grootte van de preparaten gebruikt is.
De susceptibiliteit van ferriet
De reëele susceptibiliteit van weekijzer (figuur 7(a)) neemt af als de frequentie toeneemt.
Dit is te wijten aan de hysterese van ferromagnetische materialen, wat energiedissipatie
veroorzaakt. Bij hogere frequenties wordt de magnetisatie steeds sneller veranderd, waardoor er meer energiedissipatie optreedt, zodat de in de secundaire spoel geı̈nduceerde
spanning afneemt.
De susceptibiliteit van weekijzer is 74 ± 2 · 10−5 . De fout wordt veroorzaakt doordat
χ experimenteel niet onafhankelijk is van f . Dit wordt waarschijnlijk veroorzaakt door
onjuiste vulfaktoren.
De imaginaire susceptibiliteit van ferriet (figuur 7(d)) vertoont een grote spreiding en is
bijna nul. Echter niet helemaal, want de nulinstelling van het spoelenstelsel was niet exact
nul en is afhankelijk van de frequentie.
De susceptibiliteit van ferriet is 62 ± 25 · 10−5 . Ook hier is een is χ experimenteel niet
onafhankelijk van f .
De imaginaire susceptibiliteit van weekijzer (figuur 7(b)) is niet nul en vertoont een duidelijke frequentieafhankelijkheid. De oorzaak hiervan is magnetische hysterese (zie paragraaf
2.2).
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
5 Discussie en conclusies
5.4
15
Temperatuurafhankelijkheid van Y Ba2 Cu3 O7−δ
In de figuren 8 en 9 is duidelijk een overgang te zien van supergeleidende toestand naar
niet supergeleidend. Deze overgang vindt plaats bij de kritieke temperatuur, tussen 90 en
100 K. In dit overgangsgebied is een deel van het materiaal reeds opgewarmd tot boven
de kritieke temperatuur, maar een ander deel nog niet.
Aangezien de thermokoppel bovenop het preparaat is bevestigd en de vloeibare stikstof
het eerste aan de bovenkant verdampt, raakt de bovenkant van het materiaal het eerste
uit de supergeleidende toestand. Dat is de temperatuur die de thermokoppel registreert.
De kritische temperatuur is dus de temperatuur aan het begin van het overgangsgebied,
Tc ≈ 90 K. Dit komt overeen met een literatuurwaarde van 90.0 K[4].
Wisselstroombruggen
Willem van Engen
REFERENTIES
16
Referenties
[1] Handleiding Natuurkunde Praktikum N 4/5 (3B083), Technische Universiteit Eindhoven, faculteit Natuurkunde, juli 2001, proef 3.
[2] DSP Lock-In Amplifier model SR830 Manual, revision 1.5, Stanford Research Systems, december 1999, pagina 3-1 t/m 3-5.
http://www.srsys.com/html/body sr830.html
[3] University Physics, 9th edition, Hugh D. Young, Roger A. Freedman e.a., AddisonWesley publishing company inc., ISBN 0-201-31132-1, §29-9 (magnetische materialen), §30-9 (supergeleiding), §31-2 (wederkerige inductie).
[4] Introduction to solid state physics, seventh edition, Charles Kittel, John Wiley and
Sons Inc, ISBN 0-471-11181-3, table 2 page 338.
Wisselstroombruggen
Willem van Engen